ntitutionen ör data- och elektroteknik 1999-11-01 igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling nledning bland kan det bli aktuellt att byta amlingrekven ho en amlad ignal, t ex ör ananing då vi går mellan ytem med olika amlingrekvener. et kan då röra ig om höjning av amlingrekvenen med en heltalaktor (, interolering, uamling), minkning av amlingrekvenen med en heltalaktor (, decimering, neramling) eller örändring av amlingrekvenen med en aktor om är ett rationellt tal (en kvot mellan två heltal, /). et inn ockå metoder ör att hantera aktorer om inte är rationella tal men dea metoder blir rätt komlicerade och vi kall inte gå in å dem. engelkråkig litteratur kalla ytem om använder ig av lera olika amlingrekvener ör multirate ytem. Vi kall i amband med interolering deutom e att vi via höjning av amlingrekvenen kan minka antalet bitar er amel utan att örämra ignal/bruörhållandet, alternativt öka detamma, amt å enklare analoga ilter (antivikningilter öre A/-omvandling och utjämningilter eter /A-omvandling). Vi talar i de ammanhangen inte om interolering utan om överamling. Minkning av amlingrekvenen med en heltalaktor (decimering) å vi kall minka amlingrekvenen med en heltalaktor (decimering) å tar vi helt enkelt med vart :e amel i inekvenen och utelämnar alltå -1 amel däremellan. Förutättningen ör att detta kall vara tillåtet är att vi ortarande uyller amlingvillkoret, dv vi måte e till att den ignal om kall decimera inte innehåller rekvener högre än CHALMERS LNHOLMEN Sida 1 ntitutionen ör data- och elektroteknik Sven Knuton Box 8873 40 7 Göteborg Beökdre: Hörelgången 4 Teleon: 31-77 57 7 Fax: 31-77 57 31 E-mail: venk@chl.chalmer.e Web: www.chl.chalmer.e/ venk
= där är vår urrungliga amlingrekven medan är den nya, decimerade, amlingrekvenen. För att uylla ovantående å måte vi lägga in ett digitalt lågailter med gränrekvenen mindre än = öre decimeringen. Betämning av ilterkrav Vilka krav kall vi nu tälla å lågailtret? Rent allmänt kan man äga att ju törre decimeringaktor vi har deto lägre övre gränrekven (malare bandbredd) måte iltret ha och då ökar kravet å iltret gradtal. de leta all eterträvar vi god agång och öröker därör om möjligt att använda FRilter. FR-ilter behöver avevärt högre gradtal än R-ilter ör att ge amma dämning i ärrbandet. etta gör att det kan vara omöjligt att använda FR-ilter om det kulle kräva å högt gradtal att vi inte hinner med ilterberäkningen mellan varje nytt amel. Krav ho equirileilter et nödvändiga gradtalet, N kan ör ett FR-ilter av equirielty ukatta ur N ( δ, δ ) ( δ, δ ) 1 där ( ) 10 ( ) [ 10 ( )] 10 δ, δ = log δ a1 log δ a log ( δ ) 10 10 a4 [ log( δ )] a5 log( δ ) a6 { a3 } 10 10 ( δ, δ ) = a a [ log( δ ) log( δ )] 7 8 a a a 1 4 7 = 5,309 10 =,6610 = 11,0117 3 3 a a a 8 5 = 7,114 10 = 0,5941 = 0,5144 a a 6 3 = 0,4761 = 0,478 är bredden å övergångbandet mellan a- och ärrband, normalierad till δ är rilet i abandet i db δ är rilet i ärrbandet i db ecimering i lera teg de leta all kan vi minka kraven å iltren, dv minka gradtalen å iltren om avgör beräkninghatighet och antalet nödvändiga minneoitioner, genom att göra decime- igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida
ringen i lera teg. Att detta ger en vint beror å att vi nu kan tälla lägre krav å de ingående iltren, och umman av dea krav blir lägre än kraven ör ett enda ilter, oraken till detta kommer vi trax till. 1 1 et inn inget lätt ätt att betämma hur många teg man kall dela u decimeringen i. Två mått å en udelning eektivitet är MPS, antalet multilikationer er ekund och TSR, antalet nödvändiga minneelement enligt M MPS = N TSR = k = 1 M N k k = 1 k k där M är antalet teg om decimeringen har delat u i, och k är amlingrekvenen ho decimeringteg k. Vid beräkning av k N k är gradtalet ho decimator k N kan vi använda ovantående beräkningmetod ör att ukatta gradtalet men då måte vi komma ihåg att ör att det totala rilet i abandet inte kall bli törre än δ å kan inte varje teg ha ett törre abandriel än δ, vilket ökar kravet å de enkilda tegen. Varje teg M kan dock ha ärrbandilet δ. För att betämma antalet teg å år man beräkna ovantående två ummor ör alla möjliga rodukter av deldecimeringar k om tillamman kan bygga u den totala decimeringaktorn, i de leta all är antalet kombinationer inte å tort då vi måte hålla o till heltal om aktorerna. Beräkningarbetet blir ändå rätt omattande (e beräkningen av N ovan) och vi bör överlämna det till en dator. Normalt blir udelningen eektivat om man väljer > > >! > 1 3 M å M = kan vi använda ekvationerna 1 = = 1 Vi tar ett exemel ör att e vad ovantående krav leder till. igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 3
