Extra övningsuppgifter i Fourieranalys, 2012/13

Relevanta dokument
Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

Innehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2

MVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.

Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

Transformmetoder. Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i.

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Edwin Langmann (tel: Epost: DEL 1 (Del 2 på andra sidan)

Edwin Langmann (Epost: x u(x, t); f (x) = df(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer

TATA 57/TATA80 18 augusti Lösningar 1) Lösning 1: Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger.

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3

1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, y) till Laplaces ekvation u = 0 inom rektangeln 0 < x < a och 0 < y < b med följande randvillkor 1

MVE500, TKSAM-2. (c) a 1 = 1, a n+1 = 4 a n för n 1

SF1635, Signaler och system I

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

5B1134 Matematik och modeller

1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

Lösningar till Matematisk analys

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

Lösningsförslag envariabelanalys

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Tentamen i Fourieranalys MVE030 för F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 för TM2

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

2 Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

MATEMATISK FORMELSAMLING

ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Tentamen i Envariabelanalys 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Dubbelintegraler och volymberäkning

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

EXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen: Lösningsförslag

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

Partiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

y(0) = e + C e 1 = 1

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

Lösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

KTH Fysik Tentamen i 5A1301/5A1304 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 24 augusti 2004 kl

Transkript:

Extra övningsuppgifter i Fourieranalys, /3 Här betyder θ Heavisidefunktionen, även betecknad H eller χ (,. Om E är en mängd, är χ E (x den karakteristiska funktionen för E, alltså den funktion som är då x E och annars.. Funktionen f(x är -periodisk, och f(x = (x + för < x <. Utveckla f(x i komplex trigonometrisk Fourierserie. Sök en -periodisk lösning till ekvationen y y y = f(x.. Funktionen f(t är 3-periodisk, och f(t = t för t, för < t <, 3 t för t 3. Bestäm, i form av en trigonometrisk Fourierserie, en periodisk lösning till differentialekvationen y + 3y = f(t. 3. Utveckla funktionen cos x i sinusserie på intervallet (, π. Använd resultatet för att beräkna n= n (4n. 4. Låt f(t = t för t och låt f vara -periodisk. Bestäm en begränsad lösning till u t = u, x x >, < t <, u(, t = f(t, < t <. 5. Lös Laplaces ekvation u = u rr + r u r + r u θθ = i cirkelringen < r < (polära koordinater med randvillkoren u(, θ =, u(, θ = f(θ, där f(θ är π-periodisk, och f(θ = θ π för θ π. 6. Fouriertransformera t a (t + a, b (t + a, c t (t + (t + t + 5, d e a t sin bt (a >, b >. 7. Funktionen f(t har Fouriertransformen ˆf(ω = ω +ω. Beräkna 4 a tf(tdt, b f (. 8. Funktionen f(t har Fouriertransformen iω + iω 9. Beräkna sin x x(x dx med hjälp av Fouriertransform. +. Funktionen f(t har Fouriertransformen sin ω ω. Beräkna f(t dt. ω 3 +. Beräkna f f dt, där betyder faltning.

. Ange Fouriertransformen till funktionen f(t = Beräkna a f(t cos tdt, b f(t dt.. Låt f(t = 3. Bestäm en lösning till ekvationen 4. Lös integralekvationen ωe ω cos ωtdω. Beräkna f (t dt. 5. Bestäm en lösning till ekvationen u (t + u(t + e t t ω + ω eiωt dω. e τ u(τdτ = δ(t. e τ u(t τdτ e τ u(t τdτ = 3u(t e t. t u(t + e τ t u(τdτ = e t. 6. För ett linjärt, tidsinvariant system gäller att insignalen + t ger upphov till utsignalen t (4 + t. Beräkna impulssvaret och svaret på cos ωt. Är systemet kausalt? Är det stabilt? 7. Ett linjärt, tidsinvariant system har impulssvaret h(t = e 4t. Låt y(t vara svaret på insignalen e t. Beräkna e it h(ty(tdt. 8. För ett linjärt, tidsinvariant system gäller att insignalen 4 + t ger upphov till utsignalen. Beräkna e t utsignalen (i form av en komplex Fourierserie, då insignalen är impulståget [δ(t n δ(t n ]. n= 9. Låt x(n vara N-periodisk, och, då n k, x(n =, då k n N. Beräkna den diskreta Fouriertransformen av x och använd Parsevals formel för att beräkna N µ= cos πµk N cos πµ N. Bestäm den diskreta Fouriertransformen till signalen (sekvensen x(n = sin nπ N, x(n N-periodisk.. Visa att funktionerna ϕ n (x = sin x πx einx är parvis ortogonala i L (R. Bestäm talen c n så att N + x n= N minimeras. Är ortogonalsystemet (ϕ n n Z fullständigt?. c n ϕ n (x dx n =,..., N, och

