Problembanken. Grundskola åk 7 9, modul: Problemlösning. Hillevi Gavel, Mälardalens högskola

Relevanta dokument





ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö

Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ

ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ

( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =


ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾

s N = i 2 = s = i=1



Ö Ò histogramtransformationº

ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú

Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK


½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº

Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к

Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ

¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½

u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)

Självorganiserande strömningsteknik

Multivariat tolkning av sensordata

2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS


1 k j = 1 (N m ) jk =

Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø

x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2

Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur

huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser

f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0


Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ

Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem

Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø

ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring

σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ

Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.


Stapeldiagram. Stolpdiagram

Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º

Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó

Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼


º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º

G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼

Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =

2π e. P(k, l, q Y, T) P(k, l, q)p(y, T k, l, q) = P(k, l, q) i. P(y i t i, k, l, q) 2 i (yi kti l)2 (2π) P(z Y, T, s) = P(z k, l, q, s)p(k, l, q Y, T)

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ

=

ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼

B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;

0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n

¾

1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt

ÁÒÐÒÒ ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÅØк ËÝ ØÑØ ÒÚÒ Ö ÓÑ Ò ÚÒ¹ Ö ÖÒÓ Ñ ÒÝ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ó Öº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ØÐÐÒÐ ÓÑ Ù Ö ÚÒ Úº ÚÒÒÖÒ Ö ØÒØ ØØ ÒÓÑÖ Ô Ò Ò ÑÒ Ú

¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

a = ax e b = by e c = cz e

Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

=

level days

ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½

ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½

Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008

Imperativ programering

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET


K=6 K 0.65 K Stegsvar B 2. Stegsvar C. Stegsvar A

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½

u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)

Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi

È Ò ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ú Ö ØÝ ÊÓ ÖØ ÒÑ Ö ÖÓ ¼ ËØ Ò È ØØ Ö ÓÒ ØÔ Ó Ò Ò Ü Þ ½ ½¾ Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖÓ Ø Ö Ø Ö ÙÖ Ò ÒÚÒ Ö ÒØÖ Ö Ý Ø Ñ Ò Ú ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓ

Från det imaginära till normala familjer

Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET

1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210

x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0

ÁÒÐÒÒ Ú ØÖØÖ Ú Ò Ø ÒÒ ÐÐ ÖÚØ ÓÑ ÒÖ Ú ØØ Ò ÚĐÖÔÔÔÖ ÒĐÑÐÒ Ò Øº ØÒ ÔÖ Ú ØÒ Ø ØÒ Ñ Ë Øµº ÄØ ÒÙ Ì ÚÖ ØØ ÚØ ÖÑØ ØÙÑ Ó ÒØ ØØ ØØ Ú Ø ÖÚØ ØÒ Ò ÒÐĐÓ Ú ØÒ Ì Ó ÙØ

= =

ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + Ú º º Ð ØÖÓØ Ò À ÓÐ Ò Ð ÖÒ ¾¾ Ñ Ö ¾¼¼

Article available at or

t

Imperativ programering

W R = {u C(T) : u(e iθ ) = Ê f(e iθ ) f A(D R )}. z k = r k e ikθ = r k coskθ + ir k sin kθ

Transkript:

Problembanken Grundskola åk 7 9, modul: Problemlösning Hillevi Gavel, Mälardalens högskola

ÅÓÙÐ ÈÖÓÐÑÐ ÒÒ Ð ½ ÀÐÐÚ ÚÐ ÅÐÖÐÒ ÓÐ ÒÒ ÔÖÓÐÑÒ ÒÒÐÐÖ ½ ÔÖÓÐÑ Ñ ÚÖÖÒ ÒÒÐÐ Ó ÚÖØ Öº ÌÒÒ Ö ØØ Ò ÚÐÖ ÔÖÓÐÑ ØÖ Ú ÓÑ Ô Ö ÓÔ Ñ ÙÒÖÚ ÒÒÒ ÚÖغ È Ò ÒÒ ØØ ÒÜ ÓÑ Ú Ö ÚÐ ÐÖ Ú Ø ÒØÖÐ ÒÒÐÐØ ÓÑ ÓÐ ÔÖÓÐÑÒ ØÖ ÙÔÔº ØØ Ò ÚÖ ØÐÐ ÐÔ Ú ÚÐØ Ú ÔÖÓÐѺ ÈÖÓÐÑÒ ÙÔÔÐ Ò Ð Ú ÔÖÓÐÑÒ Ö ÚÖÒØÖº ÒÐÖ ÐÐ ÚÖÒØÖÒ ÑÑ ÖÙÒ¹ ÑÒ Ö ÐØ ÓÐ ÚÖ ÚÖغ Æ Ö ÚÐ Ò ÓÑ Ò ÑÖ Ø Ô Ö Ö Ò ÐÚÖÙÔÔ Ò Öº Æ Ò ÙØÓÑ ÒÔ ÔÖÓÐÑÒ ÚÖ ØÐÐ Ù Ø Ö Ò ÐÚ¹ ÖÙÔÔÖ ØÐÐ ÜÑÔÐ ÒÓÑ ØØ ÒÔ ÖÓÖ Ó Ð ØÐÐ ÐÐÖ Ø ÓÖØ ÐÙÔÔØÖº ÖÑÖ ÐÐØ ÖÒ Ò Ø ÚÖ Ö ØØ ÐÐÖ Ø Ö ÐØ Ò Ö ÑÝØ ÐÚÖÒ Ò Ð ØÖ ÓÑ ÙÔÔØÒ ÒÒ Ö ØÓÖº ÅÒ Ò ÐÙÔÔØÖ ÑÒ ÚÐ ÓÖØ Ô ÔÖØ ÔÔÔÖ Ó Ð ÙØ ÓÑ Ø ÚÖÖ Óغ ÅÒ Ú ÔÖÓÐÑÒ ÒÒÐÐÖ ÖÙØÓÑ ÐÚ ÖÙÒÔÖÓÐÑØ Ó ÍØÚÒÒÖº Íع ÚÒÒÖÒ Ö ÓÖØ ØØÒÒÖ Ô ÖÙÒÔÖÓÐÑغ Á Ò Ð ÐÐ ÒÒ Ö ÓÐ ÙØÚ¹ ÒÒÖ ÓÑ Ö Ô ÓÐ ÔØÖ Ó ÖÙÒÔÖÓÐÑغ Ø Ö ÒØ ÑÒÒÒ ØØ Ò ÒÒ Ö ÔÖ ØØ Ø ÐÐØ ÑÑÒ ÙØÒ ÚÐ ÙØ ÒÖ ÐÖ ÓÑ ÚÖÖ Ô ÖÙÔÔÒ ÒÚ Ó ÓÑ ÓÙ ÖÖ Ô Ø ÓÑ ÚÖÖ ÐÑÔÐØ ÓÔ Ñ Ò ÚÖ ÙÒÖ¹ Ú ÒÒÒº Ø Ò Ó ÚÖ Ö ØØ ÒÓÒ ÙØÚÒÒ ÙÔÔØ Ò ÐÐ ÐØÓÒÒ Ö ÒÖ Ò ÔÐÒÖØ ÐÐÖ ÐÐ ÒÓÒ ÖØ ÖÙÔÔ ÐÖ ÐÖ ÓÖØÖ Ò ÒÖµº ÅÒ Ú ÔÖÓÐÑÒ ÒÒÐÐÖ Ó Ò ÐÙÔÔØ Ú ØÝÔ ÓÒ ØÖÙÖ ØØ Ø ÔÖÓÐѺ ÇÑ Ø¹ Ò ÖÖ Ò ÐÚÖÒ ÔÖÓÚ ÚÖÒÖ ÔÖÓÐÑ Ø Ö ØØ ÚÒ ØØ ØØ ÒÚÒ ÚÖÐÚÒ ÑÒÙØÖº Ø Ö ÐÐØ ÑÒÒÒ ØØ Ò Ú ÓÚ ÖÖ ÐÚÚÖ ÓÒÖÒ Ú ÔÖÓÐÑÒ ÒÒÒ Ò ÔÖ ÒØÖÖ Ñº ÃÐÔÔ ÙØ ÐÔÖÓÐÑ Ò ÚÐÐ ÒÚÒ ÐÔÔ ÓÖØ Ò ÒØ ÚÐÐ ÑÐ ÚÖ ÑÒÖ ÐÖ ÓÑ Ò ÒØ Ö ÒØÖ Ö Ú ÖÚ Ø ÖÓÖ Ò ÚÐÐ Ó ÓÔÖ ÙÔÔ Ø Ö Ö ÙÐØØغ ÄÖÖ ÓÖÒ ÌÐÐ ÚÖ ÔÖÓÐÑ ÒÒ ÐÖÖ ÓÖº ÌÐÐ Ø Ö Ø ÔÖÓÐÑØ ÒÒ ØØ ÐÒÖ ÙØÖ ÙÖ ÓÒ Ê ÑØÑØ ÔÖÓÐÑ ÓÑ ÖÚÖ ÖØ ÑØÓÒ Ñ Ò Ö ØÝÔÒ Ú ÔÖÓÐÑ Ñ ÔÖÓÐÑØ Ð ÖÒ ÓÑ ÜÑÔк ÌÐÐ ÚÖ ÔÖÓÐÑÒ ÒÒ ÈÖÓÐÑÔÖ ÒØØÓÒ Ñ Ò ÓÖØ ÖÙÒ ØÐÐ ÔÖÓÐÑغ ÒÚÒÖØ ÑØÖÐ ÓÑ Ð ØÖ ÓÒÖØ ÑØÖÐ ÓÑ Ò ÚÖ Ö ØØ Ú ÖØغ ËÚÖ Ô ÐÙÔÔØÖÒº ÅØÑØ Ø ÒÒÐÐ ÓÑ Ð ØÖ ÚÐ ÖÙÒ ÔÖ ÑÒ Ö Ö ØØ ÙÒÒ Ö¹ Ø Ñ ÔÖÓÐÑØ Ó ÚÐØ ÙØÝØ ÑÒ Ò º ÜØ ÚÐØ ÙØÝØØ ÐÖ ÖÓÖ ÑÝØ Ô Ú ÐÚÖÒ ÓÙ ÖÖ Ô Ð ØÓÖÒ Ö ÒØ ÓÑÔÐØغµ ½ ½ ¾µ

