RÖRSTRÖMNING Trots dess stora tekniska betydelse är den samlade kunskapen inom strömning i rörsystem väsentligen baserad på experiment och empiriska metoder, även när det gäller inkompressibel, stationär strömning i en fas av en Newtonsk fluid (Ch. 6). Strömningen är oftast turbulent och Reynolds tal (Re) mycket högt, vilket omöjliggör exakt analys. Laminär strömning uppträder om Re är tillräckligt lågt, för ett rakt rör kan laminär strömning endast garanteras om Re är lägre än ca. 2100. Under tekniska förhållanden fås fullt utvecklad turbulent strömning om Re överstiger ca. 4000. Re baseras på medelhastighet V samt hydraulisk diameter D h, Re = Re Dh = ρv D h µ = V D h ν, D h = 4 A P A är rörets inre tvärsnittsarea och P dess periferi ( våtlagda omkrets). Cirkulärt tvärsnitt D h = d (A = πd 2 /4, P = πd). Vid teknisk design är det brukligt att använda värdet 2300 som gräns mellan laminär och turbulent strömning, Re Dh,crit 2300. Experimentellt uppmätt tryckfall p s.f.a. V i slätt rör med d = 0.25 in = 6.35 mm, längd L = 305 cm; 1 lbf/ft 2 = 47.88 Pa. Vid laminär strömning är p V, turbulent: p V n, n = 1.75 2. Ch. 6.1 Strömningslära C. Norberg, LTH
INLOPPSSTRÄCKA Betrakta strömningen i ett rakt rör anslutet till en stor tank med väl avrundat inlopp. Precis vid inloppet är hastighetsprofilen i det närmaste flat, dock med stor gradient (friktion) vid rörväggen. Strömningen utvecklas successivt, acceleration i centrala delar, uppbromsning nära rörväggen (gränsskikt). Till slut uppnås en hastighetsprofil som är oberoende av faktiskt avstånd från inloppet, säg vid x = L e, där x är en koordinat längs röret. Strömningen är då fullt utvecklad, och oberoende av strömningstyp (laminär, turbulent) sjunker trycket linjärt längs röret, dp/dx = konst. > 0. Inloppssträckans längd i förhållande till rörets diameter, L e /d, beror av Reynolds tal. Om L e definieras som det avstånd där centrumhastigheten uppnår 99% av slutligt värde gäller approximativt L e /d 0.62 + 0.057 Re (Re < 2100) 4.4 Re 1/6 (Re 4000) Ch. 6.2 Strömningslära C. Norberg, LTH
RÖRSTRÖMNING INTEGRALANALYS Betrakta fullt utvecklad, stationär och inkompressibel strömning i ett rakt rör med konstant tvärsnitt. KE V 1 = V 2 = V = konst. α 1 = α 2 samt gällande sektionsvisa medelvärden: EE p f = p 1 p 2 + ρg(z 1 z 2 ) = p + ρg z IE p A + ρalg sinφ τ w PL = 0 Med D h = 4 A/P samt L sinφ = z fås PL p f = τ w A = τ 4L w Medelvärdet av väggskjuvspänningen 1 över periferin, τ w, kan antas bero endast av ρ, V, µ och D h, samt ett ytråhetsmått ǫ, τ w = g(ρ,v, µ, D h, ǫ). Dimensionsanalys med Re = ρv D h /µ ger c f = Darcy-Weisbachs friktionsfaktor, f p f = f L D h ρv 2 2 D h τ w ρv 2 /2 = funkt.(re, ǫ/d h) f = 8 τ w ρv 2 = 4 c f = φ(re, ǫ/d h ) 1 Vid cirkulärt tvärsnitt är skjuvspänningen konstant runt periferin. Ch. 6.3 Strömningslära C. Norberg, LTH
