Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version

Studiehandledning till MMA128 ifferential- och integralkalkyl III läsåret 2012/13 Version 2013-06-07

ursinformation för MMA128 Mål Avsikten med kursen MMA128 ifferential- och integralkalkyl III är att vidga och fördjupa de grundläggande kunskaper om funktioner som erhållits i tidigare kurser i differential- och integralkalkyl. I detta innefattas att begreppet serie förankras mer metodiskt, att begreppet vektorfält introduceras, samt att integralbegreppet generaliseras till att omfatta integration på rymdkurvor, ytstycken och kroppar i det tredimensionella rummet. En annan avsikt med kursen är att den ska ge en grund för studier i matematik på avancerad nivå, samt för teoretiska studier inom fysik och teknik. Undervisning ursen är schemalagd med 16 lektioner om totalt 41 timmar, samt en tentamen om fem timmar. Vid sidan om det schemalagda formeras kursen av 24 individuella inlämningsuppgifter (i detta häfte) som ska lösas och lämnas in för bedömning. Specifikationen av vilken version av uppgifterna som respektive student ska lösa ges av den versionssiffra som var och en tilldelas i början av kursen. Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I kursboken Calculus. Early Transcendentals, 7:e upplagan, av James Stewart (ISBN 0-538-49887-0, Brooks/Cole 2011) finns många övningsuppgifter att ta sig an, liksom det även gör i studiehandledningen. Examination och betyg Examinationsmomentet INL1 e betygsgrader som används i examinationsmomentet INL1 (2,5 hp) är underkänd (u) och godkänd (g). För att under kursens gång bli godkänd i INL1 krävs att lösningar till i kursen ingående individuella inlämningsuppgifter har inlämnats och sedan blivit godkända. Examinationsmomentet TEN1 e betygsgrader som används i examinationsmomentet TEN1 (5,0 hp) är underkänd (u), och godkändgraderna 3, 4, och 5. Tentamen TEN1 består av åtta (8) stycken uppgifter à 5 poäng. Gränserna för betygen 3, 4 och 5 är 18, 26 respektive 34 poäng. Hjälpmedel vid tentamen är penna, linjal och radermedel. Skrivtid per enskild tentamen är fem (5) timmar. Sammanfattningsbetyg Sammanfattningsbetyg på en avklarad kurs blir detsamma som godkändbetyget på TEN1, dvs något av betygen 3, 4, eller 5. Block Moment Lektion Bokavsnitt 1 1 L01 11.1 11.4 1 2 L02 11.5 11.8 2 3 L03 11.9 11.11 1 3 L04 Uppföljning 1 2 4 5 L05 3.11, 13.1 13.4 3 6 L06 15.10, 15.4 7 L07 15.7 15.9 4 7 L08 Uppföljning 2 4 8 9 L09 16.1 16.4 8 9 L10 Uppföljning 3 10 L11 15.6, 16.5 16.7 10 L12 Uppföljning 4a 11 12 L13 16.8 16.9 11 12 L14 Uppföljning 4b 1 4 1 12 L15 Repetition 1 4 1 12 L16 Repetition 2

Block 1 Talföljder och serier 1. Talföljder, serier och konvergenstest............................................... 11.1 11.7 INL 1.a Bestäm summan av serien. 1) 2 π 4 π 2 + 8 π 3... 5) 1 3 + 1 3 1 3 3 +... 9) 1 e 2 3 e 4 + 9 e 6... 13) 27 4 9 16 + 3 64... 2) 1 4 + π 16 + π2 64 +... 3) 6 7 + 18 49 54 343 +... 6) 9 4 + 27 16 + 81 64 +... 7) 2 + 4 5 8 25 +... 10) 3 2 + 3 8 1 32 +... 11) 5 9 + 1 15 1 125 +... 14) π 3 + 1 3 π +... 15) e 2 2 + 4 e + 32 e 4 +... 4) e 3 π 3 + e6 π 6 + e9 π 9 +... 8) 1 3 2 + 1 3 4 + 1 3 6 +... 12) π 2 e + π e 2 + 1 e 3 +... INL 1.b Är serien absolut konvergent, betingat konvergent eller divergent? 1) 3n 2 7n 2n 3 n + 2n 2 5) ( 1) n 1 n 2 sin(1 + 1/n 2 ) 9) n 5 + 7n 2 n + 5 13) 5 + 3n 3/5 4 + n 2 2) cos(nπ) ln(n + 2) 6) 2 n n 5 + 3n + 1 10) n 2/5 n n + 2 14) ln(1 + 1/n) cos(πn) 3) 3 n 1 2 n + 5 7) ( 1) n sin(1/ n) n 11) cos(nπ) arctan(2n) 15) 8 n e n 7 n π n + 2 4) n=2 4n 3 + 2 n 3 n 1 8) ln(n + 1) n( 1) n 12) ne n π n + 3 2. Potensserier............................................... 11.8 11.9 INL 2.a Bestäm konvergensradien och konvergensintervallet till potensserien. 1) ( 1) n x n n 3 n 4) (x + 1) n n 3 π n 7) nx n 4 n 10) (1 2x) n n 13) (5x 3) n n 3/4 2) (x 2) n n 2 3 n 5) ( 1) n (2x) n n 8) (2x 4) n n 11) (x + 4) n 1 + n n 14) 9 n (x 1) n n 3) (2x + 3) n 4 n 6) (3x 2) n n 9) (x 5) n 2 n n 12) x n ( 7) n n 2 15) n(2x + 3) n n 2 + 1 3