Ä ÒÒ ØÖØÖ Ñ ÜÑÔÐ Ô ÙÖ ÔÖÓÐÑØ Ò ÒÖÔ º Ø ÒÒ ÚØÚ ÑÒ Ö ØÖØÖ Ò Ú ÓÑ ÖÚ Öºµ ÃÓÑÑÒØÖÖ ÐÐ Ø ÒÒ ÑÖ ØØ ØÐÐ ÓÑ ÔÖÓÐÑغ ¾ ½ ¾µ

ÁÒÒÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÑÒ ÓÑÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Á ÐÚ ÓÖ ½ Ð ÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÃÖÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓÖÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ù Ö Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ä ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ ÖØØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ò ÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÒÐ Ú ÒÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÝÐÖÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ËØØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ½¼ ÎÒÐ ÙÑÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½ ÃÙÐÔ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾ ÈÖ ØØÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ÒÒ Ý ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ÐÐÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ÐÐ ÑÐ ÙÑÑÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÃÐÙÚÖ ÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ËÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÄØÖ Ó ÐÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½ ËÑÙÐØÖÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÁÁ ÄÖÖ ÓÖ ½ Ð ÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÃÖÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓÖÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ù Ö Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ ÖØØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÒÐ Ú ÒÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÝÐÖÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËØØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÎÒÐ ÙÑÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½ ÃÙÐÔ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ÈÖ ØØÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾µ

½ ÒÒ Ý ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ ½ ÐÐÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½ ÐÐ ÑÐ ÙÑÑÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½ ÃÐÙÚÖ ÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½ ËÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ ½ ÄØÖ Ó ÐÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½ ËÑÙÐØÖÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½ ¾µ

ÑÒ ÓÑÖÒ ÃÙÖ ÚÖÒ ÒÒÖ ØØ ÓÑÖØ ÒÖ ÒÓÒ ÙØÚÒÒ ÙÔÔØ ÐÐÖ ØØ ÒÓÒ Ð ¹ ÒÒ ØÖØ ÒÚÒÖ Ú ØÒ ÖÒ ÓÑÖØ ÑÒ ØØ Ø ÒØ Ö ÙÚÙÓÙ Ö ÔÖÓÐÑغ Ö Ø ÒÚ ÒÒÒ Ö ØÐÐ ÐÚ ÓÖÒ ÒÖ ØÐÐ ÐÖÖ ÓÖÒº ÐÖ ½º ÐÐ ÑÐ ÙÑÑÓÖ ½¼ º ÒÐ Ú ÒÐ ½ º Ù Ö Ô Ö ½¾ º ÝÐÖÖØ ½ º Ò ÖÑ ½ ¾ ½º ÐÐÒ Ø ¾ ½¼ ½º Ð ÖÒ ½º ÃÐÙÚÖ ÑØ ½½ ¾º ÃÖÑÖ º Ä ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ ÖØØÖ ½ ½º ÄØÖ Ó ÐÒÒ ¼ ½¾ ½¾º ÈÖ ØØÒÒ ¾ ½º ËÖØ ½¾¼ ½º ËÑÙÐØÖÓÒ Ò ¾ ½¾ º ËØØØ ¾¾ º ÌÓÖÒØ ½½ ¾ ½¼º ÎÒÐ ÙÑÑ ¾ ¼ ÓÑØÖ º Ù Ö Ô Ö ½¾ º Ä ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ ÖØØÖ ½ ½º ÄØÖ Ó ÐÒÒ ¼ ½¾ ½º ËÖØ ½¾¼ ½º ËÑÙÐØÖÓÒ Ò µ ¾ ½¾ º ËØØØ ¾¾ º ÌÓÖÒØ µ ½½ ¾ ½¼º ÎÒÐ ÙÑÑ ¾ ¼ ÅÓÐÐÖÒ º ÒÐ Ú ÒÐ ½ º Ù Ö Ô Ö ½¾ º ÝÐÖÖØ ½ ½º Ð ÖÒ ½º ÃÐÙÚÖ ÑØ ½½ ¾º ÃÖÑÖ º Ä ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ ÖØØÖ ½ ½º ËÑÙÐØÖÓÒ Ò ¾ ½¾ º ËØØØ ¾¾ ËÑÒ Ó ÖÒÖÒ ½º ÐÐ ÑÐ ÙÑÑÓÖ ½¼ º Ù Ö Ô Ö ½¾ º ÝÐÖÖØ ½ ½º ÐÐÒ Ø ¾ ½¼ ½º Ð ÖÒ ¾º ÃÖÑÖ º Ä ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ ÖØØÖ ½ ½¾º ÈÖ ØØÒÒ ¾ ½º ËÖØ ½¾¼ ½º ËÑÙÐØÖÓÒ Ò ¾ ½¾ º ËØØØ ¾¾ º ÌÓÖÒØ ½½ ¾ ½¼º ÎÒÐ ÙÑÑ ¾ ¼ ËÒÒÓÐØ Ó ØØ Ø ½º ÐÐ ÑÐ ÙÑÑÓÖ ÓÑÒØÓÖµ ½¼ ½ º ÒÒ Ý ÓÒ ½ ½¼¾ º ÝÐÖÖØ ½ ½º Ð ÖÒ ÓÑÒØÓÖµ ½º ÃÐÙÚÖ ÑØ ÓÑÒØÓÖµ ½½ ¾º ÃÖÑÖ ÓÑÒØÓÖµ ½½º ÃÙÐÔ Ò ¾ ½º ËÖØ ÓÑÒØÓÖµ ½¾¼ ÌÐÙÔÔØØÒÒ Ó ØÐ ÒÚÒÒÒ ½º ÐÐ ÑÐ ÙÑÑÓÖ ½¼ º ÒÐ Ú ÒÐ ½ º ÝÐÖÖØ ½ º Ò ÖÑ ½ ¾ ½º ÐÐÒ Ø ¾ ½¼ ¾º ÃÖÑÖ ½ ¾µ

Ð Á ÐÚ ÓÖ ½ ¾µ

½ Ð ÖÒ ÈÖÓÐÑØ Ö ØØ ÙÖ Ê ÑØÑØ ÔÖÓÐÑ Ú ÃÖ ØÒ ÀÐÒ ÊÓÐ ÀÖÒ Ó Ú ÌÒ ÖØØÖÒ Ó ÄÖ ¾¼¼º ØÖÚØ Ñ ØÐÐ ØÒº ÌÒÒ ÒÖ ËÙ¹ Ò ÓÒº Ä Ô Ð Ð ÙÐÓÖ Ó Ò ÚÐ Ô ÝÖ ÓÐ ÑÖº ÀÓÒ ÚÐÐ ØÚ Ð Ù¹ ÐÓÖº µ È ÙÖ ÑÒ ÓÐ ØØ Ò ÓÒ ÚÐ Ò Ð µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐѺ Ä Øº ½ ¾µ

ÎÖÒØ Ä Ô Ð Ð ÙÐÓÖº ÀÓÒ ÚÐÐ ØÚ Ð ÙÐÓÖº È ÙÖ ÑÒ ÓÐ ØØ Ò ÓÒ ÚÐ Ò Ð ÓÑ Ø ÒÒ µ ÓÐ ÑÖ µ ÓÐ ÑÖ µ ÓÐ ÑÖ µ ½¼ ÓÐ ÑÖ µ ½¼¼ ÓÐ ÑÖ µ n ÓÐ ÑÖ µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐѺ Ä Øº ½ ¾µ

