Fartygsstabilitet 5C1010 Robin Larsson, robinlar@kth.se Johan Lindberg, vesslan@kth.se Benedikt Walldén, bwallden@kth.se Handledare: Gunnar Maxe Maj 007
Sammanfattning Som projektuppgift i kursen 5C1010 Fördjupningsarbete i Mekanik, KTH-007, har genomförts en undersökning angående skrovformens betydelse för ett fartygs stabilitet. Med stabilitet avses båtens förmåga att återgå till upprätt läge efter det att den tvingats till en krängning av en yttre påverkan. Ett lämpligt mått på stabilitet är fartygets GZ-kurva, där GZ är det vinkelräta avståndet mellan två krafter som verkar för att återföra fartygskroppen till jämviktsläge. De båda krafter som åsyftas är tyngdkraften och lyftkraften, som båda verkar i lodrät riktning, men till varandra motriktat, vilket leder till att ett rätande moment uppkommer. I denna undersökning har det rätande momentets hävarm som funktion av krängningsvinkeln (GZ-kurvor) bestämts för olika skrovformer varvid en bedömning av skrovformens betydelse för stabiliteten har kunnat genomföras. De skrovformer som undersöks är triangulär form, rektangelform samt cirkulär form. En analys av resultatet visar att det är triangulärt tvärsnitt med trubbig öppningsvinkel som uppvisar bäst stabilitetsegenskaper vid små krängningsvinklar. Vid större krängningsvinklar är det halvcirkulära tvärsnittet att föredra. För att förenkla beräkningarna har fartygsskroven modellerats som tunna skivor, vilket leder till att den del av skivorna som ligger under vattenlinjen, motsvarar undervattenkroppens volym och centroiden för den del av skivan som ligger under vattenlinjen motsvarar lyftkraftens angreppspunkt. Utöver de analytiska lösningarna har även ett MATLAB-program skrivits, avsett att bestäma en godtycklig skrovforms GZ-kurva. Slutligen har även en experimentell undersökning genomförts i syfte att försöka verifiera den analytiskt beräknade GZ-kurvan för ett fall av det rektangulära tvärsnittet. 1
Abstract The significance of hull shapes for the stability of ships has, as a project for the course 5C1010 Fördjupningsarbete i Mekanik, been examined. The stability properties examined refers to the ships ability to return to an upright position after it has been forced to list (lean at an angle in the direction of roll). A measurement of the quality of the ships ability to stabilise itself is the GZ-curve, where GZ is the right angled distance between the two forces that work on the ships hull. These forces are the buoyancy and the force of gravity on the ship. These two forces are vertical but in opposite direction to one another, thus creating a moment. In this examination, the righting arm as function of the angle of list (GZ-curves) has been determined for three different hull shapes, a triangular, rectangular and half circular cross sections. An analysis of the results shows that the best hull shape for small angles of list is an obtuse triangular cross section whereas the half circular cross section is preferable for greater angles of list. The ship hull has been modelled as infinitesimally thin slices in order to simplify the calculations, which means that the part of the slices below the water line corresponds to the displacement and the centroid of that part of the slice corresponds to the centre of buoyancy. A MATLAB-program to numerically calculate the GZ-curve for arbitrary hull shapes has been written. The results has also been experimentally examined with a test rig using a rectangular shaped hull.
