Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig punkt i rummet. Vi kan då skriva ortsvektorn som ru, u 2, u 3 ). Om vi då håller en av parametrarna, säg u, fix låter u 2 u 3 variera, så får vi en två-dimensionell yta, vilken vi kallar u -ytan. På samma sätt kan vi då definiera ytor för de andra koordinaterna. Två koordinatytor, till exempel de för koordinaterna u 2 u 3, skär varandra längs en en-dimensionell kurva. Längs denna kurva kommer då bara koordinaten u att variera, så denna kurva är en koordinatkurva för u. Exempel: I de cylindriska koordinaterna ρ, φ, z kan vi skriva ortsvektorn som r = ρ cos φ, ρ sin φ, z). Koordinatytorna för ρ, φ, z är då en cylinder med z-axeln som symmetriaxel med radien ρ, ett plan som utgår från z-axeln bildar en vinkel φ med x-axeln, samt ett plan parallellt med xy-planet med z-koordinaten z. Koordinatlinjerna för ρ, φ, z blir då en stråle som utgår från z-axeln bildar vinkeln φ med x-axeln, en cirkel med radien ρ en linje parallell med z-axeln. Om vi nu studerar en liten förskjutning av ortsvektorn, dr, så kan vi i med att ortsvektorn är en funktion av u, u 2, u 3 skriva denna som dr = u du + u 2 du 2 + u 3 du 3. ) Tänk nu på att den partiella derivatan / u är definierad som derivatan då vi håller u 2 u 3 fixa. Därför måste / u vara en tangentvektor till koordinatkurvan för u. Vi kan då definiera en enhetsvektor för u som e =, 2) h u där h = u 3) kallas för skalfaktorn. På samma sätt kan vi bestämma skalfaktorer enhetsvektorer till u 2 u 3. Förskjutningsvektorn dr kan vi nu skriva som dr = h e du + h 2 e 2 du 2 + h 3 e 3 du 3. 4) Exempel: I cylindriska koordinater är r = ρ cos φ, ρ sin φ, z). Vi kan då beräkna = cos φ, sin φ, 0), 5) ρ Skalfaktorerna blir då = ρ sin φ, ρ cos φ, 0), 6) φ = 0, 0, ). 7) z h ρ = cos 2 φ + sin 2 φ ) /2 =, 8) h φ = ρ 2 cos 2 φ + ρ 2 sin 2 φ ) /2 = ρ, 9) h z =. 0)
Enhetsvektorerna blir ˆρ = cos φ, sin φ, 0), ) ˆφ = sin φ, cos φ, 0), 2) Förskjutningsvektorn kan då skrivas som ẑ = 0, 0, ). 3) dr = ˆρdρ + ρˆφdφ + ẑdz. 4) I fortsättningen skall vi begränsa oss till koordinatsystem med ortogonala enhetsvektorer, dvs e i e j = { om i = j 0 annars 5) Vi skall också anta att enhetsvektorerna bildar ett högersystem e e 2 = e 3 6) Visa att enhetsvektorerna i de cylindriska koordinaterna uppfyller dessa villkor. Vi kan nu härleda några användbara samband som båglängden längs en kurva ds 2 = dr dr = h 2 du 2 + h 2 2du 2 2 + h 2 3du 2 3. 7) Ett ytelement ds på koordinatytan u är en rektangel som genereras av du 2 du 3. Rektangelns sidor har då längderna h 2 du 2 h 3 du 3. Rektangelns area är därför ds = h 2 h 3 du 2 du 3, 8) på samma sätt kan vi beräkna ytelementen på koordinatytorna för u 2 u 3. Analogt kan vi beräkna volymelementet som genereras av du, du 2 du 3, vilket blir Exempel: Bågelementet i cylindriska koordinater blir dv = h h 2 h 3 du du 2 du 3. 9) ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dθ 2 + dz 2. 20) Ett ytelement på ρ-ytan skrives på φ-ytan på z-ytan Volymselementet kan vi skriva som ds = ρdφdz, 2) ds = dρz 22) ds = ρdρdφ. 23) dv = ρdρdφdz. 24) 2 Vektoroperatorer i kroklinjiga koordinater 2. Gradient Betrakta ett skalärt fält f. Om vi förflyttar oss en sträcka dr så förändras f df = f dr. 25) 2
