LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4 x och linjen genom, och, har ekvationen y. y x + y 0 0 y y 4 x Området ges alltså av {x, y; y, y x 4 y}. ubbelintegralen blir alltså vi integrerar i x-led först 4 y [ y x4 y xy + y dx dy xy + y dx dy x + yx] dy y x xy y y 4 y + y4 y y + yy dy y 6 + y 8y + 4y y 8y + y 4y + 4y y 8y + y 4y + 4y y y y y + 4 4y + y y dy y + y y + y y dy y + y y + y dy 4y + y dy [ 4 ] y y + 6y 6 + 54 4 + 6 40.. a Bemärk att variabelbytet är bijektivt och att {x, y; y > 0} svarar mot {u, v; v > 0}. Kedjeregeln ger f x f x f u u x + f v v x f u + f v e x y f u + e x y f v, y
och Insättning ger då f y f y f u u y + f v v y f u 0 + f v e x e x f v. f x y f y f u + e x y f v y e x f v f u. ifferentialekvationen transformeras alltså till f u x u. etta ger fu, v u + ϕv, där ϕ: ]0, [ R är en godtycklig deriverbar funktion i en variabel. Övergång til x, y ger då fx, y x + ϕe x y. b Från a fås Alltså gäller för alla x: fx, x + ϕe x x + ϕe x. fx, 0 x + ϕe x 0 ϕe x x. Med t e x fås x lnt vilket ger ϕt lnt, t 0. Funktionen fx, y x + ϕe x y x lne x y x x + lny lny x + lny är alltså den sökta lösningen.. a Vi börjar med att rita kurvan γ. y 5 4 γ 0 0 x
Kurvan γ har parametriseringen { x t, y 5 t, t :, så kurvintegralen blir xy dx + x dy γ t 5 t + t t dt 5t t 6t dt [ 5 t ] t 4 t4 t 0 4 6 0 4 6. b Metod : Vi testar om det finns en potentialfunktion. Om Ux, y är en potentialfunktion gäller U x x y + x e xy U, och y x e xy. en andra ekvationen ger Ux, y x e xy dy x e xy + ϕx, där ϕ: R R är en godtycklig deriverbar funktion i en variabel. en första ekvationen ger nu x y + x e xy U x x exy + x e xy y + ϕ x, dvs. ϕ x 0. Alltså är ϕ konstant och Ux, y x e xy är en potentialfunktion. Kurvintegralen är därför x y + x e xy dx + x e xy dy U, U, γ Metod : Med P x y + x e xy och Q x e xy gäller e e 4 e e. t och Q x x e xy + x e xy y x + x y e xy, P y x e xy + x y + x e xy x x + x y + x e xy x + x y e xy,
så Q P. å P och Q är definierade på x y R som är enkelt sammanhängande finns alltså en potentialfunktion och vektorfältet P, Q är vägoberoende. Om γ är linjestycket från, till, gäller alltså P dx + Q dy P dx + Q dy. γ γ Kurvan γ har parametriseringen { x t, Kurvintegralen blir därför P dx + Q dy γ y, t :. t + t e t + t e t 0 dt t + t e t dt. Partialintegration ger t + t e t dt t + t e t t + e t dt t + t e t t + e t Alltså gäller t + t e t t + e t + e t + C t e t + C. e t dt t + t e t dt [ t e t] t t 4e 4e 4 e e. 4. a Funktionen f är kontinuerlig och området {x, y; x + y } är kompakt, så största och minsta värden existerar. Funktionen f är differentierbar på R och grad fx, y x, y. å x, y 0, 0 x, y 0, 0 är 0, 0 det enda stationära punkt för f. å 0, 0 / ty 0 + 0 4 antas största och minsta värden på randen av. Vi kan bestämma dessa på olika sätt. Metod : Randen av är en cirkel med medelpunkt, 0 och radie. Vi har parametriseringen { x + cosϕ, y sinϕ, 4
vilket ger ifferentiation ger Alltså gäller gϕ f + cosϕ, sinϕ + cosϕ sin ϕ. g ϕ + cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ sinϕ + cosϕ + cosϕ sinϕ + cosϕ 4 sinϕ + cosϕ. g ϕ 0 sinϕ 0 eller cosϕ sinϕ 0 då cosϕ implicerar sinϕ 0. etta svarer mot punkterna x, y, 0 och x, y, 0. å f, 0 och f, 0 9 är största värden 9 och minsta värden är. Metod : Man kan också bestämma maximum och minimum på randen av genom att uppfatta randen som ett bivillkor. Med gx, y x +y beskrivs randen av gx, y. å g är differentierbar på R antas maximum och minimum för f i punkter x, y på randen så att grad fx, y och grad gx, y är parallella. å grad gx, y x, y blir grad fx, y och grad gx, y parallella precis när determinanten x x y y 4xy + 4x y 4yx + x 4yx 8yx blir 0. Vi