1 av 12. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Relevanta dokument
1 av 13. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Inversa matriser och determinanter.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Datum: xxxxxx. Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Denna. Uppgift Låt u och w. Uppgift 2x. Uppgift.

i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning?

SAMMANFATTNING OM GRADIENT, DIVERGENS, ROTATION, NABLAOPERATOR

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Tor 25 sep 2014, kl 13:15-17:15

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära.

vara n-dimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b betecknas a b ) vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b är

TNA004 Analys II Sixten Nilsson. FÖ 1 Kap Inledning

KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:

( ik MATRISER ELEMENTÄRA RÄKNEOPERATIONER. Definition 1. Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema... a1

1 av 9 SKALÄRPRODUKT PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE. Skalärprodukt: För icke-nollvektorer u r och v r definieras skalärprodukten def

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.


Tentamen 1 i Matematik 1, HF jan 2016, kl. 8:15-12:15

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform)

på två sätt och därför resultat måste vara lika: ) eller ekvivalent

2012 Tid: läsningar. Uppgift. 1. (3p) (1p) 2. (3p) B = och. då A. Uppgift. 3. (3p) Beräkna a) dx. (1p) x 6x + 8. b) x c) ln. (1p) (1p)

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

=============================================== Plan: Låt vara planet genom punkten )

θ = M mr 2 LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 10 LP 10.1

===================================================

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

0 x 1, 0 y 2, 0 z 4. GAUSS DIVERGENSSATS. r r r r. r r k ut ur kroppen

Räta linjer: RÄTA. Därför PM. Eftersom. x y z. (ekv1) Sida 1 av 11

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)

Massflödet genom en turbin följer approximativt det tidigare härledda sambandet: Med hjälp av allmänna gaslagen kan sambandet ovan omformas enligt:

Vilka varor och tjänster samt länder handlar svenska företag med? - och varför?

Använd Maple (eller Mathematica) för att lösa dina uppgifter. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Del2: ANALYS Kurskod: HF1006

Symplektisk Geometri

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

FINALTÄVLING. 24 april 1999 LÖSNINGSFÖRSLAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

Detta är Saco GÅ MED I DITT SACOFÖRBUND

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

===================================================

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

KPI-KS (KPI med konstant skatt) och KPIF-KS (KPI med fast ränta och konstant skatt)

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.

10. Tillämpningar av integraler

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, 22 september 2011, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2015, kl. 8:15-12:15

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

saknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1

Förklaring:

SF1625 Envariabelanalys

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

SF1625 Envariabelanalys

Matematiska uppgifter

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

sluten, ej enkel Sammanhängande område

24 Integraler av masstyp

4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Induktion LCB 2000/2001

LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL A ( ) ( + + )

BILAGA 1. GRUNDER ENLIGT 7 5 mom. I LAGEN OM PENSION FÖR KONSTNÄRER OCH SÄRSKILDA GRUPPER AV ARBETSTAGARE

Värt att memorera:e-fältet från en punktladdning

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Kapitel 8. Kap.8, Potentialströmning

Nr 800 BILAGA 1 GRUNDER ENLIGT 9 I LAGEN OM PENSION FÖR ARBETSTAGARE I KORTVARIGA ARBETSFÖRHÅLLANDEN

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

BILAGA 1. GRUNDER ENLIGT 7 5 mom. I LAGEN OM PENSION FÖR KONSTNÄRER OCH SÄRSKILDA GRUPPER AV ARBETSTAGARE

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3

Potentialteori Mats Persson

Matlab: Inlämningsuppgift 2

Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 28 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

Räkneövning 1 atomstruktur

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

13 Generaliserade dubbelintegraler

Surveysektionens årsmöte 20 oktober 2004.

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Transkript:

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt VEKTRPRDUKT CH TILLÄMPNINGAR Kompln etoe. Defnton: V säge tt,,..., n ä ompln etoe om etoen lgge ett pln nä de stts fån smm pnt. Med nd od, ompln etoe n mn pllellföfltt så tt de lgge smm pln. Anmänng: Tå etoe mmet ä lltd ompln och däfö ä fågn ä etoen ompln elle nte ntessnt endst fö te elle fle etoe. Höge- och änstesstem. Antg tt, b och c ä ce- ompln etoe med gemensm sttpnt. V säge tt etoen, b och c, tgn denn odnng, bld ett högesstem höge etotppel om den mnst dnngen som öefö tll en eto med smm tnng som b sns motos, nä bett fån spetsen på c. Vetoen bld, b och c ett änstesstem om dnngen fån tll b sns meds nä bett fån spetsen på c. dnngen melln etoen, b och c ä tg. Te pemttonen, b, c :, b, c, b, c, och c,,b bld smm sstem höge elle änste som, b och c medn fölnde te bld motstt sstem, c,b, c,b, och b,, c Som stndd nände höge N oodntsstem lls äen tesst oodntsstem

