Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 KOMPLEXA TAL Uppfattnngen om komplea tal uppstod samband med upptäckten av enkla ekvatoner som nte har reella lösnngar, t.e. eller = 3 0 + 40 = 0. De komplea talen förde länge en suspekt tllvaro nom matematken såsom nödlösnngar tll ekvatoner som annars saknade lösnngar. Stuatonen ändrades på 700-talet då den komplea analsen ntroducerades och matematker såsom Euler påvsade nttan av komplea tal t.e. vd lösnng av dfferentalekvatoner. År 893 ntroducerade Kennell 3 komplea tal nom elektroteknken. De komplea talen fck en stor praktsk betdelse nom elektrctetsläran där de används för att modellera väelströmmar. Den komplea varabeln kan samtdgt beskrva både ampltud och fas hos väelströmmen. Numera används komplea tal och funktoner allmänt för beskrvnng av sgnaler, oberoende av om dessa är elektrska eller nte. Ett komplet tal defneras som ett par (, ) av reella tal och. V säger att det komplea talet består av en reell del och en magnär del. V betecknar Re = Im = (.) Det komplea tal som består av reella delen Re = 0 och magnära delen Im = kallas magnära enheten 4 och betecknas med. Enlgt matematsk standard skrvs magnära enheten med antkva (rak stl) tll skllnad från matematska varabler som skrvs med kursv stl. Den magnära enheten har egenskapen Varje komplet tal kan skrvas formen =. (.) = + (.3) eller som = +. Observera att ett komplet tal med magnära delen Im = 0 är ett reellt tal, =, medan ett komplet tal med reella delen Re = 0 kallas ett magnärt tal, =. V betecknar ännu att ett tal är komplet med mängdbetecknngen C. Observera att nom elektroteknken används allmänt betecknngen j för magnära enheten, därför att betecknngen brukar användas som betecknng för elektrsk ström. Det är vanlgt att llustrera komplea tal som punkter ett rätvnklgt koordnatsstem där -aeln kallas reella aeln och -aeln kallas magnära aeln. Detta -plan kallas det komplea planet. Ett komplet tal rtas n det komplea planet med koordnaterna och. Carl Fredrch Gauss (777-855) ntroducerade termen "komplea tal". Grolamo Cardano (50-576) var den första som använde komplea tal som lösnngar tll ekvatoner. 3 Arthur Edwn Kennell (86-939) konsulterande elektrker, Edson General Electrc Compan och General Electrc Compan, New York. Senare professor elektroteknk Harvard Unverst och MIT. 4 Leonhard Euler (707-783) ntroducerade betecknng för magnära enheten år 777.
Ett sådant dagram kallas även ett arganddagram efter amatörmatematkern Jean-Robert Argand 5. magnära aeln = 3 + 3 reella aeln = Fgur.. Två komplea tal, = 3 + och =, avbldade det komplea talplanet.. Artmetska operatoner på komplea tal Då v använder oss av betecknngen = + och defntonen (.) för komplea enheten kan v tllämpa normala artmetska operatoner på komplea tal. Addton. Summan av två komplea tal blr = + = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ). (..) Eempel... Addera u = 5 + och v = 3 4. Summan är = u + v = 8. Subtrakton. Skllnaden mellan två komplea tal blr = = ( + ) ( + ) = ( ) + ( ). (..) Eempel... Subtrahera u = 5 + från v = 3 4. Skllnaden är = v u = 6. Multplkaton. Produkten blr = = ( + )( + ) = ( ) + ( + ). (..3) Produkten följer normala multplkatonsregler med beaktande av att =. Eempel..3. Multplcera u = 5 + och v = 3 4. Produkten är = uv = (5 + )(3 4) = (5 + 8) + ( 0 + 6) = 3 4. Dvson. Dvson är multplkatonens nversoperaton. Kvoten = / defneras som det tal som multplcerat med ger. I praktken utförs dvson genom att kvoten förlängs med dvdendens konjugattal * =, varvd nämnaren blr ett reellt tal och kvoten kan förenklas tll standardformen = +. 5 Jean-Robert Argand (768-8), bokförsäljare Pars, ntroducerade arganddagrammet år 806.
