TSBK10 Teknik för avancerade datorspel: Fysik Föreläsning 6-8 (ht005) Kenneth Järrendahl, IFM Innehåll Fö 6 i. Inledning 1. Kinematik Fö 7. Kinetik I (krafter) Fö 8 3. Kinetik II (energi) 4. Stelkroppar i rörelse 5. Deformerbara kroppar, fluider etc. Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 1
i. Inledning i.1 Om kursens fysikföreläsningar i. Fysikens områden i.3 Modellarbete Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 3 i.1 Om fysikföreläsningarna i kursen Snabba fakta om fysikföreläsningarna Teknik för avancerade datorspel (TSBK10) innehåller 3 stycken föreläsningar om fysik (Fö 6-8) Kenneth Järrendahl, Institutionen för fysik, kemi och biologi kejar@ifm.liu.se Föreläsningarnas syfte: Att ge en orientering om fysikens områden Att ta upp de mest grundläggande fysikaliska begreppen och sambanden av relevans för avancerade datorspel Att övergripande visa hur dessa begrepp och samband används i datorspelskonstruktion Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 4
i.1 Om fysikföreläsningarna Litteratur etc. Utdelade kopior av föreläsningspresentationerna Referenslitteratur Eberly Game physics Conger Physics modeling for game programmers" Dalmau Core techniques and algorithms in game programming Någon fysikbok på University Physics-nivå Mer information samt länkar på kursens webbsidor http://www.isy.liu.se/~ingis/tsbk10.html http://www.ifm.liu.se/~kejar/tsbk10/ Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 5 i. Fysikens områden Termodynamik Mekanik Relativitetsteori Klassisk fysik Modern fysik Elektromagnetism Kvantfysik Klassisk fysik låga energier, stora dimensioner Modern fysik höga energier, små dimensioner En grov indelning - många andra indelningar möjliga Områdena överlappar varandra Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 6 3
i. Fysikens områden En indelning kan även göras i partiklar och fält samt vågor i dessa. bollar, planeter, yxor, Partiklar (och partikelsystem) Fält elektriska, magnetiska, gravitations- Mekanisk vågrörelse Fältvågor seismiska, vatten-, ljud- elektromagnetiska vågor (inkl ljus) Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 7 i. Fysikens områden En indelning kan också göras enligt antalet rumsdimensioner som behövs för att beskriva fysiken. Beroende på symmetrin används olika koordinatsystem (KS). koordinatsystem 1D D 3D Kartesiskt* x x y x y z Cylindriskt** - R θ R θ z Sfäriskt - - ρ φ θ Naturligt - s κ s κ * Kallas även Rektangulärt, ** Kallas även Polärt i D-fallet ˆi, ˆj, kˆ Rˆ, P, ˆ kˆ ˆR, Q, ˆ Pˆ T ˆ, N ˆ Enhetsvektorer Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 8 4
i. Fysikens områden Mekanik kan indelas enligt Utan hänsyn till krafter Med hänsyn till krafter Partiklar och partikelsystem i vila Geometri Statik Partiklar och partikelsystem i rörelse Kinematik Kinetik (Alt. Dynamik*) *Enligt vissa definitioner inbegriper dynamik både kinematik och kinetik En indelning av mekaniken kan också göras med avseende på komplexitet Stelkroppsmekanik Deformerbara kroppar Fluidmekanik Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 9 i.3 Modellarbete ekvation, teori, simulering Ja Mätning Modell Teoretisk förutsägelse Tillräckligt bra överensstämmelse? Experimentell observation Verkligheten Förändra/förbättra det teoretiska modellarbetet Nej Förändra/förbättra det experimentella arbetet Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 10 5