¾ ÃÖÑÖ ÐÐÒÓÖ Ö ÙØ Ñ Ò ØÓÑÔ Ö ØÐÐ Ò ÐÑÚÐк ÐÐ ÓÑ Ö Ô ÐÑÚÐÐÒ Ö¹ ÑÖ ÚÖÒÖº ÐÐ ÖÑÖÒ Ö ÑÐÐÒ ØÚ ÔÖ ÓÒÖ Øغ µ ÀÙÖ ÑÒ ÖÑÖ ÐÖ Ø ÓÑ Ø Ö ÔÖ ÓÒÖ Ô ÐÑÚÐÐÒ µ Ç ÓÑ Ø Ö ÔÖ ÓÒÖ µ Ç ÓÑ Ø Ö ½¼ ÔÖ ÓÒÖ µ Ç ÓÑ Ø Ö ¾¼ ÔÖ ÓÒÖ µ ÇÑ Ø Ö n ÔÖ ÓÒÖ Ô ÐÑÚÐÐÒ ÙÖ ÑÒ ÖÑÖ ÐÖ Ø ØÓØÐØ µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ½ ¾µ

ÍØÚÒÒÖ Ä ÐÐÖ ÓÐ Ù ÐÐÖ ÑÒØ ÎÒÐÒ Ö Ø Ù ÒØ ØØ ÐÐ ÖÑÖ Ðк ÒØÐÒ ÖÑÖ ÑÒ ÒØ ÓÑ ÑÒ ÓÑÑÖ ÐÐ Ô Ñ ØÐÐ ÜÑÔк Ø Ö ØØ ÓÐ ÔÖ ÓÒÖ Ò ÖÑØ ÓÐ ÑÒ ÒÖº Á ÙÔÔØÖÒ ÒÒ Ò Ò Ò ØÐÐØ Ö ØØ ÖÑ Ø Ö ÒÖ ØØ Öºµ µ Ö Ñ ØØ ÖÑ ÒÓÑ ÖÙÔÔÒº Ë ØÐÐ ØØ ÒØ ÐÐ ÖÑÖ Ðк ËÖÚ ÙÔÔ ÙÖ ÑÒ ÖÑÖ ÚÖ Ó Ò ÚÖØ Ñ º µ ÀÙÖ ÑÒ ÑÑ ÒØÐ ÓÑ ÒÓÒ ÒÒÒ ÖÙÔÔÒ µ Ø ÐÖ ÐÐØ ØØ ØÑÒ ØÓÒ ØÚ Ö ÑÑ ÒØк ÖÐÖ ÚÖÖ µ ÀÙÖ ÑÒ ØØ Ù ÒØÐ Ó ÙÖ ÑÒ ØØ ÑÒØ ÆÓÐÐ Ö ØØ ÑÒØ Øкµ µ Ø ÐÖ ÐÐØ ØØ ÑÒØ ÒØÐ ÔÖ ÓÒÖ ÓÑ Ö ØØ Ù ÒØÐ ÖÑÖº ÖÐÖ ÚÖ¹ Ö Ø ÔÖ È ØØ ÓØÐÔÖØÝ ÒÒ Ø ÔÖ Ó Ò ÒÖµº ÖÑ ÒØ ÑÒ Ò Ð Ú Ñ Ò Ñ ÚÖÒÖº ÁÒÒ Ò Ñ Ò ÓÑ Ò ÚÖ Ø Ñº Ò ÚÒÒ Ö ÖØÖ ÐÐ ÒÖ ÙÖ ÑÒ Ø Ò Ñº ÐÐ Ú ÓÐ ÚÖº µ ÀÙÖ ÑÒ ÔÖ ÓÒÖ ÚÒÒÒ Ø Ò Ñ µ ÀÙÖ ÑÒ ÔÖ ÓÒÖ ÒÒ ÑÒ Ø Ò Ñ ½¼ ½ ¾µ

ÌÓÖÒØ ÈÖÓÐÑØ Ö ØØ ÙÖ Ê ÑØÑØ ÔÖÓÐÑ Ú ÃÖ ØÒ ÀÐÒ ÊÓÐ ÀÖÒ Ó Ú ÌÒ ÖØØÖÒ Ó ÄÖ ¾¼¼º ØÖÚØ Ñ ØÐÐ ØÒº ÌÒÒ ÒÖ ËÙ¹ Ò ÓÒº µ ÀÙÖ ÑÒ ÙÖ Ú Ø Ö ØØ Ý ØÓÖÒØ Ô ÐÒ µ ÀÙÖ ÑÒ ÙÖ Ú Ø Ö ØØ Ý ØØ ÐÒÒ ØÓÖÒ ÓÑ Ö ½¾ ÙÖ Ø µ ÀÙÖ ÑÒ ÙÖ Ú Ø Ö ØØ Ý ØØ ÐÒÒ ØÓÖÒ ÓÑ Ö n ÙÖ Ø µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐѺ Ä Øº ½½ ½ ¾µ

Ù Ö Ô Ö ÈÖÓÐÑØ Ö ØØ ÙÖ ¾ Ö ÔÖÓÐÑ ÑØÑØ Ú ÅÖ ÄÖ ÓÒ ÅÖ ÄÖ ÓÒ Ó ÄÖ ¾¼¼º ØÖÚØ Ñ ØÐÐ ØÒº ÌÒÒ ÌÓÑ ÃÖÐ ÓÒº ÑÐÐ ÔÐÒØÖ Ù Ö Ú Ò Ø Øݺ ÊÙÒØ ÚÖ Ù ÐÖ ÓÒ ÔÐØØÓÖ ÓÑ ÙÖÒ Ú Öº ÎÖ ÚØ ÖÙØ Ö Ò ÔÐØØ Ó ÚÖ ÚÖØ ÖÙØ Ö Ò ÖØØ Ö Ò Ù ÔÐÒØÖ º ½ Ù ¾ Ù Ö Ù Ö ½º ÀÙÖ ÑÒ ÔÐØØÓÖ Ö Ø Ø ÖÙÒØ µ Ù Ö µ Ù Ö µ ½¼ Ù Ö µ ½¼¼ Ù Ö µ n Ù Ö ¾º ÀÙÖ ÑÒ Ù Ö Ñ Ø ÑÐÐ ÔÐÒØÖ ÓÑ ÓÒ ÐÖ ¾¼ ÔÐØØÓÖ º ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ½¾ ½ ¾µ

º½ ÎÖØÓÒÖ ÍÖ ¾ Ö ÔÖÓÐÑ ÑØÑغµ ÄØ ÐÚÖÒ Ý ÔÐØØÑÒ ØÖ Ú ØÒÖ ÒÔÔÖ ØÖÒÒÖ ÐÓ Ö ÐÓ Øº Ô Ð¹ Ð ÑÐ ÒØ ÙÐÐ ØØ Ó Ø ÖÑ ÓÖÑÐÒ Ö ÙÑÑÒ Ú ÐÐ ÔÐØØÓÖº ÐÖ ÓÐ ÖÖ Ô ÔÐØØÓÖÒ Ò Ò ÑÒ ØÖغ Ò ÒÒÒ ÚÖÒØ Ò ÚÖ ØØ Ö ÙÖ Ð¹ Ò ÙÖÖÒ Ò Ö Ò ÙØ ÓÑ ÑÒ Ò Ø ÔÖ ÒØÖÖ ØÚ Ö Ø ÙÖÖÒ ÖÒ Ñ ÔÐØØÓÖº ÍØÚÒÒÖ ÙÖ ¾ Ö ÔÖÓÐѺµ ½º Î Ö ÖØØÒ Ö ÓÑÖØ ÓÐ ÐÐÒ ¾º ÎÐÒ Ö Ö ÖØØÒ ÓÐ ÐÐÒ º ÀÙÖ ØÓÖ ÒÐ Ú ÖÒ Ö ÔÐØØÐ Ó ÙÖ ØÓÖ ÒÐ Ö ÓÖ º ÇÑ ÑÒ Ö Ò ÑÝØ ØÓÖ ÖØØ ÙÖ ØÓÖ ÐÖ ÒÐÒ ÓÖ Ô ØØ ÙÒÖ ½ ½ ¾µ

Ä ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ ÖØØÖ ÈÖÓÐÑØ Ö ÓÖÑÙÐÖØ Ú Ð Ö ØÒ Ò Ó ÅÖ ÄÖ ÓÒº Ú Ó Ð ÐÖ ÚØ ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ ÖØØÖ ÓÑ ÐÒ Ú Öº ÙÖ ½ ÙÖ ¾ ÙÖ ½º ÀÙÖ ÑÒ ÚØ ÔÐØØÓÖ Ö Ø Ø µ ÙÖ µ ÙÖ µ ÙÖ ½ µ ÙÖ ¾º ÖÚ Ñ ÓÖ ÙÖ ÑÒ ØÖØ Ö ÙÔÔÝØ º ÀÙÖ ÑÒ ÚØ ÔÐØØÓÖ Ö Ø Ø ÙÖ n º ÀÙÖ ÐÒ ÐÖ ÖØØÒ Ø ÚÐÐ ÓÑÖØ Ñ ÓÖµ ÓÑ Ö ½ ÚØ ÔÐØØÓÖ ØØ Ð º ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ½ ½ ¾µ

