1 Introduktion... 1.1 1.1 Kompendiestruktur... 1.1 1.2 Inledning... 1.1 1.3 Analogt/digitalt eller tidskontinuerligt/tidsdiskret... 1.2 1.4 Konventioner... 1.3 1.5 Varför digital signalbehandling?... 1.4 1.5.1 Positiva egenskaper hos digital signalbehandling... 1.4 1.5.2 Negativa egenskaper hos digital signalbehandling... 1.5 1.6 Implementering... 1.6 2 Grundbegrepp... 2.1 2.1 Typiskt analog/digitalt system... 2.1 2.2 Sampling... 2.2 2.2.1 Sample and Hold... 2.3 2.2.2 Samplingsvillkor... 2.4 2.2.2.1 Cosinusformad signal... 2.5 2.2.2.2 Sinusformad signal... 2.8 2.2.3 Vikning (spegling, aliasing)... 2.11 2.2.3.1 Vikningsfrekvenser... 2.12 2.2.3.2 Fasvinkel... 2.14 2.2.3.3 Sammanfattning... 2.14 2.2.3.4 Antivikningsfilter... 2.15 2.2.4 Undersampling... 2.16 2.3 Talrepresentation... 2.16 2.3.1 Ordlängd... 2.16 2.3.2 Fixtal... 2.17 6 2.3.2.1 Heltal... 2.17 2.3.2.2 Fraktionella tal... 2.17 2.3.3 Flyttal... 2.17 2.3.4 Negativa tal... 2.18 2.3.4.1 Teckenbit... 2.18 2.3.4.2 Ett-komplement... 2.18 2.3.4.3 Två-komplement... 2.18 2.4 Analog/digitalomvandlare (A/D)... 2.18 2.4.1 A/D-omvandlarens grundfunktion... 2.18 2.4.1.1 Unipolära A/D-omvandlare... 2.19 2.4.1.2 Bipolära A/D-omvandlare... 2.19 2.4.1.3 Codec... 2.20 2.4.1.4 Omvandlingsfel... 2.20 2.4.1.5 Kvantiseringsbrus... 2.20 2.4.2 A/D-omvandlartyper... 2.22 2.4.2.1 Integrerande A/D-omvandlare... 2.22 2.4.2.2 Uppräknande A/D-omvandlare... 2.22 2.4.2.3 A/D-omvandling via successiv approximation... 2.22 2.4.2.4 Flashomvandlare... 2.22 sida i
2.4.3 Omvandlarspecifikationer... 2.23 2.4.3.1 Omvandlingstid... 2.23 2.4.3.2 Settling time... 2.23 2.4.3.3 Noggrannhet... 2.23 2.4.3.4 Offsetfel... 2.23 2.4.3.5 Förstärkningsfel... 2.24 2.4.3.6 Linjaritet... 2.24 2.5 Digital/analogomvandlare (D/A)... 2.25 2.6 Utjämningsfilter... 2.25 2.7 Olika former av signaler... 2.26 2.8 Typiska data för digitala system... 2.26 3 Signaler och system i tidsplanet... 3.1 3.1 Grundsignaler... 3.1 3.1.1 Impuls... 3.1 3.1.2 Enhetssteg... 3.2 3.1.3 Ramp... 3.2 3.1.4 Exponentialfunktion... 3.2 3.1.5 Sinus- och cosinussignal... 3.3 3.1.6 Tidsförskjutna signaler... 3.4 3.1.7 Skalning av signaler... 3.4 3.1.8 Kombination av grundfunktioner... 3.5 3.1.8.1 Att bygga upp en signal av enskilda impulser... 3.5 3.1.8.2 Att avgränsa en signal i tid... 3.5 3.2 Periodisk signal... 3.7 3.2.1 Strikt periodisk signal... 3.7 3.3 Linjärt tidsinvarianta system (LTI)... 3.8 3.3.1 Linjaritet... 3.8 3.3.2 Tidsinvarians... 398 3.4 Differensekvationer... 3.9 3.4.1 Kausalitet... 3.10 3.4.1.1 Tidsfördröjning, latency... 3.10 3.4.2 Grundelement... 3.11 3.4.2.1 Addition... 3.10 3.4.2.2 Förstärkning (skalning)... 3.11 3.4.2.3 Subtraktion... 3.12 3.4.2.4 Fördröjning... 3.12 3.4.3 Blockschema... 3.12 3.5 Hur undersöker vi systemegenskaper?... 3.14 3.5.1 Impulssvar... 3.14 3.5.1.1 Transversella system... 3.15 3.5.1.2 Rekursiva system... 3.16 3.5.1.3 Stabilitet... 3.17 3.5.2 Stegsvar... 3.18 3.5.2.1 Stabilitet... 3.19 3.6 Utsignalen för en generell insignal... 3.19 3.6.1 Att bestämma ett systems utsignal via faltning... 3.19 3.6.2 Att bestämma ett systems utsignal via systemets differensekvation... 3.21 3.6.2.1 Instegning av insignal i systemets blockschema... 3.21 3.6.2.2 Instegning av insignal i systemets impulssvar... 3.23 sida ii
