Summor. Härled en formel för följande summa, där n är ett positivt heltal: +n +(n ) + (n ) +... + n (n ) 6. I en kvadrat med sidan a tar vi sidornas mittpunkter som hörn till en mindre kvadrat. Sedan färglägger vi en delyta som i figuren nedan:. En bordtennisturnering med n spelare tillgår så att alla möter alla en gång. Ingen match kan sluta oavgjord. Säg att spelare nummer k vinner x k och förlorar y k matcher. Visa att x + x +... + x n y + y +... + y n. Lös för varje udda positivt heltal n ekvationen +x + x +... + x n x + x x +... +( ) n x n 4. Visa att, om a och b är första resp. sista termen i en geometrisk summa med kvot k 6, så är summan a bk k Så upprepar vi förfarandet utgående från den den mindre kvadraten: 5. Har du upptäckt följande lustighet med Pascals triangel (får bli rätvinklig den här gången): 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 5 5 7 8 8 56 70 56 8 8 Om man börjar med, går neråt och adderar talen i en kolonn fram till och med rad r, så återfinns summan på rad r +snett till höger: Ochsåengångtill: ++6+0+5+ 56 +5+5 (a) Formulera detta samband matematiskt. (b) Bevisa det med induktion. (c) Bevisadetgenomattpåtvåolikasätt uttrycka koefficienten för x k i +(+x)+(+x) +... +(+x) n (d) Bevisa det med ett kombinatoriskt resonemang, d.v.s. utgående från den kombinatoriska definitionen av binomialkoefficienter µ n k antalet sätt att ur en mängd med n element välja ut delmängder med k element Beräkna arean av det färglagda området efter det att man upprepat förfarandet n gånger. Vilket värde närmar sig arean då n växer?
Induktion och rekursion 7. Talföljden (a n ) n definieras genom Visa att a, a, a n+ 5a n 6a n, för n> a n n n för alla positiva heltal n 8. Visa, förslagsvis med induktion, att ³ n n ³ n n <n! < för alla n 6 Du får utnyttja att talföljden µ + n n d.v.s..5.7....44....488....5...... växer mot talet e. 78 8..., alltså ligger alla tal av den typen i intervallet [,e). (Fibonaccitalen) Betrakta talföljden 0,,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44,, 77, 60,... Vi betecknar talen F 0,F,F,.... Mellan varje trippel av på varandra följande tal råder ett enkelt samband upptäck och formulera det sambandet, en s.k. rekursionsekvation!. De första två talen och rekursionsekvationen bestämmer entydigt en oändlig talföljd (F n ) n0 Tillsammans ger de en s.k. rekursiv definition av talföljden skriv ner den definitionen! (Vi antar stillatigande att mönstret inte bryts.) 4. Bilda en ny talföljd s n F 0 + F +... + F n Skriv ner de första s n och jämför dem med F n. Det verkar finnas ett enkelt samband, eller hur? Formulera och bevisa det sambandet! 5. Som föregående, men med s n F + F + F 5 +... + F n 6. Som föregående, men med s n F + F 4 + F 6 +... + F n 7. Som föregående, men med s n F + F... + F n Ledning: Jämför s n med F n och F n+ 8. Som föregående, men med 9. Om man utvecklar parenteserna, så blir +x + x 5 0X c k x 0 Beräkna koefficienten c 4. 0. För vilka reella x gäler att k0 7 5x x 5x +6 7+5x x +5x +6? s n n X k 9. Som föregående, men med s n nx k F k F k+ F k F k+. Lös olikheten < x x +5 4
Skissa grafer 0. Så här ser grafen y f (x) ut: y 0 -.5 -.5 0.5 x.5. (Övn. LTH:.04a med r ersatt av x.) Skissa grafen V 0 y +exp x R, > 0 a där V 0,r,a är positiva konstanter. Det ligger naturligtvis nära till hands att plotta med maskin, men låt oss öva litet formelläsning. - (a) Du kan omedelbart skissa -4 y e x y f (x) Skissa graferna y f (x), y f (x ) y f (x), y f ( x) y f (x), y f (x) y f (x), y f ( x ) y f (x ), y /f (x) (b) Vad gör det för skillnad, om vi ersätter x med x/a, a > 0: y e x/a? (c) Om vi ersätter x med x R, R>0: (d) Om vi lägger till y e (x R)/a? y +e (x R)/a? (e) Den sista grafen är positiv och växande. Vad kan du då säga om +e (x R)/a? (f) När x är stort positivt, så är...? +e (x R)/a När x är stort negativt, så är...? +e (x R)/a (g) Hur modifieras grafen, om vi multiplicerar alltihop med V 0 > 0: y V 0 +e (x R)/a (h) Slutligen multiplicerar vi alltihop med : y V 0 +e (x R)/a Nu skall du ha insett att du har en kurva som växer från V 0 till 0. Vikanocksåmedhuvudräkningse att den går genom punkten (R, V 0 /).
. Undersök om några av följande funktioner är udda, d.v.s. uppfyller f ( x) f (x) för alla x eller jämna, d.v.s. uppfyller (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) f ( x) f (x) för alla x f (x) x x f (x) q ( x) + q ( + x) f (x) a x + a x f (x) ln x +x ³ f (x) ln x + p x + f (x) f (x) f (x) x + x q q ( x) ( + x) q q (x ) (x +) f (x) x e x + x. Rita den kurva i xy-planet, som bildas av de punkter (x, y) som uppfyller 4. Förenkla x + y µ + x x µ x x + 5. Bestäm alla x>0 sådana att x x+8 >x 7 Kvadratrötter och andra potenser 6. Försök hitta rationella a och b sådana att (a) (b) q 5 4 a b q ± a ± b 7. Visa att, om a b 0, så är det alltid möjligt att q skriva om a ± b på formen x ± y (Tecknen ± hör ihop: har man + i det ena uttrycket, så skall man ha + också i det andra, och likadant för.) Vad blir x och y för givna a och b? 8. Lös ekvationen x 4x +5 9. x + x + 0. p x x +66 x. Lös ekvationen q x + 4 q x + x +8 6 x påtvåolikasätt: i) Sätt x t ii) Flytta en av rötterna till andra sidan likhetstecknet och kvadrera.. Låt a och b vara två reella tal, b 6 0, och x + ax x f (x) ax x + bx x bx Vi vill veta hur den här funktionens graf ser ut för stora positiva x. Då x blir tillräckligt stort, så blir termerna ±ax, ±bx försumbara jämfört med x, så alla fyra rötterna skulle man kunna tänka sig approximera med x x. Differensbildningarna gör det emellertid omöjligt att få ut något om hela kvoten, som den står nu. Förläng med såväl nämnarens som täljarens konjugatuttryck och visa att f (x) närmar sig en konstant vilken? när x. 4
Logaritmer. Kan det stämma att 4. Förenkla 5. Förenkla 6. Lös ekvationen 7. Lös ekvationen 8. Lös ekvationen ln + 5 9. Lös ekvationen µ ln x + ln ln 6 + ln 5 lne +ln e + 5 ln e x x 6 x ln x e x +ln +e x 0 µ ln x 6 Som en extra övning, hitta felen i följande lösningsförslag:? 4. För alla positiva a och b gäller Sant eller falskt? 44. Lös, för x>0, ekvationen a ln b b ln a (x) ln (5x) ln 5 (Förenkla svaret så mycket som möjligt!) 45. Låt a vara ett positivt tal. Förenkla log(log a) a log a (a) om log står för 0-logaritmen, (b) om log står för logaritmen med avseende på basen B, där B är ett fixt men ospecificerat positivt tal. 46. Hitta alla par av reella tal (x, y) som uppfyller x ln y + y (Tips: Dela upp i tre fall: 0 <y<, yoch y>.) 47. Förenkla ln x + p x + a +ln x p x + a 48. För varje reellt tal a, lös ekvationen 40. Visa att grafen av ln x ln +lnxln ln µ 6 ln x ln +ln ln 6 µ ln x ln + ln 6 ln x x e f (x) ln e x + e x närmar sig en rät linje y kx + m, när x och ange k och m. 4. Visa att för alla x och alla a>0 är ax ++a x + a x +a x x ln a expµ 49. Visa att för alla x gäller 50. Bestäm ln (a + x) a +lnx ln e x + ln ex ln e x + e x ln x lim x (ln x) Med det menas: Finns det något tal och i så fall vilket? som uttrycket ln x / (ln x) närmar sig, när man sätter in allt större värden på x? 5. Lös ekvationerna (a) (b) ln x lnx ln x ln x 4. Lös ekvationen ln x 4x +5 ln x ln (4x)+ln5 (c) ln x +lnx +lnx +lnx 4 +lnx 5 5 5