4 INL 2.b Bestäm den potensserie i x som representerar funktionen f. Ange speciellt konvergensintervallet. 1) f(x) = (1 16x 2 ) 1 5) f(x) = (2 2x 2 ) 1 9) f(x) = x(2x 3) 1 13) f(x) = (3 + x 2 ) 1 2) f(x) = x(3x + 1) 1 6) f(x) = x 2 (5 2x) 1 10) f(x) = x 2 (1 + 3x 2 ) 1 14) f(x) = x(16 4x 2 ) 1 3) f(x) = (1 + 2x 3 ) 1 7) f(x) = (1 9x 2 ) 1 11) f(x) = (1 + 4x 2 ) 1 15) f(x) = (x 3 + 2) 1 4) f(x) = 2x(4x 3) 1 8) f(x) = x(2 + x 2 ) 1 12) f(x) = 3x(2x + 1) 1 3. Taylor- och Maclaurinserier........... 11.10 11.11 INL 3.a Undersök om gränsvärdet existerar. Ange i förekommande fall gränsvärdet. 1) lim 2) lim 3) lim ln(1 x 2 ) + x sin(x) x 2( e x/2 1 + x ) 1 x2 cos(x) ln(1 + x 2 ) x arctan(x) arctan(x) sin(x) x ( (1 + x) 1/3 e x/3) 6) lim x ln(1 + x 2 ) x 3 sin(x) x cos(x/ 3) 7) lim 8) lim x sin(tan(x)) 1 cos(x/3) 3x 2 x arctan(3x) ln(1 + 2x 2 ) + cos(2x) 1 11) lim 12) lim x 2 ln(1 x 2 ) + x arctan(x) e 2x2 cos(2x) ( ) arcsin(x) x sin(x) x 1 x 2 /3 13) lim 3x 3 + x ln(1 3x 2 ) arcsin(x) xe x2 /6 4) lim xe x 2 /6 arcsin(x) x x cos(x 2 ) 5) lim cos(x 2) e x 2 x ( arctan(x) x ) 9) lim tan(3x) 3x x 1 + x 2 /2 sin(x) 14) lim e x 2 (1 + x) x 1 arcsin(x) arctan(x) 10) lim arctan(x) sin(x) x ln(1 + x) ln(1 + x 2 ) 15) lim x 2 x sin(x) 1 9x2 cos(3x) INL 3.b Bestäm summan av serien. 1) ( 1) n π 2n 6 2n (2n)! 5) ( 1) n+1 π 2n 4 n 1 (2n 1)! 9) ( 1) n π 2n 36 n (2n + 1)! 13) ( 1) n 1 4 n π 2n 1 3 2n (2n 1)! 2) ( 1) n 4 n π 2n+2 3 9 n (2n + 1)! 6) (ln(5)) n (n + 1)! 10) 1 n( 2) n 1 14) ( 1) n (ln(7)) n 2 n n! 3) ( 1) n+1 3 n 1 2 (2n + 1) 7) ( 1) n 1 π 2n 1 4 2n+1 (2n)! 11) ( 1) n+1 π 2n 9 n (2n)! 15) ( 1) n π 2n 4 n (2n)! 4) ( 1) n (ln(2)) n 2 n n! 8) ( 3) n 2n 1 12) (e 1) n ne n INL 3.c Bestäm Taylorserien till funktionen f kring den givna punkten. 1) f(x) = ln(2x 3) kring 3 2) f(x) = 1/ x kring 4 3) f(x) = cos(x) kring π/3 4) f(x) = e x/2 kring 3 5) f(x) = sin(x) kring π/4 6) f(x) = ln(x) kring e 7) f(x) = sin(2x) kring π/6 8) f(x) = x kring 9 9) f(x) = ln(3 + 2x) kring 1 10) f(x) = cos(x) kring π/6 11) f(x) = ln(5 x) kring 2 12) f(x) = cos(3x) kring π/6 13) f(x) = 1/ x kring 1/4 14) f(x) = ln(1 2x) kring 1 15) f(x) = sin(x) kring π/2

Block 2 Vektorvärda funktioner 4. Båglängd och krökning................ 3.11, 13.1 13.3 INL 4.a Beräkna längden av kurvan r = f(t), t f. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) f(t) = 3 cos(2t) e 1 + 3t e 2 3 sin(2t) e 3, f = [0, π]. 2) f(t) = t 2 e 1 + e 2 t 3 e 3, f = [0, 1]. 3) f(t) = e t e 1 + e t e 2 + t 2 e 3, f = [0, ln(2)]. 4) f(t) = ( t + cos(t) ) e 1 + 2 sin(t) e 2 + ( t cos(t) ) e 3, f = [0, π]. 5) f(t) = cos 3 (t) e 2 + sin 3 (t) e 3, f = [0, 1 2 π]. 6) f(t) = ( 2 + 2 cos(t) ) e 1 + ( 1 sin(t) ) e 2 + ( 3 + sin(t) ) e 3, f = [0, 2π]. 7) f(t) = ln(t) e 1 + 2t e 2 + t 2 e 3, f = [1, e]. 8) f(t) = 4t e 1 4 cos(3t) e 2 + 4 sin(3t) e 3, f = [0, 2 3 π]. 9) f(t) = 1 t2 1 + t 2 e 1 + 2t 1 + t 2 e 2, f = [0, ). 10) f(t) = 2 cos(t) e 1 + ( 3t + 2 sin(t) ) e 2 + ( 3t 2 sin(t) ) e 3, f = [0, π]. 11) f(t) = 2 t e 1 + 2(t 3 /3) e 2 + (1 t 2 ) e 3, f = [0, 1]. 12) f(t) = cosh(t) e 1 sinh(t) e 2 + t e 3, f = [0, 1 2 ln(2)]. 13) f(t) = 3t e 1 + 3t 2 e 2 + 2t 3 e 3, f = [0, 1]. 14) f(t) = 1 3 t3 e 1 + 1 2 t 2 e 2 + t e 3, f = [0, 3]. 15) f(t) = ( sin t t cos t ) e 1 + ( cos(t) + t sin(t) ) e 2 + t 2 e 3, f = [0, π]. INL 4.b Bestäm krökningsradien och krökningscentrum till kurvan i INL 4.a. 5. Hastighet och acceleration........................ 13.4 INL 5.a INL 5.b Beräkna hastigheten och accelerationen för en partikel som rör sig enligt ekvationen i uppgift INL 4.a. Bestäm den tangentiella komponenten och normalkomponenten av accelerationen för en partikel som rör sig enligt ekvationen i INL 4.a. 5

