ENVARIABELANALYS, DEL 2 TOMAS SJÖDIN

ENVARIABELANALYS, DEL 2 TOMAS SJÖDIN Dett är tänkt tt vr en smmnfttning v det jg nser vr den viktigste teorin i kursen. Ing exempel ges, och det är inte lls tänkt tt på något vis vr ett substitut för kursboken. Även om jg försökt så gott som möjligt tt korrekturläs mterilet kn det givetvis nns typogrsk fel eller ndr otydligheter i dett häfte (om ni hittr någr är jg tcksm om ni säger till)! 0. Förkunskper och beteckningr Främst behöver mn kunn räkn med derivtor och integrler (så om ord som kedjeregeln, produktregeln, primitiv funktion, prtiell integrtion eller vribelbyten inte känns beknt är det läge tt repeter envribel 1). Nu sk vi br repeter lite nottion. Främst kommer vi jobb i R, men först kpitlet vi sk tl om hndlr mycket om mängder i R 2 och R 3, så därför är jg här lite llmännre än vi vrit tidigre. En mängd M R n är en väldenierd smling punkter (element) i R n. Om M 1, M 2 är mängder i R n så denierr vi: M 1 M 2 : M 1 är en delmängd till M 2, om vrje punkt i M 1 också ligger i M 2, M 1 M 2 : M 1 snitt M 2, mängden v punkter som ligger i både M 1 och M 2, M 1 M 2 : M 1 union M 2, mängden v punkter som ligger i minst ett v M 1 eller M 2, M 1 \ M 2 : M 1 minus M 2, mängden v punkter som ligger i M 1 men inte i M 2. Vi skriver också y M : y tillhör M, eller y är en punkt i M. (Observer tt R n själv är en mängd). Knske rätt självklrt, men två mängder sägs vr lik om de innehåller smm element. Den tomm mängden är mängden som inte hr någr element lls, och beteckns. Iblnd hr mn er mängder M 1, M 2,..., M k, och då skriver vi också: k k M j = M 1 M 2... M k, M j = M 1 M 2... M k. j=1 Oft beteckns mängder på följnde sätt: j=1 {x R n : P (x)} = {x : P (x)}, som står för mängden v de x i R n som uppfyller villkoret P (x) (det senre skrivsättet nvänds då dimensionen är underförstådd). T.ex. {x R 2 : x = 1} är helt enkelt enhetscirkeln i plnet, och [, b] = {x R : x b}. Om en mängd är ändlig skriver mn oft också {x 1, x 2,..., x k }, där x i : är elementen i mängden. Funktioner: En funktion f från en mängd M R n till en mängd N R m är en regel som för vrje x M ger exkt ett värde f(x) N, vi skriver f : M N. M klls för denitionsmängden till f, och beteckns även D f. OBS! Om vi får ett funktionsuttryck och D f inte nges explicit är det underförstått tt det är den störst mängden där uttrycket är meningsfullt. Vi säger också tt f är v typ R n R m när vi inte orkr nge D f explicit. I nästn ll fll kommer vi t N = R m, för oftst spelr det ingen roll om vi gör denn mängd lite större. Följnde begrepp är också nvändbr iblnd. En funktion f : M N som ovn sägs vr: injektiv om det för vrje pr, b M, b gäller tt f() f(b). 1

2 TOMAS SJÖDIN surjektiv om det för vrje y N nns (minst) ett x M med y = f(x). bijektiv om den är både injektiv och surjektiv. Värdemängden V f till f är mängden v ll punkter y R m sådn tt det nns x D f med y = f(x). 1. Föreläsning 13: Tylor- och Mclurinutvecklingr Nedn är funktionen f(x) denierd i någon omgivning till punkten R, och dessutom hr den kontinuerlig derivtor upp till och med ordning n + 1. Tylor- och Mclurinutvecklingr hndlr om tt pproximer en funktion f(x) med ett polynom p n (x) när någon x punkt. Det mn är ute efter är tt få dierensen f(x) p n (x) tt gå så fort som möjligt mot noll då vi går mot punkten. Sts 1 (Tylorpolynom). Det nns ett unikt polynom p n (x) v grd högst n sådnt tt p n () = f(), p n() = f (),..., p (n) n () = f (n) (). Dett polynom klls Tylorpolynomet v ordning n i punkten till f, och ges v p n (x) = f() + f ()(x ) + f () 2! (x ) 2 +... + f (n) () (x ) n, n! där k! = k(k 1)(k 2)... 2 1. Bevis: Vi noterr tt p n () = f(), p n(x) = f () + 2 f () 2 (x ) +... + n f (n) () n! (x ) n 1, så p n() = f (). Fortsätter vi på smm sätt kommer vi slutligen frm till p (n) n (x) = f (n) () så p (n) n () = f (n) (). Det är också lätt tt se från ovnstående uträkning tt det end polynomet v grd högst n som kn uppfyll tt ll de n först derivtorn är lik med motsvrnde för f i måste ges v formeln ovn. V.S.B. Speciellt enkel blir formeln då = 0 (klls då Mclurin-polynom), och dessutom fås det llmänn fllet v dett vi vribelbytet x = t. D.v.s. vi tittr på funktionen g(t) = f( + t) och utvecklr denn i origo. I resten v denn sektion jobbr vi därför enbrt med fllet = 0.