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 3 + ( + )( ) + = = = = + + ( + )( ) + +. (..4) Eempel..4. Dvdera u = 5 + med v = 3 4. Kvoten är u 5 (5 + )(3 + 4) = = + = = 7 + 6 = 7 + 6 = 0, 8 +, 04. v 3 4 (3 4)(3 + 4) 9 + 6 5 5 Eempel..5. = = = =. Negaton är detsamma som subtrakton från noll, = ( + ) = + ( ). (..5) Detta nnebär att det negatva komplea talet lgger det komplea talplanet på lnjen från över orgo, men på andra sdan orgo. Eempel..6. Ett komplet tal, =. Dess negaton är = +. = + magnära aeln 3 reella aeln = Fgur.. Ett komplet tal = och dess negaton, = +, avbldade det komplea talplanet. Absoluta värdet av ett komplet tal är ett reellt cke-negatvt tal, som det komplea talplanet defneras som avståndet tll orgo. Enlgt Ptagoras teorem är absoluta värdet av då = + = +. (..6). Konjugattal Betrakta ett komplet tal eller. = +. Konjugattalet tll är talet = + * = med betecknngen * (..) Eempel... Konjugattalet tll = 3 + är * = 3.
4 Konjugattalen är vktga därför att produkten av ett komplet tal och dess konjugattal är alltd ett reellt tal, * = ( + )( ) = +. (..) Detta utnttjas t.e. vd dvson med komplea tal, se ekvaton (..4) och eempel..4. V observerar att * =. (..3) Konjugattalet tll ett reellt tal är * = medan konjugattalet tll ett rent magnärt tal är * = -. magnära aeln = 3 + 3 reella aeln * = 3 Fgur.. Det komplea talet = 3 + och konjugattalet * = 3 det komplea talplanet..3 Komplea tal polär form Httlls har v betraktat komplea tal form av en reell och en komple del, = +, och dess llustraton ett kartesskt koordnatsstem, fgur... Det är ofta praktskt att presentera komplea tal polära koordnatsstem, fgur.3.. Sambandet mellan koordnaterna (, ) ett kartesskt koordnatsstem och koordnaterna (r, ) ett polärt koordnatsstem är = r cos. (.3.) = r sn magnära aeln r = 3 + 3 reella aeln Fgur.3.. Det komplea talet = 3 + det komplea talplanet med defnton av de polära koordnaterna.
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 5 Insättnng av (.3.) uttrcket för det komplea talet ger den polära formen av ett komplet tal, = + = r cos + r sn = r(cos + sn ), (.3.) där r och defneras fgur.3. såsom avståndet tll orgo respektve vnkeln från -aeln. Observera att alltd bör anges radaner. Det komplea talets absoluta värde betecknas här r. Den allmänna betecknngen är, = r = + = *. (.3.3) kallas det komplea talets argument och betecknas arg. Vnkeln är emellertd nte entdg. Den har en perodctet om π, = r(cos( + nπ) + sn( + nπ)) där n = 0, ±, ±,... (.3.4) representerar alla samma komplea tal. Normalt ges ntervallet π < π och kallas då argumentets prncpalvärde. I fgur.3. ser v att argumentet för det gvna eemplet ges av = arctan( / ). Då arcustangensfunktonen endast ger värden ntervallet ( π / ; π / ) måste emellertd argumentet ges en mera nvecklad defnton. V skall defnera argumentet som arctan, om > 0 = arg = arctan + π, om < 0, 0 arctan π, om < 0, < 0 vlket alltd resulterar argumentets prncpalvärde V observerar ännu att argumentet är odefnerat för talet = 0. Eempel.3.. Talet u = 5 + har absoluta värdet (.3.5) π < arg π. (.3.6) r = u = 5 + = 9 5,385 och argumentet = arctan( / 5) 0, 3805. Talet v = 3 har absoluta värdet r = v = 3 + ( ) = 3 3,6056 och argumentet = arctan( / 3) 0,5880. Negaton. Vlket är sambandet mellan de komplea talen och polär form? Talen och har samma absoluta värde,, men argumentet är förskjutet med π, antngen eller [ ] = ( + ) = r cos( + π) + sn( + π), (.3.7)
6 [ ] = ( + ) = r cos( π) + sn( π), (.3.8) beroende på vlkendera formen som ger prncpalvärdet. Eempel.3.. Betrakta ett komplet tal, = = 8 cos( π) + sn( π) 4 4 Dess negaton är = + = 8 cos( 3π) + sn( 3π) 4 4 där argumentet är arg( ) = + π = π + π = 3π. 4 4 = + magnära aeln +π 3 reella aeln = Fgur.3. Ett komplet tal = och dess negaton, = +, avbldade det komplea talplanet..3. Multplkaton och dvson polär form V skall multplcera två komplea tal polär form. V har talen Produkten blr enlgt ekvaton (..3) = r(cos + sn ) och = r(cos + sn ). (.3.9) [(cos cos sn sn ) (sn cos cos sn )] = = r r + +. (.3.0) Genom att utnttja formler för produkter av trgonometrska funktoner kan uttrcket förenklas tll multplkatonsregeln [ cos( ) sn( )] = = r r + + +. (.3.) V har alltså följande egenskaper vd multplkaton =, (.3.) arg( ) = arg + arg, (.3.3) där summan av argumenten vd behov kan justeras tll stt prncpalvärde genom att addera eller subtrahera π.
