7. Elektrodynamik och den speciella relativitetsteorin [RM 2; Jackson, Riskas anteckningar] Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7. 7.. Historisk överblick Det har redan flera gånger under kursen dykt upp ekvationer som baserar sig på Maxwells ekvationer, men liknar förbluffande mycket ekvationer i den speciella relativitetsteorin. Detta är inte en slump. Orsaken är att de två teorierna hänger nära ihop, och att i själva verket historiskt sett var det det elektrodynamiken som ledde till den speciella relativetsteorin. I det följande ges det en översikt över hur detta skedde. Kring år 900 var den klassiska elektrodynamikens alla huvuddrag utvecklade, såsom beskrivits tidigare under denna kurs. En av de centrala dragena var ju insikten att Maxwells ekvationer leder till en vågekvation, som beskriver vågor som fortskrider i vakuum med hastigheten c = ɛ0 µ 0 (7.) Då normala vågor (till på havet eller i luften) ju som känt rör sig i ett väldefinierat material, ledde beskrivning av vågor i vakuum till hypotesen att universum innehåller ett medium, etern, som finns överallt och vars vibrationer möjliggör de elektromagnetiska vågornas framskridning i det. Eterhypotesen i sin tur leder till att det finns en unik referensfram, den där etern är i vila (stationärt). Den andra centrala teorin på 800-talet var ju Newtons mekanik. För den gäller att rörelseekvationerna är oförändrade under Galilei-transformationen. Detta kan uttryckas så att Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.2
vi har två koordinatsystem, ett i vila och ett annat som rör sig med den konstanta hastigheten u. Om vi väljer koordinataxlarna i det ena systemet så att u är i riktningen x, säger Galileitransformatinen att koordinaterna och tiden i det rörliga systemet (prim) beror på det i det orörliga som x = x ut (7.2) y = y (7.3) z = z (7.4) t = t (7.5) (7.6) Maxwell-ekvationerna leder som sagt till vågekvationen. Då är en naturligt fråga huruvida vågekvationen 2 φ = c 2 2 φ t 2 (7.7) är invariant under Galilei-transformationen? Det är enkelt att visa att den inte är det. Om man t.ex. ersätter tidsderivatan med den i det primade systemet (beaktande bara de transformerande x och t-riktningarna): t = x t x + t t t = u x + (7.8) t Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.3 x = x x x + t x t = x + t t x t t = x + (7.9) u t ser man att den nya vågekvationen skulle bli (i x- och t-koordinater): x + «φ u t x + «φ = c u u t 2 x + «u φ t x + φ «(7.0) t 2 φ x + 2 φ 2 u x t + 2 φ u t x + 2 φ u 2 t =! u 2 2 φ 2 c 2 x + u 2 φ 2 x t + u 2 φ t x + 2 φ t 2 (7.) ( u2 c ) 2 φ 2 x + (2 2 u + 2 u 2 φ c 2) x t = c «2 φ (7.2) 2 u 2 t 2 Detta är uppenbart inte ekvivalent med den ursprungliga vågekvationen. Alltså är vågekvationen och Maxwells ekvationer inte invarianta under Galilei-transformationen, v.s.b. Detta resultat gäller givetvis för alla andra typer av vågor också, t.ex. havsvågor och ljudvågor. Men för dessa är det klart vad det stationära mediet är: materialet (t.ex. vatten eller luft) där vågorna rör sig, vars inre beståndsdelar har massa och antogs följa mekanikens lagar och därmed Galilei-transformation. Därmed fanns det inget problem med att själva vågekvationen inte följer det. För elektromagnetiska vågor som kan fortskrida i vakuum postulerade man alltså etern som det analoga mediet. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.4