Block 3 Multipelintegraler 6. Variabelsubstitution i dubbelintegraler....................................... 15.10, 15.4 INL 6.a 1) Beräkna (x + y) 2 cos(x 2 y 2 ) da, där ges av x 0, x y 0, x + y π.................................................... x + y 2) Beräkna da, där är 2 + x y rektangelskivan 0 x + y 2, 1 x y 1.................................................... 3) Beräkna x 2 1 x 4 y 4 da, där ges av xy < 1, 0 < y < x < 2y.................................................... x 2 + y 2 4) Beräkna 1 + xy da, där ges av x > 0, 1 xy 4, 1 x 2 y 2 4.................................................... 5) Beräkna (x 4 y 4 ) da, där är ges av 0 x 2 y 2 1, 2 x 2 + y 2 3.................................................... 6) Beräkna (x y) 2 sin 2 (x + y) da, där är kvadratskivan med hörnen i punkterna (π, 0), (2π, π), (π, 2π), respektive (0, π).................................................... x + y 7) Beräkna 4x + y da, där är triangelskivan x, y 0, x + y 1.................................................... 8) Beräkna ln( x + y ) da, där ges av 1 x + y 2. 9) Beräkna x + y x 2 + y 2 ex y da, där ges av x > 0, 1 x 2 +y 2 2, 0 x y 1. (x + y) 3 10) Beräkna 1 + (x y) 2 da, där är triangelskivan med hörnen i punkterna (0, 0), (1, 0), och (0, 1). 11) Beräkna xy(x 2 y 2 ) da, där är ges av x > 0, 1 xy 2, 1 x y 2. 1 12) Beräkna ln(y/x) da, x2 där ges av 1 x + y 2, 1 y/x 2. 13) Beräkna x y x 2 + y 2 da, där ges av x, y 0, 1 x + y 2. xy(2x 2 + y 2 ) 14) Beräkna 2x 2 y 2 da, där ges av x > 0, 1 xy 2, 3 2x 2 y 2 4. 15) Beräkna (x + 2y)e x2 4y 2 da, där ges av 0 x 2y 4, 0 x + 2y 3. 6

7.. TRIPPELINTEGRALER 7 INL 6.b 1) Beräkna volymen av området som ligger ovanför konen z = 2 x 2 + y 2 och inuti ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 18. 2) Beräkna ln(2 + x2 + y 2 ) da, där är det i den första kvadranten belägna område som precis innesluts av kurvorna y = x 3, x 2 + y 2 = 4 och x = 0. 2 4 y 2 3) Beräkna dy dx (x 2 + y 2 ) 5/2. 2 0 4) Beräkna volymen av det område som ligger inuti sfären x 2 + y 2 + z 2 = 25 och utanför cylindern x 2 + y 2 = 4. 5) Beräkna (3 + 2x2 + y 2 ) 3/2 da, där är den första kvadranten av planet R 2. 6) Beräkna volymen av det område som ligger ovanför planet z = 0, inuti cylindern x 2 + y 2 = 3, och under konen z = 2 x 2 + y 2. 7) Beräkna sin(x2 + y 2 ) da, där är det i den första kvadranten belägna område som precis innesluts av de räta linjerna y = 0 och x = y 3, samt av cirklarna x 2 + y 2 = π/6 och x 2 + y 2 = π/2. 8) Beräkna 3 0 9 y 2 dy 9 y 2 dx e x 2 y 2. 9) Beräkna volymen av det område som precis innesluts av paraboloiden 3x 2 +3y 2 +z = 10 och planet z = 4.................................................... 10) Beräkna 2 4y 2 da. R 2 e x 11) Beräkna volymen av det område som ligger under paraboloiden 2x 2 + 2y 2 + z = 22 och ovanför konen z = 7 x 2 + y 2. 12) Beräkna cos(x2 +y 2 ) da, där är det i det övre halvplanet belägna område som precis innesluts av cirklarna x 2 + y 2 = π/6 och x 2 + y 2 = 3π/4, samt av de räta linjerna y = x och y = x 3. 13) Beräkna 2 0 dx 2x x 2 0 dy x 2 + y 2. 14) Beräkna volymen av det område som precis innesluts av paraboloiderna 4x 2 +4y 2 +z = 20 och x 2 +y 2 = z. 15) Beräkna (1 + (9x2 + y 2 ) 2 ) 1 da, där är området i den första kvadranten av xy-planet. 7. Trippelintegraler.................................... 15.7 15.10 INL 7.a 1) Beräkna (4 + x + y + z) 3 dv, där är tetraederkroppen x, y, z 0, x + y + z 1. 2) Beräkna z dv, där är kroppen x, y 0, x + y 1, 0 z 1 y 2. 3) Beräkna x + y dv, där är kroppen 0 x + y z 2 y 1, z 0. 4) Beräkna (x + 2y) dv, där är kroppen som precis innesluts av den paraboliska cylindern y = x 2, och av planen y = x, x = z, z = 0. 5) Beräkna (x + 1)z dv, där är kroppen som precis innesluts av planen z = 0, 2x + y + z = 3, y = 1, och av ytan y = x 2. 6) Beräkna (x + y + z) dv, där är kroppen 0 x z 2x 2, 0 y x + z. 7) Beräkna xy2 z 3 dv, där är kroppen som precis innesluts av ytan z = xy, och av planen y = x, x = 1, z = 0. 8) Beräkna xy cos(πz5 /6) dv, där är kroppen 0 x z y 2z 2. 9) Beräkna yz2 dv, där är tetraederkroppen med hörnen i punkterna (0, 0, 0), (2, 0, 0), (1, 1, 0), respektive (0, 0, 1). 10) Beräkna x dv, där är tetraederkroppen som precis innesluts av planen x = 1, y = 1, z = 1, och x + y + z = 2. 11) Beräkna xyz dv, där är kroppen 0 z 2y 2x 2.

