Föreläsning 2 Olinjära system (11, 121) Introduktion Vad menas med ett olinjärt system? Betrakta ett system där insignalerna u 1 (t) och u 2 (t) ger utsignalerna y 1 (t) respektive y 2 (t), d v s och u 1 (t) y 1 (t) u 2 (t) y 2 (t) Ett system är linjärt om följande två egenskaper gäller cu 1 (t) cy 1 (t) u 1 (t) + u 2 (t) y 1 (t) + y 2 (t) annars är det olinjärt Exempel: (Olinjärt system I, termostat) { a u 0 y = 0 u < 0 Exempel: (Olinjärt system II, kropp påverkad av luftmotstånd) Hastighet v(t), kraft F(t) Kraftbalans: m v(t) = F(t) cv 2 (t) Antag konstant kraft F(t) = F 0 I stationaritet gäller v(t) = v 0 och v(t) = 0 Detta ger F0 v 0 = c En fördubbling av krafter ger ej en fördubbling av hastigheten 6
Stationära punkter (114) Antag u(t) = 0 ẋ(t) = f(x(t), u(t)) y(t) = h(x(t)) Antag att ett system startar i tillståndet x(0) vid t = 0 Vad sker med x(t) då t? Intuitivt: x(t) bör gå mot någon punkt x 0 Följdfråga: Vad krävs av en sådan punkt? Svar: ẋ(t) = 0 då x(t) = x 0 Definition: En stationär punkt (jämviktspunkt, singulär punkt) x 0 uppfyller f(x 0 ) = 0 Linjärt asymptotiskt stabilt system: Ax 0 = 0 Samtliga egenvärden till A ligger i VHP x 0 = 0 är den enda lösningen Olinjärt: Ekvationen f(x 0 ) = 0 kan ha flera lösningar, d v s det kan finnas flera stationära punkter 7
Exempel: (Pendel) ger lösningen x 2 = 0 Detta ger vilket ger lösningarna x 1 = nπ ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = g sin x 1 cx 2 0 < c < 1 f 1 = x 2 = 0 f 2 = gsinx 1 = 0 Bortsett från multiplar fås två stationära punkter: Stillastående rakt uppåt x 1 = π, x 2 = 0 och stillastående rakt nedåt x 1 = 0, x 2 = 0 Antag u(t) = u 0 0: Definition: En stationär punkt x 0, u 0 uppfyller f(x 0, u 0 ) = 0 8
Stabilitet (121) Definition: Punkten x 0 är asymptotiskt stabil om x(t) x 0 för alla x(0) i en omgivning till x 0 Definition: Punkten x 0 är globalt asymptotiskt stabil om x(t) x 0 för alla x(0) Antag u(t) = u 0 0: Definition: Punkten x 0, u 0 är asymptotiskt stabil om x(t) x 0 för alla x(0) i en omgivning till x 0 då u(t) = u 0 Hur undersöker vi om en stationär punkt är asymptotiskt stabil? Linjärisering (114) Ett olinjärt system ẋ(t) = f(x(t), u(t)) y(t) = h(x(t)) kan i närheten av en stationär punkt (x 0, u 0 ) approximeras med ett linjärt system Idé: Taylorutveckla f och h Inför: x(t) = x(t) x 0 u(t) = u(t) u 0 d v s y(t) = y(t) y 0 x(t) = x 0 + x(t) u(t) = u 0 + u(t) y(t) = y 0 + y(t) 9
f(x, u) = f(x 0, u 0 )+f x (x 0, u 0 ) x(t)+f u (x 0, u 0 ) u(t)+högre ordningens termer där A = B = u u x=x 0,u=u 0 x=x 0,u=u 0 C = ( h h )x=x 0,u=u 0 Försumma högre ordningens termer Bilda en linjär modell med x(t) som tillstånd, u(t) som insignal och y(t) som utsignal Detta ger x(t) = ẋ(t) d dt x 0 = A x(t) + B u(t) och y(t) = C x(t) Exempel: (Pendel) Uppåt: Nedåt: A = A = x=(π,0) x=(π,0) = = ( 0 1 g c ( 0 1 g c Stabiliteten hos det linjäriserade systemet ges av egenvärdena till matrisen A ) ) 10
Vad säger dessa egenvärden om stabiliteten hos motsvarande stationära punkt? Sats: Samtliga egenvärden till A ligger strikt i VHP (x 0, u 0 ) är en asymptotiskt stabil stationär punkt Sats: Något egenvärden till A ligger i HHP (x 0, u 0 ) är en instabil stationär punkt A har egenvärden på Im-axeln både stabilitet och instabilitet kan inträffa Exempel: (Pendel) Egenvärdena ges av ekvationen det(λi A) = 0 vilket ger i uppåtläget: d v s en lösning i HHP I nedåtläget λ 2 + cλ g = 0 λ = c c 2 ± 2 4 + g λ 2 + cλ + g = 0 λ = c 2 ± c 2 d v s båda egenvärdena ligger i VHP 4 g Global asymptotisk stabilitet kan i gynnsamma fall avgöras med s k lyapunovfunktioner 11