VT15
Innehållsförteckning 1 Allmänt... 1 1.1 Enheter och storheter... 1 1.2 Matematik och geometri... 4 1.2.1 Räkneregler... 4 1.2.2 Derivator och Integraler... 5 1.2.3 Trigonometri... 6 1.2.4 Area- och Tngdpunktsformler... 9 1.2.5 Volm- och Tngdpunktsformler... 10 2 Materialsamband och materialdata... 11 2.1 Normalspänning... 11 2.2 Skjuvspänning... 12 2.3 Materialdata (SS-standard)... 13 2.4 Materialdata enligt EN-standard... 14 3 Dimensionering och säkerhetsfaktor... 17 4 Konstruktionselement... 18 4.1 Stänger (axialbelastning)... 18 4.1.1 Knäckning... 18 4.2 Axlar (vridning)... 19 4.2.1 Vridmotstånd och vridstvhet... 20 4.3 Balkar (böjning)... 21 4.3.1 Yttröghetsmoment... 22 4.3.2 Elementarfall - nedböjning... 24 4.3.3 Elementarfall - övertaliga stödreaktioner... 28 4.3.4 Tabeller: Vanliga balktvärsnitt... 31
5 Fleraxliga spänningstillstånd... 37 5.1 Plant (tvåaxligt) spänningstillstånd:... 37 5.2 Mohr s Cirkel... 38 5.3 Treaxliga spänningstillstånd... 38 5.4 Effektivspänning och säkerhetsfaktorer... 39 6 Spänningskoncentrationer... 40 6.1 Diagram: Spänningskoncentrationer... 40 7 Utmattning... 45
1 Allmänt 1.1 Enheter och storheter Storhet Benämning Vanlig beteckning Enhet Kommentar Sträcka l, s meter m grundenhet Area A kvadratmeter m 2 Volm V kubikmeter m 3 Vinkel α, β, φ radian rad 1 = π 180 rad Massa m kilogram kg grundenhet Densitet ρ kilogram per kubikmeter kg/m 3 Kraft F, P newton N 1 N = 1 kg 1 m 1 s 2 Vridmoment M newtonmeter Nm Tid t sekund s grundenhet Frekvens f hertz Hz 1 Hz = 1 s 1 Hastighet v meter per sekund m/s v = ds dt Vinkelhastighet ω radianer sekund rad/s ω = dφ dt Acceleration a meter per sekundtvå m/s 2 a = dv dt Vinkelacceleration α radianer per sekundtvå rad/s 2 α = dω dt 1
Storhet Benämning Vanlig beteckning Enhet Kommentar Impuls I newtonsekund Ns I = F dt = Δp Rörelsemängd p kilogrammeter per sekund kgm/s p = mv 1 kgm/s = 1 Ns Tröghetsmoment J Kilogrammetertvå kgm 2 Arbete W W = Fs 1 J = 1 Nm Energi, potentiell W p, E p joule J E p = mgh Energi, kinetisk W k, E k E k = mv2 2 Effekt P watt W 1 W = 1 J/s = Nm/s Trck p 1 Pa = 1 N 1 m 2 Spänning σ pascal Pa 1 MPa = 1 N 1 mm 2 Elacticitetsmodul E 1 GPa = 10 3 MPa Yttröghetsmoment Vridstvhet I Kv meterfra m 4 1 mm 4 = 10 12 m 4 1 cm 4 = 10 8 m 4 1 cm 4 = 10 4 mm 4 Böjmotstånd Vridmotstånd Wb Wv metertre m 3 1 mm 3 = 10 9 m 3 1 cm 3 = 10 6 m 3 1 cm 3 = 10 3 mm 3 Temperatur T kelvin K grundenhet Längdutvidgningskoefficient α per kelvin K 1 2
Tiopotenser SI-prefix SI-smbol 10 n 1000 n Namn Storlek Yotta Y 10 24 1000 8 Kvadriljon 1000000000000000000000000 Zetta Z 10 21 1000 7 Triljard 1000000000000000000000 Exa E 10 18 1000 6 Triljon 1000000000000000000 Peta P 10 15 1000 5 Biljard 1000000000000000 Tera T 10 12 1000 4 Biljon 1000000000000 Giga G 10 9 1000 3 Miljard 1000000000 Mega M 10 6 1000 2 Miljon 1000000 Kilo k 10 3 1000 1 Tusen 1000 Hekto h 10 2 1000 2/3 Hundra 100 Deka da 10 1 1000 1/3 Tio 10 - - 10 0 1000 0 Ett 1 Deci d 10-1 1000-1/3 Tiondel 0,1 Centi c 10-2 1000-2/3 Hundradel 0,01 Milli m 10-3 1000-1 Tusendel 0,001 Mikro μ 10-6 1000-2 Miljondel 0,000001 Nano n 10-9 1000-3 Miljarddel 0,000000001 Piko p 10-12 1000-4 Biljondel 0,000000000001 Femto f 10-15 1000-5 Biljarddel 0,000000000000001 Atto a 10-18 1000-6 Triljondel 0,000000000000000001 Zepto z 10-21 1000-7 Triljarddel 0,000000000000000000001 Yokto 10-24 1000-8 Kvadriljondel 0,000000000000000000000001 Grekiska alfabetet Namn Versal Gemen Namn Versal Gemen Alpha Α α N Ν ν Beta Β β Xi Ξ ξ Gamma Γ γ Omikron Ο ο Delta Δ δ Pi Π π Epsilon Ε ε Rho Ρ ρ Zeta Ζ ζ Sigma Σ σ Eta Η η Tau Τ τ Theta Θ θ Ypsilon Υ υ Jota Ι ι Phi Φ ϕ Kappa Κ κ Chi Χ χ Lambda Λ λ Psi Ψ ψ M Μ μ Omega Ω ω 3