8 12) Beräkna x dv, där är kroppen som precis innesluts av planen 2x + y + 2z = 6, x = 0, y = 0, och z = 0. 13) Beräkna xz dv, där är tetraederkroppen med hörnen i punkterna (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), respektive (0, 1, 1). 14) Beräkna z dv, där är den i den första oktanten belägna kroppen vilken precis innesluts av planen x = 0, z = 0, y = 3x, och av cylindern y 2 + z 2 = 9. 15) Beräkna z 1 dv, där är kroppen som precis innesluts av ytan y = 1 x, och av planen z = 1, x = 1, y = 1, y + z = 3. INL 7.b 1) Beräkna (x2 + y 2 ) dv, där är den i tredje oktanten (x, y < 0 < z) befintliga delen av klotet x 2 + y 2 + z 2 1. 2) Beräkna x2 + y 2 + z 2 dv, där är den kropp som i halvrummet x < 0 ligger inom klotet 1 3 (x2 + y 2 ). x 2 +y 2 +z 2 4 och ovanför konen z = 3) Beräkna (x2 +y 2 +z 2 ) 1/2 e x 2 +y 2 +z 2 dv, där är kroppen z 3(x 2 + y 2 ). 4) Beräkna z(x2 + y 2 + z 2 ) 1/4 dv, där är den kropp som i halvrummet y > 0 ligger inom klotet x 2 + y 2 + z 2 9 och under konen z = x 2 + y 2. 5) Beräkna (x2 + y 2 + z 2 ) 1 (3 + x 2 + y 2 + z 2 ) 1 dv, där är den i andra oktanten (x < 0 < y, z) befintliga delen av kroppen utanför klotet x 2 + y 2 + z 2 1. 6) Beräkna x2 z dv, där är den kropp som i halvrummet x < 0 ligger ovanför konen z = 3(x2 + y 2 ) och inom skalet 1 x 2 + y 2 + z 2 4. 7) Beräkna y2 dv, där är den i området x y 0 befintliga delen av klotet x 2 +y 2 +z 2 1. 8) För vilka reella tal β konvergerar (x2 + y 2 + z 2 ) β/2 dv, där är kroppen utanför klotet x 2 + y 2 + z 2 1? 9) Beräkna x x 2 + y 2 + z 2 dv, där är den kropp som i halvrummet x < 0 ligger inom klotet x 2 + y 2 + z 2 1 4 och under konen z = 3 (x2 + y 2 ). 10) Beräkna (1 + x2 + y 2 + z 2 ) 2 dv, där är den i andra oktanten (x < 0 < y, z) befintliga delen av kroppen utanför klotet x 2 + y 2 + z 2 1. 11) Beräkna e x 2 +y 2 +z 2 dv, där är den i första oktanten (x, y, z > 0) av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 4 omslutna kroppen. 12) Beräkna z dv, där är den i första och andra oktanterna (y, z > 0) befintliga delen av skalet 2 x 2 + y 2 + z 2 4. 13) Beräkna ze x2 y 2 z 2 dv, där är kroppen som ligger ovanför konen z = x 2 + y 2. 14) Beräkna y(x2 + y 2 + z 2 ) 2 dv, där är den kropp som i halvrummet y > 0 ligger inom klotet x 2 + y 2 + z 2 1 och ovanför konen z = x 2 + y 2. 15) Beräkna (x2 + y 2 + z 2 ) 3/2 dv, där är den i halvrummet y < 0 ovanför konen z = 3(x 2 + y 2 ) befintliga andelen av skalet 4 x 2 + y 2 + z 2 9.

