TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns e al k så a A=kB k A= (för e al k) B A är proporionell mo summan, A= k ( B + C) differensen, A= k( B C) produen, A= kbc kvoen, B av B och C A= k (för e al k) C Funionens förändringshasighe y ( (eller y (x) ) Funionen förändras med hasigheen A y ( =A Funionen förändras med hasigheen som är proporionell mo A y ( =ka Funionen förändras med hasigheen som k är omvän proporionell mo A y ( = A Funionens förändras med hasigheen y ( = ka( B C) som är proporionell mo produen mellan A och (B C) Uppgif Säll upp en differenial ekvaion för funionen y ( om a) Funionen y ( förändras med hasigheen (som är lika med) y ( b) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo y ( c) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo d) Funionen y ( förändras med hasigheen som är omvän proporionell mo y ( e) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo differensen mellan och y ( Svar: k a) y ( = y(, b) y ( = ky( c) y ( = d) y ( = e) y ( = k( y( ) y( Uppgif E radioaiv ämne sönderfaller med hasigheen som är proporionell mo den mängd av ämne som finns kvar a) Säll upp en differenialekvaion som beskriver förloppe b) Av gram blir de kvar 9 gram efer år Hur många gram blir kvar efer år Sida av
dy Svar a) = ky( b) den allmänna lösningen är y = Ce Villkore y ( ) = C = och därmed y = e k 9 Från y( ) = 9 har vi 9 = e k = ln( ) Allså y = e Härav y() Svar b) Uppgif En sfärisk snöboll med radien l m smäler på e dygn ill den mindre snöbollen med radien 8 m Vi anar, a volymen av snöbollen minskar med en hasighe, som är proporionell mo snöbollens area Vi förusäer, a bollen behåller sin sfäriska form under hela smälperioden a) Besäm en differenialekvaion för radien R som funion av iden b) Lös differenialekvaionen med avseende på R( c) Beräkna efer hur lång id snöbollen är hel bora (Tips: volymen V= R, arean A= R ) = ka dr dr R = kr = k Svar: a) R ( = k b) R ( = + C R() = C = och k = R() = 8 allså R ( = + c) + = = I följande uppgif används Newons avsvalningslag: Om en kropp med emperauren T placeras i en omgivning med emperauren T R, kommer kroppens emperaurer y( a förändras med hasigheen som är proporionell mo skillnaden mellan föremåles emperaur och omgivnings emperaur Med andra ord har vi följande ekvaion y ( = k( y( TR ) med beggynelsevillkor : y() = T Uppgif E föremål med emperauren C har efer en minu i rumsemperaur ( C) svalna ill Hasigheen med vilken emperauren sjunker är proporionell mo skillnaden mellan föremåles emperaur och rumsemperauren a) Besäm föremåles emperaur som funion av iden Sida av
b) Efer hur lång id blir föremåles emperaur? dy dy dy = k( y( ) = k y = y ln y = + C y = + D e Sarvillkore y( ) = D = 78 y = + 78 e k 8 Villkore y ( ) = = + 78 e 78 Svar a) y = + 78 e y = + 78 e k k = e 8 k = ln 78 b) y ( = + 78 e = e = 8 / 78 = ln(8/78) 76 min Svar b) 7 6 min ln(8/78) = k Uppgif (Ten aug ) En behållare har formen av en kon med spesen nedå enlig figuren Från början är behållaren fylld med vaen ill höjden, cm Vane rinner u genom e lie hål i boen Uflöde är, h cm /s, där h är vanes höjd i cm Hur lång id ar de innan behållaren är om?, h Vaenvolymen V( uppfyller ekvaionen blir =, h (*) Ekvaionen (*) har vå obekana funioner V( och h( För a lösa ekvaionen måse vi r h eliminera en av dem Formeln för volymen av en kon ger V =, där r är vaenyans radie På grund av -vinkeln gäller r = h och allså h V = Sida av
