TNA004 Anlys II för ED, KTS, MT Lektionsuppgifter med kommentrer/lösningstips VT 06
TNA004, Anlys II - Lektion Denn lektion hndlr om beräkning v reor och kurvlängd.. Areberäkning Aren melln två funktionskurvor, som ges v y f och y g och b Areelementet är då b b A da f g d da f g d förutstt tt g f då b. Aren v ett plnt område D, som är givet på polär form: D, y :, 0 r h. Areelementet är då A da h d da h d. Beräkning v kurvlängd Kurvn ges v funktionsuttrycket y f, b Bågelementet = b b ds f d s ds f d t Kurvn given på prmeterform:, y y t Bågelementet = ds b b d dy dt dt dt d dy s ds dt dt dt t b Kurvn given på prmeterform med polär koordinter: Bågelementet = ds = hφ + h φ dφ r cos y r sin där r h s ds h h d 3
Rekommenderd ordningsföljd: B7., B7.4, B7.3, B7.5, B7.8, B7.9, B7., B7.43, P6.7b, B7.45, P6.9 Lösningstips: B7. Br lösningstips finns i boken. B7. Se lösningstipsen i boken. Förmodligen är lterntiv enklst. Figuren visr en ellips med hlvlrn och b. B7.3 Kurvn given på polär form. Hur ser reelementet ut i dett fll? B7.4 Rit figur! Viktigt är bestämm skärningspunkter smt tt vgör vilken kurv som ligger överst melln 4 skärningspunktern. Du skll få reelementet da 3 d. B7.5 Rit först kurvn du ser väl tt den bl.. skär -eln då = 0 och =. Dett ger dig upplysning om vilket område du skll beräkn ren v och vilk integrtionsgränser du skll nvänd. Du får nu reelementet da 0 e d e d. Tänk också på tt en re lltid är positiv hänsyn till dett skll ts redn då ren teckns med hjälp v en integrl och inte oreflektert justers för i efterhnd! B7.8 Kurvn är given på prmeterform. Hur ser bågelementet ds ut då? Det skll bli e t dt b Kurvn är given på formen y f. Hur ser bågelementet ds ut då? Vid integrtionen får du 6 0 cos d 6. Tänk nu på tt 0 sin cos d. Här skll du förenkl under rottecknet och bör få, och därmed är det lltså nödvändigt tt vgör tecknet hos cos i det ktuell intervllet. Observer vidre tt omskrivningen cos cos är cos cos sin nvändbr vid integrtionen. B7.9 Kurvn given på polär form. Hur ser bågelementet ut i dett fll? Vid integrtionen får du förmodligen del upp i två fll eftersom och. Anm: Du kn utnyttj tt integrnden är en jämn funktion så blir beräkningrn reducerde en ning. B7.43 Kurvn given på prmeterform. Hur ser bågelementet ut i dett fll? 4
B7.45 Jfr B7.43. Vid integrtionen får du först nvänd dditionsstsen för cosinus och därefter cosinus för dubbl vinkeln. Vid den slutlig integrtionen kn du nvänd symmetriegenskper hos sin på intervllet 0. P6.7b Se t.e. boken sid. 34-35. P6.9 L L Först går Ros ett kvrts vrv utefter en cirkel med rdie L, d.v.s. sträckn. När denn 4 sträck är vverkd kommer trädstmmen tt fång upp repet, som då lägger sig utefter stmmen och därmed kortr v den fri repändn, som i sitt sträckt läge fortsätter i tngentens riktning. Utgå t.e. från figuren nedn och prmetriser Ross bnkurv efter det först kvrtsvrvet med hjälp v vinkeln som prmeter. Det innebär tt du skll finn uttryck i för punkten P:s koordinter,y Ross position. Låt trädets medelpunkt ligg i origo. R Bågen = 5
Rcos L Rsin L Med hjälp v figuren får vi, där 0. Beräkn längden v denn y Rsin L Rcos R båge och lägg till Ross först kvrtsvrv så får du kossns totl gångsträck. E: Med L = 0 och R = får kurvn nednstående spirlformde utseende. 6
TNA004 Anlys II - Lektion Denn lektion hndlr om beräkning v volymberäkningr, frmför llt rottionsvolymer. Skivmetoden Eempel: Rottion kring -eln v området som bestäms v tt b, 0 y f o Skiv kroppen i cirkulär skivor dv f d o o b b V dv f d Metoden med cylindrisk skl rörmetoden Eempel: Rottion kring y-eln v området som bestäms v tt b, 0 y f o Del in kroppen i cylindrisk skl rörmetoden o dv r h d f d b o V dv f d b Rekommenderd ordningsföljd: B7., B7.7, B7.4, B7.6, B7.9, B7.5, P6. Lösningstips: B7. Plcer t.e. konen med dess spets i origo och låt höjden ligg utmed positiv -eln. Bestäm en ekvtion för den rät linjen som psserr origo och punkten h, R och låt det område i först kvdrnten som begränss v denn linje, -eln och linjen h roter ett vrv kring -eln. Den kropp som då uppstår är en rk cirkulär kon vrs volym efterfrågs. B7.4 Del in kroppen i cirkulär skivor. Du får sin sin dv d d. Vid integrtionen kn du t.e. skriv om integrnden med hjälp v cosinus för dubbl vinkeln. dv sin d. Vid integrtionen kn b Del in kroppen i cylindrisk skl rör. Du får prtiell integrtion nvänds. B7.5 Del in kroppen i cirkulär skivor. Du får dv d d. Vid integrtionen, som kommer tt ge ett uttryck i, kn du gör substitutionen t och sedn gör prtilbråksuppdelning. 7
B7.6 Plcer en cirkel med rdien R i ett koordintsystem så tt dess medelpunkt hmnr i origo. Den övre hlvcirkeln beskrivs v kurvbågen y R, R R, eller hur? Då hlvcirkeln roterr ett vrv kring -eln generers ett klot med rdien R. Gör ett tvärsnitt, vinkelrätt mot -eln, genom klotet och på vståndet d från origo låt d 0. Då uppstår två delr med olik volym. Använd skivmetoden för tt beräkn delrns resp. volym. Du får för den mindre delen: dv R d R d. Vilk blir integrtionsgränsern? Gör på motsvrnde sätt för den större delen. Vilk blir integrtionsgränsern nu? B7.7 skivmetoden RITA FIGUR! b metoden med cylindrisk skl rörmetoden - RITA FIGUR! c metoden med cylindrisk skl rörmetoden, men tänk på tt rdien nu INTE är! - RITA FIGUR! d skivmetoden, men tänk på tt du får cirkulär skivor med hål, d.v.s. du måste nvänd en inre och en yttre rdie - RITA FIGUR! B7.9 Området är en cirkel med rdie 3 och medelpunkt i 0, 5, eller hur? Lös ut y ur y 5 9. Du får då tt den övre hlvcirkeln beskrivs v tt den undre hlvcirkeln beskrivs v tt y 5 9 y 5 9 och. Del området i skivor vinkelrät mot -eln. Som volymelement kommer du tt få cirkulär skivor med hål. Vid integrtionen skll du beräkn integrlen 3 3 9 d, som enklst beräkns genom tt den tolks som ren v en viss hlvcirkel. P6. Deriver och bestäm den horisontell tngenten som är y 4. Rit figur! Del den beskrivn kroppen i cylindrisk skl. Tänk på tt vid positionen är rdien på det cylindrisk sklet r. Vd blir höjden h? Vid integrtionen får du bl.. ett rtionellt uttryck i integrnden. 8