ENVARIABELANALYS, DEL 2 3 Funktionen r n (x) = f(x) p n (x) klls n :e ordningens felterm, och mycket v teorin i denn del v kursen hndlr om tt uppsktt denn. Det nns tre uppskttningr (där vi kommer nvänd de två först): Ordo-form: r n (x) = O(x n+1 ) = b(x)x n+1, där b(x) är begränsd i någon omgivning till 0. Lgrnge: r n (x) = f (n+1) (ξ) (n+1)! x n+1 för något ξ melln 0 och x. (Integrlform: r n (x) = x 0 f (n+1) (t) n! (x t) n dt.) Ordo-formen följer enkelt från Lgrnge, eftersom f (n+1) (ξ) (n+1)! är begränsd när noll (ξ beror på x, men ligger ju melln 0 och x hel tiden). Bevis v Lgrnges Restterm: Genom en trnsltion kn vi utn förlust nt tt = 0. Vi inför nu en hjälpfunktion (där x nu är en xerd punkt): Noter tt g(t) = f(t) p n (t) f(x) p n(x) x n+1 t n+1. g(0) = g (0) =... = g (n) (0) = 0. Speciellt gäller g(0) = g(x) = 0, så enligt medelvärdesstsen nns det nu en punkt t 1 melln 0 och x sådn tt g (t 1 ) = 0. Alltså gäller g (0) = g (t 1 ) = 0, och om vi återigen tillämpr medelvärdesstsen (på g ) så nns en punkt t 2 melln 0 och t 1 sådn tt g (t 2 ) = 0. Om vi fortsätter på dett sätt får vi tillslut en punkt ξ := t n+1 melln 0 och x

4 TOMAS SJÖDIN sådn tt g (n+1) (ξ) = 0. Men vi noterr också tt vi hr g (t) = f (t) p n(t) f(x) p n(x) x n+1 (n + 1)t n, g (t) = f (t) p n(t) f(x) p n(x) x n+1 (n + 1)nt n 1,. g (n+1) (t) = f (n+1) (t) f(x) p n(x) x n+1 (n + 1)! där vi hr nvänt tt p (n+1) n (t) = 0 då p n hr grd högst n. Alltså får vi (eftersom g (n+1) (ξ) = 0) eller med ndr ord f (n+1) (ξ) = f(x) p n(x) x n+1 (n + 1)!, f(x) = p n (x) + f (n+1) (ξ) (n + 1)! xn+1. V.S.B. Slutligen hr vi den s.k. entydighetsstsen som är mycket viktig vid beräkningr v McLurinpolynom till smmnstt funktioner. Sts 2. Om q(x) är ett polynom v högst grd n sådnt tt f(x) q(x) = O(x n+1 ), då är q(x) = p n (x). Bevis: Om p n (x) betecknr Mclurinpolynomet till f(x) och vi sätter p(x) = p n (x) q(x), då är p(x) ett polynom v grd högst n sådnt tt p(x) = (p n (x) f(x)) (q(x) f(x)) = O(x n+1 ). Antg nu tt p(x) inte är identiskt noll. Då kn vi skriv p(x) på formen där c k 0. Men nu gäller då p(x) = c k x k + c k+1 x k+1 +... + c n x n, p(x) O(x n+1 ) lim x 0 x k = c k = lim x 0 x k = 0, vilket ger motsägelse. V.S.B. Ordoklkyl: Antg tt f(x), g(x) är funktioner denierde i en omgivning till punkten. Om det i någon omgivning till nns en begränsd funktion b(x) sådn tt f(x) = b(x)g(x) gäller i denn omgivning, då säger vi tt f(x) = O(g(x)) då x. Det vill säg i vrje steg i en uträkning betecknr O(g(x)) en funktion på formen b(x)g(x) där b(x) är en begränsd funktion i någon omgivning till. Poängen är tt det i mång problem inte spelr någon roll exkt vilken funktion b(x) är, utn br tt om t.ex. g(x) går mot noll då x går mot så går upp till någon begränsd fktor O(g(x)) lik fort mot noll. Oftst är det = 0 vi kommer vr intresserde v, och g(x) = x k för något heltl k (men det nns undntg då vi jobbr med smmnstt funktioner). Om det är klrt vilken punkt som vses brukr mn br skriv f(x) = O(g(x)). Dess räkneregler är blnd ndr enkl tt verier: f(x) = O(f(x)) f(x) = O(g(x)), g(x) = O(h(x)) f(x) = O(h(x)), Om b(x) är begränsd gäller O(b(x)g(x)) = b(x)o(g(x)) = O(g(x)), Om f(x) = O(g(x)) så gäller O(f(x)) + O(g(x)) = O(g(x)).

