Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte läsas i detalj. Matematikens uppbyggnad av axiom, satser och bevis kommer att belysas när vi läser om geometri, men även i resten av kursen. Läs appendix B.1B.2. Lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Gör uppgift 0.1, 0.2, 0.3. Det är bra att känna till att ett tal är rationellt precis om decimalutvecklingen avslutas med ett mönster som 1 upprepas. Exempel: 2 = 0.5 = 0.5000..., 1 3 = 0.33333... och 1 6 = 0.166666... Diskutera svaren med dina kamrater. Vad är det för skillnad på talet 5.199999... och talet 5.2? Gör uppgifterna 0.40.13. Tänk på att vid faktorisering och förenkling används ofta kvadrerings och konjugatregeln baklänges. Exempel: x 2 1 4 = (x + 1 2 )(x 1 2 ), och 4x2 4x + 1 = (2x 1) 2. Uppgifterna 0.17, 0.18, 0.19, 0.20, 0.21 tränar bråkräkning. Gör dessa uppgifter. Se till att du behärskar metoden att sätta på gemensam nämnare, sid 1014 i boken. Varför måste vi sätta på gemensam nämnare för att addera bråk? Uppgifterna 0.26 och 0.27 behandlar metoden att göra nämnaren i ett bråk fritt från rötter. Gör dessa uppgifter. Gör också uppgift 0.28 som behandlar så kallade dubbelbråk, det vill säga bråk med bråk i täljaren och nämnaren. Gör uppgift B.1. Förberedelser inför lektion 2 (andra övningen läsvecka 1) Läs kapitel 1.6.11.6.2. Räknelagarna på sidan 71 är viktiga. Tänk efter hur dessa används i de efterföljande exemplena. (Utför själv räkningarna när du läser exemplena!) 1
Läs kapitel 1.7.1. Lär dig räknelagarna i sats 9. Tänk efter hur dessa används i de efterföljande exemplena. (Utför själv räkningarna när du läser exemplena!) Läs kapitel 0.4 om olikheter. Studera metoden med teckenschema. Hur fungerar den och varför löser vi olikheter på detta sätt? Lektion 2 (andra övningen läsvecka 1) Gör uppgifterna B.2, B.3, B.4. Diskutera skillnaden mellan, och. Konstruera gärna ett eget exempel av samma typ som dessa uppgifter. Vilka räknelagar nns det för räkning av potenser? Lär er dessa. Se boken sidan 71. Gör uppgifterna 1.52 och 1.53. Lös uppgifterna 0.49 och 0.51. Diskutera exempel 16 i boken. Varför löser vi inte olikheten på följande (felaktiga) sätt? Var är felet? x 2 + 1 x 1 x (x 1)x2 + 1 x 1 (x 1)x x2 + 1 x 2 x x 1. Lös sedan uppgifterna 0.52, 0.53, 0.54. Lös uppgift 1.64. Förberedelser inför lektion 3 (tredje övningen läsvecka 1) Läs kapitel P.0P.2 i geometrihäftet. I P.1 är avsnittet om konstruktioner inte så viktigt. Det behöver inte läsas noga. Resten av P.2 läses noggrannt. Var uppmärksam på hur axiomen används för att bevisa satserna och hur de används i exemplen. Lär dig kongruensfallen. Lektion 3 (tredje övningen läsvecka 1) Gör uppgifterna P.2, P.3, P.5, P.6. Tänk på att i en fullständig lösning måste alla påståenden bevisas, t.ex. genom att referera till en sats eller axiom. Fråga läraren om det nns oklarheter vad som krävs för att en lösning ska vara fullständig. Om det nns tid, gör P.4 och P.8. Gör uppgifterna B.5 och 1.65 2
