9 Stabilitet för energifria LTI-system Marginellt stabilt system: De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler Kap 2, bild 4 h t h( t) dt /< < t gäller för marginellt stabila LTI-system H(s) har minst en enkelpol på j -axeln j -axeln utgör en rand till konvergensområdet för H(s) H(s) har minst lika många poler som nollställen H ( ) = H ( s) s= j,s pol
0 Stabilitet för energifria LTI-system Instabilt system: Ingen begränsad nollskild insignal kan ge upphov till en begränsad utsignal Kap 2, bild 4 h t h( t) dt /< /< t gäller för instabila LTI-system j -axeln ligger inte i konvergensområdet för H(s) eller j -axeln utgör en rand till konvergensområdet för H(s) och H(s) har en minst en multipelpol på j -axeln H ( ) existerar inte
Systemsammankopplingar kap. 4.5 Kaskadkoppling W ( s ) Y ( s ) H ( s) H 2 ( s ) = X s OBS: gäller bara om system H 2 inte belastar system H! Återkoppling Y ( s ) ( s) X s H tot H tot ( s) = H ( s)h 2 ( s) X ( s) E ( s ) + H ( s) H 2 ( s) Y ( s) = X ( s) H tot ( s) = H tot ( s) Y ( s) H s + H ( s)h 2 s Används vanligen för stabilisering/reglering av system samt för att göra det totala systemet tåligare mot parametervariationer (se även kap. 4.7)
2 Kretsberäkningar, linjära RLMC-nät METODIK, beräkna godtycklig nätspänning / -ström: Steg 3 = Gör om nätet till ekvivalent operatorschema ) L{ } e(t) i 0 (t) E(s) I 0 (s) Om nätförändringar sker vid t = t 0 ( här antas t 0 = 0 ) källor som inkopplade vid t = t 0 L x( t t 0 )u t t 0 2) { } = X s Betrakta alla e st 0 i(t) I(s) Ändra v(t) V(s) beteckningar
3 Kretsberäkningar, forts 3) Ersätt passiva nätelement med komplexa impedanser: i(t) R v(t) v ( t) = R i ( t) V ( s ) = R I( s) I(s) R V(s) i(t) L v(t) = L di ( t ) v t dt V ( s) = sl I( s) L i ( 0 ) I(s) sl V(s) L i(0 ) L i(0 ) motsvarar en impulsformad spänning L { } = K δ ( t) med styrkan L i(0 ) i tidsplanet ( K ): L i(0 ) t
3) forts. i(t) v(t) C 4 Kretsberäkningar, forts = C dv ( t ) i t dt V ( s) = sc I( s) + v 0 s v(0 )/s motsvarar en stegformad spänning med höjden v(0 ) i tidsplanet ( L { K } = K u t s ): I(s) v(0 ) sc V(s) v(0 ) s t 4) Likströmsteori Sökt storhets laplacetransform ( Y(s) ) 5) Inverstransformera Sökt storhets tidsuttryck ( y(t) = L { Y(s) } )
5 Frekvenssignaler & LTI-system Stabilt energifritt LTI-system Stationär cos/sin in: = C cos( 0 t + θ ) x t ( X ( s) ) H(s) H() y ( t) =C H ( 0 ) cos 0 t + θ + argh ( 0 ) = H ( s) s= j H Högersidig cos/sin in nedan antas även h(t) vara högersidigt: x( t) = C cos( y ( t) = y 0 ( t)! + y zs t 0 t + θ )u( t t 0 ) =0 här där y zs ( t) = x( t) h t = y n ( t ) + y φ ( t) = L X s { H ( s) } Ofta är man dock främst intresserad av den stationära y φ ( t)-termen ( Steady-state component ): y φ ( t) = C H ( 0 ) cos( 0 t + θ + argh ( 0 ))u( t t ) Stabilt system y n ( t) är en transient term, lim t y n ( t) = 0 (Gäller även vid stationär cos/sin in)