ENVARIABELANALYS, DEL 2 5 Noter tt det sistnämnd betyder tt vi i en uträkning br behåller den sämst ordotermen och kstr bort övrig. En stor vrning när det gäller ordoklkyl är tt likhetstecknet blir enkeltriktt. T.ex. gäller O(x 3 ) = O(x 2 ) men O(x 2 ) O(x 3 ). Vi får lltså i en uträkning ldrig hopp från något som är sämre till något som är bättre. 1.1. Elementär Mclurinutvecklingr. Ovn är e x = 1 + x + x2 2 + x3 3! +... + xn n! + O(xn+1 ), sin x = x x3 3! + x5 5!... + ( 1)n 1 x 2n 1 (2n 1)! + O(x2n+1 ), cos x = 1 x2 2 + x4 x2n... + ( 1)n 4! (2n)! + O(x2n+2 ), ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 (1 + x) α = 1 + αx + ( α 2 xn... + ( 1)n 1 n + O(xn+1 ), ) ( ) ( ) α α x 2 + x 3 +... + x n + O(x n+1 ), 3 n rctn x = x x3 3 + x5 x2n 1... + ( 1)n 1 5 2n 1 + O(x2n+1 ). ( ) α = 2 α(α 1), 2 ( ) α = 3 α(α 1)(α 2),... 3! 2. Föreläsning 45: Generliserde integrler och numerisk serier Generliserde integrler och numerisk serier ligger gnsk när vrndr i viss mening. I envribel 1 räknde vi lite på generliserde integrler, och kommer titt på någr sådn exempel här också. Men till stor del kommer denn del v kursen snrre hndl om tt vgör ifll en generliserd integrl eller numerisk serie konvergerr eller inte utn tt räkn ut värdet explicit (vilket oftst är mycket svårt tt gör, speciellt när det gäller serier). 2.1. Generliserde integrler. Låt < b nedn. Låt R C (, b) beteckn mängden v ll funktioner f :], b[ R sådn tt för ll c, d med < c < d < b så gäller tt f är Riemnn-integrbel på [c, d]. Noter tt summn v två funktioner i R C (, b) fortfrnde ligger i R C (, b), och detsmm gäller om vi multiplicerr en funktion med en konstnt (d.v.s. R C (, b) utgör ett så kllt vektorrum över R). Noter också tt om f ligger i R C (, b) så gör även f det. Om f är en funktion i R C (, b) och det gäller tt för c ], b[ så existerr båd gänsvärden (och är ändlig) lim t + c t f(x)dx, lim t b t c f(x)dx, då säger vi tt f är integrbel i generliserd mening på ], b[, och denierr f(x)dx = lim t + c t f(x)dx + lim t b t c f(x)dx. (Noter tt dett ger rätt värde ifll f är integrbel i vnlig mening på ], b[ smt tt denitionen inte beror på vilket c vi väljer). Noter tt generliserde integrler som vi deniert dem också innefttr vnlig integrler, men det är nturligt tt också inför begreppet tt en integrl f(x)dx är generliserd i en punkt: Låt f R C (, b). Integrlen ovn sägs vr generliserd i (b) om ntingen = (b = ) och/eller f är obegränsd i någon omgivning till (b).

6 TOMAS SJÖDIN Annn terminologi är också tt om den generliserde integrlen f(x)dx existerr (med ändligt värde) så sägs den vr konvergent, och divergent ifll den inte gör det. Det är enkelt tt vis tt även generliserde integrler är linjär: (αf(x) + βg(x))dx = α f(x)dx + β g(x)dx α, β R. Oft är det så tt mn br vill vet om en generliserd integrl är konvergent eller ej, och speciellt enkelt blir då fllet tt f 0, för då hr vi lltid ett gränsvärde som eventuellt är +. En viktig egenskp är då den s.k. jämförelseprincipen: Sts 3. Om 0 f(x) g(x) där f, g R C (, b) och g är generlisert integrbel på ], b[ då gäller tt även f är generlisert integrbel på ], b[ med 0 f(x)dx g(x)dx. Givetvis räcker det tt vi i stsen ovn hr f(x) Cg(x) för någon konstnt C, och vidre, om integrlern endst är generliserde i b () så räcker det tt denn olikhet gäller för x när b (). Dett kn tests med ett gränsvärde. Vi formulerr stsen nedn för fllet då integrlern båd br är generliserde i b, men motsvrnde fll gäller givetvis då de br är generliserde i. Sts 4. Antg tt f(x), g(x) 0 och tt integrlern f(x)dx och g(x)dx båd br är generliserde i b. Om f(x) 0 < lim x b g(x) < då gäller tt ntingen är båd integrlern konvergent eller divergent. Ett typiskt sätt tt test konvergens är vi jämförelse med funktioner där vi vet tt integrlern är konvergent eller divergent. Den vnligste testfunktionstypen är 1/x α för lämpligt α, och vi hr 1 1 x α är konvergent om α < 1, och divergent nnrs. Å ndr sidn är 0 1 konvergent om α > 1, och divergent nnrs. Om f R C (, b) och f är generlisert integrbel på dett intervll, då sägs f vr generlisert bsolutintegrbel. Om f är generlisert bsolutintegrbel så är den även generlisert integrbel, och vi hr: f(x)dx f(x) dx. 2.2. Numerisk serier. Dess är gnsk nlog med teorin för generliserde integrler på formen f(x)dx (som br är generliserde i ) som vi kommer se. Kom ihåg tt vi deniert 1 (i envribel 1) tlföljder som funktioner s : N R, och vi hr också deniert vd som mens med lim n s(n). Oftst skrivs dock s n istället för s(n) när mn jobbr med tlföljder. Oändlig serier är på formen k, k=1 där k är en tlföljd, och dess sk representer en oändlig summ. Mn förknippr med en sådn de så kllde prtilsummorn s n = n k=1 k, och mn säger tt serien är konvergent med summ S om s n S då n. Annrs säger mn tt serien är divergent. Det vill säg vi undrr om n lim n k=1 k existerr, så mn kn tänk på det hel som en generliserd summ. Det är också klrt tt serien är konvergent om och endst om det nns något j så tt serien k=j k är konvergent(iblnd börjr mn summn vid ett nnt tl än 1, men dett är givetvis helt nlogt). 1 x α