RÖRSTRÖMNING DIFF. ANALYS Kontinuitetsekvationen i cylindriska koordinater (x axiell koordinat): 1 r r (rv r) + 1 v θ r θ + u x = 0 Inga hastighetsvariationer sker i θ-led samt v θ = 0 ( no swirl ). Fullt utvecklad stationär strömning innebär att axiell hastighet endast beror av radien r, u = u(r). Kontinuitetsekvationen ger då att rv r endast kan bero av x. Eftersom v r = 0 på väggen (r = R) för alla x måste därför den radiella hastigheten vara noll överallt; v r = 0 τ xr = τ rx = µ(du/dr) = τ(r). Navier-Stokes ekvationer i resp. koordinatriktning (x, r och θ): 0 = p x + ρg x + 1 d r dr (r τ) ; g x = g sinφ (1) 0 = p r + ρg r ; g r = g cos φ sin θ (2) 0 = 1 p r θ + ρg θ ; g θ = g cos φ cos θ (3) där φ är vinkeln med horisontalplanet. Ekv. (2) och (3) ger p = ρg r sin θ cos φ + f 1 (θ,x) p = ρg r sin θ cos φ + f 2 (r,x) } p = P(x) ρg r sin θ cos φ Insatt i ekv. (1) d dx (P ρg xsin φ) = 1 d (r τ) r dr Vänsterledet beror endast av x och högerledet endast av r, 1 r d d (r τ) = C = dr dx (P + ρg z) = p f L = konst. > 0 där z = xsin θ är den vertikala koordinaten och L rörets längd (tryckförlust p f ). Integration med randvillkoret τ(0) = 0 ger τ = Cr/2. Väggskjuvspänning: τ w = τ r=d/2 = C d 4 = d 4 d (P + ρg z) = konst. < 0 dx Integration med no-slip-villkoret u = 0 vid r = R = d/2 ger ( ) u r 2 = 1 ; u max = C d2 u max d/2 16µ Volymflödet fås efter integration Q = V A = V πd 2 /4 = d/2 0 u(r)2πr dr = u max πd 2 /8 V = u max /2 Q = πd4 128µ p f L (Hagen-Poiseuilles lag) p f = f L d ρv 2 2 f = 64µ ρv d = 64 Re Ch. 4.11/6.4 Strömningslära C. Norberg, LTH
FRIKTIONSFAKTOR f = 2 p f/l ρv 2 d Inverkan av Reynolds tal och skrovlighet: 2 Laminär strömning (Re < 2100) ingen inverkan av skrovlighet, 1 f = 64/Re Turbulent strömning (Re > 4000) stor inverkan av skrovlighet, speciellt höga Re; hydrauliskt slätt : 2 f = 0.316Re 0.25 (4000 < Re < 10 5 ); 3 1/ f = 2.0 log(re f) 0.8 Vid tillräckligt högt Re beror f enbart av relativ skrovlighet Moody-diagrammet (ytråhetsmått ǫ, kommersiella rör): Re > 4000 : f 1.8 log 6.9 Re + ǫ/d 3.7 1.11 2 (Haalands formel) 2 Ur H. Schlichting, Boundary-Layer Theory, 7th ed., McGraw-Hill, 1979; sandskrovlighet ǫ s. Ch. 6.6 Strömningslära C. Norberg, LTH
GODTYCKLIGA RÖRTVÄRSNITT Betrakta stationär, inkompressibel, fullt utbildad strömning i rör med godtyckligt men konstant tvärsnitt; rörlängd L; tvärsnittsarea A; omkrets (periferi) P; hydraulisk diameter D h = 4A/P. Väggskjuvspänning, τ w = P 1 P 0 τ w ds τ w PL = p f A, d.v.s. p f = 4L τ w f L ρv 2 D h D h 2 där f = Darcy-Weisbachs friktionsfaktor (medelhastighet V = Q/A). A. Laminär strömning, Re Dh < 2100 Ytskrovlighet, inom rimliga gränser, inverkar ej på friktionsfaktorn. Tryckförlust per längdenhet är proportionell mot flöde och dynamisk viskositet, d.v.s. f = C = 64, Re eff = ρv D eff Re Dh Re eff µ, D eff D h = 64 C = ζ 1 Faktorn ζ = C/64 beror av tvärsnittets form, ex. cirkulärt ζ = 1; kvadratiskt ζ = 0.889; allmänt ζ (0.7, 1.5]; se