I slutet av 800-talet fanns det flera olika möjligheter för hur etern och Maxwell-ekvationerna skulle förhålla sig gentemot Galilei-transformationen:. Maxwells ekvationer är fel, och den korrekta teorin för elektromagnetism är invariant under Galilei-transformationen. 2. Det finns en unik föredragen referensram, den där etern är i vila. Maxwells ekvationer kräver modifikation i andra ramer. 3. Maxwells ekvationer är samma i alla referens-ramer som rör sig med en konstant hastighet gentemot varandra. Galilei-transformationen gäller inte. Av dessa verkade alternativ högst osannolik, då Maxwells ekvationer redan på 800-talet hade testats extensivt experimentellt. Alternativ 2 kunde testas experimentellt. Detta gjordes i flera experiment. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.5 Ifall etern skulle existera, skulle den rimligtvis vara universell och oberoende av solsystemet. Då skulle jorden och solsystemet utsättas för en etervind då de rör sig runt galaxens centrum (se bilden intill). Detta skulle innebära att då man mäter elektrodynamiska vågor på jorden, borde de vara i rörelse då jorden ju rör sig med avseende på etern! Alltså om man skulle mäta t.ex. ljusets hastighet, borde den vara olika i olika riktningar! [Wikimedia commons] Michelson-Morley-experimentet (887) gjorde just detta. Men de fann inget experimentellt bevis för etervinden: ljusets hastighet var samma i alla riktningar. Detta ensamt räckte inte till att döda etern, för man kunde ju anta att etern på något sätt dras med jorden eller andra fysiska medium. Men tidigare experiment av Fizeau (859) hade redan visat att ljusets hastighet påverkas delvis av ett fysiskt mediums (vatten ursprungligen) rörelse. Experiment på stjärnornas s.k. aberration, alltså att deras position verkar ändras litet under årets lopp propertionerligt mot v/c skulle inte vara konsistent med att etern dras med jorden. Tillsammans ledde dessa experiment redan mot slutet av 800-talet till att att eterns existens Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.6
kunde vara konsistent med Maxwells elektrodynamik bara om man tog till mycket komplicerade antaganden om eterns egenskaper. Därmed kvarstod alltså bara alternativ 3, men den var också mycket radikal i.o.m. att den innebär att Newtons mekanik inte kan gälla allmänt, och också Newtons mekanik var ju extremt vältestad. 7... Lorentztransformationen År 892 upptäckte H. A. Lorentz en transformation som håller formen av Maxwells ekvationer oförändrade! Den är, under samma antagande som ovan för Galileitransformationen om att de två koordinatsystem rör sig i förhållande till varandra i x-riktningen med hastigheten u: x = p ut) (7.3) u2 /c2(x y = y (7.4) z = z (7.5) t = p t u «u2 /c 2 c 2x (7.6) (7.7) Dessa har uppenbart egenskapen att ifall u << c, reduceras de tillbaks till Galilei-transformationen. Som sagt var Newtons mekanik vältestad, men bara för hastigheter mycket mindre än ljusets. Därmed kunde dessa användas också för klassisk mekanik utan att det stridde mot empiriska fakta. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.7 Vi skall inte visa explicit att Lorentz-transformationen håller Maxwells ekvationer oförändrade, man tillämpar dem som ovan på vågekvationen med transformation av x och t: t = x t x + t (7.8) t t x = x x x + t (7.9) x t Vi inför (igen, jfr. kapitel 5) beteckningen γ = p u2 /c 2 (7.20) samt β = u/c. De partiella derivatorna som behövs blir x x = γ t x = u c 2γ x t = uγ Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.8
