De fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder

De fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder Teknisk Fysik, Chalmers tekniska högskola, Sverige Robin Andersson Email: robiand@student.chalmers.se Alexander Grabowski Email: alegra@student.chalmers.se 3 december 2012

Sammanfattning Rapporten är om en undersökning av de fysikaliska parametrar som påverkar periodtiden för en godtycklig fjäder. Syftet med undersökningen är att algebraiskt förmedla hur periodtiden beror på dess parametrar, samt att få en en bättre kunskap om hur det experimentella arbetet effektivt kan användas för att avgöra eventuella teoretisk samband. Undersökningen har inlett med teoretiska tankeexperiment och funderingar över vad som kan förväntas. Vilka senare har visat sig stämma eller ej, via experimentella verifieringar.

Innehåll 1 Inledning 2 2 Teori 2 3 Metod 2 4 Resultat 6 5 Felanalys 11 6 Diskussion 12 A Appendix 13 A.1 Loggbok.......................... 13 1

1 Inledning Vi skall undersöka de fysikaliska parametrar som påverkar periodtiden för en fjäder. Det kan anses vara självklart att periodtiden varierar från fjäder till fjäder. Men vad är det med fjädern som gör att periodtiderna skiljer sig åt? Materialet? Längden? Antal varv på fjädern? Med dessa frågor skall vi undersöka vår hypotes om de faktorer som påverkar periodtiden, och sedan kunna avgöra den teoretiska periodtiden för en given fjäder. Med avseende på detta hoppas vi få en bättre uppfattning om vad som kan tänkas påverka en given faktor, som i vårat fall är periodtiden för en godtyckligt belastad fjäder. Samt att få en bättre kunskap om den process som behövs genomföras för att avgöra ett sådant fysikaliskt samband. 2 Teori En mekanisk fjäder är ett elastiskt objekt som har förmågan att bevara mekanisk energi. Utsätter man en upphängd fjäder för en konstant belastning kommer fjädern att börja självsvänga på grund av den kraft som påverkar fjädern. När fjädern dras ut så ökar den potentiella energin i fjädern, som konsekvens av detta dras fjädern ihop igen - eftersom den potentiella energin bidrar till att skapa en spänning i materialet. Denna mekaniska spänning ger upphov till en kraft större än belastningskraften. När fjädern sedan börjar återvända minskar energin i fjädern och belastningskraften som fortfarande verkar på fjädern blir allt mer dominant när den mekaniska energin i fjädern minskar, och processen återstartar. Denna periodiska process leder till en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Periodtiden för denna självsvängning beror på ett antal parametrar. Vår uppgift är att ta reda på hur den beror på dessa parametrar, för att sedan kunna förutsäga vad periodtiden för en godtyckligt belastad mekanisk fjäder bör vara. 3 Metod Undersökningen har inletts med en teoretisk analys om vilka parametrar som kan tänkas ha en inverkan på periodtiden T. De parametrar som har valts att undersökas är: Längden l på fjädern. Antal varv n i fjädersprialen. Trådtjockleken w på fjädern. 2

w l n d 01 01 m Figur 1: Figuren visar en modell över en godtycklig fjäder ihop med de undersökta parametrarna. De parametrar som visas i figuren är fjäderns längd l, tjockleken på fjädertråden w, antal varv n i fjäderns spiral, fjäderns ytterdiameter d samt en godtycklig yttre belastning m. Observera att skjuvmodulen och elasticitetsmodulen är ytterliggare två parametrar som har undersökts i rapporten. 3