Exemel: Vi vill änka amlingrekvenen rån 96 khz till 1 khz. en högta intreanta rekvenen är 450 Hz och vi kan tillåta 0,01 riel i abandet och 0,001 riel i ärrbandet. Om vi tillämar ovantående beräkningemetod ör örequirileilter åårvi vid vid udelning i ett till yra teg (det inn andra möjliga kombinationer) N 1 N N 3 N 4 1 3 4 MPS TSR 1 4881 - - - 96 - - - 468 576 000 4 881 131 167 - - 3 3 - - 13 077 000 98 3 5 34 117-8 6-3 04 000 176 4 11 13 17 10 4 4 3 1 70 000 161 Vi er att den törta vinten kommer då vi går rån ett till två teg. MPS och TSR verkar edan lana ut, detta är dock ingen allmän lärdom utan lämligt antal teg kan variera rån all till all. Ota år vi inte ett minima ör MPS och TSR vid amma delningaktorer utan vi år välja om vi vill rioritera beräkninghatighet eller minnebehov. Hur kommer det ig nu att vi kan minka kraven å iltren om vi delar u decimeringen i lera teg. Låt o örklara detta utgående rån ovantående exemel och allet med tre teg. Här decimerar vi ört med åtta edan med ex och till lut med två. Vi har alltå amlingrekvenerna 96 khz, = 1 khz, = khz och = 1 khz. 96 1 8 6 et örta teget änker alltå amlingrekvenen rån 96 khz till 1 khz. När vi anger krav å iltret å är det naturligt att tänka att abandet kall läa igenom intreant rekvenområde, dv u till 450 Hz medan vi måte däma alla rekvener över vår nya, dv 6 khz. Redan detta är ett ganka lackt ilter om ger N 1 = 51 men tänker vi eter lite å kan vi ine att eglingrekvener kommer bara att töra lutreultatet bara om de hamnar inom det område om innehåller intreanta ignaler, dv området rån 0 Hz till ärrbandrekvenen 500 Hz. Vi kan alltå använda ärrbandrekvenen 1000-500 = 11.500 Hz Vilket änker gradtalet N 1 = 5. 6 khz ärr = / igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 4
11,5 khz ärr 450 Hz 6 khz / För decimator två år vi ärrbandrekvenen 000-500 = 1500 Hz om ger N = 34. 1,5 khz ärr 450 Hz 1 khz khz / ecimator tre har ärrbandrekvenen 500 Hz om ger N 3 = 117. det allet måte vi naturligtvi använda de urrungliga kraven å a-och ärrbandrekvener, dv 450 Hz reektive 500 Hz. 500 Hz 450 Hz 1 khz ärr = / Generellt kan vi vid beräkningarna använda ärrbandrekvenen bk = k b där bk är ärrbandrekvenen ör decimator k, k är decimator k: amlingrekven och b är den totala ärrbandrekvenen. igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 5
mlimentering av decimator Om vi imlimenterar en decimator med itt lågailter direkt å år vi nedantående igur Fört ett lågailter, ör att iltrera bort ignaler över, och edan en decimator. x[n] x[n] h 0 h 1 h h 3 h 0 h 1 y[n] y[n] Även här kan vi nå ett bättre, eektivare reultat genom att tänka eter lite grann. ecimatorn gör att vi bara använder vart :e amel och länger bort amlen däremellan. et betyder att bara vart :e reultat rån lågailtret kommer att använda och ovantående imlimentering leder till att vi gör en maa beräkningarbete i onödan, reultaten kommer ju ändå att länga bort. Om vi i tället decimerar ört och iltrerar edan, utan att ör den kull lacera iltret eter decimatorn, vilket vore ett mitag (varör?), å kommer vi till vidtående igur där vi bara gör de nödvändiga beräkningarna. raktiken ker alltå beräkningen vid den lägre amlingrekvenen. h h 3 igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 6
Ökning av amlingrekvenen med en heltalaktor (interolering) För att öka amlingrekvenen med en heltalaktor utan att åverka jälva ignalen (interolering) å måte vi börja med att klocka ut amlen i amma hatighet om tidigare trot att vi har en högre amlingrekven och det åtadkommer vi genom att höja amlingrekvenen men bara klocka ut våra amel var :e klockul och däremellan klocka ut nollor. Metoden gör att vi behåller vår tidigare ignal men vi kommer att å icke önkade egelbilder i bandet rån den tidigare halva amlingrekvenen till halva den nya amlingrekvenen =, där är vår urrungliga amlingrekven medan = är vår nya amlingrekven och är interoleringaktorn. Vad om händer är att egelrekvener om tidigare låg över. tervallet /. nteroleringaktorn är i exemlet två. 4 nu hamnar under vår nya Nyqvitrekven Tittar vi till exemel å vad om händer då vi dubblerar amlingrekvenen å lägger vi alltå in en nolla mellan vart och ett av våra amel och ördubblar klockhatigheten. Vi kommer då att behålla vårt tidigare ektra men det egelektra om tidigare låg i intervallet hamnar nu i in- igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 7