1.2 Matematik och geometri 1.2.1 Räkneregler Potenser Om a 0 och x, m, n R gäller följande: a 0 = 1 a x = 1 a x a m n n = a m För potenser med samma bas gäller följande (om a 0 och a, x, R): a x a = a x+ (a x ) = (a ) x = a x a x = ax a För potenser med samma exponent gäller följande (om a, b, x R): (a b) x = a x b x ( a b ) x = ax b x Logaritmer x är a-logaritmen av om a x = och a > 0, a 1. a x = x = log a 10 x = x = log 10 = lg e x = x = log e = ln c > 0, log a x = log c x log c a lg x = ln x ln 10 ln x = lg x lg e ln 10 = 1 lg e lg e = 1 ln 10 log a (x ) = log a x + log a log a x = log a x log a log a x p = p log a x 4
1.2.2 Derivator och Integraler Derivator Primitiva funktioner f(x) f (x) f(x) F(x) x a a x a 1 k k x 1 x x 1 x 2 x a (a 1) 1 2 x e ax a e ax e kx a x ln x a x ln a 1 x a x (a > 0, 1) 1 x 1 sin x x a+1 a + 1 a x ln a 1 k ekx ln x ln tan x 2 sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x 1 tan x cos 2 x cot x 1 sin 2 x 1 arcsin x 1 x 2 arctan x tan x sin 2 x cos 2 x 1 g (x) 1 + x 2 g(x) ln cos x x + sin x cos x 2 x sin x cos x 2 ln g(x) Om f(x) och g(x) är deriverbara funktioner gäller: h(x) = f(x) + g(x) h (x) = f (x) + g (x) h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) h(x) = f(x) g(x), g(x) 0 h (x) = g(x) f (x) f(x) g (x) g(x) g(x) h(x) = f(g(x)) h (x) = f (g(x)) g (x) 5
1.2.3 Trigonometri Enhetscirkeln 3π 4 1 sin α π/2 π 3 π 4 radianer π -1 π-α α -α π 6 1 π 12 cos α 5π 4 7π 4-1 3π/2 Exakta trigonometriska värden för några vinklar Grader 0 15 30 45 60 75 90 Radianer 0 π 12 π 6 π 4 π 3 5π 12 π 3 sin cos tan Exakt värde 6 2 1 2 3 6 + 2 0 4 2 2 2 4 1 Approximation 0,259 0,707 0,866 0,966 Exakt värde 6 + 2 2 1 1 4 2 2 Approximation 0,966 0,866 0,707 0,259 3 2 6 2 4 0 Exakt värde 0 2 3 3 3 1 3 2 + 3 Approximation 0,268 0,577 1,732 3,732 6
Liksidig triangel a A b c α sin α = a c cos α = b c tan α = a b, α = arcsin a c, α = arccos b c, α = arctan a b Ptagoras sats: cot α = b a, α = arccot b a c 2 = a 2 + b 2 Godtcklig triangel Herons formel: h a β γ A c b α A = p(p a)(p b)(p c) p = a + b + c 2 Areasatsen: A = ab sin γ 2 = ac sin β 2 = bc sin α 2 Area: A = hb 2 Cosinussatsen: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α Sinussatsen: sin α a sin β = b = sin γ c 7
Trigonometriska formler sin 2 α + cos 2 α = 1 sin( α) = sin(α) cos( α) = cos(α) tan( α) = tan(α) sin(90 α) = cos(α) cos(90 α) = sin(α) tan(90 α) = cot α sin(α 90 ) = cos(α) cos(α 90 ) = sin(α) tan(α 90 ) = cot α sin(180 α) = sin α cos(180 α) = cos α tan(180 α) = tan α sin(α ± 180 ) = sin α cos(α ± 180 ) = cos α tan(α ± 180 ) = tan α sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β tan(α + β) = tan(α β) = tan α + tan β 1 tan α tan β tan α tan β 1 + tan α tan β sin α + sin β = 2 sin sin α sin β = 2 cos α + β α β cos 2 2 α + β α β sin 2 2 cos α + cos β = 2 cos cos α cos β = 2 sin α + β α β cos 2 2 α + β α β sin 2 2 cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α sin 2α = 2 sin α cos α tan 2α = sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α 2 tan α 1 tan 2 α cos 3α = 4 cos 3 α 3 cos α sin 2 α 2 = 1 cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 8
