The Brachistochrone problem

The Brachistochrone problem Andreas Olsén Karlstads Universitet HT-16 Kurs: Analytisk Mekanik 7,5 hp i FYGL07 Kursansvarig: Jürgen Fuchs 2017-01-07

Innehållsförteckning 1. Inledning... 1 1. 1 Problembeskrivning... 1 1.2 Historik... 1 2. Lösningsstrategier... 2 2.1 Johann Bernoullis lösning... 2 2.2 Jakob Bernoullis lösning... 5 2.3 Cykloiden... 7 2.4 Lösning med Euler-Lagranges ekvation... 8 3. Avslutning... 11

1. Inledning Denna text kommer beröra ett klassiskt problem, The Brachistochrone Problem, som är grekiska för "kortast tid-problemet" (egen översättning). Problemet formulerades först av Johann Bernoulli och löstes av flera matematiker sent 1600-tal. Problemet består av att finna den kurva som beskriver färden för ett objekt som under inflytande av endast gravitationsfältet färdas från punkt A till punkt B på kortast möjliga tid. 1. 1 Problembeskrivning Se figur 1. Två punkter befinner sig i ett homogent gravitationsfält. Vilken kurva skulle beskriva den snabbaste tiden för ett objekt att färdas mellan punkt A och B utan inverkan av andra krafter än gravitationen? Det finns ett oändligt antal möjliga kurvor men endast en ger den unika lösningen där tiden är minimal, vilken? FIGUR 1. Endast en kurva kan leverera den kortaste tiden för färden. Men vilken är det? 1.2 Historik I juni 1696 publicerade Johann Bernoulli detta problem i Acta Eruditorum, en vetenskaplig tidskrift utgiven på latin grundad av Otto Mencke och Gottfried Leibniz. Fem matematiker utöver Johann Bernoulli publicerade sina lösningar, däribland Johanns bror Jakob Bernoulli, l Hôpital och Newton. Johann Bernoulli gav ut sin lösning i maj 1697. Problemet är av intresse då det bidrog till utvecklingen av verktyg och modeller vi idag använder oss av för att lösa olika typer av problem. Låt oss titta närmare på några olika lösningsstrategier som publicerades och vad de ledde vidare till. 1

2. Lösningsstrategier I de följande två rubrikerna, 2.1 och 2.2, kommer jag att titta närmare på de båda bröderna Bernoullis båda lösningar och se hur två helt olika strategier kan leda till samma resultat. För att förstå närmare deras slutsats kommer jag i rubrik 2.3 behandla en kurva som genereras av en rullande cirkel, cykloiden. Sedan kommer jag i rubrik 2.4 studera hur man kan angripa problemet med de verktyg som idag är tillgängliga men som de bägge bröderna, och övriga samtida matematiker, inte hade tillgång till. 2.1 Johann Bernoullis lösning Johann Bernoullis lösning på problemet är elegant och baseras på Fermats princip från 1662: ljusets färdas alltid den väg som ger den kortaste tiden mellan 2 punkter. Istället för att tänka sig ett objekt som färdas längs någon kurva funderade han på hur ljuset skulle röra sig genom ett medium där densiteten minskade från toppen till botten. Ljuset kommer därför röra sig fortare och fortare ju längre ned i mediet det propagerar. Kurvan som beskriver vägen ljuset färdas kommer därför vara lösningen på problemet! Problemet transformeras således till att lista ut hur ljuset kommer röra sig igenom ett medium med avtagande densitet. Så hur kommer ljuset röra sig? Snells lag var känd sedan tidigare, se figur 2 för illustration, sin θ 1 v 1 = sin θ 2 v 2. För detta problem och i enlighet med hur Johann Bernoulli definerade problemet så gäller att θ 2 > θ 1 ljuset kommer alltså böjas av bort från normalen för varje övergång mellan två medier med skilda densiteter. Låt oss börja med att studera det fall när ljuset övergår från ett material till ett annat 2

Figur 2. Illustration av Snells lag där ljuset går från ett medium till ett annat. I detta fall har materialet ljuset övergår till lägre densitet än det första då vinkel mot normalen har ökat. Om man låter antalet lager öka så kommer kurvan som beskriver ljusets väg genom materialen bli mjukare och mjukare. Detta visas i figur 3. Figur 3. Babb och Curries figur 6 1. Kurvan som beskriver ljusets väg blir allt jämnare då antalet övergångar till mindre täta material ökar. Fyra övergångar i detta fall. 1 http://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1099&context=tme sid 11. 3