ENVARIABELANALYS, DEL 2 7 Givetvis är oändlig summor linjär i den mening tt följnde gäller för konvergent serier: Linjäritet: k=1 (α k + βb k ) = α k=1 k + β k=1 b k. Geometrisk serie: k=0 qk = 1 1 q om q < 1, nnrs divergent. k=1 1 k α konvergerr om och endst om α > 1. Nu återstår tt ge villkor som grnterr konvergens hos en serie (det är oftst mycket svårt tt bestämm vilket värde en serie konvergerr mot, men å ndr sidn är det lätt tt uppsktt seriens värde om mn kn kontroller felet genom tt helt enkelt hugg v serien vid ett stort ändligt värde... ). Divergenstest: Om termern k 0 då k så divergerr serien k=1 k. Även för serier är de som hr positiv termer lite enklre tt hnter, och vi hr precis som för integrler ett jämförelsekriterium: Sts 5 (Jämförelsekriteriet). Om 0 k b k så gäller tt k=1 b k konvergent k=1 k konvergent och k=1 k k=1 b k, k=1 k divergent k=1 b k divergent. Givetvis är det br viktigt tt dess olikheter gäller för stor k i jämförelsekriteriet, och det är lätt tt utifrån dett vis jämförelseprincipen på gränsvärdesform. T.ex. om vi hr två serier med ickenegtiv termer och lim k k b k = C < så gäller ju per denition tt k < (C + 1)b k för stor k. Sts 6 (Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform). Om n 0, b n 0 och n 0 < lim <, n b n då gäller tt ntingen är båd seriern n=1 n och n=1 b n konvergent eller divergent. Sts 7 (Cuchys integrlkriterium). Om funktionen f : [1, [ [0, [ är vtgnde så är serien k=1 f(k) och integrlen f(x)dx ntingen båd konvergent eller divergent. 1 Från denn sts får vi också vår knske viktigste typer v jämförelseserier: 1 n α n=1 är konvergent om α > 1 och divergent om α 1. (Noter här t.ex. med α = 1 tt termern går mot noll, men serien är ändå divergent!) Alternernde serier: En serie där vrnnn term är positiv och vrnnn negtiv klls lternernde. Leibniz sts säger tt en lternernde serie k=1 k där k är vtgnde och går mot 0 då k är konvergent. Absolutkonvergent serier: En serie k=1 k sådn tt k=1 k är konvergent sägs vr bsolutkonvergent. En bsolutkonvergent serie är konvergent och vidre gäller: k k. k=1 k=1 3. Föreläsning 6: Potensserier En potensserie är en serie (funktion) på formen c n x n, n=0 där c n är konstnter och x en vribel (så för vrje xt x vi sätter in får vi en numerisk serie). Till vrje sådn potensserie nns ett unikt tl R ( 0 R ) sådnt tt serien är bsolutkonvergent om x < R, och divergent om x > R ( x = R måste behndls från fll till fll). Rotkriteriet: n=0 n är bsolutkonvergent om lim n n n < 1, och divergent om lim n n n > 1.