1.2.4 Area- och Tngdpunktsformler Cirkelbåge Cirkelsegment sin α x TP = R α TP = 0 R α α x Area = αr 2 x TP = 2 sin α 3α R α α x TP = 0 Godtcklig triangel Parallellogram Area = b h 2 c h Area = b h TP = h 2 α h TP = h 3 x TP = c2 h 2 + b 3 b x x TP = b + h sin α 2 b x Parallelltrapets a + b Area = h 2 x TP =? TP = 2a + b a + b h 3 α a b h x 9
1.2.5 Volm- och Tngdpunktsformler Sfär z R Volm = 4πR3 3 x Ytterarea = 4πR 2 x TP = z TP = TP = 0 Kon z h Volm = Ah 3 = πr2 h 3 Mantelarea = πr r 2 + h 2 r A x x TP = TP = 0 z TP = h 4 Pramid A z x h Volm = A h 3 OBS: x TP 0, TP 0 z TP = h 4, A = Bottenarean 10
2 Materialsamband och materialdata 2.1 Normalspänning N A N N σ A σ A N N N L 0 δ Normalspänningen ges av sambandet: σ = N A Normaltöjningen ges vid små deformationer av sambandet ε = δ L 0, (δ L 0 ) och vid stora deformation av: ε = ln (1 + δ L 0 ) = ln ( L L 0 ) σ är normalspänningen N är normalkraften A är snitttans area ε är normaltöjningen δ är (positiv) längdändring L 0 är den ursprungliga längden Hooke s lag (gäller för linjärt elastiska material): ε = σ E + αt α är materialets temperaturutvidgningskoefficient T är temperaturändringen E är marialets E-modul. 11
2.2 Skjuvspänning T A T τ A T T τ A γ T T Skjuvspänningen ges av sambandet: τ = T A Hooke lag för skjuvning av linjärt elastiska material: γ = τ G τ är den genomsnittliga skjuvspänningen T är skjuvkraften i snitttan A är snitttans area γ är vinkeländring p.g.a skjuvning G är materialets skjuvmodul Samband mellan E och G: G = E 2(1 + ν) ν är Poissons konstant för aktuellt material 12
2.3 Materialdata (SS-standard) (Kompatibel med övningsuppgifterna i boken) Material- Beteckning Enligt SS-14 Kolstål 141312-00 (obehandlat) 141450-1 (normaliserat) 141510-00 (obehandlat) 141550-01 (normaliserat) 141650-01 (normaliserat) 141650 (seghärdat) Rostfritt 2337-02 (släckglödgat) Aluminium 4120-02 (glödgat) 4120-24 (hårdbearbeta t och anlöpt) 4425-06 (varmåldrat) E-modul GPa Possions konstant α 10 6 K Brottgräns Drag/ trck Sträckgräns MPa Böj Vrid Ungefärlig motsvarighet EN 10 027-1 206 0,3 12 360-460 >240 260 140 S235JRG2 205 0,3-430 - 510 >250 290 160-205 0,3-510 - 640 >320 - - - 205 0,3-490 - 590 >270 360 190-206 0,3 11 590-690 >310 390 220-206 0,3-860 >550 610 - - 196 0,29 - >490 R p02 > 200 MPa - 70 0,32 16,8 170-215 R p02 > 65 MPa AW5052 70 0,32 23 220-270 R p02 > 170 MPa - 70 0,32 23 >340 R p02 > 270 MPa AW7020 Utmattningsdata (MPa) Dragning Böjning Vridning Växlande Pulserande Växlande Pulserande Växlande Pulserande 141312-00 ±110 110±110 ±170 150±150 ±100 100±100 141450-1 ±140 130±130 ±190 170±170 ±120 120±120 141510-00 ±230 - - - - - 141550-01 ±180 160±160 ±240 210±210 ±140 140±140 141650-01 ±200 180±180 ±270 240±240 ±150 150±150 141650 - - ±460 - - - 2337-02 ±270 - - - - - 4120-02 - - ±110 - - - 4425-06 ±120 - - - - - 13
2.4 Materialdata enligt EN-standard Stålbeteckningar i EN-standard enligt tp och tillämpning Exempel: S 360 J2 S E L Ståltp Konstruktionsstål Maskinstål Stål för rör och tuber P Trckkärlsstål G Gjutstål HC Höghållfsta stål B Armeringsstål Mekanisk egenskap (beroende på ståltp) För ståltper: S, E, L och P Minsta tillåtna sträckgräns R eh för nominell tjocklek 16 mm i MPa För höghållfasta stål: HC Minsta tillåtna resttöjningsgräns R p0.2 i MPa För armeringstål: B Minsta tillåtna sträckgsgräns R eh i MPa Tilläggssmboler övriga kvalitetskrav, tillämpningar och leveranstillstånd (beroende på ståltp och kvalitet) Exempel: Krav på slagseghet Slagseghet Testtemp. 27 J 40 J 60 J JR KR LR 20 C J0 KO LO 0 C J2 K2 L2-20 C J3 K3 L3-30 C J4 K4 L4-40 C J5 K5 L5-50 C J6 K6 L6-60 C 14