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 7 Man bör observera att vssa praktska tllämpnngar t.e. nom sgnalbehandlng har argument utanför ntervallet [π, π) en sgnfkant betdelse och då bör man nte justera argumentet tll stt prncpalvärde. Vd dvson med komplea tal är kvoten = / det komplea tal som satsferar ekvatonen =. (.3.4) Kombnaton av ekvaton (.3.), (.3.3) och (.3.4) ger = = (.3.5) arg( ) = arg( ) + arg( ) = arg( ). (.3.6) Ekvaton (.3.5) och (.3.6) ger reglerna för dvson polär form, = (.3.7) arg = arg( ) arg( ), (.3.8) som gen kan justeras tll stt prncpalvärde genom att vd behov addera eller subtrahera π. V kan nu formulera dvsonsregeln för de komplea talen (.3.9), r = = [ cos( ) + sn( ) ]. (.3.9) r Formlerna (.3.) och (.3.9) ger oss drekt en formel för heltalspotenser av komplea tal, som gäller både för postva och negatva heltal. n n [ cos( ) sn( )] Eempel.3.. [ ] 0 = r n + n, (.3.0) 0 0 0 = ( + ) = r(cos + sn ) = r (cos0 + sn 0) =. V kan observera en fördel med den polära formen jämfört med den ursprunglga formen = +. Multplkaton och specellt dvson är mcket enklare den polära formen och v får en enkel formel för potenserng..3. Rötter tll komplea tal V skall defnera n:e-roten av ett komplet tal som ett tal u, sådant att n = u, (.3.) där n är ett postvt heltal (n =,, 3,...). V betecknar n:e-roten med n u =, (.3.) med den vanlga förenklngen att kvadratroten kan skrvas som u =. Med denna defnton kommer n:e-roten av ett komplet tal nte att vara entdg. n:e-roten av ett komplet tal har
8 alltd n värden. V har här en skllnad tll den reella analsens n:e-rot, som anses ha ett entdgt reellt värde, eller vssa fall nget värde. Ekvaton (.3.0) kan användas för att bestämma rötterna tll komplea tal. V nför först betecknngar för de polära formerna av och u, = r (cos + sn ) u = r (cos + sn ) u u u och skrver sedan om ekvaton (.3.) med hjälp av ekvaton (.3.0) n u u u r (cos + sn ) = r (cos n + sn n ). Detta ger oss två ekvatoner för att bestämma r u och u, Den första ekvatonen ger lösnngen r n r = ru. = n u n u = r, som här är den entdga reella n:e-roten, t både r u och r är reella postva tal. Den andra ekvatonen har oändlgt många lösnngar då v beaktar argumentens perodctet. V är endast ntresserade av de värden hos u som ger dstnkta komplea tal. Dessa värden är k u = + π, n n där k är heltal k = 0,,,..., n. V kan nu ge formeln för n:e-roten av ett komplet tal 0, + π + π ( ) n n = r cos k + sn k, k = 0,,, n. (.3.3) n n Vd behov kan argumentet justeras tll stt prncpalvärde genom att subtrahera π. Ekvaton (.3.3) ger n dstnkta värden för n:e-roten av ett komplet tal. Dessa talvärden lgger det komplea talplanet på en crkel med medelpunkten orgo och med raden n r. De är dessutom jämnt fördelade på crkeln, så att vnkeln mellan punkterna är π/n. Kvadratroten u = av ett komplet tal har två värden = r ( + ) och u = r cos ( + π ) + sn ( + π ) u cos sn. V observerar att u = u. Således kan v förenkla formeln för kvadratroten av ett komplet tal tll ( cos sn ) Eempel.3.3. Kvadratrötter av några komplea tal. = 4 = 4(cos0 + sn 0) = ± r +. (.3.4) 0 0 ( ) ( ) u = = ± 4 cos + sn = ± + 0 = ± = = cos π + sn π