Ò ÖÑ ÈÖÓÐÑØ Ö ØØ ÙÖ ¾ Ö ÔÖÓÐÑ ÑØÑØ Ú ÅÖ ÄÖ ÓÒ ÅÖ ÄÖ ÓÒ Ó ÄÖ ¾¼¼º ØÖÚØ Ñ ØÐÐ ØÒº ÌÒÒ ÌÓÑ ÃÖÐ ÓÒº ØØ ÐÓÒ ØÖ ÙÔÔ ØØ Ö Ô ØÑÑÖ Ò ÖÒ ØÖ ÙÔÔ ØØ Ö Ô ØÑÑÖ Ó Ò ÐÓ¹ ÔÖ ØÖ ÙÔÔ ØØ Ö Ô ØÑÑÖº ½º ÀÙÖ ÐÒ Ø ØÖ Ø Ö ÐÓÒØ Ó ÖÒÒ ØØ ØÐÐ ÑÑÒ Ø ÙÔÔ ØØ Ö ¾º ÀÙÖ ÐÒ Ø ØÖ Ø Ö ÐÐ ØÖ ÙÖÒ ØØ ØÐÐ ÑÑÒ Ø ÙÔÔ ØØ Ö º ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ½ ½ ¾µ

ÍØÚÒÒÖ ½º ÙØÖ Ø ÖÐ Ø ÔÖÓÐÑغ ÃÒ ÙÖÒ Ø ÑØص ¾º ÙØÖ Ø ÖÐ Ø ÑÓÐÐÒº ØÖ ÑÒ Ð ÓÖØ Ð ØÒ Ó ÓÑ ÒØ ÙÖ ÔÚÖÖ Ø ÚÖص º Ö ØØ ØØ ÖÐ Ø Ø ÔÖÓÐÑ Ñ ÑÑ ØÝÔ Ú ÖÒÒº ½ ½ ¾µ

ÒÐ Ú ÒÐ ÈÖÓÐÑÒ Ö ÓÖÑÙÐÖ Ú ÃÖÒ ÈÓÐÐ Ó Ð Ö ØÒ Òº ÅÒ ÔÒ ÀÙÖÖ Â Ö ØØ ÑÒ ÔÒ ØÐÐ ÑÒ ØÓÑÑ ÔÐÒÓº  ÔÖ Ò Ú Ö Ò ØÖÐ Ú ÑÒ ÔÒÒ Ó Ö Ò Ó ÔÖ Ò ØÖ Ö ¼ ± Ú Ø ÓÑ Ö ÚÖº ÌÐÐ Ø ÒÙØÖ Ú Ò Ð Ö Ò ØÓÒÐ Ú ÔÒÖÒ ÓÑ Ö ÚÖ ØÖ ÑÒ ØÚ Ò ÒÔº ÆÙ ÒÒ Ø ¾½ Ö ÑÒ ÔÐÒÓº µ ÀÙÖ ÑÝØ ÑÒ ÔÒ µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ÑÑ Í˹ÑÒÒ ÑÑ Ö ØØ ÑÑÐØ ÒÚÒØ Í˹ÑÒÒ Ñ ÐØ ÙØÖÝÑѺ ÖÖ ÚÒ Ð ÓÒ Ò ØØ ÔÐ ÓÑ ØÓ 2 /7 Ú Ø Ð ÑÒÒغ ÌÐÐ ÐÒ ÓÒ Ò ÔÒÒÒ ÐÑ ÓÑ ÙÔÔØÓ ¼ ± Ú Ø Ð ÙØÖÝÑÑØ ÓÑ ÒÙ ÒÒ ÚÖº ÑÑ ÓÑÔ ØÓ ÒÝ ÓØÓÒ Ô ØÒº ÆÖ ÑÑ ÔÖÖ ÓÖØÒ Ô ØØ ÍË ØÖ 1/8 Ú Ø ÒÙÚÖÒ ÑÒÒغ ÆÙ Ö ÓÒ Ö ¼ ÚÖº µ ÀÙÖ ØÓÖØ ÙØÖÝÑÑ Ú Í˹ÑÒÒØ ÚÖ ÙÔÔØØ ÖÒ ÖÒ µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ½ ½ ¾µ

ÍØÚÒÒÖ µ Ö Ø ÑÐØ ØØ ØØ ÓÔ ØØ ÒØ Ö ÔÖÓÐÑ ÓÑ Ö ÓÐ ÐØ µ Ö ØÒ ÙØ Ò ÖÐ Ø ØÙØÓÒ Ö ÑÒ Ö Ò Ö ØÝÔÒ Ú ÒÓÖÑØÓÒ ÓÑ ÒÓغ ÌÐÐ Í˹ÑÒÒØ µ Ì Ö Ô Ú Ö Ö ÒÓغ µ ÇÑ Ø Ð ÙØÖÝÑÑØ ÖÒ ÖÒ ÚÖ Ø ÓÑ Ò ÓÑ ÖÑ ØÐÐ Ö Ø ÑÐØ ØØ ÔÐØ ØÓ ÙÔÔ ÜØ 2 /7 Ú Ø ØÐÐØÒ ÙØÖÝÑÑØ ½ ½ ¾µ

Grundskola åk 7 9 8 Cykelförrådet En stor förskola har ett förråd, där de har sina 3-hjuliga yklar. Förskolan har både 2-hjuliga o h yklar. a) Just nu nns det 11 yklar i förrådet. Tillsammans har de 27 hjul. Hur många av yk- larna är 2-hjulingar, o h hur många är 3-hjulingar? b) Är det säkert att det bara nns ett möjligt svar på den här frågan? Förklara! ) Om vi bara får reda på att det är 27 hjul men inte hur många yklar det är, vad är då svaret på frågan? d) Sätt ihop ett liknande problem. Det behöver inte handla om Problembanken http://matematiklyftet.skolverket.se yklar! Februari 2015 19(132)

ÍØÚÒÒÖ Ø ØÓÖ ÖÖØ ÃÓÑÑÙÒÒ Ö ÔØ Ò ÒÝ ÝÐÖ ÓÑ Ð ÙØ ØÐÐ ÐÐ Ö ÓÐÓÖ ÓÑÖغ ÂÙ Ø ÒÙ Ö ½½ ÝÐÖ ØØ ÐÖº ÌÐÐ ÑÑÒ Ö ¾¼ Ùк ÀÙÖ ÑÒ Ú ÝÐÖÒ Ö ¾¹ÙÐÒÖ Ó ÙÖ ÑÒ Ö ¹ÙÐÒÖ Ø ÓÐ Ö ÔÖÓÐÑØ ÀÒÒ Ö ÓÒ ØÖÙÖØ ØØ ÝÐÔÖÓÐÑ Ó ÐØÖ Ö Ö Ð Øº Ö Ö Ù Ñ Ø ÖÒØ Ð Ù ÖÒ ÙÐÒ Ö Ö Ò Ø ÒØ ÚÖ Î Ò Ø ÚÖ ÓÑ Ö ØØ Ö ØÝÖ ØØ ÀÒÒ ÔÖÓÐÑ Ö Ð ÒÐÖ ÚÖÒØ ÀÒÒ Ö ÓÖØ ÔÖÓÐÑØ Á ØØ ÙÐ ÒÒ ½ ÝÐÖ ¾¹ÙÐÒÖ Ó ¹ÙÐÒÖº ÌÐÐ ÑÑÒ Ö ¼ Ùк ÀÙÖ ÑÒ Ú ÚÖ ÓÖØ Ö Ø Ö ÓÑ Ö Ð Ø Ö Ù Ñ Ø ÖÒØ Ð Ù ÖÒ ÙÐÒ Ö Ö Ò Ø ÒØ ÚÖ Î Ö Ø ÓÑ Ö ØØ Ö ØÝÖ ØØ ÀÒÒ ÔÖÓÐÑ Ö Ð ÐÖ ÅÒ Ò Ð Ö ÔÖÓÐÑÒ Ñ ÐÔ Ú ÐÖº ÍÒÖ ÙÖ ÑÒ Ò Ö Øº ÒÙÐÒÖ Ö ÓÐÒ Ö ÒÙ Ó ÔØ ÒÙÐÒÖº µ ÂÙ Ø ÒÙ ÒÒ Ø ½½ ÝÐÖ ÖÖغ ÌÐÐ ÑÑÒ Ö ¾ Ùк ÀÙÖ ÑÒ Ö Ò¹ ÙÐÒÖ ÙÖ ÑÒ Ö ¾¹ÙÐÒÖ Ó ÙÖ ÑÒ Ö ¹ÙÐÒÖ ÀØØ ÑÒ Ø ØÚ ÓÐ ÚÖ µ ÀÙÖ ÓÑÑÖ Ø ÒØÐÒ ØØ Ø Ö ÔÖÓÐÑØ Ö Ö ÑÐ Ð ÒÒÖ µ ËØØ ÓÔ ØØ ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ ÓÑ Ö Ö Ð ÒÒÖº ÅÖ ÐÖ Ç ÒÙÐÒ ÔÖÓÐÑØ Ò ØÙÖ Ñ ÐÔ Ú ÐÖº ÈÖÓÚ Ó Ú Ò ÓÑÑÖ ÖÑ ØÐк ¾¼ ½ ¾µ