8 TOMAS SJÖDIN Kvotkriteriet n=0 n är bsolutkonvergent om lim n+1 n n < 1, och divergent om lim n n+1 n > 1. Både rot- och kvotkriteriet bygger på jämförelse med geometrisk serie, så det är gnsk grov testverktyg, men de är väl lämpde för tt behndl potensserier. Sts 8. Antg tt f(x) = n=0 c nx n hr konvergensrdie R > 0. Då hr f derivtor v godtycklig ordning på ] R, R[, och vi hr: x 0 f (x) = f(t)dt = nc n x n 1, n=1 n=0 c n = f (n) (0). n! (All potensserier ovn hr konvergensrdie R.) c n n + 1 xn+1, 4. Föreläsning 710: Differentilekvtioner 4.1. Först ordningens. Linjär: y (x) + f(x)y(x) = g(x). Dess löses genom tt låt F (x) vr en primitiv funktion till f(x) så tt d dx (ef (x) y(x)) = e F (x) y (x) + f(x)e F (x) y(x) = e F (x) (y (x) + f(x)y(x)) = g(x)e F (x). D.v.s. y(x) = e F (x) g(x)e F (x) dx. Seprbl: g(y)y (x) = h(x). Dess löses genom tt integrer bägge sidor: g(y)dy = h(x)dx. Dett ger G(y(x)) = H(x) + C (G = g, H = h). Så om vi kn inverter G så fås y(x) = G 1 (H(x) + C). 4.2. Komplexvärd funktioner. Vi sk här se på funktioner på formen w : R C. Dess kn lltid (genom tt sätt u = Re(w), v = Im(w)) dels upp som där u, v : R R. Vi denierr nu w (x) = u (x) + iv (x), w = u + iv, w(x)dx = och det är rättfrm tt kontroller tt vnlig räknelgr som (αw(x)) = αw (x), α C, u(x)dx + i (w 1 (x) + w 2 (x)) = w 1(x) + w 2(x), (w 1 (x)w 2 (x)) = w 1(x)w 2 (x) + w 1 (x)w 2(x), (w(h(x)) = w (h(x))h (x), h : R R. v(x)dx, Motsvrnde gäller även för integrler. Observer också tt w (x) = 0 för ll x om och endst om w(x) är en (komplex) konstnt, smt tt vi hr w(x) w() = x w (t)dt.

ENVARIABELANALYS, DEL 2 9 Den viktigste komplexvärd funktionen för oss är den komplex exponentilfunktionen: e αx = e (+ib)x := e x (cos(bx) + i sin(bx)). Denn uppfyller d dx eαx = αe αx. Om vi nu vill lös en linjär diekvtion med konstnt koecienter på formen då noterr vi tt denn är ekvivlent med y αy = 0, α C, e αx (y αy) = (e αx y) = 0 e αx y = C y = Ce αx (C C). 4.3. Andr ordningens linjär med konstnt koecienter. Dess hr formen y + y + by = g(x) (, b R). Mn delr upp dett problem i två delr. Först hittr vi den llmänn lösningen y h till den homogen ekvtionen: y h + y h + by h = 0. Denn fås från tt först hitt röttern α, β (som eventuellt är komplex eller lik) till den krktäristisk ekvtionen: p(r) = r 2 + r + b = 0, och den llmänn homogenlösningen ges då v: { Ae y h = αx + Be βx α β (Ax + B)e αx α = β Sedn hittr mn en prtikulärlösning y p, vilket vi kommer gör vi en kvlicerd nsts. Det är också värt tt noter tt om vi hr komplex rötter α, β då måste det gäll tt α är komplexkonjugt till β (eftersom konstntern, b i ekvtionen är reell). Alltså är röttern i dett fll på formen c±id och mn kn då lterntivt skriv den llmänn homogenlösningen på formen y h = Ae (c+id)x + Be (c id)x = Ce cx cos(dx) + De cx sin(dx), (det vill säg för vrje A, B nns unik C, D så tt likhet gäller och vice vers). Den senre formen är oft tt föredr då vi vill h kontroll på vilk lösningr som är reellvärd (vilket precis är de lösningr med C, D reell ovn). Substitutionen y = ze kx : Dett är en mycket viktig substitution (i viss mening bygger hel teorin på denn). Noter tt (även för komplex k) så är e kx ldrig noll, så det är lltid ok tt gör en sådn substitution, och vi kn lltid t oss tilbk vi z = ye kx. En direkt uträkning ger nu y = (z + kz)e kx, y = (z + 2kz + k 2 z)e kx. Om vi sätter in dett i den homogen ekvtionen får vi y + y + by = (z + 2kz + k 2 z)e kx + (z + kz)e kx + bze kx = = (z + (2k + )z + (k 2 + k + b)z)e kx = 0. Noter nu specillt, tt termen frmför z är just p(k), så om vi väljer k = α tt vr en v vår rötter till den krktäristisk ekvtionen, då försvinner denn term. Om vi då tittr på ekvtionen får vi kvr: (z + (2α + )z )e αx = 0, vilket är ekvivlent med z + (2α + )z = 0. Men r 2 + r + b = (r α)(r β) = r 2 + ( α β)r + αβ ger nu = α β. Dett leder till ekvtionen: z + (α β)z = 0.