. Bestäm den lösning y(x till y y = som minimerar [ + x y(x] dx. 3. Bestäm samtliga egenvärden och egenfunktioner till Sturm-Liouville-problemet f + λf =, < x < a, f( f ( =, f(a + f (a =. 4. Bestäm samtliga egenvärden och egenfunktioner till Sturm-Liouville-problemet e 4x d ( 4x du e = λu, < x <, dx dx u( =, u ( =. Utveckla funktionen e x i Fourierserie m.a.p. egenfunktionerna. 5. Lös problemet u x + u = y, y < x <, < y <, u(x, =, u(x, =, u(, y = y y 3, u(, y =. 6. Lös problemet u + t x = u, t < x <, t >, u(, t =, u(, t =, u(x, = x. 7. Lös problemet u xx + u yy + u =, < x <, < y <, u(, y = u(, y =, u(x, =, u(x, = x x. 8. Lös problemet u t u = t sin x, < x <, t >, x u(, t = u(, t =, u(x, = sin πx. 9. Lös problemet u t = u, < x <, t >, x u(, t = t +, u(, t =, u(x, = x. 3. Lös Laplaces ekvation u = i området < θ < π, < r <, (polära koordinater i planet med 4 randvillkoren u = för r =, u r = för r =, u = för θ =, u = r för θ = π 4. 3. Utveckla funktionen sin( sin x i trigonometrisk Fourierserie (reell form. 3

3. Ett cirkulärt membran med radie a påverkas av en periodisk yttre kraft q sin ωt likformigt fördelad över membranet. För de transversella svängningarna har vi alltså ekvationen u c u t = q S sin ωt, u r=a=. Bestäm den stationära svängningsrörelsen (dvs. en lösning av formen u(r, t = v(r sin ωt. Vilka är resonans(vinkelfrekvenserna? 33. Lös värmeledningsekvationen u t = u u i en cylinder med radien b. Ändytorna är isolerade, medan mantelytan r = b (cylinderkoordinater lyder avsvalningslagen u + u r =. Begynnelsetemperaturen är u t= = r = x + y. 34. a Bestäm en begränsad lösning av formen u(r, t = v(re iωt till ekvationen u t = ( r r u(a, t = e iωt, r u r n u, < r < a, r där n är ett heltal. För vilka värden på ω > finns en sådan lösning? b Låt ω vara sådant att lösningen i a existerar. Visa hur den kan användas för att lösa u t = ( r u n u, < r < a, t >, r r r r u(a, t = sin ωt, u begränsad, u(r, =, u t (r, =. Evenutellt förekommande integraler behöver inte beräknas. 35. Lös Laplaces ekvation u = i cylindern r = x + y < R, < z < L, då u = för z = och z = L, och u = sin πz πz L ( cos L för r = R. 36. Bestäm det polynom P (x av högst andra graden som gör integralen [ x P (x] e x dx så liten som möjligt. 37. Bestäm det polynom P (x av högst andra graden som gör integralen [x 4 P (x] e x / dx så liten som möjligt. 38. Bestäm det polynom P (x av högst andra graden som gör integralen [e x/4 P (x] xe x dx så liten som möjligt. 39. Bestäm det polynom av formen P (x = x 3 + ax + bx + c för vilket 4. Visa att [P (x] dx är så litet som möjligt. xp m (xdx = 3 ( 3/. Vad blir m + xp m+ (xdx? 4. Beräkna, t.ex. med hjälp av den genererande funktionen, H n(, där H n är Hermites polynom. 4. Visa följande formel för Laguerrepolynomen L α n(x, där α > : Ledning: Använd den genererande funktionen. d dx Lα n+(x = L α+ n (x. 43. Lös Laplaces ekvation u = i området x + y + z < R med randvillkoret u = z(x + y då x + y + z = R. 4