Trigonometri 5. En partikel rör sig i ett plan så att dess x- ochykoordinater relativt ett rätvinkligt koordinatsystem, varierar med tiden t enligt ½ x r cos ωt, r,ω positiva konstanter y r sin ωt 54. Beräkna utan maskin sin +sin +sin +... + sin 59 55. För vilka x gäller sin x>? 4 Beskriv med ord hur kroppen rör sig! 5. Betrakta en utvald fix punkt på periferin av ett hjul som rullar på ett plant underlag: Situationen vid tiden t 0 56. Har ekvationen några rötter? 57. Uttryck cos x ln(cosx) ochhär etttagsenare: i tan x. 58. Beräkna då cos x, sin x, cos x sin x tan 4x Prickarna visar läget av periferipunkten vid olika tidpunkter däremellan. Inför koordinatsystem så att underlaget blir x-axel, periferipunkten är i origo vid t 0, hjulets radie r, hjulet vrider sig med konstant vinkelhastighet ω radianer per tidsenhet Beskriv läget som funktion av tiden: ½ x uttryck i r, ω, t y uttryck i r, ω, t tan x 4 59. Visa, förslagsvis med induktion, att sin kx sin x k för alla x 6 nπ och alla positiva heltal k. Varför kan inte olikheten gälla för alla reella k? 60. Cosinussatsen och sinussatsen har du fått lära dig, men tangenssatsen? Här är den bevisa den: I en godtycklig triangel med sidor a, b, c och motstående vinklar A, B, C är a b a + b A B tan tan A+B 6. Sidorna i en godtycklig triangel ABC är a, b, c l.e. (a är sidan som står mot vinkeln C, etc.) Visa att c (a b) +4ab sin C 6. Förutsättningar och beteckningar som i föregående. Visa att c (a + b)sin C Tips: a + b ab 6
6. Visa att arean av en triangel ABC ges av a sin B sin C sina om a är längden av den mot A belägna sidan. 64. I triangeln ABC är sidorna a, b, c (a är sidan som ligger mot hörnet A, o.s.v.) och h c höjden mot c. Visa att h c c sin A sin B sin (A + B) 65. För vilka värden på a är följande ekvation lösbar? 66. Lös ekvationen cos x sin x a sin 7x cos5x 67. Föreslå en metod för lösning av ekvationer av typen Lös speciellt (a) (b) (c) 68. Lös ekvationen 69. Lös ekvationen a sin x + b sin x cos x + c cos x 0 sin x sinx cos x +cos x 0 cos x sinx cos x +0 sin x +sin x cos x sin x cos x cos x 0 cos x sin x / 4cos x +sinx cos x 7. Visa med figurervarförföljandelikheterärsannaför alla x mellan och. (Varför inte för andra x?) Det är lämpligt att dela upp i två fall: 0 x resp. x 0. arcsin ( x) arcsin x arccos ( x) π arccos x 7. Som föregående, men för nedanstående likheter, som är sanna för alla x : arctan ( x) arctan x arccot ( x) π arccot x 7. Förklara varför ½ arccos x, 0 x arcsin x arccos x, x 0 74. Låt 0 <x<och betrakta en rätvinklig triangel med hypotenusa och katet x. Vilken vinkel är arccos x? Vilken vinkel är arcsin x? Uttryck arccos x +arcsinx sin (arccos x) cos (arcsin x) tan (arcsin x) cot (arcsin x) som algebraiska funktioner av x, d.v.s. med endast de fyra räknesätten och rotutdragningar, inga trigonometriska eller arcusfunktioner! Hur modiferas resultaten, när x<0? 75. Låt x>0 och betrakta en rätvinklig triangel med kateter resp. x. Vilken vinkel är arctan x? Vilken vinkel är arccot x? Uttryck arctan x + arccot x 70. Förklara, utan miniräknare, varför p + arccos π cos (arctan x) sin (arctan x) cot (arctan x) cos (arccot x) sin (arccot x) som algebraiska funktioner av x. Hur modifieras resultaten då x<0? 7
76. Visa att sinh x ex e x har en invers och ange formel och definitionsmängd för den. Betecknas sinh eller arcsinh x. 77. Visa att cosh x ex + e x, x R inte har någon invers, men f (x) coshx, x 0 har en sådan och ange formel och definitionsmängd för den. Betecknas cosh eller arccosh x 78. Visa att (a) tanh x sinh x cosh x (b) coth cosh x sinh x har invers och ange formel och definitionsmängd. Betecknas tanh eller arctanh x resp. coth eller arccoth x. Komplexa tal 80. Ge en geometrisk beskrivning av mängden av de komplexa tal z som uppfyller 8. Visa att + z z Re z w z + w z w z + w Im z w z w iw z z + w z + w 8. Beskriv med ord den kurva som bildas av de punkter z i det komplexa talplanet som uppfyller z + 4i och bestäm, med så litet räkning som möjligt, största resp. minsta värdet av z för punkter på kurvan. 8. Låt w och w varatvåolikakomplexatal. För varje positivt värde på k, förutom ett (vilket?), så utgör de punkter som satisfierar z w z w k en cirkel i det komplexa talplanet. Visa detta! Ange cirkelns medelpunkt och radie. Menräknaintemerännödvändigt: Det räcker med specialfallet w w 0 Sedan kan du ta resultatet från den räkningen och skriva ner svaret för det allmänna fallet! 79. Antag att polynomet p (x) x 6 + ax 5 + bx 4 + cx + dx + ex + f är sådant att p (x) x då x,,, 4, 5, 6 Vad är då p (7)? Tips: Faktorisera p (x) x. 84. Vilka tal kan man få, när man sätter in ett heltal i stället för n i nedanstående uttyck? à +i! n à i! n + 85. Räkna ut ( + i) 00 samt µ µ µ µ 00 00 00 00 + 0 4 6 86. För vilka komplexa z gäller likheten e z e z? +... + µ 00 00 8
87. Om komplexa talet z ligger till höger om imaginära axeln (i det komplexa talplanet), så kan detsamma sägas om talet /z. Bevisadettapåtvåolikasätt: medenrentalgebraisk räkning resp. med hänvisning till multiplikationens geometriska innebörd! 88. En regelbunden 8-hörning har medelpunkt i z 0 (hörnen ligger på en cirkel med denna medelpunkt). Ett hörn ligger i z +i. Ange på formen a + bi de två hörn som ligger närmast intill detta. 9. Rita en godtycklig fyrhörning. Rita kvadrater utanpå var och en av sidorna. Sammanbind kvadraternas mittpunkter: C 89. Låt z och w vara komplexa tal sådana att z w z w D B Beräkna z w A 90. Antag att z är ett komplext tal med z. Vilka värden kan z + z anta? 9. En triangel i det komplexa talplanet spänns upp av de komplexa talen z och w : w Observation: Det verkar som om AC och BD är lika långa och skär varandra under rät vinkel! Gäller detta exakt och alltid? Låt fyrhörningens sidor svara mot de komplexa talen a, b, c, d : c d b z a Utnyttjar man att vridning 90 moturs svarar mot mult. med i, och går runt i figuren, så får man att 0 Visa att triangelns area ges av Im (zw) Visa att arean av en triangel med hörn i (0, 0), (a, b) och (c, d) i ett rätvinkligt koordinatsystem, fås som ad bc AC svarar mot ia + a +b + c ic (a) Vad är motsvarigheten för BD? (b) Beräkna a + b + c + d? (c) Kontrollera m.h.a dina resultat ovan att BD fås ur AC genom vridning vinkeln 90 moturs! 9. a) Utnyttja de Moivres formel och binomialsatsen till att skriva cos 5x somettpolynomicos x, d.v.s. bestäm konstanter a 0,a,..., a n så att för alla x cos 5x a 0 + a cos x + a cos x +... + a n cos n x b) Utnyttja föregående likhet till att räkna ut ett exakt värde på cos π 0 9