/ Tredubblar vi amlingrekvenen ( = 3) å år vi lägga in två nollor mellan varje amel och det reulterande ektrat betår av vårt urrungliga ektra i intervallet 0 = 0, en egelbild i 6 intervallet = = 6 6 6 3 och ytterligare en egelbild av detta ektra, om då har amma orm om urrungektrat, i intervallet 3 =. 6 6 3 / Vi måte iltrera bort dea egelbilder och år lacera ett lågailter eter interolatorn. Filtret måte ha amma aband- och ärrbandrekvener om urrungiltret ( reektive ). Vid interoleringen kommer ignalinnehållet att rida ut över originalektrat och de egelbilder vilket gör att ignalamlituden i det intreanta urrungbandet kommer att junka med en aktor och vi år komenera ör detta genom att e till att lågailtret har abandörtärkningen. Som vi nämnde i inledningen å kan det i många all vara lämligt att använda interolering, inte bara ör att anaa två ytem till varandra utan ockå ör att minka antalet bitar er amel, alternativt öka ignal/bruörhållandet, amt å enklare analoga ilter. Vi talar i de ammanhangen otat inte om interolering utan om överamling och det återkommer vi till enare. mlimentering av interolator Vi år direkt igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 8
x[n] h 0 y[n] h 1 h h 3 Här kan örtärkaren integrera i iltret å att vi år x[n] h 0 y[n] h 1 h h 3 Vi kan ine att vid varje amlingtillälle kommer bara var :e ilterterm att multilicera med ett amel medan övriga ilterkontanter multilicera med nollor och alltå örvinner. et här gör att vi kan kaa algoritmer om är nabbare än vad om rån början verkar möjligt. Lägg dock märke till att våra amel hela tiden kita ram genom ördröjningarna å det är inte amma ilterkontanter om kommer att ge reultat kilda irån noll vid varje beräkning tiden utan alla ilterkontanter kommer till användning vid olika amingtidunkter. igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 9
nteroleringilter Lågailtret med ärrbandrekvenen = gör att de nollor om interolatorn har lagt in inte blir nollor längre utan nu har ignalen metat ut å att alla överamlade amel år värden. För att underlätta ör iltret (inte å tora ignalamlitudkillnader) å använder man ibland andra tyer av interolering än att lägga in nollor. en enklate varianten är att i tället ör att lägga in - 1 nollor mellan amel x[n] och x[n1] å lägger man in - 1 amel med amma värde om x[n]. Vi år en ytterligare örbättring genom att göra en linjär interolering. Vill vi t ex öka amlingrekvenen tre gånger å lägger vi in de två amlen x x 1 3 3 [ 3 n 1] = x[ 3 n] { x[ 3 n 3] x[ 3 n] } [ 3 n ] = x[ 3 n] { x[ 3 n 3] x[ 3 n] } mellan urrungamlen. Metoden örutätter ett icke kaualt ytem eterom vi måte utnyttja nätkommande lågrekvenamlade amel ör att beräkna mellanliggande högrekvenamlade (interolerade) amel. bland utnyttjar man ännu ler amel tidigare och enare i tid ör att ytterligare örbättra unktionen. de all då ytemet är kaualt å att vi inte har tillgång till nätkommande amel x[n1] å kan man ändå å rätt bra reultat genom att använda nuvarande och öregående amel enligt igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 10
x x 1 3 3 [ 3 n 1] = x[ 3 n] { x[ 3 n] x[ 3 n 3] } [ 3 n ] = x[ 3 n] { x[ 3 n] x[ 3 n 3] } eller mer avancerade metoder om er å trenden ytterligare amel bakåt i tiden. Lägg märke till att dea metoder gör att vi inte år några amel om är noll vilket innebär att vi inte kan utnyttja de örenklingar om vi bekrev i amband med imlimentering av interolatorer och decimatorer. Byte av amlingrekven med ett rationellt tal R=/ (multirate) de leta all då vi behöver byta amlingrekven ör att anaa två ytem å är vi inte å lyckligt lottade att den nya amlingrekvenen är en heltalaktor törre än eller mindre än urrungamlingrekvenen. Utan vi har = R R där är vår urrungliga amlingrekven, R är den nya amlingrekvenen och R är örhållandet mellan dea. R kan vara både törre än och mindre än ett, dv vi kan både tänka o en höjning och en änkning av amlingrekvenen. Om R kan bekriva av ett rationellt tal (kvoten mellan två heltal) R = å kan vi löa roblemet genom att använda en decimering med en aktor