3.6.2.3 Tabellmetod... 3.26 3.7 Kopplade system... 3.29 3.7.1 Seriekoppling av system... 3.30 3.7.1.1 Totalt impulssvar för seriekopplade system... 3.30 3.7.2 Parallellkoppling av system... 3.30 3.7.2.1 Parallellkoppling av transversella system... 3.31 3.7.2.2 Parallellkoppling av rekursiva system... 3.31 3.7.2.3 Totalt impulssvar för parallellkopplade system... 3.32 3.8 Korrelation... 3.32 3.8.1 Korskorrelation... 3.33 3.8.1.1 Normerad korskorrelation... 3.34 3.8.1.2 Praktisk korskorrelation... 3.34 3.8.2 Autokorrelation... 3.35 3.8.2.1 Normerad autokorrelation... 3.36 3.8.2.2 Praktisk autokorrlation... 3.36 3.9 Start upp- och slutförlopp... 3.36 3.9.1 Homogen lösning och partikulärlösning... 3.38 4 Signaler och system i frekvensplanet... 4.1 4.1 Inledning... 4.1 4.2 Fourierserie... 4.2 4.2.1 Tidskontinuerlig fourierserie... 4.2 4.2.2 Tidsdiskret fourierserie... 4.5 4.2.2.1 Vad kan vi använda fourierserien till?... 4.10 4.2.2.2 Fourierserie för periodisk impuls δ [ n]... 4.13 4.2.2.3 Fourierserie för n 0 steg fördröjd periodisk impuls δ [ n n 0 ]... 4.13 4.2.2.4 Egenskaper hos fourierserie... 4.14 4.2.3 Effektspektrum... 4.15 4.3 Fouriertransform... 4.16 4.3.1 Tidskontinuerlig fouriertransform... 4.16 4.3.2 Tidsdiskret fouriertransform... 4.18 4.3.2.1 Fouriertransform av impuls δ [ n]... 4.20 4.3.2.2 Fouriertransform av n 0 steg fördröjd impuls δ [ n n 0 ]... 4.20 4.3.2.3 Egenskaper hos fouriertransform... 4.21 4.3.3 Energitäthetsspektrum... 4.22 4.3.4 Den generella differensekvationens frekvensspektra... 4.22 4.3.5 Fouriertransformens användningsområden... 4.23 4.4 Discrete Fourier Transform (DFT)... 4.24 4.4.1 Den diskreta fouriertransformens egenskaper... 4.26 4.4.2 Fönsterfunktioner... 4.27 4.4.2.1 Rektangulärt fönster... 4.27 4.4.2.2 Andra fönsterfunktioner... 4.31 4.4.3 Komplexitet hos DFT... 4.32 4.4.4 Implementering av DFT- och IDFT-rutiner... 4.33 4.5 Fast Fourier Transform (FFT)... 4.33 4.5.1 Radix-2-metoder... 4.34 4.5.1.1 Decimering i tid... 4.34 4.5.1.1.1 Bitreversering... 4.37 4.5.1.2 Decimering i frekvens... 4.38 sida iii
4.5.2 Radix-4-metoder... 4.40 4.5.3 Implementering av FFT- och IFFT-rutiner... 4.41 4.5.4 Jämförelse mellan DFT och FFT... 4.41 4.5.5 Val av antal punkter i FFT:n... 4.42 4.5.6 Signalsyntes via invers DFT eller invers FFT... 4.43 4.5.7 Filterdimensionering via IDFT eller IFFT... 4.44 4.5.8 Filtrering via DFT eller FFT... 4.44 4.5.8.1 Tidsåtgång vid faltning respektive DFT/IDFT-rutin... 4.46 4.5.8.2 Segmentering... 4.47 4.5.8.2.1 Segmentering via overlap-add metoden... 4.48 4.5.8.2.2 Segmentering via overlap-save metoden... 