Block 4 Vektoranalys 8. urvintegraler.......................................... 16.1 16.2 INL 8.a oordinatsystemet Oe 1 e 2 är av typ ON. 1) Beräkna xy dx + x2 dy, där är kurvan y = x 2, från punkten (0, 0) till punkten (1, 1). 2) Beräkna det arbete som kraftfältet (x 2 + y 2 ) e 1 + (x 2 y 2 ) e 2 uträttar längs den i moturs led genomlupna kvadraten med hörnen i punkterna (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1), och (1, 1). 3) Beräkna (x2 + xy) dx + (y 2 xy) dy, där är linjesegmentet från punkten (0, 0) till punkten (2, 0), följt av linjesegmentet från (2, 0) till (2, 2). 4) Beräkna det arbete som kraftfältet (x + y) 2 e 1 + (x y) 2 e 2 uträttar längs den i medurs led genomlupna kurvan given av kurvsegmenten x 2 = y och x = y 2 i området 0 x, y 1. 5) Beräkna (2x y) dx + xy dy, där är kurvan x 3 = 2y 2, från punkten (0, 0) till punkten (2, 2). 6) Beräkna y dx x dy, där är kurvan x2 + y 2 = 1, från punkten (1, 0) till punkten (0, 1). 7) Beräkna det arbete som kraftfältet (xy y 2 ) e 1 + (x + y) e 2 uträttar längs linjesegmentet från punkten ( 1, 2) till punkten (2, 0), följt av linjesegmentet från (2, 0) till (2, 1). 8) Beräkna (2x y) dx + (x + y2 ) dy, där är den i medurs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna ( 1, 0), (0, 1), och (1, 0). 9) Beräkna det arbete som kraftfältet xy 2 e 1 x 2 y e 2 uträttar längs den i moturs led genomlupna kurvan x 2 + y 2 = 2y, från punkten (0, 0) till punkten (1, 1). 10) Beräkna (3xy + y2 ) dx + (x 2 2y) dy, där är den i moturs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (1, 1), ( 1, 1), och (1, 2). 11) Beräkna x ln(y/x) dx (x2 /y) dy, där är kurvan x = y 3, från punkten (1, 1) till punkten (8, 2). 12) Beräkna det arbete som kraftfältet y 3 e 1 + x 3 e 2 uträttar längs den i moturs led genomlupna ellipsen (x/2) 2 + (y/3) 2 = 1. 13) Beräkna y3 dx + x 3 dy, där är den i moturs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (0, 0), (1, 0), och (1, 1). 14) Beräkna det arbete som kraftfältet (xy + y 2 ) e 1 + (x xy 2 ) e 2 uträttar längs den i medurs led genomlupna rektangeln med hörnen i punkterna (0, 0), (2, 2), (1, 3), och ( 1, 1). 15) Beräkna (x4 y 2 ) dx+(x 4 +y 2 ) dy, där är kurvan y = x 2, från punkten ( 1, 1) till punkten (1, 1), följt av linjesegmentet från (1, 1) till ( 1, 1). 9

10 9. onservativa vektorfält och Greens formel.................................. 16.3 16.4 INL 9.a Visa att F i ett enkelt sammanhängande område är ett konservativt vektorfält genom att bestämma en potentialfunktion φ för F. Beräkna även kurvintegralen F dr där är en styckvis slät kurva från punkten A till punkten B. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = (2xz + y 2 ) e 1 + 2xy e 2 + (x 2 + 3z 2 ) e 3, A : (2, 3, 1), B : ( 1, 2, 2)........ 2) F(x) = ye xy ln(yz) e 1 + e xy( x ln(yz) + 1/y ) e 2 + e xy (1/z) e 3, A : (0, 1, 1), B : (1, 3, e 3 )........ 3) F(x) = 2 cos(y) e 1 + (1/y 2x sin(y)) e 2 + (1/z) e 3, A : (0, 2, 1), B : (1, π 2, 2)........ 4) F(x) = (3x 2 y 2 z + ln(z)) e 1 + ( 2x 3 yz + ln(z) ) e 2 + ( x 3 y 2 + (x + y)/z ) e 3, A : ( 1, 2, 1), B : (3, 1, e)........ 5) F(x) = x 2 e 1 + yz e 2 + (y 2 /2) e 3, A : (0, 0, 0), B : (0, 3, 4)........ 6) F(x) = 3x 2 e 1 + (z 2 /y) e 2 + 2z ln(y) e 3, A : (1, 1, 1), B : (1, 2, 3)........ 7) F(x) = (2x ln(y) yz) e 1 + (x 2 /y xz) e 2 xy e 3, A : (1, 2, 1), B : (2, 1, 1)........ 8) F(x) = xy(2 + xyz)e xyz e 1 + x 2 (1 + xyz)e xyz e 2 + x 3 y 2 e xyz e 3, A : ( 1, 2, 0), B : (2, ln 2, 1)........ 9) F(x) = (y 2 z 2 + 2xz ln(y)) e 1 + xz(2yz + x/y) e 2 + (2xy 2 z + x 2 ln(y)) e 3, A : (2, 1, 2), B : ( 1, e, 1)........ 10) F(x) = 2xz 3 cos(y) e 1 x 2 z 3 sin(y) e 2 + 3x 2 z 2 cos(y) e 3, A : (1, π, 2), B : (2, 0, 1)........ 11) F(x) = (1/y) e 1 + (1/z x/y 2 ) e 2 y/z 2 e 3, A : (1, 2, 1), B : (3, 1, 2)........ 12) F(x) = e yz e 1 + ( xze yz + z cos(y) ) e 2 + ( xye yz + sin(y) ) e 3, A : (1, 0, 1), B : (1, π 2, 0)........... (................................................ 13) F(x) = yz ln(x + y) + x ) ( e 1 + xz ln(x + y) + y ) e 2 + xy ln(x + y) e 3, A : (1, 1, e), B : (e, e, 1 x + y x + y e )........ 14) F(x) = y 2 z 2 cos(xy) e 1 + z 2( xy cos(xy) + sin(xy) ) e 2 + 2yz sin(xy) e 3, A : ( 1 6, π, 1), B : ( π 2, 1, 2)........ 15) F(x) = e y+2z e 1 + xe y+2z e 2 + 2xe y+2z e 3, A : ( 1, 2, 1), B : (3, 0, 2)........ INL 9.b 1) Beräkna kurvintegralen genom att tillämpa Greens formel. (x y) dy 2y dx (x + y) 3, där är kurvan x = cos 3 (t), y = sin 3 (t) i den första kvadranten, från punkten (1, 0) till punkten (0, 1). 2) (e x cos(x) y) dx + (2xy + arctan(y 2 )) dy, där är den i moturs led genomlupna randen till området x 2 3 y x 2 /4. (1 y 2 ) dx + (1 x 2 ) dy 3) (1 + xy) 2, där är den i första kvadranten genomlupna halvcirkeln från punkten (0, 0) till punkten (0, 1). 4) arctan(y/x) (x dx + y dy), där är linjesegmentet från punkten (1, 0) till punkten (2, 2). ( 5) cos(x) ln(x + y) + sin(x) ) dx x + y ( 2 + 4 + y 2 + sin(x) ) dy, där är kurvan x + y x = 2 2t 3, y = 2t 2, från punkten (2, 0) till p:n (0, 2).