TNA004 Anlys II Lektion 3 Beräkning v rottionsre Rottion kring -eln v kurvn y f, f 0, b, 0 o Del in rottionsytn i cirkulär bnd, som får längden = bndets omkrets = r f. o o ds f ds f f d b b S ds f f d Rottion kring y-eln v smm kurv, y f, f 0, b, 0 o Del in rottionsytn i cirkulär bnd, som får längden = bndets omkrets = r. o o ds y ds f d b b S y ds y f d Rekommenderd ordningsföljd: B7.4, B7.7, B7.8, B7.5, B7.6, B7.37 Lösningstips: B7.4 Studer sid. 330! Rit figur! Vi hr tt reelementet, på llmän form, kn skrivs ds rds, där ds är det vnlig bågelementet, som också är beroende v i vilken form som kurvn är beskriven på. I c och d måste du förstås t hänsyn till tt rottionslrn inte är - eller y-eln. B7.5 Teckn ds vi den llmänn formen på reelementet för rottionsre: ds rds. Vd är ds i dett fll? Vid integrtionen kn du gör en lämplig substitution. B7.6 Teckn reelementet med hjälp v metoden som nges på sid. 330, och där rdien r och ds f d. Du skll få ds y d d. Vid integrtionen kn du t.e. först kvdrtkompletter under rottecknet och därefter gör en stndrdsubstitution. Du kn då t.e. 3 3 t 3 3 få t dt, som lämpligen skrivs som 4 t 4 4 dt t dt dt. t t t 4 4 4 Här är den sist integrlen en stndrdintegrl. Den först löser mn med prtiell integrtion på motsvrde sätt som i E 5.37 på sid. 67-68. 9
B7.7 Rit in ett linjestycke melln origo och punkten h, R i ett rätvinkligt koordintsystem. Då dett linjestycke roterr ett vrv kring -eln generers en kon med rdien R och höjden h, eller hur? Aren v konens buktig yt är det som klls mntelre. För tt finn ett korrekt reelement måste du först bestämm linjens ekvtion på formen y k m! Därefter får du ds y y d. Vilk är din integrtionsgränser? B7.8 Rit figur så inser du tt du skll beräkn ren v den rottionsyt som uppstår då kurvn y R, h, roterr ett vrv kring -eln. B7.37 Den givn hlvcirkeln är den högr delen v en cirkel med medelpunkt i,0 och rdie. Lös ut y ur uttrycket, men studer endst den övre kvrtscirkeln vid rottionen symmetri ger sedn tt resulttet skll multiplicers med. Integrnden skll, förutom konstnten och symmetrin, bli. Du bestämmer lätt en primitiv funktion genom vribelbytet t. 0
TNA004 Anlys II Lektion 4 Inledning differentilekvtioner, modellering Rekommenderd ordningsföljd: B9., B9., B9.3, K K0 vlfri ordningsföljd, P8. Lösningstips B9. Jämför t.e. med E 9. i boken B9. Deriver och bestäm ett uttryck för vänstr ledet och jämför med högr ledet! B9.3 Vis tt för den givn differentilekvtionen gäller det tt VL = HL om y väljs enligt teten. P8. Jfr B9. och B9.3. K K4 Jfr B9. och B9.3. K5 Jfr B9. K6 Av krftekvtionen och givn förutsättningr får vi m t mg kv t, där v t. Gränshstigheten fås då den resulternde krften = 0. b Som men luftmotståndet är nu k vt. K7 Enligt modellen är tillväthstigheten v P proportionell mot både P och M P. Vd står dess fktorer för? dp b Sätt y y P kp M P kmp kp. Undersök funktionen y P på vnligt sätt. dt c Tillväthstigheten är som störst då kurvns lutning är miml. K8 Jämför med Eempel 7 från Fö 3 K9 Som K8, MEN observer tt utflödet är större än inflödet! K0 Jämför med Eempel 8 från Fö 3.
TNA004 Anlys II Lektion 5 Linjär differentilekvtioner v först ordningen Integrernde fktor. Rekommenderd ordningsföljd: B9.5, B9.6, B9.8, B9.9, P8.4bdf, P8.7, P8.8, B9.8b, B9.7, P8., P8.6, P8.9, P8. Lösningstips B9.5, B9.6, B9.7 Se lösningstips i boken B9.8 Linjär, inhomogen, ordning. Löses med hjälp v integrernde fktor. Undersök fllen 0 respektive 0 vr för sig. Fllet 0 skll inte bekts. Vrför inte? b Skriv om ekvtionen som y + y = 0 = 0 eller y + y = 0, där det ndr villkoret betyder tt vi skll lös en linjär differentilekvtion v ordning. B9.9 Linjär, inhomogen, ordning. Ekvtionen är ekvivlent med + y + y + rctn = 0 [ty + 0] y + y + rctn = 0 y + y = + rctn d ln Efter omskrivningen ovn välj IF = e e. P8. Se t.e. E 9.4 i boken för tt t red på vd ett riktningsfält är. Lös ut y som funktion v och y. Välj någr punkter i området, y och beräkn lutningen y i dess punkter. Mrker lutningen så gott det går i resp. punkt. Anm: Du bör t så mång punkter så tt lösningskurvorns form frmträder någorlund. b Använd den givn normlformen och bestäm IF = e d. Multiplicer * med IF. Kontroller tt d du verkligen får IF y i vänster led. Se vidre föreläsningsnteckningr eller boken. d Rit någr v lösningskurvorn kurvskrn. c Använd det givn villkoret y för tt bestämm den konstnt som finns i den llmänn lösningen. Med hjälp v villkoret väljer vi lltså en v kurvorn i b. 3
P8.4 All dess differentilekvtioner kn skrivs på normlformen y f y g f d Löses t.e. med hjälp v en s.k. integrernde fktor IF, som kn väljs som e. Då den ursprunglig ekvtionen på normlformen multiplicers med IF får vi det vänstr ledet som derivtn v produkten y IF, d.v.s. vi får d y IF g IF, d där både y och IF är funktioner v. Integrtion v båd leden ger y IF g IFd, ur vilket vi kn lös ut y. IF = e 3. Vid integrtionen i HL kn prtiell integrtion nvänds b IF = e. Vid integrtionen i HL görs t.e. en substitution eller så ser du direkt den primitiv funktionen d IF =. Integrtionen i HL blir lätt. f IF =. Förenkl före integrtionen i HL. P8.6 Se boken överst på sid. 386. Där diskuters villkor för tt en funktion skll kunn vr en integrernde fktor. Studer dett innn du löser uppgiften. P8.7 Vi hr en linjär differentilekvtion v ordning. Bestäm IF med hjälp v prtilbråksuppdelning. Du får IF =. Vid integrtionen i HL kn prtiell integrtion nvänds. P8.8 Lös med hjälp v integrernde fktor. Vid integrtionen i HL bör du först gör en polynomdivision. Vid gränsövergången skll du bl.. nvänd ett stndrdgränsvärde. P8.9 Låt T vr kroppens tempertur vid tiden t. Enligt den beskrivn modellen gäller då dt dt differentilekvtionen kt 0 kt 0k, som du löser med hjälp v en dt dt integrernde fktor. I lösningen kommer både konstnten k och en ny konstnt C finns. Dess bestäms med hjälp v villkoren T 0 60 och T 0 40. Då funktionen T t är bestämd inklusive konstntern k och C kn det sökt värdet för T40 beräkns. b Smm modell som i men konstntern kommer tt uttrycks i T 0, T 0, T och t. 4
5 P8. Lösningskurvns tngent i den punkt där = ges v y, som vi får genom tt lös ut y ur den givn differentilekvtionen. Vi får y g h y y g h y. Alltså kn vi, för en viss lösning y, skriv tngentens ekvtion på enpunktsform:. tngent g y g h y y g y g h y y g h y Dett uttryck är oberoende v 0 g g y. För dett värde på får ll tngenter y-koordinten g h g h, d.v.s. ll tngenter hr den gemensmm punkten, g h g.