4.48 Tabell 4.4 Den diskreta fourierseriens egenskaper... 4.51 Tabell 4.5 Den tidsdiskrets fouriertransformens egenskaper... 4.52 Tabell 4.6 Transformpar för den tidsdiskreta fiuriertransformen... 4.53 Tabell 4.7 Egenskaper hos den diskreta fouriertransformen (DFT)... 5.54 5 Signaler och system i z-planet... 5.1 5.1 z-transform... 5.1 5.1.1 z-transform av impuls δ [] n... 5.1 5.1.2 z-transform av n 0 steg fördröjd impuls δ [ n n 0 ]... 5.2 5.1.3 z-transform av enhetssteg u [ n]... 5.2 5.1.4 z-transformens egenskaper... 5.2 5.1.5 z-transform av en signal... 5.3 5.1.6 z-transform av ett impulssvar... 5.4 5.1.7 En differensekvations z-transform... 5.4 5.1.8 Faltning via z-transform... 5.5 5.2 Invers z-transform... 5.6 5.2.1 Direkt återtransform av z-uttrycket... 5.6 5.2.2 Återtransform via tabell... 5.6 5.2.3 Återtransform via division... 5.6 5.2.4 Återtransform via linjeintegral... 5.7 5.3 Kopplade system... 5.7 5.3.1 Seriekopplade system... 5.8 5.3.2 Parallellkopplade system... 5.8 5.4 Hur tolkar vi z-planet?... 5.9 5.4.1 Poler och nollställen i z-planet... 5.10 5.4.2 Överföringsfunktionens poler och nollställen... 5.11 5.4.3 Att tolka poler och nollställen... 5.12 5.4.3.1 Stabilitet... 5.12 5.4.3.2 Frekvensspektra ur ett systems poler och nollställen... 5.13 5.4.4 Dimensionering via placering av poler och nollställen... 5.18 5.4.5 Spelar antalet poler i förhållande till antalet nollställen någon roll?... 5.19 5.4.5.1 Fler nollställen än poler... 5.19 5.4.5.2 Fler poler än nollställen... 5.20 Tabell 5.1 z-transformens egenskaper... 5.21 Tabell 5.2 z-transformpar... 5.22 6 Strukturer hos tidsdiskreta system... 6.1 6.1 Grundstruktur... 6.1 sida iv
6.2 Alternativa strukturer... 6.2 6.2.1 Första ordningens system... 6.2 6.2.2 Andra ordningens system... 6.3 6.2.3 Generella system... 6.6 6.3 Uppdelning i delsystem... 6.7 6.3.1 Biquadlänk... 6.7 6.3.2 Seriekopplade länkar... 6.9 6.3.3 Parallellkopplade länkar... 6.10 6.3.4 Vilken uppbyggnad väljer vi?... 6.11 7 Filterbegrepp och filterstrukturer... 7.1 7.1 Grundläggande filterbegrepp... 7.1 7.1.1 Frekvensskalor... 7.1 7.1.2 Belopps- och faskurvor... 7.2 7.1.3 Decibel... 7.2 7.1.4 Passband... 7.2 7.1.5 Spärrband... 7.2 7.1.6 Övergångsband... 7.2 7.1.7 Gränsfrekvens... 7.3 7.1.8 Toleransnivåer... 7.3 7.1.9 Spärrbandsfrekvens... 7.3 7.1.10 Bandbredd... 7.3 7.1.11 Mittfrekvens... 7.4 7.1.12 Passbandsförstärkning... 7.4 7.1.13 Spärrbandsdämpning... 7.4 7.1.14 Förstärkning kontra dämpning... 7.5 7.1.15 Gradtal... 7.6 7.1.16 Lutning i spärrband... 7.6 7.1.17 Rippel... 7.7 7.2 Filtertyper... 7.7 7.2.1 Ideala filter... 7.7 7.2.1.1 Lågpassfilter... 7.7 7.2.1.2 Högpassfilter... 7.8 7.2.1.3 Bandpassfilter... 7.8 7.2.1.4 Bandspärrfilter... 7.8 7.2.1.4.1 Notchfilter... 7.9 7.2.2 Allpassfilter... 7.9 7.3 Analoga filter... 7.9 7.3.1 Förstagradsfilter... 7.10 7.3.1.1 Lågpassfilter... 7.10 7.3.1.2 Högpassfilter... 7.11 7.3.1.3 Allpassfilter... 7.12 7.3.2 Andragradsfilter... 7.13 7.3.2.1 Lågpassfilter... 7.13 7.3.2.2 Högpassfilter... 7.14 7.3.2.3 Bandpassfilter... 7.16 7.3.2.4 Bandspärrfilter... 7.17 7.3.2.5 Allpassfilter... 7.18 7.3.3 Butterworthfilter... 7.20 7.3.4 Tjebytjevfilter... 7.21 sida v