Innehåll 1 Inledning......................................... 4 Teori............................................ 4.1 Halvcirkel..................................... 5. Triangel...................................... 5. Rektangel..................................... 6 Numerisk analys..................................... 10.1 Del 1........................................ 10. Del........................................ 10 4 Experimentell undersökning............................... 11 5 Resultat.......................................... 1 5.1 Analys 1, Samma deplacement, samma djupgående och samma KG.... 1 5. Analys, Samma bredd i vattenlinjen och djupgående............ 14 5. Analys, triangulärt tvärsnitt......................... 15 5.4 Numerisk analys................................. 16 5.5 Analys 4...................................... 16 5.6 Analys 5...................................... 17 5.7 Analys 6...................................... 18 5.8 Experimentell undersökning........................... 19 6 Diskussion......................................... 19 6.1 Analytiska resultat................................ 19 6. Numerisk analys................................. 19 6. Experimentell undersökning........................... 19
1 Inledning En undersökning har gjorts avseende skrovformens inverkan på ett fartygs stabilitet i lugnt vatten. Stabiliteten för ett fartyg är ett mått på dess förmåga att återföra fartygskroppen till upprätt läge efter det att ett pålagt yttre krängande moment har upphört att verka. Ett fartyg i stilla vatten påverkas av två yttre krafter, dels tyngdkraften, som har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G, och dels lyftkraften som angriper i deplacementstyngdpunkten, vilken är belägen i undervattenkroppens centroid. Då fartyget befinner sig i upprätt läge och i jämvikt, verkar dessa båda krafter längs skrovets centrumlinje samt är, till beloppet lika stora och motriktade. Om fartyget utsätts för en yttre kraft på ett sådant sätt att det kränger, förflyttas deplacementstyngdpunkten i den riktning krängningen sker, till följd av att undervattenkroppens form förändras. I en sådan situation verkar inte längre tyngdkraften och lyftkraften längs samma lodlinje, varvid ett rätande moment i form av ett kraftpar uppstår. I den undersökning som gjorts har det rätande momentets hävarm, GZ beräknats som funktion av krängningsvinkeln och presenterats i s.k. GZ-kurvor [1]. Beräkningar har genomförts för tre enkla geometriska former av fartygsskrov och dessa har med hjälp av den grafiska presentationen sedan bedömts med avseende på stabilitet. Teori G B G p Figur 1: Ett fartyg som krängts. Trycket p integreras över skrovet till lyftkraften B. Ett fartygs skrov kan i längsled delas upp i ett antal skivor. Om man låter antalet skivor gå mot oändligheten, går tjockleken på dessa mot noll. Beräkningar av tvärskeppsstabiliteten för en enskild skiva kan då utföras genom geometriska beräkningar i två dimensioner. Deplacement (per längdenhet) S 0 fås som den area av skivan som befinner sig under vattenytan. Enligt Arkimedes princip är S 0 konstant. Därför gäller att det för en given krängningsvinkel α finns en unik lösning för formen på den del av skivan som befinner sig under vattenytan. Problemet kan för givna parametrar modelleras som ett problem med endast en frihetsgrad α. Vattenlinjens läge som funktion av α kan bestämmas med två olika metoder. Arean under vattenlinjen, S, tecknas som funktion av vattenlinjens höjd och krängningsvinkeln α. Faktumet att arean under vattenlinjen skall vara oförändrad S = S 0 utnyttjas för att skriva uttrycket för vattenytans höjd som funktion av krängningsvinkeln. Vid en viss krängningsvinkel α och höjd på vattenlinjen kommer det till ursprungsarean S 0 läggas till en area δs + och dras ifrån en area δs. Sedan utnyttjas att S 0 + δs + δs = S 0 δs + = δs (1) 4
