Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Relevanta dokument
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

KONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Planering för kurs C i Matematik

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

Tentamen i Envariabelanalys 1

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

20 Gamla tentamensuppgifter

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

MA2001 Envariabelanalys

Lösningar kapitel 10

3.1 Derivator och deriveringsregler

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Planering för Matematik kurs D

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

6. Samband mellan derivata och monotonitet

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2016 Skrivtid 9:00-13:00

Matematik och modeller Övningsuppgifter

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

1.1 Polynomfunktion s.7-15

x 1 1/ maximum

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

TEN22 Tekniskt basår. Miniräknare, Slutbetyget på. avklarats med Poäng Lycka till!

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Kontrollskrivning 25 nov 2013

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

5B1134 Matematik och modeller

Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

NpMa3c vt Kravgränser

TENTAMEN. Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I. Rättande lärare: Niclas Hjelm Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

Gamla tentemensuppgifter

Repetitionsuppgifter i matematik

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

Repetitionsuppgifter. Geometri

Håkan L. (Skriv som en produkt. Gör uppdelningen i faktorer så långt det går.) 1. Faktorisera 25x Faktorisera 1. 3.

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

Avsnitt 3, introduktion.

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Checklista för funktionsundersökning

Kravgränser. Provet består av Del B, Del C, Del D samt en muntlig del och ger totalt 63 poäng varav 24 E-, 21 C- och 18 A-poäng.

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

Matematik D (MA1204)

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1

Transkript:

Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så att även punkten (8, a) ligger på linjen. (p). ( ) = +. Ange f () med hjälp av derivatans definition. (p) f 5. Kurvan y = + 11 har en tangent som är parallell med linjen y = 1 + 17. 1 1 Ange ekvationen för denna tangent. (p) 6. Lös ekvationen e + 1 = 10. Svara eakt. (p) 7. Skuggan av ett träd är meter lång då solen står 0 över horisonten, d v s vinkeln mellan en solstråle och den horisontella marken är 0 o. Trädet får anses stå lodrätt. Hur lång är skuggan då solen står 60 över horisonten? (p) 8. Befolkningen i Sverige var 5,1 miljoner år 1900 och 8,9 miljoner år 000. Vilken årlig genomsnittlig procentuell ökning motsvarar detta? (p) 9. Funktionen y = är definierad i intervallet 1. a) Beräkna funktionens nollställen inom definitionsmängden. (1p) b) Beräkna funktionens minsta och största värde. (p)

10. Två lika stora rektangulära tomter ska inhägnas med hjälp av 50 meter staket. Den ena tomten ligger intill ett berg så där behövs inget staket. Hur stor area kan en av tomterna ha som mest? (p) 11. 1500 kronor sätts in på ett bankkonto vid varje årsskifte mot, % ränta. a. Ange ett uttryck som visar hur stor behållningen på kontot är efter t år, dvs. efter t+1 insättningar av 1500 kronor. (1p) b. Beräkna hur lång tid det tar, innan behållningen på kontot är 100 000 kr. (Lös uppgiften med hjälp av en ekvation. Annan lösningsmetod godtages inte.) (p)

Matematik Ten 1 T-bas 00-08-09 Gamla kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så att även punkten (8, a) ligger på linjen. (p). ( ) = +. Ange f () med hjälp av derivatans definition. (p) f 5. Kurvan y = + 11 har en tangent som är parallell med linjen y = 1 + 17. 1 1 Ange ekvationen för denna tangent. (p) 6. Lös ekvationen e + 1 = 10. Svara eakt. (p) 7. Skuggan av ett träd är meter lång då solen står 0 över horisonten, d v s vinkeln mellan en solstråle och den horisontella marken är 0 o. Trädet får anses stå lodrätt. Hur lång är skuggan då solen står 60 över horisonten? (p) 8. Befolkningen i Sverige var 5,1 miljoner år 1900 och 8,9 miljoner år 000. Vilken årlig genomsnittlig procentuell ökning motsvarar detta? (p) 9. Funktionen y = är definierad i intervallet 1. a) Beräkna funktionens nollställen inom definitionsmängden. (1p) b) Beräkna funktionens minsta och största värde. (p)

10. Två lika stora tomter ska inhägnas med hjälp av 50 meter staket. Den ena tomten ligger intill ett berg så där behövs inget staket. Hur stor area kan en av tomterna ha som mest? (p) bt 11. Hos en överförfriskad person avtar alkoholhalten i blodet eponentiellt: y = A e, där y är alkoholhalten i, A och b är konstanter och t är tiden i timmar. Provtagning visar att alkoholhalten från början är,0 och efter,5 timmar 1,0 Bestäm konstanterna A och b och ange hur snabbt alkoholhalten avtar efter,5 timmar, dvs. beräkna y (,5). (p)

