Ordinära differentialekvationer Matematiska institutionen Vårterminen 1996 Anders Källström (Uppdaterad 00 03 14)



Relevanta dokument
DN1240 numi12 1

Prognoser

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

i de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering.

Möbiustransformationer.

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b

SF1625 Envariabelanalys

EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET

Multiplikationsprincipen

KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = = 15.

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem. Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Inklusion och exklusion Dennie G 2003

Repetition av cosinus och sinus

Träning i bevisföring

============================================================ ============================================================

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl

4-6 Trianglar Namn:..

Linjära system av differentialekvationer

Introduktion till Komplexa tal

Innehållsförteckning Tabeller och polynom

INLÄMNINGSUPPGIFT 2 (Del 2, MATEMATISK STATISTIK) Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000

Lathund, procent med bråk, åk 8

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.

Kompletterande kurslitteratur om serier

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)

2 Laboration 2. Positionsmätning

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL!

Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

CAEBBK01 Drag och tryckarmering

SF1620 Matematik och modeller

Boken om Teknik. Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6.

Allmän teori, linjära system

Modul 6: Integraler och tillämpningar

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden

Hemsida Arbetsrum. Skapa arbetsrumslista

Instruktion när NE-bilagan har lämnats via e-tjänsten Filöverföring

Differentialekvationssystem

Utveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan

Centrala gränsvärdessatsen

Kontrollskrivning i Linjär algebra ,

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) kl 08-13

Tentamen i Envariabelanalys 1

Vi skall skriva uppsats

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp,

Finns det någon som kan förklara varför man inte kan använda formeln P=U I rotenur3 cosfi på en pump som sitter i en borrad brunn?

Mekaniska vibrationer. Hjulupphängning. Fria odämpade svängningar. Svängningstiden för pendelrörelsen. Approximationen sin

Information sid 2 4. Beställning sid 5. Ändring/Nytt SIM sid 6. Avsluta abonnemang sid 7. Fakturafråga sid 8. Felanmälan/fråga sid 9.

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

6 Strukturer hos tidsdiskreta system

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

Smakstart. Effektmätning. Rapport 2013

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl

Sveriges Trafikskolors Riksförbund Film om körkort för nysvenskar Speakertext - Svensk

Medarbetarenkäten 2016 handledning för förbättringsarbete

D A B A D B B D. Trepoängsproblem. Kängurutävlingen 2012 Benjamin

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Vågkraft och tidvattenkraft

Användarmanual Outlook-plugin Outlook-plugin för Mina meddelanden

Tentamen i matematisk statistik

Leif Abrahamsson. Uppsala Universitet

Har vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart.

L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1

Laborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth

Webb-bidrag. Sök bidrag på webben Gäller från

ELEV- HANDLEDNING (Ansökan via webben)

Kombinatorik. Torbjörn Tambour 21 mars 2015

Bered en buffertlösning. Niklas Dahrén

Linjära system av differentialekvationer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

Att koda en magnetremsa i plastkortskrivare med inbyggd magnetkodare.

Skriva B gammalt nationellt prov

Felanmälan eller Arbetsorder

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan den 27:e augusti.

Något om permutationer

Exempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1

Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Måndag 30 mars 2015 Skrivtid: 8:15-10:00

Program Handledning Förutsättningar: Träningar Teori

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr

Två konstiga klockor

1. Frekvensfunktionen nedan är given. (3p)

Hur du arbetar med VFU-portfölj i Mondo. en lathund för student

Mätning av effekter. Vad är elektrisk effekt? Vad är aktiv-, skenbar- reaktiv- medel- och direkteffekt samt effektfaktor?

Efter att du har installerat ExyPlus Office med tillhörande kartpaket börjar du med att göra följande inställningar:

Sammanfattning på lättläst svenska

Manual. Rapportera väntetider i systemet Utbudstjänst SLL

Vad är en webbläsare?

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

Administration Excelimport

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

Texturbild. Lagerpaletten du kommer arbeta med ser du till höger. 1. Kopiera bakgrunden till ett nytt lager och gör den svartvit.

