Överbryggningskurs i matematik del II. Teknik och Samhälle 2012

Överbryggningskurs i matematik del II Teknik och Samhälle 0 Malmö 0

Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet med kompendiet är att du skall få möjlighet att repetera och förstärka dina tidigare kunskaper, så att du kommer väl förberedd till de nya kurserna på högskolan. Till kompendiet hör ett omfattande digitalt material, som bland annat omfattar videoinspelningar och förklaringar hur man löser vissa typer av uppgifter, övningar med det dynamiska geometriprogrammet GeoGebra och digitala träningsuppgifter med tips. Allt material finns att ladda ner från www.mah.se/ Vid matematikstudier är det viktigt att du själv är aktiv: räkna, lös uppgifter och ge dig inte förrän du förstår vad du gör. Matematik har en viktig kommunikativ sida och du har mycket att vinna på att arbeta tillsammans med andra. Genom att diskutera och försöka förklara vad du inte riktigt har greppat, alternativt förklara för någon annan hur något begrepp fungerar, får du en djupare förståelse och kunskaper som är mera användbara. Att kunna kommunicera är i sig själv en viktig kompetens som du måste träna på. I många fall kan du enkelt lösa uppgifterna i kompendiet genom att använda en avancerad miniräknare eller program som t.e. WoframAlpha. Om du gör detta missar du hela poängen med uppgifterna, ty det är inte svaret som är det intressanta. Det som är viktigt är de mönster och strukturer du kommer fram till och får förståelse för när du arbetar med uppgifterna. Vi vill därför råda dig att i så liten utsträckning som möjligt använda miniräknare! Var istället observant på samband, strukturer och lösningsmetoder och sträva efter förståelse i varje steg. Behöver man lära sig formler och uttryck utantill? Ja, det finns en mycket stor vinst med detta, eftersom formler och samband måste vara tillgängliga under problemlösning i vad vi skulle kunna kalla en mental verktygslåda. Det är just genom att ha formler och samband tillgängliga i huvudet, som du kan se hur de kan kombineras för att lösa ett problem. Det är dock eftersträvansvärt att du sätter in formler i ett sammanhang och försöker komma ihåg dem i form av konkreta mentala bilder snarare än att se det som att bara lära sig utantill. Matematiska begrepp kan representeras på olika sätt som kan skilja sig mycket åt och ha olika funktion. Ofta delar vi in representationer i fem kategorier: fysisk, bildlig eller grafisk, verbal, numerisk och symbolisk. Vilken eller vilka representationer som är att föredra beror på vad den skall användas till. För att få en djupare förståelse av matematiska begrepp måste vi erövra olika representationer och även kunna göra översättningar mellan dem. Här har det talade språket en viktig funktion. Normalt använder vi det talade språket för att stegvis bygga upp representationer från konkreta och vardagsnära till mera abstrakta. Samtidigt används språket för att utforska, kontrastera och se sambanden mellan olika representationer. Den som har tillgång till flera olika representationer för att beskriva samma matematiska begrepp har en rikare och mera funktionell begreppskunskap. Att kunna väla mellan olika representationer är också något som många menar starkt bidrar till

4 problemlösningsförmågan. Via videoinspelningarna kommer du att få tillgång till den verbala representationen och se hur olika begrepp kan ringas in och förklaras. Bland det digitala materialet som hör till kompendiet finns även övningar med programmet GeoGebra. Detta program är konstruerat på ett sådant sätt att du aktivt kan se och utforska samband mellan olika representationer, speciellt de grafiska, numeriska och symboliska (eller abstrakta). Vi uppmanar dig att aktivt ta del av både videoinpspelningarna och GeoGebra parallellt med att du arbetar med övningarna i kompendiet. Materialet och uppgifterna i kompendiet har generöst ställts till förfogande av Bertil Nyman och Göran Emanuelsson, till vilka vi riktar ett stort tack! Stort tack också till studenterna i referensgruppen, som har bidragit med konstruktiva synpunkter och nya ideer. Lycka till med dina mattestudier Matematiklärarna på Teknik och Samhälle, Malmö Högskola Malmö, juni 0 c Upphovsrätt: Bertil Nyman, Göran Emanuelsson och matematiklärarna på Teknik och samhälle, Malmö högskola För frågor eller kommentarer skicka ett mail till Per Jönsson: per.jonsson@mah.se

Innehåll Trigonometri 7. Areasatsen................................ 7. Sinussatsen................................ 8.3 Cosinussatsen............................... Trigonometriska formler och ekvationer 5. Radianer.................................. 5. Samband mellan sin t, cos t, tan t och cot t............... 7.3 sin(π t) = sin t och liknande formler................. 8.4 Additions- och subtraktionsformler....................5 De trigonometriska funktionernas periodicitet..............6 De trigonometriska funktionernas grafer................ 4.7 Ekvationen sin = a........................... 5.8 Ekvationen cos = a........................... 7.9 Ekvationerna tan = a och cot = a.................. 9.0 Ekvationen a cos + b sin = c..................... 30. Ytterligare trigonometriska ekvationer................. 3 3 Funktioner 33 3. Linjära funktioner............................ 33 3. Polynomfunktioner............................ 37 3.3 grafisk lösning av ekvationer....................... 39 3.4 Olikheter................................. 40 3.5 Rationella funktioner........................... 4 3.6 Eempel på funktioner som inte är rationella............. 44 3.7 Eponentialfunktioner.......................... 45 3.8 Logaritmfunktioner............................ 48 3.9 Trigonometriska funktioner....................... 5 4 Gränsvärden för funktioner. Kontinuitet 55 4. Intervall.................................. 55 4. Gränsvärden............................... 56 4.3 Gränsvärdebegreppet........................... 60 4.4 Om beräkning av gränsvärden...................... 6 4.5 Kontinuitet................................ 63 5 Derivator 67 5. Derivatans definition........................... 67 5. Några deriveringsregler.......................... 70 5.3 Derivatorna av funktionerna sin och cos.............. 7 5.4 Högre derivator.............................. 74 5.5 Tangenter och normaler......................... 76

6 INNEHÅLL 5.6 Medelvärdessatsen............................ 78 6 Maima och minima 8 6. Betydelsen av derivatans tecken..................... 8 6. Maima och minima........................... 83 6.3 Betydelsen av andraderivatans tecken................. 86 6.4 Maimi- och minimiproblem....................... 87 7 Integraler 9 7. Primitiva funktioner........................... 9 7. Integraler................................. 93 7.3 Egenskaper hos integraler........................ 94 7.4 Integral och area............................. 97 7.5 Integralen som gränsvärde för summor................. 99 7.6 Notiser................................... 00 7.7 Beräkning av areor............................ 0 7.8 Några tillämpningar av integraler i mekaniken............. 05 7.9 Beräkning av volymer.......................... 06 8 Beräkning av derivator 8. Funktionen e............................ 8. Naturliga logaritmer........................... 3 8.3 Derivatan till funktionen ln................... 5 8.4 Sammansatta funktioner......................... 6 8.5 Kedjeregeln................................ 7 8.6 Potensfunktioner............................. 9 8.7 Derivatan av en produkt och av en kvot av funktioner........ 0 8.8 De trigonometriska funktionernas derivator.............. 8.9 Inversa funktioner............................ 3

Kapitel Trigonometri. Areasatsen För arean T av en triangel i vilken två sidor är a och b och mellanliggande vinkel v gäller: T = ab sin v (areasatsen) v a h h a 80 v v b h = a sin v b h = a sin (80 v) = a sin v bevis: Dra höjden h mot sidan b, se figurerna. Höjden är katet i en rätvinklig triangel där hypotenusan är a och motstående vinkel v eller 80 v, beroende på om v är spetsig eller trubbig. I bägge fallen gäller: h = a sin v T = bh = b a sin v = ab sin v. (Arean för den trubbiga triangeln kan fås genom att ta arean av den stora rätvinkliga triangeln minus arean av den lilla rätvinkliga triangeln. Den okända basen för den mindre rätvinkliga triangeln förkortas då bort!) U Beräkna arean av en triangel i vilken två sidor och mellanliggande vinkel är: a) 5 cm, 8 cm och 37 (sätt a = 5, b = 8, v = 37 ) b) 5 cm, 8 cm och 43 c) 6.8 cm,.7 cm och 47.

