S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) = c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 ) S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) (c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 )).

ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ¾ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ

ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÙÙÑ Ú Ò ÒйÙØ ÒÐÖÐØÓÒÖ Ð Ø ÓÑÖØ Ð ÖÚÒ ÓÑÖØ ÑØ Ò ÓÖØ ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÓÙÖÖØÖÒ ¹ ÓÖÑÖÒ Ñ ÅÔк À ÐÖÓÓÒ Ó ÚÒÒ ØØ ØÐÐÒк Ì Ó Ñ Ò ÅØÐÒÐÒÒº ÖÖ ÒÓÑ ØØ ØØØ ÒÓÑ ÒÒ ÒÐÒÒ Ó ÒÚ ÒÒÖÒ ÒÒº Ä ÒÓÑ ÔØÐ ÔÐÐØ ÒØÓÒÖÒ Ú ÐÒÖØØ Ø ÒÚÖÒ Ó Ù ÐØØ ÑØ Ý ØÑ ÖÚÒÒ Ñ ÑÔÙÐ ÚÖº Ä Ó ÓÑ ÖÚÒ ¹ Ó ÑÔÐØÙÙÒØÓÒÖ ÔØÐ ½¾º Ò Ö Ø ÓÒØØ ÓÖØ ØØ ÖÒ ÖÐ ÒÒÖÒµ Ñ ÔØÐ ½ Ö Ù Ó ÙÒÖ ÐÓÖØÓÒÒº Ì Ñ ØÓÖÓÑÔÒÙÑ ÚÒÒ Ø Ó ÙØÐ ØÐÐ ¾º½ ËÝ ØÑ Ô Ò ÒйÙØ ÒÐÓÖÑ Î ÐÐ ÜÔÖÑÒØÐÐØ ÙÒÖ Ý ØÑ Ô Ò ÒйÙØ ÒÐÓÖÑ Ñ ÐÔ Ú ÅØк Ò Ð ÚÐ Ö ÖÚÒ ÐÖ ÒÒ ØØ ÑØ Ô ÙÖ Ò Ñ º ØØÔ»»ÛÛÛºÑØ ºÐغ»ÑØÑØÐØ»ÔÖ ÓÒлһ Óؾ¼¼» Óؾ¼¼ºØÑÐ ÀÑØ ÐÖ ØÐÐ ÒÓÒ ÐÑÔÐ Ò ÅØÐØÐÓº ¾º¾ ÐÐÑÒØ Î ÐÐ ÒÚÒ ØØ ÔØ ÅØÐÐÖ Ö ØØ ÙÒÒ ÖÒ Ñ ÙÒØÓÒÖ Ò¹ Ó ÙØ ÒÐÖµ Ó Ý ØѺ ØØ ÔØ Ö ÔÐ ÖÚØ Ö ÚÒÒÒ Ó Ö ÑÒ ÖÒ ÒÒÖº ÅØÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÖØ ÖÒÒÖ ØØ Ø ÓÒØÒÙÖÐ Ý ØÑÒ ÔÔÖÓÜÑÖ ÒÓÑ ÑÔÐÒº ÎÖ Ò ÅØÐ Ú ÙÔÔ Ð Ø ÜÐÒ ÙØÒ ÒÐÖÒ Ö Ú ÙØÒÖ ØØ Ú Ø Ø ÒØÖÚÐÐ 10 t 