Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt VEKTRPRDUKT CH TILLÄMPNINGAR Kompln etoe. Defnton: V säge tt,,..., n ä ompln etoe om etoen lgge ett pln nä de stts fån smm pnt. Med nd od, ompln etoe n mn pllellföfltt så tt de lgge smm pln. Anmänng: Tå etoe mmet ä lltd ompln och däfö ä fågn ä etoen ompln elle nte ntessnt endst fö te elle fle etoe. Höge- och änstesstem. Antg tt, b och c ä ce- ompln etoe med gemensm sttpnt. V säge tt etoen, b och c, tgn denn odnng, bld ett högesstem höge etotppel om den mnst dnngen som öefö tll en eto med smm tnng som b sns motos, nä bett fån spetsen på c. Vetoen bld, b och c ett änstesstem om dnngen fån tll b sns meds nä bett fån spetsen på c. dnngen melln etoen, b och c ä tg. Te pemttonen, b, c :, b, c, b, c, och c,,b bld smm sstem höge elle änste som, b och c medn fölnde te bld motstt sstem, c,b, c,b, och b,, c Som stndd nände höge N oodntsstem lls äen tesst oodntsstem
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt Vetopodt: θ θ Vetopodten sspodten tå etoe betecns defne genom tt nge dess längd och tnng. ä en eto som Defnton. Vetopodten ä den eto som h fölnde egenspe:. Längden etopodten ä snθ. Vetopodten ä otogonl mot både och. m då ä etopodten td så tt, och bld ett högesstem. Anmänng: Låt,,,,, tå etoe ett N oodntsstem. Med hälp onstående Defnton n mn häled fomeln som föls sene teten fö beänng etopodten Låt,,,,,,, I mång böce defnes etopodten det med hälp denn fomel och sedn mn hälede egenspe, och. Alltså en elent defnton ä fölnde: Defnton '. Låt,,,,, tå etoe ett N oodntsstem. Vetopodten defnes genom fölnde fomel def,, EGENSKAPER: def. Fån snθ se tt Vetopodten ä en ds,, om, elle om och ä tå pllell etoe ds θ. eftesom och h motstt tnng, men smm längd
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt Alltså etopodten ä INTE ommtt tn ntommtt, tll sllnd fån släpodten. θ. λ λ λ 4. w w w w w den dstbt lgen beset fnns sboen 4. Den pllellogm som bestäms spänns pp etoen och h en bsen höden snθ och dett ä smm tl som beloppet. θ A B Alltså en pllellogmmen som spänns pp och. BERÄKNING AV I ETT N-SYSTEM Fö otonomede bsetoe som betecn,, elle e, e, e defntonen,,,,,,,,. gälle enlgt V n nänd onstående esltt fö tt beän fö tå etoe
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 4 Vetopodt,, och,, s oodnte ä gn ett N-odntsstem. V h:, V nände,,... F Fomeln F ä såt tt omm håg. Mn n nänd fölnde smbols detemnnt fö tt beän. Dett ä ett enelt beänngs sätt om mn n beän detemnnte. Me om detemnnte omme sene sen. Hä fnns beänngsmetode fö detemnnte nd och tede odnngen. En detemnnt nd odnngen ä ett tl som få enlgt fölnde: Eempel 4 4 6. 4 En detemnnt tede odnngen en d elle en ollon ä ett tl som få enlgt fölnde n beän genom tt tecl efte Uteclng efte föst den Uteclng efte en d len som helst elle en olonn. Låt D. Fö tt beän detemnnten n nänd en fölnde metode:. Uteclng efte d nmme
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 5 Vetopodt D A A A. Uteclng efte ollon nmme A A D A I dess teclng ä A ndedetemnnten m p pltsen, som få om t bot d nmme och olonn nmme fån detemnnten D. Tecenschem fö. Eempel. Beän fölnde detemnnten: Lösnng: V nände och ämfö tå metode, teclng efte d och teclng efte olonn. Metod Uteclng efte d. 6 5 Metod Uteclng efte olonn dä h tå -element. 6 5 Eempel. V n nänd onstående esltt fö tt beän fö tå etoe Låt,, och,,5 s oodnte ä gn ett N-odntsstem. Beän. Lösnng: 4 5 5 5 Alltså 4,,. S: 4,, SKALÄR TRIPPELPRDUKT Låt,,,,, och w,, te etoe.