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt Vetopodt: θ θ Vetopodten sspodten tå etoe betecns defne genom tt nge dess längd och tnng. ä en eto som Defnton. Vetopodten ä den eto som h fölnde egenspe:. Längden etopodten ä snθ. Vetopodten ä otogonl mot både och. m då ä etopodten td så tt, och bld ett högesstem. Anmänng: Låt,,,,, tå etoe ett N oodntsstem. Med hälp onstående Defnton n mn häled fomeln som föls sene teten fö beänng etopodten Låt,,,,,,, I mång böce defnes etopodten det med hälp denn fomel och sedn mn hälede egenspe, och. Alltså en elent defnton ä fölnde: Defnton '. Låt,,,,, tå etoe ett N oodntsstem. Vetopodten defnes genom fölnde fomel def,, EGENSKAPER: def. Fån snθ se tt Vetopodten ä en ds,, om, elle om och ä tå pllell etoe ds θ. eftesom och h motstt tnng, men smm längd

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt Alltså etopodten ä INTE ommtt tn ntommtt, tll sllnd fån släpodten. θ. λ λ λ 4. w w w w w den dstbt lgen beset fnns sboen 4. Den pllellogm som bestäms spänns pp etoen och h en bsen höden snθ och dett ä smm tl som beloppet. θ A B Alltså en pllellogmmen som spänns pp och. BERÄKNING AV I ETT N-SYSTEM Fö otonomede bsetoe som betecn,, elle e, e, e defntonen,,,,,,,,. gälle enlgt V n nänd onstående esltt fö tt beän fö tå etoe

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 4 Vetopodt,, och,, s oodnte ä gn ett N-odntsstem. V h:, V nände,,... F Fomeln F ä såt tt omm håg. Mn n nänd fölnde smbols detemnnt fö tt beän. Dett ä ett enelt beänngs sätt om mn n beän detemnnte. Me om detemnnte omme sene sen. Hä fnns beänngsmetode fö detemnnte nd och tede odnngen. En detemnnt nd odnngen ä ett tl som få enlgt fölnde: Eempel 4 4 6. 4 En detemnnt tede odnngen en d elle en ollon ä ett tl som få enlgt fölnde n beän genom tt tecl efte Uteclng efte föst den Uteclng efte en d len som helst elle en olonn. Låt D. Fö tt beän detemnnten n nänd en fölnde metode:. Uteclng efte d nmme

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 5 Vetopodt D A A A. Uteclng efte ollon nmme A A D A I dess teclng ä A ndedetemnnten m p pltsen, som få om t bot d nmme och olonn nmme fån detemnnten D. Tecenschem fö. Eempel. Beän fölnde detemnnten: Lösnng: V nände och ämfö tå metode, teclng efte d och teclng efte olonn. Metod Uteclng efte d. 6 5 Metod Uteclng efte olonn dä h tå -element. 6 5 Eempel. V n nänd onstående esltt fö tt beän fö tå etoe Låt,, och,,5 s oodnte ä gn ett N-odntsstem. Beän. Lösnng: 4 5 5 5 Alltså 4,,. S: 4,, SKALÄR TRIPPELPRDUKT Låt,,,,, och w,, te etoe.

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 6 Vetopodt Slä tppelpodt defnes som tlet o w och n beäns det, enlgt defntonen [föst etopodt och däefte w o ]. Ett enelt sätt tt beän slä tppelpodten ä beänng med hälp fälnde detemnnt: o w Geomets tllämpnng: Låt,, och,, Då gälle : w,, te etoe mmet. w C B A. Den pllellepped som bestäms spänns pp, och w h olmen V o w V om,, w bld högesstem. o w V om,, w bld änstesstem om och endst om,, w ä ompln etoe. o, o 4. m betecn ote [,, w] o w då h fölnde eltone beoende på odnngen melln etoen. [,, w] [ w,, ] [, w, ] [,, w] [ w,, ] [, w, ]

7 Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt C B w A 5. Den pmd som bestäms spänns pp w och, h olmen 6 w V o Uppgft. Beän etopodten då 4,, och,, b, Lösnng: 8,6 4, 6 8 4 4 4 4 b,, Anmänng: V få smm esltt b om beän fölnde detemnnt: Uppgft. Beän en den pllellogm som spänns pp etoen,, och,, Lösnng: Pllellogmmens e ä A Föst L -4,, Hä en A 9 9 4 6 S: Pllellogmmens e ä A 9.e. Uppgft.

