Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem [Arfken,BETA,Lahtinen] A. 1. Kurvilineära koordinatsystem Antag att i ett Cartesiskt (x, y, z) koordinatsystem med basvektorerna bx, by, bz existerar en 1 - till - 1 avbildning mellan (x, y, z) och koordinaterna (q 1, q 2, q 3 ) i ett kurvilineärt koordinatsystem. Antag vidare att ytorna q i = konstant skär varandra vinkelrätt i punkten P = (x, y, z). Skärningskurvorna mellan dessa plan bildar koordinatlinjerna q i. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.2
De lokala basvektorerna bu i i det kurvilineära koordinatsystemet formar ett lokalt ortonormerat (ON) system om bu i bu j = δ ij. (A-1) Enhetsvektorerna definieras som där kallas skalfaktor. bu i 1 h i r q i, h i = r q, i (A-2) (A-3) Om vi valt enhetsvektorerna så att de bildar ett högerhandssystem, så gäller bu 1 bu 2 = bu 3, (A-4) och samma för cykliska permutationer (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2). Jämför med Levi-Civitias symbol! Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.3 Ortsvektorn för en given punkt är r = xbx + yby + zbz, (A-5) i det Cartesiska systemet, och r = q 1 bu 1 + q 2 bu 2 + q 3 bu 3, (A-6) i det kurvilineära systemet. En differentiell sträcka i det kurvilineära systemet skrivs dr = X i h i dq i bu i. (A-7) Efter multiplikation med bu j : dr j = h j dq j, (A-8) som alltså är en differentiell sträcka längs med koordinataxeln q j. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.4
En differentiell yta i riktningen bu k är da = dabu k = dr i dr j bu k = h i h j dq i dq j bu k, (A-9) där indexen i, j, k kan permuteras cykliskt. Ett differentiellt volymelement är analogt dv = dr 1 dr 2 dr 3 = h 1 h 2 h 3 dq 1 dq 2 dq 3. (A-10) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.5 A. 1.1. Cylindriska koordinater x = ρ cos ψ, (A-11) y = ρ sin ψ, (A-12) där ρ [0, ) och ψ [0, 2π). Basvektorerna (onormaliserade!) är u ρ = r = cos ψbx + sin ψby, ρ (A-13) u ψ = r ψ = ρ sin ψbx + ρ cos ψby. (A-14) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.6
Skalfaktorerna är h ρ = 1 och h ψ = ρ, så enhetsvektorerna blir bu ρ = cos ψbx + sin ψby, (A-15) bu ψ = sin ψbx + cos ψby. (A-16) Observera: bu ρ bu ψ = cos ψ cos ψbz (sin ψ sin ψ( bz)) = bz, d.v.s. systemet är orienterat som (ρ, ψ, z). Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.7 A. 1.2. Sfäriska koordinater x = r cos ϕ sin θ, (A-17) y = r sin ϕ sin θ, (A-18) z = r cos θ, (A-19) där r [0, ), ϕ [0, 2π) och θ [0, π). Basvektorerna är u r = r r = cos ϕ sin θbx + sin ϕ sin θby + cos θbz, (A-20) u ϕ = r = r sin ϕ sin θbx + r cos ϕ sin θby, ϕ (A-21) u θ = r θ = r cos ϕ cos θbx + r sin ϕ cos θby r sin θbz. (A-22) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.8
Skalfaktorerna är h r = 1, h ϕ = r sin θ och h θ = r, så enhetsvektorerna blir bu r = cos ϕ sin θbx + sin ϕ sin θby + cos θbz, (A-23) bu ϕ = sin ϕbx + cos ϕby, (A-24) bu θ = cos ϕ cos θbx + sin ϕ cos θby sin θbz. (A-25) Observera: bu r bu ϕ = cos 2 ϕ sin θbz (sin 2 ϕ sin θ( bz)) sin ϕ cos θby + cos ϕ cos θ( bx) = cos ϕ cos θbx sin ϕ cos θby + sin θbz = bu θ, (A-26) d.v.s. bu ϕ bu r = bu θ och bu r bu θ = bu ϕ efter en cyklisk permutering. Med andra ord, systemet är orienterat som (r, θ, ϕ). Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.9 A. 2. Gradient Gradienten av en skalär funktion f är f X i bu i f x i (A-27) i Cartesiska koordinater. Derivatan i riktningen bv är bv f = f v 1 f cos α, (A-28) där α är vinkeln mellan bv och gradienten. Från detta ser man att riktningsderivatan är störst i gradientens riktning, eftersom då gäller α = 0, och minst (0) i en riktning som är ortogonal mot gradienten. En generalisering av riktningsderivatans definition ger bu i f = f r i 1 h i f q i (A-29) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 2.10