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 6 Vetopodt Slä tppelpodt defnes som tlet o w och n beäns det, enlgt defntonen [föst etopodt och däefte w o ]. Ett enelt sätt tt beän slä tppelpodten ä beänng med hälp fälnde detemnnt: o w Geomets tllämpnng: Låt,, och,, Då gälle : w,, te etoe mmet. w C B A. Den pllellepped som bestäms spänns pp, och w h olmen V o w V om,, w bld högesstem. o w V om,, w bld änstesstem om och endst om,, w ä ompln etoe. o, o 4. m betecn ote [,, w] o w då h fölnde eltone beoende på odnngen melln etoen. [,, w] [ w,, ] [, w, ] [,, w] [ w,, ] [, w, ]
7 Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt C B w A 5. Den pmd som bestäms spänns pp w och, h olmen 6 w V o Uppgft. Beän etopodten då 4,, och,, b, Lösnng: 8,6 4, 6 8 4 4 4 4 b,, Anmänng: V få smm esltt b om beän fölnde detemnnt: Uppgft. Beän en den pllellogm som spänns pp etoen,, och,, Lösnng: Pllellogmmens e ä A Föst L -4,, Hä en A 9 9 4 6 S: Pllellogmmens e ä A 9.e. Uppgft.
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR 8 Vetopodt Beän en tngeln ABC då A,,, B,,4 och C,,6. b Beän längden höden tngeln ABC, som gå fån pnten C tll sdn AB. Lösnng: AB,,, AC,,4 AB AC,, 4 AB AC AenABC AB AC b Föst AB,,, och däfö AB 5 V h edn beänt en tngeln en. Eftesom en n beäns med hälp fomeln AB hc en bsen * höden / en h h c AB 5 5 S: en e. b höden h c 5 Anmänng: Vetopodt ä defned fö etoe D mmet. Någ poblem D omndl tll D genom tt lägg tll som tede oodnt. Däefte n nänd fomle som nlde etopodt. Uppgft 4. Beän en tngeln PQR som lgge - plnet då P,, Q, och R,4. Lösnng: V nfö tede oodnt och beän en tngeln med hönen pnten A,,, B,, och R,4,. V h AB,,, AC, AB AC,,,
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR och däfö AB AC AenABC AB AC 9 Vetopodt Uppgft 5. Vs tt en den pllellogm som spänns pp tådmensonell etoe, och, ä l med A. oodnte ä ett N sstem. Lösnng: V lägge tll tede oodnten och öefö fågn tll ett elent poblem D. V betecn U,,, och V,, och beän etopodten U V Lägg mäe tll tt λ λ λ λ Däfö bl en pllellogmmen A U V Vd slle bess Uppgft 6. V bett te pnte ett -pln P,, Q, och R,. Vs tt en en tngeln PQR ä l med ä l med A. oodnte ä ett N sstem. Lösnng: Låt PQ, och PR, Enlgt föegående ppgft ä en den pllellogm som spänns PQ och PR l med. Dämed bl en tngeln PQR A d slle ss. Aen tngeln PQR ä l med en hl en den plellogm som spänns, och, Uppgft 7. Beän olmen den pllellepped som spänns pp
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt etoen,,, b,, och c,4,. Lösnng: b o c 5 4 4 Volmen b o c 5 5 S: 5 e. Uppgft 8. Anänd tppelpodten fö tt s tt,,, b,, och c 6,8, ä ompln etoe. b o c 6 8, b och c ä ompln etoe V.S.B. Uppgft 9. Låt och b tå etoe mmet. Beän c, c 5b c b b o c om Lösnng. Set ä fö ll te fll eftesom, b och c ä ompln etoe. Uppgft. Bes b b b Lösnng: Enlgt podtens defntone h fö änsteledet VL: VL b b b snθ b cosθ b sn θ cos θ tgonomets ettn b HL Alltså b b b V.S.B. Uppgft. Låt, och w te etoe mmet som stsfe w 8 w. Vs tt, och w ä ompln etoe. Tps: slämltplce eltonen med en etoen Lösnng: V slämltplce w 8 w w w w 8 w w Eftesom w w och w w h w med w och få
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt ds w som mplce tt, och w ä ompln etoe V.S.B Slä tppelpodt defnes som tlet o w och n beäns det, enlgt defntonen [föst etopodt och däefte w o ]. Ett enelt sätt tt beän slä tppelpodten ä beänng med hälp fälnde detemnnt: o w Uppgft. Ett oodntsstem ä defnet ett m ät bloc med dmensone 8m 6m m, enlgt blden nedn. Desstom gälle CGm, AF6m, DEm. Beän olmen pmden GEF. Lösnng: Volmen pllelleppeden som spänns pp etoen G,,, F 6,6, och E 6,8, ä V 6 6. 6 8 Volmen pmden GEF ä. 6 S: Volmen pmden GEF m. Uppgft. Låt,, och,, w,, te etoe mmet.
Amn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetopodt Bes fomeln w o Lösnng: Vänsteledet: Föst etopodten enlgt fomeln F Däfö w * Högeledet: V tecl detemnnten efte tede den och få ** Fån * och ** h w, d slle bess.