Kurs: HF9 Matematik Moment TN Linjär lgebra Datum: 5 augusti 6 Skrivtid 8:5 :5 aminator: rmin Halilovic Undervisande lärare: lias Said För godkänt betg krävs av ma poäng. Betgsgränser: För betg B C D krävs 9 6 respektive poäng. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering betg F. Vem som har rätt till komplettering framgår av betget F på MIN SIDOR. Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betg annars rapporteras F. Hjälpmedel: ndast bifogat formelblad miniräknare är inte tillåten. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget Skriv klass på omslaget B eller C. Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift. p a Bestäm alla reella tal som uppfller olikheten. p b Lös ekvationen. p Uppgift. p a Bestäm B om vektor och vektor B. p b Låt u v och w 6 7. Beräkna u v w. p c Visa att triangeln vars hörn ligger i punkterna B och C 8 - är en rätvinklig triangel. p Uppgift. p Bestäm för varje värde på parametern a antalet lösningar till ekvationssstemet a a a nge även lösningarna i de fall sstemet har oändligt många lösningar. Var God Vänd!
Uppgift. p Lös matrisekvationen där Uppgift 5. p. Punkten P ligger i ett plan som är vinkelrät mot linjen L med ekvationen t. a Bestäm planets ekvation. p b Beräkna koordinaterna för speglingen av punkten P i linjen L. p Uppgift 6. p Masscentrum för en godtcklig kropp bestäms via OT m OP m OP m n OPn m där P P P är koordinater med hänsn till origo O för kroppens olika delars n masscentrum med motsvarande massorna m m m samt m m m m. n n Om en kropp består av två delkroppar och B. Delkropp är en homogen kub med densiteten ρ kg / m och kantlängd m. Delkropp B är en homogen klot med densiteten Klotet är placerat på kuben enligt figuren nedan. ρ kg / m och radien m. Inför ett koordinatsstem med origo som ligger i ett av kubens hörn och bestäm masscentrum till kroppen Lcka till!
Lösningsförslag Uppgift. p a Bestäm alla reella tal som uppfller olikheten. p b Lös ekvationen. p Lösning: a Teckenschema - - - - - - - - - - - - - Teckenschema ger att och som uppfller olikheten. b om Vi har att om och om < om < Tre fall: < ger ekvationen som är lösning. 5 < ger ekvationen 5 som är lösning. ger ekvationen som inte är lösning. Svar: a [ ] [ 5 b a Rätt eller Fel. nstaka räknefel ger -p. b Fel definiering av intervallen -p. j undersökning att lösningen tillhör de olika intervallen -p Uppgift. p a Bestäm B om vektor och vektor B. p b Låt u v och w 6 7. Beräkna u v w. p
c Visa att triangeln vars hörn ligger i punkterna B och C 8 - är en rätvinklig triangel. Lösning: a B 6 6 6 7. p b Lösning: i j k v w 6 6 7 i j k u v w 8 6 c Beteckna sidvektorer B C och BC B C 5 och B C 5 5 6 B BC 6 Och triangeln är rätvinklig. BC B BC a Rätt eller fel. b Rätt eller fel. c Fel sidvektorer ger p. Uppgift. p Bestäm för varje värde på parametern a antalet lösningar till ekvationssstemet a a a nge även lösningarna i de fall sstemet har oändligt många lösningar. ftersom a a a så följer det att ekvationssstemet har entdig a lösning då a och a. Kontroll av de återstående fallen:
: a vilket ger parameter lösning t t t där t är ett godtckligt reellt tal. 9 7 : a vilket ger att lösningen saknas. Rätt determinant beräkning samt rätt värden på a när lösningen inte är eakt ger p. Övrigt p för varje tp-lösning. Uppgift. p Lös matrisekvationen där. där betecknar enhetsmatrisen. så är p för rätt ekvationslösning fel här ger p. p för rätt inversmatris beräkning p för rätt beräkning av Uppgift 5. p Punkten P ligger i ett plan som är vinkelrät mot linjen L med ekvationen t. a Bestäm planets ekvation. p 5
b Beräkna koordinaterna för speglingen av punkten P i linjen L. p Lösning a ftersom planet är vinkelrät mot den givna linjen är planets normal lika med linjens riktning dvs. b Se figuren: P u n Q V O S v linjens ekvation noteras att origo ligger på linjen och söker koordinaterna för punkten S. Vi behöver då den riktade sträckan OS u n u u u där u OP. u v v projektionsformeln får vi: v och därmed v 6 5 OS 5 vilket ger speglingspunkten S a nstaka räkningsfel -p annars rätt eller fel. b Rätt uttrck för OS ger p och resten rätt ger p. Uppgift 6. p Kubens masscentrum ligger i P. Kubens massa är m kg. Klotets masscentrum ligger i P. Klotets massa är m π 8 π kg. 8 π OT m OP m OP π m 8 π π π Svar: Masscentrum är T π Rätt masscentrum för både kuben och klotet ger p. Fel här ger p. Rätt uttrck OT m OP m OP ger p och resten är korrekt beräknad ger p. m 6