ØØ ÖÐ Ø Ø ÔÖÓÐÑ Á ÚÖÐØÒ ÙÐÐ ÑÒ ÒØÐÒ ÙØ ÖÖØ Ó ÖÒ ÝÐÖÒ ÓÑ ÑÒ ÚÐÐ ÚØ ÙÖ ÑÒ ÑÒ Ú ÚÖº Ö ØÒØ ÙØ ÒÓÒ ÖØ ØÙØÓÒ ÓÑ ÐÖ ØÐÐ ØØ ÑÒ Ö ØØ ÒØ Ö ÔÖÓ¹ ÐÑ ØØ Ð ¾½ ½ ¾µ

Ð ½ ËØØØ ÐÒ Ó ÄÙÚ Ö Ò ÖÙÐÐ Ñ ¼ ÑØÖ ØØ Ó Ô Ò ØÓÖ Ò ÚÐÐ ØØ ÙÔÔ Ò º ÀÒ ÚÖ ÖØÒÙÐÖº ØÖ ÓÑ ÚÐÐ ÙÒÒ Ò ÑÒ ÙÖ ÓÑ ÑÐØ Ò ÚÐÐ ØØ Ò Ð ØÓÖ ÓÑ ÑÐغ µ ÊØ ØØ ÒØÐ ÐÒÐ Ö Ñ ÖØØ ÓÑÖØ Ô ÖÙØØ ÔÔÔÖº ÈÖÓÚ ÐØ ÓÐ ÓÖ¹ ÑÖ Ô ÖØÒÐÖº ÎÐÒ ÓÖÑ ÚÖÖ ÚÖ Ø ÍÒÖ ÖÒ Ñ ÐÔ Ú Ò ÖÒÒ Ó ÒÓÑ ØØ ÖÒ ÖÙØÓÖÒº µ ÇÑ Ò Ö ÖÒ B ÚÐÒ ÐÒ L Ñ Ø Ò µ ÎÐ ÑØØ Ò Ö ØØ ØÓÖ Ö ÓÑ ÑÐØ Ð ¾ ÐÒ Ó ÄÙÚ ÓÑ ÒÙ Ô ØØ Ø Ö Ò ÙØÑ ÒÒº ÇÑ ÐØÖ Ò ÚÖ Ö Ò Ò ÚÖ Ö ÒÚÒ ØØ ØÐÐ ØÖ ÓÖº ÓÖ ÑÒ ÙÒÒ Ò ÒÒÙ ØÖÖ º µ ÎÐ ÑØØ Ò Ö Ò Ö ØØ ØÓÖ Ö ÓÑ ÑÐØ µ ÀÙÖ ÑÝØ ØÖÖ ÐÖ Ò Ö Ò ¾¾ ½ ¾µ

ÍØÚÒÒÖ µ ÇÑ ÑÒ ÚÐÐ Ö Ò ÝÖÒØ ÚÖ ÑÒ ÒØ Ö Ò ÖØÒÙÐÖ Öع ÚÒеº ÐÖ Ø ØØÖ ÐÐÖ ÑÖ ÓÑ ÑÒ ÔÖÓÚÖ ÒÖ ÚÒÐÖ ÖÒÒ µ ÅÒ ÚÖ Ù ÒØ Ö Ù Ø Ò ÝÖÒØ º ÅÒ ÙÐÐ ÙÒÒ Ö Ò ØÖÒØ ÐÐÖ ÜÒØ ÐÐÖº º º ÐÖ Ø ØØÖ ÐÐÖ ÑÖ Ñ ÑÒ ÒØÖ µ ÎÐÒ ÓÖÑ Ô Ö ÒØÐÒ Ò ÐÐÖ ØÖ Ø ÖÒ ¾ ½ ¾µ

½¼ ÎÒÐ ÙÑÑ ÈÖÓÐÑØ Ö ÓÖÑÙÐÖØ Ú Ð Ö ØÒ Òº Ð ½ ¹ÖÒÒ ¹ÖÒÒ ¹ÖÒÒ ¹ÖÒÒ ½¼¹ÖÒÒ n¹öòò ÀÙÖ ØÓÖ Ö ÚÒÐ ÙÑÑÒ Ò µ ¹ÖÒÒ ØÖÒе µ ¹ÖÒÒ µ ¹ÖÒÒ ÔÒØÓÒµ µ ¹ÖÒÒ ÜÓÒµ µ ½¼¹ÖÒÒ ÓÒµ µ n¹öòò Ð ¾ µ ÀÙÖ ØÓÖ Ö ÚÒÐ ÙÑÑÒ Ò ÓÒ µ ØÑ ÚÒÐ ÙÑÑÒ Ò ¾¹ÖÒÒº µ ÀÙÖ ÑÒ ÖÒ Ö Ò ÑÒÖÒÒ Ñ ÚÒÐ ÙÑÑÒ 3060 µ ÖÒ ÙÑÑÒ Ú ÚÒÐ ÙÑÑÓÖÒ Ú ÐÐ ÑÒÖÒÒÖ ÓÑ ÒÒ ÖÒ Ò ØÖÒ¹ Ð ØÐÐ Ò ÜÓÒº µ ÖÒ ÙÑÑÒ Ú ÚÒÐ ÙÑÑÓÖÒ Ú ÐÐ ÑÒÖÒÒÖ ÓÑ ÒÒ ÖÒ Ò ØÖÒ¹ Ð ØÐÐ Ò ¾¹ÖÒÒº µ ÖÒ ÙÑÑÒ Ú ÚÒÐ ÙÑÑÓÖÒ Ú ÐÐ ÑÒÖÒÒÖ ÓÑ ÒÒ ÖÒ Ò ØÖÒ¹ Ð ØÐÐ Ò n¹öòòº ¾ ½ ¾µ

ÍØÚÒÒÖ Á¹ÔÐØØ ÓÑØÖ Ø Ö Ñ ÚÒÐ ÙÑÑÒ ØÖÒÐÖ Ó Ú Ò Ö Ñ ÐÐÖ ÔÐØØ ÓÑØÖº ÅØÑØÖ ÖÙÖ ÔÐÒ ØÐÐØ Ö ÔÐØØ ÑÒ Ø ØÝÖ ÙÒÖ ÑÑ ºµ Î Ò Ø ÚÖ Ö ÓÖØÖ ÓÑØÖ ÓÑ ÒØ Ö ÔÐØØ Ó Ú ÐÖ Ø Ö ÐÐÒÖ Ö Á¹ÓÒÚÜ ÔÓÐÝÓÒÖ ÎÒÐÖ ÔÓÐÝÓÒÖ ÑØ ÐÐØ Ô Ò Òº ÇÑ ÐÐ ÚÒÐÖÒ Ò ÔÓÐÝÓÒ Ö ÑÒÖ Ò 180 Ö ÑÒ ØØ ÔÓÐÝÓÒÒ Ö ÓÒÚܺ Ø ØÝÖ ÙÒÖ ÒÓØ ÓÑ ÔÙØÖ ÙØغµ ÇÑ ÒÖ Ú ÚÒÐÖÒ Ö ØÖÖ Ò 180 Ö ÑÒ ØØ Ò Ö ¹ÓÒÚܺ ÆÓØ ÓÑ ÔÙØÖ ÒØ ÐÐ ÓÒÚØ ÑÒ Ò Ò Ö ÔÓÐÝÓÒ ÖÙÖ ÔÙØ ÙØØ Ô Ò Ð ØÐÐÒ Ó ÒØ Ô ÒÖ ÑÒ Ò ÒØ ÒÚÒ Ø ÓÖØ Öºµ µ ÊØ ÒÖ ¹ÓÒÚÜ ÔÓÐÝÓÒÖº µ ÀÙÖ ÑÒ ÖÒ Ñ Ø Ò ÔÓÐÝÓÒ Ö ØØ Ø ÚÖ ÑÐØ Ö Ò ØØ ÚÖ ¹ÓÒÚÜ µ Ø Ö ÒØ ØØ Ö Ò ÔÓÐÝÓÒ Ö ÐÐ ÖÒ Ö ÑÖ Ò 180 º ÎÖÖ ÒØ µ ÀÖ Ö Ò ¹ÓÒÚÜ ½¼¹ÖÒÒº Î Ö Ò Ö ÚÒÐ ÙÑÑ ÖÐÖ ÓÖÒØÐØ Ø Ö ÒØ ÖØ ØØ ÖÐÖÒÖ Ò ÖÒ ÓÑÑØ Ñ ÙÒÖÖ Ô Ò Ö Ù¹ ÖÒ ¾ ½ ¾µ

½½ ÃÙÐÔ Ò Ö Ô ÖÒ ÒÒÐÐÖ ÐÐÓÔ Ò ÐÒÒÒ Ú Ö Ó Ð ÙÐÓÖº ÃÙÐÓÖÒ Ö ÔÖ Ð ÖÙØÓÑ ØØ Ö ÓÐ Öº ½¼¼ Ö ¾ Ð ¼ Ö ¾¼ Ð ½¼¼ Ö ¾¼ Ð È È È ÌÒ ÒÙ ØØ Ù ÐÙÒÖ ØÖ ÒÒ Ò Ô Ó ØÖ Ò Ùк µ ÎÐÒ Ô Ö ØÖ Ø Ò ØØ Ò Ð ÙÐ µ ÖÐÖ ÚÖÖ Ù Ø Ò Ô Ò Ö ØÖ Ø Ò º µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ¾ ½ ¾µ

