1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0

Relevanta dokument
1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, y) till Laplaces ekvation u = 0 inom rektangeln 0 < x < a och 0 < y < b med följande randvillkor 1

för t > 0 och 0 x L med följande rand- och begynnelsevillkor

KTH Fysik Tentamen i 5A1301/5A1304 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 24 augusti 2004 kl

Edwin Langmann (Epost: x u(x, t); f (x) = df(x)

Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs

2. För ljudvågor i en gas, innesluten i ett sfärisk skal, gäller vågekvationen. u tt = c 2 u

Edwin Langmann (tel: Epost: DEL 1

KTH Fysik Tentamen i 5A1301/5A1305 Fysikens matematiska metoder Tisdagen den 23 augusti 2005, kl

KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A1304/5A1305 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 11 januari 2006, kl 08:00-13:00

1. (a) Bestäm funktionen u = u(t, x), t > 0 och 0 < x < L, som uppfyller. u(t, 0) = 0, u x (t, L) = 0 u(0, x) = Ax(2L x)

Edwin Langmann (tel: Epost: DEL 1 (Del 2 på andra sidan)

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Fysikens matematiska metoder hösten 2006

OMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

Tentamen Fysikens Matematiska Metoder, Tilläggskurs, vt 2009, SI (a) Bestäm en reellvärd funktion f(x), 0 x 1, för vilken funktionalen

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Tentamen: Lösningsförslag

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.

y(0) = e + C e 1 = 1

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

) + γy = 0, y(0) = 1,

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

Kvantfysik SI1151 för F3 Tisdag kl

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Dubbelintegraler och volymberäkning

TENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1

Tentamen i Envariabelanalys 2

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

MMA127 Differential och integralkalkyl II

Kontrollskrivning KS1T

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Partiella differentialekvationer (TATA27)

ÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Andra EP-laborationen

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Matematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transkript:

KTH Fysik Tentamen i 5A1306 Fysikens matematiska metoder: PDE-tentamen Fredagen den 8 juni 2007 kl 08.00 13.00 Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: 1) Teoretisk fysiks formelsamling 2) BETA 3) NBS Handbook of Mathematical Functions 4) Josefsson, Formel- och tabellsamling i matematik 5) Tefyma 6) Spiegel, Mathematical Handbook 7) Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae Obs! Miniräknare ej tillåten. Examinator: Lösningar: Motivera utförligt! Edwin Langmann (tel: 5537 8173 Epost: langmann@kth.se) Kommer att finnas på kurshemsidan, http://courses.theophys.kth.se/5a1306/del2/ Otillräckliga motiveringar kan medför poängavdrag. Inför och förklara själv konstanter och symboler du behöver! 1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0 u x (0, y) = 0, u x (a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, a) = Cx där C > 0 och a > 0 är konstanter. (4p) (b) Komplettera i detalj följande tolkning av modellen i (a): Problemet i (a) kan tolkas som modell för...temperaturen... (2p) 2. Betrakta ett cirkulärt plant inspänt membran med radie R > 0. (a) Membranet släpps vid tiden t = 0 utan begynnelsehastighet från tillståndet u(r, 0) = c 1 J 0 (α 0,1 r/r) + c 2 J 0 (α 0,2 r/r) där α 0,n är nollställena till Besselfunktionen J 0 och c n är konstanter (n = 1, 2). Ställ upp en matematisk modell för membranets svängning. Lös problemet. (5p) (b) Ange membranets grundfrekvens (1p). 3. (a) Operatorn A beskrivs av Au(x) = u (x) D A = {u C 2 ([0, 1] u (0) = u(1) = 0}. Bestäm alla egenfunktioner och egenvärden till A. (2p) (b) I ett smalt, slutet rör med längden L finns luft uppblandad med rök med koncentrationen q. Vid tiden t = 0 öppnas den ena änden av röret och ansluts till rökfri utomhusluft. Ingen rök nybildas eller förintas efter t = 0. Ställ upp en matematisk modell för rökgaskoncentrationen i röret efter t = 0. Lös problemet. Diffusionskonstanten kan sättas till 1. (4p)