10 TOMAS SJÖDIN Om α = β står det helt enkelt z = 0 som vi kn integrer upp och får den llmänn lösningen z = Ax + B, så y = (Ax + B)e αx. Om å ndr sidn α β då får vi en först ordnings linjär ekvtion för z, d.v.s. vi multiplicerr med den integrernde fktorn e (α β)x och får ekvtionen (e (α β)x z ) = 0, så z = Ce (β α)x, vilket efter en till integrtion ger z = Ce (β α)x /(β α) + A. Om vi sätter B = C/(β α) får vi lltså y = ze αx = Ae αx + Be βx. Så dett visr speciellt påståendet om den llmänn homogenlösningen. När det gäller den llmänn strukturen på lösningen beror den helt enkelt på tt om vi hr två lösningr y 1, y 2 : y 1 + y 1 + by 1 = g(x), y 2 + y 2 + by 2 = g(x), då gäller (y 1 + y 1 + by 1 ) (y 2 + y 2 + by 2 ) = (y 1 y 2 ) + (y 1 y 2 ) + b(y 1 y 2 ) = g(x) g(x) = 0, d.v.s. y 1 y 2 löser den homogen ekvtionen. 4.4. Högre ordnings linjär med konstnt koecienter, dierentilopertorer och förskjutningsregeln. Vi kommer i denn sektion nvänd dierentilopertorn D som är sådn tt Dy = y, D 2 y = D(Dy) = D(y ) = y och så vidre. Även uttryck som (D β)(d α) = D 2 (α + β)d + αβ tolks formellt (även komplex α, β är o.k.). Om vi går tillbk till vår ndr ordnings dierentilekvtion: med kn vi då skriv vår ekvtion som y + y + by = g(x) p(d) = D 2 + D + b p(d)y = g(x). (, b R), Noter tt p(d)(c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = c 1 p(d)y 1 + c 2 p(d)y 2 om c 1, c 2 R, vilket säger tt p(d) är en linjär vbildning (från t.ex. rummet v två gånger kontinuerligt deriverbr funktioner till rummet v kontinuerlig funktioner... ). Polynomekvtionen p(r) = r 2 + r + b = 0 klls, som vi s ovn, den krktäristisk ekvtionen, och om denn hr rötter α, β (som eventuellt är lik eller komplex, och i det senre fllet är röttern komplex-konjugt till vrndr då vi hr reell koecienter), då kn vi skriv p(d) = (D α)(d β). För tt lös problemet såg vi tt mn först hittr den llmänn lösningen till motsvrnde homogen ekvtion p(d)y h = 0, vilken är { Ae y h = αx + Be βx α β (Ax + B)e αx α = β Sedn hittr mn en så klld prtikulärlösning y p till p(d)y p = g(x). Den llmän lösningen till ekvtionen blir sedn y = y h + y p. För tt hitt prtikulärlösningen gör mn en lämplig kvli- cerd nsts på hur y p ungefär borde se ut (med någr prmetrr) som mn sedn substituerr in i ekvtionen och löser. Högre ordnings linjär dierentilekvtioner med konstnt koecienter behndls väldigt nlogt med ndr ordningens. Om är vår opertor, så tittr vi på ekvtionen Vi hr följnde resultt: p(d) = D n + n 1 D n 1 +... + 1 D + 0, p(d)y = g(x).