10µº Á ÔØØ ÖÔÖ ÒØÖ ÙÒØÓÒÖ ÒÐÖµ Ñ ÅØÐÐÖ ÖÚØÓÖÖµ Ó Ý ØÑ Ñ ÅØÐÙÒØÓÒÖ Ñ¹ÐÖµº ÌØØ ÖÒ Ô Ñ¹ÐÖ Ò Ö Ñ ÓÑÑÒÓØ ØÝÔ Ó Ö Ö Ø ÙÖ ÙÒÖÖº ËØÖØ ÅØÐ Ó ÒØÖ ÚÒÒ ÔØØ Ñ ÓÑÑÒÓØ ØÖØоº Å ÛÓ Ö Ù Ö Ô ÚÐ ÚÖÐÖ Ù Ö Ó ÙÖ ØÓÖ Öº ÊØ ÙÔÔ ÙÒØÓÒÒ ØØ Ñ ÔÐÓØ Ø Øص Ó Ö ÑÓØ ÚÖÒ Ñ ÐØ ÓÒÐØÒ Ö Ö ØÝÐÒ ÙÒÖ 13µº ½

¾º Ù Ò ÐÚ ÒÖ ÒÝ ÙÒØÓÒÖ ÓÑ Ô Ö Ò Ý ØÑغ ËØÙÒØÓ¹ ÒÒ Ö Ø Ü ØÐÐÚÖ Ñ Ø¼µº Ò Ù ÐØ Ú ÙÖÒ ÒÙ ÙÒØÓÒ Ñ Ò Øµº ؼµ غ ÒÖ Ö ÖÑØ ÖÙ ÒÖ ÙÒØÓÒÖ Ò Ù Ð ÖØÒÐÔÙÐ Ò ØÖÒй ÔÙÐ Ó Ò Ù Ð Ó ÒÙ ÙÒØÓÒ ÖØ Ø¼µ¹ ؽµ ØÖÒÐ Ø ½µº ع½µ¹¾ غ ؼµ ع½µº ؽµ Ó Ó Øµº ؼµ ÊØ ÙÔÔ ÙÒØÓÒÖÒ Ñ ÔÐÓغ ÅØÐØÔ Ù ÓÑÑÖ ÒÖØ ØØ ÙÔÔ ÑÒ ÙÖÒ ØÖ ÖÒ ÅØк ÆÖ Ù Ö ØØ Ö ÑÒ Ö Ø ÐØØ ØØ Ù Ø Ü ÐÐ Ò ØÖ ÙØÓÑ ØÚ Ø Ñ ÓÑÑÒÓØ ÐØ ½¹¾µ Ø ÒÐ ØÓ ÙÖÖÒØ ÙÖ ÒÙÑÖØ Ô ØÙÐÐØ ÙÖÒ ØÖµº ¾º ¾º ËÝ ØÑ ØØ Ý ØÑ Ò ÒйÙØ ÒÐÓÖѵ S ÖÔÖ ÒØÖ Ñ Ò ÅØÐÙÒØÓÒ Ø Ü ÒÖ Ý Ø½ºÑº ÇÑ Ò ÒÐÒ ÒÒ Ø Ü ÅØÐÐÒ ØØ ÖÒ ÙØ ÒÐÐÒ Ý ÒÓÑ Ý Ý Ø½ Øصº ÒÓÑ ÐÒ ÐÔÐØÖºÑ ÑÙÐÖ ÐÔ ÐØÖØ ÙÖ ÓÒ ÜÑÔÐ ½¼º Ò ½µ Ñ R = 1 Ó C = 1µº ØÑ Ø ÚÖØ Ö ÐØÖØ Ñ ÓÑÑÒÓØ ÝÐÔÐØÖ Øص Ó ÖØ ÙÔÔ Ø Ñ ÔÐÓØ Ø Ýµº Ö ØØ ÖÒÐ Ö ÚÖÒ ÒÒ ÔØØ Ò ÅØÐÙÒØÓÒ ÔÐÓØ Ý Ø ÓÑ ÖØÖ ÙÔÔ Ò ÒÐÒ Ó ÙØ ÒÐÒº Ë Ò Ø ÙÔÔغ ÈÖÓÚ ÓÑÑÒÓØ ÔÐÓØ Ý Ø ³ÐÔÐØÖ³ Øص Ç ÖÚÖ ØØ ÓÑÑÒÓØ ØÖ Ý ØÑÒÑÒØ ÓÑ Ò ØÖÒ ÐÐØ ÓÑÚØ Ú ³ ³ ¾º ¾º ÐÒ ÐºÑ ÒÒÐÐÖ Ò ÖÐ ÖÒ Ú Ò ÒÙÐ ÐÒ ÜÑÔÐ º½¼ ÐÖ¹ ÓÓÒº Ì Ø Ú ÓÑ ÒÖ ÓÑ Ò Ö Ô Ò ØÖÓØØÓÖÒØ ÖÚÒ Ñ Ò ØÙÒØÓÒµ ÔÐÓØ Ý Ø ³Ð³ Øص ÂÑÖ ÚÒÒ ½½º ¼ µº ÐÒ ÖÝºÑ ÒÒÐÐÖ Ò ÖÐ ÖÒ Ú ÒØØ ÚÒÒ ½¾º¾ º ÊØ Ø ÚÖØ ÔÐÓØ Ý Ø ³Öݳ Øص ÌÖÓÖ Ù ØØ Ø Ö ÒÐØ ØØ Ø Ü Ö Ò ØÐÐ Ò Ò ÒÐÒ ØØ ÙØ ÒÐÒ ÒØÖ ØØ Ò Ø ÚÖ ËÚÖ ¾