Eftersom jämvikt råder i den kropp som utgör deplacementet, måste den av kringliggande tryck p, utövande lyftkraften B (se figur 1 och ekv. ), angripa i deplacementtyngdpunkten i en riktning motsatt tyngdkraftens. B = pˆnds () Då beräkningarna genomförs i två dimensioner på infinitesimalt tunna skivor, saknar dessa massa och därmed tyngdpunkt. I två dimensioner motsvaras deplacementtyngdpunkten av centroiden till den del av den infinitesimalt tunna skivan som befinner sig under vattenlinjen. Centroiden kan beräknas geometriskt []. Skivorna kan sägas påverkas av två krafter. Dessa krafter verkar i en riktning parallell med dess yta. GZ är det vinkelräta avståndet mellan de två parallella krafterna B och den på båten verkande tyngdkraften..1 Halvcirkel Detta tvärsnitt visar sig vara det enklaste fallet att beräkna GZ-kurvan för. Deplacementet per längdenhet beräknas enligt ekvation (). Se även figur. S S 0 = r ( arccos R sin ( arccos R)) () r = Ur figur kan GZ bestämmas till S 0 arccos R sin ( arccos R) (4) Figur : Halvcirkulärt tvärsnitt, deplacementsberäkning och hävarmen GZ Den maximala krängningsvinkeln till innan vatten kommer upp på väderdäck.. Triangel GZ = (r KG) sin α (5) α max = arcsin R (6) Bestämning av lyftkraftens angreppspunkt i sidled. Ett initialt deplacement per längdenhet, S 0, antags, och sträckan b = d + e bestäms med sinussatsen (se fig. ) till b = a sin θ sin φ (7) 5
VL a d γ α e c φ θ/ Figur : Triangulärt tvärsnitt, lyftkraftsberäkning som tillsammans med areasatsen ger S 0 = a sin γ sin θ sin φ (8) Lös ut a ur ekv (8) a = S 0 sin φ sin γ sin θ Med sträckorna d och e ur figur, kan triangelns centroid, och tillika lyftkraftens angreppspunkt B x beräknas d = a cos γ (10) e = a sin θ a cos γ (11) sin φ B x = e d = 1 ( a sin θ sin φ a cos γ Hjälpvinklarna γ och φ kan uttryckas i designparametern θ och krängningsvinkel α, vilket leder till B x = a ( ) sin θ + sin(α θ/) (1) cos(α + θ/) som ger GZ. Rektangel ) (9) (1) GZ = B x KG sin α (14) För rektangulärt tvärsnitt har hela GZ kurvan beräknats. Tre fall har identifierats Fall 1 Analysen delas upp i två delar, höjden h 1 på den triangulära delen av undervattenskroppen bestäms enligt h 1 = b 0 tan α (15) och givet att deplacementet förblir S 0 bestäms h enligt S 0 = b 0 h + bh 1 (16) h = S 0 b 0 tan α (17) b 0 6
b 0 h 0 h 1 GZ 1 α h 1 / h s s s 1 GZ b 0 / b 0 / Figur 4: Rektangulärt tvärsnitt, bestämning av GZ. Fall 1 GZ 1 beräknas till s = (KG h ) tan α (18) s = h 1 tan α (19) s 1 = b 0 b 0 + s s (0) [ b0 GZ 1 = s 1 cos α = 6 + h ] 1 tan α (KG h ) tan α cos α (1) För den rektangulära delen beräknas GZ till ( GZ = KG h ) sin α () Centroiderna för triangeln och rektangeln viktas med respektive area. Rektangelns momentarm GZ ger ett moment i motsatt riktning och ger därför ett negativt bidrag i det läge som figur 4 visar. A 1 = h 1b 0 A = h b 0 () (4) GZ = A 1GZ 1 A GZ = (5) S0 = h [ 1b 0 b0 6 + h ] [ 1 tan α (KG h ) tan α cos α h b 0 KG h ] sin α (6) Fall Först definieras med hjälp av geometri och areaformeln för trianglar S 0 = h 1b 1 (7) h 1 = b 1 tan α (8) 7
b 0 h 0 s 1 α h 1 GZ s b 1 s h 1 / b 1 / Figur 5: Rektangulärt tvärsnitt, bestämning av GZ. Fall vilket leder till att Sträckan s 1 bestäms b 1 = S0 tan α (9) s = KG tan α (0) s = h 1 tan α ( b0 s 1 = b ) 1 + s s = ( b0 b 1 + h ) 1 tan α KG tan α (1) () Med detta bestäms GZ till Fall GZ = s 1 cos α = () [ b0 b 1 + h ] 1 tan α KG tan α cos α (4) Analysen delas upp i två delar, först för den del av undervattenskroppen som utgör en rektangel b = h 0 tan α (5) S 0 = h 0 b 1 + h 0b 8 b 1 = S 0 h 0 h 0 tan α (6)
