FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, månag 18 mars 2013, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börjar me uppgifterna som u tror u klarar bäst! Förklara tyligt itt resonemang och ge rätt enhet när et behövs. Hela tentan omfattar 7 frågor. Fråga ett ger 4 poäng, e övriga 6 poäng. Det krävs 50% för att få gokän. Tillåtna hjälpmeel: Physics hanbook, formellista och en miniräknare (ej grafisk). Lycka till! Ey Aronne 1. Korta frågor. a. (1p) Ge Faraays lag i integral form (var noggrant me notationen!). Förklara kort betyelsen av Faraays lag. b. (1p) Ge en efinition av båe självinuktans och ömsesiig inuktans. c. (1p) Beskriv kortfattat rörelsen av en laa partikel i ett konstant magnetiskt fält. Anta att partikelns hastighet är vinkelrätt mot et magnetiska fältet i början.. (1p) Beskriv kortfattat en situation som visar att Ampères lag utan Maxwells term inte kan vara korrekt. Du behöver inte härlea formen av Maxwells term. 2. (6p) På ett sfäriskt skal, me inre raie R a och yttre raie R b, finns en sfäriskt symmetrisk laningsförelning ρ(r) = kr, me k en konstant. Använ Gauss lag för att bestämma et elektriska fältet inuti skalet (r < R a ), i skalet (R a r R b ) och utanför skalet (r > R b ). 3. En lång, rak trå me raie R a består av ett linjärt magnetiskt material me relativ permeabilitet µ. I tråen finns en ström me en konstant strömtäthet J fria = k. a. (3p) Bestäm H utanför (r > R a ) och inuti (r R a ) tråen. b. (1p) Bestäm et magnetiska fältet B utanför (r > R a ) och inuti (r R a ) tråen. c. (2p) Bestäm e bunna strömmar inuti tråen och på tråens yta. 4. En lång, tunn, rak spole me läng l = 20cm och raie a = 1cm har N = 1000 varv per meter. Run en här spolen finns en kort spole, me bara 10 varv totalt. a. (4p) Beräkna spolarnas ömsesiiga inuktansen. Börja me formeln för et magnetiska fältet av en lång spole. b. (2p) Strömmen genom en långa spolen änras me I t = 2As 1. Beräkna en inucerae spänningen mellan änpunkterna av en korta spolen, som inte är ansluten till någonting.
5. En krets består av en motstån me resistans R i serie me en spole me självinuktans L. Dessutom finns en konensator me kapacitans C som är kopplat parallellt till motstånet och spolen. Den här kretsen är ansluten till en växelspänningskälla som ger en spänning V (t) = V 0 cos(ωt). a. (4p) Bestäm båe strömmen genom konensatorn och strömmen genom spolen. b. (2p) Bestäm fasskillnaen mellan strömmen genom konensatorn och strömmen genom spolen. Antar att R = 1.0Ω, L = 1.0mH, C = 1.0pF och ω = 1.0 10 3 s 1. 6. En konensator me kapacitans C är upplaat till en spänning V 0. Genom att sluta en strömbrytare på ti t = 0s börjar konensatorn laas ur genom en spole me me självinuktans L och en motstån me resistans R. a. (3p) Herle ifferentialekvationen för strömmen i kretsen, och ge ranvillkoren. Var noggrant me tecknen! b. (3p) Nu tittar vi på situationen utan spolen, så att konensatorn laas ur bara genom mostånet. Bestäm et nya ranvillkoret, och lös ifferentialekvationen (me L = 0) för strömmen. 7. En plattkonensator har runa plattor me raie a. Avstånet mellan plattorna är. Kapacitansen ges av C = ɛ 0πa 2. I början är konensatorn laat till en spänning V 0. Konensatorn laas ur genom en motstån R. På grun av etta avtar et elektriska fältet i konensatorn, nämligen E(t) = V 0 e t RC ẑ. Anta att raneffekter kan försummas. a. (2p) Visa att et magnetiska fältet i en punkt P, som ligger på avstån a från axeln och mellan plattorna, ges (i cylinerkoorinater) av B(P, t) = µ 0V 0 t 2πaR e RC ˆϕ. b. (2p) Bestäm Poynting vektorn, och förklara kort ess betyelse. c. (2p) Bestäm me Poynting vektorn hur mycket energi förs bort från områet mellan plattorna uner urlaningen av konensatorn.