6
TNA004 Anlys II Lektion 6 Seprbl differentilekvtioner I enlighet med kurslittertur och föreläsningsnteckningr kn vi lös differentilekvtionen g y y h genom tt seprer vriblern. Vi får då dy g y h g y dy h d d och integrerr: g y dy h d G y H C Så det gäller lltså tt finn de primitiv funktionern G till g och H till h. Ordningsföljd: B9.3, P8.4, P8.5b, P8.7, P8.6, P8.5cd, P8.9, P8.0, P8. först delen Lösningstips B9.3 Se lösningstips i boken P8.4 dy d Seprer vriblern:. Fktoriser före integrtionen i VL. y y Observer tt vi måste i det fortstt nt tt y, MEN y kn vr lösning till vår ursprunglig ekvtion och måste lltså undersöks seprt. Gör det! Lös för y den seprerde ekvtionen ovn. Bestäm konstnten vi begynnelsevillkoret. b Obs! Vd gäller om y? P8.5 dy d Seprer vriblern:, y. y Efter integrtion ser du, p.g.. bsolutbeloppen, tt lösningskurvorn eventuellt kn h olik uttryck i de olik intervllen,, 0 och 0. För y gäller motsvrnde fllen y, y resp. y. I det sistnämnd fllet skll du INTE nvänd den lösning som du får efter det tt vriblern är seprerde. Vrför inte? Med hr vi fllet, vilket ger tt. y ger oss fllet y, vilket innebär tt y y. b Observer tt om y gäller inte den lång utredningen ovn. Undersök därför om y är lösning till ursprunglig ekvtion. Om den är det så är y svret. c ger oss fllet 0, vilket innebär tt. y ger fllet y, d.v.s. vi hr tt y y. 7
d Anlogt med och c P8.6 dy Seprer vriblern: d, y n. Du känner väl till en primitiv funktion till cos y? cos y Bestäm konstnten och observer tt ekvtionen tn y C y rctn C n. För tt finn lösningskurvn genom punkten, måste du lltså, förutom tt bestämm C, även bestämm heltlet n. Anm: Konstnten som finns i den llmänn lösningen KAN bestämms redn då du hr smbndet tn y C. P8.7 y e Seprer vriblern. Du får dy d, y 0. Vid integrtionen i VL kn du gör en lämplig y e enkel substitution. Vr observnt på bsolutbeloppen då du bestämmer konstnten smt lösningskurvn. Tänk t.e. på tt villkoret y 0 ln3 innebär tt du skll finn lösningskurvn y y y i fllet e e. P8.9 Seprer vriblern. Du får dy e y d. Vid integrtionen i HL är det lämpligt tt först gör en substitution. För tt vgör för vilk som lösningen gäller skll du vr observnt på definitionsområdet för ln. Anm: Konstnten som finns i den llmänn lösningen KAN bestämms redn då du hr smbndet y e C eller motsvrnde smbnd. P8. OBS! Här kn du nog tills vidre enbrt gör den först delen v uppgiften, d.v.s. tt finn uttrycket för lösningskurvn. Den senre delen gränsvärdesproblemet blir lättre tt hnter efter det tt du studert Mclurinutvecklingr. dy Seprer vriblern. Du får d. För vilk y gäller fortsättningen v 3 y y differentilekvtionens lösning? Vid integrtionen i VL skll du först kvdrtkompletter under rotuttrycket. Du ser väl då tt det hndlr om en rcsin som primitiv funktion? Du kommer till slut, efter integrtionen v båd leden, y tt få rcsin C som med y 0 0 ger C och därmed 6 y sin y sin. 6 6 Anm: Eftersom sin sin cos cos sin 3 sin cos kn dett enkelt 6 6 6 Mclurinutveckls på lämpligt sätt innn gränsvärdesproblemet ngrips, men det gör vi senre i kursen. 8
TNA004 Anlys II Lektion 7 Lektionen behndlr linjär differentilekvtioner v ndr ordningen och med konstnt koefficienter, d.v.s. ekvtioner v typen y y by f * där högerledet t.e. är en v nednstående funktioner eller en kombintion v dess. f 0 s.k. homogen ekvtionen f p polynom f p e k Anm: Vi skll också studer fll där högerledet även innehåller sinus och/eller cosinustermer, men dett ts upp på näst lektion. Den llmänn lösningen till * är Sts 9. y y y, där y h är lösningen till motsvrnde homogen ekvtion högerledet = 0 och lösning. h p y p är en prtikulär y p får vi normlt genom tt gör en lämplig nsts, som vgörs v högerledets krktär. Hur nstser görs i de olik fllen finns beskrivet i boken på sidn 400 om f polynom sidn 40 om f p e k sidn 403-404 Eempel 9.0 om högr ledet är en summ v polynom och polynom kt e Den homogen ekvtionen löser mn med hjälp v den s.k. krkteristisk ekvtionen KE. Här måste du lär dig tt skilj på tre olik fll r r KE hr två olik reell rötter, r r : yh Ce Ce r KE hr reell dubbelrot, r r r : yh e C C KE hr komple rötter: r i : y e Acos B sin h Rekommenderd rbetsgång. Lös uppgift B9.0. Konstruer en linjär homogen differentilekvtion v ordn. med konstnt koefficienter som hr llmänn lösningen t t 5t t y C e C e b y e A Bt c y e A sin t B cost 3. Lös B9., B9.3bc, B9.7, B9.8, B9. 9
Lösningstips B9.0, B9., B9. Se lösningstips i boken. B9.3 Se bokens tips. Du bör få följnde homogen lösningr: y C e C e 3 b y C e C e c y C C e h h h 3 Prtikulärlösning finner du genom tt nsätt ett lämpligt polynom i vrt och ett v fllen. Anstsen vgörs förstås v respektive ekvtions högr led men också v det vänstr ledet. På vilket sätt? B9.7 KE ger dig homogen lösning yp 3 z e. y C e C e. Anstsen för prtikulärlösning bör sedn vr h 3 B9.8 Principen för lösningen finns beskriven i Eempel 9.0 sid. 403-404. Använd denn! KE ger dig homogen lösning y C e C e. b h Du måste sedn gör en nsts vrder för högr ledets två olik typer v funktioner. Anstsern bör vr: y p z e och y p A B. Gå vidre som i nämnd eempel. KE ger dig homogen lösning y e C C h. Du måste sedn gör en nsts vrder för högr ledets två olik funktioner OBS! Olik eponenter!. Anstsern bör vr: y p z e och y p u e. Gå vidre som i nämnd eempel. 0