Invisible Friend Senast uppdaterad

Transkript:

Uppsala Uiversie Ordiära differeialevaioer Maemaisa isiuioe Vårermie 1996 Aders Källsröm Uppdaerad 00 03 14 INNEHÅLL 1 Lijära sysem av ODE 1 Variaio av paramerar 3 3 Lijära sysem med osaa oefficieer 4 4 Beräig av e A 5 5 Wrosi-deermiae 8 Lå 1 LINJÄRA SYSTEM AV ODE x 1 x x vara e fuio R R sam a 11 a 1 A a 1 a e -maris, vars eleme är oiuerliga fuioer Defiiio 1 E lijär homoge sysem är av forme 1 x Ax E lijär ihomoge sysem är av forme x Ax + b där b är e give veorfuio R R Sas 1 Huvudsas för lijära sysem Lå L {x C 1 ; x Ax} vara mägde av lösigar ill 1 Då gäller a L är e lijär rum b diml Bevis: a lå x 1, x L Då fås om w c 1 x 1 + c x, w c 1 x 1 + c x c 1 Ax 1 + c Ax Ac 1 x 1 + c x w Aw w L b Lå e 1,,e vara e bas i R Elig exisessase fis e eydig lösig ill begyelsevärdesprobleme { x Ax 3 x0 e i

för varje i 1,, Kalla lösige ill 3 för w i Pås: w 1,,w ugör e bas för L Vi måse visa a 1 w 1,,w är lijär oberoede och w 1,,w späer upp L 1 Aag a c 1 w 1 + + c w 0 för alla Speciell är för 0 c 1 e 1 + + c e 0 Me e 1,,e är lijär oberoede vile ger a c 1 c 0 Allså är w 1,,w lijär oberoede Lå x Ax De fis al α 1,,α så a x0 α 1 e 1 + + α e Vi säer y x α 1 w 1 α w Då gäller elig a i sase a y Ay sam y0 0 Me då följer av eydighessase för lösigar ill begyelsevärdesprobleme a y 0 för alla Allså är x α 1 w 1 + + α w, vile visar Därmed är b bevisad Defiiio E bas w 1,,w i L allas e fudamealsysem ill 1 Sas Sruursas för lösigar ill Varje lösig ill är av forme 4 x x H + x P, där x H är e lösig ill 1 och x P är e fix lösig ill pariulärlösig Bevis: Varje x av forme 4 är e lösig ill y x x H + x P Ax H + Ax P + b Ax H + x P + b Ax + b Omvä, lå x P vara e fix lösig ill och x e godyclig aa lösig Då blir x x P x x P Ax + b Ax P + b Ax x P dvs x x P är e lösig x H ill 1 Allså följer a x x H + x P Lå w 1,,w vara e fudamealsysem av lösigar ill 1 såda a w i 0 e i, i 1,,, där e 1,,e är sadardbase i R Lå Φ vara de -maris vars oloer ugörs av w 1,,w, 5 Φ w 1 w

Dea maris allas e fudamealmaris ill 1 Efersom oloera är lijär oberoede så har Φ rag oberoede av, dvs Φ är ivererbar för varje Vidare ser ma Φ w 1 w Aw 1 Aw A w 1 w där de sisa produe är e marisprodu Vidare är Φ0 e 1 e E Φ uppfyller således 6 { Φ AΦ Φ0 E ehesmaris Om ma har fui e lösig ill 6 så har vi ocså fullsädig lös 1 Lå ämlige c c 1 c vara e veor i R Sä x Φc De följer a sam x Φ c AΦc Ax x0 Φ0c Ec c, dvs x är e lösig ill 1 med begyelsevärde c 3 Aag a vi vill lösa sam a vi reda har lös VARIATION AV PARAMETRAR x Ax + b x Ax fullsädig Vi äer då e fudamealmaris Φ ill 1 och de allmäa lösige ill 1 är av forme 7 x H Φc där c är e godyclig veor i R Vi asäer u e lösig ill av forme 8 x Φc