i.3 Modellarbete Ja Syn, hörsel, känsel Ett antal regler baserade på fysikaliska modeller som kan simulera önskade händelser. Simulering Tillräckligt bra överensstämmelse? Förväntad upplevelse Önskade händelser i datorspel Fysikmotor Förändra/förbättra kod Nej Förändra spelet Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 11 1. Kinematik 1.1 Partikelkinematik 1. Partikelsystemkinematik Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 1 6
1.1 Partikelkinematik Partikel i rörelse, tar ej hänsyn till rörelsens orsak Storheter Läge r(t ) (m) O r dr( t) Hastighet v ( t ) = = r& (m/s) [1.1-1] dv( t ) d r( t ) Acceleration a ( t ) = = v& ( t ) = = & r ( t ) (m/s ) [1.1-] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 13 1.1 Partikelkinematik Kartesiskt KS - Rörelse i planet ( x, y ) Partikelns läge r = x ˆi + yˆj [1.1-3] Partikelns hastighet v = x & ˆi + & yˆj [1.1-4] Partikelns acceleration a = x & ˆi + & y ˆj [1.1-5] Kartesiskt KS - Rörelse i rummet ( x, y, z ) Partikelns läge r = x ˆi + yˆj + zkˆ [1.1-6] Partikelns hastighet v = x & ˆi + & yˆj + z& kˆ [1.1-7] Partikelns acceleration a = x & ˆi + && yˆj + z& kˆ [1.1-8] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 14 7
1.1 Partikelkinematik Polärt KS - Rörelse i planet ( r, θ ) Partikelns läge r = r Rˆ [1.1-9] Partikelns hastighet v = r & Rˆ + r & θ Pˆ [1.1-10] Partikelns acceleration a = (& r r & θ ) Rˆ + ( r && θ + r& & θ ) Pˆ [1.1-11] Rˆ Pˆ Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 15 1.1 Partikelkinematik Cylindriskt KS - Rörelse i rummet ( r, θ, z ) Partikelns läge r = r Rˆ + zkˆ [1.1-1] Partikelns hastighet v = r & Rˆ + r & θ Pˆ + z& kˆ [1.1-13] Partikelns acceleration a = (& r r & θ ) Rˆ + ( r && θ + r& & θ ) Pˆ + z& kˆ [1.1-14] kˆ Pˆ Rˆ Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 16 8
1.1 Partikelkinematik Sfäriskt KS - Rörelse i rummet ( ρ, φ, θ ) Partikelns läge r = ρrˆ [1.1-15] Partikelns hastighet v = & ρ Rˆ ρφ& Qˆ + ( ρθ& sinφ) Pˆ [1.1-16] Partikelns acceleration ρ Rˆ Pˆ a = ( && ρ - ρφ& ρθ& sin φ) R ˆ + ( ρφ&& + & ρφ& + ρθ& sinφ cosφ) Qˆ + ( ρθ&& sin φ + ρθφ & & cosφ + & ρθ& sin φ) Pˆ [1.1-17] Qˆ Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 17 1.1 Partikelkinematik Naturligt KS - Rörelse i planet eller rummet ( s, κ ) Partikelns hastighet v = s& Tˆ [1.1-18] Partikelns acceleration a Tˆ = & s + κs& Nˆ [1.1-19] Kurvatur Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 18 9
1.1 Partikelkinematik Partikel i rotationsrörelse, tar ej hänsyn till orsaken Storheter Vinkelläge θ( t ) = θ Dˆ Vinkelhastighet ˆ dθ( t ) -1 w( t ) = σ ( t ) D = = θ & ( t ) (s ) [1.1-0] Vinkelacceleration dw( t ) d θ( t) α( t) = = w& ( t ) = = && θ( t ) (s ) [1.1-1] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 19 1.1 Partikelkinematik Rotation på konstant avstånd kring fix axel Dˆ Väljer cylindriskt KS och D ˆ = k ˆ r = r, 0 r& = 0, z = z 0, z& = 0, & θ = σ, && θ = α && r = 0 z&& = 0 kˆ r0 v r = r Rˆ + zkˆ = r Rˆ kˆ 0 + z 0 [1.1-] v = r & Rˆ + r & θ Pˆ + z& kˆ = r Pˆ 0 σ a Rˆ Pˆ kˆ = && r r & θ ) + ( r && θ + r& & θ ) + z& = r σ Rˆ + r α Pˆ ( 0 0 [1.1-3] [1.1-4] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 0 10