Förflyttningen kan vi i de nya koordinaterna skriva som Om vi skriver f som en funktion av u, u 2 u 3 får vi dr = h e du + h 2 e 2 du 2 + h 3 e 3 du 3. 26) df = du + du 2 + du 3 = h du + h 2 du 2 + h 3 du 3 u u 2 u 3 h u h 2 u 2 h 3 u 3 = e + e 2 + ) e 3 dr 27) h u h 2 u 2 h 3 u 3 Då kan vi identifiera uttrycket inom parentesen som gradienten i de nya koordinaterna u, u 2, u 3 f = h u e + h 2 u 2 e 2 + h 3 u 3 e 3. 28) Exempel: I cylindriska koordinater blir gradienten 2.2 Divergens Vi har definierat divergensen som f = ρ ˆρ + ρ φ ˆφ + ẑ. 29) z divv = lim δv 0 δv δs v ds. 30) Vi kan nu beräkna divergensen över en låda med sidlängderna h du, h 2 du 2 h 3 du 3 i våra kroklinjiga koordinater. Lådan har då två ytor på u -ytorna u + du /2 u du /2. Dessa ytor har sidlängderna h 2 du 2 h 3 du 3. Ytornas areor är då h 2 h 3 du 2 du 3 där skalfaktorerna måste beräknas vid korrekt u -koordinat. Vi får då på ytan vid u + du /2 där normalvektorn är n = e att v nds = v h 2 h 3 du 2 du 3, 3) på ytan vid u du /2 med normalvektorn n = e att v nds = v h 2 h 3 du 2 du 3. 32) Testvolymen δv = h h 2 h 3 du du 2 du 3. Om vi nu summerar ihop bidragen från de två sidorna dividerar med volymen [v h 2 h 3 ) u + du /2) du 2 du 3 v h 2 h 3 ) u du /2) du 2 du 3 ] = h h 2 h 3 du du 2 du 3 v h 2 h 3 ) u + du /2) du 2 du 3 v h 2 h 3 ) u du /2) du 2 du 3 h h 2 h 3 du = h h 2 h 3 u v h 2 h 3 ). 33) På samma sätt kan vi behandla de övriga sidorna divergensen blir till slut v = v h 2 h 3 ) + u 2 h 3 h ) + ) u 3 h h 2 ) h h 2 h 3 u u 2 u 3 34) Genom att ersätta v med f kan vi också härleda Laplace-operatorn i de kroklinjiga koordinaterna [ ) 2 h2 h 3 f = + ) h3 h + )] h h 2. 35) h h 2 h 3 u h u u 2 h 2 u 2 u 3 h 3 u 3 3
Exempel: Divergensen blir i cylindriska koordinater v = ρ ρ ρv ρ) + φ v φ) + ) z ρv z) = ρ ρ ρv ρ) + ρ Laplace-operatorn blir i cylindriska koordinater 2 f = [ ρ ) + ) + ρ )] = ρ ρ ρ φ ρ φ z z ρ ρ 2.3 Rotation v φ φ + v z z. 36) ρ ) + 2 f ρ ρ 2 φ 2 + 2 f z 2. 37) Vi har definierat rotationen genom n rotv = lim v dr. 38) δs 0 δs δc För att finna e 3 komponenten till v integrerar vi längs en liten rektangel i u 3 -ytan med sidlängder h du h 2 du 2. Linjeintegralen längs den högra sidan är v 2 h 2 du 2 u + du /2, u 2, u 3 ), där argumentet gäller för både v 2 h 2. På samma sätt blir integralen längs den vänstra sidan v 2 h 2 du 2 u du /2, u 2, u 3 ). Om vi summerar dessa två bidrag dividerar med rektangelns area h h 2 du du 2 får vi h h 2 du du 2 [v 2 h 2 ) u + du /2, u 2, u 3 ) du 2 v 2 h 2 ) u du /2, u 2, u 3 ) du 2 ] = v 2 h 2 ) u + du /2, u 2, u 3 ) v 2 h 2 ) u du /2, u 2, u 3 ) h h 2 du = v 2 h 2 ). 39) h h 2 u Om vi summerar rektangelns övre undre sida på samma sätt så får vi e 3 -komponenten av rotationen blir då e 3 v = h h 2 v h ). 40) h h 2 u 2 u v 2 h 2 ) ) v h ) u 2. 4) De andra komponenterna kan beräknas genom att permutera indexen. På determinantform blir rotationen h e h 2 e 2 h 3 e 3 v = h h 2 h 3 u u 2 u 3 h v h 2 v 2 h 3 v 3. 42) Exempel: Rotationen i cylindriska koordinater blir v = ˆρ ˆφ ẑ ρ ρ φ z v ρ ρv φ v z = [ vz ρ φ ) z ρv vr φ) ˆρ + z v ) z ρˆφ + ρ ρv φ) v ) ] ρ ẑ φ v z = ρ φ v ) φ vr ˆρ + z z v ) z ˆφ + ρ ρ ρv φ) ) v ρ ẑ. 43) ρ φ 4