8 Trigonometri U I ett parallellogram är två sidor 9 cm och cm, och mellanliggande vinkel är 08. Beräkna parallellogrammens area! U 3 I en cirkel med radien 0 cm är en regelbunden 40-hörning inskriven. Beräkna arean av a) cirkeln b) 40-hörningen.. Sinussatsen C Om en triangels sidor är a, b, och c och motstående vinklar A, B, och C, så gäller: sin A a = sin B b = sin C c (sinussatsen) b a Bevis: Triangelns area T är halva produkten av två sidor och sinus för mellanliggande vinkel. Detta gäller vilka två sidor man än väljer, varför A c B T = bc sin A = ac sin B = ab sin C Om de tre sista leden multipliceras med och divideras med abc, så får man sinussatsen. E I triangeln ABC är a = 5 och b = 4 längdenheter samt vinkeln A = 50. Beräkna vinklarna B och C. C 4 5 50 B A Sinussatsen ger: sin B 4 = sin 50 5 sin B = 4 5 sin 50 0.68 { B 37.8 C 80 50 37.8 = 9. Den andra lösningen till sinus ekvationen ger { B 80 37.8 = 4. C 80 50 4. < 0 (ej möjligt!) Svar: B 37.8, C 9.

. Sinussatsen 9 C C 5 4 5 4 50 50 A B A B E I triangeln ABC (se figur ovan) är a = 4 och b = 5 längdenheter samt vinkeln A = 50. Beräkna vinklarna B och C. Sinussatsen ger: sin B 5 = sin 50 4 sin B = 5 4 sin 50 0.9575 { B 73. (vänstra triangeln) C 80 50 73. = 56.8 Den andra lösningen till sinus ekvationen ger { B 80 73. = 06.8 (högra triangeln) C 80 50 06.8 = 3. Svar: B 73., C 56.8 eller B 06.8, C 3. Om man känner två sidor i en triangel och en av de vinklar som står mot dessa sidor, så kan man med sinussatsen beräkna övriga vinklar. Man ser av eemplen att det kan bli två fall. U 4 U 5 U 6 E 3 I en triangel är två sidor 00 mm och 00 mm. Den mot den mindre sidan stående vinkeln är 0.0. Beräkna de övriga vinklarna. I en triangel är två sidor 79 mm och 7 mm. Den mot den mindre sidan stående vinkeln är 3.3. Beräkna de övriga vinklarna. I triangeln ABC är a = 4 och b = 3 längdenheter samt vinkeln A = 70. Beräkna triangelns area. I triangeln ABC är A = 50 och B = 35. Sidan c är 8 längdenheter. Beräkna sidorna a och b.

0 Trigonometri C b a A 50 35 8 B Vi räknar först ut triangelns tredje vinkel: C = 80 50 35 = 95 Sinussatsen ger sedan: samt sin 50 = a sin 35 = b sin 95 8 sin 50, a = 8 sin 95 6.5 sin 95 8 sin 35, b = 8 sin 95 4.6 Svar: a 6.5 och b 4.6 längdenheter. Eemplet visar att om man i en triangel känner vinklarna och en sida, så kan man med sinussatsen beräkna övriga sidor. U 7 För att bestämma avståndet mellan två punkter A och B på var sin sida om en sjö (se nedanstående figur), mätte man först upp en s.k. bassträcka från punkten A till en punkt C. Sträckan AC var 90 m. Därefter uppmättes vinklarna BAC och ACB till 64.0 och 56.3 (en vinkel BAC betyder vinkeln mellan sträckorna BA och AC). Beräkna avståndet mellan A och B.

. Sinussatsen U 8 U 9 I en triangel är två vinklar 6.4 och 84.. Minsta sidan är 39 mm. Beräkna den största sidan. (I en triangel står alltid minsta sidan mot minsta vinkeln och största sidan mot största vinkeln.) I en triangel är två vinklar 37.5 och 64.8. Största sidan är 54 mm. Beräkna de övriga sidorna. U 0 I en triangel är två vinklar 96. och 7.9. Mellanliggande sidan är 38.6 mm. Beräkna arean. U En liten båt är på väg med kurs rakt mot en fyr (se nedanstående figur). Vid två punkter P och Q mäter man vinkeln till fyrens topp T. Med kännedom om båtens fart beräknar man avståndet mellan P och Q till 500 m. Hur högt över vattenytan ligger fyrens topp? (beräkna först alla vinklar i den övre triangeln. Sedan fås sträckan QT med hjälp av sinussatsen. Sträckan RT fås sedan ur den rätvinkliga triangeln QRT.) U U 3 U 4 I triangeln ABC är A = 7, B = 4 och AB = 5 cm. Beräkna längden av höjden mot sidan AB. I triangeln ABC är A = 44, B = 77 och AB = 0 cm. Beräkna längden av bisektrisen till vinkeln C. ABC är en triangel. Omskrivna cirkeln har radien R (se figur). Visa att C sin A a = sin B b = sin C c = R A R R a B (Dra diametern CD. Triangeln BCD är rätvinklig, och vinkeln D är lika stor som vinkeln A. Varför? Visa att vart och ett av de tre första leden ovan är lika med sista ledet. Observera att man på detta sätt får ett nytt bevis för sinussatsen.) D

Trigonometri.3 Cosinussatsen Om sidorna i en triangel är a, b och c och den mot den sistnämnda sidan stående vinkeln är v, så gäller: c = a + b ab cos v (cosinussatsen) a h c h a c v b b 80 v v b Bevis: I den vänstra figuren ovan har vi antagit att vinkeln v är spetsig, och i den högra att v är trubbig. I bägge fallen drar vi höjden mot sidan b och får två rätvinkliga trianglar. Den ena har sidorna a, h och, och Pytagoras sats ger: h + = a Den andra rätvinkliga triangeln har sidorna c, h och (b ) eller c, h och (b + ), beroende på om v är spetsig eller trubbig. Om v är spetsig så är = a cos v. Pytagoras sats på den andra rätvinkliga triangeln och likheten ovan ger: c = h + (b ) = h + + b b = = likheterna ovan sätts in = a + b b a cos v Om v är trubbig, så är = a cos (80 v) = a cos v, och vi får genom pytagoras sats på den stora rätvinkliga triangeln i högra figuren: c = h + (b + ) = h + + b + b = = a + b b a cos v Därmed är cosinussatsen bevisad. Cosinussatsen kan betraktas som en generalisering av Pytagoras sats. Om nämligen vinkeln v är rät, så är cos v = cos 90 = 0, och cosinussatsen lyder då: c = a + b E 4 I en triangel är två sidor 4 och 5 längdenheter, och mellanliggande vinkel är 0. Beräkna den tredje sidan.