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 8 Vetopodt Beän en tngeln ABC då A,,, B,,4 och C,,6. b Beän längden höden tngeln ABC, som gå fån pnten C tll sdn AB. Lösnng: AB,,, AC,,4 AB AC,, 4 AB AC AenABC AB AC b Föst AB,,, och däfö AB 5 V h edn beänt en tngeln en. Eftesom en n beäns med hälp fomeln AB hc en bsen * höden / en h h c AB 5 5 S: en e. b höden h c 5 Anmänng: Vetopodt ä defned fö etoe D mmet. Någ poblem D omndl tll D genom tt lägg tll som tede oodnt. Däefte n nänd fomle som nlde etopodt. Uppgft 4. Beän en tngeln PQR som lgge - plnet då P,, Q, och R,4. Lösnng: V nfö tede oodnt och beän en tngeln med hönen pnten A,,, B,, och R,4,. V h AB,,, AC, AB AC,,,

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR och däfö AB AC AenABC AB AC 9 Vetopodt Uppgft 5. Vs tt en den pllellogm som spänns pp tådmensonell etoe, och, ä l med A. oodnte ä ett N sstem. Lösnng: V lägge tll tede oodnten och öefö fågn tll ett elent poblem D. V betecn U,,, och V,, och beän etopodten U V Lägg mäe tll tt λ λ λ λ Däfö bl en pllellogmmen A U V Vd slle bess Uppgft 6. V bett te pnte ett -pln P,, Q, och R,. Vs tt en en tngeln PQR ä l med ä l med A. oodnte ä ett N sstem. Lösnng: Låt PQ, och PR, Enlgt föegående ppgft ä en den pllellogm som spänns PQ och PR l med. Dämed bl en tngeln PQR A d slle ss. Aen tngeln PQR ä l med en hl en den plellogm som spänns, och, Uppgft 7. Beän olmen den pllellepped som spänns pp

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt etoen,,, b,, och c,4,. Lösnng: b o c 5 4 4 Volmen b o c 5 5 S: 5 e. Uppgft 8. Anänd tppelpodten fö tt s tt,,, b,, och c 6,8, ä ompln etoe. b o c 6 8, b och c ä ompln etoe V.S.B. Uppgft 9. Låt och b tå etoe mmet. Beän c, c 5b c b b o c om Lösnng. Set ä fö ll te fll eftesom, b och c ä ompln etoe. Uppgft. Bes b b b Lösnng: Enlgt podtens defntone h fö änsteledet VL: VL b b b snθ b cosθ b sn θ cos θ tgonomets ettn b HL Alltså b b b V.S.B. Uppgft. Låt, och w te etoe mmet som stsfe w 8 w. Vs tt, och w ä ompln etoe. Tps: slämltplce eltonen med en etoen Lösnng: V slämltplce w 8 w w w w 8 w w Eftesom w w och w w h w med w och få

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt ds w som mplce tt, och w ä ompln etoe V.S.B Slä tppelpodt defnes som tlet o w och n beäns det, enlgt defntonen [föst etopodt och däefte w o ]. Ett enelt sätt tt beän slä tppelpodten ä beänng med hälp fälnde detemnnt: o w Uppgft. Ett oodntsstem ä defnet ett m ät bloc med dmensone 8m 6m m, enlgt blden nedn. Desstom gälle CGm, AF6m, DEm. Beän olmen pmden GEF. Lösnng: Volmen pllelleppeden som spänns pp etoen G,,, F 6,6, och E 6,8, ä V 6 6. 6 8 Volmen pmden GEF ä. 6 S: Volmen pmden GEF m. Uppgft. Låt,, och,, w,, te etoe mmet.

Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt Bes fomeln w o Lösnng: Vänsteledet: Föst etopodten enlgt fomeln F Däfö w * Högeledet: V tecl detemnnten efte tede den och få ** Fån * och ** h w, d slle bess.