Varmvalsade produkter av olegerat konstruktionsstål Vanliga leveransformer är t.ex. plåtar och balkprofiler. God svetsbarhet. Används vanligen i obearbetad tillstånd. Nominell Tjocklek (mm) Sträckgräns R eh i MPa beroende av nominell tjocklek Brottgräns R m i MPa beroende av nominell tjocklek >16 >40 >63 >80 >100 >150 >200 >250 3 >100 >150 >250 16 40 63 80 100 150 200 250 400 <3 100 150 250 400 S235 235 225 215 215 215 195 185 175 165 360-510 360-510 350-500 340-490 330-480 S275 275 265 255 245 235 225 215 205 195 430-580 410-560 400-540 380-540 380-540 S355 355 345 335 325 315 295 285 275 265 510 680 490 630 470 630 450 630? Maskinstål Vanliga leveransformer är t.ex. stålaxlar och stålämnen för skärande bearbetning. Dålig svetsbarhet. Används oftast i bearbetat tillstånd. Nominell Tjocklek (mm) Sträckgräns R eh i MPa beroende av nominell tjocklek Brottgräns R m i MPa beroende av nominell tjocklek >16 >40 >63 >80 >100 >150 >200 3 >100 >150 16 40 63 80 100 150 200 250 <3 100 150 250 E295 295 285 275 265 255 245 235 225 490 660 470 610 450 610 440 610 E335 335 325 315 305 295 275 265 255 590 770 570 710 550 710 540 710 E360 360 355 345 335 325 305 295 285 690 900 670 830 650 830 640 830 15
16
3 Dimensionering och säkerhetsfaktor Tillåten normalspänning σ till ges av σ till = R e n s eller σ till = R p0.2 n s Tillåten skjuvspänning τ till ges av τ till = τ s n s n s är säkerhetsfaktorn mot plastisk deformation. R e eller R p0.2 är materialets sträckgräns eller resttöjningsgräns. τ s är den skjuvspänning som ger kvarstående deformation. Om τ s inte är känd kan den approximeras ur sträckgränsen eller resttöjningsgränsen. τ s 0,6 R e eller τ s 0,6 R p0.2 Om största normalspänning är given beräknas säkerhetsfaktorn enligt n s = R e σ max eller n s = R p0.2 σ max Om största skjuvspänningen är given beräknas säkerhetsfaktorn enligt n s = τ s τ max σ max är den till absolut beloppet största förekommande normalspänningen τ max är den största förekommande skjuvspänningen. 17
4 Konstruktionselement 4.1 Stänger (axialbelastning) Normalspänningen i en stång ges av sambandet: σ = S A σ är normalspänningen S är stångkraften A är stångens tvärsnittsarea Förlängningen ges av sambandet: δ = SL EA eller (om en eller flera av dessa storheter varierar): L N(x) dx E(x)A(x) 0 δ är (positiv) längdändring L är stångens längd E är materialets elasticitetsmodul N(x) är normalkraften i stången som en funktion av lägeskoordinaten x. 4.1.1 Knäckning Knäckkraft enligt Euler: P k = π2 EI L f 2 1. P 2a. P 2b. P 3. P 4. P L f = 2L L f = L L f = L L f = 0,7L L f = 0,5L P k = π2 EI 4L 2 P k = π2 EI L 2 P k = π2 EI L 2 P k = 2,05 π2 EI L 2 P k = 4 π2 EI L 2 18
4.2 Axlar (vridning) θ M V L, K V M V Maximal skjuvspänning ges av sambandet: τ max = M V W V Vridningsvinkeln ges av sambandet: θ = M VL GK V eller (om en eller flera av dessa storheter varierar): τ max är största skjuvspänning M V är vridande moment W V är axelns vridmotstånd θ är vridningsvinkeln L är axelns längd G är materialets skjuvmodul K V är tvärsnittets vridstvhet θ = 0 L M V(x) dx G(x)K V (x) Om ett vridmoment fördelar sig över N st parallella axlar gäller: τ i,max = M V W Vi G i K Vi N i=1(g i K Vi ) M V L θ = N i=1(g i K Vi ) Samband mellan överförd effekt, varvtal och vridmoment för en axel. P = M V ω ω = π n 30 P är den överförda effekten. ω är vinkelhastigheten (rad/s) n är varvtalet (rpm) 19