ÒÐÖ ÚÖÒØÖ Ì Ö Ô A Ó Bº ÖÒ Ö ÓÖÑÙÐÖ ØØ Ø Ö Ö ØØ ÐÔÔ ÓÖØ ÐÒ Ô Ô C ÓÑ ÑÒ ÒØ ÚÐÐ Ñ Òºµ ÅÒ ÒØÐÒ ØØ ÔÖÓÒØÖÒÒ Ó ÖÖÒÐÒ ÒØ ÐÖ ØØ ÒÖº Î Òع ÐØ Ö ØØ ÐÐ ÒØÐ Ú Ö ÔØÚ ÖÖÒ Ó ØÓØÐ ÙÑÑÒ Ö ÓÐ Ò¹ ÒÖ ÒÒ Ø ØØ ÒØÐ ÖÙÒÒ ÐØ Ö ÓÒÑÒ ÓÑ Ö ÓÖÖØ ÚÖºµ ÅÐ ÚÖ ÚÒ ÒØÐÒ Ñ ØÔÔ¹Ü Ó ÖÚ Ø Ò ÖÓÖ ØÐÐغ ËÖÚ ÙÔÔ ØÓØÐ ÙÑÑÒ ÙÐÓÖ Ô Ô ÖÒ Ö Ò ÚÒ ÓÑ ØØ Ò Ö ÖÐÚÒغ ¾ ½ ¾µ

ÍØÚÒÒÖ ÃÓÒÖØ Ø Ø ÄÖÖÒ Ö Ñ ÙÐÔ B ÝÐÐ Ñ ÜÑÔÐÚ ØÖÔÖÐÓÖ ÖØØ Ó ÐØØ ÔÖÐÓÖ Ö ÖÐØÚØ ÐÐصº ÐÐ ÐÚÖÒ Ö Ö ÚÖ Ò ÙÐ Ñ ØÖÐÒÒµ Ó ÑÒ Ö ÙÖ ØÓÖ ÒÐ ÓÑ Ø Ø Ò Ðº ÚÒØÙÐÐØ Ò ÑÒ ÐØ ÐÐ Ö ØØ ÔÖ ØÖ ÒÖ Ö ØØ ÑÖ Øº ÅÒ Ò ØÐÐ ÙÔÔ Ò ØÐÐ Ñ ÒÐÒ Ð ØÖ Ö Ø ÒÖ ØÖ Ó ÚÖ ÖÒÒÖº ÖÓÔÔÒÒ Ú ÒÐÒ ÑÓØ Ø ØÓÖØ ÒÒÓÐØ ÚÖغ ÍØ ¹ ÒØ Ô ØÐÐÒ Ò ÚÖ ÒØÖ ÒØ ØØ ÙØÖº ØØ ÑÒ ØÖ Ù Ø ÙÐÔ B Ò ÑÓØÚÖ Ñ ØØ Ò ÒÒÐÐÖ ÑÒ Ø ÒØÐ ÙÐÓÖ Ó ÖÑ Ö ÐÐ Ø ØØ ÓÖÒº ÅÒ Ò Ó Ö ÜÔÖÑÒØØ Ñ ÐÐ Ô ÖÒ ÑÒ Ø Ö Ø Ò ÑÒ ÙÐÓÖº ÐÖ ÖÖ ÙØÖ Ú Ø ÐÖ Ö ÐÐÒ ÓÑ ÑÒ Ö ØÖ ÓÐ ÖÖ Ô ÙÐÓÖº ÇÑ ÑÒ ÜÑÔÐÚ ÝØÖ ÙØ ½ Ú ¼ Ö ÙÐÓÖÒ Ô B ÑÓØ ÖÒ ÙÖ ÔÚÖ¹ Ö Ø ÒÒÓÐØÒ ØØ Ò Ð ÙÐ ÐÖ ÖÒÒÖ Î ØØØÖ Ô ÙÐÔ Aº Ò Ö ÒÒ ÚÐÐ Ú Ö ØÚ ÙÐÓÖº Ø ÒÒ ØÚ ÓÐ ØØ ØØ Ö ØØ Ô Å ØÖÐÒÒ Î ÐÖ ØÐÐ Ò Ö Ø ÙÐÒ ÒÒÒ Ú ÖÖ Ò ÒÖº ÍØÒ ØÖÐÒÒ Î ÐÖ ÒØ ØÐÐ Ò Ö Ø ÙÐÒ ÒÒÒ Ú ÖÖ Ò ÒÖº Ø ÐÖ ÐØ ÓÐ ÒÒÓÐØÖ ÖÓÒ Ô ÚÐØ ØØ ÑÒ ÒÚÒÖº µ Î ÚÐÒ Ú ÑØÓÖÒ Ö Ø Ñ Ø ÒÒÓÐØ ØØ Ú ØÚ Ð ÙÐÓÖ ÖÐÖ ËÚÖ Ô Ò Ö ÖÒ ÒÒÒ Ò Ð Ö ÓÑ ÓÑÑÖ ØÖº µ ÀÙÖ ÒÒÓÐØ Ö Ø ØØ Ú ØÚ Ð ÙÐÓÖ Ú ÖÖ Ñ ØÖÐÒÒ µ ÀÙÖ ÒÒÓÐØ Ö Ø ØØ Ú ØÚ Ð ÙÐÓÖ Ú ÖÖ ÙØÒ ØÖÐÒÒ µ ÀÙÖ ÑÒ Ð ÙÐÓÖ ÑÒ ÝØ ÑÓØ Ö Ô B Ö ØØ ÒÒÓÐØÒ Ö ØØ ØÚ Ð ÙÐÓÖ Ñ ØÖÐÒÒ Ð ÑÑ ÓÑ Ö Ô A µ ÇÑ ÑÒ Ö Ø ÙØÝØØ ÓÑÑÖ ÒÒÓÐØÒ Ö ØÚ Ð ÙÐÓÖ ÙØÒ ØÖй ÒÒ Ó ØØ Ð ÑÑ Ç ÓÑ Ò ÒØ ÐÖ ÑÑ ÚÐÒ Ô ÐÖ Ò ØÖ Ø ¾ ½ ¾µ

½¾ ÈÖ ØØÒÒ Ø Ö ÔÖÓÐÑØ ØÖ ÚÖÒØÖ ØÓÖ ÔÐØ ÑÐ Ö ÐÚØ ÒØÖ Ö Ú Ø ÒÝ ÒØ Ö ÔÐØ ËÙÔֹŹÒغ Ö ØØ ÔÐ Ø Ñ Ø ÑÒ ØÒ ØØ ÓÒÒÑÒº Ø ÒÒ ØÚ ÓÖØÖ ØØ ÚÐ Ô ½µ ÁÒÒ ÚÓÚØ ÅÒ ØÐÖ ¾ Ö Ö ÚÖ ÔÖ ÑÒÙغ ¾µ ÎÓÚØ ÅÒ ØÐÖ ¼ ÖÓÒÓÖ Ö ÚÖ Ú ÑÒ ÚÐÐ ÑÐØ ØØ ÔÐ Ó ½¼ Ö Ö ÚÖ ÔÖ ÑÒÙغ ÑÐ Ö Ö ÖÒ ÙØ ÚÐØ Ú ÓÒÒÑÒÒ ÓÑ Ö Ñ Ø ÖÐØØ Ö ÓÒÓѺ ÀÒ ÚÐÐ Ù ØÐ ÐØ ÓÑ ÑÐص µ ÎÐØ ÓÒÒÑÒ Ö ÑÐ ÚÐ ÓÑ Ò ØÖÓÖ ØØ Ò ÓÑÑÖ ØØ ÔÐ Ò ØÑÑ ÚÒ µ ÎÐØ ÓÒÒÑÒ Ö ÑÐ ÚÐ ÓÑ Ò ØÖÓÖ ØØ Ò ÓÑÑÖ ØØ ÔÐ ØÓ ØÑÑÖ ÚÒ µ ÆÖ Ö ÒØÐÒ ÓÒÒÑÒ ½ Ø Ó ÒÖ Ö ÓÒÒÑÒ ¾ Ø ØÑ ÜØ ÚÖ ÖÒ Ò Ö µ Ö Ø ÒÓÒ ÐÐÒ ÔÖ Ô ØØ ÔÐ ØØ ØÓØÑÑÖ Ô Ó ØØ ÔÐ ØÓ Ô Ô ÑÑÒÐØ ØÓ ØÑÑÖ µ ËØØ ÓÔ ØØ ÐÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ÌÐÓÒØÒ ØÒ Ò Ö ØØ ØØ ÑÖÒ ÓÚ Ó Ö ØÖØØ ØÐÓÒØÒ ØÒ ÒÐÐ ÓÑ Ò Ö¹ ÐÖÖº ÅÒ ÖÒÖ Ò Ó ÖØØÖ ÙÖ ÚÖÐ Ò ÖÐÖÖ Ö Ó Ò ÐÐÖ Ñ Òº Ø Ð Ó ØÖ ÖÓÒÓÖ ÔÖ ÔÖ ÑÒÙغ Ø ÒÒ Ó ØØ ÑÒ ÓÒ¹ ÒÑÒ Ö ÑÒ ØÐÖ ½¼¼ ÖÓÒÓÖ Ö Ò ÑÒ Ó Ö ÚÖ ØÐ Ò ÖÓÒ ÔÖ ÔÖ ÑÒÙØ Ö ÑØÐÒº ÑÐÝ ÚÐÐ ÖÒ ÒÚÒ ÒÒ ØÒ Ø Ó Ö Ö ÖÒ ÙØ ÚÐØ Ú ØÐÒÒ ØØÒ ÓÑ Ö Ñ Ø ÖÐØØ Ö ÒÒº ÀÓÒ ÚÐÐ Ù ØÐ ÐØ ÓÑ ÑÐغµ µ ÎÐØ ØÐÒÒ ØØ Ö ÑÐÝ ÚÐ ÓÑ ÓÒ ØÖÓÖ ØØ ÓÒ ÓÑÑÖ ØØ ÚÐ ÒÐÐ Ò ÚÖØ ÑÒÒ µ ÎÐØ ØÐÒÒ ØØ Ö ÑÐÝ ÚÐ ÓÑ ÓÒ ØÖÓÖ ØØ ÓÒ ÓÑÑÖ ØØ ÚÐ ÒÐÐ Ò ØÑÑ ÑÒÒ µ ÆÖ Ö Ø Ø ØØ ÒØ ØÐ ÑÒ ÚØ Ó ÒÖ Ö Ø Ø ØØ ØÐ ØÑ ÜØ ÚÖ ÖÒ Ò Ö µ Ö Ø ÒÓÒ ÐÐÒ ÔÖ Ô ØØ ÖÒ ØØ ÑØÐ ÓÑ ØÖ Ò ÐÚØÑÑ Ó Ô ØØ ÖÒ ½¼ ÑØÐ ÓÑ ÑÑÒÐØ ØÖ Ò ÐÚØÑÑ µ ËØØ ÓÔ ØØ ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ¾ ½ ¾µ

