Frågor och svar om ln x, e x och 1/x i anslutning till grafen finns på nästa sida och framåt. 1 (6) Grafen till funktionen z = x y. plot3d(x^y, x=-3..3, y=-1..2, axes=frame, grid=[25,25], title="z=x^y");
2 (6) Rubrik Mystiken med e^x, ln x, 1/x m.m. Namn Mårten Berglund Postad 2005-07-23 01:24:36 Hej! Jag har några funderingar kring de intressanta sambanden mellan funktionerna e^x, ln x, 1/x m.m. 1) Först något om att den primitiva funktionen till 1/x är ln x (jag bortser här från konstanterna som uppkommer i de primitiva funktionerna). Tittar man på följande figur som visar funktionen z=x^y, [Klicka här] så ser man att z=x^y för y=[-0,9..-1,1] är en kontinuerlig yta. Men för de primitiva funktionerna till z=x^y inom detta intervall för y, gäller istället att alla är vanliga potensfunktioner, utom för just y=-1. Just mycket nära y=-1 verkar det hända dramatiska saker, som t.ex. att för y=-1 blir den primitiva funktionen en logaritmfunktion (nämligen ln x) i stället för en potensfunktion trots den kontinuerliga ytan kring ursprungsfunktionen 1/x (=x^-1). För t.ex. z(x)=x^-0,9 är (1) Z(x) = (x^0,1)/0,1 = 10*x^(1/10) och för z(x)=x^-1,1 är (2) Z(x) = x^-0,1/-0,1 = -10*1/x^(1/10). Om man nu tittar på (1) ovan verkar det som om (3) lim (p - oo) d/dx (p*x^1/p) = 1/x. Detta motsvarar alltså att studera den primitiva funktionen för x^y när y närmar sig -1 från höger (alltså -0,9; -0,99; -0,999 osv). Med andra ord har den primitiva funktion som beskrivs i (3) ovan (och som man kan tänka sig i figuren i närheten av y=0, fast nu magnifierad med en faktor som går mot oändligheten) faktiskt samma egenskaper som ln x. Dessutom verkar det enligt (1) och (2) ovan som om de primitiva funktionerna i närheten av y=0 snarare beskriver någon form av kontinuerlig yta, och att det egentligen inte händer några dramatiska saker där. Stämmer detta resonemang, dvs är uttrycket d/dx (p*x^1/p) = d/dx ln x, p - oo korrekt? Innebär detta också att de primitiva funktionerna till z=x^y för y i närheten av -1 faktiskt beskriver en kontinuerlig yta kring y=0? 2) Om man istället endast studerar kurvan y=1/x och den area som uppstår under denna kurva. Kan man då på något enkelt sätt i 1/x-kurvan "se" ln x eller ln x:s invers e^x? T.ex. att man på något sätt i 1/x-kurvan kan se e:s definition (1+1/n)^n, n - oo? 3) Funktionen e^x sägs dyka upp vid s.k. momentan kapitalisering. Detta innebär att om man sätter in 1000 kronor på ett konto med 10 % ränta på ett år, så delar man upp den här räntan så att man får 5 % ränta två gånger om året eller 10/365 % ränta 365 ggr om året osv. Avkastningen blir då större än om man bara fått räntan en gång per år, eller mer precis blir avkastningen i detta fall då man delar upp året i oändligt antal delar 1000*(1 + 0,10/n)^n = 1000*e^0,10 = 1,105 vilket är något mer än vad 10 % ränta en gång per år hade inneburit. Här undrar jag vad idén bakom momentan kapitalisering egentligen är? Det verkar vara ett feltänk att dela upp räntan på det här linjära sättet när vi talar om en exponentialfunktion som vi har i det här fallet, med y = k * 1,10^t. Borde inte snarare en momentan kapitalisering innebära, för t.ex. en uppdelning av 365 räntetillfällen per år att räntefaktorn varje gång blir 365:e roten ur 1,10? Eller allmänt att vid en uppdelning av n räntetillfällen per år då räntan är 10 % på ett år, så blir räntefaktorn
varje gång 1,10^(1/n). Borde inte detta vara en mer korrekt momentan kapitalisering? Räntan efter ett år blir då den samma oavsett antal räntetillfällen. Eller vad finns det för någon logik i att dela upp räntan linjärt? 4) Funktionen e^x sägs beskriva många förlopp i naturen. Ofta kan dessa förlopp dock beskrivas med vilken exponentialfunktion som helst - det behöver inte nödvändigtvis vara just en e^x-funktion, även om man kan skriva om uttrycket till en e^x-funktion. T.ex. populationstillväxt, med t.ex. en population där varje individ efter en generation blir två nya individer och ursprungsindividen dör: populationen kan då beskrivas enligt N=2^t, t = antal generationer och N'=N*ln2. Men finns det förlopp i naturen som verkligen beskrivs av just bara den rena e^x-funktionen? Och inte bara att e förekommer implicit som det gör i t.ex. tillväxthastigheten ovan via e^x-funktionens invers ln x (som just ovan är ln 2). Ursäkta om detta blev lite långt... Vore hursomhelst mycket glad om någon kunde ge mig klarhet i dessa frågor. /Mårten. 