4 där c är e sö veorfuio Vi får x Φ c + Φc AΦc + Φc Ax + Φc Vi ser a x är e lösig ill Φc b Me Φ är e fudamealmaris, allså ivererbar, och vi får c Φ 1 b Iegraio ger Isäig i 8 ger seda a vile är de allmäa lösige ill c c + Z Φs 1 bsds, c osa x Φc + ΦZ Φs 1 bsds 3 LINJÄRA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Om a 11 a 1 A a 1 a är e osa maris säges ha osaa oefficieer Beraa { x Ax 9 x0 c där A är e osa maris Dea sysem är evivale med x c + Z 0 Axs ds Picards meod med successiv approximaio ger följde x 0 c x 1 c +Ac E +Ac x c +Ac + A c E +A + A c x c +Ac + + A! c A c! När overgerar dea mo e lösig x Φc där Φ är e fudamealmaris ill 9 Formell blir allså A Φ lim! I aalogi med MacLauri-uveclige av e x a vi allså sriva fudamealmarise 10 Φ e A

5 Ma a visa a dea fuio har de valiga egesapera hos e exp-fuio e A e sa e +sa e 0A E e A e A e A 1 e A me e A e B e A+B gäller i allmähe bara om AB BA De allmäa lösige ill 9 a u srivas 11 x e A c, c R 4 BERÄKNING AV e A Vi börjar med e eel fall då ma a beräa e A dire ur poesseriedefiiioe Aag a A är e diagoalmaris λ 1 0 0 0 λ 0 A diagλ 1,λ,,λ 0 0 λ Poesera av dea maris är läa a beräa Då följer a A diagλ 1,λ,,λ, 0,1,, e A diag λ 1!, λ!,, λ! 0 0 0 e λ 0 0 0 e λ Nu aar vi a A är diagoaliserbar, dvs a de fis e diagoalmaris D och e ivererbar maris P så a A PDP 1 Här är då elemee i D:s diagoal egevärdea för A, och oloera i P är mosvarade egeveorer Poesera av A a srivas om på följade sä A PDP 1 PDP 1 PDP 1 PDP 1 PDP 1 P P 1 PDP 1 PDD DP 1 PD P 1 Beräige av e A går då ill så här e A! A! PD P 1 P! D P 1 Pe D P 1 0 0 0 e 0 0 0 Exempel 1 Om A 0 1 0 0 0 0 3 0, så blir ea 0 e 0 0 0 0 e 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 e λ 1

6 Exempel Beräa e A 1 då A 1 Lösig: Marise är symmeris, så ma ve a de är diagoaliserbar och a rasformaiosmarise P a ill och med väljas orogoal Karaerisisa evaioe för A är λ 4λ + 3 0 och egevärdea är allså λ 1 1, λ 3 Mosvarade egeveorer a as som u 1 1, 1/, u 1,1/ Om P har dessa veorer som oloer blir P 1 P T Vi får e A Pe D P T 1 1 1 e 0 1 1 1 1 1 0 e 3 1 1 1 e e 3 1 1 e e 3 1 e + e 3 e + e 3 1 1 e + e 3 e + e 3 e 1 1 + e3 1 1 1 1 1 1 Exempel 3 Samma uppgif för A 1 1 0 1 Lösig: Marise har egevärdea,1, 1 Efersom de har re silda egevärde är de säer diagoaliserbar Egeveorer är u 1 1,1,0, u 1, u 3 1,0,1 Ma får orollera räigara e A Pe D P 1 1 1 1 0 e 0 0 0 e 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 e 1 1 0 1 e 1 + e + e 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 λ 1 Exempel 4 E exempel på e ice-diagoaliserbar maris ges av A Om vi räar 0 λ u ågra poeser fier vi A λ λ 0 λ, A 3 λ 3 3λ 0 λ 3, allmä A λ λ 1 0 λ De sisa formel a ma beräfa med e iduiosbevis Ma får då e A λ λ 1 e λ e λ! 0 λ 0 e λ I räigara aväder ma a! λ 1 1 1! λ 1 +1! λ! λ e λ Som exempel 4 visar, a de bli gasa råglig om A har mulipla egevärde Vi avsår i dea framsällig frå a behadla dea fall fullsädig och hävisar ill mer djuplodade lieraur Däremo ar vi med e exempel på hur de a gå är ma har omplexa egevärde Förs påmier vi om Eulers formler: och formlera e ib cosb + isib e ib cosb isib cosb eib + e ib sib eib e ib i i 1 i, ea+ib e a cosb + isib

