HYDRAULIK Grundläggande ekvationer I Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära För VVR145, 23 mars, 2016
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 2
Innehåll 1. Introduktion; tillämpningar 2. Klassificering av flöden 3. Visualisering 4. Laminär/turbulent strömning 5. Angreppssätt 6. Kontinuitetsekvationen 7. Exempel VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 3
1. Introduktion; tillämpningar Vattenförsörjning (ledningar, pumpar...) Avloppsvatten (ledningar, pumpar...) Vattenkraft (dammar, kanaler, tunnlar...) Infrastruktur (hamnar, vägar, järnvägar...) Översvämning (Se separat fil med bilder) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 4
2. Klassificering av flöden Flöden klassificeras mht variation i Tid: Stationär strömning (varierar ej med tiden) Icke-stationär strömning (varierar med tiden) Kvasi-stationär strömning (varierar obetydligt med tiden) Rum: Likformig strömning (varierar ej i strömningsriktningen) Olikformig strömning (varierar i strömningsriktningen) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 5
Ex. Stationär (flöde Q konstant i tiden), likformig strömning Ex. Stationär (flöde Q konstant i tiden), olikformig strömning VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 6
Ex. Ickestationär (flöde Q varierar i tiden), likformig strömning Ex. Ickestationär, olikformig strömning VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 7
3. Visualisering Strömlinje (streamline): En linje vars tangent i varje punkt har samma riktning som hastighetsvektorn. VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 8
Strömrör (streamtube): En grupp av strömlinjer som tillsammans spänner upp ett imaginärt rör. Av definitionerna följer: inget flöde genom strömrörets väggar VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 9
Strömnät (flow net): Strömlinjer och potentiallinjer. T.ex. för grundvattenströmning. Partikelbana (pathline): Definieras av en partikel som passivt följer med i flödet. Stråklinje (streakline): Erhålles om man kontinuerligt injicerar färg i en punkt i ett flöde. VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 10
4. Laminär/turbulent strömning Laminär strömning Flöde längs parallella linjer i skikt (grekiska laminae) Skjuvspänning bestäms av viskositet genom ττ = μμ dddd dddd (4.2) Turbulent strömning Oregelbundna, slumpmässiga rörelser Skjuvspänning bestäms av turbulensens egenskaper Strömingen genererar kraftig omblandning VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 11
Reynolds experiment illustrerar laminär/turbulent strömning Strömningen visualiseras mha injicerat färgämne Vid låga flöden: laminärt Vid höga flöden: turbulent VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 12
Reynolds tal Reynolds generaliserade sina resultat genom att introducera ett dimensionslöst tal Re VD ρvd = = ν µ (4.3) Där ν = µ/ρ, V=Q/A ν = kinematisk viskositet (m 2 /s) µ = dynamisk viskositet (Ns/m 2 = Pa s) D = längdskala (m) = (för rör) diameter V = medelhastighet (m/s) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 13
Reynolds tal för rörströmning Laminar strömning: Re < 2000 Övergång: Re = 2000 to 4000 Turbulent strömning : Re > 4000 Två trösklar: Övre kritisk hastighet övergång från laminär till turbulent strömning Undre kritisk hastighet övergång från turbulent till laminär strömning VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 14
Kritiskt Reynolds R c Avgör vid vilka strömningsförhållanden som strömning går från laminär till turbulent eller tvärtom Beror på geometrin Re VD ρvd = = ν µ 1. Parallella väggar R c 1000 / D = avstånd mellan väggarna 2. Bred kanal : R c 500 /D = djup 3. Strömning runt sfär : R c 1 /D = sfärens diameter VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 15
5. Angreppssätt Lagrangesk betraktelse: Strömningen beskrivs med egenskaper för flödespartiklar (rörligt kooordinatsystem) Eulersk betraktelse: Strömningen beskrivs via karakteristika i punkter (fixt kooordinatsystem) Eulersk betraktelse är normalt mer användbar. VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 16
Fluidsystem och kontrollvolym Fluidsystem: viss märkt massa inom en sluten imaginär yta (Lagrangesk betraktelse) Kontrollvolym: viss fix volym inom en sluten imaginär (kontroll)yta (Eulersk betraktelse) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 17
6. Kontinuitetsekvationen Baseras på principen om massans bevarande (conservation of mass) Stationär strömning ρ 1 V 1 A 1 = ρ 2 V 2 A 2 (m 1 = m 2 ) m 1 m 2 Inkompressibel strömning V 1 A 1 = V 2 A 2 (4.4) or Q 1 = Q 2 (Q = V A) Control volume Fluid system volume V: Medelhastighet (m/s) A: Tvärsnitts-area (m 2 ) Q: Flöde (m 3 /s) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 18
Kontinuitetsekvationen tillämpad på rörledning med varierande diameter Q 1 Q 2 Q 1 =V 1 A 1 Q 2 =V 2 A 2 Control volume V 1 A 1 = V 2 A 2 eller Q 1 = Q 2 VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 19