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 9 π π ( ) ( ) v = = ± cos + sn = ± + = ± ( + ) 4 4 = = cos π + sn π w = = ± cos π ( ) + sn π ( ) = ± ( 0 + ) = ± Eempel.3.4. Komplea kubkroten av ett reellt tal. = 7 = 7(cos0 + sn 0) + kπ + kπ ( ) 3 u = 7 = 3 cos 0 + sn 0 3 3, k = 0,, u ( ) = 3 cos0 + sn 0 = 3 u u 3 ( π π) ( 4π 4π) 3 cos sn 3 3 = + = + 3 3 3 cos sn 3 3 = + = 3 3 Eempel.3.5. Bestäm alla lösnngar tll tredjegradsekvatonen 3 =. Lösnngarna ges av = 3, således =, = + 3, 3 = 3..3.3 Enhetscrkeln Ekvatonen = satsferas av alla komplea tal vars avstånd tll orgo det komplea talplanet är. Ekvatonen beskrver en crkel med raden det komplea planet. Denna crkel kallas enhetscrkeln. Fgur.3.3. Enhetscrkeln komp- lea talplanet. Fgur.3.4. Enhetscrkeln med alla lös- nngar tll ekvatonen =. 6
0 n Eempel.3.6. Ekvatonen = har n lösnngar som är jämnt utsprdda på enhetscrkeln komplea planet. T.e. ekvatonen = har lösnngarna = 6 med = och arg = 0, π, π, π, π, π, som alla lgger på enhetscrkeln, 3 3 3 3 se fgur.3.4. Avståndet mellan två punkter och a komplea planet är a och medelpunkt det komplea talet a beskrvs av ekvatonen 6. En crkel med raden ρ a = ρ. (.3.5) ρ a 3 Fgur.3.5. En crkel med raden ρ och medelpunkten a komplea planet har ekvatonen a = ρ. Olkheten a < ρ (.3.6) beskrver alla punkter nne crkeln. Dessa punkter kallas en omgvnng tll a..4 Komplea funktoner En komple funkton w = f ( ) (.4.) är en regel som tll varje värde en komple värdemängd hänför ett komplet värde w. T.e. w = + 3 är en komple funkton av. Enlgt defntonen på funkton motsvaras varje värde av ett enda värde w. Den komplea kvadratroten w = är således nte en funkton, då varje värde motsvaras av två värden w. Varabeln kan beskrvas med två reella tal, och, som = + och lkaså kan w beskrvas med två reella tal, u och v, som w = u + v. Den komplea funktonen w = f ( ) kan då beskrvas med två reella funktoner som w = f ( ) = u(, ) + v(, ). (.4.) Den komplea funktonen är således ekvvalent med ett par av reella funktoner två varabler, u(, ) och v(, ). Detta ger en grund för behandlng av komplea funktoner.
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 Eempel.4.. Skrv funktonen f ( ) = formen (.4.). f ( ) = = = = = u(, ) + v(, ). + + + + Således är (, ) u = och v(, ) =. + +.4. Gränsvärde och kontnutet V skall betrakta en komple funkton f(), som är defnerad en omgvnng av punkten 0 det komplea planet, men eventuellt nte punkten 0. V defnerar gränsvärdet g = lm f ( ) (.4.3) som det värde g värdemängden som f() närmar sg då närmar sg 0, oberoende från vlken rktnng närmar sg 0. Gränsvärdet esterar alltså endast om f() närmar sg samma värde g från alla rktnngar. Matematskt defnerar v gränsvärdet på följande sätt. Gränsvärdet g enlgt ekvaton (.4.3) esterar om v för varje postvt reellt tal ε kan fnna att postvt reellt tal δ sådant att för alla tal 0 omgvnngen 0 < δ fnns motsvarande funktonsvärde omgvnngen 0 f ( ) g < ε. (.4.4) En komple funkton f() är kontnuerlg en punkt = 0 om funktonen är defnerad denna punkt och lm f ( ) = f ( ). (.4.5) 0 En funkton sägs vara kontnuerlg en defntonsmängd om den är kontnuerlg alla punkter denna mängd. 0 f() v δ 0 w ε g u Fgur.4.. Omgvnngen 0 < δ defntonsmängden och omgvnngen f ( ) g < ε den komplea funktonens w = f() värdemängd. Eempel.4.. Funktonen f ( ) = är nte kontnuerlg C, t den är odefnerad = 0.
