Arbete och energi 4 4 ARBETE OCH ENERGI 4. Inledning Från Newton s ndr lg kn mn härled ndr lgr, vilk lterntivt kn nvänds vid problemlösning. Dett leder till de ny begreppen rbete och energi. I mång fll kn beräkningrn förenkls väsentligt genom tt nvänd dess begrepp, men de innehåller egentligen ingen ny informtion. Känner vi krften på en prtikel kn vi beräkn hstighet och läget. I llmänhet är emtid krften en funktion v läge som i fllet med fjäderkrft och grvittionskrft. Newtons ndr lg kn därför skrivs m dv dt = F (r) Denn ekvtion kn integrers i tre dimensioner och ger konservering v energi. Låt oss först betrkt det endimensionell problemet. 4.2 Integrtion v rörelseekvtionern i en dimension Mång problem kn beskrivs i en dimension t e den endimensionell hrmonisk oscilltorn. Rörelseekvtionen blir i dett fll m d2 dt 2 = F () Nu är m dv dt = F() dv dt = dv d d dt = v dv d mv dv d = F () 2 mdv2 = F()d Integrerr vi denn ekvtion från ett strtläge = (t ),v = v(t ) till ett slutläge b = (t b ),v b =v(t b )för rörelsen får vi vb b v 2 mdv2 = F()d vilket ger 2 mv2 b b 2 mv2 = F()d För en llmän tid t ger dett 2 mv2 t 2 mv2 = F()d = Fvdt t där Fv = Fd/dt är effekten rbete per tidsenhet. 4. Lgen fór kinetisk energin i en dimension Vi inför begreppet kinetisk energi K enligt K = 2 mv2 = p2 2m Integrlen b F()d klls för rbetet W b vilket krften F uträttr på prtikeln under rörelsen från till b. Dett ger K b K = W b Dett resultt klls lgen för kinetisk energin, som lltså säger tt då en prtikel förflytts från ett läge till ett nnt, så är ändringen i kinetisk energi lik med det rbete som totlt hr uträttts v smtlig krfter på prtikeln. Enheten för rbete och energi är Joule där J = kgm 2 /s 2 E 4.2 Enkel hrmonisk oscilltor. Beräkn rörelsen för en mss M vilken är fäst i en fjäder med fjäderkrft F = k. E. 4. En mss m skjuts upp vertiklt från jordytn med begynnelsehstighet v 0. Berákn miml höjden och det minst värdet på v 0 för tt mssn skll lämn jordens drgningskrft. Uppg. På ett gltt lutnde pln, med lutningsvinkel α, glider en kloss med mssn m. En nnn kloss med mssn m 2 hänger i ett snöre som förenr båd mssorn, och som löper över ett gltt stift. Den först klossen är dessutom fäst i en fjäder med fjäderkonstnten k. Med mssorn i vil
Arbete och energi 4 2 och fjädern ospänd släpps systemet. Beräkn frten för dem när de hr glidit sträckn. Uppg. 2 En kopplingsmuff med mssn m kn glid på en horisontell el under inverkn v dels en fjäder och dels en vjer vilken löper över en triss T. Från ett läge där fjädern är vspänd och vstånd och vinklr enligt figuren sätts muffen i rörelse med en konstnt krft F i vjern. Beräkn muffens frt när vinkeln α ökt till 45. All friktion försumms. H HH Hd α=0 T F? 4.4 Rörelse i fler dimensioner I fler dimensioner hr vi rörelseekvtionen m dv dt = F (r) Det rbete som krften F (r) uträttr på prtikeln under sträckn r blir dw = F (r) r från rörelseekvtionen får vi smbndet Nu är och m dv dt dv dt r = F (r) r r = dv dt v t d dt v2 = d (v v) =2v dv dt dt 2 m d dt v2 t = F (r) r vilket i gränsen t 0knskrivs 2 mdv2 =F(r) dr Integrerr vi denn reltion som tidigre får vi smbndet 2 mv2 b 2 mv2 = r F (r) dr 4.5 Lgen för kinetisk energin Vi inför som ovn den kinetisk energin K = 2 mv2 = 2 m(v v) = 2 m(v2 +v 2 y+v 2 z) Arbetet v krften F när prtikeln rör sig från till b blir W b = r F dr och vi hr lltså llmänt lgen för kinetisk energin K b K = W b För ett system v fler prtiklr får vi på smm sätt för msscentrums R rörelse M dv dt = F yttre där V = Ṙ, 2 MV b 2 Rb 2 MV 2 = F yttre dr R E. 4.5 Beräkn flykthstigheten för en prtikel vilken skjuts upp från jordytn med en vinkel α mot vertiklen. 4. Tillämpningr på lgen för kinetisk energin. Vi såg tt vi hr smbndet K b K = W b där W b vr rbetet vilket krften uträttr under rörelsen från till b. Teoremetär en konsekvens v Newtons ndr lg, och inget nytt hr införts. Reltionen säger br tt ändringen i kinetisk energi är lik med rbetet från krften.