ËÔÐÐ Ý ØÑ Á ÔØØ ÒÒ ÒÖ Ö ÔÖØ Ø ÚØ ÔÐÐ Ý ØѺ ÖÖÒÒ Ò ÖÖÒÒ ØÒ a Ñ ÙØ ÒÐÐÝ Ò ÒÐ µ ÜÑÔÐ º½µ ÖÚØÓÒ ÙØ ÒÐÖÒØØÓÖ Ò Òе ÜÑÔÐ º½½ ¾¾µ ÒØÖØÓÒ ÙØ ÒÐÒØÖØÓÖ Ò Òе Ø ½¼º¾µ ¾º Á ÔØØ Ò ÑÒ ÚÒ ÖÖ ÒÐÖ Ñ ÓÑÑÒÓØ Ðݺ ÌØØ ØÐÐ ÜÑÔÐ Ô ÔÐÓØ Ø ÐÝ ØÖÒÐ ¾µµ ¾º ÝØ Ò 2 ÑÓØ 3º Ö Ò ÓÑ ÖÖÒÒÖÒ ÓÚÒ Ñ ØÖÒÐ ÝØØ ÑÓØ Ó º Î ÖÖÒÒÒ Ø Ò ÒÓÐÐÓÖ ÖÒ Ø ÖÙØÒ ÐÐÖ ÖÑØÒ ÓÑ Ö¹ ÖÒÒÒ ÒØ Ö Ù Ðµº ØØ Ö Ò ÓÙÐÐÓÑÐØ ÓÑ Ú ÙÐÐ ÙÒÒ ÙÒÚ ÓÑ Ø ÒÒ ÓÒÐØ ÑÝØ ÑÒÒ ØÓÖÒº ÙÐÐ Ð ÙÒØÓÒÒ ÙÒÒ ÐÖ Ó ÒØ Ö ØØ ÒÐØ ÐÒØÖÚÐк ÈÖÓÚ ÒÙ ØØ ÖÚÖ ÒÖ ÒÐ ÙÒØÓÒÖº ÖÚÖ ØÖÒÐÔÙÐ Ò ÖØÒÐÔÙÐ Ò ØÙÒØÓÒÒ ÐØÙÒØÓÒÒ Ó Ò Ú ÙÖÒ Ó ÒÙ Òº ÔÐÓØ Ý Ø ³ÖÒØØÓÖ³ ØÖÒе ÔÐÓØ Ý Ø ³ÖÒØØÓÖ³ Öص Ó Úº Ä ÑÖ ØÐÐ ÔÖÒ Ò Ð Ú ÖÚØÓÖÒº ÀÙÖ Ò ÑÒ ÖÔÖ ÒØÖ Ñ ÑØÑØ Ø ËÚÖ Ò ÔÖ Ó Ý ØÑ ÝÖ ÚØ Ø ÔÐÐ Ò ÔÖÒ Ó Ý ØÑ Ô Ò ÒйÙØ ÒÐÓÖÑ Ö ÐÒÖØØ Ø ÒÚÖÒ Ù ÐØØ Ó ØÐØغ Î ÐÐ ÒÙ ÜÔÖÑÒØÐÐØ ÙÒÖ¹ ÚÐ Ú ÚÖ Ý ØÑ ÓÑ Ö ØÖ Ö Ø Ú Ò ÔÖº ËØÐØØÒ Ö ÚÖÖ ØØ Ñ ÚÖØ Ý ØÑ ØÖ ÓÑ Ò ØÐÖ ÓÑ Ú ÓÑ Ö t Ó Ø Ö ÐØ ÔÐØ Ô ÖÑÒº

ÄÒÖØØ ØØ Ý ØÑ S ÐÐ Ù ÐÒÖØ ÓÑ S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) = c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 ) Ö ÐÐ ØÐ c 1, c 2 Ó ÐÐ Ò ÒÐÖ w 1, w 2 º ÙÒØÓÒÒ ÐÒØ Ø Ø ØÖ ØØ ÒÓÑ ØØ ÖÒ Ó ÖØ ÙÔÔ S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) (c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 )). ¾º½¼ ¾º½½ ËØÒ ÒØ Ú ÅØÐ ÙØÒ ØÖØ ÔÖÐÐÐÐØ Ð ÏÓÖ Ø ÅÔÐ ½½º ÀÑØ ÐÒ ÙÔÔؾ½¼ºÑÛ ÖÒ ÙÖ Ò Ñ º ÔÔÒ ÐÒ ÅÔк ÃÖ ÐÒ Óѹ ÑÒÓÚ ÒÓÑ ØØ ÔÐÖ ÑÖÖÒ Ô Ò ÅÔÐÖ ØØ Ó Ò ØÖÝ Ô ÖØÙÖÒ¹ÒÔÔÒº ÒÚÒ Ö ÙÐØØÒ Ö ØØ ÚÖ ÚÐ Ú Ý ØÑÒ ÚÒÒ º ÓÑ Ö ÐÒÖ ØÖ ØÐÐ ÅØÐ ÍÒÖ ÓÑ ÐÔÐØÖ Ò ÚÖ ÐÒÖØ ÒÓÑ ØØ ØÓÔÔ Ò ÓÐ ÓÑÒØÓÒÖ Ú Ò ÒÐÖº Ö Ø Ü Ñ ÐÒØ Ø ³ÐÔÐØÖ³ ØÖÒÐ Ó ¹ µ Ä ÑÖ ØÐÐ ÐÒ Ò ÙÒÖ ÙÖÒº ÎÖÖ Ý ØÑØ ÚÖ ÐÒÖØ ÒÑ ÅÒ Ò ÚØÚ ÒØ Ø Ø ÐÐ ØÒÖ Ò ÒÐÖ ÑÒ Ø ÖÙÖ ÑÖ ÒØ ÓÑ ØØ Ý ØÑ ÒØ Ö ÐÒÖغ Ì ÒÚÖÒ ¾º½¾ ØØ Ý ØÑ Ö Ø ÒÚÖÒØ ÓÑ ÖÖÒÒÖ Ú Ò ÒÐÒ ÑÖ ÑÓØ ÚÖÒ ÖÖÒÒÖ Ú ÙØ ÒÐÒ ÑÒ Ò ÒÖ ÖÒÖÒÖ Ú ÒÒº ØØ Ö ÐØØ ØØ Ø Ø ÚÖØ Ý ØѺ ÒÚÒ ÔÐÓØ Ý Ø Ô Ý ØÑØ ÐÔÐØÖ Ó Ò ÒÐÒ ØÖÒк Ö ÙØ Ò Ò ÒÐÒ Ø Ö Ø Ü a = 2 Ó Ø ÚÒ ØÖ Ø Ü a = 3 Ó ÑÖ ÙØ ÒÐÖÒ ÔÐÓØ Ý Ø ³ÐÔÐØÖ³ ØÖÒе ÔÐÓØ Ý Ø ³ÐÔÐØÖ³ ÐÝ ØÖÒÐ ¾µµ ÔÐÓØ Ý Ø ³ÐÔÐØÖ³ ÐÝ ØÖÒÐ ¹ µµ ¾º½ Ø ÒÒ ÚÒ Ö Ò ÙÒØÓÒ ÓÑ ÙÒÖÐØØÖ Ø ØÒ ÐÝØ Øº ÐÝØ Ø ³ÐÔÐØÖ³ ØÖÒÐ ¾µ ÐÝØ Ø ³ÐÔÐØÖ³ ØÖÒÐ ¹ µ Ä ÑÖ ØÐÐ ÐÒ Ò ÙÒÖ ÙÖÒº Á Ú ÐÐ Ò Ø ØØ ØÖ Ú ÒÓÐÐÓÖÒ ÓÑ Ø Ò ÖÒ Ö ÐÐÖ ÚÒ ØÖº ÓÖØ ÖÖ ÖÒ ÚÒØÙÐÐ ØÖÒÒÖ ÖÒ ÐÐÖ ÐÙØغ

ÃÙ ÐØØ ÇÑ Ö ÚÖ a ÐÐÖ Ò ÒÐÒ w(t) = 0 t < a = ÙØ ÒÐÒ y(t) = 0 t < a ¾º½ Ö Ý ØÑØ Ù ÐØ ¹ ÓÑ Ø Ö ÐÒÖغ Ö ÓÐÒÖ Ý ØÑ Ñ Ø ÑÒ ÒÚÒ ÐÖÓÓÒ ÒØÓÒº Ë ÐÖÓÓÒ ÍÒÖ ÓÑ Ý ØÑØ ÐÔÐØÖ Ö Ù ÐØ ÒÓÑ ØØ Ò Ò ÒÖ ØÖÒÐÔÙй Ö Ñ ÓÐ ÖÖÒÒÖº ÌØØ ÒÓ Ô ÐÓÖÒ ÃÙ ÐØ ØØ ÒÐÖ ÖØÖÙÑ Ö Ù ÐØØ ÓÑ Ò ÒÚÒ Ý ØÑØ Ö ÐÒÖØ Ó Ø ÒÚÖÒØ Ö ØØ ÑÔÙÐ ÚÖØ Ö Ò Ù Ð ÙÒØÓÒº ÍÒÖ ÒÒ Ú Ý ØÑ ¾º½ ÍÒÖ ÓÑ Ý ØÑÒ Ý Ø½¹ Ö ÐÒÖ Ø ÒÚÖÒØ Ó Ù Ðº ÝÐРй Ò ØÐÐ Ý ØÑ ÐÒÖØ Ø ÒÚÖÒØ Ù ÐØ Ý Ø½ Ý Ø¾ Ý Ø Ý Ø Ý Ø Ý Ø Ö Ý ØÑ ÓÑ Ö ÐÒÖ Ó Ø ÒÚÖÒØ Ò Ù ÐØØÒ Ø Ø Ñ Ò Ò Ò Òк ÎÐÒ ËÚÖ ÒÖ ÖÚÖ ÐØ ÑÖ ÓÑ ÓÖº ËÝ ØÑ Ö ÐÐ ÒÒ Ò ÖÒ ÚÒÒÖÒº Ë ØÖ Ú Ø Ö Ñ Ò ÔÙÐ ÖØ Ó Ñ ØØ Øغ ÌØØ Ò Ô ÚÒÒ º½¼º ÁÑÔÙÐ ÚÖ ¾º½ ÁÑÔÙÐ ÚÖØ h = Sδ ØÐÐ ØØ ÐÒÖØ Ø ÒÚÖÒØ Ý ØÑ ÓÑ ÙØ ÒÐÒ Ò ÒÐÒ Ö ÐØÙÒØÓÒÒº ÑÔÙÐ ÚÖØ Ö ÒØ Ò Ò ÙØ ÒÐÒ ¹ ÖÒ Ñ ÐØÒÒº ØÑ ÑÔÙÐ ÚÖÒ ØÐÐ ÐÒÖ Ó Ø ÒÚÖÒØ Ý ØÑÒ ØÐÐÒ ÓÚÒº Ì Ø Ò ØØ Ø ÐÖ ÖØØ ÒÓÑ ØØ ÖÒ ÒÓÒ ÐÐÖ ÒÖ ÙØ ÒÐÖ Ñ ÐØÒÒº Ö Ö Ö Ø Ü Ý Ø½ Ó ØÖÒÐ Ò ÝØ ÑÓØ ÒÖ Ý ØÑ Ö ÔØÚ Ò Òе

¾º½ Ý Ø½ Ðص Ý ÐØ ØÖÒе ÔÐÓØ Ý Ø ³ Ý Ø½³ ØÖÒе ÙÖ ÙÔÐÓØ ¾½½µ ÔÐÓØ Ø Ýµ Ó ÑÖº ÇÑ Ù ÝØØÖ Ô Ø ÒÝ Ø Ò ØÖØ Ò Ù ÑØغ ÑÔÐØÙÙÒØÓÒÖ Ö ÐÒÖ Ó Ø ÒÚÖÒØ Ú ÚÖ Ý ØÑ Ö ÚÖÖÒ ¹ Ó ÖÚÒ ¹ ÙÒØÓÒ ÒÖº ÖÚÒ ÙÒØÓÒÒ ÓÐÙØÐÓÔÔ A(ω) = H(iω) Ö¹ ÚÖ Ù ÑÔÐØÙÖ ØÖÒÒÒ Ú ÚÒÐÖÚÒ Ò ωº Î ÐÐ Ø Ø Øغ ËÖÔ¹ ØØ ÑÔÐØÙ ÖÒÖ ÑÔÐØÙÙÒØÓÒÒ A(ω) ÓÑ ÑÔÙÐ ÚÖØ h(t) Ö Úغ H(iω) Ö Ù ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑÒ Ú h(t)º Ë Ø ½¾º ÙÖ ÓÒºµ Ò Óѹ ÐÒ ÑØÓÒ Ö Ì Ò ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑØÓÒµº ÖÒ ÑÔÐØÙÙÒØÓÒÒ Ö Ý ØÑÒ ÐÔÐØÖ Ó Ðº Ö Ñ ØØ Ò Ò Ó ÒÙ ¹ ÐÐÖ ÒÙ ÒÐÖ Ñ ÚÒÐÖÚÒ Ö 1 2 3 Ó 6 Ø Ü ÔÐÓØ Ý Ø ³Ð³ Ò Øµµº ½º ÍÔÔ ØØ Ò ÖÐÐÒ ÙÖÒ ÙÖ ØÓÖ ÑÔÐØÙÖ ØÖÒÒÒ Ö Ò Ò¹ ÐÒ ÑÔÐØÙ Ö ÚÖ 1 ÙØ ÒÐÒ ÑÔÐØÙ Ö Ð Ñ Ö ØÖÒÒÒµº ÝÐÐ ØÐÐÒ ËÝ ØÑ ÎÒÐÖÚÒ ÑÔÐØÙÖ ØÖÒÒ ÐÔÐØÖ ½ ¾ Ð ½ ¾ ¾º ÂÑÖ Ø ÖÐÐÒ ÚÖØ Ñ ÑÓØ ÚÖÒ ÔÙÒØ Ô ÙÖÚÒ Ö ÑÔÐØÙ¹ ÙÒØÓÒÒº ËÖÚ ÑÔÐØÙ ÐÔÐØÖ Ðصµ Ö ÔØÚ ÑÔÐØÙ Ð Ðصµ