t t = γ och man får för de dubbla derivatorna 2 φ x = γ 2 x u «c 2γ γ φ t x u «φ c2γ = γ 2 2 φ u 2 φ u 2 φ u 2 2 φ t x 2 γ2 c 2 x t γ2 c 2 t x +γ2 c 4 t 2 (7.2) 2 φ c 2 t = uγ 2 x + γ «uγ φ t x + γ φ «= u2 2 φ u 2 φ u 2 φ 2 φ t c 2 γ2 x 2 γ2 c 2 x t γ2 c 2 t x +γ2 c c t 2 (7.22) Då man sätter in dessa två i vågekvationen kancellerar de blandade derivatorna omdelebart. Kvar blir då man flytter över x -derivatorna på ena sidan och t på andra: γ 2 2 φ u2 x 2 2 φ c 2 γ2 x = u 2 2 γ2 2 φ c 4 t + 2 φ 2 γ2 (7.23) c c t 2 γ 2! u2 2 φ c 2 x = 2 c 2γ2 och med beaktande av att γ = får man u 2 /c2 u2 c 2! 2 φ t 2 (7.24) 2 φ x 2 = c 2 2 φ t 2 (7.25) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.9 d.v.s. den ursprungliga vågekvationen!. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.0
7.2. Den speciella relativitetsteorin Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7. 7.3. Poincarés och Einsteins postulat Lorentz upptäckte allså transformationen ovan, men han insåg inte dess vidare betydelse, utan försökte göra den kompatibel med eter-hypotesen. Det var H. Poincaré som först insåg att Michelson-Morley-experimentet kunde ha en bredare betydelse. Han formulerade år 899 relativitetsprincipen som att absolut rörelse inte kan observaras av laboratorieexperiment på något sätt, och att detta implicerar att naturlagarna måste vara de samma för två observatörer i relativ rörelse till varandra. Han kom också fram till att en ny dynamik måsta formuleras, och att denna bör innehålla villkoret att ingen hastighet kan överstiga ljushastigheten. År 905 publicerade sedan A. Einstein den speciella relativitetsteorin i sitt papper som hade titteln Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Annalen der Physik 7: 89-92) - notera alltså att titteln på pappern hänvisar direkt till elektrodynamik! Han framförde två postulat, av vilka den första är Poincarés relativitetsprincip. De är:. Naturens lagar är samma i alla koordinatsystem som rör sig med en likformig hastighet med avseenda av varandra 2. Ljushastigheten i vakuum är samma i alla referenssystem och oberoende av ljuskällans hastighet. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.2
Relativitetspostulaten förutsätter att kombinationen c 2 t 2 r 2 har samma värde i alla sådana koordinatsystem - inertialsystem - som rör sig med konstant hastighet i förhållande till varandra. Från detta krav kan man härleda Lorentz-transformationen (som gavs ovan) mellan en punkts koordinater i olika inertialsystem. Utom det historiska sambandet, är det också intressant att notera att den klassiska elektrodynamiken kan skrivas i en matematiskt kompakt form med hjälp av samma notation som används i relativitetsteori. Vi går nu igenom huvuddragen i detta. 7.3.. Fyr-vektorer och tensorer 4-vektorer i relativitetsteorin definieras som sådana grupper av 4-storheter (A 0, A, A 2, A 3 ) som transformeras på samma sätt som koordinaterna (x 0, x, x 2, x 3 ) vid Lorentz-transformationer. A = A + (γ )(A β) ˆβ γβa 0 (7.26) 4-vektorernas längd: A 0 = γ{a 0 β A} (7.27) A A = (A 0 ) 2 (A ) 2 (A 2 ) 2 (A 3 ) 2 (7.28) 4-vektor-rymden (Minkowski-rymden) är inte Euklidisk! Fyrvektorer och tensorer brukar ofta betecknas oich behandlas med s.k. kontravariant notation Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.3 där (fyr)vektorer betecknas med överindex: Det vanligaste exemplet är (ct, x, y, z). x µ (x 0, x, x 2, x 3 ) (7.29) Lorentz-transformationen kan beskrivas i det allmänna fallet med en fyrmatris som x µ = 3X Λ µ ν xν (7.30) ν=0 där Λ är Λ µ ν = 0 B Λ 0 0 Λ 0 Λ 0 2 Λ 0 3 Λ 0 Λ Λ Λ 3 Λ 2 0 Λ 2 Λ 2 2 Λ 2 Λ 3 0 Λ 3 Λ 3 2 Λ 3 3 A (7.3) Exempel: Lorentz-transformationen som gavs ovan för x och t kan skrivas x 0 = γ(x 0 βx ) (7.32) x = γ(x βx 0 ) (7.33) x 2 = x 2 (7.34) x 3 = x 3 (7.35) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.4