.3 Cosinussatsen 3 4 0 5 c Cosinussatsen ger: c = 4 + 5 4 5 cos 0 = = 4 40 cos 0 54.68 c 7.39 Svar: Tredje sidan är 7.39 längdenheter. E 5 Sidorna i en triangel är 5, 4 och 8 längdenheter. Beräkna vinklarna. C 4 5 A Cosinussatsen ger: 8 B 5 = 4 + 8 4 8 cos A cos A = 55 64 A 30.8 4 = 8 + 5 8 5 cos B cos B = 73 B 4. 80 8 = 5 + 4 5 4 cos C cos C = 3 C 5. 40 Det räcker naturligtvis att beräkna två vinklar. För kontrollens skull har vi dock beräknat alla tre, 30.8 + 4. + 5. = 80 Om man i en triangel känner två sidor och mellanliggande vinkel, så kan man beräkna den tredje sidan med hjälp av cosinussatsen. Denna sats kan också användas för beräkning av vinklarna i en triangel vars sidor är kända. U 5 U 6 U 7 U 8 Beräkna tredje sidan i en triangel i vilken två sidor och mellanliggande vinkel är a) 0 mm, 38 mm och 4.5 b) 65 mm, 83 mm och.9 Beräkna största vinkeln i en triangel vars sidor är a) 4 cm, 5 cm och 6 cm b) 4 cm, 5 cm och 7 cm En triangels sidor förhåller sig som till 3 till 4. Beräkna vinklarna. I en triangel är två sidor och mellanliggande vinkel cm, 0 cm och 50. Beräkna de övriga vinklarna. (Använd först cosinussatsen, sedan sinussatsen.)

4 Trigonometri U 9 U 0 U U U 3 U 4 Sidorna i en triangel är 5 cm, 6 cm och 7 cm. Beräkna arean. Sidorna AB, BC och CD i en fyrhörning ABCD är 4 cm, 3 cm respektive 57 cm, och vinklarna B och C är 05 respektive 30. Beräkna sidan AD I en fyrhörning är sidorna i ordning cm, 4 cm, 6 cm och 8 cm. Ena diagonalen är 7 cm. Beräkna den andra. I en fyrhörning är sidorna i ordning cm, 3 cm, 4 cm och 5 cm. Vinkeln mellan de två kortaste sidorna är 00. Beräkna fyrhörningens area. Två cirklar med radierna 4 cm och 5 cm har medelpunktsavståndet 7 cm. Beräkna arean av cirkelytornas överlappande snitt. För att bestämma avståndet mellan två otillgängliga punkter C och D mäter man upp en sträcka AB = 300 m. Vinklarna CAB, CBA, DAB och DBA uppmäts sedan till 85.3, 7.5, 63. och 0.8. Beräkna avståndet CD. Punkterna A, B, C och D förutsätts ligga i samma plan och C och D på samma sida om AB.

Kapitel Trigonometriska formler och ekvationer. Radianer Bortsett från den elementära geometrin och trigonometrin använder man i matematiken nästan uteslutande en annan vinkelenhet än en grad, nämligen en radian. Denna vinkelenhet definieras på följande sätt: En radian är en vinkel, som av en cirkel med medelpunkten i vinkelspetsen avskär en båge, som är lika lång som radien (se figur). rad r 3r 3 rad r En vinkel som är 3 radianer (3 rad) avskär av cirkeln en båge, som har längden 3 r (se figur). Allmänt gäller att en vinkel som är α rad avskär en båge med längden α r. Detta enkla uttryck för båglängden är skälet till att vinkelenheten rad ofta är att föredra framför. ( om medelpunktsvinkeln är v, så är som bekant bågen v 360 πr.) Om vi antar att rad är v, så får vi ur definitionen av en radian dvs. v = 80. Alltså är π rad = 80 π 57.30 = π 80 rad 0.0745 rad v πr = r, 360

6 Trigonometriska formler och ekvationer E 6 a) Eftersom = π rad, så är: 80 80 = π rad (= ett halvt varv) 360 = π rad (= ett varv) 90 = π rad 43 0.7505 rad b) Eftersom rad = 80, så är π.5 rad =.5 80 π 43.4 U 5 Omvandla till radianer: a) 30 b) 45 c) 60 d) 0 e) 35 f) 50 g) 70. h) 5.35 U 6 Beräkna i grader de vinklar, vilkas mätetal i radianer är: a) π 0 b) 3π 8 c) π 3 d) e).36 U 7 E 7 En cirkelbåge har radien r och längden.35 r. Bestäm bågens medelpunktsvinkel i a) radianer b) grader. Vi bestämmer de trigonometriska funktionernas värden för några vinklar som är angivna i radianer. Cirkeln i figuren har sin medelpunkt i ett koordinatsystems origo och har radien längdenhet. (0, ) π (, 0) π (, 0) 3π (0, ) a) Strålen från origo med riktningsvinkeln 0 skär cirkeln i punkten (,0). Alltså gäller: sin 0 = 0 cos 0 = tan 0 = 0 = 0 cot 0 är ej definierat

. Samband mellan sin t, cos t, tan t och cot t 7 b) Strålen med riktningsvinkeln π (= 90 ) skär cirkeln i punkten (0,) och alltså gäller: sin π = sin 90 = cos π = cos 90 = 0 cot π = 0 = 0 tan π är ej definierat c) på samma sätt erhålls: sin π = sin 80 = 0 cos π = cos 80 = tan π = 0 cot π är ej definierat d) För strålen med riktningsvinkel 3π (= 70 ) gäller: sin 3π = sin 70 = cos 3π = cos 70 = 0 cot 3π = 0 tan 3π är ej definierat U 8 Bestäm de trigonometriska funktionernas värden för följande i radianer angivna vinklar: a) π 6 b) π 4 c) π 3 d) π 3 e) 3π 4. Samband mellan sin t, cos t, tan t och cot t Med beteckningarna i figuren är cos t = och sin t = y. Pytagoras sats ger att + y =. Alltså gäller: t (, y) y cos t + sin t = Enligt definitionerna av tan t och cot t gäller vidare: tan t = sin t cos t cot t = cos t sin t

8 Trigonometriska formler och ekvationer E 8 Bevisa formeln + tan t = cos t. + tan t = + sin t cos t = cos t + sin t cos = t cos t U 9 U 30 Bevisa följande formler: a) cos t = sin t b) sin t = cos t c) cot t = tan t e) tan t + cot t = sin t cos t Bevisa följande formler: a) (cos t + sin t) + (cos t sin t) = b) cos 4 t sin 4 t = cos t sin t c) ( ) + sin t + = + tan t sin t d) + cot t = sin t d) + sin t cos t = cos t sin t.3 sin(π t) = sin t och liknande formler Figuren visar enhetscirkeln (radien =) och fyra från origo utgående strålar med riktningsvinklarna t, π t, t + π och t. Strålarna skär cirkeln i fyra punkter A, B, C och D vilkas koordinater är angivna i figuren. y (cos (π t), sin (π t)) B A (cos t, sin t) π t t t + π t (cos (t + π), sin (t + π)) C (cos ( t), sin ( t)) D Punkten B är spegelbilden av punkten A i y-aeln, så B:s koordinater kan därför även skrivas ( cos t, sin t). Detta ger: sin (π t) = sin t

.3 sin(π t) = sin t och liknande formler 9 cos (π t) = cos t tan (π t) = tan t cot (π t) = cot t De två sista likheterna har erhållits genom ledvis division av de två första. Eempelvis är tan (π t) = sin (π t) cos (π t) = sin t cos t = sin t cos t = tan t Punkten C är spegelbilden av punkten A i origo, och C:s koordinater kan därför skrivas ( cos t, sin t). Detta ger: sin (t + π) = sin t cos (t + π) = cos t tan (t + π) = tan t cot (t + π) = cot t De två sista likheterna har liksom förut erhållits genom ledvis division av de två första. Punkten D är spegelbilden av punkten A i -aeln, och D:s koordinater kan därför skrivas (cos t, sin t). Detta ger: sin ( t) = sin t cos ( t) = cos t tan ( t) = tan t cot ( t) = cot t Formlerna i detta avsnitt kan också skrivas med vinkelenheten, genom att byta ut π mot 80 överallt. U 3 sin 50 = sin (70 + 80 ) = sin 70 0.9397 Beräkna på liknande sätt: a) sin 34 b) cos 7 c) tan 95 d) cot 53 U 3 cos 95 = cos (5 + 80 ) = cos 5 = cos 65 0.46 Beräkna på liknande sätt: a) sin 95 b) cos 38 c) tan 35 d) cot 80 U 33 cos 5π ( 6 = cos π π ) = cos π 3 6 6 = cos 30 = Beräkna på liknande sätt: a) sin 5π b) tan 5π 6 6 U 34 sin 5π ( 4 = sin π + π ) 4 Beräkna på liknande sätt: c) cot 5π 6 = sin π 4 = sin 45 = a) cos 5π 4 b) tan 5π 4 c) cot 5π 4