Lösningar till Matematik Ten 1:1 T-bas 00-08-09 Nya och gamla kursen 1. 1 + 1 b + a a b = ab = b + a = a + b = 1. a b a b a b ( a + b)( a b) a b b a ab. ( ) + = + = 1 1 ( ) ( 1) 1 9 1 7 1 0 1 0 = ± = ± = ±. = 6 = (En kvadratrot kan inte ha ett negativt värde.) ; = = 9 Prövning: VL = 9 + 9 1 = 9 + 1 = 0 = HL Svar: = 9. k = 7 5 = 1. Alltså är y = 1 + m. (1, 5) ligger på linjen 5 1 Alltså är linjens ekvation y = 1 + 9. (8, a) är en punkt på linjen. a = 1 8 + 9 = 17. 5 = 1 1+ m m = 9.. f ( ) = +. f ( + h) f () ( + h) + + h ( + ) h( + h + 1) = = = + h + 1 + 1 = 5 h h h då h 0. Svar: f ( ) = 5 5. y 11 y 1 1 1 = + =. y 1 17 = + har k-värdet 1. 1 1 1 = =. Tangeringspunktens y-koordinat är 1 + 11 = 1. 1 1 Antag tangentens ekvation är y = 1 + m. (1, 1) ligger på tangenten 1 = 1 1+ m m =. Alltså är tangentens ekvation y = 1 +. + 1 + 1 6. e = 10 ; ln e = ln10 ; ( + 1)ln e = ln10 ; + = ln10 = ln10 ; = (ln10 ) ; = ln10

7.) h 0 o 60 o m h = tan 0 o h = tan 0 o. h tan 60 h tan 0 7, = = tan 60 = o o tan 60 o o m Svar: 7, m 8. Antag förändringsfaktorn är. Då gäller 1 100 8,9 100 = ; = ( ) 1, 00558 8,9 5,1 5,1 Procentuell ökning: 100,558-100=0,558 8,9 = 5,1 100 Svar: 0,56% 9a. y = = ( ) = ( )( + ) ger nollställena = = ; inom definitionsmängden. 1 0 = = tillhör inte definitionsmängden Svar: = 0 eller = 9b. y = = (1 ) = (1 )(1 + ) Derivatans nollställen samt intervallets ändpunkter kontrolleras beträffande funktionsvärden. = 1 ger y = 1 = 0 ger y = 0 = 1 ger y = 1 = ger y = 8 Svar: Minsta värde = 8, Största värde = 1

10. y y y Staketets längd är + y = 50 ; + y = 180 ; y = 180 Arean av en rektangel är A = y = (180 ) = 180 A = 180 ; A = 0 för = 90 A = < 0 ; maimum A ma = 90(180 90) = 8100 Svar: 8100 m 11 Nya kursen 11a.) År Behållning 1 t 1500 kronor 1500 +1,0 1500 kronor 1500 +1,0 1500 +1,0 1500 kronor 1500 +1,0 1500 +1,0 1500+1,0 1500 kronor 1500 +1,0 1500 +1,0 1500+ K +1,0 1500 kronor t b.) t 1500 +1,0 1500 +1,0 1500+ K +1,0 1500 = 100000 t+ 1 1, 0 1 t+ 1 100000 (1, 0 1) 1500 = 100000 1, 0 = + 1 1, 0 1 1500 100000 (1, 0 1) Logaritmering av båda leden ger ( t + 1) ln 1,0 = ln + 1 1500 100000 (1, 0 1) ( + 1 1500 ) ln t + 1 = 7,0 t 6, 0. Svar: 6,0 år ln1, 0

11 Gamla kursen bt y = A e. (0;,0) och (,5; 1,0) ligger på kurvan. b 0,0 = A e ln 0,5 A,0 b b,5 = =. 1,0 = A e,5 ln 0,5 t,5 Alltså: y =,0 e. ln0,5 t,5 ln 0,5 y =,0 e.,5 ln 0,5,5,5 ln 0,5 ln 0,5 y (,5) =, 0 e =, 0 0,5 0,15 /h,5,5 (Minustecknet anger att promillehalten avtar.) Svar: 0,15 /h

Rättningsmall Matematik TEN 1: 00-08-09 1. -------. Kommer till = sedan fel -1p Förkastar inte eller kommenterar inte = -1p Prövning saknas inget avdrag. Rätt ekvation på linjen, sedan fel -1p. ------- 5. ------- 6. Kommit till + = ln10 eller likvärdigt uttryck, sedan fel -1p 7. Fel trigonometrisk funktion och rimligt svar, <m -1p Fel trigonometrisk funktion och orimligt svar, >m -p 8. Räknar linjärt -p 9a. Svarar även med = -1p 9b. ------- 10. Har rätt areafunktion i en variabel, sedan fel -p Visar inte att maimum råder -1p 11a. ------- 11b. Har fel antal termer från a-uppgiften, f. ö. rätt, följdfel inget avdrag