10.. NABLARÄNING OCH YTINTEGRALER 11 6) x dy y dx (x y) 2, där är den i fjärde kvadranten, med origo som medelpunkt, genomlupna kvartscirkeln från punkten (0, 1) till punkten (1, 0). 7) y(x 2 + 1 3 y2 + e xy ) dx + x(1 + e xy ) dy, där är den i medurs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (0, 0), (1, 0), och (0, 1). 2xy ( 8) 1 + x 4 y 2 dx+ x 2 ) 1 + x 4 y 2 1 dy, där är kurvan x 3 + 7y 2 = 8 i den första kvadranten, från punkten (2, 0) till punkten (1, 1). 9) (xy 2 y 3 ) dx+(x 3 +4x 2 y) dy, där är den i moturs led genomlupna randen till området x + y 1. x dy y dx 10) (x + y), där är den i första kvadranten, xy med origo som medelpunkt, genomlupna delen av cirkeln från punkten (3, 1) till punkten (1, 3). 11) ( 1 + 2x ) ( x 2 dx + 1 + 1 ) + y x 2 dy, där är den + y i det övre halvplanet genomlupna halvcirkeln från punkten ( 1, 0) till punkten (1, 0). 12) ln x y ( dx + dy), där är den i medurs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (0, 3), (2, 3), och (1, 2). ( y ) x 13) 1 + (x + y) 2 dx dy, där är den i (x + y) 2 första kvadranten, med origo som medelpunkt, genomlupna kvartscirkeln från punkten (1, 0) till punkten (0, 1). xy (2x y) dy y 3 dx 14) (x y) 2, där är den i fjärde kvadranten, med origo som medelpunkt, genomlupna kvartscirkeln från punkten (0, 3) till punkten (3, 0). (x 1) dx + y dy 15) x 2 2x + y 2, där är parabeln y = x 2 16, från punkten (4, 0) till punkten ( 4, 0). 10. Nablaräkning och ytintegraler.................................................. 15.6, 16.5 16.7 INL 10.a 1) Beräkna arean av den del av ytan z = 2xy som ligger ovanför det område som i den första kvadranten av xy-planet avgränsas av kurvorna y = 0, x = 1, och y = x 3. 2) Beräkna arean av den ovanför xy-planet liggande delen av paraboloiden z = 4 x 2 y 2. 3) Beräkna arean av den inuti cylindern x 2 + y 2 = 2y liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 4. 4) Beräkna arean av den ovanför triangeln 0 y x 1 i xy-planet liggande delen av ytan z = x 2 y 2. 5) Beräkna arean av den ovanför konen z = x 2 + y 2 liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 2. 6) Beräkna arean av den ovanför triangeln, med hörnen i punkterna (0, 0, 0), (1, 0, 0), och (0, 1, 0), liggande ytan z = 2 3 (x3/2 + y 3/2 ). 7) Beräkna arean av den mellan cylindrarna x 2 +y 2 = 4 och x 2 + y 2 = 9 liggande delen av den hyperboliska paraboloiden z = x 2 y 2. 8) Beräkna arean av den ovanför planet z = 2 liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 7. 9) Beräkna arean av den mellan planen z = 1 och z = 2 liggande delen av paraboloiden z = x 2 + y 2. 10) Beräkna arean av den ovanför planet z = 0 liggande delen av ellipsoiden x 2 + y 2 + 3z 2 = 4. 11) Beräkna arean av den ovanför området y 2 x 1 liggande delen av ytan z = y + 2 x. 12) Beräkna arean av den ovanför området xy-planet liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 5. 13) Beräkna arean av den ovanför paraboloiden z = x 2 +y 2 liggande delen av ytan z = 2+ 4 x 2 y 2. 14) Beräkna arean av den ovanför planet z = 1 liggande delen av paraboloiden z = 5 2x 2 2y 2. 15) Beräkna arean av den ovanför ringen 1 x 2 +y 2 4 i xy-planet liggande delen av paraboloiden z = 5 x 2 y 2.