Den yttre diametern d på fjädern. Antingen elasticitetsmodulen E eller skjuvmodulen G, som båda är egenskaper för fjäderns material. En yttre belastning m, som hänger i fjädern. Se figur 1, för en figur över dessa parametrar. Metodiken som sedan följde var stegvis väldigt lik för de olika parametrarna. För att avgöra om det existerade ett samband mellan T och m så inleddes det med experiment på en godtycklig fjäder. Experimentet innebar att mäta periodtiden för tre olika belastningar för tre olika fjädrar. Den experimentella uppställning som har använts demonstreras i figur 2. Efter undersökningen av periodtiden som en funktion av massan(belastningen), genomgick fortsatta experiment där enbart en parameter i taget varierades. Först undersöktes parametern l. Tidsmätningarna mättes som tidigare fast denna gången i en annan ordning. De tre undersökta fjädrarna varierade som sagt enbart med l, samt tre olika belastningar m. På dessa utfördes tre mätningar (en medelvärdesmätning av tiden per fjäder, där tiden mättes upp 50 gånger per belastning (m 1 = 5 kg, m 2 = 7 kg, m 3 = 10 kg). Med hjälp av linjarisering fås återigen ett eventuellt samband. Processen ovan för hitta eventuellt samband mellan l och T har sedan applicerats för att hitta samband mellan ytterliggare okända parametrar. Detta återupprepades för antal varv n på fjädern och ytterdiametern d. För övriga två hypotetiska parametrar, tråddiametern w och antingen, elasticitetsmodulen E eller skjuvmodulen G, har dimensionsanalys applicerats. Det blir då ett överbestämt ekvationssystem, ty, det finns enbart två okända parametrar och tre ekvationer. Ett problem som dyker upp med dimensionsanalysen är att det går inte att avgöra om det är E, eller G som är den verkande parametern. För att de båda har samma storhet, L 1 M T 2. För att avgöra om det är G eller E som är den verkande parametern resonerades det kring situationen. De har tagits upp frågor kring vad konsekvenserna bör vara om det är E, eller G som verkar. Samt en del experiment har gjorts i hopp om att avgöra den verkande parametern, dock utan framgång. Konstanten α bestäms med hjälp av fjäderparametrarna och de uppmätta tiderna genom sambandet: α = m n d 3 G w 4 T. (1) 4

Figur 2: En bild som demonstrerar hur den experimentella uppställningen av mätningarna har sett ut. På bilden ser vi en fjäder upphängd i en fast ställning. I fjädern hänger det sedan en belastning m i ett snöre. Strax under belastningen så ses fotocellen som har använts för att mäta periodtiderna. Varje uppmätt tid fås då ljuset mellan ljusdioden och mottagaren bryts, vilket sker varje gång belastningen hamnar i ett sådant läge att ljuset blockeras. Då skickas den uppmätta tiden vidare till en dator, där man läser av den uppmätta tiden T. 5

För att erhålla ett bättre värde används i detta fallet flera olika fjädrar, belastningar och tider och α defineras som medelvärdet av dessa. 4 Resultat Det första praktiska experimentet som utfördes var att undersöka om det existerade ett samband mellan periodtiden T och belastningen m. I tabell- 1, 2 och 3 följer de uppmätta tiderna för det experimentet, T (m). Tabell 1: Fjäder 1. Tiderna T 1 T 5 är medelvärden av 10 individuella uppmätta perioder. Där T medel är medelvärdet av T 1 T 5. Tabellen täcker de tider som mättes för fjäder 1 med tre olika värden på m. Tabellen visar att avvikelserna från respektive värde är väldigt små. I detta fall en avvikelse på högst ±2 ms. Uppmätta tider [s] m 1 = 5 kg m 2 = 7 kg m 3 = 10 kg T 1 0.227 0.266 0.315 T 2 0.224 0.266 0.317 T 3 0.226 0.266 0.315 T 4 0.227 0.266 0.315 T 5 0.227 0.264 0.315 T medel 0.226 0.266 0.315 Tabell 2: Fjäder 2. Tabell över de uppmätta tiderna med tre olika värden på m. Det är fem tidsmedelvärden för tre olika belastningar. Tabellen visar att avvikelserna från respektive värde är väldigt små. I detta fall en avvikelse på högst ±4 ms. Uppmätta tider [s] m 1 = 5 kg m 2 = 7 kg m 3 = 10 kg T 1 0.267 0.314 0.368 T 2 0.264 0.309 0.368 T 3 0.267 0.311 0.368 T 4 0.267 0.307 0.368 T 5 0.267 0.311 0.368 T medel 0.266 0.310 0.368 6