.4. Dervatan av en komple funkton Dervatan f ( 0) av funktonen f() punkten = 0 defneras som f ( ) = lm 0 0 f ( ) f ( 0). (.4.6) Funktonen f() är derverbar punkten = 0 om gränsvärdet (.4.6) esterar. V kan även beteckna dervatan med d ( ) d f. Tll skllnad från dervatan av reella funktoner beskrver nte dervatan av komplea funktoner någon vnkelkoeffcent eller lutnng hos grafen. 0 Eempel.4.3. Bestäm dervatan av funktonen 0 f ( ) =. 0 0 + 0 0 ( ) ( ) f ( 0) = lm = lm = 0 0 0 0 = lm ( + ) =. 0 0 0 Gränsvärdet esterar för alla 0 C varför dervatan är C. d d = för alla Då gränsvärden uppför sg välartat vd artmetska operatoner kommer dervatan av komplea funktoner att följa samma regler som dervatan av reella funktoner. Så har v t.e. följande derverngsregler som är analoga med motsvarande regler för reella funktoner: d d d d [ ] f ( ) ± g( ) = f ( ) ± g ( ), (.4.7) [ ] f ( ) g( ) = f ( ) g( ) ± f ( ) g ( ), (.4.8) d f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) =, (.4.9) d g( ) ( ) [ g ] d { f [ g( ) ]} = d f [ g( ) ] d g( ). (.4.0) d dg d Dervator av ratonella funktoner av komplea varabler är desamma som motsvarande dervator av reella varabler. Detsamma gäller för rotuttrck så länge v betraktar ett ensklt värde av roten fråga..4.3 Analtska funktoner En komple funkton f() sägs vara analtsk = 0 om den är defnerad = 0 och om den är derverbar och dervatan är kontnuerlg en omgvnng tll = 0. Alla ratonella funktoner, d.v.s. funktoner f()/g() där f() och g() är polnom, är analtska det komplea planet, förutom de punkter där g() = 0.
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 3.5 Eponentalfunktonen V skall defnera eponentalfunktonen e för komplea tal, även betecknad med ep eller ep(). Då man utökar defntonsmängden för en konventonell funkton, e från de reella talen tll en komple funkton e bör den na defntonen uppflla vssa vllkor, t.e. bör - e = e för = R. - e bör vara en analtsk funkton och dervatan bör överensstämma med den reella eponentalfunktonens dervata, d.v.s. (e ) = e. 3 - Potenssereutvecklngen e = + + + + bör gälla även för den na funktonen.! 3! En defnton som uppfller dessa krav och har tterlgare egenskaper gemensamt med den reella eponentalfunktonen är eponentalfunktonen av den komplea varabeln = +, e = e (cos + sn ). (.5.) Om är en reell varabel, = + 0, får v e = e (cos + sn ) = e (cos0 + sn 0) = e. V ser alltså att den komplea eponentalfunktonen reduceras tll den reella eponentalfunktonen för en reell varabel. Eponentalfunktonens dervata är d e d = e. (.5.) Härlednng av dervatan lgger utanför ramen för detta kompendum. Potenssereutvecklngen ovan gäller även om även denna härlednng nte heller kan göras här. Däremot skall v undersöka produkten av två eponentalfunktoner = + + = e e e (cos sn )e (cos sn ) [ + + ] e e (cos cos ) sn sn ( cos sn sn cos ). + e och e är reella eponentalfunktoner, varför e e = e. Genom att använda trgonometrska formler för produkter av snus- och cosnusfunktoner kan uttrcket skrvas som [ ] + + e e = e cos( + ) + sn( + ) = e, (.5.3) vlket överensstämmer med motsvarande egenskap hos den reella eponentalfunktonen. Sätter v = n defntonen (.5.) får v Eulers formel, e = cos + sn, (.5.4) som anger det vktga sambandet mellan trgonometrska funktoner och komplea tal. V tar ännu absoluta värdet av Eulers formel, e = cos + sn = cos + sn =, (.5.5) vlket är ett vktgt resultat. Den komplea eponentalfunktonen har väldgt långt samma egenskaper som den reella eponentalfunktonen. I ett avseende skljer den sg märkbart: den är perodsk med peroden π längs den magnära aeln. Perodcteten ges drekt ur defntonen (.5.).