har alltså y 0 eller x. å x, y ligger på randen av gäller också x + y. Fallet y 0 ger då x, dvs. x ± varav x eller x. Fallet x ger y 0, dvs. y 0. Vi får alltså punkterna x, y, 0 och x, y, 0. å f, 0 och f, 0 9 är största värden 9 och minsta värden är. Metod : På randen av gäller x + y, varav Insättning ger y x x + 4 4x x + 4x. gx fx, y x y x x + 4x x 4x +. Randen av är en cirkel med medelpunkt, 0 och radie, så x. å g x 0 4x 4 0 x inte är ett inre punkt i intervallet [, ], antar g maximum och minimum i ändpunkterna. å g och g 9 är största värden 9 och minsta värden är. 5
b Låt {x, y; x 4 +y 4 }. å är kompakt existerar största och minsta värden. en stationära punkten 0, 0 tillhör och f0, 0 0. Randen av behandlas enklast som ett bivillkor. Med gx, y x 4 + y 4 ges randen av gx, y. å g är differentierbar på R antas maximum och minimum för f i punkter x, y på randen så att grad fx, y och grad gx, y är parallella. å grad gx, y 4x, 4y blir grad fx, y och grad gx, y parallella precis när determinanten x 4x y 4y 8xy + 8x y 8xy x + y blir 0. Vi har 8xy x + y 0 x 0 eller y 0 eller x + y 0 x 0 eller y 0 eller x, y 0, 0 x 0 eller y 0. På randen gäller x 4 + y 4, så fallet x 0 ger y ± och fallet y 0 ger x ±. Vi får alltså de fyra punkterna x, y 0, ± och x, y ±, 0. Funktionsvärden blir f0, ± och f±, 0, så maximum för f är och minimum är. 5. a Med fx, y x + xy gäller f, +, så punkten,, ligger på grafytan. å f xx, y x+y och f yx, y x fås f x, + och f y,. Tangentplanet blir alltså z x + y z x + y. b En sådan punkt P måste ha formen P : a, b, a +ab. Tangentplanet i P har ekvationen jämför deluppgift a z a + ab a + b x a + a y b. å både 0,, 0 och, 0, ligger på tangentplanet fås 0 a + ab a + b 0 a + a b, a + ab a + b a + a 0 b. Subtraheras ekvation från ekvation fås a + b + a b a +. 6
Insättning i ger då a aa + a + a + a + a a + a a a a + a + a a a a a a + a a a a 0 aa 0 a 0 eller a. Punkten P är alltså 0,, 0 eller,,. 6. a Sfärens ekvation är x a + y b + z c r. b Vi väljar ett positivt orienterad ortonormerad koordinatsystem sådan att klotens medelpunkter är 0, 0, 0 och 0, 0, 6. Klotens ekvationer är då K : x + y + z 5 och K : x + y + z 6 5. Låt K vara skärningen av K och K. Figur : Kloten K och K Figur : Kroppen K Metod : Vi beräknar volymen av K genom att indela K i lodräta staplar parallella med z-axeln. Projektionen av K på xy-planet är en cirkelskiva, och kroppen K ges av fx, y z gx, y, x, y, där fx, y anger undra delen av K och gx, y anger övra delen av K. Vi har x + y + z 6 5 z 6 ± 5 x y, så fx, y 6 5 x y. På samma sätt gäller x + y + z 5 z ± 5 x y, 7
så gx, y 5 x y. Cirkelskivan ges av fx, y gx, y 6 5 x y 5 x y 6 5 x y 5 x y 9 5 x y x + y 6, så är cirkelskivan med medelpunkt 0, 0 och radien 4. Volymen blir därför gx, y fx, y dx dy 5 x y 6 5 x y dx dy 5 x y 6 dx dy. Med polära koordinater x r cosϕ, y r sinϕ, svarar mot området E {r, ϕ; 0 r 4, 0 ϕ π}, så 5 x y 6 dx dy E π 0 5 r 6 r dr dϕ 4 dϕ 0 r 5 r 6r dr π [ ] r4 5 r / r r0 π 9/ 48 5/ π 8 48 + 50 04π. Metod : Vi indelar K i vågräta skivor. För x, y, z K gäller 5 z 5 och för x, y, z K gäller z 6 5, dvs. z. För x, y, z K gäller alltså z 5. För varje sådant z blir den motsvarende vågräta skiva en cirkelskiva vars radie ges av x + y + z 6 5 för z och av x + y + z 5 för z 5. Vi har alltså r 5 z 6 för z och r 5 z för z 5. å cirkelskivans area är 8
πr blir volymen alltså π 5 z 6 dz + 5 π 5 z dz π [5z ] z z 6 z + π [5z ] z5 z z π 75 + 9 5 + 5 + π 5 5 75 9 5π + 5π 04π. Anmärkning: Av symmetriskäl är det klart att de två integralerna ovan har samma värde, de anger ju volymen av undre hälften respektiva övre hälften av K. Vi kunde alltså ha sparat hälften av beräkningarna! 9