ENVARIABELANALYS, DEL 2 11 Sts 9. Om p(r) = r n + n 1 r n 1 +... + 1 r + 0 = (r r 1 ) m1 (r r 2 ) m2... (r r k ) m k, där r i r j om i j, så gäller tt den llmänn lösningen till den homogen ekvtionen p(d)y = 0 ges v y(x) = P 1 (x)e r1x + P 2 (x)e r2x +... + P k (x)e r kx, där P j : är polynom v högst grd (m j 1). Precis som i fllet för ndr ordningens ekvtioner är den llmänn lösningen till p(d)y = g(x) på formen y = y h + y p där y h är den llmänn homogenlösningen och y p en prtikulärlösning, vilket återigen följer i princip direkt från linjäriteten hos ekvtionen. Förskjutningsregeln: p(d)(z(x)e kx ) = e kx p(d + k)z(x). (Här menr vi lltså tt på vänstersidn verkr p(d) på produkten z(x)e x och på högersidn verkr p(d + k) br på z(x).) Bevis v försjutningsregeln: Noter tt vi kn skriv p(d)(z(x)e kx ) = (D r 1 )(D r 2 ) (D r n )(z(x)e kx ), där r i : inte nödvändigtvis är olik. Om vi då br visr tt (D r i )(z(x)e kx ) = e kx (D r i +k)z(x) så kn vi iterer dett resultt och får då det llmänn fllet. Men (D r i )(z(x)e kx ) = z (x)e kx + kz(x)e kx r i z(x)e kx = e kx (D r i + k)z(x), vilket visr påståendet. V.S.B. 4.5. Prtikulärnstser. Om vi fått en linjär dierentilekvtion med konstnt koecienter: p(d)y = y (n) + c n 1 y (n 1) +... + c 1 y + c 0 y = g(x) hr vi ett mekniskt sätt tt hitt homogenlösningrn y h enligt ovn. Precis som för problemet tt hitt en primitiv funktion till en given funktion så är det långt ifrån ll funktioner g(x) ovn sådn tt det nns en prtikulärlösning som kn skrivs på ändligt sätt med hjälp v elementär funktioner. Vi kommer br se på viss olik typer v högerled och vilk nstser som då är lämplig. Idén är lltid tt reducer problemet till tt lös ett linjärt ekvtionssystem. Och ett llmänt tips är tt inte vr rädd för tt test en nsts. Om mn gör fel nsts leder det br till tt mn ntingen inte får ett linjärt ekvtionssystem eller ett som sknr lösningr. g(x) polynom v grd m: Om k är det minst tlet sådnt tt c k 0 (om c k = 0 för ll k = 1,..., n 1 sätter vi k = n) då nsätter vi y p = m x m+k + m 1 x m+k 1 +... + 0 x k. g(x) = q(x)e kx : Substituer y p = z(x)e kx och nvänd förskjutningsregeln för tt bli v med e kx termen. Dett ger en ny ekvtion för z: p(d + k)z = q(x) som vi förhoppningsvis kn hitt en prtikulärlösning z p till. Då blir y p = z p e kx. Om g(x) = A cos(kx) (lterntivt g(x) = A sin(kx)) fungerr det oftst med nstsen y p = cos(kx)+b sin(kx). Noter dock tt det kn händ tt cos(kx) är en homogenlösning och då fungerr dett ej. Resonns: De fll som är stökigst tt hnter är fllet då g(x) på något sätt innehåller en homogenlösning till ekvtionen. Om g(x) = q(x)e kx som ovn (där k eventuellt är komplext) då kn vi fortfrnde substituer y p = z(x)e kx och nvänd förskjutningsregeln som tidigre. Dett fungerr br även om e kx råkr vr en homogenlösning. Men vi kn även råk ut för dett om vi hr t.ex. g(x) = q(x) cos(kx) (lterntivt q(x) sin(kx)). Vi kn dock skriv om dett till komplex form: cos(kx) = Ree ikx (sin(kx) = Ime ikx ). Om vi istället hittr en prtikulärlösning w p till ekvtionen p(d)w = q(x)e ikx, då får vi en prtikulärlösning vi y p = Rew p (y p = Imw p ). Noter tt dett dock bygger på tt koecientern i p(d) är reell. Linjäritet: Om vi hr ekvtionen p(d)y = g 1 (x) + g 2 (x) +... + g k (x), då kn vi hitt en prtikulärlösning p(d)y i = g i (x) för vrje i och sedn sätt y p = y 1 + y 2 +... + y n.

12 TOMAS SJÖDIN 4.6. Mer diekvtioner. Vi kommer förutom ovnstående också titt en del på någr mer speciell diekvtioner (Bernoulli, Euler, Bessel... ). 4.7. Potensserielösningr v dierentilekvtioner. Genom tt gör nstsen y = n=0 c nx n och nvänd räknelgrn för derivtor givn i sts 8 smt sml llt till en summ kn mn reducer viss dierentilekvtioner till ekvtioner för koecientern c n. I viss fll kn mn lös ut vrje c n explicit smt iblnd identier lösningen i termer v elementär funktioner. 4.8. Mclurinserier. De elementär Mclurinutvecklingrn som vi gått igenom i 1.1 gäller utn restterm om vi tr med oändligt mång termer enligt nedn (noter tt det nns nturlig begränsningr på vr dess gäller): e x = 1 + x + x2 2 + x3 3! +... + xn n! +..., x R, sin x = x x3 3! + x5 5!... + ( 1)n 1 x 2n 1 (2n 1)! +..., x R, cos x = 1 x2 2 + x4 x2n... + ( 1)n 4! (2n)! +..., x R, ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 (1 + x) α = 1 + αx + ( α 2 xn... + ( 1)n 1 +..., 1 < x 1, ) ( ) n ( ) α α x 2 + x 3 +... + x n +..., 1 < x 1, 3 n rctn x = x x3 3 + x5 x2n 1... + ( 1)n 1 +..., 1 x 1. 5 2n 1 5. Föreläsning 11: Kurvlängd, pln re och volym 5.1. Prmeterkurvor. Om r : [, b] R 2, r(t) = (x(t), y(t)) där x(t), y(t) är kontinuerligt deriverbr så låter vi r (t) = (x (t), y (t)). Vi noterr tt för små h gäller r(t + h) r(t) r (t) h, så därför denierr vi längden till prmeterkurvn som s = r (t) dt = Speciellt om r(t) = (t, f(t)) (d.v.s. funktionsgrf), då gäller s = x (t) 2 + y (t) 2 dt. 1 + f (t) 2 dt.