Förberedelser inför lektion 4 (första övningen läsvecka 2) Läs P.3P.6 fram till sats 19 på sidan 40 (sidan 32 i äldre upplagor). Vad är det för skillnad på sats 10 och 11? Lär dig likformighetsfallen. Vad nns det för skillnader och likheter mellan kongruensfallen och likformighetsfallen? Lektion 4 (första övningen läsvecka 2) Ofta ställs man inför problemet att räkna ut något som det inte omedelbart är uppenbart hur man räknar ut. Det är då ofta nyttigt att rita en gur, tänka efter vad man vet, och vad man vill veta. Om man inte direkt kan räkna ut vad man vill veta, så tänker man efter om man kan räkna ut något annat istället. När man väl har detta så kan man kanske räkna ut det man vill. Detta sätt att angripa problem kommer till användning i många av uppgifterna i geometrikompendiet, i övriga matematikuppgifter, och i en blivande civilingenjörs fortsatta studier och yrkesliv. Gör uppgift P.10, P.11, P.12, P.16, P.17, P.22, P.23, P.26, P.27, P.28, P.29. Om det nns tid gör P.15 och P.19. Förberedelser inför lektion 5 (andra övningen läsvecka 2) Läs kapitel T.1T.4 i geometrihäftet. I T.1 denieras sinus, cosinus och tangens för en vinkel i en rätvinklig triangel. Denitionen utvidgas i T.2 till godtyckliga vinklar. Satserna i kapitel T.3 är viktiga. Sats 5 nns också i boken av Persson och Böijers. Den kommer vi bland annat att använda när vi ska nna derivatan av sinus. Lektion 5 (andra övningen läsvecka 2) Gör uppgifterna P.33 och P.34. Gör uppgifterna T.1, T.3, T.4, T.7, T.9. Dessa uppgifter grundar sig på denitionen av sinus och cosinus. Se till att du kan denitionen. Lös uppgifterna T.13, T.14, T.15. Dessa uppgifter grundar sig på denitionen av sinus och cosinus för godtyckliga vinklar. Resonera som i exemplena i kapitel T.2. Se till att du förstår sättet att resonera. Om du har tid, gör T.8, T.10, T.16, 0.85 och 0.84. 3
Förberedelser inför lektion 6 (tredje övningen läsvecka 2) Repetera kapitel T. Läs kapitel A.1A.4 i geometrihäftet och kapitel 0.5 i boken. Absolutbeloppet i kapitel A.1 är ett viktigt begrepp. Vi kommer att använda det i era olika sammanhang i kursen (och i andra kurser). Kapitel A.1A.4 handlar om kurvor. Det är viktigt att förstå sambandet mellan en kurva och kurvans ekvation. En kurva består av punkter med koordinater (x, y). En kurvas ekvation är en ekvation i x och y så att lösningarna till ekvationen är precis de punkter som ligger på kurvan. Exempel: Ekvationen xy = 1 är en ekvation för en kurva. Punkterna ( 1 2, 2) och (1, 1) ligger på kurvan ty 1 2 2 = 1 och 1 1 = 1. Punkten (2, 1) ligger inte på kurvan ty 2 1 1. Ekvationen xy = 1 kan ekvivalent skrivas y = 1 x. Kurvan nns avbildad på sidan 70 i geometrihäftet. Titta på de tre första gurerna i kapitel A.4. Den första visar parabeln y = x 2. Den andra guren visar parabeln y = (x 3) 2. Observera att denna parabel fås genom att ytta den första parabeln tre steg åt höger. Tänk efter varför det är så. Varför yttas parabeln inte tre steg åt vänster? Lektion 6 (tredje övningen läsvecka 2) Gör uppgifterna T.17, T.19, T.20, T.23, T.24, T.28, T.32. Gör uppgifterna A.1, A.2, A.3, A.4 om avstånd och absolutbelopp. Tänk på att x a kan tolkas som avståndet mellan talen x och a. Vad betyder x + a? Diskutera hur kurvorna y = (x 1) 2 och y = (x + 2) 2 förhåller sig till kurvan y = x 2, och varför det är så? Hur förhåller sig y = x 2 + 1 och y = 1 2 x2 till y = x 2, och varför? När ni förstått detta, gör A.5 och A.6, genom att utnyttja de principer ni kommit fram till. 4
