Insiuionen för maemaik KTH För Kursen 5B09/5B5: Lien formelsamling Speciella funkioner Språngfunkionen (Heavisides funkion) u() =, om > 0, 0, om < 0. Signumfunkionen sign =, om > 0,, om < 0. Rekangelfunkionen rec =, om < /, 0, om > /. Falning x() * y( ) = x( τ) y(τ) dτ x() * δ( a) = x( a) Allmännare x() * δ (n) ( a) = x (n) ( a) 05098
Fourierinegraler: Fourierserier och fourierinegraler x() = X(ω) e jω dω, X(ω) = x() e jω d, x() d = X(ω) dω (Synesekvaion) (Analysekvaion) (Parsevals relaion) L-periodiska fourierserier: Komplex varian: x() = cn e jn/l. n = (Synesekvaion) c n = L x() e jn/l d, <L> <L> sår för vilke som hels inervall av längd L. (Analysekvaion) Reell varian för reella x(): L <L> x() d = cn. n = (Parsevals relaion) x() = a 0 + ( an cos (n/l) + b n sin (n/l) ). n = a n = L x() cos (n/l) d, b n = L x() sin (n/l) d. <L> Samband mellan de komplexa och de reella koefficienerna (n 0, b 0 = 0): <L> a n = Re c n, b n = Im c n, c n = a n jb n, c n = a n + jb n. L x() d = a 0 4 <L> + ( an + b n ) n = (Parsevals relaion)
Fourierransformer Allmänna egenskaper: Funkion Transform Om x() Z(ω) så Z() x( ω) x() X ( ω ) e jω 0 x() X (ω ω 0 ) x( 0 ) e jω 0 X (ω) x(a), a 0 a X ω a x( ) X( ω) (x * y)( ) X(ω) Y(ω ) x( ) y() (X * Y)(ω ) d d x( ) jω X(ω) x() d n d x( ) n x() Sampling av x() med sampelavsånd T L-periodisk forsäning av x() j j n d dω X( ω ) (jω) n X(ω) d n dω n X( ω ) /T-periodisk forsäning av /T X(ω) Sampling av /L X(ω) med sampelavsånd /L
Speciella ransformer Funkion Transform δ() δ(ω) δ( 0 ) e jω 0 e jω 0 δ(ω ω 0 ) δ( 0 ) + δ( + 0 ) e jω 0 + e jω 0 = cos(ω 0 ) cos (ω 0 ) (δ(ω ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )) δ( 0 ) δ( + 0 ) e jω 0 e jω 0 = i sin(ω 0 ) sin (ω 0 ) j(δ(ω ω 0 ) δ(ω + ω 0 )) δ( nt) /T δ(ω n/t) n = n = u() jω + δ(ω ) sign( ) jω rec (/P) sinc (/()) sinc( ) P sinc (Pω/()) rec (ω) rec (ω /()) u() jω + δ(ω ) sign( ) jω
Funkioner med raionella ransformer Konsanen a förusäs vara > 0 Funkion Transform δ (n) () (jω) n e a u() a + jω e ja sign j a + ω n e a (n )! u() (a + iω) n j n n e ja (n )! e a u( ) sign (a + ω) n a jω e ja sign i a ω ( ) n e a (n )! u( ) (a jω) n n e ja j n (n )! sign (a ω) n sign iω n (n )! sign (jω) n e a a e a sign sin a sign cos a sign a + ω jω a + ω a a ω jω a ω
Exempel: a. Lå x() =, då <, 0, då >. Beräkna dess fourierransform. Lösningskisser: En räfram möjlighe är 0 X(ω) = x() e jω d = ( + ) e jω d + 0 ( ) e jω d, där inegralerna sedan löses med hjälp av pariell inegraion. En annan a man observerar (ria fig och konrollera!) a x () = δ( + ) δ() + δ( ), sam a x() e jω d = x () e jω ( jω) d, (parialinegrera vå gånger och noera a de uinegrerade ermerna = 0, efersom x() e jω 0, då ±.) Man får sedan direk a x() e jω d = Dea om ω 0. För ω = 0; X(0) = ( jω) e jω = e jω + =0 e jω = = ω {ej + e j } = ω ( cos ω). ( ) d =, b. Besäm den komplexa och den reella fourierserieuvecklingen av den 3-periodiska forsäningen av funkionen x() ovan. Lösningsskiss: Analysekvaionen för fourierserier ger de komplexa koefficienerna 3/ c n = 3 x() e jn/3 d = 3 x() e jn/3 d = 3 X(n/3) = 3/ 3 = Enlig ovan = n ( cos (n/3)), n 0, c 0 = 3. Också den reella uvecklingens koefficiener kan avläsas här: 3 a n = Re c n = n ( cos (n/3)), n >, a 0 = 3, b n = Im c n = 0.