1. Partikelsystemkinematik Partikelsystem Ett n st partiklar (som rör sig relativt varandra) r t ), v, a ( t ) i 1,,3... n i ( i i = miri miri i i Masscentrum r ( t ) = = m M [1.-1] v = a ( t ) = i dr dv i Total massa [1.-] [1.-3] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 1 1. Partikelsystemkinematik Kontinuerligt medium - ej fixa positioner, deformerbar kropp Kontinuerligt medium - fixa positioner, stelkropp rdm rdm R R Masscentrum r = = Ändrar ej form [1.-4] dm M R dm = δ dr [1.-5] densitet Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 11
. Kinetik I (krafter).1 Partikelkinetik. Partikelsystemkinetik Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 3.1 Partikelkinetik Partikel i rörelse, hänsyn tas till rörelsens orsak Newtons första lag Om ingen nettokraft verkar på ett föremål så måste det röra sig med konstant hastighet Newtons andra lag Massa m (kg) Rörelsemängd p = mv (kgm / s) [.1-1] Kraft F (kgm / s, N) F net dp dv dm dm = = m + v = ma + v dm Vanligt att = 0 Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 4 [.1-] 1
.1 Partikelkinetik Newtons tredje lag Om ett föremål A påverkar föremål B med en kraft så påverkar föremål B föremål A med en motriktad kraft (reaktionskraft) av samma storlek. Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 5.1 Partikelkinetik Impuls p p 1 t = F t1 net [.1-3] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 6 13
.1 Partikelkinetik Distanskrafter mm Gravitationskraft F g = G R [.1-4] r F g = mg U [.1-5] Elektrisk kraft qq F e = Ge R r [.1-6] Magnetisk kraft q v q Q v Q Fm = Gm R r [.1-7] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 7.1 Partikelkinetik Ex. på kontaktkrafter Normalkraft Friktionskrafter (fast, vätska, gas) F f = f ( v) F F sf max = c = c s kf kf N F N [.1-8] c s statisk friktionskoefficient c k kinetisk friktionskoefficient Fjäderkraft F = cx xˆ [.1-9] H Hookes lag Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 8 14
.1 Partikelkinetik Partikel i rotationsrörelse, hänsyn tas till rörelsens orsak Newtons andra lag för rotationsrörelse Rörelsemängdsmoment l = r p = r mv (kgm / s) [.1-10] Kraftmoment τ = r F (kgm / s, Nm) [.1-11] d l dp dr τ net = = r + p = r F v mv net [.1-1] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 9. Partikelsystemkinetik Total rörelsemängd Diskreta partiklar P = Isolerat system (M konstant) F net pi = i vi = mi ri = i dp dv = M i d d m ( M r ) Kontinuerligt medium d d P = p = vdm = rdm = ( M P R dr R = M = M v R = M a i r ) [.-1] [.-] [.-3] [.-4] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 30 15
. Partikelsystemkinetik Rörelsemängdens bevarande dp Om F 0 konstant [.-5] net = = P Isolerat system (M konstant) v = P M konstant [.-6] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 31. Partikelsystemkinetik Rotation - totalt rörelsemängdsmoment Diskreta partiklar L = li = ri pi = ri mvi [..-7] i i i Kontinuerligt medium L [.-8] r vdm = R Rörelsemängdsmomentets bevarande dl Om τnet = = 0 L konstant [.-9] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 3 16