TNA004 Anlys II Lektion 8 Andr ordningens linjär differentilekvtioner med konstnt koefficienter, forts. Ordningsföljd: B9.5, P8.34, P8.37, B9.4, B9.6, P8.40, B9.30c Lösningstips P8.34 Bestäm den llmänn lösningen till de homogen ekvtionern. Utnyttj sedn villkoren för tt bestämm konstnter, d.v.s. bestäm lösningskurvn en end! i vrje deluppgift. P8.37 Lös KE på vnligt sätt för tt finn homogen lösningen. För prtikulärlösning kn du nsätt y Asin B cos, som i dett fll blir enklre än den komple metoden. Vrför fungerr denn nsts här? p P8.40 Lös denn uppgift på motsvrnde sätt som den lterntiv lösningen till E 9. sid. 405-406 i boken, d.v.s. du skll gör en nsts för den prtikulär lösningen genom tt studer i hjälpekvtionen u u u e. Alterntivt kn du gör nsts som i A8.37. Vilk är begynnelsevillkoren som beskrivs i teten? b Utnyttj förstderivtns värde för = 0 och ndrderivtns tecken för tt vi skll h loklt mimum i denn punkt. B9.4 Se tipsen i boken! B9.5 Se lösningstips i boken! B9.6 Bestäm homogen lösningen som vnligt. För prtikulärlösning nsätt y p z e. B9.30 c Bestäm den homogen lösningen som vnligt. 3 3 e sin e Im e i 3 i 3i Observer sedn tt högr ledet = Im e e Im e. Använd därför 3i 3i hjälpekvtionen u 3u u e och nsätt u z e. Då är en prtikulärlösning y p Imu. Se även E 9., E 9. och knske speciellt E 9.4 i boken.
TNA004 Anlys II Lektion 9 Differentilekvtioner v högre ordning Rekommenderd ordningsföljd: B9.36, B9.38bc, B9.40, P8.44, P8.48, B9.44 Lösningstips B9.36 Homogen ekvtioner v ordning 3 resp. 4. löses med hjälp v motsvrnde krkteristisk ekvtion. Se vidre lösningstipsen i boken. B9.38 b Lös den homogen ekvtionen som vnligt. För prtikulärslösning görs nstsen y = A + B = A + B. Du förstår väl vrför mn gör denn nsts. c Först homogen lösningen. Du måste sedn bestämm en prtikulärlösning till vrder funktionen i högr ledet. För e nsätter du y = ze. För sin kn du ntingen nsätt y = A cos + B sin, eller nvänd den komple metoden jfr t.e. Eempel 9.. Den totl prtikulärlösningen är summn v de två prtikulärlösningrn du funnit. B9.40 Deriver smbndet termvis med vseende på. Dett klls tt mn deriverr implicit m..p., och vi måste då förstås t hänsyn till tt y är en funktion v, d. v. s. y = y. Vid deriveringen v termen med integrlen skll du nvänd nlysens huvudsts. Du kommer tt få en linjär differentilekvtion v först ordningen, som du lämpligen löser med hjälp v en integrernde fktor. Observer tt vid deriveringen försvinner konstnten i HL derivtn v en konstnt funktion = 0. För tt få tillbk denn borttppde informtion sätter vi = 0 i det ursprunglig smbndet. Dett ger oss ett begynnelsevillkor villkor på y0, så tt konstnten som uppkommer i den llmänn lösningen v differentilekvtionen kn bestämms. Vrför är just = 0 lämpligt tt nvänd? Jfr även E 9.30 sid. 46-47 i kursboken. B9.44 Ekvtionen är en s.k. Eulerekvtion, där lösningen kn bestämms genom tt inför en ny vribel, t = ln se E 9.34 i FN. Du får då en ndr ordningens linjär differentilekvtion i zt med konstnt koefficienter där högr ledet blir e. Denn ekvtion i z löses på sedvnligt sätt, och därefter återgår du till y = y med hjälp v t = ln. P8.44 Lös den homogen ekvtionen som vnligt. För prtikulärlösning - gör nstsen y = ze. Du kommer tt få tre konstnter i den llmänn lösningen. Dess bestäms med hjälp v de tre villkor som fås vi tngerr eln i origo och där hr ndrderivtn lik med 0. Vilk är dess tre villkor? P8.48 Utveckl det givn uttrycket för y så tt du ser vilken del som utgörs v den homogen lösningen, y, och vilken del som är den prtikulär lösningen, y. Utnyttj y för tt få ekvtionens VL det med y och dess derivtor genom tt rekonstruer den krkteristisk ekvtionen du vet ju vilk fktorer som skll nvänds!. Sätt in y i dett VL så får du direkt ekvtionens HL ty y är ju en lösning till differentilekvtionen. 3
TNA004 Lektion 9 B9.44 Lösning Vi skll sök den funktion y = y som för > 0 uppfyller differentilekvtionen y y + y = Vi inför en ny vribel t = t = ln = e och låter y = zt. Vi får, med hjälp v kedjeregeln, vilket betyder tt y = z t dy d = dz dt dt d = dz dt = dz dt Derivering igen produkt- och kedjeregeln: d y d = d d dy d = d d dz dt = dz dt + d d dz dt = dz dt + d z dt dt d = = dz dt + d z dt = dz dt + d z dt Alltså hr vi y = z t + z t Insättning i * ger oss följnde differentilekvtion i z = zt: z t + z t z t + zt = e z 3z + z = e Dett är en ndr ordningens linjär ODE med konstnt koefficienter. Sedvnlig hntering utförs inte här ger z = zt = z + z = C e + C e + te, som ger oss y = C + C + ln Svr: y = C + C + ln 4