3 (6) Date: Sat, 30 Jul 2005 01:27:40 +0200 (MEST) From: Marten Berglund <mabe6041@student.uu.se To: hoglund@math.uu.se Subject: Re: Frågor om e m.m. Hej och tack så hemskt mycket för svar! Här några kommentarer och följdfrågor tillbaks. Skriv gärna ev. kommentarer/svar direkt intill texten nedan: 1) I uttrycket mitt på sidan 2 framgår inte klart vilket som ska utföras först, deriveringen eller gränsövergången. Om vi tänker oss att p är mycket stort (och x fixt) är p*x^(1/p) mycket nära p. Derivering ger då 0. Om vi omvänt först deriverar får vi d/dx(p*x^(1/p))=p*1/p*x^(1/p-1)= x^(1/p-1) som går mot x^(-1) =1/x då p går mot infty. A) Det är knivigt det där med vad som görs först - deriveringen eller att p går mot oo. Jag tror jag tänker mig att det sker samtidigt. För om man gör på det sistnämnda av de sätt du föreslår ovan, så känns det som om man först deriverar vid ett fixt p, och sen efteråt låter p gå mot oändligheten, och det känns lite fuskigt. Är det så du menar? B) Min idé om att kurvan y=ln x egentligen har samma egenskaper som kurvan y=p*x^1/p, p - oo stämmer alltså inte? (Med samma egenskaper menar jag att de har samma lutning fast y=p*x^1/p är i jämförelse liksom "förskjuten" uppåt i y-led med en oändlighet.) C) Förresten, kanske man kan göra så här: För att samtidigt låta derivering ske och låta p gå mot oo, är det kanske möjligt att låta p bero på h i deriveringen?? Dvs så här: (f(x+h)-f(x))/h, h - 0, f(x)=p*x^1/p, p=1/h. I vårt fall får vi alltså: ( (1/h) * (x+h)^h - (1/h) * x^h ) / h, h - 0. Det här uttrycket övergår dock mina kunskaper i gränsvärdesräkning. Hur förenklar man detta, och vad blir lösningen? 2) Varför skulle man kunna "se" hur en primitiv funktion ser ut genom att titta på derivatan? Kan man "se" att primitiva funktionen till 2x är x^2 (+C)?
4 (6) Jag kanske missuppfattar något, men man ser ju direkt på 2x att den har primitiven x^2 - det är ju arean av den triangel som syns under 2x-kurvan. På ett liknande sätt vill jag kunna se e (eller (1+1/n)^n) eller ln x i 1/x-kurvan eller 1/x-uttrycket. Att 1/x har detta samband med e är för mig ett mysterium, men också fantastiskt intressant. T.ex. kan jag förstå varje enskilt steg i härledningen av derivatan av ln x, men att dessa steg sen leder till 1/x har jag svårt att greppa i en tanke. Det jag efterlyser är någon form av pedagogisk förklaring som får mig att "se" sambandet direkt bara genom att se på kurvorna eller uttrycken. (Ungefär som när någon grek en gång i tiden lär ha tittat på formeln för Pythagoras sats och påstått att han direkt kunde se att det stämde.) 3) Momentan kapitalisering kan betraktas som ett övningsexempel, jag känner till inte till något fall där det används i praktiken. Varför skulle man göra räntan tidsberoende? Om räntan beräknas efter ett halvår och sedan efter ett år är det väl naturligt att använda samma räntefot. Samma gäller om man delar året i n delar. Vitsen med att dela ut ränta vid flera tillfällen är ju att man senare får ränta även på den ränta som tidigare utgått ("ränta på ränta"). Med din metod är det ju helt meningslöst med flera ränteberäkningar, man kan lika gärna använda helår. Förstår ej. Borde inte ränta definieras så här: Man bestämmer en räntesats, t.ex. 10 %, vilken ska gälla för en viss tidsenhet, t.ex. 1 år. Detta är ekvivalent med att definiera en exponentialfunktion p(t)=k*1,10^t, där k är pengarna från början och t är tiden i enheten år. Pengarna ska växa enligt den här funktionen punkt slut. Man får visst det ränta på ränta, efter två år nämligen precis p=k*1,10*1,10. Självklart ska räntan vara tidsberoende; den ska vara precis 1,10^t. Det har aldrig varit någon avsikt att göra flera ränteberäkningar - man stoppar bara in den förlupna tiden t i enheten år i p(t) och får fram behållningen. Varför skulle man gå ifrån det exponentiella beteendet i p(t)-kurvan och plötsligt börja räkna linjärt som man gör när man delar upp räntesatsen så som du förordar? Övningsexemplet med momentan kapitalisering verkar bygga på ett onaturligt antagande att man kan dela upp räntesatsen linjärt, medan det mest naturliga måste vara att följa p(t) eftersom det är den funktionen som man bestämt ska styra hur pengarna ska växa; och det inget man kan komma ifrån bara för att man delar upp räntan på flera tillfällen. Förstår du mitt resonemang? Håller du inte med lite? 4) Jag vet att det i naturen förekommer ett flertal exempel på exponentiell tillväxt. Dessa låter sig nog beskrivas enklast med någon annan bas än e men vilken exponentialfunktion som helst kan ju alltid skrivas om med e som bas. Okej. Ungefär så som jag har resonerat också. Hälsningar Mårten.