Exra övningar om fourierserier och -inegraler. Lå x() = sin + 3 cos 4 a. Verifiera a funkionen är -periodisk och uveckla den i reell respekive komplex -periodisk fourierserie. b. Verifiera a funkionen också är -periodisk och uveckla den i reell respekive komplex -periodisk fourierserie.. Lå x() = δ( 3) + (sin ) δ( /6). a. Besäm fourierransformen ill x(). b. Lå y() vara den 4-periodiska forsäningen av funkionen x(). Besäm y:s komplexa fourierseriekoefficiener. 3. Den 3-periodiska generaliserade funkionen x() har de komplexa fourierseriekoefficienerna c n = ( ) n. Besäm x(). 4. a. Besäm c n så a b. Besäm a n och b n så a cn e jn = e i inervalle < <. n = a 0 + (an cos n + b n sin n) = e i inervalle < < n = 5. a. Beräkna fourierransformen ill x() =, då <, 0, då <. b. Besäm de komplexa och de reella fourierseriekoefficienerna ill y(), den -periodiska forsäningen av x(). c. Besäm de komplexa och de reella fourierseriekoefficienerna ill z(), den -periodiska forsäningen av x(). d. Skissera graferna för y() och för z().
6. Lå x(), y(), z() och v() vara -periodiska funkioner. Deras grafer framgår av följande figurer: x() y() = 3 = = z() δ( + ) v() δ( ) a. Vilka samband finns mellan x (), y() och v(), mellan y () och z() och mellan z () och v()? b. Vilka samband finns mellan de komplexa fourierseriekoefficienerna a n, b n, c n och d n, n 0, för respekive funkioner? c. Använd resulae i b. för a skriva upp FS-koefficienerna ill x(). 7. Lå x() = rec cos a (Ria!) a. Verifiera a x () + a x() = (a sin a) ( δ( ) + δ( + ) ). b. Besäm koefficienerna i den komplexa fourierserieuvecklingen av den -periodiska forsäningen av x() för de fall då a ine är någo helal. c. Vilka är koefficienerna då a är e helal? 8. Beräkna fourierransformerna ill följande signaler: a. rec ( ), b. e cos, c. rec, d. sin rec, e. sinc, f. cos sinc, g. sinc * sinc.
9, Ur abell har vi a fourierranssformen av e a är /a e ω /(4a) (a > 0). Bersäm fourierransformerna ill: a. e, b. e e, c. e * e.
Svar: a. a 4 = 3, b =, övriga a- och b-koefficiener = 0, c = j, c = j,c 4 = c 4 = 3, övriga c n = 0. b. a = 3, b =, övriga a- och b-koefficiener = 0, c = j, c = j, c = c = 3, övriga c n = 0. (Ledning: Använd Eulers formler och synesekvaionen.) a. X(ω) = 3 e 3jω + e jω/6. (Ledning: Förenkla förs funkionen.) b. c n = 3 4 ( j)n + 8 ejn/. ( Obs a c n = 4 ( ) ) X n. 3. x() = 3 n = ( ) n δ( 3n/) (Ledning: Synesekvaionen ger x() = e j(n + )/3 = e j/3 e jn (/3), använd sedan idenieen n = 5a. c n = ( ) n e e ( jn) n = e jn/l = L n = 4 n = δ( nl) och a y() δ( a) = y(a) δ( a).) 4b. a n = ( ) n e e +n, b n = ( ) n+ e e n +n 5a. 4 ω 3 (sin ω ω cos ω), då ω 0, = 4 3, då ω = 0. 5b. c n = n 3 sin n n cos n, (n 0). c 0 = 3 ; 4 a n = n 3 sin n 4 n cos n, (n ). a 0 = 4 3 ; b n = 0. 5c. c n = n ( )n+, (n 0). c 0 = 3 ; 4 a n = n ( )n+, (n ). a 0 = 4 3 ; b n = 0. 5d. -periodisk forsäning 5 3 3 -periodisk forsäning 5
6a. x () = 3 y() 3 v(), y () = z(), z () = v(). 6b. För n 0: jn a n = 3b n 3 d n, jn b n = c n, jn c n = d n. 6c. d n = ( ) n a n = j ( )n n 3 ( n 6) för n 0. x() udda funkion a 0 = 0. 7b. c n = ( ) n a sin a (a n ) 7c. Om a = N: c N = c N =, övriga c n = 0. (Obs a den -periodiska forsäningen = cos N) 8a. / sinc (ω/(4)) e jω/ 8b. /(+(ω ) ) + /(+(ω + ) ) 8c. j[ω cos (ω/) sin ω/)]/ω 8d. j/ [ sinc ((ω + )/()) sinc ((ω )/())] 8e. j [ δ(ω + ) δ(ω )] 8f. / [rec ((ω + )/()) + rec ((ω )/())] 8g, rec ω/() 9a. jω e ω /4 9b. / e ω /8 9c. e ω /