och en interolering med en aktor kolade i erie. Selar det då någon roll i vilken ordning decimering och interolering kommer? Låt o e å ett exemel. Exemel: Vi vill änka amlingrekvenen rån 48 khz till 3 khz. 48 khz är tandardamlingrekven ör digitala bandelare (AT) i tudioammanhang, även om de ota ockå kan använda C:n amlingrekven 44,1 khz, medan amlingrekvenen 3 khz ota använd i AT-bandelare ör mindre krävande ammanhang, t ex då de använd om reortagebandelare i radioammanhang dv i inte å krävande talammanhang. etta gör ör att å längre inelningtid och därmed ara inelningband och även å kortare överöringtider då inelningen överör till hemmatudion t ex via teleonmodem. Vi vill alltå änka amlingrekvenen med aktorn 3 = 48 3 igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 11
och det naturliga valet är då en tre gånger decimering ( = 3) och två gånger interolering ( = ). Vår urrungignal har maximala ignalrekvenen = 4 khz (om vi här 48 borter rån att vi måte ha en övergångregion mellan a- och ärrband eterom vi inte kan kaa oändligt branta ilter) medan den reulterande maximala ignalrekvenen borde 3 bli = 16 khz. Vi er att en änkning av amlingrekvenen oundviklingen gör att maximal ignalrekven blir lägre, dv vi taar en del inormation. Vi börjar med att e vad om händer om vi gör decimeringen ört och edan gör interoleringen. Vi år iguren ecimator nterolator 48 ecimeringen med = 3 ger amlingrekvenen = = 16 khz vilket gör att vi 3 måte ha ett ilter öre decimatorn med ärrbandrekvenen 8 = khz. För att undvika vikning Vi har alltå iltrerat bort alla ignaler över 8 khz medan vi rån början örväntade o att behålla ignaler u till 16 khz. Metoden är alltå inte lyckad. Vi er i tället å vad om händer om vi interolerar ört och decimerar edan. nterolator ecimator nteroleringen med = ger den nya amlingrekvenen = = = 96 khz och vi kommer att å en egelbild av urrungektrat i intervallet = 4 48 4 khz om vi måt iltrera bort med ett ilter med ärrbandrekvenen 4 khz. etta är ju det amma om vår urrungliga övre rekven å iltret åverkar inte ignalinnehållet. Vi 96 år nu decimera med = 3 vilket ger = = = 3 khz. Före decimeringen måte 3 vi iltrera bort allt över 16 = khz. Vi er att då interoleringen ker öre decimeringen å örlorar vi inte mer än vad om är nödvändigt i urrunginormationen, lite måte vi ju örlora eterom vi änker amlingrekvenen och ortarande måte uylla amlingvillkoret. igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 1
Vill vi i tället höja amlingrekvenen, dv vi har en aktor R = om är törre än ett, å kommer vi inte att örlora någon inormation all om vi interolerar ört och decimerar edan medan vi örlorar en tor del av inormation om vi vänder å ordningen, dv decimerar ört och interolerar edan (rova t ex vad om händer om vi går åt andra hållet i exemlet, dv höjer amlingrekvenen rån 3 till 48 khz). Vi er deutom i iguren ovan att interoleringen ölj av ett ilter om edan ölj av ett nytt ilter öre decimeringen. et verkar lite onödigt att ha två ilter och vi kan ta bort det ena iltret och behålla bara det andra ilter. Vi måte ha kvar det ilter om har den lägta gränrekvenen ör att inte åverkarekvenegenkaerna, dv b = min ; Är R < 1, dv om vi vill änka amlingrekvenen å betäm ärrbandrekvenen av om R > 1, dv om vi vill höja am-, medan ärrbandrekvenen betäm av lingrekvenen. R Byte av amlingrekven i lera teg Preci om vid ren decimering å kan vi å enklare ilter om vi här gör bytet av amlingrekven i lera teg. Låt o e å ett lämligt tillvägagångätt i ett exemel. Exemel: Vi vill byta rån C:n amlingrekven 44,1 khz till AT:en amlingrekven 48 khz. Söker vi minta möjliga och å år vi 48 44,1 = 480 441 = 160 147 Vi bör alltå välja = 160 och = 147 men det kulle ge den mellanliggande rekvenen 160 44,1 khz = 7,056 MHz. En mycket hög amlingrekven om kulle kräva en nabb roceor amtidigt om å tor interoleringaktor täller hårda krav å lågailtret eterom kvoten mellan amlingrekven och gränrekven blir tor. Hög amlingrekven gör att vi inte hinner med å många beräkningar medan hårda ilterkrav leder till högt gradtal ho iltret och därmed många beräkningar, två oören- igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 13