4.2.1 Vridmotstånd och vridstvhet Massivt cirkulärt tvärsnitt D Tjockväggigt cirkulärt tvärsnitt d D Tunnväggigt cirkulärt tvärsnitt t R R t W V = πd3 16 z K V = πd4 32 z W V = π D 4 d 4 16 D K V = π 32 (D4 d 4 ) z W V 2πR 2 t K V 2πR 3 t Massivt rektangulärt tvärsnitt k WV och k KV ges av b/a enligt: b/a k WV k KV b 1,0 0,208 0,1406 1,2 0,219 0,1661 z 1,5 0,231 0,1958 a 2,0 0,246 0,229 2,5 0,258 0,249 W V = k WV a 2 b 3,0 0,267 0,263 4,0 0,282 0,281 K V = k KV a 3 b 5,0 0,291 0,291 10,0 0,312 0,312 0,333 0,333 Tunnväggigt rektangulärt tvärsnitt t a, t b t b Liksidigt massivt triangulärt tvärsnitt a Godtckligt tunnväggigt tvärsnitt A t(s) W V = 2A t min K V = 4A2 ds s t(s) A är den area som inneslutes av tvärsnittets medellinje. s Massivt elliptiskt tvärsnitt 2a 2b a z W V = 2abt K V = 2a2 b 2 t a + b z W V = a3 20 K V = a4 3 80 z W V = π 2 ab2 K V = πa3 b 3 a 2 + b 2 20
4.3 Balkar (böjning) Vanliga riktningar för snittkraften T(x) och snittmoment M(x) i balkar. M(x 1 ) T(x 1 ) x 1 x 2 Största normalspänning från böjande moment. σ max = M W b T(x 2 ) M(x 2 ) x T(x) = M (x) q(x) = T (x) = M (x) σ max är absolutbeloppet av den största drag eller trckspänningen. W b är böjmotståndet. Böjmotståndet W b (för böjning runt -axeln) är: W b = I z max OBS: Vid böjning runt z-axeln ersätts z max av max I är balktvärsnittets ttröghetsmoment z max är absolutbeloppet av z- koordinaten för den delen av tvärsnittet som är mest avlägsen från böjningsaxeln. Normalspänningen på en given plats i en balk som är parallell med x-axeln och böjs runt axeln kan beräknas enligt: σ(x, z) = N A N M(x) Δx 0 + M(x) z I(x) σ(x, z) z x N är summan av eventuella axiell krafter. A är tvärsnittets area. M(x) och I(x) är tvärsnittsmoment och ttröghetsmoment för den givna x-koordinaten. z är z-koordinaten, med positiv riktning nedåt och z = 0 beläget vid tvärsnittets tngdpunkt. 21
4.3.1 Yttröghetsmoment Massivt cirkulärt tvärsnitt D Tjockväggigt cirkulärt tvärsnitt d D Tunnväggigt cirkulärt tvärsnitt t R R t z I = I z = πd4 64 Massivt Rektangulärt tvärsnitt z I = I z = π 64 (D4 d 4 ) Elliptiskt tvärsnitt z I = I z πr 3 t Likbent triangulärt tvärsnitt h 2b h b I = bh3 12 z I z = hb3 12 I = πab3 4 2a z I z = πba3 4 I = bh3 36 b z I z = hb3 48 Sammansatta tvärsnitt (gemensam böjningsaxel) För tvärsnitt som har samma böjningsaxel får ttröghetsmomenten summeras. Exempel: 1 2 I = I 1 + I 2 22
Steiners sats (parallellförskutningssatsen) Vid böjning runt en axel som ligger parallellt med den som går genom tngdpunkten kan man beräkna motsvarande ttröghetsmomentet m.h.a. Steiners sats: I η är tans ttröghetsmoment med avseende på den parallella axeln. I 0 är tans ttröghetsmoment med avseende på tngdpunktsaxeln. I η = I 0 + a 2 A är tans area. A a är avståndet mellan tans tngdpunktsaxel och den parallella axeln. Exempel på tillämpning av Steiner s sats: Yttröghetsmomentet för ett sammansatt tvärsnitt. 1 a 1 2 a 2 I = I,1 + I,2 = I 0,1 + A 1 a 1 2 + I 0,2 + A 2 a 2 2 23
4.3.2 Elementarfall - nedböjning Konsolbalk av längden L med E-modul E och ttröghetsmoment I 1. med punktlasten P i fria änden: w(x) = PL3 x2 (3 6EI L 2 x3 L 3) w(l) = PL3 3EI w (L) = PL2 2EI 2. med konstant utbredd last Q: q(x) = Q/L w(x) = QL3 24 EI (x4 L 4 4 x3 L 3 + 6 x2 L 2) w(l) = QL3 8 EI w (L) = QL2 6 EI 24
3. med ökande utbredd last Q: q(x) = x 2 Q L 2 w(x) = QL3 x3 x2 60 EI (x5 10 + 20 L5 L3 L 2 ) w(x) = 11 QL3 60 EI w (L) = QL2 4 EI 4. med minskande utbredd last Q: q(x) = (L x) 2Q L 2 w(x) = QL3 x5 ( 60EI L 5 + 5 x4 x3 x2 10 + 10 L4 L3 L 2) w(l) = QL3 15 EI w (L) = Q L 2 12 EI 5. med momentbelastning M i fria änden: w(x) = ML2 2 EI (x2 L 2) w(l) = ML2 2 EI w (L) = ML EI 25