¾º½ Á ÑÒ Ú Øºµ Ä ÐÒ ØÒØÑÒ ÙÔÔØ ÒÖ ¾¼¼¼¾½µº ÌÖ Ý ØÑ S 1, S 2 Ó S 3 ÒÖ Ú (S 1 w)(t) = w (t) (S 2 w)(t) = 1 1 + t t w(τ) dτ 2 0 (S 3 w)(t) = w(t) + sin t º ÐÐ Ý ØÑÒ ÒØ ÒÖ Ö ÐÐ ÖÚÖÖ ÙÒØÓÒÖ w(t) Ö t Rº ÎÐ Ú Ý ØÑÒ Ö ÐÒÖ Ø ÒÚÖÒØ Ù Ð ÐÐÖ Ò ÒйÙØ ÒРع Ð Ò Ø ÚÖ ÚÖ º Ö Ø ØÚ ÖØØ ÒÒ ÔÓÒº ÖØÖ Ö ÚÖ ÖØØ ÚÖ ¼º½ ÔÓÒº ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÅØÐ ÅØÐ Ò ÙØÖ ÒÙÑÖ ÖØ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑØÓÒÖº ÌÝÚÖÖ Ö Ø Ò Ð Ð ÓÖÒ Ñ ØÐÖ ÓÑ Ñ Ø ÐÖ Ú Ö ØØ ÑÒ ÐÐ ÙÒÒ ÖÒ ÓÒØÒÙÖÐ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑÖ Ñ ÅØÐ ØÒ ØÐÐØÖ ÒØ ØØ Ú Ö ÒÓÑ Ø Öº ÃÓÑÑÒÓØ Ö Ò ÖØ ØÖÒ ÓÖÑÒ Ö Ø Ó Ö Ò ÒÚÖ Øº ÅÔÐ ¾º½ ¾º¾¼ ÅÔÐ Ö ÒÝ ÖÙØÒÖ Ö ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑØÓÒ Ó ÒÚÖ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖ¹ ÑØÓÒº ØÖ ÓÙÖÖ Ó ÒÚÓÙÖÖ Ó ÐÖ ØÐÐÒÐ Ñ ÛØ ÒØØÖÒ µº ÅÔÐ ÒÒÖ ÚÒ ØÐÐ ÐØÙÒØÓÒÒ δ(t) ÓÑ Ñ Ö Øµ Ó Ø¹ ÙÒØÓÒÒ θ(t) ÓÑ Ñ ÀÚ Øµ Ó Ò ÓØ ÖÒ ÖØØ Ñ Ñº ÇÑ Ù ÖÖÖ ÑÑ ÒÑÒ ÓÑ ÙÖ ÓÒ Ö Ø ØØ ØÓÑÑ Ñ Ð ÐØÖ ØØÀÚ µº ÖÒ ÖÚØÒ Ú θ(t) Ó e t θ(t) Ñ ÐÔ Ú ÅÔÐ ÒÚÒ µº ÒÚÒ ÑÔÐÝ Ô Ø ÒÖ Ö ÙÐØØØ Ö Ù ØØ ÅÔÐ Ò ÖÐÒ f(t)δ(t a) = f(a)δ(t a)º ÖÚØÒ Ú δ(t) ÐÐØ δ (t) ØÒ ÅÔÐ Ñ Ö ½ ص Ó Ú ¹ Ö ÖÚØÓÖ Ö ØØ 1 Ñ ÖÚØÓÒ ÓÖÒÒÒµº ÄØ ÅÔÐ ÖÒÐ ÙØØÖÝØ sin(t)δ (t 2) Ó ÑÖ Ñ Ú Ù ÐÚ ØØ Ø ØÐк