0 Λ = B γ βγ 0 0 βγ γ 0 0 0 0 0 0 0 0 A (7.36) För att ytterligare förenkla notationen används för tensorer ofta den s.k. summeringskonventionen där repeterade index summeras: x µ = 3X Λ µ ν xν Λ µ ν xν (7.37) ν=0 Det upprepade indexet ν är summerat. Mer allmänt gäller att alla index där en är nere och den andra uppe summeras. Kontravarianta och kovarianta vektorer Definiera en kovariant 4-vektor A µ (A 0, A, A 2, A 3 ) (7.38) A 0 = A 0 (7.39) A = A (7.40) A 2 = A 2 (7.4) A 3 = A 3 (7.42) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.5 komponenter av en normal eller kontravariant 4-vektor A µ : kontravariant A µ : kovariant Den invarianta skalärprodukten är A A = (A 0 ) 2 A 2 = A µ A µ = A µ A µ (7.43) A B = A µ B µ = A µ B µ (7.44) Tensorer A µ är en kontravariant 4-vektor om dess komponenter transformeras på samma sätt som koordinaterna för radiusvektorn (ct, r) vid Lorentz-transformationer. A µ = Λ µ ν Aν (7.45) En kombination av 6-storheter A µν är en tensor av rang 2 om den transformeras som en kontravariant 4-vektor med avseende på bägge indexen. Om A µν = A νµ är tensorn symmetrisk och har blott A µν = Λ µ α Λν β Aαβ (7.46) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.6
6 4 2 + 4 = 0 oberoende komponenter Om A µν = A νµ är tensorn antisymmetrisk och har 6 4 2 = 6 oberoende komponenter (diagonalelementen måste ju vara = 0) A µν kontravariant tensor A µν kovariant tensor A µ ν blandad tensor A µ B µ = skalär = tensor av rang 0 A µ B ν = T µν = kontravariant tensor av rang 2 A µ B νµ = T ν = kontravariant vektor bildad av en vektor och en 2 rang s tensor A µ B νδ = T νδ µ = tensor av rang 3. Speciella tensorer: δ: Kronecker s symbol j δ µ 0 µ ν ν = µ = ν (7.47) δ µ ν Aν = A µ (7.48) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.7 Den metriska tensorn g δ µ ν = 0 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Den metriska tensorn g åstadkommes genom att höja ett index i δ µ ν g µν = 0 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g µν tjänar som operator för att göra en kontravariant tensor av en kovariant: A (7.49) A (7.50) g µν A ν = A µ (!) (7.5) Definiera g µν så att g µν = g µν ; Då fungerar g µν som operator för att sänka index: A µ = g µν A ν (7.52) g µα g αν = δ ν µ (7.53) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.8
Skalärprodukten och den metriska tensorn A µ B µ = A µ g µν B ν = g µν A µ B ν = g µν A ν B ν (7.54) A 2 = A A = A µ A µ = g µν A µ A ν (7.55) Den metriska tensorn representerar regeln för skalärprodukten eller längdmåttet. Då Lorentz-transformationen lämnar skalärprodukten invariant har g samma komponenter i alla koordinatsystem. x µ x µ = xµ x µ = g µν x µ x ν = g µν x µ x ν (7.56) = (x 2 ) 2 (x ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 (7.57) = (x 0 ) 2 (x ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 (7.58) Transformationslagen för kovarianta vektorer A µ = Λ µ ν Aν (7.59) A µ = g µν A ν = g µν Λν β Aβ (7.60) = g µν Λν β gβα A α (7.6) För kovarianta vektorer vill vi skriva A µ = Λ α µ A α (7.62) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.9 så man ser att Λ α µ = g µνλ ν β gβα (7.63) Transformationen Λ fås genom att transponera Λ och ändra tecken på de blandade rums och tidskomponenterna: Λ = 0 B Λ 0 0 Λ 0 Λ 0 2 Λ 0 3 Λ 0 Λ Λ Λ 3 Λ 2 0 Λ 2 Λ 2 2 Λ 2 Λ 3 0 Λ 3 Λ 3 2 Λ 3 3 0 A = Λ = B Λ 0 0 Λ 0 Λ 2 0 Λ 3 0 Λ 0 Λ Λ 2 Λ 3 Λ 0 2 Λ 2 Λ 2 Λ 3 2 Λ 0 3 Λ 3 Λ 2 3 Λ 3 3 A (7.64) Lorentz-transformationens ortogonalitet ty man kan visa att x µ x µ = xµ x µ = Λ µ α Λ β µ xα x β = x µ x µ (7.65) Λ µ α Λ β µ = δβ α (7.66) (exempel på det senare: 0 B γ βγ 0 0 βγ γ 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 B γ βγ 0 0 βγ γ 0 0 0 0 0 0 0 0 A (7.67) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.20