Om man sedan låter antalet lager gå mot oändligheten och tjockleken på varje lager gå mot noll så kommer ljusets väg anta formen av en jämn kurva: Figur 4. Babb och Curries figur 7 2. Kurvan som beskriver ljusets väg vid ett oändligt antal lager är en jämn kurva. Värt att notera är att för samtliga punkter på kurvan så gäller följande: sin θ v = c. (2.1) Sambandet mellan sin θ och v är alltså konstant. Energin i systemet är konserverad då inga krafter förutom gravitationen är närvarande, vi kan alltså konstatera att följande samband måste gälla: mgy = mv2 2. Hastigheten objektet har i en viss punkt y, med positiva y-axeln i gravitationsfältets riktning, måste alltså vara (från sambandet ovan) v = 2gy. (2.2) Både ekvation (2.1) och (2.2) måste alltså gälla för en partikel som färdas på kurvan. Det Johann Bernoulli gjorde för att ta sig vidare var att granska triangeln i figur 4 ovan. Det han ville åstadkomma var att uttrycka sin θ i termer av dy och dx. Låt oss se hur han gick till väga. Notera att sin θ = cos ø = 1 sec ø. 2 http://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1099&context=tme sid 11. 4

Tricket här är att använda sig av den trigonometriska identiteten och utnyttja att då erhåller man följande uttryck: sec 2 ø = 1 + tan 2 ø tan ø = dy dx, 1 sec ø = 1 1 + ( dy dx )2 = sin θ. Från ekvation (2.1) och (2.2) får man följande samband med uttrycket för sin θ här ovan: sin θ 2gy = 1 2gy 1 + ( dy dx )2 Detta uttryck ger följande icke-linjära differentialekvation: = konstant. dx = dy y k y (2.3) där k är någon konstant. Detta uttryck identifierade Johann Bernoulli med en differentialekvation som beskriver en (inverterad) cykloid. Han hade funnit lösningen på problemet om hur kurvan som beskriver vägen mellan A och B som genererar den minsta tiden skall se ut, det måste vara en cykloid. Mer om cykloiden och dess egenskaper följer i rubrik 2.3. Jag återkommer till ekvation (2.3) under rubrik 2.4 där jag tittar närmare på hur uttrycken för x och y ser ut, egenskaperna hos konstanten k kommer också framträda. 2.2 Jakob Bernoullis lösning Jakob Bernoullis lösning är mer metodisk och han använder sig av likformiga trianglar, extremvärden för en funktion och lite handviftande åt infinitesimalformalism 3. Hans resonemang går ut på följande: eftersom att den sökta kurvan skall minimera tiden för rörelsen mellan A och B så måste skillnaden mellan den sökta kurvan och en infinitesimal liten ändring av samma sagda kurva vara lika med noll. Låt oss studera vad hur detta kan se ut visuellt 3 http://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1099&context=tme sid 12. 5

Figur 5. Babb och Curries figur 8 4. Låt OCGD vara en del av den eftersökta kurvan som ger den minimala tiden på kurvan AB. En infinitesimal förskjutning från G till L måste leda till att även OCLD levererar samma tid från O till D. Om vi låter y mätas från O så kommer varje punkt på kurvan att ha hastigheten y med lämpligt val av enheter. Om vi dessutom låter CG och GD vara tillräckligt korta så kan vi anta att hastigheten är konstant med farten HC på CG och med farten HE på GD. Vi lägger till två konstruktionslinjer ML och GN på ett sådant sätt att vi får två likbenta trianglar ΔCML och ΔGDN, alltså är GD = ND och CM = CL. Tiden att färdas längs två lika långa sträckor måste vara lika: Eftersom att så måste också gälla att t CM = t CL och t GD = t ND. t OCGD = t OCLD, 4 http://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1099&context=tme sid 13. 6

t MG = t LN. Hastigheterna längs MG och LN känner vi till från vår definition ovan, alltså gäller Ekvation (2.4) ger oss storheterna på t MG och t LN. Jakob Bernoulli lät nu följande ske: MG HC = LN HE. (2.4) Eftersom att ML är en infinitesimal liten sträcka så kan vi säga att det är en cirkelbåge med centrum i C. ΛLMG kan ses som rät. Då kan vi identifiera två likformiga trianglar: ΔCGE och ΔLMG. Eftersom att de är likformiga så måste gälla följande: MG LG = EG CG. Om vi låter x mäta det horisontella avståndet från startpunkten och s bågländens sträcka längs den eftersökta kurvan så kan vi skriva om det som MG LG = dx ds Motsvarande resonemang tar oss också till LN LG = dx ds på ett segment av CG. på ett segment av GD. Efter dividering av y på båda dessa segment och med hjälp av ekvation (2.4) så kan vi sätta upp följande samband: dx ds y = k. Jakob Bernoulli konstaterade att detta är en differentialekvation som beskriver en cykloid. Jakob Bernoullis lösningar och strategier för detta problem och variationer av det bidrog med utvecklingen av calculus of variations där Leonhard Euler vidareutvecklade Jakob Bernoullis arbete från problemet som formulerades av Johann Bernoulli. 2.3 Cykloiden De bägge bröderna kunde identifiera deras slutliga uttryck som definitionen av en cykloid. Vad är en cykloid? En cykloid är en kurva som kan genereras av att granska en viss punkt på en cirkel som rullar längs ett plan och notera kurvan denna punkt bildar. En vanligt förekommande beskrivning är att granska en specifik punkt på ett cykelhjul när cyklisten rör sig framför en observatör, punkten på cykelhjulet kommer forma en cykloid. 7