Tabell 3: Fjäder 3. Tabell över de uppmätta tiderna med tre olika värden på m. Det är fem tidsmedelvärden för tre olika belastningar. Tabellen visar att avvikelserna är väldigt små. I detta fall en avvikelse på högst ±3 ms. Uppmätta tider [s] m 1 = 5 kg m 2 = 7 kg m 3 = 10 kg T 1 0.359 0.419 0.493 T 2 0.355 0.418 0.495 T 3 0.355 0.418 0.496 T 4 0.357 0.418 0.496 T 5 0.355 0.418 0.498 T medel 0.356 0.418 0.496 Med hjälp av MATLAB beräknades det sökta (om det fanns något) sambandet. Ur denna data (se figur 3) sågs ett tydligt samband, 0.6 Function T(m) ln (T) [s] 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 ln (m) [kg] Figur 3: T = α m, där α motsvarar alla de okända parametrar och konstanter för periodtiden. Nästa parameter som undersöktes var l, d.v.s. T (l). För detta samband har principen nästan varit densamma. Med två olika fjädrar, där det enda som skiljde de åt var l, med tre olika belastningar 1 kg, 3 kg, 5 kg utfördes tidsmätningarna som tidigare för T (m). 7

Ur tabell 4 ses att avvikelserna är väldigt små, i princip försumbara. Ur figur 4 ses också att linjerna ligger nästan exakt på varandra. Detta innebar att l inte påverkar T. Ty, om l hade varit en verkande parameter hade figur 4 visat parallella linjer som ej skär varandra, om vi utgår ifrån att mätvärdena är noggranna nog för att ej bidra med olika lutningar på linjerna. 0 Function T(m) 0.5 ln (T) [s] 1 1.5 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ln (m) [s] Figur 4: Figuren är resultatet ifrån linjariseringen av T som en funktion av m med enbart varierande längd på fjädrarna. I grafen ses de linjer som ej är parallellt förskjutna utan istället är i princip på varandra. Detta är också tanken ty detta indikerar att det ej existerar ett samband mellan T och l. Dock existerar det små avvikelser på grund utav att noggrannheten i mätvärdena ej är exakta. Denna process har nu applicerats för att undersöka T (n) och T (d). Tack vare att det inte fanns någon samband mellan T (l) kunde en parameter i taget varieras vilket underlättar den process som behövdes genomgå för att finna de övriga eventuella samband. För experimentet för T (n) fås T = α m n, där α åter igen motsvarar de okända parametrar och konstanter, och även fann vi ett samband i experimentet för T (d), T = α m n d 3. Nu återstog enbart w och, E eller G. Dessa samband togs fram med hjälp av dimensionsanalys. 8

Dimensionsanalys: Vi antar att det är elasticitetsmodulen E, vi har då T = m n d 3 w a E b α, där α nu är en konstant. Omskrivning av uttrycket nu i form av enheter ger T = M 1 3 2 L 2 La L b M b T 2b. T : 1 = 2b, b = 1 2 L : 0 = a b + 3 2, a = 2 M : 0 = 1 2 + b, OK! m n r 3 T = α E w 4, α är en konstant. Men eftersom E och G har samma storheter, räcker ej dimensionsanalysen till. Dock, det har argumenterats en del kring situationen, se figur 5 för en överblick över kraftsituationen. Faktum är att det är G som är den parameter som påverkar T, för att när fjädern komprimeras eller förlängs så påverkas fjädern i själva verket av en vridning. Men om det hade varit E (som det är för något som kallas för bladfjädrar), så hade situationen snarare handlat om att försöka bryta fjädermaterialet. Vilket inte är situationen som vi undersöker. Med hjälp av metoden omnämnd i ekvation 1 bestäms slutligen α till 17.5833. Vilket ger oss det ungefärliga slututtrycket. T = 17.583 m n r 3 G w 4 (2) Tabell 4: Tabell över de uppmätta tiderna för fjäder 4, 5 och 6 med tre olika belastningar m. Det är nio medelvärden. Medelvärdena är ifrån 50 tidsmätningar vardera. Dessa medelvärden bildar tre linjer. Det ses tydligt i tabellen att avvikelserna är väldigt små, om någon avvikelse alls. Uppmätta tider [s] m 1 = 1 kg m 2 = 3 kg m 3 = 5 kg T medel1 0.298 0.541 0.646 T medel2 0.298 0.536 0.639 T medel3 0.296 0.542 0.639 9