Förberedelser inför lektion 7 (första övningen läsvecka 3) Läs kapitel A.3A.7. I kapitel A.3 skrivs en rät linjes ekvation på olika former: y = kx + m, y y 1 = k(x x 1 ), och ax + by + c = 0. Vilken betydelse har talen k, x 1 och y 1? Hur går man mellan de olika formerna? Lektion 7 (första övningen läsvecka 3) Gör uppgifterna A.7, A.8, A.9, A.10, A.12 om räta linjer. Gör uppgifterna 1.22 och 1.23b. Dessa behandlar kvadratkomplettering. Kvadratkomplettering kommer att användas i uppgifterna i nästa punkt. (Det dyker också upp i era andra kurser framöver.) För att rita kurvan x 2 2x+y 2 +4y+1 = 0 så använder vi kvadratkomplettering för att skriva om kurvans ekvation: x 2 2x + y 2 + 4y + 1 = 0 (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 4. Detta är en cirkel med radie 4 = 2 och centrum i (1, 2). Hur ser vi på cirkelns ekvation var cirkelns centrum ligger? Jämför uppgifterna A.5 ch A.6 från förra övningen. Använd nu detta för att göra uppgifterna A.13, A.15, A.16, A.17, A.18, A.19. Gör 0.61. Förberedelser inför lektion 8 (andra övningen läsvecka 3) Läs 1.11.3. Lektion 8 (andra övningen läsvecka 3) Gör uppgifterna 1.2, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6. Gör 1.7, 1.8. Jämför dessa uppgifter med uppgifterna A.5 och A.6 från lektion 6. 5
Nu dyker absolutbeloppet upp igen. Kom ihåg att vi i geometrin denierade x som avståndet mellan talet x och talet 0. I kapitel 1.3 i boken av Persson och Böijers denieras absolutbeloppet på ett annat sätt. Tänk efter varför detta ger samma absolutbelopp. Gör uppgifterna 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.14, 1.15ab, 1.16ab, 1.17ab. Här är det i vissa uppgifter (men inte alla) lämpligare att använda denitionen av absolutbelopp från kapitel 1.3, än denitionen av absolutbelopp som ett avstånd. Gör S.6, S.7. Förberedelser inför lektion 9 (tredje övningen läsvecka 3) Läs kapitel 1.4. Polynomdivision och faktorsatsen, geometrisk summa och binomialsatsen är viktiga. Läs också appendix B.3 om summasymbolen och hur den används. Lektion 9 (tredje övningen läsvecka 3) Studera exemplet med polynomdivision i boken. Se till att ni förstår hur polynomdivision går till och gör sedan uppgift 1.30. Titta på faktorsatsen på sidan 52 i boken. Satsen säger att om p(x) är ett polynom och p(α) = 0 så nns det ett polynom q(x) så att p(x) = (x α)q(x). Detta betyder att om p(α) = 0 så ger polynomdivisionen p(x)/(x α) ingen rest och resultatet av divisionen är q(x). Ovanför satsen i boken står omvändningen av satsen, d.v.s. att om p(x) = (x α)q(x) så är p(α) = 0. Se till att ni förstår skillnaden mellan satsen och omvändningen av satsen. Faktorsatsen kan användas för att faktorisera ett polynom. detta för att lösa uppgifterna 1.31, 1.32, 1.33. Använd Gör uppgifterna B.6 och B.7, för att bekanta er med summasymbolen. Titta på sats 5 i boken på sidan 57, om geometrisk summa. Satsen ger oss en formel för att beräkna en geometrisk summa enligt a } + ax + ax 2 {{ + + a n 1 } = a xn 1 x 1, n stycken termer i summan om x 1. Det är oftast lättare att komma ihåg formeln på det sätt som beskrivs nederst på sidan 57: Summan = (första termen) kvotenantalet termer 1. kvoten 1 Gör uppgifterna 1.35, 36, 37, 38, 39, 40. 6
Binomialsatsen är en generalisering av kvadreringsregeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Man kan räkna ut att (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. Observera att när vi utvecklar (a + b) 2 så får vi en summa av termer som innehåller a k b l där summan av k och l är 2. När vi utvecklar (a + b) 3 så får vi en summa av termer som innehåller a k b l där summan av k och l är 3. Tänk efter vad som händer om vi skulle utveckla (a + b) n genom att multiplicera ihop n stycken paranteser (a + b). Gör vi detta så får vi en summa av olika termer a n k b k multiplicerade med ett tal. Binomialsatsen säger vad detta tal är, nämnligen (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k. k Se till att du känner till hur talet ( n k) denieras och beräknas. Binomialkoecienten ( n k) kan beräknas dels med denitionen på sidan 61, men också med Pascals triangel, se sidan 64. Gör uppgifterna 1.41, 42, 44, 45, 46. 7