Figur 6. En period av en cykloid genererad av en rullande cirkel på ett plan 5. Låt radien på cirkeln vara r och vinkeln mellan vertikalen och radien vara θ, då kommer x och y vara 6 x = r(θ sin θ), y = r(1 cos θ). 2.4 Lösning med Euler-Lagranges ekvation Jag konstaterade under rubrik 2.2 att framförallt Jakob Bernoullis arbete på detta problem och liknande ledde till de verktyg som vi har tillgängliga idag. Låt oss se hur man kan lösa problemet med den formalism som finns tillgänglig för oss idag. Figur 7 7. En av oändligt många kurvor mellan A och B. Notera riktningen på gravitationsfältet och att koordinatsystemet har lagts i A så att A := (0,0). 5 http://www.cfm.brown.edu/people/dobrush/am33/mathematica/part33-1/cycloid.png 6 Gooldstein,H. Poole,C. & Safko,J. (2014): Classical Mechanics, Third edition. Pearson Education: Edinburgh Gate. s.42. 7 https://sinews.siam.org/portals/sinews2/easydnnnews/thumbs/1603/1817levibrachisfig1.jpg 8

Tiden mellan A och B är t B T = dt (2.5) t A där dt = ds v (2.6), ds = dx 2 + dy 2 = dx 1 + ( dy dx ) 2, (2.7) där s är sträckan på kurvan och v hastigheten vid en viss punkt y, som enligt tidigare är v = 2gy. Manipulationen av Pythagoras sats kommer komma till användning som vi snart skall se. Vidare manipulation av v kommer vara användbar i kombination med (2.7) för att vidareutveckla (2.6) och sedan insättning i (2.5): Gör vi allt detta får vi för ekvation (2.5) följande: v = ds dt = ds dx dx dt = dx dt 1 + ( dy 2 dx ). T = x B x A dt ds ds dx dx = 0 x 1 + ( dy dx )2 2gy dx = Låt oss sedan definiera y = ( dy ), vilket förenklar ovanstående uttryck till Nu kan vi välja dx T = 1 + y 2 2gy dx. 0 x L(x, y, y ) = 1 + y 2 2gy, 0 x 1 + (dy dx )2 2gy och använda oss av Euler-Lagranges ekvation för att minimera tiden T. Det finns en svårighet med uttrycket ovan, x finns inte explicit i L, den beror på y och y', så en lösning kan vara att transformera L på följande vis: Insättning av L i uttrycket ovan ger: L y ( L y ) = C. dx. 9

1 + y 2 2gy y y ( 2gy(1 + y 2 ) ) = 1 2gy(1 + y 2 ) = C. Nu kvadrerar vi båda leden och eftersom att högerledet är en konstant så kan vi ersätta C med 2r och vi får följande uttryck: Löser för y' och att y = ( dy dx ): y(1 + y 2 ) = 2r. dx dy y = 2r. y Detta är differentialekvationen för en cykloid som genererats av en rullande cirkel på ett plan med radien r. Motsvarande ekvation för en inverterad cykloid, alltså när cirkeln rullar "i taket" är dx dy = y 2r y. Lösningarna för koordinaterna x och y är som tidigare x = r(θ sin θ), y = r(1 cos θ). 10

3. Avslutning Jag har i min text gått igenom hur Johann och Jakob Bernoulli löste The Brachistochrone Problem och studerat hur man kan lösa det idag med de verktyg som utvecklades från arbetet med detta, och liknande, problem. För den som är intresserad finns ett likartat problem: The Tautochrone Curve som går ut på att hitta formen på den kurva som gör att oavsett val av startposition så leder det till samma tid till den lägsta punkten på kurvan. problemet är likartat med det som har behandlats i den här texten och lösningen till det problemet ledde till en vidareutveckling på den klassiska pendeln. 11

Referenslista Tryckta källor Gooldstein,H. Poole,C. & Safko,J. (2014): Classical Mechanics, Third edition. Pearson Education: Edinburgh Gate. Digitala källor http://www.osaka-ue.ac.jp/zemi/nishiyama/math2010/cycloid.pdf (hämtad 2017-01-07) http://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1099&context=tme (hämtad 2017-01-07) http://www.cfm.brown.edu/people/dobrush/am33/mathematica/part33-1/cycloid.png (hämtad 2017-01-07) https://sinews.siam.org/portals/sinews2/easydnnnews/thumbs/1603/1817levibrachisfig1.jpg (hämtad 2017-01-07) 12