ÝÑÑØ ÖÒ Ö Ô ÝѺ ÅÒ Ò ØÐ Ô ØÚ Øغ ½µ ÍØÒ ÑÐÑ Ô ÅÒ ØÐÖ ½¼ ÖÓÒÓÖ Ö ÚÖ º ¾µ Å ÑÐÑ Ô ÅÒ ØÐÖ ½¼ ÖÓÒÓÖ Ö ØØ Ð ÑÐÑ ÝÑØ ÙÒÖ ØØ Öº Ò Ó ØÖ Ö ¼ ÖÓÒÓÖº ÖÒ Ö Ö ÖÒ ÙØ ÚÐØ Ú ØÐÒÒ ØØÒ ÓÑ Ö Ñ Ø ÖÐØØ Ö ÓÒÓѺ ÀÒ ÚÐÐ Ù ØÐ ÐØ ÓÑ ÑÐص µ ÎÐØ ØÐÒÒ ØØ Ö ÖÒ ÚÐ ÓÑ Ò ØÖÓÖ ØØ Ò ÓÑÑÖ ØØ Ýѹ ÑØ Ò Ò ÑÒÒ ÙÒÖ Ø ÒÖÑ Ø ÖØ µ ÎÐØ ØÐÒÒ ØØ Ö ÖÒ ÚÐ ÓÑ Ò ØÖÓÖ ØØ Ò ÓÑÑÖ ØØ Ýѹ ÑØ Ò Ò ÚÒ ÙÒÖ Ø ÒÖÑ Ø ÖØ µ ÆÖ Ö Ø Ø ØØ ÒØ ØÐ ÑÐÑ Ô Ó ÒÖ Ö Ø Ø ØØ ØÐ ØÑ ÜØ ÚÖ ÖÒ Ò Ö µ ËØØ ÓÔ ØØ ÐÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ¼ ½ ¾µ

½ ÒÒ Ý ÓÒ ÈÖÓÐÑØ Ö ØØ ÙÖ ¾ Ö ÔÖÓÐÑ ÑØÑØ Ú ÅÖ ÄÖ ÓÒ ÅÖ ÄÖ ÓÒ Ó ÄÖ ¾¼¼º ØÖÚØ Ñ ØÐÐ ØÒº ÌÒÒ ÌÓÑ ÃÖÐ ÓÒº ÒÒ Ö ØÚ Ý ØÖÖ Ó ØÚ ÖÖº ÅÐÚÖØ Ú ÒÒ ÝÖ Ý ÓÒ ÐÖÖ Ö ½ Öº ÅÐÚÖØ Ú ÐÐ Ñ Ý ÓÒÒ ÐÖÖ Ö ½ Öº ÑÑ Ö ¾¼ Ö Ó Ð Øº Ð Ö ½ Ö ÚÐØ Ö ÑÒÒ Ö ÐÐ Ñ Ý ÓÒÒ ÐÖÖº µ ÀÙÖ ÑÑÐ Ö ÒÒ µ ÀÙÖ ÑÐ Ö ÒÒ ÖÖ µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ½ ½ ¾µ

½ ÐÐÒ Ø ÈÖÓÐÑØ Ö ØØ ÙÖ ¾ Ö ÔÖÓÐÑ ÑØÑØ Ú ÅÖ ÄÖ ÓÒ ÅÖ ÄÖ ÓÒ Ó ÄÖ ¾¼¼º ØÖÚØ Ñ ØÐÐ ØÒº ÌÒÒ ÌÓÑ ÃÖÐ ÓÒº Ò ÚÖÑ ÓÑÑÖ ØÑÑÖ ÂÓÒ Ö ØØ ÐÒ ÐØ Øº ÀÒ ØÖ Ò Ð ÓÒÒ¹ ØÖÖ Ø Ó ÐÖ ÚØØÒ Ó ÐÐÖ Ø ØÐÐÖÒÖÒº ÀÒ ÑÖ Ô ØÒ Ó ØÝÖ ØØ Ò ÑÖ ÚÐØ Ð Øº Ö Ò Ô Ø Ò ØØ ØÒ ÐÒ 1 + 3 ÐÖº Ø ÐÐØ ÚÖ Ò Ð ÓÒÒØÖÖ Ø ØÐÐ Ö ÐÖ ÚØØÒº ÂÓÒ ØÑÑÖ Ö ØØ ÐÐ ÑÖ ÓÒÒØÖÖ Ø Ö ØØ ØÒ Ð ÖØØ ÐÒº µ ÀÙÖ ØÓÖ Ð Ú Ò ÙØ Ô ØÒ Ö ÓÒÒØÖÖ Ø ÒÖ ÂÓÒ Ö ÐÒØ ØÒ 1+9 ÐÖ µ ÀÙÖ ØÓÖ Ð Ú Ò ÙØ Ô ØÒ ÚÖ ÓÒÒØÖÖ Ø ÓÑ ÂÓÒ ÐÒ ØÒ 1+3 ÐÖ µ ÀÙÖ ÑÒ Ö ÐÖ ÓÒÒØÖÖ Ø ÂÓÒ ÐÐ Ò ÐÐÒ ØÒ Ö ØØ Ò Ð ÐÒ 1+3 ÐÖ µ ÀÙÖ ÑÒ Ö ÐÖ ÓÒÒØÖÖ Ø ÂÓÒ ÐÐ Ò ÐÐÒ ØÒ Ö ØØ Ò Ð ÐÒ 1+6 ÐÖ ØÐÐØ µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº ¾ ½ ¾µ

½ ÐÐ ÑÐ ÙÑÑÓÖ ÅÑÑ ÀÐÐÚ Ö Ô Ö Ø ÖÐÖÑØØ Ò ¹Ö ÓÒ Ð º ÄÖÖÒ ÖØØÖ ÐÒ ÒÒØ ØØ ÖÒÒ ØØ ÖÚ ½¼ ÓÑ ÙÑÑ Ô ÐÐ ØØ ÓÑ Öº ÀÐÐÚ ÙÒ¹ ÖÖ Ö ÒØ Ø ÚÐØ ÑÒ ØØ Ó Ö Ö ÖÒ ÙØ ÙÖ ÑÒ ØØÒ ÒØÐÒ Öº µ È ÙÖ ÑÒ ØØ Ò ÑÒ ÖÚ µ È ÙÖ ÑÒ ØØ Ò ÑÒ ÖÚ µ È ÙÖ ÑÒ ØØ Ò ÑÒ ÖÚ ½¼ µ È ÙÖ ÑÒ ØØ Ò ÑÒ ÖÚ n ÅÓØÚÖ ÓÖÒØÐØ ÐÐ ØÖÑÖÒ ÙÑÑÓÖÒ ÚÖ ÔÓ ØÚ ÐØк Ø ÔÐÖ ÖÓÐÐ ÚÐÒ ÓÖÒÒ ØÐÒ ØÖ 1 + 2 Ó 2 + 1 ÖÒ ÓÑ ØÚ ÓÐ ØØ ØØ ÖÚ µº Î ÖÒÖ ØØ Ö ÖÚ ØÐØ ÖØ ÓÑ Ò ØÐÐØÒ Ð ÒÒ ØØ ÖÚ ÖÒ ÓÑ ØØ ØØ Ú ØØÒ ØØ ÖÚ µº µ Î ØÖÓÖ Ò ØØ ÐÖÖÒ ÒØÐÒ ÑÒ ½ ¾µ

