γ z d d dz, γ,,,,,,,,,,,,,,,, z t t zt t, t P z t Q t R t P tq trz t dt t t t t dt t t r t,,, t P t Qt, Rt t P tq trz t dt,,,, r,t,, t P t, Qt t, Rt dt
P tq trz t dt,,,, tdt r,,t, t P t t, Qt Rt P tq trz t dt dt t t t t t t z t r,, z t, t,t, t P t t 5, Qt t, Rt t P tq trz t dt t 5 t tt t dt t6 5 t5
. För att beräkna arean använd att,!! dd r r arean, där är den ökta tan projektion på,-planet. n r r abolutbeloppet av planet normalvektor. Betämmer området nedan,, 5 5 6 6 6 ger ätter z z Området " # $ % & ' är en ellip.
Ellipen halvalar är a, b! ellipen area är ab π π Nu kan den ökta arean beräkna, arean "" r r dd "" dd dd arean av område "" π π Svar: π
. Låt vara delen av tan z om ligger innanför kontan z 6.Areanav beräkna enligt P.B. 5 med hjälp av integralen r r dd där r r,,, är en parameterframtällning av. Givet är att r,, och därmed är r,, och r,,. Vikan,med bavekorerna e, e och e,beräknakrproduktenr r om determinanten e e e,, Alltå, r r,, och därmed är r r. För att få området underöker vi kärningen mellan z och kontan 6.Vifår: och ger z z 6 6 6 5 5 Efterom vi är intreerade av delen av tan z om ligger innan för kontan får vi alltå att {, }. Vi utför nu variabelbtet t etta ger funktionalmatrien d, t d, t t.
Alltå får vi att d, d, t d,t d,. Vidare har vi nu att området i -planet motvara av området E i t-planet, där E {, t t }. Vi är nu redo att räkna ut arean av den efterökta tan. Fört utför vi variabelbtet ovan å vi får en dubbelintegral över området E i t-planet: arean av r r dd dd E d, d, t ddt E ddt. Efterom området E bekriver en cirkelkiva i t-planet kan vi nu använda o av polära koordinater och får: E ddt π r r dr dθ π π. en efterökta arean är alltå π.
Uppgift Låt : z och : z. Vi vill betämma maan av den del av om är begränad av och där deniteten är z,,. : z ger z om är en elliptik paraboloid. Vi er att. et gör att vi kan koncentrera o på den del av tan där och om ge av z. Vi ätter dea uttrck lika: z z z z z z z eller z z Låt vara området z-planet. z i z-planet. Vill betämma arean av över detta område i Sätt z f, z. Analogt med fallet z f, ge längden av normalvektorn till tan av: z f f z etta ger: z Maa z ddz z ddz Övergår till polära koordinater enligt: r co t, ddz r drdt z rin t, r, t
z r Maa z ddz r r drdt / / r r r r r dr r r dr r r dr r r 5 5 / / / r 5r r dr r r / 5/ 5 5 5 5 5 5 5/
u,, z,in t t π r r, t co t, co t, z in t z t π z r r t r r t r co t,,in t r co t,, in t r t in t,,co t r r t co t, co t in t, in t co t,, in t r r t u N ds ur, t r r t ddt
co t,,in t co t,, in t ddt co t in t ddt 8π co t in t ddt ddt π π dt 8π d
t zd d dz t dt γ Vi beräknar kurvintegralen för γ genom att göra parametieringen,d,d t z t, dz dt Vi ätter in parametieringen i kurvintegralen γ zd d dz dt [t] Vi beräknar kurvintegralen av Γ genom att addera ihop varet frå the tre kurvintegralerna c Γ zd d dz Vi ka nu beräkna kurvintegralen då Γ är kurvan där torna z och kär varandra. Vi börjar med att göra en parametiering t, d dt t,dtdt t z t,dzt dt Vi ätter in parametieringen i kurvintegralen Γ Uppgift 5 zd d dz t 5 t dt Vi ka beräkna tre kurvintegraler zdd t t dt t t tdt t t dt t 6 ddz 6 t5 5 ddz för tan : z 6,,, z. en förta integralen beräkna genom att ätta z 6, och edan har vi integrationgränerna 6 och vilket markerar den triangulära tan i -planet för vilket z kan anta värden. tintegralen blir ålede
zdd 6 6 dd 6 6 6 6 6 6 d 9 d 9 en andra kurvintegralen kan beräkna genom att ätta 6z, och edan använda integrationgränerna z 6 och om pänner upp en trinagel i z-planet där kan anta värden. tintegralen blir 6 ddz 6 6 z dzd 6z z z 6 66 6 6 6 9d 9 en ita integralen beräkna genom att ätta 6z, och edan använda integrationgränerna z 6 och om pänner upp en triangel i z-planet där kan anta värden. tintegralen blir 6 ddz 6 6 z ddz 6z z z 6 d 66 6 6 9 6 d 9 6 d Som vi kan e är reultatet amma i alla tintegraler. et är å efterom vi beräknar volmen av områdettetraeden om begräna av tan z 6, amt -planet, z-planet och z-planet. Som jag nämnt
tidigare å är våra integrationgräner en ta på någon av planen om pän upp av två av alarna, och z. Vi integrerar edan över värdet på den aeln om inte pänner upp tan. När vi integrerar kommer vi att ha må telement eempelvi dd om edan multiplicera med i det här fallet z värdet. etta kommer bilda ett volmelement, och när vi integrerar över hela tan umerar vi alla dea volmelement och beräknar därför den totala volmen av området. et pelar ålede ingen roll vilket plan vi väljer om ba efterom volmen kommer vara den amma ovavett och vi kommer därför få amma var. 5