12 INL 10.b Beräkna arean av den parameterframställda ytan r = f(u, v), (u, v) f. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) f(u, v) = (u 2 + v 2 ) e 1 + (u 2 v 2 ) e 2 + 2uv e 3, f = {(u, v) : 0 u, v 1}........ 2) f(u, v) = ( 2 + cos(u) ) cos(v) e 1 + ( 2 + cos(u) ) sin(v) e 2 + sin(u) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v 2π}........ 3) f(u, v) = u cos(v) e 1 + 1 2 u2 e 2 + u sin(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u 1, 0 v π}........ 4) f(u, v) = (u v) e 1 + (u + v) e 2 + (u 2 2uv v 2 ) e 3, f = {(u, v) : u 2 + v 2 < 2, u v}........ 5) f(u, v) = uv e 1 + (u v) e 2 + (u + v) e 3, f = {(u, v) : 6 u 2 + v 2 16, u + v 0}........ 6) f(u, v) = 1 2 u 1 v 2 e 1 + v e 2 + u e 3, f = {(u, v) : 1 < u 2 + v 2 < 9, u > v > 0}........ 7) f(u, v) = u e 1 + u cos(v) e 2 + u sin(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u 1, 0 v π 2 }........ 8) f(u, v) = 10 uv e 1 + (2u 2 v 2 ) e 2 + (u 2 + 2v 2 ) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v 1}........ 9) f(u, v) = sin(u) e 1 + ( 2 + cos(u) ) sin(v) e 2 + ( 2 + cos(u) ) cos(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v π 2 }........ 10) f(u, v) = 1 2 (u 1) e 1 + 1 8 (v 1) e 2 + u 2 /v e 3, f = {(u, v) : 1 < u < 3, 1 < v < 9}........ 11) f(u, v) = ( 2 sin(u) ) cos(v) e 1 + cos(u) e 2 + ( 2 sin(u) ) sin(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v π}........ 12) f(u, v) = 2 cos(u) cos(v) e 1 + 2 cos(u) sin(v) e 2 + 2 sin(u) e 3, f = {(u, v) : 0 u π, 0 v 2π}........ 13) f(u, v) = u cos(v) e 1 + u sin(v) e 2 + u(cos(v) + sin(v)) e 3, f = {(u, v) : 0 u 1, 0 v π 2 }........ 14) f(u, v) = u sin(v) e 1 + u e 2 u cos(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u 3 4, 0 v π}........ 15) f(u, v) = e u cos(v) e 1 + e u sin(v) e 2 + e u v e 3, f = {(u, v) : 0 u 1 2, 0 v 2}........ INL 10.c Beräkna flödet av F genom ytan Y som är utrustad med normalfältet n. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = xy e 1 + yz e 2 + zx e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x, y 1, z = xe y } med uppåtriktad orientering........ 2) F(x) = x e 1 + y e 2 + 5 e 3, Y = {(x, y, z) : 0 y 2 x, x 2 + z 2 = 1}....... 3) F(x) = x e 1 + z e 2, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x + 2y + 3z = 6} med n(x) e 3 > 0........ 4) F(x) = x e 1 + y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 9}....... 5) F(x) = xy 3 e 1 + z 2 e 2 + x e 3, Y = {(x, y, z) : 2x + 1 z = 4 x 2 y 2, } med nedåtriktad orientering........ 6) F(x) = x e 1 + y e 2 + z 4 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 1} med nedåtriktad orientering........ 7) F(x) = x e 1 + 2y e 2 + 3z e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x, y, z 1}....... 8) F(x) = x e 1 z e 3, Y = {(x, y, z) : y 2 + z 2 x 1}....... 9) F(x) = y e 1 x e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : 1 x 2 y 2 = z 0} med n(x) e 3 0........ 10) F(x) = 2x e 1 + y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x = u 2 v, y = uv 2, z = v 3, 0 u, v 1} med n(x) e 3 0........ 11) F(x) = x e 1 + x e 2 + y e 3, Y = {(x, y, z) : y 0, x 2 + y 2 + z 2 = 25} med n(x) e 2 0........ 12) F(x) = yze x e 1 yze x e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x + y + z = 1} med nedåtriktad orientering........ 13) F(x) = z e 1 + y e 2 x e 3, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x 2 + y 2 + z 2 = 4} med inåtriktad orientering........ 14) F(x) = 2x e 1 + y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x = u cos(v), y = u sin(v), z = u, 0 u 2, 0 v π} med nedåtriktad orientering........ 15) F(x) = x 2 e 1 + y 2 e 2 + z 2 e 3, Y = {(x, y, z) : z = y + 1, x 2 + y 2 1} med uppåtriktad orientering........

11.. STOES SATS 13 11. Stokes sats.. 16.8 INL 11.a 1) Beräkna (2xyeyz +yz 2 ) dx+(x 2 e yz +x 2 yze yz ) dy +(x 2 y 2 e yz yz) dz, där är (ett varv av) skärningen mellan ytorna x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 0 och x 2 + y 2 2x = 0, och vars projektion på xy-planet är positivt orienterad sett från punkten (0, 0, 1)........ 2) Beräkna (z2 + y 2 z 2 e xz ) dx + (xz + 2yze xz ) dy + (2xy + y 2 (1 + xz)e xz ) dz, där är (ett varv av) skärningen mellan ytorna x 2 + y 2 + z 2 = 1 och x + z = 1, och vars projektion på xy-planet är positivt orienterad sett från punkten (0, 0, 1)........ 3) Beräkna e x dx + e x dy + e z dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (2, 0, 0) positivt orienterade randen (relativt R 2 ) av planet 2x + y + 2z = 2 i den första oktanten........ 4) Beräkna (yz + z2 sin(y)) dx + xz 2 cos(y) dy + (2xz sin(y) xy 2 ) dz, där är (ett varv av) den uppifrån sett negativt orienterade skärningen mellan ytan x + y 2 + z = 1 och cylindern x 2 + y 2 = 1........ 5) Beräkna z dx z dy + x dz, där är halvellipsen 4y2 + z 2 = 1, y 0, x = 0, från punkten (0, 0, 1) till punkten (0, 0, 1)........ 6) Beräkna xy dx + yz dy + zx dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (1, 1, 1) medurs genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (1, 0, 0), (0, 1, 0) och (0, 0, 1)........ 7) Beräkna ( ) ( ) ( ) y + yz cos(xy) dx + z + xz cos(xy) dy + x + sin(xy) dz, där är den uppifrån sett positivt orienterade kurvan x = 2 cos(t), y = sin(t), z = 2 sin 2 (t), 0 t 2π........ 8) Beräkna x dx + y dy + (x2 + y 2 ) dz, där är (ett varv av) den uppifrån sett positivt orienterade randen (relativt R 2 ) av paraboloiden z = 1 x 2 y 2 i den första oktanten........ 9) Beräkna (x2 y + y 2 ze x ) dx + yz(1 + 2e x ) dy + y 2 e x dz, där är (ett varv av) av den uppifrån sett positivt orienterade skärningen mellan paraboloiden z = x 2 + 2y 2 och cylindern x 2 + y 2 = 1........ 10) Beräkna z2 dx + y 2 dy + 2xz dz, där är halvcirkeln i halvplanet x = z, x 0, från punkten (0, 1, 0) till punkten (0, 1, 0)........ 11) Beräkna y dx + z dy + x dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (1, 1, 1) i moturs led genomlupna skärningen mellan ytorna x 2 + y 2 + z 2 = 1 och x + y + z = 0........................................................... ( xz 12) Beräkna 1 + x2 + y +xz) dx+ ( yz 2 1 + x2 + y xy) dy+ ( 1 + x2 + y 2 +xy ) dz, där är (ett varv av) av 2 den uppifrån sett positivt orienterade skärningen mellan paraboloiden x 2 +y 2 +z = 1 och planet x 2y +z = 1........ 13) Beräkna zx dx + xy dy + yz dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (0, 0, 5) i medurs led genomlupna skärningen mellan paraboloiden z = 3 x 2 y 2 och planet z = 2x........ 14) Beräkna (xy + xy2 z 4 ) dx + x 2 yz 4 dy + (2x 2 y 2 z 3 yz) dz, där är (ett varv av) av den uppifrån sett positivt orienterade skärningen mellan paraboloiden x 2 + y 2 + z = 1 och planet 2x + y + z = 1........ 15) Beräkna x3 dx+y 2 dy+xz dz, där är den i moturs led genomlupna skärningen mellan sfären x 2 +y 2 +z 2 = 1 och cylindern (x 1) 2 + y 2 = 1, från punkten ( 1 2, 3 2, 0) till punkten ( 1 2, 3 2, 0)........