h 0 b 1 GZ GZ 1 h 0 / b / b h 0 / b 1 / Figur 6: Rektangulärt tvärsnitt, bestämning av GZ. Fall A 1 = h 0 b 1 (7) s = b 1 h 0 tan α (8) s = KG tan α (9) s 1 = b 0 s s (40) GZ 1 = s 1 cos α (41) och för triangeln A = h 0b s 4 = b h 0 tan α (4) (4) s 5 = b 0 b1 s 4 s (44) GZ = s 5 cos α (45) vilket ger, viktat med areorna, GZ GZ = A 1s 1 cos α + A s 5 cos α S 0 (46) 9
Numerisk analys Ett program för lösning av generella skrovformer har konstruerats. Skrovets form anges som ett antal rektangulärt utformade områden. Alla med samma höjd men variabel bredd. Programmet antar symmetri varför endast halva skrovet specificeras. Programmet är uppdelat i två delar. En (del 1) som räknar ut hur skrovet ligger i förhållande till vattenlinjen vid en viss vinkel och en (del ) som beräknar deplacementtyngdpunktens vinkelräta projektion på vattenlinjen..1 Del 1 ξ δs- α δs + Figur 7: Del 1 Ekv. 1 utnyttjas för att via en iterativ process räkna ut ξ (se figur 7). Genom att, för en given vinkel α, välja ett värde på ξ fås S S 0 = δs + δs (47) Programmet gör sedan smarta gissningar för ξ tills Där S fel är någon given noggrannhet.. Del S S 0 < S fel (48) A C B Figur 8: Del Områdets moment med avseende på skiljelinjen mellan B och C (se figur 8) beräknas för vardera ett av områdena A,B och C. Det kan alltså sägas att om r är ett områdes tyngdpunkt projicerat vinkelrät på denna skiljelinje fås det totala momentet som m A r A + m B r B + m C r C (49) 10
Avståndet till deplacementets tyngdpunkt fås som m A r A + m B r B + m C r C m A + m B + m C (50) För att få avståndet mellan deplacementet och fartygets tyngdpunkt adderas det vinkelräta avståndet mellan skiljelinjen och G m A ( r A + r G ) + m B ( r B + r G ) + m C ( r C + r G ) m A + m B + m C 4 Experimentell undersökning = m A r A + m B r B + m C r C m A + m B + m C + r G (51) För att försöka verifiera beräkningarna har en experimentell undersökning genomförts. En testrigg för bestämning av GZ som funktion av krängningsvinkel har byggts (se figur 9 och 10). En konstant kraft, i experimentet används en tyngd med samma massa som båtskrovet, angriper i en flyttbar punkt. Eftersom den pålagda kraften är konstant och lika stor som lådans tyngd, kan båtskrovet modelleras ha dubbla tyngden. För att jämvikt ska råda måste lyftkraftens angreppspunkt ligga på halva avståndet mellan G och den pålagda kraftens angreppspunkt, vilket ger värdet på GZ. Den pålagda kraftens angreppspunkt flyttas och krängningsvinkeln mäts (se figur 11). α Figur 9: Testrigg för att bestämma GZ som funktion av krängningsvinkel 11
Figur 10: Testrigg Figur 11: Mätning av krängningsvinkel 1
5 Resultat 5.1 Analys 1, Samma deplacement, samma djupgående och samma KG Analys 1 utgår från ett initialt deplacement per längdenhet S 0 =, djupgående V L = 1/r 0.9841, där r är halvcirkelns radie och KG = V L/. Figur 1: Tvärsnitt för analys 1 1.6 1.4 Halvcirkel Rektangel Triangel 1. 1 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0 40 60 80 Figur 1: Samma deplacement och samma djupgående för de tre skrovformerna Ur analysen kan utläsas (se figur 1), att triangulär skrovform uppvisar goda stabilitetsegenskaper vid låga krängningsvinklar, men att skrovsidorna snabbt måste vara långa. Under dessa förhållanden är rektangulärt tvärsnitt sämst ur stabilitetssynpunkt. 1
