10. MEKANISKA SVÄNGNINGAR

10. MEKANISKA SVÄNGNINGAR 10.1 Den enla harmonisa oscillatorn. Ett föremål med massan m, som hängs upp i en lätt fjäder, får svänga ring sitt jämvitsläge. Under svängningen påveras föremålet av en raft från fjädern. Om raften är ritad mot jämvitsläget och om dess storle är proportionell mot fjäderns förlängning x (=avståndet till jämvitsläget) dvs raften srivas F = -x sägs svängningen vara harmonis. Proportionalitetsonstanten allas fjäderonstant. Enheten för är l N/m. En enel harmonis svängning innebär en variation mellan två ytterlighetsvärden som inte förändras i tiden. Det svängande systemets energi förändras heller inte. I verliga meanisa system föreommer alltid fritionsrafter som medför att systemets energi minsar med tiden. Man talar då om dämpade svängningar. Om någon yttre drivraft periodist tillför energi till systemet (t.ex. gungande barn som får en nuff med jämna mellanrum) talar man om tvungna svängningar. Från gymnasiet vet vi att en harmonis svängning an besrivas med en linjär projetion av en cirulär rörelse med onstant vinelhastighet hos en visare, vars längd representerar svängningens maximala avvielse från jämvitsläget, amplituden A. Tidsberoendet för avvielsen från jämvitsläget, elongationen fås som lösning till en differentialevation. Differentialevationen erhålles ur nedanstående två samband: F = " # x vilet är ett uttryc för att raften alltid är ritad mot jämvitsläget (se figurer ovan och nedan). Dessutom ger raftlagen: F = m " a = m " d x dt 95

De båda sambanden ger: d x dt + m " x = 0 Denna evation satisfieras av olia uttryc t.ex. x = x(t) = A 1 cos"t + A sin"t eller x = x(t) = A 3 cos("t +#) där A 1, A, A 3 och / är onstanter och där " = m Säg att man ha en besrivning av en svängning där man börjar räna tid just då massan passerar jämvitstillståndet och tex är på väg i positiv ritning. I jämvit måste man räva att x = 0 då t = 0. Insättning i de båda uttrycen ger 0 = A l + 0, d.v.s. A l = 0. 0 = A 3 cos/ d.v.s. " = # (eller någon annan udda multipel av " ). Med det angivna s.. randvilloret fås dels x = A sin"t och dels att x = A 3 cos("t + # ) = A 3 sin"t. De båda allmänna uttrycen övergår båda i formen x = Asin"t då randvilloret tillämpas. Det är då tydligt att A = A = A 3 är svängningens amplitud. Sinusuttrycets värde vid en viss tidpunt upprepas efter tiden ". Denna tid är # svängningens period, T. T = " # = " m 96

" = m allas vinelfrevensen. Enhet 1 rad/s f = 1 T = 1 " # m allas svängningens frevens. Enhet 1 s-1 = 1 Hz 10. Harmonisa oscillatorns energi. Energin hos en harmonis svängning växlar periodist mellan enbart potentiell energi i vändlägena och enbart inetis energi vid passage av jämvitsläget. I lägena däremellan är energin både inetis och potentiell. Om x = x (t) = A sin )t får man hastigheten v x = A" cos"t vars maximala värde är A), som antas då partieln passerar jämvitsläget. På samma sätt fås a x = "A #$ sin$t = "A #$ # x vars maximala värde är "A #$ och som antas i vändlägena. Kraften på partieln är då störst! Kinetisa energin vid en viss elongation är då medan den potentiella energin är Den totala energin E = 1 mv x = 1 m " A # cos #t E p = 1 x = 1 " A sin #t E = E + E p = 1 A (m" cos "t + sin "t) = 1 A Den totala energin är således onstant och proportionell mot amplitudens vadrat. Obs! Dessa samband är naturligtvis ocså giltiga om fjädern hängs vertialt och viten oscillerar upp och ner. Obs! Om fjädern massa inte är försumbar an man visa att ovanstående samband är giltiga om massan m i uttrycen ersätts med en effetiv massa m eff = m + 1 3 m fjäder, där m är vitens massa. Exempel: En vit med massan 0, g är fäst i fjäder med fjäderonstanten 5 N/m och an röra sig horisontellt på ett fritionsfritt underlag, se vidstående figur. Fjädern dras ut och släpps vid t = 0. Vid t = 0,3 s har viten hastigheten 40 cm/s och befinner i en punt med oordinaten x = - 6 cm. a) Bestäm på formen x = A sin ()t + /) den funtion som besriver vitens rörelse. b) När är vitens hastighet störst första gången? c) Hur stor är accelerationen vid t = 1,0 s? d) Hur stor är den totalt upplagrade energin? 97