44. Lös Laplaces ekvation u = i området < a < r < b (sfäriska koordinater med randvillkoren u = + cos θ, då r = a, u = cos θ, då r = b. 45. Sök en begränsad lösning till u t = ku xx, < x <, t >, u(x, = ( x e x, < x <. 46. Lös problemet u xx + u yy = x, < x <, < y <, u x(, y =, u(, y = ye y. 47. Låt f tillhöra L (R och sök en lösning till u x + u =, < x <, < y < a, y u(x, =, u(x, a = f(x. Visa att u(x, y dx f(x dx. 48. Bestäm en periodisk lösning till ekvationen y y + y = f (t, där för < t, f(t = t för < t <, och f är periodisk med period. (Med f (t avses distributionsderivatan. 49. Om funktionen f gäller att för < t <, f(t = för < t < 3, och att f(t är 3-periodisk. Bestäm f (t (distributionsderivatan och utveckla f (t i komplex triogonometrisk Fourierserie. Använd resultatet för att beräkna Fourierserieutvecklingen av f(t. 5. Beräkna följande funktion (dvs beräkna summan och uttryck den m.h.a. kända funktioner f(θ = sin(n θ (n 3 5. Beräkna den komplexa Fourierserien till den π-periodiska funktion f(x som är lika med x(x π i [ π, π]. Vad är seriens summa i punkterna π och 3π/? 5. Lös problemet u xx + = 4 u tt, < x <, t > u(, t =, u(x, = x x, u(, t =, u t (x, = x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ 5

53. Lös följande Dirichletproblem på enhetsskivan 54. Låt u xx + u yy =, r = x + y < med u = f på randen r =, där f är funktionen f(θ = sin θ + cos θ (i polära koordinater Q n (x = dn dx n (xn ( x n, n =,,,.... Q n är ett polynom av grad n. (a Bestäm den ledande termen och den konstanta termen i Q n (x. (b Bestäm normen Q n av Q n (x i L (,. (c Bevisa att Q n (x och Q m (x är ortogonala i L (, om n m. 55. Funktionen f(x är kontinuerlig och har Fouriertransformen f(ξ = ln(+ξ ξ. Bestäm f( och f(xdx 56. Bestäm lösningen f(t, t >, till ekvationen med begynnelsevillkor f( =, f ( =. f (t 4f (t + f(t + 6 t f(τdτ = e t 57. Låt u(x, t vara lösningen til begynnelsevärdesproblemet u tt = c u xx, t >, < x < π u(, t = u(π, t =, u(x, =, u t (x, = g(x Bevisa att för t >, π u t (x, t dx (Ledning: Lös uppgiften med variabelseparation. 58. För vilka k kan Du garantera f C (k, där π g(x dx. (a f(θ = (b f(θ = cos(nθ 3 n cos( n θ 3 n 59. Bestäm den elektrostatiska potentialen ϕ(x, y i området D = {(x, y : < x <, < y < π}, om potentialen på randen är, om y =, och x <, ϕ(x, y =, om y =, och x >,, om y = π. 6. Undersök hur avbildningen w = i( z +z avbildar enhetscirkeln z = respektive cikelskivan z <. Använd resultatet för att bestämma den elektrostatiska potentialn ϕ(x, y, (z = x + iy i enhetscirkelskivan z < med randvärdena P, om z =, x >, y >, ϕ(x, y =, om z =, x <, eller y <. 6