0 = B γ 2 β 2 γ 2 γ 2 β + βγ 2 0 0 βγ 2 βγ 2 β 2 γ 2 + γ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 B för att γ 2 = β2 så diagonalelementen =. Gradientvektorn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A (7.68) A (7.69) x ( ; ) α ct (7.70) xβ = ( x α x α) x β (7.7) x α = Λ α ν xν (7.72) = Λ α x α = Λ µ α{z Λµ ν x ν = x µ (7.73) } δ ν µ x β x α = Λ β α = x β = Λ β α x α (7.74) x = Λ β α α (7.75) x β Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.2 Gradientvektorn transformeras som en kovariant vektor! Notation: α x α = ( ct ; ) α = g αβ β α A α = = ( ; ) (7.76) x α ct ct A0 + A (7.77) α = ( ; ) ct (7.78) α α = 2 c 2 t 2 2 (7.79) Detta är differentialoperatorn för vågekvationen, som är Lorentz-invariant 7.3.2. Elektrodynamiken i kovariant form Nu kan vi använda notationerna som introduceras till att skriva om elektrpodynamiken! Kontinuitetsekvationen: Vi konstruerar en 4-strömtäthetsvektor j α : ρ t + j = 0 (7.80) j α = (cρ, j) (7.8) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.22
Kontinuitetsekvationen blir då alltså: α j α = ( ρ, )(cρ, j) = c t t + j = 0 (7.82) j är en 4-vektor, dvs. j transformeras som x α, ty - j är en 3-vektor α j α = 0 (7.83) - ρd 3 r = ρ d 3 r är en invariant som representerar laddningen i ett volymelement - dx 0 d 3 r = är ett Lorentz-invariant volymelement dx 0 d 3 r = (x 0,..dx 3 ) (x 0,..dx 3 ), dx0..dx 3 (7.84) = det(λ) dx {z } 0 {z..dx} 3 (7.85) + dx 0 d 3 r det (Λ) = + för en proper Lorentz-transformation. A µ = Λ µ ν Aν Λν µ = g µαg νβ Λ α β (7.86) A µ = Λ ν µ A ν (7.87) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.23 Λ β µ Λµ α = δβ α (7.88) g βκ g µν Λ ν κ Λµ α = δβ α (7.89) (g) βκ (Λ T ) κν (g T ) νµ (Λ) µα = (δ) βα (7.90) det(g) det(λ T ) det(g T ) det(λ) = (7.9) {z } {z } det(λ T )detλ = (7.92) (detλ) 2 = detλ = ± (7.93) detλ = + egentliga Lorentz-transformationer (rotationer utan reflexion) dx 0 (ρd 3 r) transformeras som en tidskomponent ρ dx{z 0 d} 3 r transformeras som en tidskomponent inv. ρ transformeras som en tidskomponent! j α = (ρ, j): 4-vektor! Laddningskonservering: Z Q = d 3 rρ = Z d 3 rj 0 (7.94) c dq dt = Z Z d 3 r d0 j c dt = d 3 r dj0 (7.95) Z I dx 0 = d 3 r j = da j (7.96) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.24
= 0 för en lokaliserad laddning! Vågekvationerna i Lorentz-måttet Vi hade ju vågekvationerna för vektorpotentialen A samt skalärpotentialen φ: Lorentz-villkoret ger: A + c 2 φ t = 0 Vi definierar nu en fyr-version av : 2 A c 2 t 2 2 A = µ 0 j (7.97) 2 φ c 2 t 2 2 φ = ρ ɛ 0 (7.98) c 2 2 som kallas box eller d Alemberts operator. Med den kan man skriva: t 2 2 = α α (7.99) A = µ 0 j (7.00) eller lite omskrivet: φ = ρ ɛ 0 = j0 cɛ 0 (7.0) A = µ 0 j (7.02) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.25 ( φ c ) = c 2 ɛ 0 j 0 = µ 0 j 0 (7.03) Om vi nu summerar dessa två ekvationer, ser man att de högra membrum bildar en 4-vektor µ 0 j α. Då måste vänstra membrum också bilda en 4-vektor, vilket ger oss en naturlig definition: A α ( φ, A) (7.04) c Lorentz-villkoret blir Vågekvationen för A α blir α A α = 0 = A + c 2 φ t 2 (7.05) A α = µ 0 j α (7.06) De elektriska och magnetiska fälten E = φ A t = (ca0 ) (ca) (7.07) x 0 B = A, α = (, ) (7.08) ct α = (, ) (7.09) ct Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.26