TNA004 Anlys II: Lektion 0 Målet med denn lektion är tt du skll. Kunn bestämm och förstå vd som mens med Mclurinutvecklingen till en given funktion f. Resttermen i Mclurinutvecklingen v ordning n skll kunn skrivs på formen n r O. Dett kn du bl.. öv på i uppgift A7., och B8.6.. Kunn bestämm och förstå vd som mens med Tylorutvecklingen kring en punkt, till en given funktion f. Dett ts upp i uppgift A7. där du skll pproimer en funktion kring 4 med ett polynom v grd 3. Se även figur i lösningstipsen nedn. Viktig frågeställningr som du bör tänk igenom nog:. Vd mens med tt pproimer en funktion med ett polynom?. Vd mens med felet r f p? 3. Vd mens med Tylorutveckling v en funktion f kring en punkt? 4. Vd är en Mclurinutveckling v en funktion f? 5. Hur tolkr du fig. 8. sid. 350? 6. Vd mens med Mclurinpolynomet v ordning n respektive Mclurinutveckling v ordning n? Se t.e. definition 8., sid. 35 n n 7. Vd mens med O stort ordo v? Hur definiers dett med hjälp v en begränsd funktion? Hur hör ordo ihop med resttermen i Mclurinutvecklingen? Se t.e. sts 8. Viktig stser: Sts 8. Med nödvändig förutsättningr se sid. 35, så gäller det tt f 0 f 0 f 0 f 0 f f O!! 3! n! 3 n n 0... n när 0. Sts 8. Med nödvändig förutsättningr se sid. 354, så gäller det tt n 3 n n f f f f f f... O!! 3! n! när Anm: 0 ger oss resulttet i 8. ovn. 5
Förslg till ordningsföljd vid genomräkningen v uppgiftern: P7., B8., P7.bc, B8.3, B8.6, P7.de Lösningstips P7. Deriver tre gånger och nvänd Definition 8. sid. 35 överförd till motsvrnde för Tylorpolynom. OBS! Denn definition måste du memorer! Studer figuren! Hur tolkr du den? Vilken kurv är vilken? P7. Deriver lämpligt ntl gånger och utnyttj Sts 8.. t Alterntiv bättre: Använd stndrdutvecklingen för e och substituer t. b Deriver + Sts 8.. Alterntiv bättre: Använd stndrdutvecklingen för sint och substituer t. c Som och b ovn men observer tt det ju förstå räcker med tt utveckl fktorn rctn och sedn multiplicer med som ju redn är ett polynom!. d Som ovn. e, f Som -c ovn. B8. Se lösningstips i boken. B8.3 Se lösningstipsen i boken. 5 3 4 5 0 0 O kring = Vilken kurv är vilken? e e 3 4 b e e O e 6 kring Identifier kurvorn! B8.6 Deriver 4 ggr och sätt in i Mclurins formel Sts 8.. Anm: Då du beräknr fjärdederivtn behöver du förstås INTE förenkl denn om du inte vill! Vrför inte? 6
TNA004 Anlys II - Lektion Mål: Kunn t frm Mclurinutvecklingr, inklusive lämplig ordoterm, till viss funktioner även smmnstt och nvänd dess för tt beräkn gränsvärden. Rekommenderd ordningsföljd: B8.9, P7.3, P7.4, P7.5b, P7.5c, B8.5de B8.9 Lösningstips finns i boken! B8.5 d Skriv om cos t 4 O. Nu är 4 lncos ln O e e och utnyttj Mclurinutvecklingen v ln t med 4 4 4, som ger ln O O O = t t ln t t O t 4 4 3 lncos ln O O O 0. Dett ger = O 4 cos e e e e e då 0. 3 u Alterntiv för den sist beräkningen Sätt u O i utvecklingen v e före gränsv. beräkn. e Sätt t 0 då. Använd sedn dditionsstsern för cosinus och sinus innn du Mclurinutvecklr. P7.3 Deriver 4 ggr och utnyttj Mclurins formel. Alt: Skriv om 9 3 och sätt t i utvecklingen v t = 9 9 b Deriver 4 ggr och utnyttj Mclurins formel. Alt: Skriv om ln ln ln ln och sätt t i utvecklingen v ln t. c Deriver 4 ggr och utnyttj Mclurins formel. Alt: Skriv om cos... sin och sätt t i utvecklingen v sin t. 7
P7.4 Mclurinutveckl cos inklusive ordoterm förstås. b Mclurinutveckl sin och ln inklusive ordotermer. 3 3 5 5 rctn O rctn O = 3 3 c Mrclurinutveckling v 4 6 = O. 3 Anm: Eftersom det räcker med tt utveckl nämnren till och med en välbestämd term kn vi t 4 rctn O. P7.5 Gör liknämnigt och Mclurinutveckl sedn sin. b Gör liknämnigt och Mclurinutveckl sedn ln. c OBS! Det är som vses. Skriv om. Sätt t 0 då i Mclurinutvecklingen v t. Sätt vidre u 0 i Mclurinutvecklingen v cos u, sinu resp. tn u 8
TNA004 Anlys II Lektion Mål Kunn t frm Mclurinutvecklingr, inklusive lämplig ordoterm, till viss funktioner även smmnstt och nvänd dess för tt beräkn gränsvärden se även lektion. Rekommenderd ordningsföljd: B8.4, B8.5, B8.5bc, P7.6, P7.b Lösningstips B8.4 3 t t t t 4 Mclurinutveckl e : e t O t 6 3 5 Låt t sin O. Då hr vi tt t 0 då 0 6 t Sätt in uttrycket för t i utvecklingen v e. Utnyttj ordoklkyl och försök tt inte räkn i onödn! 3 5 4 3 3 3 t t 5 5 T.e. blir O O och O O 6 6 6 6 6 4 4 b Mclurinutveckl cos O och sätt t O. Då hr vi tt t 0 då cos t t 0. Vi hr nu e e ee. Gå vidre ungefär som i -uppgiften. 3 B8.5 Gör liknämnigt och Mclurinutveckl både nämnre och täljre. Tänk på tt lämplig ordoklkyl förenklr räkningrn. b Skriv om 3 3 3 3 3 Sätt t då hr vi tt 0 t då 3 Utveckl t 3. 9
B8.5 Mclurinutveckl både täljre och nämnre. 3 Nämnren: 3 O O O 6 3 5 3 5 4 6 sin 4 4 4 6 Täljren: cos O O O 4 Kombiner resultten. b Gör först liknämnigt. Mclurinutveckl täljre och nämnre vr för sig. c Mclurinutveckl etc. P7.6 3 3 3 Skriv om de båd termern till respektive 3 3 Bestäm stndrdutvecklingrn för t och u och sätt i dess t 0 då 3 respektive u 0 då. Observer tt de termer du tänker spr måste vr välbestämd! Det betyder t.e. tt du i den senre utvecklingen u kommer tt få bidrg till -termen från två håll. P7. tn är en udd funktion, därför skns jämn eponenter i utvecklingen. b Utnyttj ledningen i uppgiften. Du får 4 3 5 6 3 5 7 cos tn sin O 3 5 O O 4 6 0 Koefficientidentifiering ger oss vi -termen: 3 vi -termen: 3 / / 3 3 6 6 3 5 beräkns sedn på motsvrnde sätt vi -termen. 5 7 30