4. Betrakta värmeledningsproblemet för en oändlig lång stav u t (x, t) au xx (x, t) = c(u(x, t) u 0 ), x R, t > 0 u(x, 0) = u 0 + g(x), där a > 0, c > 0 och u 0 är konstanter. x R (a) Ge en rimlig fysikalisk tolkning av högerledet i differentialekvationen. (1p) (b) Lös problemet i fallet g(x) = g 0 δ(x) där g 0 är en konstant. (2p) (c) Ange en lösningsformel för en allmän funktion g. (Funktionen g förutsätts vara absolutintegerbar.) (3p) 5. En Fata morgana är ett optiskt fenomen som uppträder då atmosfärens brytningsindex varierar med höjden och där objekt och områden bortom horisonten blir synliga. Använd Fermats princip för att ge en förklaring. (6p) Ledning: Fermats princip säger att ljuset följer den väg för vilken n ds antar ett extremvärde, där n är brytningsindex och s = ds är båglängden. Anta att n(x, y) = n 0 (1 ay) där y-axeln är riktad uppåt, x-axeln är parallell med jordens yta, och n 0 > 0, a > 0 är konstanter. Bestäm ljusets bankurva y(x) om y(0) = 0 och y (0) = b > 0. Ledning: Laplaces operator i polära koordinater är 2 r + 1 2 r r + 1 2 r 2 ϕ 2. LYCKA TILL!

Lösningsföreslag till PDE-tentamen 070508 1. Hjälpproblemet har lösningar f (x) = λf(x), f (0) = f (a) = 0 (f 0 (x) = 1). Vi utvecklar och f n (x) = cos(k n x), k n = n π a, λ n = k 2 n Cx = u(x, y) = b n f n (x), n=0 a c n (y)f n (x) n=0 b 0 = 1 a a 0 Cxdx = Ca 2 b n>0 = 2 cos(k n x)cxdx = C[( 1)n 1]. a 0 akn 2 RV 1 och 2 är då uppfyllda, och PDE och BV 3 och 4 ger med lösningar Svar: c n(y) k 2 nc n (y) = 0, c n (a) = b n, c n (0) = 0 u(x, y) = Cy 2 + c 0 (y) = b 0 y a, c n>0(y) = b n sinh(k n y) sinh(k n a). C[( 1) n 1] ak 2 n cos(k n x) sinh(k ny) sinh(k n a), k n = n π a. (b) Problemet i (a) kan tolkas som modell för temperaturen i en plan kvadratisk platta som är isolerad vid z = 0 och z = h (= tjockleken av plattan) där ränderna x = 0 och x = a är isolerade, ränderna y = 0 och y = a har fixerad temperatur 0 och Cx. 2. Problemet är rotationssymmetriskt, och vi kan därför anta att membranets amplitud u bara är en funktion av avståndet r från symmetriaxeln och tiden t 0: u = u(r, t). Problemet lyder Hjälpproblemet 1 r (ru r) r 1 c 2u tt = 0 u r=r = 0 u(r, 0) = c 0 J 0 (α 0,1 r/r) + c 1 J 0 (α 0,2 r/r), u t (r, 0) = 0. 1 r (rf (r)) = λf(r), f(r) = 0, f(0) < har lösningar f n (x) = J 0 (k n r), k n = α 0,n, n = 1, 2,.... R