Svar: 1. a. Faraays lag är E l = Φ B,C. Den innebär att änringar i et magnetiska C t flöet skapar ett elektriskt fält som har slutna fält linjer. Nämligen, integralen av et elektriska fältet längs en gotycklig sluten kurva C (en elektromotoriska spänningen om et hanlar om en krets), ges av minus änringen av et elektriska flöet genom en här kurvan. Det inucerae elektriska fältet motverkar änringen i et magnetiska flöet. b. Om vi har en ström genom en krets, å skapar en ett magnetiskt fält, vars storlek är proportionellt mot strömmen. Flöet Φ genom kretsen är också proportionellt mot strömmen. Självinuktansen L efinieras som L = Φ, eller L = Φ. I I Om en ström I 1 genom en krets C 1 ger ett flöe Φ 2 genom en krets C 2, å är Φ 2 proportionellt mot I 1. Vi kan skriva Φ 2 = M 21 I 1, och tvärtom har vi Φ 1 = M 12 I 2. Det gäller att M 21 = M 12 = M, är M är en ömsesiiga inuktansen. c. Partikelns hastighet är vinkelrätt mot B-fältet, så et finns en Lorentzkraft F = q v B. Kraften är vinkelrätt mot hastigheten, så v = v änras inte, men riktningen av v änras. Lorentzkraften stannar vinkelrätt mot hastigheten och fungerar som centripetalkraften. Partikelns bana är en cirkel, me raie r = mv, är m q är partikelns qb massa och laning.. Ampères lag utan Maxwells term är C B l = µ 0 I C. Om vi tittar på en konensator som laas upp me en ström I, och tar kurvan C så att en går run tråen till konensatorn, å beror en innesluten ström I C på vilken yta vi väljer för att beräkna strömmen genom kurvan. Vi kan välja en skiva, så att en innesluten ström är I. Vi kan också välja en påse run en av konensatorns plattor, och å är en innesluten ström I C = 0. Så, et måste finnas en extra term i Ampères lag för att en ska gäller allmänt. Nämligen C B l = µ 0 I C + µ 0 ɛ 0 Φ E,C 2. Vi använer Gauss lag E S = Q inuti ɛ 0. S På grun av symmetrien hav vi att E ˆr, och E beror bara på r = r. Som Gauss yta väljer vi en sfär me raie r, och vi har E S = Er (4πr 2 ). S Om r > R b, å har vi att Q inuti = ρτ = 4πk R b V R a r 2 rr = πk(rb 4 R4 a), och vi får ( E r = k R 4 b Ra 4 4ɛ 0 ). r 2 Om r < R a, å har vi att Q inuti = 0, så vi har E r = 0. Om R a r R b, å har vi Q inuti = 4πk ( r R a r 2 r r = πk(r 4 Ra), 4 som ger E r = k r 4 Ra 4 4ɛ 0 ). r 2 Svaret blir alltså ( k R 4 b Ra 4ɛ 0 )ˆr 4 om r R r 2 b, ( E( r) = k r 4 Ra 4 4ɛ 0 )ˆr om R r 2 a r R b, 0 om 0 r R a t.