TNA004 Anlys II Lektion 3 Tillämpningr v Mclurinutvecklingr Ordningsföljd: B8., P7.7b, B8.3, B8.6, P7.8, P7.0, P7.7c, P7.0b Lösningstips B8. Se lösningstips i boken. B8.3 Observer tt du behöver vis tt f 0 0 och beräkn funktionsvärdet f 0. Dett bör du gör innn Mclurinutvecklingen. Jämför med E 8.5 och 8.6 i boken. Se sedn även bokens lösningstips. B8.6 Skriv om ln ln ln ln och sätt t 0 i Mclurinutvecklingen v ln t. Jämför med föreläsningsnteckningrn. P7.7 Mclurinutveckl täljren så tt du får situtionen 0 0. Det innebär tt du i dett fll skll utveckl t.o.m. 3 -termen och välj så tt koefficienten för -termen i täljren blir 0 nnrs eisterr inte gränsvärdet, eller hur?. b Som 4 c Mclurinutveckl först nämnren. Du finner tt den först termen som inte försvinner är -termen. Mclurinutveckl även täljren. För tt gränsvärdet skll eister ändligt måste c väljs så tt ll termer med lägre grd än 4 tr ut vrndr vrför är det så?. P7.8 Jämför med föreläsningsnteckningrn. P7.0 Jämför med föreläsningsnteckningrn Anm: b-uppgiften är krävnde på grund v nämnrens hög grd. 3
3
TNA004 Anlys II - Lektion 4 Tillämpningr v Mclurinutvecklingr Ordning: B8.7, P7.7, P7.8bc, B8.8, B8.9, P7.8def, P7.9 Lösningstips P7.7 Hur ser resttermen ut Lgrnges form Sts 8.5? Utnyttj denn för tt uppsktt felet för olik ntl termer som ts med i Mclurinutvecklingen. Genom prövning med olik ntl termer i utvecklingen för cosinus finner du den önskde pproimtionen. Om du t.e. väljer tt utveckl t.o.m. ordning 5 får du med f cos 6 4 f X 6 f cos, där X ligger melln 0 och d.v.s. X beror v. Sätt in -värdet 4 6! r i polynomet och uppsktt beloppet v resttermen. P7.8 Mclurinutveckl och nge resttermen i Lgrnges form Sts 8.5. Observer tt resttermen i fcit cos 5 cosx 5 skrivs,0 motsvrr, något X melln 0 och. 5! 5! b Bestäm bsolut sett det störst värdet som resttermen kn h för ll. c Vilket är det störst resp. minst värdet som resttermen kn nt i det ngivn intervllet? d Som c men tänk på tt är negtivt. e Utnyttj utvecklingen v sin. Resttermen skrivs i Lgrnges form. f Använd derivtns definition och utnyttj resulttet i e för tt bestämm gränsvärdet. P7.9 t Utnyttj utvecklingen v e med restterm rt i Lgrnges form. Med t X e r k! k, ngt X melln - och och med något lämpligt värde på k. 33 får resttermen formen B8.7 Utnyttj tt ln. ln 0., vilket innebär tt du skll nvänd utvecklingen v ln. Observer tt du, genom tt deriver lämpligt ntl gånger, kn pröv hur mång termer du behöver t med för tt felet inte skll överstig 0.0000 och därmed finn önskd skttning. B8. 8 Vis först tt 0 är sttionär punkt. Använd Mclurinutveckling för tt vgör m eller min. b Motsvrnde som i -uppgiften, men vis först tt = är en sttionär punkt. Använd Tylorutveckling för tt vgör om = är en etrempunkt. B8.9 Utnyttj definitionen v kontinuitet. b Utnyttj derivtns definition. Vid gränsvärdesberäkningen kn Mclurinutvecklingr vr lämpligt tt nvänd. B8.30 Jämför FÖ 9 E 3
34
TNA004 Anlys II, Lektion 5 Rekommenderd ordningsföljd: B0: 6, 7bcde, 8, 9c, 7fg, 8b, 9bd Anm: I det nednstående vses med Jämförelsekriteriet Sts 0. i F-N, och med Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform Sts 0.3 i F-N. B0.6 Generliserd i. Använd Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform Sts 0.3 med f = + + = + + = + + och g = som jämförelse. b Generliserd i 0. Använd Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform med f = + sin = sin = + sin + och g = som jämförelse. Alterntiv: Mclurinutveckl för tt finn en jämförelseintegrl. B0.7 Generliserd i. Använd t.e. Jämförelsekriteriet Sts 0. genom tt utnyttj tt f = + < = g b Generliserd i. Del i I = d + d = I + I. 0 3 3 Vis tt I är divergent genom jämförelse med g = hur ser mn tt denn funktion är lämplig som jämförelse? Anm: I är konvergent hur inser mn det? c Generliserd i 0. Utnyttj t.e. tt tn > för 0 < < Se F-N sid. 99. Då kn d nvänds som jämförelse. Alterntivt kn Mclurinutveckling v tn ge oss en lämplig jämförelsefunktion. d Generliserd i 0. Mclurinutveckl nämnren för tt finn en br jämförelse. e Generliserd i. Gör t.e. vribelbytet inklusive ny gränser t = så blir integrlen lättre tt undersök. f Generliserd i både och. Del upp i två lämplig integrler vilk? och gör t.e. smm vribelbyte som i e ovn. Jämför sedn med respektive. g Generliserd i både 0 och. Del upp i två lämplig integrler. Utnyttj t.e. bl.. tt rctn < för 0 < < VISA/MOTIVERA DETTA! respektive tt rctn < för. d h Generliserd i både 0 och. Del i två lämplig integrler. Då är t.e. divergent, vilket kn motivers genom tt gör vribelbytet t = OCH för < nvänd tt sin sin = konst. Anm: Integrlen d är divergent så är den givn integrlen är konvergent Mclurinutveckl under rottecknet, men eftersom d divergent. d 35
B0.8 Se lösningstips i boken. Vis tt den generliserde integrlen är bsolutkonvergent, d.v.s. vis tt f d är konvergent. Om en generliserd integrl är bsolutkonvergent, så är den konvergent Sts 0.4. b Se lösning i bokens lösningstips. Observer tt denn integrl är konvergent men inte bsolutkonvergent, d.v.s. omvändningen till sts 0.4 gäller inte! B0.9 Generliserd i. Vis bsolutkonvergens. Utnyttj tt sin. b Generliserd i. Integrlen är inte bsolutkonvergent! Jämför med lösningen till övning B0.8b. c Generliserd i. Vis bsolutkonvergens. Utnyttj tt cos OCH tt sin < för. d Generliserd i 0. Vis bsolutkonvergens. Utnyttj t.e. tt cos OCH Mclurinutveckl sedn under rottecknet. 36