Fritt upplagd balk av längden L med E-modul E och ttröghetsmoment I 6. med punktlasten P vid x = αl: α + β = 1 αl βl w(x) = PL3 6 EI β ((1 β2 ) x L x3 L 3) då x L α w(αl) = PL3 3 EI α2 β 2 w max vid x = L 1 β2 3 w (0) = PL2 αβ(1 + β) 6 EI w (L) = PL2 αβ(1 + α) 6 EI 7. med utbredd last Q: då α β w(x) = QL3 24 EI (x4 L 4 2 x3 L 3 + x L ) w ( L 2 ) = 5 QL3 384 EI w (0) = w (L) = QL2 24 EI 8. med ökande utbredd last Q: w(x) = QL3 180 EI w (0) = 7 QL2 180 EI w (L) = 8 QL2 180 EI x5 x3 (3 10 L5 L 3 + 7 x L ) 26
9. med minskande utbredd last Q: w(x) = QL3 180 EI w (0) = 8 QL2 180 EI w (L) = 7 QL2 180 EI ( 3 x5 L x4 x3 + 15 20 5 L4 L 3 + 8 x L ) 10. med vridmoment M A vid x = 0 och M B vid x = L: M A M B w (0) = M AL 3 EI + M BL 6 EI w (L) = M AL 6 EI M BL 3EI w(x) = L2 6 EI {M A ( x3 L 3 3 x2 L 2 + 2 x L ) + M B ( x3 L 3 + x L )} 11. α + β = 1 med vridmoment M vid x = αl: αl βl w(x) = ML2 6 EI ((1 3β2 ) x L x3 L 3) då x L α w (0) = ML 6 EI (1 3β2 ) w (L) = ML 6 EI (1 3α2 ) 27
4.3.3 Elementarfall - övertaliga stödreaktioner Reaktionsmomentet M A vid fast inspända änden för balk som är fast inspänd vid x = 0 och balk fritt upplagd vid x = L. 12. med punktlasten P vid x = αl: 13. med utbredd last Q: α + β = 1 αl βl M A = PL 2 β(1 β2 ) M A = QL 8 14. med minskande utbredd last Q: 15. med vridmoment M vid x = αl: α 1 M A = 2 QL 15 αl M A = M 2 (1 3β2 ) βl 28
Reaktionsmomenten M A vid x = 0 och M B vid x = L för balk av längden L, fast inspänd i båda ändar. 16. med punktlasten P vid x = αl: 17. med utbredd last Q: α + β = 1 αl M A = PLαβ 2 βl M B = PLα 2 β M A = M B = QL 12 18. med vridmoment M vid x = αl: 19. med minskande utbredd last Q: α + β = 1 αl βl M A = Mβ(1 3α) M B = Mα(1 3β) M A = QL 10 M B = QL 15 29
30
4.3.4 Tabeller: Vanliga balktvärsnitt HEA-balk z z Vikt (kg/m) h (mm) b (mm) t1 (mm) t2 (mm) r (mm) HE 100 A 16,7 96 100 5,0 8,0 12 HE 120 A 19,9 114 120 5,0 8,0 12 HE 140 A 24,7 133 140 5,5 8,5 12 HE 160 A 30,4 152 160 6,0 9,0 15 HE 180 A 35,5 171 180 6,0 9,5 15 HE 200 A 42,3 190 200 6,5 10,0 18 HE 220 A 50,5 210 220 7,0 11,0 18 HE 240 A 60,3 230 240 7,5 12,0 21 HE 260 A 68,2 250 260 7,5 12,5 24 HE 280 A 76,4 270 280 8,0 13,0 24 HE 300 A 88,3 290 300 8,5 14,0 27 HE 320 A 97,6 310 300 9,0 15,5 27 HE 340 A 105 330 300 9,5 16,5 27 HE 360 A 112 350 300 10,0 17,5 27 HE 400 A 125 390 300 11,0 19,0 27 HE 450 A 140 440 300 11,5 21,0 27 HE 500 A 155 490 300 12,0 23,0 27 HE 550 A 166 540 300 12,5 24,0 27 HE 600 A 178 590 300 13,0 25,0 27 HE 650 A 190 640 300 13,5 26,0 27 HE 700 A 204 690 300 14,5 27,0 27 HE 800 A 224 790 300 15,0 28,0 30 HE 900 A 252 890 300 16,0 30,0 30 HE 1000 A 272 990 300 16,5 31,0 30 31
Tvärarea I W Iz Wz Kv Wv (mm 2 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 3 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) HE 100 A 2124 3,492 72,8 1,33 26,8 52,6 6,57 HE 120 A 2534 6,062 106 2,31 38,5 60,2 7,52 HE 140 A 3142 10,33 155 3,89 55,6 81,6 9,60 HE 160 A 3877 16,73 220 6,16 76,9 123 13,7 HE 180 A 4525 25,10 294 9,25 103 149 15,7 HE 200 A 5383 36,92 389 13,36 134 211 21,1 HE 220 A 6434 54,10 515 19,55 178 286 26,0 HE 240 A 7684 77,63 675 27,69 231 417 34,7 HE 260 A 8682 104,5 836 36,68 282 526 42,1 HE 280 A 9726 136,7 1010 47,63 340 624 48,0 HE 300 A 11250 182,6 1260 63,10 421 856 61,1 HE 320 A 12440 229,3 1480 69,85 466 1080 