Strömning i grenledning Instationär kanalströmning Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0 eller V 1 A 1 + V 2 A 2 + V 3 A 3 = 0 (Q,V med olika tecken beroende på flödesriktning) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 20 d(vol)/dt = Q 1 Q 2 Vol = Volym vatten i kanalen mellan sektion 1 och 2
7. Exempel VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 21
I1: When 0.0019 m 3 /s of water flow in a 76 mm pipeline at 20 C, is the flow laminar or turbulent? VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 22
I2: What is the maximum speed at which a spherical sand grain of diameter 0.254 mm may move through water (20 C) and the flow regime be laminar? VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 23
I4: Water flows in a pipeline composed of 75 mm and 150 mm pipe. Calculate the mean velocity in the 75 mm pipe when that in the 150 mm pipe is 2.5 m/s. What is its ratio to the mean velocity in the 150 mm pipe? VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 24
I5: Using the control volume in the fig. find the mixture flowrate and density if freshwater (ρ 1 = 1000 kg/m 3 ) enters section 1 at 50 l/s, while saltwater (ρ 2 = 1030 kg/m 3 ) enters section 2 at 25 l/s. VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 25
TACK FÖR IDAG! VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 26
HYDRAULIK Grundläggande ekvationer II Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära För VVR145, 30 mars, 2016
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 2
Innehåll 1. Bernoullis ekvation (B.E.) 2. Tillämpning (Venturimeter) 3. Giltighet B.E. och energi-ekvationen 4. Korrektionsfaktor α 5. Exempel VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 3
1. Bernoullis ekvation (B.E.) HH = zz + pp ρgg + VV2 2gg = cccccccccc (4.23) H: energihöjd (m) z: vertikal nivå relativt godtycklig referensnivå (m) p: tryck (Pa) ρ : densitet (kg/m 3 ) V: hastighet (m/s) g: gravitationsacceleration (m/s 2 ) Härledning: - Baseras på Newton 2 (F = ma) - Se Hamill Proof 4.3 VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 4
Bernoullis ekvation (B.E.) HH = zz + pp ρgg + VV2 2gg = cccccccccc De tre termerna i B.E. benämns: H = (energi)höjd ett mått på totalt (mekanisk) energiinnehåll Z = geometrisk höjd ett mått på lägesenergi p/ ρg = tryckhöjd ett mått på tryckenergi V 2 /2g = hastighetshöjd ett mått på rörelseenergi HH = zz + pp ρgg + VV2 2gg zz + pp ρgg definierar energilinjen (energy line) definierar trycklinjen (hydraulic grade line) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 5
HH = zz + pp ρgg + VV2 2gg definierar energilinjen (energy line) zz + pp ρgg definierar trycklinjen (hydraulic grade line) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 6
2. Tillämpning (Venturimeter) Jämför Figur 5.1 i boken! H VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 7
Venturimeter forts. H B.E. 1 2 z 1 + p 1 ρg + V 2 1 2g = z 2 + p 2 ρg + V 2 2 2g Kont. Ekv 1 2 Med horis ledning z 1 = z 2 ger de två ekv ovan V 1 A 1 = V 2 A 2 H = p 1 ρg p 2 ρg = V 2 2 2g V 2 1 2g H = V 1 2 2g A 1 A 2 2 1 V 1 = A 1 A 2 2gH 2 1 Dvs eftersom Q = V 1 A 1 och A 1, A 2 är kända så kan vi mäta flödet genom att mäta H VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 8
3. Giltighet B.E. Bernoullis ekvation gäller Längs en strömlinje För en ideal fluid ( energiförluster försummas) Stationärt flöde Inkompressibelt flöde Om vi inkluderar energiförluster och räknar över hela tvärsnitt så får vi Energiekvationen (mekanisk energi) z 1 + p 1 ρg + V 2 1 2g = z 2 + p 2 ρg + V 2 2 2g + h ff 12 (4.24) Där h f 12 är energiförlust mellan 1 och 2, och hastigheterna är medelhastigheter i resp. sektion VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 9
4. Korrektionsfaktor α Hastighetshöjden i e-ekv baseras på medelhastighet. Termen representerar transport av rörelseenergi. Den tecknas 1 2 ρqu 2 Eftersom hastigheten varierar i tvärsnitt så gäller egentligen: transport av rörelseenergi = A 1 2 3 ρu da Korrektionsfaktorn α tar hänsyn till skillnaden enligt ovan ρu da ρu da 3 2 A A α= = 2 3 ρqu ρu A Se ekv 4.26: α = Σ(v 3 da) / V 3 A VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 10
5. Exempel VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 11
I9: If crude oil flows through this pipeline and its velocity at A is 2.4 m/s, where is the oil level in the open tube C? Z VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 12
I10*: Water is flowing. The flow picture is axisymmetric. Calculate the flowrate and manometer reading. 1 B A Z L R VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 13
I16* Channel and gate are 1 m wide (normal to the plane of the paper). Calculate q 1, q 2, and Q 3. 1 2 Z 3 VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 14
TACK FÖR IDAG! VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 15