liga krav. Vi kan i tället ta och dela u och i delaktorer och e vad vi kommer ram till. 160 147 80 = 3 49 = 40 = 3 7 7 0 3 7 7 = 10 5 = 3 7 7 3 7 7 Vi er att vi har några olika möjligheter och kan t ex dela u det i yra teg enligt 4 5 4 1 3 7 7 Preci om tidigare ör decimering å bör vi välja R > R > R >! > 1 3 R M Rent generellt bör man tänka å att aldrig änka amlingrekvenen i ett mellanteg ör att edan gå u med den igen. Ett ånt örarande leder alltid till att man taar inormation i onödan. Överamling Ananing mellan olika digitala ytem är inte det enda kälet till att höja amlinghatigheten. Genom att höja amlinghatigheten å inn det möjligheter att använda enklare analoga ilter, både om antivikningilter öre A/-omvandlaren och om utjämningilter eter /A-omvandlaren amtidigt ger det möjlighet att använda enklare A/- och /A-omvandlare ända ner till en enda bit omvandare. å vi här höjer amlinghatigheten till en hatighet om överkrider vad amlingvillkoret äger och det i hög grad, kanke lera hundra gånger, å talar vi otat inte om interolering utan om överamling. Överamling ör att ge enklare analoga ilter Vid övergången mellan analog och digital ignal och tillbaka igen å måte vi ha ett lågailter öre A/-omvandlaren ör att undvika att å in ignaler med rekven över, vilket kulle göra att vi bröt mot amlingvillkoret. Samtidigt behöver vi jämna ut den trategormade utignal om /A-omvandlaren ger uhov till (engelkan moothing). Trategen är högrekvenkomonenter om härtammar rån utklockningen och om därör har grundrekvenen. Båda iltren kall uylla ungeär amma krav och kan därör dimenionera å amma ätt. A/ /A igitalt ytem igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 14
Problemet är att vi ota vill läa igenom ignaler nätan ända u till. C ammanhang har vi t ex amlingrekvenen 44.1 khz medan abandet övre grän är eciie- rad till 0 khz. Lågailtret måte alltå har ett övergångband mellan a- och ärrband om är bara 44, 1 0 =, 05 0 =, 05 khz brett. Att realiera å kara analoga ilter kräver högt gradtal ho iltret. Att realiera analoga ilter med högt gradtal är inte lätt, del år vi mycket olinjär agång i abandet, eciellt nära gränrekvenen och del elar komonenttoleraner in å att iltret kräver en hel del intrimmning. Vi kall e hur vi med hjäl av överamling kan lytta över det meta av iltreringen till den digitala världen där vi lättare kan åtadkomma alinjära ilter (FR-ilter) och därmed kan klara o med att använda analoga ilter av lågt gradtal. eutom har digitala ilter reroducerbara data eterom de beräkna via ilterkontanter i ett datorrogram och inte ge av yika komonenter, dv vi behöver inte trimma in varje enkilt ilter ör att uylla iltereciikationerna. Förenklat antivikningilter Antivikningiltret öre A/-omvandlaren kall iltrera bort ignaler över och läa igenom ignaler nedanör, om då ligger trax nedanör. Ökar vi nu amlingrekvenen en aktor via interolering å måte vi ortarande läa igenom ignaler u till men amlingvillkoret tillåter nu att ärrbandet tartar ört vid = och vi er till att edan iltrera bort de ignalreter om inn i intervallet med ett kart lågailter i den digitala världen och detta har vi om agt var törre möjligheter att göra linjärt (FR-ilter). ärr = / / Men eterom vi bara är intreerade av ignaler u till å kan vi använda amma reonemang om vi använde i amband med decimering och accetera att ignalerna i intervallet ger uhov till vikningkomonenter om blandar ig med igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 15
kart digitalt ilter öre /A-omvandlaren ör att ta bort eventuella ignalkomonenter ovanör vareter vi kan använda ett enkelt analogt ilter eter /A-omvandlaren med övergångbandet mellan a- och ärrband. Här kall det analoga iltret jämna ut kurvan genom att iltrera bort de trateg om varje amel ger uhov till i utignalen. Eterom vi har en hög amlingrekven å kommer ignalöränd- ärr = / / -/ ignaler i intervallet,vilket gör att vi kan ätta det analoga iltret ärrbandrekven till > och därmed änka det analoga iltret gradtal ytterligare. Lägg märke till att vi lägger ärrrekvenen å avtåndet rån. et kan yna om vi i tället kulle kunna använda avtåndet men detta kulle leda till att vi år in egelrekvener i intervallet vilket kulle öka kraven å det kara digitala iltret. Nu tar det branta digitala iltret alltå bort ignalerna över inkluive dea egelkomonenter. abandrekven b Analogt ärrbandrekven - b amlingrekven A/ abandrekven b igitalt ärrbandrekven b Eter iltreringen gör vi en decimering med aktorn = ör att kunna använda amlingrekvenen i den ortatta digitala ignalbehandlingen. Förenklat utjämningilter Vi kan tilläma amma reonemang här om vi gjorde ör antivikningiltret, dv vi ökar amlingrekvenen med en aktor öre /A-omvandlingen vareter vi inör ett igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 16