7.3.4.1 Tjebytjev typ I... 7.21 7.3.4.2 Tjebytjev typ II... 7.24 7.3.5 Elliptiska filter, Cauerfilter... 7.27 7.3.6 Besselfilter... 7.30 7.3.7 Filtertransformering... 7.31 7.3.7.1 Byte av passbandsförstärkning... 7.32 7.3.7.2 Byte av gräns- eller egenfrekvens... 7.32 7.3.7.3 Lågpass högpass... 7.32 7.3.7.4 Lågpass bandpass... 7.32 7.3.7.5 Lågpass bandspärr... 7.33 7.4 Linjär fasgång... 7.33 7.5 Filteregenskaper kända från hifivärlden... 7.34 7.5.1 Tonkontroll... 7.34 7.5.2 Shelving... 7.35 7.5.3 Bell... 7.36 7.5.4 Baxandall... 7.37 7.5.5 Svepbart filter... 7.37 7.5.5.1 Q-värde... 7.38 7.5.6 Equalizer... 7.38 7.5.6.1 Parametrisk equalizer... 7.38 7.5.6.2 Grafisk equalizer... 7.39 7.5.6.2.1 Oktavband... 7.39 7.5.6.2.2 Tersband... 7.39 7.5.7 Loudness... 7.40 7.5.8 RIAA-korrektion... 7.41 7.5.9 Rumble... 7.43 7.5.10 Scratch... 7.43 7.5.11 Brum (hum)... 7.43 8 Transversella filter... 8.1 8.1 Transversella filters allmänna egenskaper... 8.1 8.1.1 Beloppsegenskaper... 8.2 8.1.2 Fasegenskaper... 8.2 8.2 Transversella kamfilter... 8.3 y n = x n + x n... 8.4 8.2.1 [] [] [ n 0 ] 8.2.2 y[] n x[] n x[ n n 0 ] 8.2.3 y[] n x[] n + t x[ n n 0 ] 8.2.4 y[] n x[] n t x[ n ] =... 8.5 =... 8.6 =... 8.7 n 0 8.3 Medelvärdesbildande filter... 8.8 8.4 Filterdimensionering via invers fouriertransform... 8.12 8.4.1 Lågpassfilter... 8.13 8.4.2 Högpassfilter... 8.16 8.4.3 Bandpassfilter... 8.17 8.4.4 Bandspärrfilter... 8.17 8.4.5 Filter via frekvenstransponering av lågpassfilter... 8.18 8.4.5.1 Högpassfilter... 8.19 8.4.5.2 Bandpassfilter... 8.20 8.4.5.3 Bandspärrfilter... 8.21 8.4.6 Fönsterfunktioner... 8.22 sida vi
8.5 Transversella frekvenssamplande filter... 8.27 8.6 Equirippelfilter (Parks-McClellan)... 8.35 8.7 Differentiator... 8.38 8.7.1 Reell differentiator... 8.38 8.7.2 Ideal differentiator... 8.39 8.7.3 Imaginär differentiator... 8.40 8.8 Slutkommentarer om transversalfilters egenskaper... 8.41 9 Rekursiva filter... 9.1 9.1 Dimensionering med hjälp av pol/nollställesplacering... 9.2 9.1.1 Smala bandpassfilter... 9.3 9.1.2 Smala bandpassfilter med utsläckning vid DC och halva samplingsfrekvensen.. 9.6 9.1.3 Smala bandspärrfilter (notchfilter)... 9.7 9.1.4 Rekursiva kamfilter... 9.10 9.1.4.1 Typ 1... 9.10 9.1.4.2 Typ 2... 9.12 9.1.5 Rekursivt kamfilter med utsläckning mellan kammarna... 9.13 9.1.5.1 Typ 1... 9.13 9.1.5.2 Typ 2... 9.14 9.1.6 Rekursiva kamfilter med notchar... 9.15 9.1.6.1 Typ 1... 9.15 9.1.6.2 Typ 2... 9.16 9.1.7 Frekvensamplande rekursiva filter... 9.17 9.2 Tidskontinuerlig-tidsdiskret avbildning... 9.31 9.2.1 Bilinjär transform... 9.32 9.2.2 Impulsinvariant avbildning... 9.33 9.3 Integratorer... 9.38 sida vii
sida viii