Arbete och energi 4 För tt tillämp teoremet måste vi beräkn linjeintegrlen W b = F dr och för tt beräkn denn måste vi vet vilken bn prtikeln följer under rörelsen. I det mest llmänn fllet beror denn integrl på denväg prtikeln följer, och i dett fll är teoremet inte särskilt nvändbrt. Det finns emtid två specilfll v stort prktiskt intresse.. För mång krfter beror rbetsintegrlen ej på denväg prtikeln följer utn endst på dess slutpunkter. Dess krften vilk inkluderr någr v de viktigste inom fysiken klls konservtiv krfter. 2. Integrlen kn också beräkns i de fll när vägen är känd eftersom rörelsen är bestämd v tvång. I dett fll begränsr yttre tvång prtikeln till en känd bn. Eempel är t e en berg och dlbn. Ett nnt eempel är en pendel. Dess eempel hr det gemensmt tt tvångskrftern inte uträttr något rbete. Dess ändrr endst riktning på hstigheten v. Att dett gäller generellt för tvångskrfter inses enkelt. Vrje tvångskrft smmnhänger ju med ett tvång, en inskränkning i kroppens möjlighet tt rör sig i en viss riktning. Eftersom denn riktning överensstämmer med tvångskrften, måste vrje förflyttning v prtikeln ske vinkelrätt mot tvångskrftens verkningslinje. Arbetet ár därför noll. För ickekonservtiv krfter blir rbetet olik för olik vägr melln begynnelse och slutpunkter. Ett eempel är rbetet utfört v friktionskrfter. I dett fll är krften lltid motriktd rörelsen och rbetet uträttt v en konstnt friktionskrft f blir W b = fds = fs där S är längden v sträckn melln och b. Arbetet är negtivt eftersom krften bromsr prtikeln. För tt beräkn rbetet längs en känd kurv, kn vi uttryck denn i prmeterform: r = (s)î + y(s)ĵ + z(s)ˆk och dr = ( d ds î + d ds ĵ + d ) ds ˆk ( d F ds + F y 4.7 Potentiell energi dy ds + F dz z ds ) ds För en konservtiv krft beror rbetsintegrlen endst på strt och slutpunkter men inte på vägenemellndem, F dr= U(r b )+U(r ) r där U(r) är en funktion vilken klls för den potentiell energin. Dett ger K b K = W b = U b + U K + U = K b + U b = E där E är en konstnt och klls för den totl meknisk energin för prtikeln. Om krften är konservtiv så beror den totl energin inte påprtikelnsläge. Energin är konstnt konseverd. Konservering v energin är en llmän lg oberoende v Newtons lgr med stor betydelse för tt förstå nturens lgr. Konservering v meknisk energi är ett specilfll v det llmänn fllet. Vi ser tt den potentiell energin är bestämd så när som på en konstnt U b U = F dr Det betyder tt den totl energin E = K +U också är obestämd på en konstnt.