6 H() & arg H() från pol-nollställevektorer H ( ) = H ( s) = s= j ( j n K )( j n 2 )! j n M ( j p )( j p 2 )! j p N H ( ) e j argh ( ) K Exempel: r = K e jφ r 2 e jφ 2! r M e jφ M d e jθ d 2 e jθ 2! d N e jθ N φ 2 r 2 j j r K r 2! r M d d 2! d N d θ d 2 θ 2 r φ σ argk + φ + φ 2 +!+ φ M θ + θ 2 +!+ θ N d 3 θ 3 r 3 Låt : 0 φ 3
7 Amplitud- och fasbidrag från enskilda poler/nollställen Inverkan från nollställe i s 0 = -α ± j 0 : H(s 0 ) = 0, ett nollställe undertrycker H(s) i sin omgivning Nära nollställen: H() har lokala minima & d d argh ökar φ j 0 H ( ) r j argh ( ) π α r 0 φ 2
8 Amplitud- och fasbidrag från enskilda poler/nollställen Inverkan från pol i s 0 = -α ± j 0 : H(s 0 ) =, en pol höjer upp H(s) i sin omgivning d argh Nära poler: H() har lokala maxima & d minskar θ d j 0 j H ( ) argh ( ) α d 0 π θ 2
9 Frekvensselektiva filter Frekvensselektiv filtrering: x(t) = cos( 0 t) y(t) = H( 0 ) cos( 0 t + arg H( 0 )) H( ) Amplitudnormerat filter: H( ) max = H max H max Motsvarar 3 db 2 2 ; undre gränsvinkelfrekvens 2 ; övre gränsvinkelfrekvens 2 ; bandbredden Ofta studeras H( ) db = 20 0 log H( ) db Spärrband Passband Spärrband
20 Olika frekvensselektiva filtertyper Lågpass (LP) H( ) Idealt H( ) Högpass (HP) Approximation Approx. Idealt p p H( ) Bandpass (BP) Idealt H( ) Bandspärr (BS) Approx. Approx. p2 Idealt p p2 p
2 Butterworthfilter (LP-filter) Poler hos H(s) längs en halvcirkel: p j p π N Poler: p k = p e π j 2 + π N k 2 2 H ( ) k =,3,5,,2N j p p = 3 db-gränsvinkelfrekvensen p H ( s) = p N s N + a s N +! + a N s + p N a i erhålls vanligen från tabell eller genom utveckling av (s p )(s p 3 ) (s p 2N ) H ( ) = + p 2N
22 Butterworthfilter (LP-filter) [db] H( ) db p s Butterworthfilter har maximalt flat amplitudkaraktäristik i passbandet! A p = 3 Butt.filter ger bästa möjliga passbands-approximationen A s n = 3 j p j p n = 5 j p j p
23 Chebyshev I-filter [db] H( ) db p s Rippel ( A p db ) i passbandet! Optimalt m.a.p. brantheten i A p = 3 övergångsbandet p s Polerna hos H(s) ligger längs en halv-ellips i VHP A s j p H(s) n = 4 n = 3 j p
24 Matlabdemo Butterworth- & Chebyshevfilter:
25 Typiska HP- & BP-filter Högpassfilter H HP ( s) Bandpassfilter j 0 H BP ( s) j p (4) (4) j p K = H HP ( ) H BP ( ) j 0 2 2 p p p2 0
26 Analys m.h.a. dubbelsidig laplacetransform Energifritt LTI-system y ( zs t ) = x t x t h(t), H(s) Y ( zs s ) = X s X s h t H s (y 0 (t) = 0) Om x(t) är icke-kausal ( x(t<0) 0 ) och/eller systemet är icke-kausalt ( h(t<0) 0 ) så används den dubbelsidiga laplacetransformen! Håll koll på konvergensområdet använd korrekt transformpar!! Repetera läs själv i Kap. 4.! OBS tänk på: För ett stabilt LTI-system ingår j-axeln i konv.området för H(s) om systemet är icke-kausalt, så har H(s) minst en pol i höger halvplan