Ur dessa ser man att komponenterna för el- och magnetvektorerna kan skrivas som E x = c 0 A + c A 0 (7.0) E y = c 0 A 2 + c 2 A 0 (7.) E z = c 0 A 3 + c 3 A 0 (7.2) B x = ( 2 A 3 3 A 2 ) (7.3) B y = ( 3 A A 3 ) (7.4) B z = ( A 2 2 A ) (7.5) (7.6) så man ser att E c och B är komponenter av tensorn α A β β A α Nu kan man definiera den elektromagnetiska fälttensorn som F αβ α A β β A α (7.7) och samma tensor med kovarianta index är F αβ = g αµ g βν F µν (7.8) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.27 I komponentform utskrivet är detta: F αβ = 2 6 4 0 E x /c E y /c E z /c E x /c 0 B z B y E y /c B z 0 B x E z /c B y B x 0 3 7 5 (7.9) F αβ = 2 6 4 0 E x /c E y /c E z /c E x /c 0 B z B y E y /c B z 0 B x E z /c B y B x 0 Definiera den 4-dimensionella Levi-ivita-symbolen som 3 7 5 (7.20) 8 < ɛ αβµν = : 0 om två eller flere index är lika om αβµν är en jämn permutation av 023 om αβµν är en udda permutation av 023 (7.2) Den duala fälttensorn definieras som F αβ = 2 ɛαβµν F µν (7.22) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.28
2 = 6 4 0 B x B y B z B x 0 E z /c E y /c B y E z /c 0 E x /c B z E y /c E x /c 0 3 7 5 (7.23) Man ser att E k = cf k0. Maxwell s ekvationer i kovariant form Nu kan vi skriva om Maxwells ekvationer. Vi betraktar dessa i två delar: E = ρ/ɛ 0 H = j + D t ff källekvationerna (7.24) eller Då vi hade får man E B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 t = µ 0j + E c 2 t (7.25) E k = cf k0 (7.26) E = c k F k0 = ρ ɛ 0 = j0 cɛ 0 (7.27) k F k0 = c 2 ɛ 0 j 0 = µ 0 j 0 (7.28) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.29 Då F 00 = 0 kan denna ekvation generaliseras till µ F µ0 = µ 0 j 0 (7.29) Prova nu µ F µ = µ 0 j = ct F 0 + x F + y {z} F 2 Bz + z F 3 {z} By {z } ( B)x (7.30) c 2 E x t + ( B) x = µ 0 j (7.3) Detta är x-komponenten av den allmänna ekvationen! Källekvationerna kan alltså sammanfattas med en ekvation: α F αβ = µ 0 j β, (7.32) Det återstående paret av Maxwell-ekvationer är B = 0 (7.33) E = + B t (7.34) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.30
detta ekvationspar kan erhållas från det första med utbytena samma utbyte i fälttensorn F ger den duala tensorn F! F αβ = F αβ = 2 6 4 2 6 4 j, ρ 0 (7.35) B E/c (7.36) E cb (7.37) 0 E x /c E y /c E z /c E x /c 0 B z B y E y /c B z 0 B x E z /c B y B x 0 0 B x B y B z B x 0 E z /c E y /c B y E z /c 0 E x /c B z E y /c E x /c 0 3 7 5 (7.38) 3 7 5 (7.39) I ekvationen leder transformationen till α F αβ = µ 0 j β (7.40) α F αβ = 0 (7.4) Denna ekvation sammanfattar då de återstående två Maxwell-ekvationerna! Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.3 Den sistnämnda ekvationen kan också uttryckas med F men på ett mer klumpigt sätt. F αβ = 2 ɛαβµν F µν (7.42) 0 = α F αβ = 2 αɛ αβµν F µν (7.43) = 2 αɛ αβγδ F γδ (7.44) = 2 αɛ αβγδ g γµ g δν F µν (7.45) = 2 αɛ αβ µν F µν (7.46) = 2 g ακ κ ɛ αβ µν F µν (7.47) = 2 ɛβ κµν κ F µν (7.48) = 2 gβϕ ɛ κϕµν κ F µν = 0 (7.49) g βϕ : diagonal ɛ κϕµν κ F µν = 0 (7.50) ɛ αβµν β F µν = 0 (7.5) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.32