Arbete och energi 4 4 4.7. Någr eempel på potentiell energi Med en konstnt krft F = F 0 ˆn riktd längs ˆn får vi rbetet W b = F 0 ˆn (r b r )=F (r b r ) med t e tyngdkrften F = mgˆk ger dett potentiell energin U b U = mg(z b z ) En v de viktigste krftern i fysiken är den linjär fjäderkrften. I tre dimensioner hr vi F = k(r r 0 )= k(r r 0 )ˆr Eftersom fjäderkrften är en centrlkrft är den konservtiv. Potentiell enerin blir U(r) U() = r ( k)(r r 0 )dr = = 2 k(r r 0) 2 + C Med konventionen tt U =0vidjordytndär z =0hrvi Konventionellt väljer vi U U(r 0 )=0 = 0 i jämvikt U(r)=mgz där z är höjden över jordytn, U beror endst v z i dett fll. Vi möter oft centrlkrfter F (r) =f(r)ˆr där f(r) är en funktion v vståndet till origo krftens centrum. Eempel på centrlkrfter är Coulombkrften, grvittionskrften och fjäderkrften. Potentiell energin för en centrlkrft blir U b U = r r f(r)dr För f(r) =A/r 2 får vi A U b U = r r 2 dr = A A r b r llmänt U(r) = A r +C där C är en godtycklig konstnt. Oft väljer vi U( ) =0dcsC=0,och U(r)= A r För grvittionskrften hr vi t e A = GMm. U(r)= 2 k(r r 0) 2 E. 4. En mss m rör sig friktionsfritt på envertiklcirkelmedrdier. Mssn rör sig under inverkn v tyngdkrft och fjäderkrft kr där r är vståndet till cirkelns lägst punkt, och fjäderns nturlig längd r 0 0. Mssn strtr från vil på toppenv cirkeln. Hur fort rör den sig i cirklens botten. 4.8 Att beräkn krft från den potentiell energin När vi hr en konservtiv krft är det enkelt tt beräkn potentiell energin från ekvtionen U b U = F dr där integrlen beräkns över en godtycklig bn från r till r b. I mång fll är det enklre tt krkteriser en krft genom tt ge dess potentiell energi. I sådn fll vill vi bestämm krften ur den potentiell energin. Låt oss börj med ett endimensionellt fll med en krft F() och U b U = b F()d Betrkt nu ett litet intervll (, + ) med =, b = + får vi U( + ) U()= U= + F ()d
Arbete och energi 4 5 För tillräckligt litet kn F() betrkts som konstnt över integrtionsintervllet och U = F()( + )= F() dvi i gränsen 0 F() = du d Krften är lltsånegtiv derivtn v potentiell energin. Dett resultt kn enkelt generlisers till tre dimensioner. Vi hr U b U = r F dr med en liten ändring r r+ r U(r + r) U(r)= F (r ) dr r F (r) r = (F + F y y + F z z) Nu är U = U(r + r) U(r)= = U(+, y + y, z + z) U(, y, z) = U U U + y + y z z Dett ger U U U + y + y z z = = (F + F y y + F z z) Eftersom, y och z är oberoende vribler måste koefficientern frmför dess vr lik, F = U F y = U y F z = U z Vi kn skriv dess ekvtioner i vektorform om vi inför vektoropertorn = î + ĵ y + ˆk z med U = î U + ĵ U y + ˆk U z kn vi skriv ekvtionern ovn som F = F î + F y ĵ + F zˆk = U E. 5. Grvittionskrft. En prtikel med mssn M sitter i origo. Potentiell energin på en mss m påvståndet r är U(r) = GMm r Beräkn krften. E. 5.4 Beräkn krften från potentilen U(, y, z)=mgz I llmänhet är potentiell energin enklre tt hnter än krften. Behöver vi krften kn vi erhåll den från ekvtionen F = U. Det är endst konservtiv krfter vilk kn uttrycks vi en potentiell energi. Ickekonservtiv krfter kn inte uttrycks på dett sätt. 4.9 När är en krft konservtiv Vi vill h ett generellt test för tt bestämm om en krft är konservtiv inte. C 2 + t t b C Vi vet tt om F är konservtiv är rbetet vilket F uträttr från till b längs en kurv C och tillbk längs en nnn kurv C 2 noll, F dr + C C 2 = U b + U +( U +U b )=0