5 (6) Date: Sat, 30 Jul 2005 07:42:41 +0200 (CEST) From: hoglund@math.uu.se To: Marten Berglund <marten.berglund.6041@student.uu.se Subject: Re: Frågor om e m.m. A) Det är knivigt det där med vad som görs först - deriveringen eller att p går mot oo. Jag tror jag tänker mig att det sker samtidigt. För om man gör på det sistnämnda av de sätt du föreslår ovan, så känns det mot oändligheten, och det känns lite fuskigt. Är det så du menar? Det är inget skumt med att först derivera och sedan låta p gå mot infty. Tänk dig först ett fixt x och ett fixt p. Derivera. Resultatet blir en funktion av x och p. När nu p går mot infty blir svaret 1/x. Detta gäller för ALLA x. B) Min idé om att kurvan y=ln x egentligen har samma egenskaper som kurvan y=p*x^1/p, p - oo stämmer alltså inte? (Med samma egenskaper menar jag att de har samma lutning fast y=p*x^1/p är i jämförelse liksom "förskjuten" uppåt i y-led med en oänd Graferna till lnx och 10*x^0,1 har ungefär samma utseende men är belägna på olika ställen. C) Förresten, kanske man kan göra så här: För att samtidigt låta derivering ske och låta p gå mot oo, är det kanske möjligt att låta p bero på h i deriveringen?? Dvs så här: (f(x+h)-f(x))/h, h - 0, f(x)=p*x^1/p, p=1/h. I vårt fall får vi alltså: ( (1/h) * (x+h)^h - (1/h) * x^h ) / h, h - 0. Uttrycket= 1/h^2(x^h(1+h/x)^h-x^h)=1/h^2(x^h+h^2/x+O(h^4)-x^h) =1/x+O(h^2) går mot 1/x då h går mot noll. x h 1 + h x h 2 h x h x H h 2 + + O( h 4 ) x h x 1 + O( h 2 ) h 2 x Jag kanske missuppfattar något, men man ser ju direkt på 2x att den har primitiven x^2 - det är ju arean av den triangel som syns under 2x-kurvan. På ett liknande sätt vill jag kunna se e (eller (1+1/n)^n) eller ln x i 1/x-kurvan eller 1/x-uttrycket. Att 1/x har detta samband med e är för mig ett mysterium, men också fantastiskt intressant. T.ex. kan jag förstå varje enskilt steg i härledningen av derivatan av ln x, men att dessa steg sen leder till 1/x har jag svårt att greppa i en tanke. Det jag efterlyser är någon form av pedagogisk förklaring som får mig att "se" sambandet direkt bara genom att se på kurvorna eller uttrycken. (Ungefär som när någon grek en gång i tiden lär ha tittat på formeln för Pythagoras sats och påstått att han direkt kunde se att det stämde.) (Mapleifierat. H=h. (Maple tar bort x h annars.)) OK. 2x kan du klara geometriskt men hur "ser" du att arean under x^2 är x^3/3 (+C). Här måste du utnyttja att derivatan av x^3/3 är x^2. På samma sätt utnyttjar man att derivatan av lnx är 1/x. I de flesta läroböcker definieras lnx som den area A(x) som ligger mellan kurvan 1/t och linjerna t=1, t=x och t-axeln om x=1. Om x<1 fär vi byta tecken. Det är ganska lätt att visa att derivatan av denna funktion är 1/x. Prova. Ifall du inte lyckas, hör av dig.
6 (6) Det har aldrig varit någon avsikt att göra flera ränteberäkningar - man stoppar bara in den förlupna tiden t i enheten år i p(t) och får fram behållningen. Varför skulle man gå ifrån det exponentiella beteendet i p(t)-kurvan och plötsligt börja räkna linjärt som man gör när man delar upp räntesatsen så som du förordar? Övningsexemplet med momentan kapitalisering verkar bygga på ett onaturligt antagande att man kan dela upp räntesatsen linjärt, medan det mest naturliga måste vara att följa p(t) eftersom det är den funktionen som man bestämt ska styra hur pengarna ska växa; och det inget man kan komma ifrån bara för att man delar upp räntan på flera tillfällen. Förstår du mitt resonemang? Håller du inte med lite? Du verkar fast bestämd att enbart tillåta att räntan förs till kaptitalet helårsvis. Tanken med att beräkna halvårsvis är ju att ge kunden en liten favör eftersom halvårsräntan blir kapital och ingår som underlag för nästa ränteberäkning. Detta blir inte alls linjärt utan en exponentialfunktion (fast en annan).