TNA004 Anlys II, Lektion 6 Rekommenderd ordningsföljd: B0:,, 3cdef, 4, 3b, 6, 7 B0. Se lösningstips i boken. B0. Se lösningstips i boken. B0.3 Anm: Om vi skll undersök konvergens/divergens för en summ differens v två serier skll följnde bekts kn bli ktuellt i 0.3, b, e, f Om båd seriern är konvergent så är summn differensen konvergent. Om den en serien är divergent och den ndr konvergent så är summn differensen divergent. Om båd seriern är divergent kn summn differensen vr konvergent eller divergent se t.e. E 0. i boken. Mn måste då undersök gränsvärdet för tlföljden v delsummorn. Prtilbråksuppdel och gör på liknnde sätt som i B0.c eller E 0. i F-N. b Skriv om ln = lnk + ln k och gör på liknnde sätt som i. c Geometrisk serie. Bestäm kvoten och beräkn summn om serien är konvergent. d Geometrisk serie. Bestäm kvoten etc. e Summn v två geometrisk serier. Undersök konvergens/divergens för båd. f Summn v två geometrisk serier. B0.4 Se lösningstips i boken. B0.6 Använd integrluppskttning, d.v.s. utnyttj tt e är vtgnde hur ser mn det? och därmed tt ke < e + e d för ll n. Låt sedn n. B0.7 Vis tt f = är vtgnde för. Använd integrlkriteriet gör vribelbytet t = ln. 37
38
TNA004 Anlys II, Lektion 7 och 8 Rekommenderd ordningsföljd: B0: 8b, 9bcdefh, 0,, b, 3, 4, 8cd, 9g, 0b, c B0.8 Se lösningstips i boken. B0.9 Mclurinutveckl eller nvänd sin v < v för tt finn lämplig jämförelseserie. b Går termern mot 0? c Betrkt = +, skriv om = = = = b och nvänd Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform med b som jämförelseserie för tt vis/motiver tt konvergent. Vilken är slutstsen för den givn serien? d Gör på liknnde sätt som i c ovn. e Som c och d. Jämförelseserien är då en geometrisk serie! Är den konvergent? Motiver! f Mclurinutveckl e g Skriv om! = = e för tt finn en lämplig jämförelseserie. <! Ett lterntiv är tt t.e. nvänd kvotkriteriet, d.v.s. undersök lim h Skriv om en lämplig serie tt jämför med. = = är så kn du motiver Hur? tt serien är konvergent.. och Mclurinutveckl täljren smt bryt ut k i nämnren, så finner du B0.0 Jämför med för α > 0. För α 0 går termern i den givn serien inte mot 0. = =, så ser du är en lämplig jämförelseserie. För vilk α är denn jämförelseserie konvergent? Vr nog med tt b Skriv om 0 + = = tt betrkt gränsvärdet för för dess α. B0. Skriv om = = = = och jämför med serien b = = sin. Se sedn t.e. övning 0.9 i F-N. B0. = = b = =. Vilken serie är lltså lämplig tt jämför med?. c = sin k sin sin Motiver!. Är sin konvergent? Motiv? B0.3 Se lösningstipsen i boken. B0.4 Serien är inte bsolutkonvergent vis det!. Men enligt Leibniz kriterium är serien konvergent ty den är lternernde med = tn, som går monotont mot 0 vis det!. b Absolutkonvergent ty jämför med serien Vrför just denn jämförelseserie och hur finner mn den? Anm: Vi hr = +. c Skriv = +, där den först serien är bsolutkonvergent motiver! medn den ndr inte är det. Men den är ändå konvergent enligt Leibniz kriterium vis det!. Slutsts? d Skriv om på liknnde sätt som i c ovn. Du finner tt den först serien är divergent motiver!. Slutsts?. 39
TNA004 Anlys II, Lektion 9 Rekommenderd ordningsföljd: B0: 0, bcefg, dh B0.0 Se lösningstips i boken. Anm: I lösningstipsen i boken nvänder mn rotkriteriet i -uppgiften. Kvotkriteriet kn förstås nvänds i stället. B0. Rotkriteriet t.e. ger bsolutkonvergens för < och divergens för > eller <. För = skll serien undersöks ger divergens VISA DET!, och för = får vi serien som också är divergent Vrför?. b Med t.e. kvotkriteriet får vi tt = k + vis det!. Eftersom k + då k hr vi konvergens enbrt för = 0. c Med t.e. kvotkriteriet får vi tt [Mclurinutveckl e resp. e ] då k. Eftersom < < < <, så hr vi bsolutkonvergens i dett intervll. Undersök sedn serien för = resp. =. d Med t.e. kvotkriteriet får vi tt = = = då k. Utnyttj dett för tt vgör intervll för bsolutkonvergens. Undersök sedn serien då ntr värden i intervllets gränser. e = = då k. Bestäm intervll då < och undersök sedn, som vnligt, seriern som vi får då ntr värden i intervllets gränser. f Du bör få +, vilket ger intervll för bsolutkonvergens. Fortsätt sedn med undersökning v serien då ntr värden i intervllets gränser. g Du bör få 0, d.v.s. konvergens för ll R. h Del i två serier och undersök dem vr för sig. Konvergens för den givn serien för de som ger konvergens i båd fllen. 40
4