Lösning = 5 rad/s a) Vinelfrevensen " = m = 5 0, dx Med x = A sin ()t + /) får vi att hastigheten an uttrycas v = = A) cos ()t + /) dt dvs - 0,06 = A sin (1,5 + /) (1) - 0,4 = A 5 cos (1,5 + /) () Dividera (1) med () "0,06 "0,4 = 1 tan(1,5 +#) 5 Vilet ger 1) 1,5 + / = arctan 0,75 = 36,9 = 0,644 rad $ / = - 0,856 rad ) 1,5 + / = 36,9 + 180 = 3,785 rad $ / =,85 rad Insättning av / = - 0,856 rad i (1) ger A = - 0,1 men A alltid positivt dvs vi måste förasta detta värde på / Insättning av / =,85 rad i (1) ger A = 0,1 Rörelsen besrivs av x = 0,1 sin (5t +,85) och v = 0,5 cos (5t +,85) b) Hastighetens största värde är 0,5 m/s och inträffar vid passage av jämvitsläget. Första gången detta passeras är den på väg i negativ ritning varför hastighetsvärdet är 0,5. Således sall gälla - 0,5 = 0,5 cos (5t +,85) vilet ger t = 0,17 s c) För accelerationen gäller dv a = dt = "A# (sin#t +$) = "0,1% 5 %sin(5 %1,0 +,85) = ",11 m/s Vinelfrevensen 5 rad/s ger att perioden är 1,6 s. Varje period består ju av 4 vartsperiod vardera om 0,3 s. Vid t = 1,0 s befinner sig viten i sista vartsperioden och på väg att bromsas in till utgångspunten. Accelerationen är då ritad i negativ led. Den maximala accelerationen antas i vändlägena och i startpunten är den,5 m/s! d) Den i fjädern upplagrade energin är E tot = 1 A = 1 mv max = 5 mj 10.3 Matematis pendel. Ett system som an utföra harmonisa svängningar är den matematisa pendeln som består av en puntformig massa m som hänger i en vitlös tråd med längden d och svänger ring sitt jämvitsläge. För svängningar med liten utslagsvinel är svängningstiden T = " d g Två olia härledningar av uttrycet för svängningstiden: l) Utnyttjande av sambandet mellan raftmoment och ändring per tidsenhet av rörelsemängdsmomentet: M = dl dt 98

De rafter som verar på m är dels snörspänningen, dels tyngdraften. Med upphängningspunten som momentpunt är det endast tyngdraftens tangentiella omposant som utövar något moment. Detta strävar efter att återföra partieln till jämvitsläget d.v.s. det verar i negativ %-led: M = "(mgsin#)$ d L = m $ v t $ d = m $ # d $ d = m $ d $ # v t är partielns tangentialfart. Deriveras det senare uttrycet erhålls dl dt = md " # Man får följande differentialevation: "mgd #sin$ = md $ som efter omsrivning ger: d " dt + g # sin" = 0 (1) d ) Utnyttjande av energiprincipen: Minsning i potentiell energi (vändläget väljs som referens) är lia med öningen i inetis energi: mgd(1" cos# max ) " mgd(1" cos#) = 1 mv t = 1 m(d$) Derivering med avseende på tiden ger "mgd# sin# = md $ $. Detta är (som sig bör) samma differentialevation som (1) För små vinlar gäller att sin" # " (om % uttrycs i radianer) och differentialevationen får samma form som den som gällde den enla harmonisa oscillatorn. Jämförelse ger en lösning " ="(t) =" max sin#t med " = g d och perioden T = # d g Vad menas med en liten vinel? Exempel: % = 1 motsvarar % = 0,0175 rad, sin l = 0,0175 Den procentuella sillnaden mellan % och sin % " # sin" sin" = 5 $10#5 = 0,005% För % = 5 är motsvarande procentuella sillnad 1,7%. Uttrycet för pendelns svängningstid är således approximativt men är användbart om pendelutslaget endast är någon grad, % < 5. 99