så man ser att är ekvivalent med ɛ αβµν [ β F µν + µ F ν β + ν F βµ = 0 (7.52) β F µν + µ F ν β + ν F βµ = 0 (7.53) α F αβ = 0. (7.54) Till slut ser vi på kraftekvationen: 7.3.3. Lorentz-kraften i kovariant form F = q(e + v B) (7.55) ( ε c, p) bildar en 4-vektor enligt den speciella relativitetsteorin, där dε dt = qv E (7.56) är energiförändringen per tidsenhet hos den laddning som drivs av ett elektriskt fält E. Lorentz-kraften är dp dt = F = q(e + v B). (7.57) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.33 För att dessa ekvationer skall få en uppenbar Lorentz-invariant form måste den koordinatsystemsberoende tidsvariabeln t ersättes med den invarianta tidsvariabeln τ: egentid, tid mätt i vilosystemet. Definition av egentiden för en partikel som rör sig med hastigheten v: Antag koordinatsystemet K rör sig med konstant hastighet v i förhållande till K. Låt q vara en laddning som är stationär i K : x 0 = γ(x 0 + β x ) (7.58) Om laddningen befinner sig i vila i origo i systemet K, x = 0, blir t är den tid som mäts av en klocka som rör sig med partikeln. Under ett tidsintervall dt rör sig partikeln en sträcka dx i K: x 0 = γx 0 t = γt (7.59) I vilokoordinatsystemet K är motsvarande tidsintervall dx = vdt (7.60) dt = γ dt (dx = 0) (7.6) = p β 2 dt, dt < dt (7.62) Invariant avstånd: ds = p c 2 dt 2 dx 2 (7.63) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.34
= cdt (7.64) cdt = invariant tiden i vilokoordinatsystemet är invariant. dτ dt egentid (proper time) Man ser alltså att dτ = γ dt dt > dτ vilket är relativitetsteorins begrepp om tidsdilatation. Vi definierar 4-vektor-hastigheten u α : u = dx dτ = dx dt dt dτ = γv (7.65) u 0 = dx0 dτ = c dt dτ För att skriva om Lorentz-kraften använder vi oss nu av τ: = γc (7.66) dp dt dp dτ = dp dt dt dτ = γq[e + v B] (7.67) = q{ γ {z} u 0 /c E + γv {z} u B} = q{u 0 E c + u B} (7.68) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.35 För 0-komponenten i fyr-rörelsemängden ( ε c, p) gäller Då kan man skriva och därmed För t.ex. x-komponenten gäller: dp 0 dτ = dε cdτ = dε dt c dt dτ = γ c qv E = q c u E = qu (E c ) (7.69) E k c = F k0 = F 0k (7.70) u E c = X u k ( )F 0k = u β F 0β (7.7) dp 0 dτ = qu βf 0β (7.72) dp dτ = q{u 0 E c + (u B) } (7.73) = q{u 0 E c + u2 B 3 u 3 B 2 } (7.74) = q{u 0 E c + u2 F 2 + u 3 F 3 } (7.75) = q{u 0 F 0 u 2 F 2 u 3 F 3 } (7.76) = qu β F β (7.77) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.36
Härav ser man att den allmänna formen blir: dp α dτ = qu βf αβ (7.78) Nu har vi alltså skrivit om hela elektrodynamiken i tensorform, med kompatibel notation med den speciella relativitetsteorin: ekvationerna 7.83, 7.32, 7.4 och 7.78. [Jackson 6.2] 7.3.4. Magnetiska monopoler?? Vid detta skede kan vi notera att för att åstadkomma den kovarianta formen av Maxwell-ekvationerna 2 och 3, gjorde vi operationen j, ρ 0 för att få dessa att vara av liknande form som ekvationerna och 4. Men ser nu att ifall det skulle existera magnetiska monopoler, skulle ekvationerna 2 och 3 ha formen (vi ignorerar nu konstanterna ε 0, µ 0 ): B = ρ m (7.79) E = j m + B (7.80) t där ρ m, j m är den magnetiska monopoltätheten och -strömmen. Nu är dessa ekvationer helt symmetriska med och 4. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.37 Förutom att magnetiska monopoler skulle ge högre matematisk symmetri, har Dirac dessutom visat att om en enda magnetisk monopol skulle existera i universum, skulle det förklara varför elektrisk laddning är kvantiserat! P.g.a. dessa attraktiva egenskaper pågår det ständigt helt seriösa sökningar för magnetiska monopoler. Tyvärr har de tillsvidare inte gett resultat. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 7.38