TNA004 Anlys II, Lektion 0 Rekommenderd ordningsföljd: B0: 3, 39, 4b, 4, 43 B0.3 Från E 0.0 i boken hr vi f = k =, med definitionsmängd <. Deriver f båd uttrycken. Vi får med konvergens för <. Dessutom hr vi Multiplicer båd derivtorn med. f = d k = [Motiv? ] = d d d k = k f = d + = = = d b Vi hr enligt E 0.0 i boken tt g = + + + = Alterntiv En primitiv funktion till g är termvis integrtion G = + 3 + 3 4 Men g = ln hr också en primitiv funktion = ln, < + =, <. kk + ln d = [prtiell integrtion] = = = ln + + ln och då är G = ln + + ln + C, där C = G0 = 0, ty sätt = 0 i ovn. Alltså är = ln + + ln kk + Division med ger resulttet. OBS! 0. Alterntiv : Integrer termvis P.s.s. hr vi gtdt = gtdt = t dt = t dt = k k kk + = kk + ln tdt = = [ tln t + t + ln t] = ln + + ln Divider både och med så fås resulttet. OBS! 0. t B0.39 = = då k. Undersök sedn serien då = Leibniz kriterium, resp. för = t. e. integrlkriteriet. b = = < <. Undersökning v serien då = ± visr tt då går termern inte mot noll, d.v.s. divergens för dess. c = = =. För = integrlkriteriet resp. = Leibniz kriterium undersöks serien seprt. 4
B0.4 Använd rotkriteriet. Anm: Om du nvänder kvotkriteriet svårre, skriv om med hjälp v logritmlgr och potenslgr. Du kn t.e. få strukturen e, där fk = k ln + ln. Försök tt skriv om eponenten fk + fk så tt bl.. stndrdgränsvärdet lim = kn nvänds. b = = =. Dett uttryck hr olik gränsvärde då k för > resp. <. Undersök lltså dess fll vr för sig. Till sist måste du undersök serien då = ±, som ger divergens VISA DET!. B0.4 k Vi hr se t.e. E 0.7 och E 0.0 i boken f, Deriver f båd uttrycken. Du kommer tt få Multiplicer båd leden med, så får du Sätt k k k k k k0 k för...* som ligger innnför konvergensrdien i smbndet i * ovn, så kn den sökt summn beräkns. b Sätt k g k,. Deriver och gör på liknnde sätt som i ovn. k Jämför med uppgift 0.3. B0.43 Prtilbråksuppdelning ger = = = 3 + + 3 Utnyttj tt =, < så får du t.e. 3 = 3 = 6 < < Gör på motsvrnde sätt för termen br för <. och kombiner resultten. Observer tt denn serie konvergerr 43
TNA004 Anlys II, Lektion Rekommenderd ordningsföljd: B0:, 4, 5, 7b, 44, 3, 5b B0. Se lösningstips i boken. B0.4 Lös först differentilekvtionen på vnligt sätt. Du skll få tt y = e. Lös sedn differentilekvtionen med potensseriensts, d.v.s. sätt y k0 c k k, R R tills vidre okänd. Vi får y k kc k k Sätt in potensseriern för y och y i den givn differentilekvtionen. Förenkl och tänk på tt du iblnd måste skriv om räknren. Bestäm koefficientern på liknnde sätt som i 0.. Smbndet melln koefficientern bör bli c =. Observer tt begynnelsevillkoret ger c =. k Du kommer tt få y. Bestäm konvergensrdien den blir hel reell eln. k k0! k Då är lltså y e, R. k0 k! B0.5 Som 0.4. Smbndet melln koefficientern bör bli c = c, där c är känt vi begynnelsevillkoret. Bestäm till sist konvergensrdien R innnför vilken lösningen gäller! b Som 0.4. Smbndet melln koefficientern bör bli c = c, där c och är c är känd vi begynnelsevillkoren. Smbndet ger då bl.. tt ll koefficienter med udd inde är 0. Du bör till sist få y = + + 3 7 4k 5 k! Glöm inte tt bestämm konvergensrdien innnför vilken lösningen gäller!. Du kn t.e. gör enligt följnde: Använd t.e. kvotkriteriet och du får då efter omskrivning k k k i k i 4i 5 4i 5 k k! k k k! 4 k 5. 4 k k Anm: Vd uttryck på formen 4 i 5 betyder kn du t.e. studer i boken sid. 43. i B0.7 b Observer först tt den ngivn differentilekvtionen är felktig mn vill ju h tt dess lösning är y = sin, vilket inte är fllet om y = y. Ekvtionen skll istället vr y + y = 0. Vis nu först tt differentilekvtionen y + y = 0, inklusive begynnelsevillkor, verkligen hr lösningen y = sin genom tt lös den på sedvnligt sätt det är en homogen ekvtion v ndr ordningen med konstnt koefficienter, du löser den t.e. med hjälp v krkteristisk ekvtionen etc. Ansts med potensserie: y k0 c k k, R R tills vidre okänd. 44
Vi får y kc k k och y k k c k k. k k Sätt in potensseriern för y och y i den givn rätt differentilekvtionen. Förenkl och tänk på tt du iblnd måste skriv om räknren. Slutmålet vid förenklingen skll vr inställt på tt ll serier strtr på smm indevärde och tt potensen för är densmm i ll serier. Du får följnde smbnd melln koefficientern c k och c k : ck ck. k k Begynnelsevillkoren ger dig c 0 och c. Eftersom c 0 0 kommer koefficienter med jämn inde tt bli = 0. Vi c får du c 3, som ger dig c 5, etc. Sök ett mönster för dess koefficienter med udd inde som kn skrivs c k, k 0,,,3,.... k k Du kommer tt få y. Bestäm konvergensrdien. k0 k! Eftersom differentilekvtionen hr lösningen sin så hr du funnit Mclurinserien för sin. B0.3 Vis tt de ngivn seriern konvergerr för ll reell. T.e. få du för utvecklingen v e tt = = 0 då k för ll. Deriver sedn seriern nvänd sts 0.6. Eventuellt måste du omnumrer indeen för tt se tt resulttet är korrekt. B0.44 k Som t.e. 0.5. Du bör få följnde smbnd melln koefficientern c k och c k : ck c, vilket, k k tillsmmns med begynnelsevillkoren, bl.. ger tt ll koefficienter med udd inde utom för k = är 0. Till sist hr du där även konvergensrdien skll bestämms. y = +, k 45
TNA004 Lektion Någr eempel på nvändbr omskrivningr. E : Omnumrering c kk = c k + k + E : Strt räknren på k = 0 utn omnumrering c kk = c kk ty både termen med k = 0 och k = hr värdet 0 termern i börjn = 0. E 3: Vi vill strt räknren på k = utn omnumrering c = c + c E 4: Vi vill strt räknren på k = utn omnumrering c = c + c + c Om t.e. c = och c = 0 hr vi c = + 0 + c = = + c. E 5: Vi hr även t.e. omnumrering åt ndr hållet jämfört med E. c = c E 6: Kombintion v E och E 3 eller 4 ovn. c k = c k + = c + c k + 46