69,7 HE 340 A 13350 276,9 1680 74,36 496 1280 77,6 HE 360 A 14280 330,9 1890 78,87 526 1490 85,1 HE 400 A 15900 450,7 2310 85,64 571 1900 100 HE 450 A 17800 637,0 2900 94,65 631 2450 177 HE 500 A 19750 869,6 3550 103,7 691 3100 135 HE 550 A 21180 1119 4150 108,2 721 3530 147 HE 600 A 22650 1412 4790 112,7 751 3990 160 HE 650 A 24160 1752 5470 117,2 782 4500 173 HE 700 A 26050 2153 6240 121,8 812 5150 191 HE 800 A 28580 3034 7680 126,4 843 5990 214 HE 900 A 32050 4221 9480 135,5 903 7390 246 HE 1000 A 34680 5538 11200 140,0 934 8250 266 32
HEB-Balk Vikt (kg/m) h (mm) b (mm) t1 (mm) t2 (mm) r (mm) z z HE 100 B 20,4 100 100 6 10 12 HE 120 B 26,7 120 120 6,5 11 12 HE 140 B 33,7 140 140 7 12 12 HE 160 B 42,6 160 160 8 13 15 HE 180 B 51,2 180 180 8,5 14 15 HE 200 B 61,3 200 200 9 15 18 HE 220 B 71,5 220 220 9,5 16 18 HE 240 B 83,2 240 240 10 17 21 HE 260 B 93 260 260 10 17,5 24 HE 280 B 103 280 280 10,5 18 24 HE 300 B 117 300 300 11 19 27 HE 320 B 127 320 300 11,5 20,5 27 HE 340 B 134 340 300 12 21,5 27 HE 360 B 142 360 300 12,5 22,5 27 HE 400 B 155 400 300 13,5 24 27 HE 450 B 171 450 300 14 26 27 HE 500 B 187 500 300 14,5 28 27 HE 550 B 199 550 300 15 29 27 HE 600 B 212 600 300 15,5 30 27 HE 650 B 225 650 300 16 31 27 HE 700 B 241 700 300 17 32 27 HE 800 B 262 800 300 17,5 33 30 HE 900 B 291 900 300 18,5 35 30 HE 1000 B 314 1000 300 19 36 30 33
Tvärarea I W Iz Wz Kv Wv (mm 2 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 3 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) HE 100 B 2604 4,495 89,9 1,673 33,5 92,9 9,29 HE 120 B 3401 8,644 144 3,175 52,9 139 12,6 HE 140 B 4296 15,09 216 5,497 78,5 201 16,7 HE 160 B 5425 24,92 311 8,892 111 314 24,2 HE 180 B 6525 38,31 426 13,63 151 423 30,2 HE 200 B 7808 56,96 570 20,03 200 595 39,7 HE 220 B 9104 80,91 736 28,43 258 768 48 HE 240 B 10600 112,6 938 39,23 327 1030 60,6 HE 260 B 11840 149,2 1150 51,35 395 1240 70,9 HE 280 B 13140 192,7 1380 65,95 471 1440 80 HE 300 B 14910 251,7 1680 85,63 571 1860 97,9 HE 320 B 16130 308,2 1930 92,39 616 2260 110 HE 340 B 17090 366,6 2160 96,9 646 2580 120 HE 360 B 18060 431,9 2400 101,4 676 2930 130 HE 400 B 19780 576,8 2880 108,2 721 3570 149 HE 450 B 21800 798,9 3550 117,2 781 4420 170 HE 500 B 23860 1072 4290 126,2 842 5400 193 HE 550 B 25410 1367 4970 130,8 872 6020 208 HE 600 B 27000 1710 5700 135,3 902 6690 223 HE 650 B 28630 2106 6480 139,8 932 7410 239 HE 700 B 30640 2569 7340 144,4 963 8330 260 HE 800 B 33420 3591 8980 149 994 9490 288 HE 900 B 37130 4941 11000 158,2 1050 11400 326 HE 1000 B 40000 6447 12900 162,8 1090 12600 350 34
IPE-Balk Vikt (kg/m) h (mm) b (mm) t1 (mm) t2 (mm) r (mm) z z IPE 80 6,0 80 46 5,2 3,8 5 IPE 100 8,1 100 55 5,7 4,1 7 IPE 120 10,4 120 64 6,3 4,4 7 IPE 140 12,9 140 73 6,9 4,7 7 IPE 160 15,8 160 82 7,4 5,0 9 IPE 180 18,8 180 91 8,0 5,3 9 IPE 200 22,4 200 100 8,5 5,6 12 IPE 220 26,2 220 110 9,2 5,9 12 IPE 240 30,7 240 120 9,8 6,2 15 IPE 270 36,1 270 135 10,2 6,6 15 IPE 300 42,2 300 150 10,7 7,1 15 IPE 330 49,1 330 160 11,5 7,5 18 IPE 360 57,1 360 170 12,7 8,0 18 IPE 400 66,3 400 180 13,5 8,6 21 IPE 450 77,5 450 190 14,6 9,4 21 IPE 500 90,7 500 200 16,0 10,2 21 IPE 550 106 550 210 17,2 11,1 24 IPE 600 122 600 220 19,0 12,0 24 35