nästa sida. B. Turbulent strömning, Re Dh > 4000 Med känt ζ = D h /D eff rekommenderas följande: f = φ(re eff, ǫ/d eff ), 1 f = 1.8 log 6.9 + Re eff ǫ/d eff 3.7 1.11 Friktionsfaktorn kan även beräknas ur Colebrooks formel, ekv. (6.64); avläsning i Moodys diagram (Fig. 6.13) ej rekommenderat. Metoden innebär i de flesta fall en osäkerhet i beräknad tryckförlust av endast ca. ±5%. Endast om ζ ej är känd skall hydraulisk diameter användas som skaldimension. Osäkerheten är då ca. ±15%. Observera att tryckförlusten är definierad m.h.a. hydraulisk diameter. Ch. 6.8 Strömningslära C. Norberg, LTH
LAMINÄR RÖRSTRÖMNING ζ = (f Re D h ) lam 64 Tvärsnitt D h Anm. Rektangel 4b (1 + b/a) 1 b = halva kortsidan Ellips πb/e b = halva lillaxeln Koncentriskt 2a (1 b/a) a = yttre radie Cirkel 2a a = radie Cirkelsegment 2a (α sinα)(2 + α) 1 a = radie, b = båglängd E = π/2 0 1 k sin 2 φ dφ, k = 1 (b/a) 2. α = b/a, α (0,2π). För likbent triangel hänvisas till Table 6.4 i White. Ch. 6.8 Strömningslära C. Norberg, LTH
ENKLA RÖRSYSTEM Enkelt rörsystem = Rörsystem utan förgreningar Stationär, inkompressibel strömning ρv1 2 p 1 + α 1 2 + ρgz ρv2 2 1 = p 2 + α 2 2 + ρgz 2 ρw s,in + p f p f = ρ 2 i (fl/d h ) i V 2 i + j K j V 2 j K = engångsförlustkoefficient; kan vid turbulent strömning oftast anses oberoende av Reynolds tal, se tabeller och diagram. Ex. 6.16. Vatten vid 20 C pumpas från en stor öppen bassäng till en annan, uppfordringshöjd H = 100 ft (1 ft = 12 in = 0.3048 m). Inloppet är skarpkantat och 20 ft under (vänstra) bassängens yta. Röret har konstant diameter, d = (2/12) ft = 2 in = 50.8 mm, total längd L = 400 ft = 122 m, i övrigt 2 ventiler och 2 rörkrökar enligt figur; volymflöde, Q = 0.20 ft 3 /s (5.66 dm 3 /s); relativ ytråhet, ǫ/d = 0.0010. Sökt: Effekt som tillförs vattnet via pumpen, P. P = ṁ w P = ρ Qw P (w P pumparbete per massenhet, w s,in = w P ). Bernoullis utvidgade ekvation enligt ovan, mellan de stora fria vattenytorna (V 1 V 2 V, p 1 = p 2 = p atm ): ρw P = ρg(z 2 z 1 ) + p f = ρgh + p f ; p f = (fl/d + K)ρV 2 /2 Medelhastighet, V = Q/A; A = πd 2 /4 V = 2.79 m/s. Friktionsfaktor, f = φ(re, ǫ/d); Tabell A.1 ger Re = 1.41 10 5 ; Haalands formel, ekv. (6.49) f = 0.0214 (fl/d = 51.3). Via tabeller och figurer fås K = 12.3 (OBS! K exit = 1). Insättning ger P = 3.1 kw. Ch. 6.9 Strömningslära C. Norberg, LTH
FLÖDESMÄTNING VIA TRYCKFALL Rördiameter D, medelhastighet V 1 ; flödeshindrets diameter d = βd; medelhastighet V t ; Vena contractra -diameter D 2 < d, medelhastighet V 2. Uppmätt: p = p 1 p 2. Stationär, inkompressibel strömning: Q = (πd 2 /4)V 1 = (πd 2 2/4)V 2 = (πd 2 /4)V t. Bernoullis ekvation: p 1 + ρv 2 1 /2 p 2 + ρv 2 2 /2 + p f p f = 0 Q/A 2 = V 2 2 p ρ(1 D2/D 4 4 ) Sätt D 2 = d = βd samt inför korrektionsfaktor C d, Q = C d A t α = 2 p ρ(1 β 4 ) 1/2 = α A t 2 p ρ 1/2 1/2 C d 1 β 4 = f(β, Re D), Re D = V D/ν Ch. 6.12 Strömningslära C. Norberg, LTH