Utvecklingen: och PDE och BV ger u(r, t) = c n (t)f n (r), som löses genom Svar: c n(t) + (k n c) 2 c n (t) = 0, c n(0) = 0, c 1,2 (0) = c 1,2, c n>2 (0) = 0 c 1,2 (t) = c 1,2 cos(ck n t), c n>2 (t) = 0. u(r, 0) = c 0 J 0 (k 1 r) cos(ck 1 t) + c 2 J 0 (k 2 r) cos(ck 2 t), k n = α 0,n R. (b) Grundfrekvensen är ck 1 = cα 0,1 /R. 3. (a) u n (x) = cos(k n x), k n = π(n 1/2), n = 1, 2,..., λ n = k 2 n. (b) Placera x-axeln längs rörets axel med origo i den slutna änden och så att den öppna ändan hamnar i x = L. Om u(x, t) är rökkoncentrationen i x vid tiden t 0 så kan vi ställa upp följande modell: u t u xx = 0, 0 < x < L, t > 0 u x (0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = q, 0 < x < L. Med hänsyn till resultatet i a) gör vi följande ansats PDE och BV ger att och u n (x, t) = c n (t) cos(k n x), k n = (n 1/2) π L. c n (t) + k2 n c n(t) = 0, Svar: Rökkoncentrationen är 4q( 1) n 1 u(x, t) = (2n 1)π c n (0) = 2 L L c n (t) = c n (0)e k2 nt. 0 q cos(k n x)dx = 4q( 1)n 1 (2n 1)π π2t/l2 sin((n 1/2)πx/L)e (n 1/2)2. 4. (a) En tolkning är att u är stavens temperatur och u 0 omgivningstemperaturen. Staven är ej perfekt isolerad utan svalnar enligt Newtons avsvalningslag, värmeförlusten är proportionell mot temperaturdiferensen. (b) och (c) v(x, t) = u(x, t) u 0 uppfyller v t (x, t) av xx (x, t) + cv(x, t) = 0, x R, t > 0

Fouriertransformen ger som har lösningen v(x, 0) = g(x), x R. ˆv(k, t) = ˆv t (k, t) + (ak 2 + c)ˆv(k, t) = 0, Inversa Fouriertransformen ger lösningen v(x, t) = 1 2π dxv(x, t)e ikx ˆv(k, t) = e (ak2 +c)tĝ(k). dk e (ak2 +c)tĝ(k)e ikx = ˆv(k, 0) = ĝ(k) dy G(x y)g(y) där (b) Svar: (c) Svar: G(x) = 1 dk e (ak2 +c)t e ikx = 1 e ct e x2 /(4at). 2π 4πat u(x, t) = u 0 + g 0 1 4πat e ct e x2 /(4at). u(x, t) = u 0 + 1 4πat e ct dy e (x y)2 /(4at) g(y). 5. Antag att en person befinner sig i x = 0 och ett objekt (t.ex. en oas) i x = l > 0, och vi skall visa att det finns en ljusväg y(x) mellan personen och objektet för vissa l-värden. Enligt ledningen skall ljusets väg extremera funktionalen I[y] = l 0 (1 ay(x)) 1 + y (x) }{{} 2 dx =:F(y(x),y (x)) med randvillkor y(0) = y(l) = 0 där y (0) > 0. Integranden beror ej explicit av x. Vi har därför första integralen Inför u = (1 ay)/a. Ekvationen blir då F y F y = (...) = 1 ay 1 + y 2. u 1 + u 2 x = C 1 med en konstant C 1. Ekvationen är separabel och kan skrivas på formen du (u/c1 ) 2 1 = dx som kan integreras, C 1 arccosh(u/c 1 ) = x + C 2.

Detta ger y(x) = 1 a C 1 cosh(x/c 1 + C 3 ), där C 3 = C 2 /C 1 och C 1 bestäms av RV 0 = 1 a C 1 cosh(c 3 ) = 1 a C 1 cosh(l/c 1 + C 3 ). Nu skall man visa att det finns konstanter C 1,3 som uppfyller detta för givna värden 1 av l och a: Första ekvationen ger C 1 = acosh(c 3, och andra ) cosh(c 3 ) = cosh(la cosh(c 3 ) + C 3 ) C 3 = ±(la cosh(c 3 ) + C 3 ) som kan ha en lösning för - om cosh(c 3 ) = 2 la C 3. Man kan visa att det finns en lösning C 3 < 0 om l < 1.3254.../a.