0 Trigonometriska formler och ekvationer U 35 tan 5π ( 3 = tan π + π ) = tan π3 ( 3 = tan π π ) = tan π 3 3 = tan 60 = 3 Beräkna på liknande sätt: a) sin 5π 3 b) cos 5π 3 c) cot 5π 3 U 36 Beräkna de fyra trigonometriska funktionernas värden för a) 4π 3 b) 7π 4 U 37 Bestäm ( ) ( ) ( ) a) sin 3π 4 b) cos π 3 c) tan 5π 4 y B ( cos ( π t), sin ( π t)) π t A (cos t, sin t) t Figuren visar enhetscirkeln och två från origo utgående strålar med riktningsvinklarna t och π t. Strålarna skär cirkeln i punkterna A och B med de i figuren angivna koordinaterna. Koordinaterna för punkten B kan också skrivas (sin t, cos t) vilket beror på att de två rätvinkliga trianglarna i figuren är kongruenta (samma storlek och form). Härav följer de två första av följande fyra likheter (de två sista fås genom ledvis division av de två första): sin cos tan cot ( ) π t = cos t ( ) π t = sin t ( ) π t = cot t ( ) π t = tan t Om enheten används istället får man byta ut π mot 90 i ekvationerna ovan.

.4 Additions- och subtraktionsformler.4 Additions- och subtraktionsformler I koordinatsystemet nedan finns en enhetsvektor a som har riktningsvinkeln α + β. Vektorn har följande koordinatframställning: a = (cos (α + β), sin (α + β)) Vektorn a är uppdelad i två mot varandra vinkelräta komposanter b och c, där b har riktningsvinkeln β. y a c sin α cos β β sin α α cos α b cos α sin β sin α sin β β cos α cos β Ur rätvinkliga trianglar i figuren ser man att b och c har följande koordinatframställningar: b = (cos α cos β, cos α sin β) c = ( sin α sin β, sin α cos β) Eftersom a=b+c, så gäller: cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β Dessa formler kallas additionsformlerna för cosinus och sinus. (I figuren ovan har vi antagit att vinklarna α och β är spetsiga. Man kan visa att formlerna gäller utan denna förutsättning.) Om man i additionsformlerna byter ut β mot β och använder sambanden cos ( β) = cos β och sin ( β) = sin β, så får man följande subtraktionsformler: cos (α β) = cos α cos β + sin α sin β sin (α β) = sin α cos β cos α sin β E 9 Beräkna eakt sin 5 och cos 5 : sin 5 = sin (45 30 ) = sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 sin 5 = 3 6 = 4 cos 5 = cos (45 30 ) = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30 cos 5 = 3 + 6 + = 4

Trigonometriska formler och ekvationer U 38 Beräkna eakt sin 05 och cos 05 (05 = 60 + 45 ). U 39 Bevisa med hjälp av additionsformlerna följande formler: ( ) sin t + π = cos t ( ) cos t + π = sin t U 40 Bevisa följande formel: sin t + cos t = ( sin t + π ) 4 U 4 Förenkla följande uttryck: ( a) sin + π ) ( + sin π ) 3 3 ( b) cos π ) ( cos + π ) 6 6 ( c) sin + sin + π ) ( + sin + 4π ) 3 3.5 De trigonometriska funktionernas periodicitet Om n är ett helt tal, så är t och t + n π riktningsvinklar för samma stråle. Enligt definitionen av sinus och cosinus är följaktligen sin (t + n π) = sin t cos (t + n π) = cos t En ökning av t med en multipel av π ändrar alltså ej funktionsvärdena. Man säger därför att funktionerna sinus och cosinus är periodiska med perioden π. Enligt tidigare är tan t + π = tan t och cot t + π = cot t. En ökning av t med π ändrar alltså inte funktionsvärdena. Då gäller naturligtvis detsamma om t ökas med en multipel av π: tan (t + n π) = tan t cot (t + n π) = cot t Funktionerna tangens och cotangens är periodiska med perioden π. E 0 Vi utnyttjar periodiciteten för att räkna ut: a) sin 5π ( ) π 3 = sin 3 + 4 π = sin π 3 3 = b) cos 7π ( ) 3π 4 = cos 4 + 3 π = cos 3π4 ( = cos π 3π ) = cos π 4 4 = c) tan 7π ( ) π 3 = tan 3 + 5 π = tan π3 ( = tan π π ) = tan π 3 3 = 3

.5 De trigonometriska funktionernas periodicitet 3 Om vinkelenheten är istället, så får man byta ut π mot 80 i formlerna ovan. E Vi utnyttjar periodiciteten för att räkna ut: a) sin 700 = sin ( 0 + 360) = sin ( 0 ) = sin 0 0.340 b) cos 000 = cos (80 + 360) = cos 80 = cos 00 = cos 80 0.736 c) tan 56 = tan ( + 3 80) = tan 0.3839 d) cot 666 = cot (6 + 3 80) = cot 6 = cot 54 0.765 U 4 Bestäm a) sin 8π b) cos 8π c) sin 9π d) cos 9π e) sin 5π g) sin 7π h) cos 7π f) cos 5π i) tan 5π U 43 U 44 Bestäm a) sin 7π 3 d) tan 9π 4 Bestäm b) cos 9π 3 e) cot π 4 c) tan 7π 4 f) sin 5π 6 a) sin 400 b) sin 47.3 c) cos 885 d) tan 900 e) tan 637.6 f) cot 470 g) sin ( 000 ) h) cos ( 630 ) i) tan ( 365 )

4 Trigonometriska formler och ekvationer.6 De trigonometriska funktionernas grafer Figurerna på detta uppslag visar graferna till funktionerna sin t och cos t y y = sin t π π 0 π π t π π 0 y y = cos t π π t Cosinuskurvan är kongruent (likformig) med sinuskurvan men förskjuten ( π/ ) längdenheter De trigonometriska i negativa t-aelns funktionernas riktning. Detta grafer beror på att cos t = sin.6 t + π, se tidigare avsnitt. Nedan har vi graferna till funktionerna tan t och cot t 3 y y = tan t t π π 0 π π 3

.7 Ekvationen sin = a 5 3 y y = cot t t π π 0 π π 3 Eftersom tan t = sin t cos t och cot t = så är cos t sin t tan t ej definierat då cos t = 0, dvs då t = π + n π, samt cot t ej definierat då sin t = 0, dvs då t = n π. Då t närmar sig ett värde t, för vilket tan t (eller cot t) ej är definierat, så väer eller avtar tan t (eller cot t) obegränsat, och linjen t = t är en asymptot till grafen. U 45 Rita kurvorna y = sin v och y = cos v för 0 v 360. U 46 Rita kurvan y = tan v för 90 < v < 90..7 Ekvationen sin = a Rötterna till ekvationen sin = a är -koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvan y = sin och linjen y = a. y = a y = sin π π β β π β π β + π 3π β Ur figuren framgår följande: Om a > eller a <, så saknar ekvationen sin = a rötter. Om a och β är en rot, så gäller: sin = a har rötterna