14 12. Gauss sats... 16.9 INL 12.a Beräkna flödet av F genom ytan Y som är utrustad med normalfältet n. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = (x + y) e 1 + (x + z) e 2 + (y + z) e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x, y, z 1} 2) F(x) = (xz + e y ) e 1 + (y 2 x) e 2 + (1 2y)z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 z 1} 3) F(x) = (x 5 + 10xy 2 z 2 ) e 1 + (y 5 + 10x 2 yz 2 ) e 2 + (z 5 + 10x 2 y 2 z) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1, z 0} 4) F(x) = x 2 y e 1 + yz 2 e 2 + 2x 2 y 3 e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x 1, y 2 + z 2 1, z 0} 5) F(x) = y 2 e 1 + yz e 2 + x 2 e 3, Y är tetraedern med utåtriktad orientering och hörn i punkterna (0, 0, 0), (2, 0, 0), (1, 2, 0), och (1, 1, 3). 6) F(x) = (4x + y) e 1 + (2x + 5z) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 25} 7) F(x) = xy e 1 + xyz e 2 + (1 y)z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 z 2 x 2 y 2 } 8) F(x) = x e 1 + y e 2 + (z 2 1) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 4, 0 z 2} 9) F(x) = x 2 z 3 e 1 + 2xyz 3 e 2 + xz 4 e 3, Y = {(x, y, z) : 3 3x, 2y, z 3} 10) F(x) = x 2 y e 1 + xy 2 e 2 + 2xyz e 3, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x + 2y + z 2} 11) F(x) = xz 2 e 1 + yz 2 e 2, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 49} 12) F(x) = x 2 y e 1 + ye z e 2 + z 2 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2 } 13) F(x) = x 3 y e 1 x 2 y 2 e 2 x 2 yz e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 1 + z 2, 2 z 2} 14) F(x) = x 4 e 1 x 3 z 2 e 2 + 4xy 2 z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 1, 0 z x + 2} 15) F(x) = (x 3 + y sin(z)) e 1 + (y 3 + z sin(x)) e 2 + 3z e 3, Y = {(x, y, z) : 1 x 2 + y 2 + z 2 4, z 0}

12.. GAUSS SATS 15 INL 12.b Beräkna flödet av F genom ytan Y som är utrustad med normalfältet n. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = xz 2 e 1 + z e 2 + y 4 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 4, 1 z 1} 2) F(x) = [ (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2], Y = {(x, y, z) : (x 1) 2 + y 2 + z 2 = 4} 3) F(x) = xy 2 z e 1 + x 2 yz e 2 + e z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} med uppåtriktad orientering. 4) F(x) = (x 3 z + y 2 ) e 1 + (x 2 + y 3 z) e 2 + (xy + z 2 ) e 3 ), Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 1} med uppåtriktad orientering. 5) F(x) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (x e 1 + y e 2 + z e 3 ), Y = {(x, y, z) : x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1} 6) F(x) = xy e 1 2y e 2 + (z x) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 4} med nedåtriktad orientering. 7) F(x) = (xz + e z ) e 1 + 3x 2 yz e 2 + (1 + 3 2 y2 z 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} med uppåtriktad orientering. 8) F(x) = (xz y)z e 1 + (x 2 z 2 ) e 2 + (y 2 + z 3 ) e 3, Y = {(x, y, z) : 0 z = 2 x 2 y 2 } med uppåtriktad orientering. 9) F(x) = xy e 1 + (y 2 + z) e 2 + (z 2 x 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : z = 1 2x 2 y 2, z 0} med uppåtriktad orientering. 10) F(x) = (y 3 +z 3 ) e 1 +(2yz x 2 ) e 2 +(x 2 +3z z 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} med inåtriktad orientering. 11) F(x) = (y 2xz) e 1 + sin(x 2 z) e 2 + z 2 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 3, 0 z 1} 12) F(x) = (xz + y 2 ) e 1 + (x 2 + yz) e 2 + (x 2 + y 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : 0 z = 1 x 2 y 2 } med uppåtriktad orientering. 13) F(x) = x 3 z e 1 + y 3 z e 2 + (x 2 + y 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : z 2 = x 2 + y 2 1, 0 z 1} 14) F(x) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (x e 1 + y e 2 + z e 3 ), Y = {(x, y, z) : 0 z = 1 x 2 + y 2 } 15) F(x) = xy 2 e 1 + x 3 y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + 4y 2 z 2x + 4y + 2}