4.5. Komplea tal polär form V kan fråga oss varför det är vktgt att beskrva den komplea eponentalfunktonen denna elementära beskrvnng av komplea tal. Orsaken är att det är vanlgt att komplea tal beskrvs form av eponentalfunktoner. V skall rekaptulera den polära formen av komplea tal, ekvaton (.3.), = + = r(cos + sn ). (.5.6) Kombnaton med Eulers formel, ekvaton (.5.4), ger den polära formen av komplea tal form av en eponentalfunkton, re eller med nomenklaturen från ekvaton (.3.3-4) som = + = (.5.7a) arg = + = e (.5.7b) Om v använder oss av egenskapen (.5.3) på det komplea talet = + kan v skrva eponentalfunktonen av som e = e e. (.5.8) Då v tar absoluta värdet av (.5.8) med användnng av ekvaton (.5.5) kan v vsa att e = e. (.5.9) Eempel.5.. Talet = + 3 har absoluta värdet r = = + 3 = och argumentet = arctan( 3 /) = π / 3. V kan skrva talet som π/3 = e. Talet u = 3 har absoluta värdet r = u = 3 + = och argumentet = arctan(/ 3) π = 5π / 6. Observera att v har subtraherat π argumentet enlgt ekvaton (.3.5) då både och är negatva. V kan skrva talet som 5 π/6 u = e. Eempel.5.. Multplcera talen = + 3 och u = 3. V använder oss av formlerna för multplkaton av komplea tal polär form, ekvaton (.3.-3). Produkten är π/3 5 π/6 ( π/3 5 π/6) π/ u = ( + 3)( 3 ) = e e = e = 4e, vlket är detsamma som det rent magnära talet 4.
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 5 Eempel.5.3. Dvdera u = 5 + med v = 3 4 (se eempel..4). Talen kan skrvas om polär form som och argu arctan(/5) 0,3805 u = u e = 5 + e 5,385 e arg v arctan( 4/3) 0,973 v = v e = 3 + ( 4) e 5 e. Kvoten blr enlgt ekvaton (.3.7-8), u u (argu arg v) 5,385 (0,3805+ 0,973),3078 = = e e,0770 e. v v 5 V kan jämföra resultatet med eempel..4 genom att sätta n absoluta värdet och argumentet för kvoten formeln för den polära formen av komplea tal, ekvaton (.3.), = r(cos + sn ),0770(cos,3078 + sn,3078),0770(0, 600 + 0,9656) 0, 800 +,0400. Formlerna för heltalspotenser (.3.0) och n:e-rötter (.3.3) kan nu kompletteras med motsvarande eponentalformer och [ cos( ) sn( )] e n n n n = r n + n = r, (.5.0) + kπ + kπ + kπ ( ) ( ) n n n = r cos + sn = r ep, k = 0,,, n. (.5.) n n n Vd behov kan argumenten justeras tll sna prncpalvärden genom att subtrahera en lämplg multpel av π. Eempel.5.4. Eulers formel, ekvaton (.5.4) ger en ntressant möjlghet att beskrva reella trgonometrska funktoner med komplea eponentalfunktoner. V skrver Eulers formel som e = cos + sn. För negatva argumentet gäller e = cos( ) + sn( ) = cos sn( ). Adderar v dessa uttrck får v e + e = cos och således cos = (e + e ). Om v alternatvt subtraherar sn = (e e ). e och e får v uttrcket för sn Formlerna som härleds eempel.5.4 är nte några kurosteter. De är grundläggande för frekvensanalsen nom sgnalbehandlngen och har således stor praktsk användnng. Eem-
6 pel.5.5 nedan vsar hur v kan härleda formler för reella trgonometrska funktoner genom att utnttja den komplea eponentalfunktonen. Eempel.5.5. Bevsa formeln cosα = cos α, som v kan htta formelsamlngen. α α α α cos α = (e + e ) = (e + e ) = α 0 α α α (e + e + e ) = (e + e ) = cos α.
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 7 Sammanfattnng av kaptel : Komplea tal. = = + = r(cos + sn ) = re r = = + arctan, om > 0 = arg = arctan + π, om < 0, 0 arctan π, om < 0, < 0 * * = +, = = + + [ cos( ) sn( )] e = r r + + + = r r r r = = + = r r ( ) [ cos( ) sn( )] e ( ) = = [ cos( ) sn( )] e n n n n = r n + n = r + kπ + kπ + kπ ( ) ( ) n n n = r cos + sn = r ep, k = 0,,, n n n n e = cos + sn cos = (e + e ) sn = (e e )
8