Förberedelser inför lektion 10 (första övningen läsvecka 4) Repetera kapitel 1.4.5. Läs kapitel 1.5 om rationella funktioner. Vi kommer att studera rationella funktioner mer exakt när vi läst om derivator. Läs kapitel 1.6 och 1.7 om potenser och logaritmer. Lär dig potens- och logaritmlagar och storleksförhållandet mellan potenser och logaritmer enligt sats 10 på sidan 83. Lektion 10 (första övningen läsvecka 4) Vi börjar med några övningar på binomialkoecienter: 1.48, 1.49, 1.50. Rita kurvorna i uppgift 1.51. Det är inte så viktigt att det blir exakt rätt, men tänk efter var funktionen inte är denierad, vad som händer när x blir stort (stort positivt och stort negativt), och var y blir stort positivt eller negativt. Varför ser graferna i a- och b-uppgiften olika ut? Rita kurvorna i 1.55, 1.58, 1.59, 1.60ab. Det är inte viktigt att det blir exakt rätt, men tänk efter var funktionerna är växande och avtagande, var de skär x- och y-axeln, och var de är denierade. Här blir det mer övningar på logaritmlagar: 1.69, 1.70, 1.71, 1.144, 1.148, S.2 Förberedelser inför lektion 11 (andra övningen läsvecka 4) Repetera kapitel 1.6 och 1.7. Läs kapitel 1.8 och 1.9. Kapitel 1.8 innehåller abstrakt men viktig terminologi. Lär dig denna. Terminologin kommer att exeplieras under övningen. Det är inte nödvändigt (snarare olämpligt) att lära sig alla trigonometriska formler i kapitel 1.9 utantill. Det är ofta lättare (och säkrare) att lära sig att härleda alla formlerna från t.ex. subtraktionsformeln. Lektion 11 (andra övningen läsvecka 4) Betrakta ekvationen ln x + ln(x + 2) = ln 3. Om vi löser den enligt ln x+ln(x+2) = ln 3 ln(x(x+2)) = ln 3 x(x+2) = 3 x 2 + 2x + 1 = 4 (x + 1) 2 = 2 2 x = 1 ± 2, så nner vi alltså att x = 3 eller x = 1. Men ln( 3) är inte denierat, så x = 3 kan inte vara en lösning till ln x + ln(x + 2) = ln 3. Alltså 8
måste minst en av ekvivalenspilarna ovan vara fel. Vilken och varför? Hur skulle en korrekt behandling av pilarna se ut? Lös nu uppgift 1.72. Mer logaritmövningar följer i 1.73 och 1.74. Nu ska vi börja lite med gränsvärden. Mer kommer i kapitel 2. I följande gränsvärden går både täljaren och nämnaren mot. För att avgöra vad gränsvärdet blir är det ofta lämpligt att tänka efter vilken term i nämnaren som växer snabbast. Dela med denna i täljaren och nämnaren och förenkla. Efter detta går det förhoppningsvis att se vad gränsvärdet blir. För att avgöra vilken term som växer snabbast är sats 10 på sidan 83 användbar. Se också exempel 34 på sidan 84. Gör 1.75, 1.76ab, 1.78, 1.79. Följande uppgifter är till för att illustrera begreppen i kapitel 1.8: 1.84, 1.85, 1.86, 1.87, 1.89, 1.90abd, Börja med att repetera hur sinus, cosinus och tangens beräknas för några vinklar: Gör 1.94. Det är viktigt att kunna vad sinus, cosinus och tangens är för 0, π/6, π/4, π/3, π/2 och π. Lär dig metoden i uppgift 1.94. Den är bra att kunna när man glömt bort detta. Mer trigonometri blir det i 1.95, 1.96, 1.97. Förberedelser inför lektion 12 (tredje övningen läsvecka 4) Repetera kapitel 1.9. Läs kapitel 1.10. Lektion 12 (tredje övningen