Figur 5: En figur över snittet på en del av fjädertråden från spiralen som demonstrerar hur fjädern deformeras under påverkan av yttre krafter. Krafterna är en visualisering över de krafter som faktiskt verkar under de experiment som har utförts i rapporten. 10

5 Felanalys Inledningsvis bestäms konstantens medelvärde genom att olika fjädrar belastas och parametrarna mäts mycket noggrannt. Därefter används det framtagna medelvärdet och enskilt uppmätta konstantvärden behandlas enligt följande formel: s α = 1 n n 1 (α k α medel ) 2, k=1 där s α är standardavvikelsen i de uppmätta konstantvärdena, α medel är konstantens aritmetiska medelvärde, n är antalet uppmätta värden på α och k är ett index som används för att skilja på de olika konstantvärderna. Slutligen bestäms felet i slututtrycket med hjälp av godtyckligt valda mätvärden från en fjäder samt uppskattade standardavvikelser enligt tabell 5. Tabell 5: En tabell över vilka värden som används i felanalysen av slututtrycket. Standardavvikelser Värden s α 1.8252 s m 0.010 kg s d 0.002 m s w 1.8252 m s G 0.1 10 9 Pa s n 0.2 varv Några godtyckliga fjäderparametrar Värden α 17.5833 m 3.0 kg d 0.0667 m w 0.00415 m G 81.0 10 9 Pa n 0.2 varv Standardavvikelsen i T kommer då att se ut enligt följande uttryck: s T = ( T α ) 2 ( ) T 2 ( ) T 2 s 2 α + s m 2 m + s 2 d d + 11

( ) T 2 ( ) T 2 ( ) T 2 + s w 2 w + s 2 G G + s n 2 n. Detta ger ett fel på ca 0.0466 s i slututtrycket. 6 Diskussion De parametrar som har haft en avgörande roll hos periodtiden anses inte vara självklara. D.v.s. att l inte påverkar T medans tjockleken w gör det anses inte vara självklart. Därmed tycker vi att dessa experiment har varit viktiga och avgörande för att få en förståelse för hur mindre tydliga material- och fjäderegenskaper påverkar periodtiden. Den konstant som existerar i det funna samband har dock väldigt varierande värden för att den beror mycket på noggrannheten i mätningarna. Inte enbart tidsmätningarna utan också längdmätningar som w och d, som har mäts med ett skjutmått. Givetvis har metoden för en viss mätning en påverkan även där på felmarginaler. Det vill alltså säga att mätmetoderna är viktiga för att få ett korrekt teoretiskt samband. Felet i det uppskattade slututtrycket anser vi vara rimligt (ca 47 ms för en belastning på 3 kg) för att de uppskattade felen i de olika parametrarna är stora med tanke på exponenterna på vissa av dem. Det är också nämnvärt att felet blir större med ökande massa. Referenser [1] Carl Nordling och Jonne Östman. Värden för skjuvmodul och elasticitetsmodul. Physics Handbook. Sverige, upplaga 8, 2006. [2] Designer unknown. Mall för fjäderfiguren, enbart fjädern. Xfig inbuilt graphics. [3] Newcomb Spring Corporation. http: // www. newcombspring. com/ article_ modulous_ elasticity. html. Modulus in Shear or Torsion and modulus in tension or bending. 12

A A.1 Appendix Loggbok Figur 6: Sida 1/7, loggboken. 13

Figur 7: Sida 2/7, loggboken. 14

Figur 12: Sida 7, och sista sidan av loggboken. 19