18 Trigonometri Övning 18.1 I tringeln är sidorn och lik lång. Tringelns störst vinkel är 10. eräkn förhållndet melln sidorn och. Svr med tre gällnde siffror. Mätning i figur godts ej. Tringeln är likbent. å bsvinklrn i en likbent tringel är lik stor måste det vr toppvinkeln som är 10. svinklrn är då 1. ntg tt ett v benen,, är. Sinusstsen ger då Förhållndet kn då teckns sin 10 = sin 10 sin 1 = sin 1 sin 10 = sin 1 1.93 Svr: Förhållndet melln 1.93 Övning 18. I en prllellogrm bildr två v sidorn vinkeln 39 med vrndr. ess sidor hr längdern 6.4 cm och 9.0 cm. eräkn prllellogrmmens re. 6.4 39º 9.0 Figuren visr ett prllellogrm. Sidorn är prvis prllell. ett betyder tt även motstående vinklr är lik stor. är kongruent med Vi nvänder restsen för tt bestämm ren hos. 6.4 9.0 sin 39 T 18.1
Trigonometri Prllellogrmets re är dubbelt så stor Svr: 36 cm Övning 18.3 En konvex fyrhörning (dvs digonlern ligger inom fyrhörningen) hr sidorn 13.4 cm, 16. cm,.8 cm och 30.1 cm. e två sistnämnd sidorn bildr ett hörn med vinkeln 61. estäm fyrhörningens re. 30.1 61º.8 13.4 16. Vi drr digonlen. etrkt och tillämp cosinusstsen. = 30.1 +.8 30.1.8 cos 61 = 7.8 Vi tillämpr åter cosinusstsen, men nu på för tt bestämm. 7.8 = 13.4 ( + 16. 13.4 ) 16. cos = rccos 13.4 +16. 7.8 = 137.17 13.4 16. Nu över till restsen som vi sk nvänd två gånger.8 30.1 sin 61 Svr: Fyrhörningens re är 374cm + 13.4 16. sin 137.17 300.1 + 73.78 = 373.9 Övning 18.4 I tringeln är sidn = 7.0 cm och sidn =.0 cm. Tringelns re är 10. cm. estäm längden v sidn i de två fll som kn förekomm. 7 7 Vi strtr med tt nvänd restsen 10. = 7 sin = rcsin ( ) 10. 7 1 = 36.87 = 143.13
3 osinusstsen två gånger, sedn är vi klr och Svr: 4.4 cm eller 11.4 cm x = + 7 7 sin 36.87 x = 4.4 x = + 7 7 sin 143.13 x = 11.4 Övning 18. I en tringel är = x cm, = (x + ) cm och = (x ) cm. Vis tt cos = x 8 (x ) Självklrt är det cosinusstsen som sk nvänds här = + cos (x + ) = x + (x ) x(x ) cos cos = x +(x ) (x+) ( x(x ) ) x 8 = rccos (x ) Övning 18.6 Kjs bor på lmö (). En dg kör hon med sin båt till jörkö (), vilket tr 0 minuter. Hon fortsätter sedn till ederö (), vilket tr henne 44 minuter. Från ederö ser hon både och. Vinkeln melln syftlinjern är, dvs vinkeln =. Hon tr hel tiden den kortste vägen melln örn och kör med konstnt frt. Hur lång tid tr det för Kjs tt färds rk vägen hem? º 44 1 Sträckorn i figuren hr en längd proportionell mot tiden. ntg tt = x, = 0 och = 44. Med cosinusstsen får vi 0 = x + 44 x 44 cos 400 = x + 1936 79.76x x 79.76x + 136 = 0 x 1 = 47.4 x = 3.1 Eftersom båd röttern > 0 finns det två lösningr. Svr: 1 tr 47 minuter och tr 33 minuter.
4 Trigonometri Övning 18.7 En tringel hr vinklrn,, och sidorn, b och c. Sidn står mot vinkeln, sidn b står mot vinkeln och sidn c står mot vinkeln. Vis tt c = cos + b cos b Med hjälp v cosinusstsen får vi { b = + c c cos = b + c bc cos Vi hr ett ekvtionssystem där vi nvänder dditionsmetoden och får som vr precis det som skulle viss. + b = + b + c c cos bc cos c = c cos + bc cos c = cos + b cos c Figur 18.1: Övning 18.8 En ko betr i en hge. Hgen begränss v ett stängsel med längden 10 m och ett nnt stängsel med längden 0 m. Längs sidn, som är m rinner en bäck. Kon är tjudrd vid hörnet med ett rep. Repets längd hr vpssts så tt kon precis kn nå frm till bäcken vid för tt drick vtten. Punktern, och ligger på en och smm rät linje. Hur stor är ren v det område som kon kn bet v? 10 0
Området kon kn bet v är en cirkelsektor. ren bestäms v formeln v 360 πr Repets längd är lik med cirkelsektorns rdie. Vi börjr med tt bestämm och i och nvänder då cosinusstsen. Först. Så bestämmer vi = 10 + 0 10 0 cos = rccos ( ) 100+400 6 400 = 108.1 0 = 10 + 10 cos = rccos ( ) 100+6 400 00 = 49.46 Rdien är vinkelrät mot tngenten. Så är det lltid. Vi kn nu bestämm genom sin 49.46 = = 7.60 10 Nu kn vi bestämm cirkelsektorn re. 108.1 360 π7.60 4.4 Svr: m Övning 18.9 En bllong, som befnn sig över en slätt, ikttogs smtidigt i sydlig riktning v två personer och. Personen befnn sig vid tillfället 43 m rkt norr om person. Riktningrn till bllongen från och uppmättes till 7. respektive 6.4 i förhållnde till horisontlplnet. eräkn bllongens höjd över slätten. v h 6,4º u 7.º 43 llongen befinner sig i. Vi bestämmer först vinklrn u och v. u = 180 7, = 107. v = 180 (107. + 6.4 ) = 16.1 Sinusstsen i ger sin 107. = 43 sin 16.1 = 1867 I den rätvinklig tringeln kn vi sedn bestämm bllongens höjd h. Svr: 1 m sin 6.4 = h 1867 h = 1