6 Trigonometriska formler och ekvationer { = β + n π = π β + n π Här kan n vara vilket heltal som helst. I specialfallen a = 0, a = och a = förenklas resultatet: sin = 0 har rötterna = n π sin = har rötterna = π + n π sin = har rötterna = π + n π I ovanstående likheter kan uppfattas som en vinkel, mätt i radianer. Om istället är en vinkel, mätt i grader, och v är en lösning till ekvationen, så kan lösningarna skrivas: { = v + n 360 = 80 v + n 360 E Bestäm i grader de vinklar v för vilka sin v =. Eftersom sin 30 =, så är de sökta vinklarna: { v = 30 + n 360 v = 50 + n 360 U 47 Bestäm i grader de vinklar v för vilka: a) sin v = 0 b) sin v = c) sin v = d) sin v = e) sin v = 3 f) sin 3v = g) sin v = 0.7 h) sin v = 0.35 i) sin v = U 48 Bestäm de vinklar v, 0 < v < 360, för vilka sin v > 0.6 (Jämför med figuren på förra sidan.) E 3 Lös ekvationen sin = 3 Ekvationen kan skrivas sin ( ) = 3 Med hjälp av dator eller miniräknare får man: 0.730 rad 0.730 rad

.8 Ekvationen cos = a 7 Ekvationen har alltså följande rötter: { 0.730 + n π π ( 0.730) + n π 3.87 + n π Anmärkning: Lösningarna i första raden kan också skrivas 0.730 + π + (n ) π 5.553 + m π där vi satt n = m. U 49 Lös följande ekvationer (svaren ska ges i radianer): a) sin = 3 b) sin = d) sin = e) sin = 0. c) sin = 0.456 U 50 För vilka, 0 π, gäller att sin 3?.8 Ekvationen cos = a Rötterna till ekvationen cos = a är -koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvan y = cos och linjen y = a. y = a y y = cos π β β π β + π π + β Ur figuren framgår följande: Om a > eller a <, så saknar ekvationen cos = a rötter. Om a och β är en rot, så gäller: cos = a har rötterna = ±β + n π I specialfallen a = 0, a = och a = kan rötterna skrivas på följande sätt: cos = 0 har rötterna = π + n π cos = har rötterna = n π cos = har rötterna = π + n π = (n + ) π

8 Trigonometriska formler och ekvationer E 4 Bestäm i grader de vinklar v för vilka cos v =. Eftersom cos 60 =, så är cos (80 60 ) = = cos 0 =, och de sökta vinklarna är: v = ±0 + n 360 U 5 Bestäm i grader de vinklar v för vilka: a) cos v = 0 b) cos v = c) cos v = d) cos v = e) cos v = f) cos v = 3 g) cos v = 0.88 h) cos v = 0.57 i) cos v = E 5 Lös ekvationen cos = 3 Ekvationen kan skrivas cos (π ) = 3 Med hjälp av dator får man: π 0.84 rad π 0.84.30 rad Ekvationen har alltså följande rötter: ±.30 + n π U 5 U 53 Lös följande ekvationer (svaren ska ges i radianer): a) cos = 3 b) cos 3 = c) cos = d) cos = 0.568 e) cos = 0.7 Lös följande ekvationer (använd tidigare formler): a) cos = b) sin = 3 4 U 54 Lös följande ekvationer (använd formlerna för sin och cos ): a) sin cos = b) cos sin = U 55 Lös följande ekvationer: ( a) sin + π ) = 3 ( b) cos π ) = 4

a) sin cos = b) cos sin = U 3 Lös följande ekvationer: ( a) sin + π ) = 3 ( b) cos π ) = 4.9 Ekvationerna tan = a och cot = a 9.9 Ekvationerna tan = a och cot = a.9 Ekvationerna tan = a och cot = a Rötterna Rötterna till till ekvationen ekvationen tan tan = = a är a är -koordinaterna för för skärningspunkterna mellalankurvan kurvany = y = tan tan och och linjen linjen y = y = a. mel- a. 3 y y = tan y = a π π 0 β π π 3 Ur figuren framgår följande: Ur figuren framgår följande: Om β är en rot, så gäller: Om β är en rot, så gäller: tan = a har rötterna tan = = β a+ n πhar rötterna = β + n π Ekvationen cot = a kan skrivas tan =. Om ekvationen har roten γ, så gäller a därför: cot = a har rötterna = γ + n π U 56 U 57 Bestäm i grader de vinklar v för vilka: a) tan v = 0 b) tan v = c) tan v = d) tan v = 3 e) tan v = 0.8 f) tan v =.34 Lös följande ekvationer (svaren ska ges i radianer): a) tan = 3 b) tan =.5 c) tan = 0.504 d) cot = 0 e) cot = f) cot = 3

30 Trigonometriska formler och ekvationer.0 Ekvationen a cos + b sin = c E 6 Lös ekvationen cos sin = 0 Detta är en ekvation av den i rubriken angivna formen med c = 0. En sådan ekvation kan man lösa genom att dividera med cos : sin cos = 0 tan = 0.464 + n π E 7 Lös ekvationen cos + 3 sin = y Koefficienterna för cos ( ) och för sin (3) kan med konstruktionen i figuren uttryckas med polära variablerna r och t som: (, 3) r = r cos t 3 = r sin t Här har vi markerat punkten (, 3), bestående av koefficienterna framför cos och sin termerna i ekvationen, och sedan uttryckt punkten med polära variabler. Man ser i figuren att t r = ( ) + 3 = 0 tan t = 3 Ur den sista likheten får man t.89 rad Ekvationen kan nu skrivas: r(cos cos t + sin sin t) = sedan dividerar vi bägge sidor med r och utnyttjar formeln för cos ( t): cos ( t) = r = 0 t ±0.89 + n π.89 ± 0.89 + n π Ekvationen har alltså följande rötter: och.00 + n π.78 + n π

.0 Ekvationen a cos + b sin = c 3 U 58 Bestäm i grader de vinklar v för vilka gäller: a) sin v cos v = 0 b) cos v + 5 sin v = 0 c) cos v + sin v = d) 3 sin v 4 cos v = 5 U 59 Lös följande ekvationer (svaren ska ges i radianer): a) sin + cos = 0 b) 3 sin + cos = 0 c) cos sin = d) cos + 3 sin = E 8 Lös ekvationen cos + 3 sin = Detta är samma ekvation som i eempel, men vi löser den nu med en annan metod. Vi sätter t = och använder tidigare trigonometriska formler och skriver om ekvationen till: ( cos ) sin + 3 sin ( = cos + ) sin Efter förenkling och division med cos får man: tan 6 tan + 3 = 0 Vi gör sedan variabelsubstitutionen y = tan, varvid vi får en andragrads ekvation i y. Denna har de två rötterna 3 ± 6. sätter vi sedan tillbaka y = tan får vi U 60 tan = 3 ± 6 Första roten ger: tan 0.55 0.5 + n π.00 + n π och andra roten ger: tan 5.449.39 + n π.78 + n π Lös följande ekvationer med metoden i sista eemplet: a) sin v 4 cos v = 3 (svara i grader) b) sin cos = (svara i radianer) U 6 Hur kan man omedelbart inse att följande ekvation inte har någon lösning? 3 sin + 5 cos = 9