10.4 Fysis pendel. Den matematisa pendelns massa är oncentrerad till ett mycet litet område ( till en punt). En godtycligt formad fast ropp, rörlig ring en horisontell axel utgör en fysis pendel. En besrivning av rörelsen hos denna pendel an erhållas utgående från uttrycet M = I "#. Avståndet mellan vridningsaxeln, som går genom O, och pendelns tyngdpunt allas d. Antag att pendeln i ett visst ögonblic rör sig så att % i figuren öar. Tyngdraftens moment gör att vinelhastigheten och därmed rörelsemängdsmomentet minsar. Kraftmomentet: M = "mg # d sin$ Steiners sats ger tröghetsmomentet med avseende på den atuella rotationsaxeln: I = I TP + md. Dessutom är " = # Sammanställning ger: "mgd sin# = (I Tp + md ) # Efter omsrivning d " dt + mgd I Tp + md sin" = 0 För små vinlar är den fysisa pendelns period T = " I Tp + md 10.5 Torsionspendeln. En massiv siva hängande i en tråd an utföra s.. torsionssvängningar runt sin vertiala symmetriaxel. Systemet allas torsionspendel. Det raftmoment med vilet tråden påverar sivan är proportionellt mot den vinel sivan vridits från sitt jämvitsläge. Momentet strävar efter att återföra sivan till jämvitsläget: M = " #$. Proportionalitetsonstanten är beroende av trådmaterialets egensaper. Sambandet M = I "# = I " $ ger evationen d " dt + I #" = 0 mgd Torsionspendelns period: T = " tröghetsmoment m.a.p. den vertiala axeln. I, där I är sivans 100

10.6 Dämpade svängningar. När den svängande viten rör sig i ett visöst medium, tex i en vätsa, så utsätts viten förutom av fjäderraften av en bromsande fritionsraft, f, som om hastigheten är låg är proportionell mot hastigheten dvs f = bv = b " dx. Denna raft gör att svängningens amplitud dt minsar med tiden då meanis energi förs ur systemet av denna ice onservativa raft. Kraftlagen ger: F = "x " bv # Men # F = m " a = m " d x dt Sammanställning efetr omsrivning ger då: d x dt + b m " dx dt + m " x = 0 Man an visa att denna andra ordningens differentialevation har lösningen x = A " e #$t " cos(% b t +&) (1) där och där som tidigare " = Exempel m " = b m % " b = " 1# $ ( ' * &" ) En vit med massan 50 g är upphängd i en fjäder med fjäderonstanten. Viten är nedsänt i ett ärl innehållande en visös vätsa. Viten dras ut 8 cm från jämvitsläget och släpps. Den fritionsraft, f, som vätsan sapar mot rörelsen an srivas f = 0,17v, där v är vitens atuella hastighet. Beräna vitens avstånd från jämvitsläget vid tidpunterna t = T, T, 3T, 4T och 5T, där T är svängningens period. () (3) Lösning Ur givna data bestäms " = 0,17 # 0,05 =1,7 s-1 och " = 0 0,05 = 0 s-1 $ 1, 7' Sammantaget ger detta " b = 0 1# & ) =19,93 s -1 (0 )) % 0 ( Härur an periodtiden bestämmas T = " = " # b 19,93 = 0,315 s Fasonstanten bestäms på följande sätt. Antag att x-axeln är ritad uppåt. Då x = -0,08 vid t = 0 och vi får "0,08 = 0,08 #1# cos$ % $ = & Sammantaget ger (1) för t = T = 0,315 s x = 0,08 " e #1,7"0,315 " cos(19,93" 0,315 + $) = #0,0465 m = - 4,65 cm 101

Pss för vi för övriga tider (se tabell nedan). I diagrammet nedan visas ocså grafen för denna dämpade svängning. x (cm) t -8,00 0-4,65 T -,71 T -1,58 3T -0.9 4T -0,54 5T 10.7 Tvungna svängningar. En dämpad svängning an emellertid hållas i gång med hjälp av en yttre påveran. Ett litet barn som gungar och inte lärt sig tenien an få hjälp att hålla farten genom att en utomstående i lämpliga ögonblic nuffar till gungan. Detta extra energitillsott måste ompensera energiförlusterna för att behålla amplituden. Ofta ser energitillförselngenom en raft som varierar periodist och an uttrycas F = F 0 cos" y t där ) y är raftens vinelfrevens denna tillommande raft gör att differentialevationen får följande utseende: d x dt + b m " dx dt + m " x = F m " cos# t y Lösningen till denna an visas bli x = A e cos(" e t #$ e ) (4) där och och där " = m A e = tan" e = b #$ e m($ %$ e ) F m (" #" e )+ b $" e som tidigare är vinelfrevensen för den odämpade svängningen. Ofta inför man Q-fatorn som Q = " # m b, varvid uttrycet för A e an srivas (5) (6) 10