. Partikelsystemkinetik Rotation av stelkropp kring fix axel Dˆ Newtons andra lag (rotation kring fix axel) Diskreta partiklar (som inte rör sig relativt varandra) L = i = ri pi = ri mvi = l miri w = i i i i Kontinuerligt medium L = = r vdm = r dm l w = I w R R R Tröghetsmoment I I τ = i m i r i = r dm R net (kgm (kgm dl dw = = I = I α ) ) I w [.-10] [.-11] [.-1] [.-13] [.-14] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 33. Partikelsystemkinetik Tröghetsmatris I J = I I xx L = Jw xy xz I I yy I xy yz I I I zz xz yz [.-15] [.-16] τ J α = net [.-17] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 34 17
3. Kinetik II (energi) 3.1 Arbete och bevarande av mekanisk energi 3. Analytisk mekanik Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 35 3.1 Arbete och bevarande av mekanisk energi Storheter r kgm Fysikaliskt arbete W = (, Nm, J) [3.1-1] F d r s r1 Kinetisk energi 1 kgm T = mv (, Nm, J) [3.1-] s W T = net [3.1-3] Potentiell energi kan definieras om W = Fk d r = 0 [3.1-4] dvs om arbetet inte är beroende av (integrations)vägen Fk kallas för en konservativ kraft Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 36 18
3.1 Arbete och bevarande av mekanisk energi Potentiell energiskillnad V = F d r = W [3.1-5] Bevarande av kinetisk energi T + V = 0 [3.1-6] r r1 k k Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 37 3. Analytisk mekanik Vektormekanik (syntetisk mekanik) Ursprung från Newton. Har rörelsemängd och kraft som huvudbegrepp. Utvecklas av Newton (1600-talet) Analytisk mekanik Ursprung från Leibniz. Har kinetisk energi och arbete som huvudbegrepp. Utvecklas av Lagrange och Euler (1700-talet) och Hamilton och Jacobi (1800-talet). I tex. speldesign kan begreppen från den analytiska mekaniken vara mer effektiva. Tex. för att beskriva icke-konservativa krafter som friktion. Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 38 19
0 Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 39 4. Stelkroppar i rörelse 4.1 Stelkroppar i rörelse utan tvångsvillkor 4. Stelkroppar i rörelse med tvångsvillkor Kollisioner Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 40 4.1 Stelkroppar i rörelse utan tvångsvillkor En partikels rörelse kan beskrivas med en tillståndsvektor Flera partiklar (i = 1,,3,,n) = = = F v p r S p r S & & &, = = = n n n n n n F v F v p r p r S p r p r S M & & M & & & M 1 1 1 1 1 1, [4.1-1] [4.1-] r v p F ] 1 [1.1 1] [.1 ].1 [
4.1 Stelkroppar i rörelse utan tvångsvillkor Läget för en punkt på en stelkropp r( t ) = r R rot = ( t ) + r ( t ) = r ( t ) + R sk [ Uˆ Uˆ Uˆ ( t )] 0 1 rot ( t ) b sk [4.1-3] [4.1-4] Rotationsmatris Û 1 ĵ Û rsk kˆ b sk î ĵ r r Û 0 Stelkroppens KS kˆ O Referens-KS î Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 41 4.1 Stelkroppar i rörelse utan tvångsvillkor Tillståndsvektorn blir nu r r& v p p& = F S =, S & = R R& rot rot w R L L & τ F p v τ [.1 ] [.1 1] [1.1 1 ] r [. 14] L [. 16] w R rot R& rot w = 1 0 w = σ 3 σ ( rot t) = w R ( σ σ σ ) σ 0 σ 1 3 3 σ σ 1 0 rot [4.1-5] [4.1-6] [4.1-7] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 4 1