ringen mellan två eteröljande amel att vara liten, trategen blir alltå må, och även detta gör att vi kan minka kraven å iltret och vi kan även här använda den högre gränrekvenen. abandrekven b igitalt ärrbandrekven b amlingrekven /A abandrekven b Analogt ärrbandrekven - b Överamling ör att örenkla A/och /A-omvandlare Om vi kan hitta en metod ör att vid A/-omvandlingen bara bekriva hur mycket den analoga ignalen örändra rån amel till amel och edan A/-omvandla bara denna örändring i tället ör hela ignalamlituden å kan vi med bibehållen ulöning använda ärre bitar ör inormationen eterom killnaden mellan eteröljande amel alltid är mindre än amelamlituderna. Metoden inn och kalla dierentiell A/-omvandling (dierentiell AC, AC, PCM). en bekriv av nedantående igur Samle & hold -1 Kvantierare Prediktor Vi amlar inignalen och ubtraherar rån denna en ukattning av tidigare amel rån en rediktor (örutbetämmare). Prediktorn ge i enklate allet bara av öregående amel. Skillnaden i amlitud mellan å varandra öljande amel A/-omvandla och överänd eller lagra i tället ör att vi A/-omvandlar hela amelamlituden. en rediktiva kodaren använder en kombination av tidigare amel ör att ukatta nuvarande amel enligt xˆ [] n = ak x[ n k] k = 1 Prediktorn äg vara av ordning. igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 17
4 ggr överamling Ökar vi amlingrekvenen till = men håller at vid att vi bara är intreerade av ignaler u till < å betyder detta att vi kommer att avläa ignalen otare och kommer att å en mindre ignalvariation mellan amlen och vi kan änka antalet bitar ytterligare med bibehållen ulöning. Nackdelen ho metoden är att om vi taar något amel i överöringen å taar vi ett teg i amlitudörändringen och alla eteröljande amel kommer att bli elaktiga. å metoden använd änder man därör otat över ett helt amel med jämna mellanrum ör att å en ny reeren. Även utan att använda dierentiell AC å leder en höjning av amlingrekvenen till att vi kan minka antalet bitar. Vid omvandlingen Signal/bruörhållande kommer vi att å ett kvantieringbru om ördelar ig över hela bandbredden u till. Filtrerar vi nu bort intervallet å kommer den del av bruet om ligger i detta intervall att iltrera bort och den del av bruet om bli kvar i intreant ignalområde kommer att bli mindre. Minkningen gör dock bara att vi kan minka antalet bitar med en halv bit er ördubbling av amlingrekvenen vilket inte är å mycket. Vi kan ockå ine att vi år en lägre brunivå utirån det tidigare reonemanget om att trategen mellan amlen blir mindre då amlingrekvenen ökar. Bruormning Vi åg ovan att vi kan å ett mindre bru vid överamling å grund av att en del av bruet iltrera bort. För att ytterligare örbättra unktionen å kan vi via bruormning (noie haing) örändra bruet rekvenördelning å att bruet inte är kontant i hela intervallet 0 utan vi örkjuter det uåt i rekven å att det meta av bruet hamnar i den högrekventa delen av ektrat om vi iltrerar bort, e ovan. Bruormningen ker via ett ilter med överöringunktionen H Normal amling 1 [] z = ( 1 z ) ggr överamling där är iltret gradtal. Filtret år ektrat Frekven igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 18
H Ω ( Ω) = in H ( ) π = in ' 1.8 1.6 1.4 1. 1 0.8 0.6 0.4 0. Noie haing, = Figuren viar ektrat i intervallet 0 då =. 0 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0<</ eltamodulator Modulator emodulator -1 1-1 en enklate ormen av linjär rediktiv kodning är deltamodulatorn om använder en enda bit vid omvandlingen och en rediktor av örta ordningen ( = 1). = 1 medör att bruektrat år ormen H Ω π ( Ω) = in H( ) = in ' igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 19