Tvärarea I W Iz Wz Kv Wv (mm 2 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 3 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) IPE 80 764 0,801 20,0 0,085 3,69 7 1,35 IPE 100 1032 1,710 34,2 0,159 5,79 12,1 2,12 IPE 120 1321 3,178 53,0 0,277 8,65 17,4 2,76 IPE 140 1643 5,412 77,3 0,449 12,3 24,5 3,55 IPE 160 2009 8,693 109 0,683 16,7 362 4,89 IPE 180 2395 13,17 146 1,009 22,2 48 6,00 IPE 200 2848 19,43 194 1,424 28,5 70,2 8,26 IPE 220 3337 27,72 252 2,049 37,3 91 9,89 IPE 240 3912 38,92 324 2,836 47,3 129 13,2 IPE 270 4594 57,90 429 4,199 62,2 160 15,7 IPE 300 5381 83,56 557 6,038 80,5 202 18,9 IPE 330 6261 117,7 713 7,881 98,5 283 24,6 IPE 360 7273 162,7 904 10,43 123 375 29,5 IPE 400 8446 231,3 1160 13,18 146 514 38,1 IPE 450 9882 337,4 1500 16,76 176 671 46,0 IPE 500 11550 482,0 1930 21,42 214 897 56,1 IPE 550 13440 671,2 2440 26,68 254 1240 72,1 IPE 600 15600 920,8 3070 33,87 308 1660 87,4 36
5 Fleraxliga spänningstillstånd 5.1 Plant (tvåaxligt) spänningstillstånd: Normalspänninge och skjuvspänning i x och -riktningarna: σ x = E 1 ν 2 (ε x + νε ) σ = E 1 ν 2 (ε + νε x ) τ x = γ x G Hooke s lag med temperaturterm: ε x = 1 E (σ x νσ ) + αt ε = 1 E (σ νσ x ) + αt γ x = τ x G τ(α) Normalspänning σ(α) och skjuvspänningen τ(α) för snittta vars normal har vinkeln α mot x-axeln: σ(α) = σ x cos 2 α + σ sin 2 α +2τ x cos α sin α σ(α) τ(α) = (σ x σ ) sin α cos α + τ x (cos 2 α sin 2 α) σ x τ x τ x α σ x Huvudspänningarna σ 1, σ 2 och vinkeln ψ 1 från x-axeln till första huvudspänningsriktningen: σ 1,2 = σ c ± R = σ x + σ 2 ± ( σ x σ 2 ) + τ2 2 x sin(2ψ 1 ) = τ x R, cos(2ψ 1) = σ x σ 2R Töjning i godtcklig vinkel α mot x-axeln: ε(α) = ε x cos 2 α + ε sin 2 α +γ x cos α sin α γ(α) = (ε ε x ) sin(2α) + γ x cos(2α) Huvudtöjningarna ε 1 och ε 2 : ε 1,2 = ε c ± R = ε x + ε 2 ± ( ε x ε 2 ) + ( γ 2 x 2 2 ) sin(2ψ 1 ) = γ x 2R, cos(2ψ 1) = ε x ε 2R 37
5.2 Mohr s Cirkel τ τ max R x σ x, τ x 2ψ 1 σ 2 σ c σ 1 σ 2ψ 2 σ, τ x 5.3 Treaxliga spänningstillstånd Normalspänning och skjuvspänning: σ x = E 1 ν 2 (ε x + ν(ε + ε z )) σ = E 1 ν 2 (ε + ν(ε x + ε z )) σ z = Hooke s lag med temperaturterm: E 1 ν 2 (ε z + ν(ε x + ε )) τ x = γ x G ε x = 1 E (σ x ν(σ + σ z )) + αt ε = 1 E (σ ν(σ z + σ x )) + αt ε z = 1 E (σ z ν(σ x + σ )) + αt 38
5.4 Effektivspänning och säkerhetsfaktorer Säkerhetsfaktorn vid fleraxliga spänningstillstånd: n s = R e σ e eller n s = R p0.2 σ e Effektivspänning enligt vonmisse s hpotes: n s är säkerhetsfaktorn mot plastisk deformation. R e eller R p0.2 är materialets sträckgräns eller resttöjningsgräns. σ e är effektivspänningen (se nedan) σ vm e = σ 2 x + σ 2 + σ 2 z σ x σ σ σ z σ z σ x + 3 τ 2 x + 3 τ 2 z + 3 τ2 zx = 1 2 (( σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 ) Effektivspänning enligt Tresca s hpotes: σ T e = max[ σ 1 σ 2, σ 2 σ 3, σ 3 σ 1 ] = σ hsp hsp max σ min 39
6 Spänningskoncentrationer Största spänningsvärdet σ max vid geometri där brottanvisningar skapas ges av σ max = K t σ nom K t är den geometriska formfaktorn. σ nom är den nominella spänningen. K t och σ nom fås ur diagram för det specifika fallet. 6.1 Diagram: Spänningskoncentrationer (Diagrammen kommer från kursbokens formelsamling) DRAGNING 40
41
BÖJNING 42
43
VRIDNING 44
7 Utmattning Exempel på Haigh-diagram Dragbelastning / Trckbelastning σ a För andra tper av belastning än trck/drag bts värdena i diagrammet enligt nedan: Böjning Vridning σ s σ u σ ub σ up σ ubp σ u τ uv σ up τ uvp σ up σ u σ s σ s σ B σ B σ s τ s σ B τ B λδκσ u λδκσ up σ up σ s σ B σ m Diagram för reduceringsfaktorer (ur kursbokens formelsamling) 45
Teknologisk volmfaktor: λ (för gjutna produkter) Anvisningsfaktor K f K f = 1 + q (K t 1) där K f är spänningskoncentrationsfaktorn 46