läsvecka 4) För att lösa ekvationer av typen sin x = sin 2x och cos(x + α) = cos 3x kan följande förfarande användas. (Det vill säga ekvationer av typen sinus av något är lika med sinus av något annat, eller motsvarande med cosinus.) Rita enhetscirkeln och tänk efter vilket förhållande mellan α och β som måste gälla om sin α = sin β respektive cos α = cos β. Byt sedan ut α och β mot det som nns i ekvatinoen du vill lösa. Kan ekvationer av typen sin 139x = cos 4x lösas på samma sätt? Kan ekvationen skivas om till en ekvation av typen sin( ) = sin( ) eller cos( ) = cos( )? Lös nu 1.98, 1.99, 1.100, 1.101. Repetera hjälpvinkelmetoden på sidan 108 i boken. Gör uppgifterna 1.102, 1.103, 1.104. Gör 1.106, 1.107, 1.115, 1.116, 1.117, (och S.5). 9
Förberedelser inför lektion 13 (första övningen läsvecka 5) Repetera kapitel 1.10 om arcusfunktioner. Läs kapitel 1.11. Läs kapitel 2.1 i läroboken. När man räknar med gränsvärden (i den här kursen) används inte denitionen på sidan 136 och 138. Istället är det räknereglerna på sidan 136137 som används. Lektion 13 (första övningen läsvecka 5) Gör uppgifterna 1.118, 1.119, 1.120, 1.121. 1.121? Gör 1.122, 1.123, 1.124, 1.125, 1.126, 1.127, 1.130. Vad menas med uppgift Nu börjar vi med gränsvärden. Gör 2.3 och 2.4. Tänk efter vad som händer med täljaren och nämnaren. Förberedelser inför lektion 14 (andra övningen läsvecka 5) Repetera kapitel 2.1 och läs kapitel 2.22.4. Standardgränsvärdena i kapitel 2.4 är viktiga. Många av dem kan man komma ihåg genom att tänka efter vilken av funktinerna i täljaren och nämnare som växer eller avtar snabbast. En del av gränsvärdena kan man härleda ur de andra. Lektion 14 (andra övningen läsvecka 5) Repetera vad en kontinuerlig funktion är. Varför är f(x) = 1 x kontinuerlig, men inte { 0 om x 0 g(x) = 1 om x > 0? Är funktionen h(x) = { 0 om x < 0 1 om x > 0 (denierad för alla x 0) kontinuerlig? Genom att göra omskrivningar kan ett gränsvärde beräknas med standardgränsvärdena i kapitel 2.4. Studera t.ex. exempel 7, 8, 9, 13, 15, 16 i boken. Gör 2.8, 2.9, 2.11, 2.12, 2.14, 2.15, 2.16, 2.36. 10
Förberedelser inför lektion 15 (tredje övningen läsvecka 5) Repetera formeln för geometrisk summa och läs kapitel 2.5.4. Repetera kapitel 2 och läs den utdelade stencilen om asymptoter. Lektion 15 (tredje övningen läsvecka 5) Repetera vad en kontinuerlig funktion är. Titta på egenskaperna för kontinuerliga funktioner längst ned på sidan 148. Gör uppgift 2.19. Gör 2.32, 2.33, 2.34 om geometriska serier. Att en rät linje y = kx + m är en asymptot till kurvan y = f(x) när x (eller x ) betyder att avståndet mellan kurvorna går mot noll när x. Detta innebär att f(x) = kx + m + g(x), för någon funktion g(x) som går mot noll då x. För att hitta en asymptot till en kurva y = f(x) gäller det alltså att skriva om funktionen som f(x) = kx + m + g(x) så att g(x) går mot noll när x. Gör detta för uppgifterna 2.25 och 2.27. Om du har tid, gör 2.44, 2.46. Förberedelser inför lektion 16 (första övningen läsvecka 6) Läs kapitel 3.13.4. Räknereglerna för derivering är viktiga. Lär dig räknereglerna i sats 2 sidan 194 och kedjeregeln, sats 3 på sidan 197. Lär dig också derivatorna av de elementära funktionerna i kapitel 3.4. Lektion 16 (första övningen läsvecka 6) Vi börjar med några övningar som använder derivatans denition som gränsvärde. Gör 3.1 och 3.2. Vilka standardgränsvärden får du i 3.2cd? Observera att det därför går att tolka