7 0 1 Exempel 5 Lå A Egevärdea är ±i Mosvarade egeveorer besäms För 1 0 λ 1 i får vi evaiossyseme i 1 1 1 0 1 i 0 0 0 0 med e lösig u 0 1 i,1 och på liade sä fier vi u i,1 Vi får i i P, P 1 1 1 1 i 1 ; e i 1 A e i 0 P 0 e i P 1 1 e i + e i ie i + ie i cos si ie i ie i e i + e i si cos I mer omplicerade fall ä så här gör ma lo i a alia räehjälpmedel Maple, Derive ec För de iresserade ayds här doc, ua bevis, e mer djupsiig meod som iblad a avädas Vi sa u se hur ma a beräa f A i de fall då f är e aalyis fuio För bevise hävisas ill läroböcer i fuioalaalys Lå A vara e -maris med araerisis evaio 1 pλ dea λe 0 Dea har s röer Aag a dessa är λ 1,,λ med muliplicie m 1,,m respeive där de gäller a m 1 + + m För a beräa f A asäer vi e polyom 13 gλ c 0 + c 1 λ + + c 1 λ 1 av grad 1 Koefficieera c 0,,c 1 besäms av a fuioe f λ gλ sall ha ollsälle λ 1,,λ med muliplicie m 1,,m Dea besämmer oefficieera eydig Marise f A ges u av polyome ga, dvs f A ga c 0 E + c 1 A + + c 1 A 1 1 Exempel 6 A pλ 1 1 λ { 1 λ λ1 1 λ 3 Asä gλ c 0 + c 1 λ För a beräa e A väljs f λ e λ varur fås och vi får ill slu λ 1 ollsälle ill f λ gλ e c 0 c 1 λ 3 ollsälle ill f λ gλ e 3 c 0 + 3c 1 c 1 1 4 e A c 0 E + c 1 A c 0 1 0 0 1 c0 + c 1 c 1 c 1 c 0 + c 1 e 3 e c 0 1 4 e3 + 3 4 e 1 + c 1 1 1 e 3 + e 1 1 e 3 e 1 e 3 e e 3 + e 0 1 Exempel 7 A 1 0 Beräa e A Här väljer vi f λ e λ Dea ger a pλ λ 1 { 1 λ λ1 i λ i

8 Asä gλ c 0 + c 1 λ Dea ger λ 1 1 e i c 0 + c 1 i λ 1 e i c 0 c 1 i e A c0 c c E + c 1 A 1 c 1 c 0 } c 0 1 ei + e i cos c 1 1 ei e i si cos si si cos 1 1 Exempel 8 A 0 1 beräa A 100 Vi väljer f λ λ 100 pλ 1 λ 1 0 1 λ λ 1 λ 1 dubbelro Asä gλ c 0 + c 1 λ λ 1 dubbelro ill λ 100 c 0 c 1 λ ger { { 1 c0 + c 1 c0 99 100 c 1 c 1 100 vile ger a A 100 c0 + c c 0 E + c 1 A 1 c 1 1 100 0 c 0 + c 1 0 1 5 WRONSKI-DETERMINANTEN Lå w 1,,w vara e fudamealsysem ill 1 Sä W deφ dew 1,,w Dea deermia allas Wrosi-deermiae ill fudamealsyseme w 1,,w Sas 3 Liouvilles formel De gäller 14 W W 0 e R 0 rasds ra a 11 + a + + a är de så allade spåre eg race ill marise A där Bevis: Derivaa av e deermia fås med hjälp av regel för deriverig av e produ ill w 11 w 1 w 1 w 11 w 1 w 1 W w 1 w 1 w w 11 w 1 w 1 w 1 + + + w 1 w w w 1 w w w 1 w w

9 där w i w i1 w i Om vi beraar de :e ompoee av evaioe w i Aw i ser vi a w i a jw i j j1 Dea ger a w 11 w 1 w 1 w 1 w a j j1 w 1 w Om j så är deermiae 0 y vå rader är lia Om j så är deermiae W Dea ger isa i evaioe ova w 11 w 1 w 1 w 1 j w j w 1 w rad W a 11 W + a W + + a W Om vi iegrerar dea differeialevaio för W fås formel 14 1 a W Amärig: Formel 14 visar a om W 0 i e pu 0 så är W 0 överall Dea visar a för e godyclig fudamealsysem w 1,,w så är marise Φ w 1 w ivererbar Dea ises aurligvis ocså av de faum a rage för Φ är