3 Trigonometriska formler och ekvationer. Ytterligare trigonometriska ekvationer Lös nedanstående ekvationer (svaren ska ges i radianer): U 6 sin tan = 0 ( tan = sin ), bryt ut sin cos U 63 sin + sin = 0 (använd formeln för sin ) U 64 sin = cos ( sin = sin ( ) = sin cos ) U 65 tan 3 cot + = 0 ( cot = ), man får en andragradsekvation i tan tan U 66 + 3 cos + cos = 0 (använd en formel för cos ) U 67 cos + tan = 0 U 68 cos + sin + = 0 U 69 tan + cos = U 70 sin 4 = sin (man får 4 = + n π och dessutom en möjlighet till, vilken?) U 7 tan 5 = tan 4 U 7 cos = cos 3 + cos 5 (skriv om högerledet som en produkt) U 73 sin + sin + sin 3 = 0 U 74 + cos + cos + cos 3 = 0 U 75 tan = 4 tan

Kapitel 3 Funktioner 3. Linjära funktioner U 76 Vi börjar med följande enkla funktion: 3 För varje är funktionsvärdet 3. Funktionen består av alla talpar av formen (, 3), t.e. (, 3), (0, 3) och (, 3). Markera i ett koordinatsystem de punkter som motsvarar några av funktionens talpar, och rita sedan funktionens graf. U 77 U 78 m är ett givet tal, vilket som helst. Beskriv med ord hur grafen till funktionen m ser ut Funktionen 3 består av alla talpar av formen (, 3), t.e. (, 6), (0, 0) och (, 6). Markera i ett koordinatsystem de motsvarande punkterna, och rita sedan funktionens graf. U 79 U 80 U 8 Rita (i samma koordinatsystem) graferna till följande funktioner: a) b) c) 0.3 k är ett givet tal, vilket som helst. Beskriv med ord hur grafen till funktionen k ser ut. Funktionen 3 består av alla talpar av formen (, 3). Skriv av värdetabellen nedan, och gör den färdig. Då får du sju av funktionens talpar. Markera de motsvarande punkterna i ett koordinatsystem, och rita sedan funktionens graf. 3 3 9 0 3

34 Funktioner U 8 Rita (i samma koordinatsystem) graferna till följande funktioner: a) 5 b) 0.5 + c) 3 0.5 Funktionerna i de föregående uppgifterna är alla av formen k + m. En funktion av detta slag kallas en linjär funktion. Anledningen är förstås den att funktionens graf är en rät linje. Linjen består av alla punkter vilkas koordinater (, y) satisfierar ekvationen y = k + m. Man anger ofta den linjära funktionen genom denna ekvation, och man säger då att y är en linjär funktion av. Funktionens graf kallas linjen y = k + m, Linjen går genom punkten (0, m) och har riktningskoefficienten k, se figuren. - -4 4 - -0.5-0.5 0 0.5 0.5 U 83 En rät linje har ekvationen 4 5y 0 = 0. a) Skriv linjens ekvation på formen y = k + m. b) Vilken riktningskoefficient har linjen? c) Rita linjen. U 84 a) Rita i samma koordinatsystem de bägge linjerna y = + och y = 4. b) Avläs koordinaterna för linjernas skärningspunkt. c) Beräkna koordinaterna för skärningspunkten. U 85 Beräkna koordinaterna för skärningspunkten mellan linjerna 3 y 4 = 0 och 3y + 4 = 0. U 86 Bestäm talet k och m så att linjen y = k + m

3. Linjära funktioner 35 a) har riktningskoefficienten 3 och går genom punkten (4, 5) b) går genom punkterna ( 3, ) och (5, 3). U 87 Antag att variabeln y är proportionell mot variabeln och att y = 5 då =.4. Beräkna y då = 3.6. (Mellan och y finns ett samband av formen y = k. Beräkna först k) U 88 U 89 Antag att y är en linjär funktion av samt att y = då =.5 och y = då =. Beräkna y då = 3.5. (Sambandet mellan och y är av formen y = k+m. Beräkna först k och m.) Ekvationen för en linje som har riktningskoefficienten k och går genom punkten (, y ) kan skrivas: y y = k( ) Bestäm med hjälp härav en ekvation för den linje som a) har riktningskoefficienten och går genom punkten (3, 7) b) är parallell med linjen 6 4y + 5 = 0 och går genom punkten (, 7). U 90 linjen genom punkterna (, y ) och (, y ) har riktningskoefficienten k = y y Bestäm riktningskoefficienten och en ekvation för linjen genom punkterna a) ( 5, ) och (3, 5) b) (7, 8) och ( 4, 5) Vi ska nu härleda ett samband mellan en linjes riktningskoefficient och den vinkel som linjen bildar med positiva -aeln. r (, k + m) (0, m) y = k + m v v r (, k) Linjen y = k + m går genom punkterna (0, m) och (, k + m), se figuren. Linjen har riktningsvektorn r = (, k + m) (0, m) = (, k).

36 Funktioner Låt v vara den vinkel som linjen bildar med positiva -aeln. enligt figuren gäller: { k = r sin v = r cos v Division av dessa likheter ger k = r sin v r cos v, dvs. k = tan v Linjens riktningskoefficient är alltså lika med tangens för linjens riktningsvinkel. U 9 Beräkna de vinklar som följande linjer bildar med positiva -aeln: a) y = b) y = 3 c) y = 3 + 5 U 9 a) Vilken riktningskoefficient har linjen 3 y + 4 = 0? b) Beräkna vinkeln mellan linjen och positiva -aeln. U 93 Beräkna vinkeln mellan linjen + y 3 = 0 och positiva -aeln. Linjerna y = k + m och y = k + m har riktningsvektorerna (, k ) och (, k ). Linjerna är vinkelräta mot varandra om skalärprodukten av dess två vektorer är noll, dvs. om (, k ) (, k ) = + k k = 0, k k = U 94 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (, ) och är vinkelrät mot linjen 4 3y 7 = 0 (se figuren). (, ) (Den givna linjen har riktningskoefficienten 4/3. Om den andra linjens riktningskoefficient kallas k, så gäller att 4 3 k =.) U 95 Bestäm en ekvation för den räta linje som går genom punkten ( 3, 4) och är vinkelrät mot linjen + 3y 6 = 0. U 96 Bestäm en ekvation för mittpunktsnormalen till sträckan med ändpunkterna ( 3, ) och (, 4). (vilken riktningskoefficient har sträckan?)

3. Polynomfunktioner 37 3. Polynomfunktioner Linjära funktioner är specialfall av polynomfunktioner (nämligen polynomfunktioner av graden 0 eller ). Funktionen a + b + c (a 0) är en polynomfunktion av andra graden. Grafen till en sådan funktion är en parabel. Funktionen har ett minsta värde eller ett största värde beroende på om a > 0 eller a < 0, se figur. 0 y = 0.5 +. 8 6 4 6 4 0 4 4 y = 6 + 3.5 U 97 U 98 U 99 Rita i samma koordinatsystem graferna till följande funktioner: a) b) 0. c) 0.5 Rita graferna till följande funktioner: a) b) 9 c) Beräkna koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvan y = + 3 4 och koordinatalarna. (sätt = 0 respektive y = 0. I det senare fallet får man en andragradsekvation att lösa.) U 00 a) Bestäm grafiskt koordinaterna för skärningspunkten mellan kurvan y = 3 + och linjen y = +. b) Beräkna koordinaterna för skärningspunkten (genom att lösa ett ekvationssystem). U 0 Bestäm talen b och c så att grafen till funktionen + b + c går genom punkterna (, 6) och (, 3).