ENVARIABELANALYS, DEL 2 13 Det är värt tt noter tt oft i tillämpningr betecknr t tiden och r(t) en prtikels läge vid tiden t, och då är r (t) helt enkelt prtikelns hstighet. Noter också tt det inte är uteslutet tt kurvn skär sig själv, eller tt mn går frm och tillbks längs en kurv, så längden v prmeterkurvn ovn sk lltså tolks som den tillrygglgd sträckn. Om mn däremot i en uppgift får en geometrisk kurv som mn vill bestämm längden på måste mn se till tt mn prmetriserr den så tt mn br är i vrje punkt en gång (förutom eventuellt i punkter där kurvn skär sig själv). 5.2. Are v pln områden. Om D R 2 är på formen D = {(x, y) : x b, f(x) y g(x)}, då gäller tt dess re A(D) ges v A(D) = (g(x) f(x))dx. 5.3. Volym vi integrtion v tvärsnittsreor. Om K R 3 uppfyller tt för vrje punkt (x, y, z) K gäller x b, smt tt tvärsnittsren längs x-xeln ges v funktionen A(x) (d.v.s. den pln mängden {(y, z) : (x, y, z) K} hr re A(x) för vrje x), då ges volymen V (K) till K v V (K) = A(x)dx.

14 TOMAS SJÖDIN 5.4. Rottionsvolym. Även om vi nedn ger formler, så är det bättre tt lär sig tt t frm formlern enligt två enkl principer snrre än tt försök memorer dem. Principern är tt ntingen integrer upp tvärsnittsreor i skivor eller cylindrr. Motsvrnde kn även sägs för rottionsre nedn. Om området D = {(x, y) : x b, 0 y f(x)} roters ett vrv kring x-xeln får vi en kropp K = {(x, y, z) : x b, 0 y 2 + z 2 f(x)}, och dess volym V (K) ges v V (K) = πf(x) 2 dx.

ENVARIABELANALYS, DEL 2 D kring y-xeln (och 0 nts) fås x2 + z 2 b, 0 y f (x)} och volymen ges 15 Om vi istället roterr K = {(x, y, z) : Z V (K) = b 2πxf (x)dx. Mer llmänt, låt D = {(x, y) : x b, f (x) y g(x)}. v

16 TOMAS SJÖDIN Om D ligger helt på en sid om linjen y = c, då ges volymen v den kropp K som uppkommer då D roters ett vrv runt y = c v: V (K) = π (g(x) c) 2 (f(x) c) 2 dx. Om D ligger helt på en sid om linjen x = c, då ges volymen v den kropp K som uppstår då D roters ett vrv runt x = c v: V (K) = 2π x c (g(x) f(x))dx. 5.5. Polär koordinter. Kom ihåg tt en punkt i plnet kn skrivs på formen (x, y) = (r cos φ, r sin φ) där r är längden r = (x, y) = x 2 + y 2 och φ vinkeln melln vektorn och x xeln. Are för områden på polär form: D = {(x, y) : α φ β, 0 r h(φ)} ger A(D) = β α 1 2 h(φ)2 dφ. Längd hos prmeterkurvor på polär form: Om r = h(φ), α φ β så fås längden s = β α h(φ)2 + h (φ) 2 dφ. 6. Föreläsning 12: Rottionsre, tyngdpunkter och Guldins regler 6.1. Are hos rottionsytor. Om kurvn y = f(x), x b ligger helt på en sid om linjen y = c och roters ett vrv kring denn fås en yt som hr re 2π f(x) c 1 + f (x) 2 dx.

ENVARIABELANALYS, DEL 2 17 Om kurvn y = f(x), x b ligger helt på en sid om linjen x = c och roters ett vrv kring denn så fås en yt med ren 2π x c 1 + f (x) 2 dx. 6.2. Tyngdpunkter. Vi lämnr den djupre diskussionen om dett till kursboken. Det llr viktigste är troligen tt förstå hur mn med Guldins regler tillämpt på små element kn t frm korrekt formler för rottionsvolymer/rottionsreor. Ett fll vi dock kn nämn är tt om en pln kropp hr konstnt densitet och är på formen då ges tyngdpunktens x koordint x t v: D = {(x, y) : x b, f(x) y g(x)}, x t = x(g(x) f(x))dx. (g(x) f(x))dx 6.3. Guldins regler. 1. Antg tt det pln området D med re A(D) och tyngdpunkt r t ligger helt och hållet på en sid om linjen L i R 2. Då ges volymen v den kropp som uppkommer då D roters ett vrv runt L v: A(D) (längden på r t :s väg vid rottionen).

18 TOMAS SJÖDIN 2. Antg tt den pln kurvn Γ med längd L(Γ) och tyngdpunkt r t ligger helt och hållet på en sid om linjen L i R 2. Då ges ren v den yt som uppkommer då Γ roters ett vrv runt L v: L(Γ) (längden på r t :s väg vid rottionen). Rottionsvolym på polär form Om D = {(x, y) : α φ β, 0 r h(φ)}, där 0 α < β π, roters ett vrv runt x-xeln, så ges volymen v den kropp som uppkommer v β α 2π 3 h(φ)3 sin φdφ. Rottionsre på polär form Om kurvn r = h(φ), 0 α φ β π, roters ett vrv runt x xeln så uppstår en yt med re: 2π β α h(φ) sin(φ) h(φ) 2 + h (φ) 2 dφ.