dessa standardgränsvärden som derivator, vilket kan vara till hjälp för att minnas dem. Gör 3.3, 3.4, 3.5. Repetera från geometrin vad det nns för samband mellan en linjes riktningkoecient och riktningskoecienten till linjens normal. Gör sedan 3.6 och 3.7 Här blir det en massa övningar på att derivera olika funktioner. Gör 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13ab, 3.14ad. Det är mycket viktigt att behärska räknereglerna för derivator och derivatorna av elementära funktioner. Dessa uppgifter övar på detta. 11
Om du har tid, gör 3.8. Förberedelser inför lektion 17 (andra övningen läsvecka 6) Studera exempel 14 om implicit derivering på sidan 198 i boken. Repetera 3.13.4. Lektion 17 (andra övningen läsvecka 6) Vi börjar med några övningar på tangent och normal: 3.18, 3.19. Nu blir det några övningar på implicit derivering. Detta innebär att man skriver upp en likhet som innehåller en eller era okända funktioner och deriverar denna likhet. Gör 3.21, 3.22, 3.23, 3.24. Det gäller alltså att införa lämpliga beteckningar på obekanta storheter, skriva upp ett förhållande mellan dem och sedan derivera. Gör 3.30. Om du har tid, gör 3.27. Förberedelser inför lektion 18 (tredje övningen läsvecka 6) Läs kapitel 3.53.6 och 4.14.2. Lektion 18 (tredje övningen läsvecka 6) Här blir det några blandade övningar på derivator: 3.32, 3.33, 3.35, 3.36. Gör uppgift 4.1 och 4.2. Vad är det för skillnad på stationär punkt och extrempunkt? Hur ser man i teckentabellen för derivatan om en punkt är en extrempunkt/stationär punkt? Gör uppgift 4.3, 4.5. När man ritar grafen till en funktion ska det framgå var funktionen växer och avtar, var den har lokala maximum, minumum och stationära punkter, och eventuella asymptoter. Se i övrigt boken på sidan 225232. Tänk på att om derivatan är en rationell funktion så är det oftast enklare att se tecknet på derivatan genom att faktorisera, än genom att beräkna derivatan i olika punkter. Förberedelser inför lektion 19 (första övningen läsvecka 7) Läs kapitel 4.34.4. 12
Lektion 19 (första övningen läsvecka 7) Vi börjar med lite kurvritning: 4.6bc För att bestämma största och minsta värdet av en funktion f(x) räcker det inte att titta på de punkter i vilka derivatan är noll. Om funktionen är denierad på ett intervall [a, b], måste även funktionsvärdena f(a) och f(b) beaktas. I det fall att funktionen är denierad på ett oändligt intervall, t.ex. [0, [, måste gränsvärdet i beräknas. I detta fall kan det inträa att funktionen saknar största eller minsta värde. Gör 4.9, 4.11, 4.12, 4.13, 4.1. Derivator kan användas för att visa olikheter. Om f(0) = g(0) och f (x) > g (x) för alla x > 0 så följer det att f(x) > g(x) för alla x > 0. Använd detta för att göra uppgift 4.15abd. Om du har tid, gör S.10 och S.11. Förberedelser inför lektion 20 (andra övningen läsvecka 7) Repetera kapitel 4.14.4. Lektion 20 (andra övningen läsvecka 7) Vi börjar med lite kurvritning: 4.30. Här kommer några optimeringsproblem: 4.16, 4.18, 4.20, 4.21, 4.26, 4.39. För de här problemen gäller det att hitta ett största eller ett minsta värde för en funktion. Funktionen är dock inte explicit given i uppgiften, och måste först tas fram. Tänk också på att det inte räcker att hitta en punkt där derivatan är noll, för att detta ska vara det största eller minsta värdet. Man måste visa att punkten är ett största eller minsta värde till exempel genom en teckentabell för derivatan. 13