1.8 1.6 1.4 1. 1 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0<</ med i örändringarna. Noie haing, =1 Modulatorn ger en trategormad aroximation av inignalen. Vid varje amel jämör vi den amlade ignalen med öregående trategormade aroximation. Är ignalen törre än denna aroximation å år vi en etta om anger att den trategormade aroximationen kall tega u ett teg. Är ignalen mindre än aroximationen å år vi minu ett (eller noll beroende å rereentation) om anger att aroximationen kall tega ner ett teg. Eterom aroximationen bara kan tega u eller ner ett teg vid varje amel å måte vi ha ett tort teg ör att hinna med i örändringen om amlinghatigheten är låg, detta ger en grov aroximation av ignalen. Ökar vi amlinghatigheten å blir variationen rån amel till amel mindre och vi kan använda ett mindre teg, men amtidigt ökar bithatigheten. För låg amlinghatighet eller ör litet teg gör alltå att den trategormade ignalen inte hinner et kan vara värt att obervera att en kontant inignal inte ger en kontant utignal utan vi kommer då att å ett ymmetrikt ultåg med varannan etta och varannan minu etta (eller nolla beroendeav rereentationen). Att modulatorn inte hinner med i ignalvariationerna amt den kvartående vängningen vid kontant amlitud ger ig till känna om ditorion. Eter jälva A/-omvandlingen till enbitkod använd normalt en decimerare ör att änka amlingrekvenen amtidigt om vi ökar antalet bitar, detta ör att å en eektivare lagring eller överändning. igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 0
normation er bit Varör blir då lagringen eller överändningen eektivare om vi använder ler bitar er ord? Om vi tar en bit omvandling å kan varje bit vara hög eller låg, dv den innehåller bitar inormation. Går vi u till yra bitar å kan vi bekriva 16 tilltånd 16 och varje bit innehåller = 4 bitar inormation. Ökar vi till 16 bitar å kan vi be- 4 65536 = bitar. kriva 16 = 65536 olika tilltånd och inormationen er bit blir 4096 16 Generellt år vi inormationen n er bit, där n är antalet bitar. n mottagaren gör en interolering och bitreducering å att vi återgår till enbitkod vareter den analoga ignalen återkaa via en integrator. Sigma-deltamodulering igma-deltamodulatorn integrera killnadignalen öre kvantieringen. ntegratorn ramhäver lågrekvendelen i ektrat där ignalen inn och gör därmed ektrat bättre anaat till modulatorn. ntegratorn gör deutom att demodulatorn kan realiera bara med hjäl av ett lågailter. Sytemet bekriv av iguren Modulator emodulator ntegrator -1 1 Analogt -1 Överamlande /A-omvandlare Nedantående igur viar en /A-omvandlare om använder överamling och bitreducering ör att å bättre ignalbruörhållande och/eller enklare analogt ilter. Samlingrekven B bitar Samlingrekven B bitar Kvantierare Samlingrekven e met igniikanta B bitarna B bitar /A -1 e mint igniikanta B-B bitarna igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 1
en inkommande öljden av amel har amlingrekvenen och B tycken bitar. Samlingrekvenen öka till via interolering vareter en kvantierare reducerar antalet bitar till B. Kvantieraren avrundar de inkommande B bitarna genom att behålla de B met igniikanta bitarna om blir utignalen om går till en B bitar /A-omvandlare öljd av ett analogt utjämningilter. Felet vid kvantieringen, dv de B - B mint igniikanta bitarna återkola och ubtrahera rån eteröljande amel. Återkolingen gör att bruet blir högailtrerat genom den bruormning om vi tidigare bekrivit och reultatet blir att minkningen av bruet i abandet reci komenerar ör reduceringen av antalet bitar. Enbit /A-omvandlare, om är vanliga t ex i C-elare, utnyttjar denna metod ör att reducera antalet bitar ända ned till en bit. Subbandkodning Subbandkodning är en eciell variant av decimering om använd då man vill dela u itt ignalektra i ett antal band och behandla dea var ör ig å ett eektivt ätt. Metoden är vanlig vid kodning av talad röt men även ör muik om i digitala kaettbandelare (CC) och i Miniic (inelningbar C) och använd här ör att minka datamängden genom att använda ett mindre antal bitar ör amelorden i de band om är mindre viktiga ör vår hörel. Vi tar ett enkelt exemel med udelning i två band ör att illutrera. Exemel Antag att vi har en ignal om är amlad med rekvenen och att denna ligger å lågt om möjligt, dv vi har ignaler nätan u till. Vi delar u ignalen i två delar x och x HP genom att arallellt låta ignalen aera genom ett låga- och ett högailter, båda med gränrekven. äreter halverar vi de två ignalerna amlingrekven till 4 ' = via decimering ( = ). g = / g = /4 HP x HP ' A/ g = /4 x ' Om vi er å den decimerade ignalen x å uyller denna ortarande amlingvillkoret eterom vi lågailtrerade den med gränrekvenen 4 öre decimeringen. igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida
Tittar vi å den decimerade ignalen x HP å är det ämre. en uyller inte amlingvillkoret ör någon enda rekvenkomonent utan hela ignalen ligger i intervallet ' '. Vikning gör dock att ignalen kommer att uatta om om den ligger i intervallet 0 ' där den då är eglad (egelvänd rekvenmäigt). etta gör inte å mycket eterom varje komonent i ignalen ortarande är unik (kan inte ammanblanda med någon annan rekvenkomonent) även om den ligger vid el (eglad) rekven. Att komonenterna är unika beror å att vi hade iltrerat bort rekvenkomonenterna i intervallet 0 ' öre decimeringen. Vi kan alltå ortätta att behandla ignalen om om den ' kulle ligga i intervallet 0, vi år dock komma ihåg att ignalen är eglad å hade vi t ex tänkt högailtrera urrungbandet med gränrekven g å år vi i tället lågailtrera den eglade ignalen med gränrekven ' =. ' Vi kan nu behandla våra två band å önkat ätt vid den lägre, decimerade, amlingrekvenen vareter vi år interolera och ammantälla ignalen ör att återå en ignalbehandlad verion av vår totala ignal. x är inga törre roblem att återtälla utan vi återtäller amlingrekvenen via interolering ( = ) med tillhörande lågailtrering och år x. För x HP blir det dock något annorlunda. Eter interoleringen å år vi den lågrekvenamlade ignalen i intervallet 0 0 0 amt en egelbild ' ' '' 4 4 '' av denna i intervallet '' och det är ju aktikt denna egelbild om ligger i ignalen urrungliga rekvenområde å vi år använda ett bandailter ör att locka ram 4 ignalen x HP. Till lut adderar vi iho x och x HP ör att å den totala utignalen. g g g = / A/ g = /4 HP g = /4 x HP ' x ' igitalt ytem igitalt ytem ö = / u = /4 BP g = /4 x HP " x " Vi kan använda amma metod ör att utvidga det hela till lera band än två. Man brukar då tala om att man har en ilterbank. igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 3
g = /8 HP g = /4 g = /8 g = / HP A/ g = /4 g = /8 HP g = /8 Oktavbandindelning Vår hörel är å untad att den hanterar både rekven- och amlitudörändringar logaritmikt, vilket innebär att en ördubbling av ignalrekven eller ignalamlitud uatta om en lika tor örändring oberoende av vilken urrungrekvenen (eller urrungamlituden) är. Naturligtvi örutätter detta att vi håller o inom det hörbara rekvenområdet och vad gäller ljudtyrka år inte ljudet bli å tarkt att det uatta om lågamt eller å vagt att vi inte uattar det. Vi har tidigare tittat å den logaritmika amlitudkalan i amband med komandering (KOMrimering/exPANERNG). Om vi här då i tället håller o till rekvenkalan å delar vi då ota u denna i å kallade oktavband, en oktav innebär en rekvenördubbling. det hörbara området har oktavbanden mittrekvenerna 31,5, 6,5, 15, 50, 500, 1k, k, 4k, 8k och 16 khz. Gränerna mellan banden ligger vid de geometrika mittrekvenerna om ör banden med mittrekvenerna 01 och 0 ligger vid 1 = 01 0 t ex har bandet med mittrekvenen 1 khz bandgränerna 707 Hz och 1,414 khz. å vi vill utnyttja vår örmåga att uatta olika ljud är det lämligt att dela u ignalen i oktavband, om inte nödvändigtvi har ovantående mittrekvener, och det kan vi göra tegvi. Har vi t ex vanlig teleoniignal om har amlingrekvenen 8 khz å delar vi ört u ignalbandet 0-4 khz i två lika tora delar (0 - khz och - 4 khz) vareter de två banden decimera med =. Eterom oktavbanden blir törre då vi kommer uåt i rekven, breddörhållandet är lika med antalet ördubblingar, å har vi ett ignalband - 4 khz om vi inte bör röra mer (det ligger dock eter decimeringen eglat i bandet 0 - khz). et undre bandet 0 - khz kan vi dock ortätta att dela u i lera band och näta delning ger banden 0-1 khz och 1 - igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 4
khz. ea två ignaler decimera edan även de med = vareter vi år en ignal i intervallet 0-1 khz och en eglad ignal i amma intervall. Vi kan edan ortätta att dela ner ignalen i intervallet 0-1 khz till vi når önkad udelning. enna udelning är enkel och rätt eektiv men den är inte den met eektiva eterom det viktigate intervallet ör hörbarhet inte ligger vid de lägta rekvenerna om kommer att bli det band om är met udelat. Här hör vi aktikt rätt dåligt och de viktigate ignalerna ligger högre u i ekven. Manligt tal har grundrekvener i intervallet 100-00 Hz medan kvinnligt tal ligger vid ungeär dubbla rekvenen och deutom ligger det intervall där vi uattar de vagate ljuden ungeär i intervallet 1-3 khz. g = /4 g = / HP A/ g = /4 g = /8 HP g = /8 g = /16 HP g = /16 En tillämning av oktavbandmetoden är wavelet om vi återkommer till. igital ignalbehandling k Byte av amlingrekven och överamling Sida 5