så att i kurvilineära koordinater f = X i bu i 1 h i f q i (A-30) Observera: q j = X i bu i 1 h i q j q i = bu j h j (A-31) så att bu j = h j q j (A-32) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 2.11 A. 3. Divergens Divergensen av en vektor F är div F F lim V 0 H da F V (A-33) Beräkna denna komponentvis: (F 1 bu 1 ) (A-34) Men bu i = bu j bu k, (A-35) då i, j, k är cykliskt permuterade, så (F 1 bu 1 ) = (F 1 h 2 h 3 q 2 q 3 ) = (F 1 h 2 h 3 ) ( q 2 q 3 ) + F 1 h 2 h 3 ( q 2 q 3 ) = (F 1 h 2 h 3 ) ( q 2 q 3 ) + 0 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 3.12
= bu 2 bu 3 h 2 h 3 (F 1 h 2 h 3 ) = = = bu 1 (F 1 h 2 h 3 ) h 2 h 3 bu 1 h 2 h 3» bu1 h 1 (F 1 h 2 h 3 ) q 1 +... 1 h 1 h 2 h 3 (F 1 h 2 h 3 ) q 1 (A-36) Motsvarande för de övriga komponenterna ger div F F 1» (F1 h 2 h 3 ) + (F 2h 3 h 1 ) + (F 3h 1 h 2 ). (A-37) h 1 h 2 h 3 q 1 q 2 q 3 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 3.13 A. 4. Rotor Rotorn av ett vektorfält F definieras som rot F F lim V 0 Man kan visa att komponenten i bn-riktningen är bn ( F) = lim A 0 H H A da F. (A-38) V C dr F A. (A-39) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 4.14
Kurvintegralens första term, för A i riktningen bu 1, ger dr 2 F 2 + dr 3 F 3 dr 2 F 2 dr 3F 3 = h 2 dq 2 F 2 + (h 3 + h 3 s 2 h 2 dq 2 )dq 3 (F 3 + F 3 s 2 h 2 dq 2 ) (h 2 + h 2 s 3 h 3 dq 3 )dq 2 (F 2 + F 2 s 3 h 3 dq 3 ) h 3 dq 3 F 3 h 2 dq 2 F 2 s 3 h 3 dq 3 F 2 h 2 s 3 h 3 dq 3 dq 2 + h 3 dq 3 F 3 s 2 h 2 dq 2 + F 3 h 3 s 2 h 2 dq 2 dq 3 = (h 2 F 2 )dq 2 dq 3 + (h 3 F 3 )dq 2 dq 3 q 3 q 2 (A-40) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 4.15 Division med da = h 2 dq 2 h 3 dq 3 ger 1 h 2 h 3 Motsvarande för de övriga komponenterna ger slutligen» (h 2 F 2 ) + (h 3 F 3 ). (A-41) q 3 q 2 F = 1 h 1 h 2 h 3 h 1 bu 1 h 2 bu 2 h 3 bu 3 q 1 q 2 q 3 h 1 F 1 h 2 F 2 h 3 F 3. (A-42) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 4.16
A. 5. Laplace-operatorn Laplaceoperatorn av skalärfältet f är ( f) div ( f) = div X i! 1 f bu i. (A-43) h i q i Med uttrycket för divergensen fås 2 f = 1» «h2 h 3 f h 1 h 2 h 3 q 1 h 1 q 1 + h3 h 1 q 2 h 2 «f q 2 + h1 h 2 q 3 h 3 f q 3 «. (A-44) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 5.17 A. 6. Sammandrag Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 6.18
A. 6.1. Cylindriska koordinater Skalfaktorerna: h ρ = 1, h ψ = ρ, och h z = 1. f = bρ f ρ + ψ b 1 f ρ ψ + bzf z div F F 1» (Fρ ρ) + (F ψ) ρ ρ ψ = 1» (Fρ ρ) + (F ψ) + F z ρ ρ ψ z + (F zρ) z (A-45) (A-46) F = 1 bρ ρψ b bz ρ ψ z (A-47) ρ F ρ ρf ψ F z 2 f = 1» ρ f «+ «1 f + ρ f «ρ ρ ρ ψ ρ ψ z z = 1 ρ f «+ 1 2 f ρ ρ ρ ρ 2 ψ + 2 f (A-48) 2 z 2 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 6.19 A. 6.2. Sfäriska koordinater Skalfaktorerna: h r = 1, h θ = r, och h ϕ = r sin θ. f = br f r + θ b 1 f r θ + bϕ 1 f r sin θ ϕ " 1 (Fr r 2 sin θ) div F F + (F θr sin θ) r 2 sin θ r θ = 1 (F r r 2 ) + 1» (Fθ sin θ) + F ϕ r 2 r r sin θ θ ϕ + (F # ϕr) ϕ (A-49) (A-50) br rθ 1 b r sin θ bϕ F = r 2 r θ ϕ (A-51) sin θ F r rf θ r sin θf ϕ» 2 1 f = r 2 sin θ f «+ r sin θ 1 «f + «1 f r r 2 sin θ r r θ r θ ϕ r sin θ ϕ = 1 «r 2 f + 1 sin θ f «1 2 f + r 2 r r r 2 sin θ θ θ r 2 sin 2 (A-52) θ ϕ 2 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 6.20