Arbete och energi 4 C 0 där C är en sluten kurv. Dett är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för tt F skll vr konservtiv. 2 + Nu kn vi del upp kurvn C itvåslutn delkurvor så tt F dr= F dr+ F dr 2 och i llmänhet F dr i i Genom tt del upp området innnför den slutn kurvn kn vi få problemet loklt. + Låt oss betrkt en liten kurv i yplnet. Dåär F dr = F dr+ F dr+ F dr+ F dr 2 4 y 4? 2 Här är +,y,y F (, y)d F (, y) På smm sätt får vi,y+ y F (, y)d +,y+ y F (, y + y) + (F (, y) F (, y + y)) = = F y y På smm sätt blir + = F y y och 2 4 ( Fy F ) y y På motsvrnde sätt får vi för små kurvori yz ochzplnen yz pln z pln ( Fz y F y z ( F z F z ) y z ) z Nu kn vrje linjeintegrl runt en sluten kurv lltid dels upp i tre linjeintegrler i respektive koordintpln. Linjeintegrlen kring en liten kurv blir lltså nollom F y F y F z y F y z F z F z = 0 = 0 = 0 Om dess villkor är uppfylld måste 0
Arbete och energi 4 7 runt vrje sluten kurv, krften är konservtiv. Vi noterr tt dett villkor även kn skrivs F =0 där F klls rottionen v F. E. 5.7 Vis tt rottionen v grvittionskrften F = GMm r 2 ˆr är noll. 4.0 Stbilitet Resulttet F = du d är nvändbrt när mn vill betrkt stbiliteten för ett system från potentiell energin. För en hrmonisk oscilltor t e hr vi U() = k 2 2 positiv förskjutning ger en positiv krft och en negtiv förskjutning en negtiv krft. Dess krfter tenderr tt gör vvikelsen större. F U() t t Betrkt en pendel med längden l. Låt potentilen U vr noll vid lägst punkten. Då är U(θ) =mgz = mgl( cos θ) Pendeln är i jämvikt vid θ = 0,π,2π,...Vid θ=πär jämvikten instbil. U(θ) F U() b t F F t π 2π θ Vid punkten är du/d > 0 och krften är negtiv. Vid punkt b är du/d <0och krften är positiv. Krften är lltså i dett fll riktd mot origo oberoende v hur prtikeln är förskjuten och krften blir noll endst om prtikeln är i origo. Minimt i potentiell energin smmnfller med jämviktspunkten för systemet. Dett är ett stbilt jämviktsläge eftersom vrje förskjutning leder till en krft vilken strävr efter tt återför prtikeln till dess jämviktsläge. När du/d = 0 är ett system i jämvikt. Om dett inträffr när U hr ett mimum är dett jämviktsläge inte stbilt eftersom en Vi kn tl om ett potentillndskp. Dlrn minim är stbil jämviktspunkter och höjdern är instbil. Minim och mim särskiljs v tecknet på d 2 U/d 2. d 2 U d > 0 2 U d < 0 2 U =0 d 2 d 2 d 2 4. Energidigrm För ett endimensionellt system kn vi oft få frm de mest intressnt egenskpern för rörelsen vi ett energidigrm där totl energin och potentiell energin plotts som funk
Arbete och energi 4 8 tion v läget. Den kinetisk energin v K = E U kn då fås frm genom inspektion. Eftersom K 0 så är rörelsen begränsd till området U E. U() E r min i För viss potentiler kn mn ntingen h en bunden obunden rörelse beroende på totl energin. U(r) r 2 E är konstnt för ett konservtivt system. Vid och 2 är K = 0, och dess punkter klls vändpunkter. Vid vändpunktern är hstigheten v =0. K=E U är störst i origo. Hrmonisk oscilltorn är ett eempel påenbunden rörelse. Ett nnt uppförnde ges v U(r) r min F = A r 2 ˆr; E U(r) =A r Det finns i dett fll ett minst vstånd, men det finns ingen begränsning för stor r ty U 0 då r. Om prtikeln rör sig mot origo så kommer den grdvis tt förlor kinetisk energi tills v = 0 vid r min. r r r 2 E<0 E>0 4.2 Små oscilltioner i ett bundet system Väelverknspotentilen i det senste eemplet illustrerr en viktig egenskp hos ll bundn system: i jämvikt hr den potentiell energin ett minimum Ett resultt v dett är tt nästn vrje bundet system oscillerr som en hrmonisk oscilltor om den störs lite från sitt jämviktsläge. När sitt minimum hr U en form vilken är när en prbel i likhet med en hrmonsik oscilltor. Om energin är tillräckligt liten så tt rörelsen är begränsd till området kring U min kommer systemet tt bete sig som en enkel hrmosnisk oscilltor. r