3 Sfäriska koordinater Med sfäriska koordinater skriver vi ortsvektorn som r = r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ). Då får vi de tre tangentvektorerna Detta ger oss skalfaktorerna = sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), 44) = r cos θ cos φ, r cos θ sin φ, r sin θ) 45) θ = r sin θ sin φ, r sin θ cos φ, 0). 46) φ h r = sin 2 θ cos 2 φ + sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 θ ) /2 =, 47) h θ = r 2 cos 2 θ cos 2 φ + r 2 cos 2 θ sin 2 φ + r 2 sin 2 θ ) /2 = r 48) h φ = r 2 sin 2 θ sin 2 φ + r 2 sin 2 θ cos 2 φ ) /2 = r sin θ. 49) Vi kan nu skriva våra differentialoperatorer som v = r sin θ 2 f = r 2 f = ˆr + r φ ˆφ + r sin θ θ ˆθ. 50) v = r 2 ) r 2 v r + r sin θ θ sin θv θ) + r sin θ r 2 ) + r 2 sin θ ) + sin θ θ θ v φ φ, 5) 2 f r 2 sin 2 θ φ 2 52) θ sin θv φ) v ) θ ˆr + v r φ r sin θ φ ) rv φ) ˆθ + r rv θ) v ) r ˆφ. θ 53) 4 Räkneregler för differentialoperatorer Precis som vi har räkneregler för derivatorer, så kan vi härleda räkneregler för våra differentialoperatorer. Det är då viktigt att komma ihåg att fälten på de båda sidorna av likhetstecknet skall vara av samma typ, det vill säga om vi har ett skalärt fält till vänster om likhetstecknet skall vi ha ett skalärt fält till höger om likhetstecknet, om vi har ett vektorfält till vänster om likhetstecknet skall också fältet till höger vara ett vektorfält. På så sätt kan man resonera sig fram till några av räknereglerna. 4. Gradient, divergens rotation av en produkt av fält För vanliga funktioner f g gäller att d df fg) = dx dx g + f dg dx. 54) Om vi istället betraktar fg), där f g är skalära fält, ser vi att det resulterande fältet skall vara ett vektorfält, att vi måste derivera ett av fälten åt gången. Om vi tar gradienten 5
av ett skalärt fält, så får vi ett vektorfält om vi sedan multiplicerar med ytterligare ett skalärt fält, så har vi fortfarande ett vektorfält, alltså bör räknereglen gälla. På liknande sätt kan vi resonera oss fram till fg) = f g + g f 55) fu) = f u + f u, 56) fu) = f u + f u. 57) De mer komplexa sambanden nedan är dock svårare att härleda. I princip kan man visa dem genom att skriva ut ekvationerna komponentvis, men en effektivare metod är att använda den indexnotation som beskrivs i Matthews. Indexnotationen är ett effektivt verktyg i stora delar av den teoretiska fysiken. A B) = B A) A B) 58) A B) = B ) A A) B A ) B + B) A 59) A B) = A ) B + B ) A + A B) + B A). 60) Här skall vi tolka A som A = A x x + A y y + A z z 6) 4.2 Kombinationer med två vektoroperatorer Man kan också kombinera två vektoroperatorer med ett fält. Ett enkelt vanligt exempel på detta är att vi vill beräkna rotationen ett ett vektorfält av formen φ. Detta ger oss i kartesiska koordinater φ = 2 φ = ) ) ) φ φ φ = 2 φ x x y y z z x 2 + 2 φ y 2 + 2 φ z 2. 62) Operatorn 2 kallas för Laplace-operatorn. Analogt kan man definiera Laplace-operatorn för ett vektorfält 2 u = 2 u x, 2 u y, 2 u z ), 63) men denna kan också beräknas ur ekvationen 2 A = A) A). 64) Lägg här märke till att det finns enkla uttryck för Laplace-operatorn för ett skalärt fält i kroklinjiga koordinater se ovan), men inget sådant uttryck existerar för Laplace-operatorn för ett vektorfält, utan om vi vill applicera Laplace-operatorn på ett vektorfält, så måste vi gå tillbaka till ekv. 64). Två viktiga samband, vilka dessutom är enkla att härleda, är f = 0 65) F) = 0. 66) 6