Meod Vi eliminerar V ( h( ) Vi deriverar sambande V ( = och får ( med hjälp av kedjeregeln ) h dh dh = = h som vi subsiuerar i ekv (*) : dh h =, h (ekv ) Vi separerar variabler ( h och ) och får, h dh = (ekv ) Inegrera: h dh = h eller = + C Från h()= får vi C = (**) 868 och därmed h = + 868 C Behållaren är om om h= dvs + C = Härav = Svar: s Meod Vi eliminerar h ur ekvaionen =, h h V V = h = = 9,9V 6 6 Insäning ekvaionen ger =, V, dvs Differenialekvaionen kan separeras: V 6 = 9 9 Inegraion ger V = 9 9 + C, Vid iden är volymen V = Dea ger C = ömmas får vi genom a säa V = = Uppgif 6 C s 9 6, 6 6 6 6 Tiden för behållaren a De har regna under en längre id Vaen har hel fyll e m lång och m bre dike Dikes verikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadra, delad längs en horisonell diagonal, m lång Regne har upphör vid idpunen = a) Anag a dike neill är hel ä så a vane endas kan försvinna genom avdunsning uppå Lå V( vara vaenvolymen vid iden >, med mä i dagar Sida av
Visa a V( uppfyller en differenialekvaion på formen = k V k =posiiv konsan, om avdunsningshasigheen(i m /dag) är proporionell mo den fria vaenyans area b) Besäm V( om V() =m (=hel fyll dike) och V()=99m c) När är dike orrlag? a) Lå A( = den fria vaenyans area Enlig förusäningarna gäller = ka (*) Om h beecknar vanes höjd då gäller h h V V ( = = h h = och V A = h = h = = V Dea subsiuerar vi i ekvaionen(*) och får = k V Vi kan bya k med en ny koefficien k Då kan vi skriva ekvaionen på formen = k V VS V b) Vi separerar variabler Sida av
V (Den riviala lösningen V saisfierar ine andra begynnelse villkore ) = k V = k V = + C V()= C = V()=99 99 = k + k = 99 6 V = + C V = ( 99 ) + V = [ ( 99 ) + ] Svar b) V ( = [ ( 99 ) + ] c) V ( = [ ( 99 ) + ] = ( 99 ) + = = 99 dagar ( 99 ) Uppgif 7 I nedansående vaenank finns lier vaen Vid = finns de g sal i anken Tanken illförs vaen med hasigheen lier per imme och salinnehåll g per lier Efer ordenlig mixning förs u vaen med hasigheen lier per imme Lå y ( beeckna anale g sal i anken vid iden (d v s efer immar) a) Säll upp en differenialekvaion för y ( och besäm y ( b) Hur mycke sal finns i anken efer immar och min Svara i anale gram (avrunda ill helal gram) a) Ekvaionen: y( y ( = y ( + y( = 8 (*) Begynnelsevillkore: y ( ) = Den karaerisiska ekvaionen för den homogena delen: r + = r = / Härav yh ( = Ce Vi ansäer y p ( = A och därmed y p ( = Sida 6 av
Subsiuion i (*) ger A = 8 A = 8 och därmed y p ( = 8 / Den allmänna lösningen är y ( = Ce + 8 Villkore y ( ) = medför C=7 / och y ( = 7e + 8 / Svar a) y ( = 7e + 8 b) y()= y ( = 7e + 8 Uppgif 8 E mekanis sysem med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvaion, med avseende på y( m y ( + by ( + ky( = F( a) Besäm den allmänna lösningen för y( då m =, b =, k = 6, F = sin( + cos( b) Besäm den lösning som saisfierar y ( ) =, y ( ) = Svar a) Ekvaionen: y ( + y ( + 6y( = sin + cos y( x) = C e + Ce + sin Svar b) y( x) = sin ================================================ Hasighe och acceleraion vid en rälinjig rörelse Lå s ( beskriva posiion av e obje som rör sig rälinjig längs s-axeln ( ex x-axeln y- axeln eller z-axeln) Då har vi följande formler för hasigheen v (, faren v ( och acceleraionen : Posiionen vid iden : s = s( Hasigheen : v ( = s ( Faren: v ( = s ( Acceleraionen: a ( = s ( den oala längden av vägen som obje passerar under idsinervall är L = v( Härav kan vi beräkna posiionen s( om hasigheen v( Sida 7 av är känd:
s ( = v( + C Om vi ve acceleraionen a( då kan vi beräkna hasigheen v ( a( + C = och därefer inegrera en gång ill för a få posiionen s ( v( + C = Uppgif 9 En parikel rör sig längs y-axeln med acceleraionen a ( = ( i lämpliga enheer ex m/s ) Vid idpunen beecknar vi parikelns posiion med y( och parikelns hasighe med v( Besäm parikelns posiion y( och v( om y() = och v ( ) = Tips: y ( = v(, y ( = v ( = a( Från y ( = a( har vi y ( = Därför ( efer en inegraion) y ( = ( ) = + C, Allså v ( = y ( = + C Från v( ) = nar vi + C = dvs C= och därmed y ( = + Vi inegrerar en gång ill och får y ( = ( + ) = + + D Allså y ( = + + D Villkore y ( ) = ger D= Därmed y ( = + + Svar: y ( = + + och v ( = + Uppgif En parikel rör sig längs y-axeln med acceleraionen a( = sin ( i lämpliga enheer ex m/s ) Vid idpunen beecknar vi parikelns posiion med y( och parikelns hasighe med v( a) Besäm parikelns posiion y( vid idpunen om y() = och v()= b) I vilken posiion befinner sig parikeln vid idpunen = c) Besäm ( den oala) längden av vägen som parikeln passerar i idsinervalle Tips: y (= v(, v (=a( a) Från v (=a( får vi v ( = a( = ( sin = cos + C Efersom v()= har vi C= och därmed blir hasigheen v( = cos Sida 8 av
Från y (= v( får vi y ( = v( = (cos = sin + D Efersom y()= har vi D= och därför blir parikelns posiion (vid idpunen y ( = sin + b) y ( ) =, parikeln befinner sig igen i sarpunen ( y ( ) = y( ) = ) c) Den oala längden av vägen som parikeln passerar i idsinervalle är / / s = v( = cos + ( cos + (cos = + + = / / (meer) cos för / Anmärkning: v ( = cos = cos för / / cos för / Lägg märke ill a parikeln förs rör sig mo punen 7 på y-axeln, sedan mosa rining ill - och därefer ill Svar: a) y ( = sin + b) y ( ) = c) Uppgif (gammal enamen) En parikel rör sig längs y-axeln Parikelns posiion vid idpunen beecknar vi med y( hasigheen med v( och acceleraionen med a ( För parikelns rörelse gäller följande: a( = y(, y()= och v()=6 (i lämpliga enheer ex längden i meer, iden i sekunder) a) Besäm parikelns posiion y( b) Besäm längden av den oala vägen som parikeln genomlöper under idinervalle a)från a( = y( har vi ekvaionen y ( = y( y ( = y( y ( + y( = Från r + = r, = ± i Därför y( = C cos + D sin Från villkore y()= har vi C + = C = och därmed y( = D sin Från v()=6 får vi y ( ) = 6 Nu y ( = D cos D = 6 D = Allså y ( = sin( Svar: a) y ( = sin( b) Om växer från ill då växer från ill Vi beraar rörelsen y ( = sin( i vå idinervall och, Mosvarande inervall för är och o Sida 9 av -
i) Inervalle (mosvarande inervall för är ) I dea inervall varierar sin( ) mellan sin och sin dvs mellan och Parikeln sarar i y= och når sin högsa pun y= vid = [efersom y ( ) = sin( ) = ] Därmed, under idinervalle, passerar parikeln sräckan vars längd är L= (meer) ii) Inervalle (mosvarande inervall för är ) Parikeln går från punen y= mo punen y= Därmed, under idinervalle, passerar parikeln sräckan vars längd är L=6 (meer) Toal blir de L=L+L=+6=9 (meer) Svar b: 9 meer Allernaiv lösning för b-delen Vägen= har vi / v( = y ( = Funionen Efersom / 6 cos är posiiv om 6cos( 6cos = 6cos( / / 6cos 6cos = 6cos + ( 6cos = / och negaiv om om dvs om dvs sin( / ) sin() sin( / ) + sin( / ) = 9 Svar: a) Parikelns posiion vid iden är y ( = sin( / b) Vägen= v( = 6cos = 9 (meer) / / [ sin ] + [ sin ] = / Uppgif Om vi använder följande egenskaper : spänningsfalle över en spole med induansen L är lika med L i (, spänningsfalle över e mosånd med resisansen R är lika med R i( kan vi med följande ekvaion beskriva nedansående LR-kres di( L + R i( = u( Sida av
Besäm srömmen i( i nedansående LR- kres om u( = a) L= henry, R= 8 ohm, vol Vid = är srömmen i()= ampere b) L= henry, R= 8 ohm, u( a) Från kresen får vi följande diff ekv di( L + R i( = u( (ekv) ( efer subs L och R) i ( + 8i( = ( dela med ) i ( + i( = 6 (ekv ) = e V och i()= A Härav i H ( = C e Parikulärlösning : i p ( = A i ( = p A = 6 A = / i ( = / p Allså: i( = ih ( + i p ( i( = C e + För a besämma C använder vi begynnelsevillkoren i ( ) = och får i = C e + C och ( ) i = e + ( = Svar a) i ( = Svar b) i( = e e + + e Sida av