A e = F m (" #" e )+ " $" e Om detta tillämpas på föregående lösta exempel och inför en yttre raft F som besrivs av F = 0, 344 " cos# e " t erhålls för Q =,3 respetive 5,8 grafer som visas i vidstående diagram. Här an då noteras att störst amplitud, A e, erhålls då " e # ", dvs då energin matas in ungefär i tat med det odämpade systemets vinelfrevens (egenfrevens). Den vinelfrevens, " e, som ger störst amplitud allas resonansfrevensen, " r, och den an srivas " r = " # b (8) m Om systemet är odämpad (b=0) blir således " r = " och ur (7) framgår att A e " #. Sälet till detta är naturligtvis att då fritionsförluster sanas ommer den inmatade energin att lagras i systemet varvid amplituden öar och öar. Q (7) 10.8 Övningsuppgifter 1. Rörelsen hos en viss massa, fritionsfritt rörlig i änden av en spiralfjäder, besrivs av x = 0,40 cos (0,35 t - 0,15) (m) Hur stor är svängningens a) amplitud? b) frevens? c) period?. En vit som väger 0,5 g utför en harmonis svängningsrörelse med frevensen 10 Hz och amplituden 10 cm. I ett visst ögonblic befinner sig viten 5 cm från jämvitsläget. Beräna värdet på följande storheter i detta ögonblic: a) accelerationen b) den resulterande raft som verar på viten c) den potentiella energin d) den inetisa energin 3. Ett horisontellt bord svänger harmonist fram och tillbaa med amplituden 1,5 m och frevensen 0,5 Hz. Vilen är den minsta statisa fritionsoefficient som rävs för att ett föremål placerat på bordet inte sall börja glida? 4. En matematis pendel är 60 cm och har massan 00 g. Pendeln lyfts så att den bildar 15 med lodlinjen och släpps därefter. Man startar tidtagning just då ulan släpps. Formulera ett uttryc för utslagsvineln, uttryct i grader, som funtion av tiden. 103

5. En vit med massan 60 g hänger i vila i en fjäder vars fjäderonstant är 50 N/m. Viten dras ner 8,0 cm från sitt jämvitsläge och släpps. a) Ange en sinusfuntion som besriver den uppomna svängningen. b) Beräna hur lång tid det tar för viten att förflytta sig från startpunten med x = - 8 cm till punten med oordinaten x = 6 cm. 6. Antag att det svängande systemet i föregående uppgift befann sig i punten x = 4 cm och viten var på väg ner vid t = 0. Bestäm fasvinel och vitens acceleration vid t = 0. 7. Vagn B (m B =,0 g) är sammanopplad med låda A (m A = 1,0 g) via en fjäder med fjäderonstanten 0 N/m. Vilofritionstalet mellan lådan och underlaget är 0,3. Vagnen ges en nuff åt höger. Hur stor får B:s begynnelsefart högst vara för att lådan inte sall börja glida? 8. Beräna svängningstiden för vidstående oppling. Viten har massan m, fjädern har fjäderonstanten. Blocet och linorna har försumbar massa. 9. Beräna frevensen hos en meterstav som svänger som en fysis pendel om axeln går genom a) 90,0 cm-mareringen. b) 50,5 cm-mareringen. 10. En homogen cirulär siva med radien 30 cm an rotera ring en axel genom en punt P på sivans periferi. Axeln är vinelrät mot sivans plan. Sivan släpps från vila i ett läge där diametern genom upphängningspunten bildar vineln 45 med lodlinjen. Beräna a) svängningstiden b) hastigheten hos sivans nedersta punt A då sivan passerar det strecade jämvitsläget. 11. En dämpad svängningsrörelse besrivs av (1) s 10-7 med / = 0. Under den första fullständiga svängningen minsar amplituden med 5 %. Fjäderonstanten är 0 N/m och massan 60 g. a) Hur stor blir proportionalitetstalet i uttrycet för fritionsraften om " b = "? b) Bestäm Q-fatorn c) Hur stor måste raftens amplitud vara om den sall åstadomma en svängningsamplitud på 10 cm vid resonans? 104

Svar: 1) a) 0.40 m. b) 0.11 Hz. c) 9.0 s. ) a) -197 m/s b) -98,7 N c),47 J d) 7,40 J 3) µ > 0, 38 4) " ="(t) =15 #sin(4,04 # t ± $ /) 5) a) x = 0,08sin(8,87 "t # $ ) b) 8,38 "10#s 6) " =, 6 rad, a = #8, 5 ms - 7) 0,50 m/s 8) T = " m 9) a) 0,64 Hz, b) 0,1 Hz. 10) a) 0,1 s b),1 m/s 11) Svar: a) 1,79 "10 # gs #1 b) 61, c) 3,7 mn 105