6. Låt T vara triangelområdet med hörn i, och + i. Bestäm bilden av T under avbildningen w = z z. 6. Bestäm den elektrostatiska potentialen ϕ(x, y i området D = {(x, y : < y < x} om potentialen på randen är α, (x, y D, x + y > r, ϕ(x, y = β, (x, y D, x + y r. 63. Sök en harmonisk funktion ϕ(x, y i området mellan hyperblerna x y = och x y = 4 med randvärden ϕ(x, y = xy på x y = och ϕ(x, y = 4xy på x y = 4. 64. Låt Ω vara området mellan cirkeln x + (y = och x-axeln. Betrakta potentialproblemet ϕ x + ϕ y =, i Ω, ϕ =, på x-axeln, ϕ =, på cirkeln x + (y =. Låt z = x + iy. a Visa att avbildningen w = z i 3 z+i avbildar Ω på området mellan två cirklar (vilka?. 3 b Lös därefter potentialproblemet. 65. För ett linjärt tidsinvariant system ger insignalen θ(te t upphov till utsignalen t θ(te 3t. Vad blir utsignalen y(t om insignalen x(t är π-periodisk och x(t = t för < t < π? Ange y(t i form av en komplex Fourierserie. 66. a Använd definitionen av faltning för att beräkna F = f f, där f = χ ( a,a för något a >. Man kan här ha hjälp av en enkel, endimensionell figur. Rita också grafen för F. b Vad är Fouriertransformen av denna faltning? 67. Bestäm Fouriertransformen av karakteristiska funktionen för intervallet (a, b, både genom direkt beräkning och via det kända fallet ( a, a. Varning: Att se denna funktion som skillnaden mellan två translat av Heavisidefunktionen, vars Fouriertransform går att hitta i tabell, leder till ett betydligt trassligare uttryck. 7

Svar. f(x = 4 3 + π. y(t = 9 3. cos x = 8 π n= n= 4. u(x, t = 3 + 5. 3 ln ln r + π n= n ( n ( + inπ n e inπx, y = 4 3 + π 3( cos nπ 3 nπt π n (3 4 cos 9 n π 3 n 4n sin nx ( n= < x < π π. Summan blir 64. 4( n n π e ( nπ nπ x cos nπt x n= n 6. a iπ a ωe a ω b ( n+ n ( n n (rn r n e inθ π ( + a ω e a ω a3 c π e ω ( isgnω π e ω e iω( 3 isgnω 4iabω d (ω + bω + a + b (ω bω + a + b i 7. a i b 8. 9. π( e n= n. 9π π ω. ˆf(ω = + ω för < ω <, för övrigt. a π (, b π ln 3 3 π. 8 (e + 3. θ(te t cos t 4. u(t = e t/ 3 θ(t + e 3t ( θ(t 5. 3 4 e t te t θ(t ( n ( + inπ n (n π + inπ + einπx 6. h(t = t π ( + t ; x(t = cos ωt ger y(t = ω 4 e ω sin ωt; ej kausalt men stabilt. 7. 8. π 6 e 5/96 [ π ( n] e n π /8+ n π e inπt n= 9. summan blir k(n k.. X(µ = N n= x(ne πiµn/n = cos µπ N sin π N cos π N 8

π(e e e n för n. c n = π( e för n =. Systemet är ej fullständigt.. sinh sinh + cosh x + e sinh x sinh 3. Egenvärden: λ k = ν k, där ν k är de positiva rötterna till ekvationen tan νa = 3ν ν. Egenfunktioner: ν k cos ν k x + sin ν k x. 4. λ = 4 β, där β är den positiva roten till ekv. tanh β = β ; u (x = e x sinh β x λ n = 4 + βn, där β n, n =, 3,..., är de positiva rötterna till ekv. tan β = β ; u n(x = e x sin β n x e x λ N [ λ n + ( n ] = u n (x β n (λ n n= 5. u(x, y = 6 (y3 y + π 3 6. u(x, t = x + 8 π 3 k= n= ( n n 3 (sinh nπx + 7 sinh nπ( x sin nπy sinh nπ (k + 3 e 3 (k+ π [(+t 3/ ] sin(k + πx 7. u(x, y = 8 π 3 sin πxsin( π y sin π 8 (k + π π 3 sin(k + πxsinh( y (k + 3 sinh (k + π k= 8. u(x, t = e 4πt sin πx + π sin 9. 3. u(r, θ = n= 3. sin( sin x = 3. qc Sω ( ( ωr J c J ( ωa c ( n n [ t n π n π n 4 ( e n π4 n= u(x, t = (t + ( x + n= n 3 π 3 (e n π t sin nπx = π t ] = (t + ( x + x 4 x 6 x3 + n 3 π 3 e n π t sin nπx [(n + π ln ( n ] (n + π[(n + ( π ln + ] J k+ ( sin(k + x k= sin ωt. n= sinh(n + πθ ln sinh(n + sin(n + ln r π π ln 4 ln Resonansfrekvenserna är c a α,n, där α,n, n =,,..., är J :s positiva nollställen. 33. u(r, t = k= 8b [( + b α k b] α k (4α k + b J (α k e ( 34. a v(r = J n(ωr J n (ωa om J n(ωa. α k b sin nπx t ( αk r J, där α k är de pos.rötterna till J (α+ b b αj (α =. 9

