MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt. TEN Datum: december 0 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Linjal Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN5 eller alternativt (det äldre) TEN. Provet består av åtta stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt poäng. För godkänd-betygen, 4, och 5 på TEN5 krävs erhållna poängsummor om minst, 6 respektive poäng, och för betygen godkänd och väl godkänd på TEN krävs erhållna poängsummor om minst respektive 8 poäng. Om den erhållna poängen benämns S a, och den vid tentamen TEN6/TEN4 erhållna S b, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S a, S b 9 och S a + S b 4 S a, S b 9 och 4 S a + S b 5 4 S a + S b 54 5 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara den punkt som delar sträckan AC i förhållandet : där AE är den längre delsträckan. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna ED och EB är representanter för basvektorerna e respektive e. Bestäm, uttryckt i basen e, e, den vektor som representeras av den riktade sträckan AC.. Antag att vektorerna e, e, e utgör en HON-bas. Bestäm arean av det begränsade parallellogramområde som definieras av att vardera en representant för vektorerna 4e e + e och e + e e sammanfaller med två av sidorna i parallellogrammen. 5x + y + z = 4. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + y z = x + y + 4z = 7 4. Bestäm, på parameterfri form, ekvationen för det plan π som består av punkterna med koordinaterna (x, y, z) = ( + r 5s, r + s, r s), r, s R, givna i ett HON-system. 5. Matrisen N är av typ 6 6 och antas satisfiera ekvationen B + B NB = 0, där determinanten för matrisen B är lika med 0. Bestäm de värden som skulle kunna vara möjliga för determinanten för N.? 6. Vektorerna u, u + v och u + v har längderna 6, respektive. Bestäm skalärprodukten u v. 7. Skissa området Re(z), π/6 arg(z) < π/, och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga imaginärdel. 8. Bestäm den matris H som löser ekvationen [( ) + ( ) T H] = 4 ( ).
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 0/4 Tentamen TEN5 / TEN 0--0. u e e AC Den som har angivit ett felaktigt svar, och som inte har kontrollerat detta i en direkt vektoraddition, kan som mest få p totalt. POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter p: Korrekt funnit basvektorerna e u och e ED u EB uttryckta i en bas f,f som illustrerar två icke-parallella sidor av rektangeln ABCD p: Korrekt funnit basen f,f uttryckt i basen e,e p: Korrekt funnit u uttryckt i basen e,e AC. 7 a.e. p: Korrekt introducerat och korrekt skrivit ned uttrycket för arean av parallellogramområdet p: Korrekt bestämt den aktuella vektorprodukten p: Korrekt bestämt normen av den aktuella vektorprodukten, och därmed även den sökta arean. ( x, y, z) (7 t, 7 8t, t), t R p: Korrekt eliminerat en av de obekanta från två av ekv:na p: Korrekt eliminerat i ytterligare ett steg och korrekt dragit slutsatsen att ekvationssystemet löses av oändligt många taltripler (oändligt många i den betydelsen att triplerna i praktiken motsvarar punkter på en rät linje) p: Korrekt angivit de taltripler som löser ekvationssystemet 4. : 7x y z 4 0 Scenario Den som har gjort ett och endast ett räknefel i den första eller alternativt i den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna ekvationssystemet, får p totalt. Den som sedan i en kontroll av den uppkomna lösningen konstaterat att den inte fungerar men som inte har funnit felet, kan få upp till p totalt såvida det framgår att studenten verkligen har ansträngt sig för att reda ut felet. p: Korrekt ställt upp parameterformen av planets ekvation som ett linjärt ekvationssystem i parametrarna r och s, och korrekt eliminerat en av parametrarna från två av ekvationerna p: Korrekt eliminerat den andra parametern från en av ekv:na p: Korrekt identifierat planets ekvation på parameterfri form Scenario p: Korrekt identifierat två icke-parallella vektorer som bägge är parallella med planet p: Korrekt som en normalvektor till planet bestämt vektorprodukten av de med planet parallella vektorerna, dvs bestämt en vektor som är proportionell mot 7e e e e e e (vilken i sin tur i en HONbas är lika med 7e e e ) p: Korrekt funnit planets ekvation genom en skalärmultiplikation av ovanstående omnämnda normalvektor och en vektor som representeras av den riktade sträckan från en fix punkt i planet till en godtycklig punkt i planet, dvs korrekt funnit 0 (7x y z 4)[( e e ) e] där ( e e ) e 0 då e, e, e är en bas ()
5. det( N ) 5 p: Korrekt inför en determinanttagning skrivit om matrisekvationen så att den innehåller en matristerm på vardera sidan om likhetstecknet, samt korrekt tillämpat produktregeln för determinanter (och då speciellt korrekt hanterat faktorn ) p: Korrekt löst ut det(n ) p: Korrekt bestämt det enda möjliga värdet för det(n ) Den som felaktigt har utvecklat determinanten för en summa av matriser som om determinanten vore en linjär funktion kan totalt få högst p, och då förutsatt att allt det övriga är korrekt behandlat utifrån det uppkomna (det uppkomna svaret ska då vara 5 ). 6. 9 4 p: Korrekt uttryckt längderna i kvadrat av u v och u v som u u v v resp. u 4u v 4 v p: Korrekt utnyttjat det givna om normen av u för att få ett linjärt ekvationssystem med u v och v som obekanta p: Korrekt löst ut (bestämt) skalärprodukten u v 7. i 4 i e 6 p: Korrekt illustrerat det givna området p: Korrekt funnit den polära formen av det särskilda komplexa talet z p: Korrekt funnit den rektangulära formen av det särskilda komplexa talet z 8. H 8 0 Scenario p: Korrekt transponerat VL:et och HL:et, samt korrekt genom en subtraktion löst ut den H-beroende termen p: Korrekt till formen löst ut matrisen H, samt korrekt inverstagit den matris som stod till vänster om H p: Korrekt multiplicerat de två matriserna i slututtrycket, och korrekt funnit matrisen H Scenario p: Korrekt transponerat VL:et och HL:et, samt korrekt genom en subtraktion löst ut den H-beroende termen p: Korrekt ansatt elementen i den sökta matrisen och korrekt multiplicerat den med den andra matrisfaktorn p: Korrekt löst de uppkomna ekvationerna och sedan korrekt sammanställt matrisen H Den som har transponerat och matrissubtraherat felaktigt, men som sedan utifrån uppkommet uttryck korrekt har gjort resterande steg, kan få upp till p totalt, allt beroende på hur pass likvärdiga i svårighetsgrad efterföljande steg är. På motsvarande sätt kan den som i scenario har gjort fel i de två första poänggivande stegen, eller den som i scenario har gjort fel i det första poänggivande steget, ändå få p totalt förutsatt att den uppkomna matrismultiplikationen är likvärdig i svårighetsgrad och att den har genomförts på ett korrekt sätt. ()