¾º¾½ ÖÒ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑÒ Ú e t θ(t) Ñ ÅÔÐ ÓÙÖÖ ÜÔ ¹Øµ ÀÚ Øµ Ø Óѵ ËØÑÑÖ ÅÔÐ Ö ÙÐØØ Ñ Ø Ù Ò ÚÐ Ò ØÐÐ ËÚÖ ¾º¾¾ Ö ÖÒ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑÒ Ú e t θ(t) Ñ ÅÔк Î ÒÖ ÎÖÖ ¾º¾ ¾º¾ ÚÒ ÓÑ Ò ÔÖÒ Ó Ò Ó ÔÖ ÙÒØÓÒ ÒØ Ö Ò Ú ÅÔÐ Ö¹ ÙØ ØØ ØØ Ö ØØ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑÖº ÜÑÔÐÚ ÐÖ ÓÙÖÖ ÓÙÖÖ Øµ Ø Óѵ ÓÑ Øµ Ú ÑÒ ÖÚÒØÖ º Î ÖÚÒ¹ ØÖ Ù ÒÐØ ÚÒÒ ½ º½ Ë ØØ ÐØÒØ Ø¹ØÙµ ØÙµ ØÙ¹ÒÒØݺº ÒÒØݵº ÌØØ Ô Ø ½ ºº Î ØÖÓÖ Ù ØØ ÓÙÖÖ ÐØ Ø Óѵ ÐÖ Ä ÚÒÒ ½ º½ Ô ÐÒ ØØ ÓÙÖÖ ÜÔ Øµ ÀÚ ¹Øµ Ø Óѵ Ó ÜÑÔÐ ½ º ÐÖÓÓÒ ÓÙÖÖ ÜÔ ¹ صµ Ø Óѵ ¾º¾ ¾º¾ ¾º¾ Ä ÜÑÔÐ ½ º ØÖÒ ÓÖÑÒ Ú e t2 µ Ñ ÅÔк Ä ÚÒÒ ½ º Ñ ÅÔк Ä ÚÒÒ ½ º¾ Ñ ÅÔк ÙÖ ÐÒ ÒØÚÝ Øµ ÒØ ÜÔ ¹ عٵµ Ý Ùµ Ù¹ÒÒØݺºÒÒØÝµØ ÜÔ ¹ صµ ÓÙÖÖ ÒØÚ Ø Óѵ Ù ÓÙÖÖ Ý Øµ Ø Óѵ ±µ ÐÓ ÒÒ ÓÐÚ ± µ ÒÚÓÙÖÖ ÐÓ ÒÒ ÓÑ Øµ ¾º¾ Ä ÚÒÒ ½ º ¾ Ñ ÅÔк ÈÖ ÚÐ ÓÖÑÐ ØØÖ Ù Ô Ö Ø Ò ÓÖÑй ÑÐÒÒº ÃÒ ÅÔÐ ÖÒ ÒØÖÐÒ ÖØ ÙØÒ ÈÖ ÚÐ

¾º¾ ¾º ¼ ¾º ½ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ØØ Ú ÒØØ Ö ÒØ Ú ØØ ØØ ÒÓÑ ÙÒÖ ØÓÖÚÒÒÒº Ö Ø ÖÒ Ô Ò Ò ÒÖ Ù ÐÖØ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑØÓÒÒº ÅÔÐ Ò ÖÒ Ñ Ò ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÖº ØÖ ØØ ØØ ÓÑÑÒ¹ ÓØ ÛØ ÒØØÖÒ µ Ò ÑÒ ÒÚÒ ÐÔÐ Ó ÒÚÐÔк ËÝÒØÜÒ Ö Ò ÑÑ ÓÑ Ú ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑØÓÒÒº ÖÒ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÒ ÚÒÒ ½º½º Ò Ñ ÐÔÐ ÜÔ ¹¾ ص ÀÚ Øµ Ø µ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ Ö ÙÐØØØ Ñ ÒÚÐÔÐ ± ص ÈÖÓÐÑÒ Ú ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÙÔÔÓÑÑÖ ÖÐ Ú ÒÚÖ ØÖÒ ÓÖ¹ ÑØÓÒÒº Ä ÒÖ ÐÙÔÔØÖ ½º½º Ò Ú ÑØÓÖ ÓÑ ÅÔÐ ÒÚÒÖ ÓÑÑÒÓØ ÓÐÚ Ö Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ö ÐÚ ÚÖØ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑØÓÒº Ö ØØ Ú ÅÔÐ ÑÐØÖ Ö Ú ÒÓÑ Ò Ð ÒÒ Ú ÒØÖÐÚØÓ¹ ÒÒ ÚÒÒ ½ºº ÒÒ Ò Ð ÒÒ ØÐÐ ÒØÖÐÚØÓÒÒ x Ø Ò ÑÒ Ö Ö 0 f(x y)f(y) dy = x 3 e x, x > 0. ÒØÚ ÒØ Ü¹Ýµ ݵ ݼººÜµÜ ÜÔ Üµ ÐÔÐ ÒØÚ Ü µ Î ÝØÖ ÙØ ÄÔÐÙØØÖÝØ ÑÓØ ÒÓØ ÒÐÖ Ð Ö ÙØ ØØ Ó ÚÐÖ Ò Ð ÒÒ ØØ ÒÚÖ ØÖÒ ÓÖÑÖº Ù ÐÔРܵ Ü µí ±µ ÐÓ ÒÒÖ ÓÐÚ ± ͵ ÐÓ ÒÒÖ½ ÒÚÐÔРܵ Å ÐÓ ÒÒÖ¾ Ú ØØ Ò ÒØÚ Ð ÒÒÒº Ä ÒÒ ÑØÓÒ ÓÚÒ ÒÒÐÐÖ ÒÖ ÑÓÑÒØ ÓÑ Ò Ö ÓÒغ Ò¹ ÚÒ ÅÔÐÓÙÑÒØØÓÒÒ Ö ØØ Ö Ô Ú ÓÒ ÓÑÑÒÓÒ Öº ÖÑ Ú ÐÙØÖ Ú ØÓÖÚÒÒÖÒº  ÓÔÔ ØØ Ò ÓÑÑÖ ØØ ÐÐ Ø Ò ÐÖØ Ö ÓÑ ÅØÐ ÅÔÐ Ó ÑØÑØ Ú ÐÚ Ó ØØ Ò Ò Ý Ô Ø ÒÖ Ø Ú Ö Ö ÒÒÖ ÚÖ Ñغ

ÄØØÖØÙÖÖØÒÒ ÈÖعÒÒÖ º ² ËÖ º ¾¼¼½µ ÒÚÒÖÒÐÒÒ Ö ÅØÐ ÁÒ Ø¹ ØÙØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÍÔÔ Ðº À º ¾¼¼ µ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÅÔÐ ËÔÖÒÖº ËÔÒÒ Ëº ½µ ÄÒÖ Ý ØÑ Ã˺ ÏÖÒÖ ºº ¾¼¼¾µ ÅÔÐÒÓÒ ÅØÑØÚÐÒÒÒ Æµ ÄÙÒº ½¼