94. Återanvänd räkningarna i föregående uppgift till att uttrycka sin 5x som ett polynom i sin x. 95. Genom att försöka räkna ut ( + i)(+i) på två olika sätt, ta fram ett exakt värde på (Här är arctan +arctan arctan x den vinkel mellan π och π för vilken tan θ x Betecknas även tan x eller atan x.) 96. Hitta konstanter a och b sådana att cos 6 x +sin 6 x a + b cos 4x för alla x 97. Bestäm alla lösningar (även komplexa) till (x ) 0 (x +) 0 98. Visa att, om z är en rot till ekvationen z n, annan än z, så måste och beräkna +z + z + z +... + z n 0 N X k0 e iπk/n för ett godtyckliga positiva heltal k och N. 99. För ett positivt heltal n, låt ω e iπ/n och (utan mycket räkning) förklara varför n Y k0 n Y k ω k z z n ω k z +z +... + z n Med Q n k a k avses produkten a a...a k 00. Utnyttja resultatet i föregående uppgift till att härleda en formel för sin π n sin π n... sin (n ) π n 0. Om z är (ev. komplext) nollställe till ett polynom med reella koefficienter, och z, så är /z också nollställe. Sant eller falskt? 0. Har ekvationen z 4 4z +7z 5z +0 alla sina rötter på enhetscirkeln? (Hur skulle i så fall polynomet faktoriseras?) 0. Låt a, b, c vara rötterna till ekvationen x x x 6 0 Komplexa rötter inbegripna och multipla rötter upprepade i enlighet med sin multiplicitet, t.ex. i ett fall som x x 8x +0 tänker vi oss a,b,c, eftersom x x 8x +(x ) (x +) Utan att försöka räkna ut rötterna var för sig, beräkna a + b + c a + b + c a + b + c a 4 + b 4 + c 4 Generalisera till en godtycklig tredjegradsekvation x + px + qx + r 0 04. I reglertekniska sammanhang uppkommer ofta följande frågeställning: Givet ett polynom p (z) z n + a z n + a z n +...a n z + a n undersök om det är så att alla dess nollställen ligger i vänstra komplexa halvplanet (d.v.s. alla nollställen har negativ realdel)? Ibland (men tyvärr inte alltid!) kan frågan avgöras bara genom att titta på en av koefficienterna. Vilken koefficient? När går det att dra någon slutsats och när går det inte? Tips: Sätt z i den andra identiteten och ta absolutbeloppen av båda leden. 0
LÖSNINGAR. Aritmetisk följd med differens n. Svar: µ antalet termernas medelvärde termer (n +) + n n + n + n + Alternativt skulle man kunna manipulera så här: nx (kn (k )). Utnyttja att k0 nx ((n ) k +) k0 (n ) nx k + k0 nx k0 n (n +) (n ) +(n +) (n ) n + (n +) y k n x k y k (n ) (n ) x k + x k X y k n (n ) (n ) X x k + X x k X xk antalet matcher varav likheten följer.. Svar: /. (Jämna n kräver numeriska metoder! 4. Summan har alltså formen a + ak + ak +... + ak n Summationsformeln ger n (n ) med ak n b a + ak + ak +... + ak n a +k + k +... + k n a kn+ k a akn+ k a bk k 5. a) För heltal k 0 och n k gäller µ µ µ µ k k + k + n + + +... + k k k k b) För fixt k gör vi induktion efter n : För n k är påståendet µ µ k k + k k + vilket är sant ty båda är. Induktionssteget: Om µ µ k k + + +... + k k så µ µ k k + + +... + k k µ µ n + n + + k + k µ n + k + µ n k µ n + k µ n + k + µ n + k + µ n + k enligt den grundläggande egenskap som vi använder när vi skriver upp Pascals triangel varje tal fås som summan av två föregående. c) x k -term i ( + x) m finns då och endast då m k och dess koeff. ärdå µ m k Hela vänsterledets x k -koeff. kan alltså fås som µ µ µ k k + n + +... + k k k Å andra sidan är vänsterledet en geometrisk summa och ( + x)n+ ( + x) ( + x)n+ x x k -koeff. för denna kvot är x k+ -koeff. för täljaren, eftersom vi dividerar med x sedan. Men den koefficienten är just µ n + k + d) Om man skall lista alla delgrupper med k + personer ur en grupp med n + personer, så kan man numrera personerna,,..., n +och sedan lista
Först delgrupper, där person n +ingår. De är µ n st. k eftersom en person redan är vald och det gäller att välja resterande k st. bland personer,,..., n. Sedan lista alla delgrupper, där person n, men inte person n +ingår. Dessa är µ n st. k Sedan listar man alla delgrupper, där person n, men inte personer n och n +ingår. Dessa är µ n st. k O.s.v. tills vi till slut listar alla delgrupper, där person k, men ingen av personer k +,k+,..., n + ingår. Obs. att det inte finns någon överlappning varje delgrupp om k personer hamnar i exakt en av dessa kategorier. 6. Varje ny kvadrat har en area µ (föregående kvadrats area). Triangelytan man färglägger utgör en konstant andel, 8, av resp. kvadrat. Därmed kommer de färglagda triangelareorna att bilda en geometrisk följd med kvot och första tal 8 a. Summan av de n första triangelareorna är a 8 a 8 a 8 Ã + µ + +... + n a, när n 4 µ! n 7. Kontrollera att formeln stämmer för de första två talen: 4 Kontrollera att, om formeln stämmer för två på varandra följande tal i följden, så stämmer den även för nästa tal: 5 n n 6 n n (5 ) n (5 ) n n+ n 8. För n 6är påståendet 6 < 70 < 6 79 vilket är sant. Försök nu att visa att ³ n n ³ n n om <n! < µ n+ µ n + n + så < (n +)!< Antagandet och ger (n +)!n!(n +) ³ n n ³ n (n +)< (n +)!< så det räcker att visa att µ n+ n + < ³ n n+ n (n +) ³ n n (n +) och n (n +) < µ n + n+ Dessa två olikheter är ekvivalenta med µ n n + < n resp. µ n + < n n som alltså är sanna enl. den givna informationen. 9. Binomialsatsen : (+x) 5 + µ 5 + ( + x) 4 x + µ 5 + ( + x) x 4 + +termer av högre grad än 4 Koefficienten för x 4 är µ µ µ µ 5 5 4 5 + + 4 5 4 4 5 4 +5 + 4 85
0. Försök att skriva om på formen Svar: (produkt av)(så enkla faktorer)(som möjligt) 0 7 5x x 5x +6 7+5x x +5x +6 0 7 5x x +5x +6 7+5x x 5x +6 (x 5x +6)(x +5x +6) Nämnaren är redan en produkt det gäller att försöka faktorisera vidare (multiplicera inte ihop parenteserna!): x 5x +6 (x ) (x +) x +5x +6 (x +)(x +) Täljaren, däremot, är ingen produkt, så multiplicera ihop parenteserna först, ihoppomattflera termer skall ta ut varandra ochdetskagåattbrytautfaktorersedan: 7 5x x +5x +6 x +5x +4 5x 4 5x 7+5x x 5x +6 7x 5x +4+5x 4 5x Differensen dessa emellan 60x +70x 0x 4 0x x +6x 7 Nu är siffrorna tillrättalagda, så att vi med blotta ögat skall kunna se att x är ett nollställe till x +6x 7 och bryta ut (x ) : 0x (x ) x + x +7 Andragradsfaktorn är > 0 för alla x ses med kvadratkomplettering : µ x + x +7 x + µ +7 µ x + + 5 4 Alltså är vår olikhet ekvivalent med 0x (x ) x + x +7 (x ) (x ) (x +)(x +) 0 x (x ) (x ) (x ) (x +)(x +) 0 Alla faktorer är > 0 för stora x. Tänk dig nu att du går vänsterut längs tallinjen: En av faktorerna, ochdärmedhelaprodukten,byterteckenvid x,,, 0,, Sedan får man tänka hur det är för just de här värdena på x. x> eller x< eller <x 0 eller x< 0. Olikheten kan vara uppfylld antingen genom att < x x +5 4 eller genom att > x x +5 4 En viss förenkling ger oss observationen att Första alternativet: x x +5 x x +5 x +5 > 0 och x x +5 4 0 (x + ) > 0 och 0 x +5 x +5 x +5< 0 och x + 0 x Det andra: x x +< 0 och x +5 x +5 +4 0 4(x +) 6(x +) < 0 och 0 x +5 x +5 5 <x< och (x eller x 5) x< Svar: (x ) eller ( x< ). Fr.o.m. det tredje talet är varje tal lika med summan av de två föregående:. F n F n + F n för n eller F n+ F n + F n för n F 0 0 F F n+ F n + F n, n,,,...