3. Vi har cylinersymmetri, så H, B och M beror bara på r, och är parallella me ˆϕ. Vi använer Ampères lag i formen C H l = I fria,c. a. Vi tar en Ampère kurva C som är en cirkel me raie r, som ger oss H l = 2πrH C ϕ. Om r > a har vi I fria,c = πa 2 J fria, så att 2πrH ϕ = πa 2 k, eller H ϕ = a2 k. Om r < a 2r får vi I fria,c = πr 2 k, som ger H ϕ = rk. Svaret är 2 H( r) = { a 2 k 2r rk 2 ˆϕ om r a, ˆϕ om r a. b. Materialet är linjärt, så B = µ 0 µ H. Utanför tråen har vi at µ = 1, mean µ 1 inuti tråen. Det leer till svaret: { µ0 a 2 k ˆϕ om r a, 2r B( r) = µ 0 µrk ˆϕ om r a. 2 c. För att bestämma e bunna strömmer behöver vi M, som ges av M = B/µ0 H, eller M = (µ 1) H, eftersom B = µ 0 µ H. Så utanför tråen har vi M = 0 eftersom µ = 1. För r a har vi M = (µ 1) rk ˆϕ. 2 De bunna strömmer (per läng) på utan ges av i s = M ˆn, me ˆn = ˆr, så vi har (me r = a) i s = (µ 1) ak ˆϕ ˆr = (µ 1) ak ẑ, eftersom ˆϕ ˆr = ẑ. 2 2 De bunna strömmer (per area) inuti tråen ges av J b = M. Ampères lag i lokal form ger oss H = J fria, så vi får att J b = M = (µ 1) H = (µ 1) J fria = (µ 1)kẑ. Svaret är: i s = (µ 1) ak 2 ẑ Jb = (µ 1)kẑ. OBS: en totala bunna strömmen på utan är (µ 1) ak 2 (2πa) = (µ 1)kπa2, i ẑ riktningen. Den totala bunna strömmen inuti är (µ 1)k(πa 2 ) = (µ 1)kπa 2, i +ẑ riktningen, så e är lika stora. 4. a. Det magnetiska fältet av en långa spolen (1) ges av B 1 = µ 0 N 1 I 1. Flöet genom en korta spolen (2) är Φ 2 = A 1 B 1 n 2, me A 1 area av spole (1) och n 2 total antalet varv av spole (2). Så vi har Φ 2 = A 1 B 1 n 2 = µ 0 πa 2 N 1 n 2 I 1 = MI 1, me M en ömsesiiga inuktansen. Svaret är M = µ 0 πa 2 N 1 n 2 = 3.9 10 6 H. b. Den inucerae spänningen i en korta spolen ges av E in = Φ 2 = M I 1, så t t spänningsskillnaen blir E in = (3.9 10 6 ) 2 = 7.9 10 6 Volt.
5. a. Vi använer en komplexa metoen, och skriver V = V 0 e iωt, så att Re(V) = V (t) = V 0 cos(ω)t. Den komplexa impeansen av konensatorn är Z C = i = 1. Den ωc iωc komplexa impeansen av grenen me spolen och motstånet är Z L,R = R + iωl = (R 2 + ω 2 L 2 ) 1 2 e iϕ, me ϕ = arctan(ωl/r). Strömmen genom konensatorn bestämms av I C = V Z C = iωcv 0 e iωt = ωcv 0 e i(ωt+π/2), så en reella strömmen genom konensatorn blir I C = ωcv 0 cos(ωt + π/2). Strömmen genom grenen me spolen och motstånet är I L,R = V 0 e iωt (R 2 +ω 2 L 2 ) 1 2 e iϕ = V 0 (R 2 + ω 2 L 2 ) 1 2 e i(ωt ϕ), så att en reella strömmen ges av V I L,R = 0 cos(ωt ϕ), me ϕ = arctan(ωl/r). (R 2 +ω 2 L 2 ) 1 2 b. Strömmen genom konensatorn ligger före strömmen genom grenen me spolen och motstånet. Fasskillnaen ges av ϕ = π/2 ( ϕ) = π/2 + arctan(ωl/r), eller om vi sätter in vären får vi att ϕ = π/2 + arctan(1) = 3π/4 som motsvarar 135. 