5. Analys, Samma bredd i vattenlinjen och djupgående I analys väljs en bredd b = 5 i vattenlinjen vid krängningsvinkel α = 0, samt att skrovformerna har samma djupgående. Djupgåendet V L väljs till 1. Figur 14: Tvärsnitt för analys.5 Halvcirkel Rektangel Triangel 1.5 1 0.5 0 0 0 40 60 80 Figur 15: Samma bredd i vattenlinjen och djupgående Analysen uppvisar liknande resultat som analys 1, det triangulära tvärsnittet dominerar för små krängningsvinklar, och är geometriskt sett inte helt olik triangulära tvärsnittet i analys 1. En skillnad är att både det halvcirkulära och det rektangulära tvärsnitten är mer stabila. Det rektangulära tvärsnittet har i denna analysen blivit bredare uppvisar bättre stabilitetsegenskaper. 14
5. Analys, triangulärt tvärsnitt I analysen jämförs tre olika öppningsvinklar i ett triangulärt tvärsnitt. Alla tre har samma deplacement och KG. Det som skiljer dem åt är att ju spetsigare vinkel desto högre V L. Figur 16: Tvärsnitt för analys 1 10 grader 90 grader 45 grader 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. 0 0 40 60 80 Figur 17: GZ för skrov med triangulärt tvärsnitt med olika öppningsvinklar Tvärsnitt med spetsig öppningsvinkel visar sig mer instabila för små krängningsvinklar men kan krängas längre innan vatten når väderdäck. 15
5.4 Numerisk analys 5.5 Analys 4 Tvärsnitten har samma deplacement S 0 = 84000, KG = 50 och bredd vid väderdäck b 0 = 600. 140 Rektangel Halvcirkel 10 100 80 60 40 0 0 0 0 40 60 80 Figur 18: Samma deplacement, KG och bredd vid väderdäck 16
5.6 Analys 5 I denna analys har tvärsnitten samma KG = 100, V L = 150 och bredd vid väderdäck b 0 = 600 samt rektangelns höjd samma som halvcirkulära tvärsnittets radie. 10 Rektangel Halvcirkel 100 80 60 40 0 0 0 0 40 60 80 Figur 19: Samma KG, V L och höjd över V L Analys 4 och 5 visar att det halvcirkulära tvärsnittet ger bättre stabilitet för alla krängningsvinklar mellan 0 och 90. 17
5.7 Analys 6 En analys för en mer realistiskt småbåts tvärsnitt. KG är markerad som en cirkel i figur 0. Figur 0: Tvärsnittet för analys 6 5 4 GZ [m] 1 0 0 0 40 60 80 Krängningsvinkel [ ] Figur 1: GZ som funktion av krängningsvinkel för analys 6 18
5.8 Experimentell undersökning Ett antal mätningar i experimentella undersökningen resulterar i en kurva som ligger något under den analytiska lösningen. Modellen för båtskrovet som undersöktes saknade väderdäck därför avbröts mätningarna precis innan modellen tog in vatten, vilket för de parametrar modellen var byggd enligt, sker vid. 0.04 Analytisk Experimentell 0.0 0.0 0.01 0 0 0 40 60 80 Figur : Jämförelse mellan analytiskt resultat och experimentellt framtagna data 6 Diskussion 6.1 Analytiska resultat Analytiska resultat för det halvcirkulära och triangulära tvärsnittet saknar beräkningar för väderdäck. För det rektangulära tvärsnittet har tre fall beräknats, men det finns ett ytterligare fall som kan inträffa om vattenlinjen ligger högre än halva skrovsidan. 6. Numerisk analys Eftersom analytisk lösning endast är fullständigt framtagen för det rektangulära tvärsnittet har MATLAB-programmet bara kunnat kontrollerats mot sådana fall, samt för halvcirkulärt tvärsnitt upp till väderdäck. Det har dock visat brister för det triangulära tvärsnittet. Mot bakgrund av detta kan den numeriska analysen inte anses vara totalt pålitlig. 6. Experimentell undersökning Resultatet ligger något under den analytiska lösningen, möjlig orsak till detta kan vara friktion i trissor. 19
Litteraturförteckning [1] Försvarsmakten (005), Lärobok i Fartygsstabilitet. Stockholm, Försvarsmakten. [] Råde och Westergren (1988, 004), Mathematics Handbook for Science and Engineering, Beta. Lund, Studentlitteratur. 0