4. De första s n -talen är 0,,, 4, 7,, 0,,... Vi ser sambandet s n F n+ Induktionsbevis, induktionsteget: Om s n F n+, så s n+ s n + F n+ F n+ +F n+ F n+ + F n+ F n+ 5. De första s n -talen är,, 8,,... Vi ser sambandet s n F n Induktionsbevis, induktionsteget: Om s n F n, så s n+ s n + F n+ F n + F n+ F n+ 6. De första s n -talen är, 4,,,... Vi ser sambandet s n F n+ Induktionsbevis, induktionsteget: Om s n F n+, så s n+ s n + F n+ F n+ +F n+ F n+ + F n+ F n+ 7. De första s n -talen är Vi ser sambandet 0,,, 6, 5, 40, 04, 7,... s n F n F n+ Induktionsbevis, induktionssteget: Om s n F n F n+, så s n+ s n + Fn+ F n F n+ + Fn+ (F n + F n+ ) F n+ F n+ F n+ F n+ F n+ 8. De första s n -talen är Obs. att detta är Vi ser sambandet, 9, 64, 44,...,, 8,,... s n F n Induktionsbevis, induktionssteget: Om s n Fn, så s n+ s n + F n F n+ + F n+ F n+ Fn + F n F n+ + F n+ (F n+ + F n ) (F n + F n+ ) Fn+ 9. Utnyttja resultatet från föregående: nx k F k F k+ n X k F k F k+ + F n F n+ Fn + F n F n+ F n (F n + F n+ ) F n F n+ De första talen är Kan också visas vara, 4, 68,... F n+ 4
0. De nya graferna är de tjockare. - - - -4-6 y f (x) För varje x-värde minskas y-värdet med. Grafen sänks nedåt längdenheter. 4 - - - -4 y f (x) För varje x byter y-värdet tecken. Den nya grafen fås ur den gamla genom spegling i x-axeln. - - - - - - -4 y f (x ) Den nya kurvans värde för ett visst x är lika med den gamla kurvans värde för x, som ligger steg åt vänster. Alltså är den nya grafen en horisontellt translaterad kopia av den gamla. (Om vi tänker på x som tid, så skulle f (x ) föreställa samma förlopp som f (x), men fördröjt tidsenhet.) -4 y f ( x) Den nya funktionen antar för givet x samma y-värde som den gamla antar för x på andra sidan y-axeln. Den nya grafen fås ur den gamla genom spegling i y-axeln. 5
5.5 - - -.5-5 -7.5-0 y f (x) För varje x fördubblas y-värdet, d.v.s. avståndet från grafen till x-axeln fördubblas överallt. 4 - - - -4 y f (x) Endast punkter med negativ y-koord. påverkas: deras y-koordinat byter tecken, d.v.s. de speglas i x-axeln. - - - - - - -4-4 y f (x) För varje x får man från den nya funktionen samma y-värde som från den gamla för x, som ligger dubbelt så långt från y-axeln. Den nya grafen är en sammanpressad version av den gamla. y f ( x ) Endast punkter med negativ x-koordinat påverkas: de får samma y-värde som punkten med motsatt x-koordinat. Denvänstrahalvanavgrafen(densom ligger till vänster om y-axeln) tas alltså bort och ersätts av den högras spegelbilden. 6
Obs. att - - - -4 y f (x ) f (x ) g (x), om vi inför g (x) f (x ) Kurvan y g (x) fårviurdengivnagenomhorisontell translation (behandlat ovan). Kurvan y g (x) får vi sedan ur y g (x) genom sammanpressning (också behandlat ovan). - - - - - -4-5 y f(x) Utnyttja att (även för negativa tal): Ju större f (x), desto mindre /f (x). Grafen växer obegränsat inärhetenavx och x. Kurvornas exakta form låter sig dock inte kopplas till den givna grafen lika enkelt som i de föregående exemplen.. a) b) skalning i x-led: a> grafen sträcks ut, ju större a desto mer, a< grafen trycks ihop. c) translation i x-led d) grafen lyfts upp e) positiv och avtagande f) 0 för stora positiva x för stora negativa x g). h).. a) udda b) jämn c) jämn d) udda e) udda f) g) udda h) i) jämn, eftersom x e x + x e x + e x + e x e x +e x (e x ) (e x ) e x +e x e x e x + vilket är sant. Alternativt x e x + x m x e x + x e x xe x/ e x/ e + x x/ xe x/ + xe x/ xe x/ e x/ e x/ x e x/ + e x/ e x/ e x/ Täljaren en produkt av en udda och en jämn funktion, alltså själv udda. Nämnaren är udda. Kvoten av två udda funktioner är jämn. 7
. Alt.. Observera att om x + y så även x + y Detta visar att kurvan är symmetrisk i y-axeln. Det räcker då att undersöka hur den ser ut i högra halvplanet x 0. På samma sätt visar Det första systemet går inte ihop, det andra ger lösningarna <x< 6. Kvadrera och identifiera: 5 4 x y x + y xy 4. om x + y så även x + y att kurvan är symmetrisk i x-axeln. Det räcker då att undersöka hur den ser ut i övre halvplanet y 0. Sammantaget räcker det alltså att titta på första kvadranten! Men där definieras kurvan av x + y Rät linje genom (, 0) och (0, ). Spegla sedan i koordinataxlarna: -.5 - y -0.5 Alt..Ekvationen är ekvivalent med i första kvadranten : x + y andra x + y tredje x y fjärde x y som allihop är räta linjer. Figur som ovan..5 0.5 0-0.5 - -.5 µ x µ x x + x 0 x x + 5. Dividera båda leden med x 7, så kan ekv. skrivas 0 x x+ > En potens är >, om basen är > och exponenten > 0, eller om basen är < och exponenten < 0: ½ x> x +> 0 eller ½ 0.5 x.5 x< x +< 0 7. Svar: b) Svar: ½ x + y 5 xy 6 ½ y 6/x x + 6 x ½ 5 y 6/x x 5x +60 ½ x y q 5 4 r r ± q a ± b x ± y a ± b x ± y a ± b x + y ± xy a ± b x + y ± p 4xy Det räcker att hitta x och y så att ½ x + y a 4xy b Obs. att (x y) x + y xy (x + y) 4xy a b Om nu a b, så är den enda möjligheten ½ x + y a x y a b ( x a+ a b y a a b Kontroll ger att detta par uppfyller även 4xy b. Svar: s q a ± a + s a b b a a ± b 8
8. Vi kan börja med att konstatera att rötterna är definierade endast när x. x 4x +5 x 4x +5 och x 0 Efter kvadreringen får vi en ekv. som är uppfylld såväl när x 4x +5 som när x 4x +5 Nu vet vi att 4x +5 0 och genom att se till att x 0, kan vi utesluta den andra möjligheten! 9 6 x +x 4x +5 x 6 x x x Högerledet är definierat endast då x och ska vara 0. Vänsterledet kan vara 0 endast då x. Alltså är x den enda kandidaten, och den ses uppfylla såväl denna sista ekvation som alla tilläggsolikheter vi ställt upp på vägen. Svar: x. Om vi inte sett detta, utan kvadrerat en andra gång: x x x + x 4(x ) och x 0 x 6x +5 0 x (x 5förkastas p.g.a. x 0) Den utesluter vi med villkoret 6 x 0 (eftersom vänsterledet är 0.) Alltså SVAR: x 6. I de två föregående uppgifterna var det naturligtvis lika enkelt att inte tänka på några olikheter alls, utan sätta in såväl som 5 i den ursprungliga ekv. och kontrollera. Meningen med den här är att visa att den här typen av kontroll genom insättning inte alltid är så enkel. Vilka x skulle vi sätta in vi hinner inte sätta in alla reella tal?!. Med x t är x +t och det står p t +4 4t + p t +9 6t q q (t ) + (t ) För t kan vi förenkla till t +t t 6 t För t kan vi förenkla till För t : t + t 9. Återigen skall vi ha x för att uttrycken under rottecknen ska vara 0. x + x + x + x + 4 (Inget tilläggsvillkor, eftersom båda leden är 0.) 9(x ) + 6 x x ++x + 4 x x + ( x) Nu syns på samma sätt som i föregående att x är den enda tänkbara kandidaten till rot och att den verkligen duger. 0. Om man kvadrerar, så får man x x +66 x + x som är uppfylld för alla x. Men då räknar vi in möjligheten att p x x +6 (6 x) t + t 5 t t Alltså: Alla t med t är lösningar. Det svarar mot 5 x 0. Alternativet: q x +8 6 q x x + 4 x x +8 6 x q x + 4 x + +x + 4 x q x + 4 x x x + 4 x x 4 x +4 0 0 Nu behöver vi emellertid undersöka, om alla tal som löser den sista ekvationen också löser den första! 9
Den andra implikationen, kan ändras till ekvivalens, om vi lägger till villkoret x 0 x x 4 x 5 Den första implikationen ändras till ekvivalens, om vi lägger till villkoret q x + 4 x 0 x + 4 x 4 x x + 6 (x ) x +4x +4 0 x x +0 0 (x ) (x 0) Att uttrycken under rottecknen, x +8 6 x och x + 4 x 0, är 0, behöver vi inte kontrollera, eftersom de förekommer som en sida i likheter där den andra sidan är en kvadrat. Svar (som ovan): 5 x 0. 4. 5. Använd Man får ln 6 + ln ln 4 +ln ln 4ln ln ln ln ab lna +lnb ln e ln 0 lne +ln e + 5 ln e lne +lne 5 + (ln ln e) + 5. x + ax + x ax x + ax x ax x + bx + x bx x + ax + x ax x + bx x bx x + bx + x bx ³ x + ax x ax x + bx + x bx x + ax + x ax ³ x + bx x bx ax x + bx + x bx x + ax + x ax bx ³ p+b/x p a x + b/x ³ b p+a/x p x + a/x varav vi ser att värdena f (x) närmar sig a b. ln + 5 ln + 5 5 ln 5+ 5 ln 5 5 ln 5 4 ln 5 0
6. Alt.. Logaritmera: ( x)ln+xln ln 6 (ln ln ) x ln 6 ln ln 6 ln µ ln x ln 6 4 9. Utnyttja att Inför t µ µ ln x så fås en andragradsekvation x Alt., utan logaritmer: Börja med att samla x på ett ställe : x x 6 x x 6 µ x 6 µ x r x 7. Skriv båda leden med samma bas: e ln x ln x e e ln x ln x e 8. (ln x) ln x eller ln x x e eller x e e ln +e x x +e x e x inför t e x t t 0 t ± 5 varav minusalternativet förkastas, eftersom e x > 0. Svar x ln + 5 Alltså t + t 6 t 6 t + 0... t / t / ln x eller x e eller e 40. När x växer, så växer e x kraftigt, medan e x avtar mot 0 ( e x dominerar över e x,närx ). Alltså ln e x + e x ln (e x ) ln + ln e x ln+x med bättre överensstämmelse ju större x blir. Hellre än skriver man emellertid så här: ln e x + e x ln µe µ+ x e x ln+ln(e x )+ln µ+ e x ln+x +ln µ+ e x och den tredje termen 0, när x.
4. a x ++a x a x +a x ³a x/ + a x/ ³a x/ a x/ Vi har att (symbolerna och betyder och resp. eller ) a x/ a x/ a x (a och x 0) (a < och x<0) Om ((a ) (x 0)) ((a <) (x <0)) : a x/ + a x/ + a x/ a x/ a x/ om (a och x 0) (a och x 0) : a x/ + a x/ ³a x/ x/ a Observera att a x/ (x ln a)/ e a x/ (x ln a)/ e a x/ och eftersom ln a byter tecken just vid a, så kan villkoren omformuleras så här: (a och x 0) (a < och x<0) x ln a 0 (a och x 0) (a och x 0) x ln a 0 Härav följer att uttrycket alltid är x ln a / e 4. Logaritmerna är definierade då x 4x +5 > 0 och x > 0 För dessa x är ekv. ekvivalent med ln x 4x +5 ln x 5 4x x 4x +5 5x 4 x 4 x +5 0 x x + 5 0 x 4 ± 4 ± x 4 eller 5 4 ln 5x 4 r 0 +60+ 4 5 8 4 8 4 96 960 4 I detta fall behöver vi inte kontrollera villkoret x 4x +5> 0, eftersom det följer automatiskt av x>0 och x 4x +5 5x 4, som vi hade ovan. 4. Sant: a ln b e ln a ln b e ln a ln b b ln a e ln b ln a e ln b ln a 44. Ekvationen är ekvivalent med (logaritmera båda leden) ln ln (x) ln5 ln (5x) ln (ln + ln x) ln5 (ln 5 + ln x) (ln ln 5) ln x (ln5) (ln ) ln x (ln5+ln)(ln5 ln ) ln ln 5 ln x (ln5+ln) ln x ln 5 ln x ln 5 x 5 45. Samma räkning fungerar för alla B : a B log a log(log a) a log a log(log a) log B a log a B log(log a) loga 46. ln y är definiera för y>0 endast. Om 0 <y<, så Inga lösningar. Om y>, så Inga lösningar heller. Om y, så står det y < ln y < 0 x ln y 0 x ln y + y < y > ln y > 0 x ln y 0 x ln y + y > x 0+ vilket är sant för alla x. Svar: Alla par (x, ), xgodtyckligt reellt tal.