b u(r, t = J n(ωr J n (ωa sin ωt + k= a k sin α kt a J N ω a k = aα k [J n+ (α k ] J n (ωa a 35. u(r, z = I ( πr L πz I ( πr sin L L I ( πr L πz I ( πr sin L L π 36. 6 (3 + 6x x 37. 3(x 38. 8 8 (x + 39. x 3 3 x + 3 5 x ( αk r, där α k är de positiva nollställena till J n (x, och a ( ( αk r ωa J n (ωrj n rdr = a (ω a αk J n+(α k 4. Med udda index m + blir integralen /3 för m = och för övriga m. 4. H k ( =, H k+ ( = ( k (k+! k!, k =,,... 43. u = 5 R z + 3 5 (x + y + z z z 3 ( 4ab ( 44. u(r, θ = 3(b a r 3a b + a b 3 b 3 a 3 r r cos θ + b 3 + (r 3(b 5 a 5 a5 r 3 (3 cos θ 45. u(x, t = 4kt + x (4kt + 46. u(x, y = 6 (x3 + 4 π x e 4kt+ 5/ η cosh ηx ( + η sin ηydη cosh η 47. Tips: Genom att Fouriertransformera i x-variabeln får man att lösningens Fouriertransform ges av sinh ξy û(ξ, y = sinh ξa ˆf(ξ. Använd nu Plancherels sats för att få den sökta olikheten. Lösningen kan skrivas som u(x, y = sin πy a f(tdt. a 48. y(t = 49. f (t = n= n f(t = 3 + n= cosh π(x t a + cos πy a nπ i( ( n nπ(n π + inπ einπt n= n [δ(t 3n δ(t 3n] = e in π 3 e in π 3 t inπ n= n π (e in 3 e in π 3 t 3 5. f(θ = π 4 ( θ π θ, om θ > och f(θ = f( θ om θ >. 5. ( n sin(nx n= n. resp 3 3 8 π3. 5. u(x, t = x + 6 π k= (k+ cos((k + πt sin( (k+π 3 x

53. u(x, y = (y x + x + eller u(r, θ = r cos θ + r cos θ + (i polärkoordinater. 54. (a ledande termen är ( n (n(n... (n +, konstanta termen är n! (b n!/ n +. 55. f( =, f(xdx =. 56. f(t = et + e t. 57. 58. (a alla k (b k 59. ϕ(x, y = π arccot ex cos y sin y. 6. ϕ(x, y = P π arccot ( x +( y x y. 6. Bildområdet är: {w = (u, v : u, v, (u + + (v }. ] 6. ϕ(x, y = α + α β π [arccot (x y 4x y +r 4 4xy(x y arccot (x y 4x y r 4 4xy(x y. 63. ϕ(x, y = 3 xy(x y +. 64. a Det sammanhängande området Ω avbildas på området mellan de koncentriska cirklarna w = och w = 3. b ϕ(x, y = ln( ln x +(y 3 3 x +(y+. 3 65. y(t = 4π 7 + i( + in n(3 + in 3. n 66. a F (x = a x om x < a, annars b ˆF (ξ = 4 sin aξ ξ. 67. e iaξ e ibξ iξ eller i(a+bξ/ sin(b aξ/ e, som är samma sak. ξ