38 Funktioner En polynomfunktion av tredje graden är en funktion av formen a 3 + b + c + d (a 0). Grafen till en sådan funktion liknar någon av de se kurvorna i figuren. y = 3 + 3 +4 + 4 y = 3 + 3 4 + 3 y = 3 y = 3 3 y = 3 3 y = 3 + 3 + U 0 U 03 U 04 U 05 Rita graferna till följande funktioner: a) 0. 3 b) 3 c) 3 + 4 Rita följande kurvor: a) y = 4 3 b) y = 3 3 Beräkna koordinaterna för de punkter där linjen 3+4y = 0 skär kurvan y = 3 3. (kurvan finns ritad i figuren överst på sidan.) Rita grafen till följande polynomfunktioner av fjärde graden: a) 0.0 4 b) 4

3.3 grafisk lösning av ekvationer 39 3.3 grafisk lösning av ekvationer E 9 Visa att ekvationen 3 + 3 = 0 5 har en enda reell rot, och bestäm ett närmevärde till roten. Ekvationens reella rötter är -koordinater för de punkter i vilka kurvan y = 3 + 3 skär -aeln. I figuren till har vi ritat kurvan med hjälp av denna värde tabell: y 5 0 3 7 0.5.375.5.875 Då väer så väer y, ty termerna 3 och väer. Kurvan har därför bara en punkt gemensam med -aeln, och ekvationen har bara en reell rot. Avläsning i figuren ger att roten är ungefär.. Om man vill ha ett bättre närmevärde, så kan man få det genom att förstora diagrammet omkring kurvans skärningspunkt med -aeln: 0.497. -0.07.3 För =. är y = 0.07, och för =.3 är y = 0.497. Mellan dessa två närbelägna punkter kan kurvan med god noggrannhet ersättas med en rät linje. Avläsning i figuren längs ner på förra sidan ger att roten är ungefär. (eller.3). Om man vill ha stor noggrannhet är den grafiska metoden arbetsam. Det finns numeriska metoder med var hjälp man kan beräkna närmevärden till en ekvations rötter med vilken noggrannhet man vill. Om man lär en dator en sådan metod (dvs. programmerar maskinen på lämpligt sätt) kan man snabbt få mycket noggranna närmevärden till en ekvations rötter. Ekvationer av första och andra graden bör inte lösas grafiskt eftersom ju sådan ekvationer enkelt och snabbt kan lösas eakt.

40 Funktioner Bestäm grafiskt närmevärden med en decimal (eller eventuellt två decimaler) till de reella rötter till ekvationerna i uppgifterna nedan: U 06 a) 3 = 0 b) 3 + U 07 a) 3 + 4 = 0 b) 3 3 + = 0 U 08 a) 4 4 + = 0 b) 4 4 + 4 = 0 U 09 4 + 3 5 + = 0 3.4 Olikheter E 0 y = 4 y = under denna linje är y < 4 a) Lös olikheten < 4. För -värdena och är = 4. mellan dessa är < 4, se figuren. olikheten gäller alltså om < < b) Lös olikheten > 4. Ur figuren framgår omedelbart att olikheten gäller om < eller >. U 0 Lös följande olikheter: a) < b) > c) 9 d) 9 e) < 3 f) > 7 g) 0 h) < U För vilka är < < 4? (Rita kurvan y = och dra linjerna y = och y = 4.) E Lös olikheten 3 5 0. Vi börjar med att rita kurvan y = 3 5, se figuren. Ekvationen 3 5 = 0 ger -koordinaterna för kurvans skärningspunkter med - aeln. Dessa koordinater är 3 och 0.5. Ur figuren framgår nu att olikheten gäller om 3 0.5. 3 Anm. Den motsatta olikheten 3 5 < 0 gäller om < 3 eller > 0.5. Lös följande olikheter: U + > 0 (Skissera kurvan y = +, och beräkna koordinaterna för de punkter där kurvan skär -aeln.) U 3 (skriv om olikheten som 0.)

3.4 Olikheter 4 U 4 a) 3 + 4 > 0 b) + < U 5 a) 6 > 0 b) 6 0 U 6 a) + 8 b) 3 > 0 U 7 Visa genom att rita kurvan y = + att olikheten a) + > 0 har lösningsmängden R (mängden av alla reella tal) b) + < 0 har lösningsmängden (tomma mängden) U 8 a) + > b) 6 > + 0 U 9 4 3 (Skriv olikheten 3 4 0. Skissera kurvan y = 3 4, och beräkna koordinaterna för skärningspunkterna med -aeln.) U 0 E 3 > 9 Man kan lösa olikheterna ovan utan att rita grafer till funktioner. Som eempel väljer vi olikheten U : + > 0 Vi delar upp vänstra ledet i faktorer: ( + ) > 0. Olikheten gäller om faktorerna och + har samma tecken. Tabellen nedan visar dessa faktorers tecken. 0 : + + : + + Från tabellen ser man att olikheten gäller om < eller > 0. U Lös med metoden i eemplet några av olikheterna ovan.

4 Funktioner 3.5 Rationella funktioner En funktion av formen f() g() där f() och g() är polynom kallas en rationell funktion. Polynomfunktioner är specialfall av rationella funktioner (g() = ger polynomfunktionen f()). Figurerna visar graferna till de rationella funktionerna och. Den första grafen är symmetrisk kring origo, den andra är symmetrisk kring y-aeln. Med en asymptot till en kurva menas en rät linje till vilken en punkt på kurvan alltmer närmar sig då punkten avlägsnar sig från origo. Bägge kurvorna till vänster har de båda koordinat alarna till asymptoter. U U 3 Graferna till följande två funktioner har också koordinatalarna till asymptoter. Rita graferna: a).4 b) Här är en annan rationell funktion: 3 3 a) Beräkna funktionsvärdena för -värdena 003, 997, 3.00 och.999 b) Ange med ledning av funktionsvärdena ovan vilka asymptoter funktions graf har. c) Rita grafen. d) För vilka är funktionsvärdet 0000 resp 0.000? U 4 Rita följande kurvor (ange asymptoterna): a) y = + b) y = U 5 Rita kurvan y = + 3. (Kurvan har linjen = 0, dvs y-aeln, till asymptot. Varför? Vidare är linjen y = asymptot, ty för stora är y = + 3 = + 3.) U 6 Rita följande kurvor (ange asymptoterna): a) y = c) y = + 4 b) y = 3 4 ( Ekvationen kan skrivas y = + )

3.5 Rationella funktioner 43 U 7 Rita kurvan y = +. (kurvan har linjen = till asymptot, varför? Vidare är linjen y = asymptot, ty för stora är y = + ( ) + 3 = = + 3.) U 8 Rita följande kurvor (ange asymptoterna): a) y = + b) y = 3 + U 9 Beräkna koordinaterna för de punkter där linjen y = skär kurvan y = 4. U 30 a) Rita i samma koordinatsystem linjen y = 6 och kurvan y = +. Avläs sedan närmevärden till koordinaterna för de punkter där linjen skär kurvan. b) Beräkna koordinaterna, och ange sedan närmevärden med två decimaler till dem. U 3 För vilka är <? (Rita i samma koordinatsystem kurvan y = och linjen y =. Olikheten gäller för de för vilka kurvan ligger under linjen.) U 3 U 33 Lös följande olikheter (gör som i förra uppgiften): a) 3 < b) 4 + > 5 c) + > 3 d) < 3 Lös följande olikheter: (Rita kurvan y = ) och y =. a) > E 3 b) 4 c) + 3 > Man kan lösa olikheterna ovan utan att rita kurvor och linjer. som eempel väljer vi olikheten: < 3 Vi skriver om olikheten på följande sätt: 3 < 0 3( ) 5 < 0 < 0 Denna olikhet gäller om täljaren och nämnaren har olika tecken. Tabellen nedan visar vilka tecken 5 och har för olika.