47. Obs. att x + p x + a x p x + a ³ x + p ³ x + a x p x + a ³p x x + a a och utnyttja ln a +lnb lnab, så fås svar: ln a 48. Det måste gälla att a + x > 0 och x > 0, d.v.s. x > min ( a, 0) För sådana x har vi följande kedja av ekvivalenta ekvationer: ln (a + x) a +lnx ln a + x a x a + x e a x + x ea x ea x e a e a > 0 a>0 Vi har ¾ a>0 x / (e a a + x>0 ) Således: Ekvationen är lösbar om och endast a>0 och lösningen är då x e a 49. ln ex ³ e x ln / lne x ln e x + ln ex ln e x + ln e x ln ex + e x µ e x ln e x + e x ln e x + e x 50. ln x (ln x) lnx (ln x) (ln x) 0, eftersom ln x, när x 5. Ekvationerna är definierade endast för x>0. a) (ln x) lnx ln x 0eller ln x OBS! Om ln x 6 0, kan vi dividera ekvationens båda led med ln x och får ln x, MEN endast då ln x 6 0. Denmöjlighetenfårmaninteglömma! x eller x e b) För ett x för vilket ln x ln x, måste ³ ln x ln x ln x µ ln x (ln x) 4 ln x 0 eller ln x 4 Nu behöver vi emellertid avgöra om dessa ger lösningar till vår ekvation eller till systerekvationen ln x ln x Säg att ln x / och ln x /. Då har vi en lösning till ln x (ln x), som dock inte är någon lösning till vår ln x ln x. Det är detta som är innebörden av (Pettersson, sid.8) x a x ±a I vårt fall är det lätt att kontrollera genom insättning i den urspr. ekv. ln x ln x att c) ln x 0,d.v.s.x, verkligen är lösning ln x 4 ger positiva tal i båda leden, så x e 4 också är en lösning ln x +lnx +lnx +lnx 4 +lnx 5 lnx +lnx +lnx +4lnx +5lnx varav ln x 5 +++4+5 x e / 5. Partikeln rör sig längs cirkeln med medelpunkt i origo och radie r, med konstant vinkelhastighet ω.
5. Idé: Ta fram koordinaterna av hjulets medelpunkt, så räcker det sedan att bestämma periferipunktens koordinater relativt medelpunkten! Vid tiden t har hjulet vridit sig vinkeln ωt. Denna svarar mot periferilängden rωt. Medelpunkten befinner sig alltså i (rωt, r) Relativt medelpunkten har periferipunkten koord. ( r sin ωt, r cos ωt) Relativt det valda origo är alltså koordinaterna ½ x rωt r sin ωt y r r cos ωt 54. Svar: 0, eftersom sin + sin 59 0 sin + sin 58 0... sin 79 + sin 8 0 sin 80 0 56. 57. cos x ln (cos x) 0 För en ev. lösning måste alltså gälla cos x ln(cosx) 0 Men ett tal 0 kan inte vara argument till ln. Alltså finns inga rötter. tan x sin x cos x tan x sin x cos x cos x cos x Nu är det bara att lösa ut cos x : tan x cos x cos x tan x cos x +cos x tan x + cos x cos x tan x + 55.. När man väl har cos x, kan sin x fås med trig.ettan: 0.5 - - 0.5 0.5-0.5 Olikheten är uppfylld, om antingen eller - sin x>/, d.v.s. π 6 + nπ <x<5π 6 + nπ för något heltal n sin x< /, d.v.s. 5π 6 + nπ <x< π 6 + nπ för något heltal n Alternativen kan sammanfattas i x (n +) π < π, n heltal sin x cos x tan x + tan x tan x + Multiplicera de erhållna formlerna, så har vi p cos x sin x ± cos x sin x s tan x ± tan x +tan x + ± tan x tan x + Kan vi säga något om tecknet? Alltså gäller överallt Alternativ: V.G.V kvadrant cos x sin x tan x I + + II III + + IV cos x sin x tan x tan x + 4
58. Alternativ: division med (obs!) och trigonometriska ettan baklänges (obs!): cos x cos cos x cos x +sin x Förkorta (dividera både täljare och nämnare) med cos x, så fås cos x +tan x Genomför själv motsv. omskrivning av cos x sin x! tan 4x sin 4x cos 4x sinxcos x cos x sin x (sinxcos x) cos x sin x cos x sin x ( sin x cos x) sin x cos x sin x cos x 4 cos 4 x +sin 4 x 6sin x cos x Dividera nu täljare och nämnare med cos 4 x : tan x tan x 4 +tan 4 x 6tan x /4 /64 4 +/56 6/6 /6 (56 + 96) /56 40 6 Utnyttja med tan α ± tan β sin α cos α ± sin β cos β så kan likheten skrivas sin α cos β ± cos α sin β cos α cos β sin (α ± β) cos α cos β α A + B β A B α + β A α β B a sin B b sin A vilket är ekvivalent med sinussatsen: sin A a 6. Kombinera cosinussatsen 6. sin B b c a + b ab cos C med formeln för dubbla vinkeln cos C sin C 59. (Om k inte är heltal, så behöver inte sin kx bli 0, när sin x blir det.) Olikheten är uppenbart sann för k. Anta att den är sann för ett visst k. Dåärden c a + b ab cos C a + b ab µcos C (a + b) 4ab cos C sin (k +)x sinkx cos x +coskx sin x (a + b) (a + b) cos C sin (k +)x sin x sin kx cos x +coskx sin x (a + b) sin C sin kx sin x cos x + cos kx 6. Här betecknas alltså vinklarna med A, B, C k + och resp. motstående sidor med a, b, c. k + T ab sin C sann även för k +. sin A 60. Den påstådda likheten är ekvivalent med sin B enl. sinussatsen a b (a b)tan A + B (a + b)tan A B b µ a a sin C a tan A + B tan A B µ b tan A + B +tan A B sin B a sin A sin C 5
64. Arean på två olika sätt: ch c ab sin C h c ab sin (π (A + B)) c ab sin (A + B) c Intressant, men inte riktigt vad vi var ute efter... Blanda in sinussatsen: a sin A c sin C b sin B c sin C Alltså h c ab sin C c sin A c sin C csin B sin C c sin C c sin A sin B sin C c sin A sin B V.S.B. sin (A + B) 67. Kontrollera, om det finns några lösningar med cos x 0. Lös sedan ekv. a sin x + b sin x cos x + c cos x cos x 0 a tan x + b tan x + c 0 En andragradsekvation för tan x! (a) π/4+nπ, arctan + nπ (b) π/4+nπ, arctan + nπ (c) π/4+nπ/ 68. Det finns ingen lösning, eftersom 69. cos x sin x p + för alla x +cosx +sinx cosx +sinx µ cos x arctan 5 x arctan ± µπ arccos 5 + nπ 65. 66. cos x sin x a 4cos x a cos x a + 4 Lösning finns då och endast då 0 a + 4 ³ π 7x cos cos5x π 7x ±5x + nπ x π 4 + nπ 6 eller x π 4 + nπ x µarctan + π arccos 5 + nπ eller x µarctan π +arccos 5 + nπ d.v.s. x.49 + nπ eller x 0.7854 + nπ 70. arccos x skall vara den vinkel θ iintervallet[0,π], som uppfyller cos θ x. Vinkeln π/ ligger i ovannämnda intervall och π cos π π r 6 +cos π 6 s + / s + 4 p + 6