Arbete och energi 4 9 Vi kn utveckl U(r) i en Tylorserie kring sitt minimivärde vid r 0 ( ) du U(r) = U(r 0 )+ (r r 0 )+ dr r 0 + ( d 2 ) U 2 dr 2 (r r 0 ) 2 + r 0 Nu är U (r 0 )=0,ochför små svängningr r r 0 /r 0 knviförsumm tredje och högre ordningens termer, U(r) = U(r 0 )+ 2 = U(r 0 )+ k 2 (r r 0) 2 där krftkonstnten ges v k = ( ) d 2 U dr 2 (r r 0 ) 2 r 0 ( d 2 ) U dr 2 r 0 Potentilen U hr lltså formenför en hrmonisk oscilltor. E. 4.5 Antg tt två tomer med mssor m och m 2 är bundn i en molekyl med en energi sålåg tt vståndet är när jämviktsläget r 0. Den effektiv krftkonstnten ges v uttrycket ovn. Beräkn vibrtionsfrekvensen för molekylen. Eftersom ll bundn system hr ett minimum i potentiell energin, kn vi nt tt ll bundn system uppför sig som hrmonisk oscilltorn för små förskjutningr. Approimtionen med en hrmonisk oscilltor hr lltså ett brett register v tillämpningr, även för inre rörelsen i t e tomkärnn. När vi väl hr identifiert de kinetisk och potentiell bidrgen till energin för ett bundet system kn vi finn frekvensen för små svängningr genom inspektion. Betrkt t e en enkel pendel där vi hr kinetisk och potentiell energi K = 2 m(l θ) 2 U = mgl( cos θ) Den totl energin kn då skrivs E=K+U= 2 m(l θ) 2 +mgl( cos θ) Eftersom systemet är konservtivt är E konstnt, de dt = ml θ θ + mgl sinθ θ =0 θ + g sin θ =0 l för små svängningr hr vi sin θ θ, θ + g l θ =0 I det llmänn fllet kn vi h en energi på formen K = 2 B q2 U = U(q) =U(0) + 2 U (0)q 2 + med E = K + U får vi de dt = B q q + U q B q + U q =0 q =0 För små svängningr kn vi skriv U q = U (0)q = Aq q + A B q =0 vilket ger en hrmonisk svängningsrörelse med frekvens A ω = B
Arbete och energi 4 0 4. Icke konservtiv krfter Imång fll måste mn t hänsyn till ickekonservtiv krfter, såsom t e friktion. Om både konservtiv och icke konservtiv krfter verkr på ett system kn mn skriv totl krften som F = F c + F nc där F c och F nc är de konservtiv och ickekonservtiv krftern respektive. Eftersom lgen för kinetisk energin gäller llmänt så är W b = + F c dr + F nc dr = U b + U + W nc b där U är potentiell energin för den konservtiv krften. Nu gäller icke konservtiv krfter uppkomm? Svret ligger i tt energin i llmänhet är konserverd men kn övergå till ndr former. Friktion teövergår i värme vilket är en energiform. Den meknisk energin och värmet är tillsmmns konserverd. Värmeenergi finns i tomerns stokstisk rörelse. Dess tr i medeltl ut vrdr. När ett block rör sig med hstighet v hr vrje tom i medeltl hstigheten v. Meknisk energi kn omvndls till värme men värmeenergin övergår inte spontnt till meknisk energi. Förutom meknisk energi och värme finns ndr energiformer som ljus, kärnenergi etc. Energibegreppet är lltså mer llmänt än mekniks energi. Den totl energin för ett isolert system är lltid konserverd. Dett uttrycker tt tiden är homogen. K b K = W b = U b + U + W nc b K b + U b (K + U )=W nc b Med den totl meknisk energin E = K +U får vi E b E = W nc b Vi ser tt om W nc b = 0 om ickekonservtiv krfter inte uträttr något rbete så är E b = E E. 4.7 En kloss med mss M glider nedför ett lutnde pln med lutningsvinkel θ. Vd blir frten när klossen glidit höjden h. Klossen strtr i vil och friktionskoefficienten är µ. 4.4 Energikonservering i llmänn fllet Vi såg tidigre tt det fnns fyr typer v väelverkn i nturen. Av dess är grvittionen och krftern från elektrisk och mgnetisk väelverkn konservtiv. Hur kn då