44 Funktioner 5 5 : + + : + + Man ser nu att olikheten gäller om < eller > 5. U 34 Lös med metoden i eemplet några av olikheterna ovan. 3.6 Eempel på funktioner som inte är rationella För rationella funktioner beräknas funktionsvärdena med hjälp av de fyra enkla räknesätten. Vi ger i detta avsnitt några eempel på funktioner, där beräkning av funktionsvärden också erfordrar rotutdragning. E 4 Vi ritar grafen till funktionen 4 0 3.7 3 3.5 0.5 0.7 4 0 5. 5 3 4. I tabellen finns några talpar till funktionen. Observera att man inte kan ge värden som är större än 4. För sådana värden är nämligen uttrycket under rotmärket negativt. Funktionen har definitionsmängden { : 4}. 4 5 4 3 3 4 5 Ange definitionsmängderna till följande funktioner, och rita funktionernas grafer: U 35 a) b) 4 c) 5 U 36 a) b) 9 U 37. Vilka asymptoter har grafen?

3.7 Eponentialfunktioner 45 3.7 Eponentialfunktioner U 38 Funktionen är ett eempel på en eponentialfunktion. 3 0..5 0.8.5 0.5 0 0.5.5.5 3 a) Till vänster finns en påbörjad värdetabell: 3 = 3 = 8 0..5 = 0.5 3 = 0.5 3 = 8 0.8 Skriv av tabellen, och gör den färdig. b) Rita funktionens graf. U 39 Rita grafen till eponentialfunktionen 0.5 ( ) (observera att 0.5 = = =. Funktionsvärdena kan du därför få ur tabellen i föregående uppgift.) U 40 Ett viktigt eempel på eponentialfunktion är 0 a) Vilka är funktionsvärdena för =,, 0, och. b) Bestäm med hjälp av tabell funktionsvärdena för = 0., 0.4, 0.6 och 0.8. c) Bestäm funktionsvärdena för = 0.8, 0.6, 0.4 och 0.. (0 0.8 = 0 0. = 0 0. 0 = osv.) d) Rita funktionens graf för. Välj dm till längdenhet på första aeln och cm på andra aeln. U 4 En annan viktig eponentialfunktion är e där e.78. a) Rita funktionens graf för. Funktionsvärden kan du få med hjälp av dator. b) Dra tangenten till grafen i punkten (0, ). Mät sedan den spetsiga vinkeln mellan tangenten och -aeln. (Om du ritar och mäter noggrant, så upptäcker du en egenskap som är karakteristisk för eponentialfunktionen med basen e.) I figuren nedan har vi ritat grafen till funktionen a för några olika värden på basen a (som alltid förutsätts vara positiv).

46 Funktioner 0 5 5 0 5 Man ser att funktionen a har följande egenskaper:. Funktionens graf går genom punkten (0, ).. Om a > är funktionen väande. Då väer från negativa värden till positiva, så väer a från mycket små till mycket stora positiva värden. 3. Om 0 < a < är funktionen avtagande. Då väer från negativa värden till positiva, så avtar a från mycket stora till mycket små positiva värden. E 5 Här är två eempel på eponentialfunktioner av mera allmän form: 5 0 0. och 0.3 0.8 Funktionsuttrycken kan skrivas 5 (0 0. ) och 0.3 (0.8 ). Eftersom 0 0. > och 0.8 <, så är den första funktionen väande, och den andra är avtagande. U 43 U 44 Vilka av följande eponentialfunktioner är väande, och vilka är avtagande? (För korthets skull utelämnar vi i funktionernas beteckningar.) a) 0.9 b).03 c) 0.5 d) 3 e) 6 5 f) 0. 0.5 g) 5 0 0. Lös grafiskt (genom att i samma koordinatsystem rita kurvan y = 3 och linjen y = + ): a) ekvationen 3 = + b) olikheten 3 < +

3.7 Eponentialfunktioner 47 U 45 Antag att ett kapital K (kr) väer med 5% ränta. Efter år har kapitalet vuit till K + k 0.05 = K.05, dvs. det har multiplicerats med räntefaktorn.05. Under andra året räknas ränta på kapitalet K.05 (ränta på ränta). Efter år har därför kapitalet vuit till K.05.05 = K.05 Det är lätt att se att kapitalet efter år har vuit till K.05. Kapitalets storlek vid olika tidpunkter ges alltså av funktionsvärdena till den väande eponentialfunktionen K.05. Man säger därför att kapitalet väer eponentiellt. Rita funktionens graf för K = 000 och 0 50. Låt cm motsvara 0 år på första aeln och 000 kr på andra aeln. Funktionsvärden får du med hjälp av dator. U 46 U 47 Ett kapital väer med ränta på ränta. Efter hur många år har kapitalet approimativt fördubblats om räntesatsen är a) 4% b) 5% c) 6% Jordens folkmängd ökar för närvarande med ungefär % om året. Detta betyder att folkmängden ökar eponentiellt. I denna uppgift antar vi att ökningen fortsätter på samma sätt. a) På hur många år fördubblas folkmängden? b) 965 var folkmängden 3.3 miljarder. Låt y beteckna folkmängden år senare. Skriv upp sambandet mellan och y. c) Rita grafen till funktionen y för 0 35 (dvs. för åren 965 000) U 48 För lufttrycket p mbar på kilometers höjd gäller ungefär: p = 000 0 0.056 Formeln innebär att lufttrycket avtar eponentiellt med väande höjd. Beräkna med hjälp av formeln lufttrycket på höjden a) km b) 5 km c) 0 km. Runda av resultaten till två gällande siffror. U 49 Antag att ny priset på en bil är 00000 kr och att bilens värde minskar med 0% om året. Efter år är då värdet y kr, där y = 00000 0.8 a) Förklara hur man får denna formel. (Den visar att bilens värde avtar eponentiellt.) b) Rita grafen till funktionen y för 0 0. U 50 Här är en eponentialfunktion: f() = 500.08 Med hur många procent ökar funktionsvärdet om a) ökas med (Beräkna kvoten f( + )/f()) b) ökas med (Beräkna kvoten f( + )/f()) c) ökas med 3 d) ökas med 0.5?

48 Funktioner U 5 Här är en annan eponentialfunktion: f() = 000 0.95 Med hur många procent minskar funktionsvärdet om a) ökas med b) ökas med c) ökas med 3 d) ökas med 0.5 Lägg märke till att svaren till denna och föregående uppgift är oberoende av. Varje eponentialfunktion f() har denna egenskap att en ökning av medför en av oberoende procentuell ökning eller minskning av funktionsvärdet. 3.8 Logaritmfunktioner U 5 Vissa tal kan lätt skrivas som tiopotenser, t.e. = 0 0 000 = 0 3 och 0.0 = 0. Potensens eponent kallas bekant talets tiologaritm (och förkortas lg). Vad är alltså lg, lg 000 och lg 0.0? U 53 Beräkna följande logaritmer: a) lg 0 b) lg 00 c) lg 000000 d) lg 0. e) lg 0.00 f) lg 0.0000 U 54 Varje positivt tal kan skrivas som en tiopotens. Eempelvis finns det ett tal sådant att 5 = 0. a) Bestäm grafiskt ett närmevärde till detta tal. b) Ange ett närmevärde till lg 5 U 55 U 56 Bestäm på samma sätt som i föregående uppgift närmevärden till a) lg b) lg 6 c) lg 7.6 d) lg 0.5 Med hjälp av datornfinner man att lg.7 0.433. Det betyder att.7 0 0.433. Här ur kan man få närmevärden till logaritmerna för alla tal med siffrorna 7. Eempel: 70 = 000.7 0 3 0 0.433 = 0 3.433 lg 70 3.433 0.7 = 0..7 0 0 0.433 = 0 0.433 lg 0.7 0.433 (= 0.567) Bestäm närmevärden till följande tals logaritmer: a) 7 b) 700 c) 0.07 d) 0.0007 U 57 Bestäm närmevärden till a) lg 35 b) lg 684 c) lg 590000 d) lg 0.7 e) lg 0.004 f) lg 0.063 U 58 Följande funktion är ett eempel på en logaritmfunktion: lg