7. Att likheterna inte kan vara sanna för andra x än x, är klart redan från början : arccos och arcsin är inte definierade då x > det finns inga vinklar med sin- /cos-värden som är > eller <. Första likheten: Avsätt talet x på y-axeln. Dra en horisontell linje genom den avsatta punkten. Markera dess skärning med enhetscirkeln. Var finns nu vinklarna vars sin-värde är lika med det givna x? Vilken av dessa vinklar är den som betecknas med arcsin x? Resonera sedan på samma sätt med x iställetförx. Konstatera att vinklarna arcsin x och arcsin ( x) alltid är spegelbilder av varandra i x-axeln. y Om däremot π θ 0, så är arccos (cos θ) θ arccos p x arcsin x för θ och θ har samma cos-värde och det är nu θ som tillhör intervallet [0,π]. 74. Vinkeln mellan hypotenusan och x-kateten är arccos x, den andra vinkeln, som är < 90, är arcsin x. Därför arccos x +arcsinx π sin (arccos x) p x cos (arcsin x) p x tan (arcsin x) x x x - -0.5 0.5 0-0.5 0 0.5 x cot (arcsin x) x Fallet x<0 kan vi återföra till det här: Sätt x t, t > 0 arccos (x)+ arcsin(x) arccos ( t)+ arcsin( t) π arccos t arcsin t - π π π igen 7. Utnyttja de två figurerna med enhetscirkeln i Persson&Böiers, sid.8. Men, till skillnad mot där, har du nu x i stället för tan x resp. cot x, medan vinklarna är arctan x resp. arccot x i stället för x. Glöm inte att kontrollera att likheterna stämmer även när tan- /cot-värdena är negativa! 7. Låt θ arcsinx. Det gäller π θ π sin θ x p cos θ sin θ p x (Plustecken p.g.a. att θ ligger i intervallet π, π.) Alltså arccos p x arccos (cos θ) som skall vara den vinkel i intervallet [0,π] som har samma cos-värde som θ. Om 0 θ π, d.v.s. x 0, så är arccos (cos θ) θ arccos p x arcsinx Även de övriga identiteterna förblir sanna: sin (arccos (x)) sin (arccos ( t)) sin(π arccos t) sin(arccost) p t p x cos (arcsin x) cos(arcsin( t)) cos( arcsin t) cos(arcsint) p t p x tan (arcsin x) tan(arcsin( t)) tan( arcsin t) tan (arcsin t) t t x x cot (arcsin x) tan (arcsin x) 7
75. Den vinkel som ligger mot x-kateten är arctanx, den andra icke-räta vinkeln är arccot x. Hypotenusan är +x. Därför 76. 77. arctan x + arccot x π cos (arctan x) sin (arctan x) cot (arctan x) x cos (arccot x) sin (arccot x) +x x +x x x + x + För att undersöka fallet x<0, sätt x t, t > 0, och utnyttja resultaten i frågor 7 och 7: arctan x +arccotx arctan( t) + arccot ( t) arctan t + π arccot t π igen Även övriga fem identiteter förblir giltiga. ³ sinh x ln x + p x + ³ cosh x ln x + p x,x 78. a) tanh y skall beteckna lösningen till ekvationen Eftersom så får vi förutsatt att tanh x y, y givet tanh x sinh x cosh x (ex e x ) / (e x + e x ) / e x e x y e x + e x ( y) e x (+y) e x e x +y y x +y y > 0 m <y< ln +y y Annars finns ingen lösning! Alltså tanh x +x ln x, x < b) coth x +x ln x, x > 79. Betrakta sjättegradspolynomet p (x) x Det har alltså 6 olika nollställen: x,,, 4, 5, 6. Då har vi faktoriseringen p (x) x (x ) (x ) (x ) (x 4) (x 5) (x 6) q (x) q (x) polynom Jämför vi högstagradstermerna i de båda leden, får vi q (x) Alltså p (7) 7 (7 ) (7 )... (7 6) 70 p (7) 77 8
80. Notera att z 0är uteslutet från början. 8. z + z z z Rez z 0 x x + y (x ) + y Cirkel med medelpunkt i z och radie, dock med origo (z 0) borttaget. Nämnaren Täljaren z w (z w) (z + w) z + w (z + w) (z + w) z + w (z w)( z + w) z z w w + z w w z z w + z w (z w) z w +iim z w 8. z + 4i z ( +4i) så z ligger på kurvan om och endast om dess avstånd till +4i är, d.v.s. vi har en cirkel med radie och medelpunkt +4i -5 -.75 Avståndet från cirkelns medelpunkt till origo är +4 5och cirkelns radie är, så största/minsta avståndet från cirkeln till origo är -.5 -.5 5+ 7 resp. 5 5.75.5.5 0 0 y x 8. Problemet kan formuleras: Givet två fixa punkter A och B, visa att de punkter P vars avstånd till A och B står i ett konstant förhållande AP BP k bildar en cirkel. Om vi har lösningskurvan ifalletdåa (, 0) och B (0, 0), så är det bara att vrida och förstora/förminska, så att A hamnar i w och B i w, så har vi lösningen i det allmänna fallet då A representeras av w och B av w. Dela upp z i real- och imaginärdel: z x + iy Att punkterna skulle bilda en cirkel är liktydigt med att den givna likheten skulle vara ekvivalent med en av typen (x x 0 ) +(y y 0 ) r Vi kan göra följande omskrivning z k z (x ) + y k x + y k x x + k y Om k, så är detta ekvationen för en rät linje x / vilket inte borde förvåna: de punkter som har lika avstånd till två givna w,w bildar mittpunktsnormalen till sträckan w w. Om k 6, så kan vi dividera med k och kvadratkomplettera: x k x + y k µ x µ k + y k k µ x µ k k + y k Härav avläser vi att punkterna bildar en cirkel med medelpunkt µ k, 0 och radie k k I det allmänna fallet är medelpunkten w + k (w w ) och radien k k w w 9
84. Skriv talen på polär/exponentiell form: µ + à arg +i arg +i 4 + 4! r 0 π 0 π 88. Alt. arg z arg z visar att arg z < π arg z < π e iπ/4 ( + i) ( + i)(+i) à +i! n à i! n + ³e iπ/ n ³ + e iπ/ n ( +5i) e iπ/4 ( + i) ( i)(+i) 85. 86. 87. e iπn/ + e iπn/ cos πn ½ då n k, k Z annars Å andra sidan ( + i) 00 ( + i) 00 Re ( + i) 00 ³ e iπ/4 00 ³ / 00 e i5π 50 e iπ 50 X00 µ 00 i k k k0 µ µ 00 00 + 0 µ µ 00 00 + 4 6 +... + µ 00 00 så summan av binomialkoefficienterna är 50. z x + iy e z e x iy e x (cos y i sin y) e z (e x (cos y + i sin y)) e x (cos y i sin y) Likheten gäller för alla komplexa z. x + iy x iy (x + iy)(x iy) x x + y i y x + y visar att Re z>0 Re z > 0 (5 + i) 89. Punkterna 0,z och w bildar en liksidig triangel 90. Vi kan skriva Därmed z w e ±iπ/ ± i v u z w t µ Ã! + z cosθ + i sin θ z cosθ i sin θ z + z cosθ Svar: Endast reella värden mellan och. 9. Arean är z w sin θ, där θ är vinkeln mellan z och w. Åandrasidan θ argw arg z Skriv talen på polär form: z z e i arg z z i arg z z e w w e i arg w så syns att i(arg w arg Im (zw) Im ³ z w e z) z w sin θ Låt nu z a + ib och w c + id ovan, så fås det andra påståendet.. 0