6. a. Konensatorn laas ur, så jag väljer strömmen bort från konensatorns positiva plattan som positiv. Det innebär att I = Q, me Q konensatorns laning. Dessutom ökar spänningen över konensatorn i en positiva strömriktningen, när vi gör t en potentialvanring för att bestämma ifferentialekvationen (i.e., när vi använer Kirchhoffs lag). Så, vi har följane resultat från spänningsvanringen i kretsen: V C + V in = V R, me V C spänningen över konensatorn, V in en inucerae spänningen i spolen (som motverkar strömmen!), och V R spänningen över motstånet. Det innebär att Q C LI t = IR, eller, om vi tar tiserivatan och använer att I = Q, får vi ekvationen för t strömmen L 2 I t + RI 2 t + 1 C I = 0. Ranvilkoren följer från att inser att strömmen på ti t = 0 måste vara noll. Annars skulle en inucerae spänningen V in = L I blir gränslös stor. Så vi har I(0) = 0. t Me etta följer att vi har relationen V C + V in = 0 på t = 0, eller V 0 L I (0) = 0, t så att I (0) = V 0 t L. Svaret är L 2 I t + RI 2 t + 1 C I = 0 I(0) = 0 I t (0) = V 0 L b. Nu betraktar vi situationen att L = 0. Så vi har inte argumentet att I(0) = 0 längre. Nu har vi att på ti t = 0 att V C = I(0)R, eller I(0) = V 0 R. Differentialekvationen blir R I + 1 I = 0, eller t C I t = 1 RC I. Den allmänna lösningen till enna ekvation är I(t) = Ae t RC, och genom att använa ranvilkoret får vi att konstanten A blir A = V 0 R. Så svaret är I(t) = V 0 t R e RC.
7. a. Vi använer Ampères lag me Maxwells term, nämligen B l Φ = µ C 0 I C + µ 0 ɛ E,C 0, t me Φ E,C flöet av et elektriska fältet genom kurvan C. Raneffekter får försummas, och på grun av symmetrien har vi att et magnetiska fältet B som finns på grun av änringen i et elektriska fältet är parallellt me ˆϕ, är oberoene av ϕ, och oberoene av z, så länge vi är mellan plattorna. Som Ampère kurva C tar vi en cirkel me raie a genom punkt P. Strömmen genom en här kurvan är I C = 0 (vi använer skivan som har en här cirkel som ran för att bestämma strömmen), så vi får bara ett birag från Maxwells term. Det elektriska fältet i konensatorn beror inte på positionen, och är vinkelrätt mot ytan, så flöet av et elektriska fältet genom kurvan ges av proukten av E och arean. Så vi har Φ E,C = πa 2 E = πa 2 V 0 e t RC. Ampères lag ger nu att (tänk på tiserivatan) 2πaB ϕ = µ 0 ɛ 0 πa 2 V 0 ( 1 RC )e t V RC = µ 0 0 R e t RC, är vi har använ att C = ɛ 0πa 2. Så vi får att B(P, t) = µ 0V 0 t 2πaR e RC ˆϕ, som skulle visas. b. Poynting vektorn är S = 1 µ 0 E B. I cylinerkoorinater har vi att ẑ ˆϕ = ˆr, så Poynting vektorn i punkt P blir S ( = 1 µ0 V 0 ) V 0 µ 0 2πaR e 2t RC ( ˆr) = V 0 2 2t e RC ˆr. 2πaR Poynting vektorn ger energi flöet genom en yta, per ytenhet, per tisenhet, eller hur mycket energi förs bort från ett områe genom en yta, per area per ti. c. Vi vill veta hur mycket energi förs bort från konensatorn uner urlaningen. Energien är lagrat i et elektriska fältet mellan konensatorns plattorna. Det här områet begränsas av en cyliner me raie a, och höj. På en här ytan är S konstant, och S är vinkelrätt mot ytan, och pekar utåt (energien förs bort!). Så energien som förs bort från konensator per tisenhet ges av 2πa (arean av cylinern) gånger Poynting vektorn, eller P (t) = (2πa) V 0 2 2t e RC = V 2 2t 0 e RC. Den totala energien som förs bort 2πaR R är alltså U = V 0 2 e 2t R 0 RC t = V 0 2 RC 2t e RC t= R 2 t=0 = 1CV 2 2 0. Det här är precis energien som var lagrat i konensatorn i början!