4.1 Stelkroppar i rörelse utan tvångsvillkor [.-16] Förbättringar Undvik att invertera tröghetsmatrisen vid varje tidssteg L( t ) = J( t) w( t ) w( t) = J J 1 = R rot J Representera rotationen med kvaternioner q(t), ω(t) q R rot ω( t) w( t) 1 T sk R rot d q( t) 1 = ω( t) q( t) R& rot 1 L( t ) = w R rot [4.1-8] [4.1-9] Se tex Eberly ch10; Dalmau ch16 [4.1-10] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 43 4. Stelkroppar i rörelse med tvångsvillkor Kollisionsdetektering N ˆ ( t ) v N ˆ ( t ) v N ˆ ( t ) v A A A < 0 = 0 > 0 (kollision) (vila) (separation) [4.-1] [4.-] [4.-3] A Nˆ A Nˆ A Nˆ v A v A B v A B B Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 44
4. Stelkroppar i rörelse med tvångsvillkor [3.1-3] r( t ) = r ( t ) + rsk ( t ) = r( t ) + R rot ( t ) bsk v ( t ) = r& ( t) + r& sk = v( t ) + w( t ) rsk d ( t ) = Nˆ ( t ) ( ra ( t ) rb ( t )) d& t ) = Nˆ ( t ) ( r& ( t ) r& ( t )) Nˆ & + ( r ( t ) r ( A B A B ) [4.-4] [4.-5] [4.-6] Nˆ A Vid kontakt (t = t 0 ) d ( t 0 ) = 0 d& ( t ) ˆ 0 = N ( t 0) ( r& A ( t 0) r& B( t 0)) [4.-7] [4.-8] d (t) B r t ) r ( t ) A ( B va ( t 0) vb( t 0) jmfr [3.-1]-[3.-3] Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 45 4. Stelkroppar i rörelse med tvångsvillkor Kollisionsrespons v v v + = N + ( N v ) Nˆ [4.-9] = N ( N v ) Nˆ = N ε ( N v ) Nˆ + [4.-10] [4.-11] A B Nˆ v - v + N A B Nˆ v - v + N ε = 1 0 < ε < 1 ε = 0 A B Nˆ v - N v + Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 46 3
5. Deformerbara kroppar, fluider etc. 5.1 Deformerbara kroppar 5. Fluider 5.3 Optiska fenomen Kontinuumsmekanik Elektromagnetism Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 47 5.1 Deformerbara kroppar [.1-9] En kropp som deformeras kan beskrivas med ett antal materialparametrar Elasticitetsmodul, Skjuvmodul, Bulkmodul Elastiska föremål, även tyg, hud, En approximativ modell: system med punktmassor ihopkopplade med fjädrar F xˆ H = cx Rörelse enligt dämpad harmonisk oscillator Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 48 4
5. Fluider Gaser och vätskor Flytförmåga, viskositet Strömmar: Bernoullis ekvation Vågor Föremål i vatten Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 49 5. Optiska fenomen Ljuset beskrivs av våglängd, utbredningsriktning, polarisation Materialparametrar: brytningsindex, absorption Fenomen: Reflektion, transmission, brytning, diffraktion Flerskiktsinterferens, iridescence Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 50 5
Kvantfysik Termodynamik Mekanik Klassisk fysik Relativitetsteori Elektromagnetism Modern fysik Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 51 Referenser 1. Kinematik Mer detaljer på webbsidan 1.1 Partikelkinematik: Eberly..1; Conger 7,9,11 1. Partikelsystemkinematik: Eberly.1,..; Conger 7,9,11. Kinetik I (krafter).1 Partikelkinetik: Eberly.3-4, 3.1; Conger 7,9,11. Partikelsystemkinetik: Eberly.3-5, 3.1; Conger 7,9,11 3. Kinetik II (energi) 3.1 Arbete och bevarande av mekanisk energi: Eberly.6; 3. Analytisk mekanik: Eberly 3.-3; 4. Stelkroppar i rörelse 4.1 Stelkroppar i rörelse utan tvångsvillkor: Eberly 5.1 4. Stelkroppar i rörelse med tvångsvillkor: Eberly 5.-5; Conger 8, 10; Mirtich 5. Deformerbara kroppar, fluider etc. 5.1 Deformerbara kroppar: Eberly 4; Conger 1 5. Fluider: Conger 13 5.3 Optiska fenomen: Eberly 6 Se även avsnitt C, F, G, SC, SE, SF, SG och SH i: A. Witkin, D. Baraff, M. Kass (Pixar) "Physically Based Modeling" (SIGGRAPH 001) Ht005 TADs: Fysik, Kenneth Järrendahl 5 6