9. a) b) c) 9. a) BD svarar mot ib + b +c + d id a +b +c +d 0 a + b + c + d 0 ib + b +c + d id i (ia + a +b + c ic) a + b + c + d i (a + b + c + d) 0 0, vilket ju är sant cos 5x + i sin 5x (cosx + i sin x) 5 (cosx) 5 +5(cosx) 4 (i sin x) + 0 (cos x) (i sin x) +0 (cos x) (i sin x) +5cosx (i sin x) 4 +(i sin x) 5 cos 5 x 0 cos x sin x +5cosx sin 4 x + +i 5cos 4 x sin x 0 cos x sin x +sin 5 x Realdelarna på båda sidor måste vara lika: cos 5x cos 5 x 0 cos x sin x +5cosxsin 4 x För att få bort sin x, utnyttja trig. ettan: 94. 95. ty π/0 är en liten vinkel jämfört med π/. Sätt t y, så har vi en andragradsekvation: 6y 0y +5 0 y 0 ± 0 6 5 s 6 0 ± s 0 5 ± 5 t 6 8 Är det + eller som gäller? Båda valen ger resultat mellan 0 och. Observera att vi hade fått samma ekvation med x π/0 i stället, ty µ cos 5 π cos π 0 0 och π/0 är också en vinkel i första kvadranten. Större vinkel medför mindre cos-värde, så det måste vara så att cos π 0 cos π 0 s 5+ 5 8 s 5 5 8 (Kontrollera gärna med miniräknaren.) sin 5x 6sin 5 x 0 sin x +5sinx cos 5 x 0 cos x cos x + +5 cos x cos x cos 5 x 0 cos x +0cos 5 x + +5 cos x 0 cos x +5cos 5 x 6cos 5 x 0 cos x +5cosx ( + i)(+i) 6+i +5i 5+5i Alltså arg (( + i)(+i)) π 4 Å andra sidan D.v.s. cos 5x 6cos 5 x 0 cos x +5cosx b) Sätt in x π 0,tcos π 0 i denna identitet och utnyttja att cos π 0: 0 6t 5 0t +5t t 6t 4 0t +5 Nu får vi tänka efter: cos π 0 ett av denna ekvations rötter, men vilken? Det kan inte vara t 0, det måste vara ett t mellan 0 och, ty π/0 är en vinkel i första kvadranten och det borde ligga ganska nära, arg (( + i)(+i)) arg ( + i)+arg(+i) arctan +arctan varvid med avses likasånärsompåenmultipelavπ. Alltså arctan +arctan π 4 + nπ för något heltal n I detta konkreta fall ser vi emellertid genast att 0 < arctan < arctan < arctan π 4 så vi måste ha n 0och arctan +arctan π 4
96. cos 6 x +sin 6 x µ e ix + e ix 6 µ e ix e ix 6 + i... (5 + cos 4x) 8 97. Den enda typen av polynomekvationer av grad >, för vilka vi har en allmän lösningsmetod, är de s.k. binomiska ekvationerna z n w Vår ekvation kan skrivas om på denna form, om vi dividerar båda leden med (x +) 0 (vi kan se direkt att x inte är lösning, så det räcker att vi tittar på fallet x+ 6 0). Sedan går vi över till polär form: x x + reiθ µ 0 x x + re iθ 0 r 0 e i0θ e i0 m r 0θ 0+nπ, n heltal Olika re iθ fås för n 0,,..., 9 sedan upprepning. Sätt (för att skriva mindre) ω e iπ/0 och lös ut x : x (x +)ω n x ( ω n ) +ω n x +ωn, n,,,..., 9 ωn Obs. att n 0inte ger lösn. till vår urspr. ekv.: det finns inget x med x x +. Om vi tänker efter, så inser vi att något sådant borde varitväntat vikaninteha0 olika rötter eftersom den urspr. polynomekvationen i själva verket är av grad 9:utveckla med binomialsatsen så kommer x 0 - termerna att ta ut varandra. Med ett förlängningstrick kan svaret uttryckas klarare : +ω n Dividera ω n täljare och nämnare med ω n/ ω n/ + ω n/ ω n/ ω n/ ωn/ + ω n/ ω n/ ω n/ einπ/0 + e inπ/0 e inπ/0 e inπ/0 Eulers formler ( baklänges ) ger oss nu att täljaren cos(nπ/0) medan nämnaren i sin (nπ/0) och därmed ³ x i cot n π, n,,,..., 9 0 Trickalternativ (endast som kuriosa här ): Inför z x x + Ekvationen är ekvivalent med 0 z 5 z 5 z 5 + (z ) z 4 + z + z + z + (z +) z 4 z + z z + så antingen antingen z eller z eller z 4 + z + z + z + 0 eller z 4 z + z z + 0 De sistnämnda ekv. kan omformas till andragradsekvationer i två etapper: dividera båda leden med z och para sedan ihop z med /z liksom z med /z. Jag genomför räkningarna endast för den ena : 0 z + z ++ z + z µz + z µ + z + z µ z + µ + z + + z z är en andragradsekv. för z + z z + z r ± 4 + ³ ± 5
Mult. båda leden med z : 0 z ³ ± 5 z + z, ³ + r 5 ± 4 6 z,4 ³ r 5 ± 4 6 ³ 6 5 ³ 6+ 5 Slutligen kan vi lösa ut x ur x z (x +): x +z... z är faktiskt µ π i cot 0 o.s.v. 98. Summan är en geometrisk summa N X k0 ½ e iπk/n N, zn z 0 s + 5 i om k är en multipel av N 0, annars 99. Första: Vänsterled och högerled är polynom av av samma grad, med samma nollställen, med samma konstanta koefficient Därförmåstedevaraidentiska. Att de har samma nollställen ses så här: Nollställena till z n är rötterna till den binomiska ekvationen z n och de är e ikπ/n ω k, k 0,,,..., n Nollställena till vänsterledet är nollställena till de enskilda faktorerna och ω k z 0 z ω k ωn ω k ωn k Andra: Fås ur första och formeln för geometrisk summa (baklänges): z n ( z) +z + z +... + z n 00. Sätt z i den andra identiteten och ta absolutbeloppen av båda leden : n Y k e iπk/n n Eftersom s µ e iπk/n cos πk +sin πk n n r cos πk n får vi sin π n sin π n r 4sin πk n sin πk n... sin (n ) π n [då 0 k n] n n 0. Sant. Nollställena till polynom med reella koefficienter förekommer i komplexkonjugerade par och för ett tal på enhetscirkeln z e iθ gäller att z e iθ e iθ z 0. De två reella talen som ligger på enhetscirkeln, ±, är uppenbart inte rötter kolla genom insättning. Eftersom polynomet har reella koefficienter, måste de komplexa rötterna förekomma i komplexkonjugerade par z, e ±iα z,4 e ±iβ och följande likhet skall gälla för alla z : z 4 z + 7 z 5 z + z e iα z e iα z e iβ z e iβ z ( cos α) z + z ( cos β) z + z 4 (cosα +cosβ) z + +(+4cosαcos β +)z + (cosα +cosβ) z + Här ser vi att z -ochz-koefficienterna måste vara lika, men det är de inte för vårt polynom! Svar: nej. och förkorta z från båda leden.
0. Identifiering av koefficienterna i x x x 6 (x a)(x b)(x c) x (a + b + c) x +(ab + bc + ca) x abc ger a + b + c ab + bc + ca abc 6 Därmed är den första summan klar. a + b + c (a + b + c) (ab + bc + ca) ( ) 67 Addition av de tre likheterna a a a 6 0 b b b 6 0 c c c 6 0 ger a + b + c a + b + c + + (a + b + c)+ + 6 67+ + 89 89 Addition av a a a a 6 0 b b b b 6 0 b c c c 6 0 ger a 4 + b 4 + c 4 a + b + c + a + b + c + +6 (a + b + c) 89+ 67 + 6 56 Om så är s n a n + b n + c n s n+ s n +s n +6s n Om du fortfarande tvivlar, kontrolera själv: x x x 6 (x 7) (x +) Det allmänna fallet: 7 7 +( ) +( ) 67 7 +( ) +( ) 89 7 4 +( ) 4 +( ) 4 56 a + b + c p ab + bc + ca q abc r a + b + c (a + b + c) (ab + bc + ca) p q a + b + c p a + b + c q (a + b + c) r a n + b n + c n p a n + b n + c n q a n + b n + c n r a n + b n + c n 04. Titta på a. Enligt sambandet mellan rötter och koefficienter, är summan av alla nollställen vilket innebär att z + z +... + z n a Re z +Rez +... +Rez n Re( a ) Om Re ( a ) > 0, d.v.s. Re a < 0, så betyder det att minst ett av nollställena har positiv realdel, d.v.s. ligger i högra halvplanet, och påståendet är falskt. Om Re a > 0, kan frågan inte avgöras. och så kan man fortsätta: 4