ÍØÚÒÒÖ ËÔÐÐ ØÖÑÖ µ Á ÙÖ ÑÒ Ú ÙÑÑÓÖÒ ÓÑ ÐÖ ½¼ Ö ÐÐ ØÖÑÖÒ ÑÒ µ Á ÙÖ ÑÒ Ú ÙÑÑÓÖÒ ÓÑ ÐÖ n Ö ÐÐ ØÖÑÖ ÐÖ Ñ k ÒÖ ÓÖØÖ ØÐ Á ÖÒ ØÖ Ø ÔÓ ØÚ ÐØк µ Î ÙÐÐ Ò ÓÑ ÑÒ ØÓ ÓÖØ Ø Ö Ñ ÔÓ ØÚ µ Î ÙÐÐ Ò ÓÑ ÑÒ ÝØØ ÐØÐ ÑÓØ Ö ØÐ ÍØÒ ÓÖÒÒ ÇÑ ÑÒ ØÑÑÖ Ö ØØ Ø ÒØ Ö ÚØØ Ñ ÓÖÒÒÒ ÙØÒ ØÝÖ ØØ 1+9 Ó 9+1 Ö ÑÑ ÙÖ ÑÒ ØØ ÒÒ Ø ÍÒÖ Ó ØÖ ÚÐ Ö ÑÒ Ñ Ø ØÒ Ôº ½ ¾µ

½ ÃÐÙÚÖ ÑØ Ò ÓÙÖÒÐ Ø ÖÒ ÄÓÐÐØ Ö Ò ÓÐÐ Ñ ¾ ÐÚÖ Ó ÖÖ ÐÒ ÒÒØ ÓÑ ÚÐ ÐÙÖ ØÐÐÖº È ØØ ÓÒØÓÖ ØØØÖ Ò ÒÓÑ Ö ÙÐØØØ ½½ ÐÚÖ ØÐÐÖ ÑÐÙÒº ½ ÐÚÖ ØÐÐÖ ÓØÓÐÐ ÐÙÒº ½¼ ÐÚÖ ØÐÐÖ Ò ÐÙÒº ÅÒ 11+13+10 ÐÖ Ù ÑÖ Ò ¾ ØÝÖ Ò Ó ÖÒÖ ÓÐÒ ØÖ ÓÑ Ø ÒØ ÚÖÖ ÖØغ ÅÒ Ö Ñ ÑÖ Ò Ò ÐÙ Ö ÐÖÖÒº ÂÓÙÖÒÐ ØÒ Ö ÙØ ØØ Ö¹ ÔÔÔÖ Ó Ö Ö Ô ØØ ÐÚÖ ØÐÐÖ ÓØÓÐÐ ÐÙÒ Ó ÑÐÙÒº ÐÚÖ ØÐÐÖ ÓØÓÐÐ ÐÙÒ Ó Ò ÐÙÒº ÐÚÖ ØÐÐÖ ÑÐÙÒ Ó Ò ÐÙÒº ÐÚÖ ØÐÐÖ ÒØ ÒÓÒ Ú ÐÙÖÒº ÆÖ Ò Ö ØÐÐ ÔÔÔÖØ Ò Ö Ò ØØ Ò Ó ÓÖ ÖØ ÙÖ ÑÒ ÓÑ Ö Ñ ÐÐ ØÖ ÐÙÖÒº ØÖ ÓÑ Ò ÒØ ÚÐÐ ÖÒ ÓÐÒ Ò ÐÙØÖ Ò ØØ Ö ¹ ÖÒ ÙØ Òº ½º ÀÙÖ ÑÒ Ú ÐÚÖÒ ØÐÐÖ ÐÐ ØÖ ÐÙÖÒ ¾º ÀÙÖ ÑÒ Ú Ñ Ö Ñ Ö Ò ÐÙ º ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐѺ Ö ÓÑÑ Ô ÒÓØ ÓÑ Ò ØÖÓÖ ØØ ÙÐÐ ÙÒÒ ÒØÖ ÚÖÐØÒº ½ ¾µ

ÒÐÖ ÚÖÒØ Ò ÓÙÖÒÐ Ø ÖÒ ÄÓÐÐØ Ö Ò ÓÐÐ Ñ ¾ ÐÚÖ Ó ÖÖ ÐÒ ÒÒØ ÓÑ ÚÐ ÐÙÖ ØÐÐÖº È ØØ ÓÒØÓÖ ØØØÖ Ò ÒÓÑ Ö ÙÐØØØ ½ ÐÚÖ ØÐÐÖ ÓØÓÐÐ ÐÙÒº ½¼ ÐÚÖ ØÐÐÖ Ò ÐÙÒº ØÐÐÖ ÒØ ÒÓÒ Ú ÐÙÖÒ ÅÒ Ø Ö ÐÖ Ù ÑÖ Ò ¾ ØÝÖ Ò Ó ÖÒÖ ÓÐÒ ØÖ ÓÑ Ø ÒØ ÚÖÖ ÖØغ ÅÒ Ö Ñ ÑÖ Ò Ò ÐÙ Ö ÐÖÖÒº ½º ÀÙÖ ÑÒ Ú ÐÚÖÒ ØÐÐÖ ÐÙÖÒ ¾º ÀÙÖ ÑÒ Ú Ñ Ö Ñ Ö Ò ÐÙ º ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐѺ Ö ÓÑÑ Ô ÒÓØ ÓÑ Ò ØÖÓÖ ØØ ÙÐÐ ÙÒÒ ÒØÖ ÚÖÐØÒº ÍØÚÒÒ ÇÑ Ø ØÐÐØ ÚÖØ ÖÒ ÓÑ ÓÐ ÐÙÖ ÙÖ ÑÒ ÓÐ ÐÙÓÑÒØÓÒÖ ÒÒ Ø ÒØÐÒ ÜØ ÙÖ Ö ÓÐ ÚÖÒØÖÒ ÙØ ½ ¾µ

½ ËÖØ ØØ Ö Ö Ò ØÓÖ ÚÖØ ÓÑ Ö ÓÔ ØØ Ú ÒÖ Ñ ÚÖØÖº ÑÒ ØÐÖ ÓÑ ØÓÖÐÖ Ó ØÐÐ ÜÑÔÐ ÚÖØÖ ÖÙÖ ÑÒ ØÒ ÒÖ Ñ ÑÒ Ò ÖÚ ØØ ÖØ Ö Ò 8 8¹ÚÖغ ÇÑ ÑÒ ØØØÖ Ô Ø ÖÖ ÑÒ ÚÖØÖ Ú ÒÖ ØÓÖÐÖ Ó º Á ÐÒ Ö Ò ÚÖØ Ú ØÓÖÐ 2 2 ÑÖÖº Ø ÒÒ Ò ÚÖØ Ú ØÓÖÐ 8 8 Ó ÚÖØÖ Ú ØÓÖÐ 1 1 Ô Öغ ½º ÀÙÖ ÑÒ ÚÖØÖ Ú ØÓÖÐ 7 7 ÒÒ Ø ¾º ÀÙÖ ÑÒ ÚÖØÖ Ú ØÓÖÐ 6 6 ÒÒ Ø º ÀÙÖ ÑÒ ÚÖØÖ Ú ØÓÖÐ 3 3 ÒÒ Ø º ÀÙÖ ÑÒ ÓÐ ÚÖØÖ ÒÒ Ø ØÓØÐØ Ô ÖØ º ÅÒ Ò ØÒ ÖÒ ÒÖ ØÓÖÐÖ Ó º ÀÙÖ ÑÒ ÚÖØÖ ÒÒ Ô ØØ n n¹ Ö º ÖÐÖ ÚÖÖ Ò ÒÒÖ Ö ÐØ Ö Ô ØØ Ø ØÑÑÖ ½ ¾µ

ÎÖÒØ ÅÒ Ò ØÒ ÖÒ ÒÖ ØÓÖÐÖ Ó º ÀÖ Ö ØØ ØÓÖÐ 2 2 Ø ÒÒÐÐÖ ÝÖ 1 1 ÚÖØÖ Ó Ò 2 2¹ÚÖØ ØÓØÐØ ØØ Ñ ØÝÒ ÚÖ¹ ØÖº ½º ÀÙÖ ÑÒ ÚÖØÖ ÒÒ ØÓØÐØ Ô ØØ 3 3¹Ö ¾º ÀÙÖ ÑÒ ÚÖØÖ ÒÒ ØÓØÐØ Ô ØØ 4 4¹Ö º ÀÙÖ ÑÒ ÚÖØÖ ÒÒ ØÓØÐØ Ô 8 8¹ÖØ º ÀÙÖ ÑÒ ÚÖØÖ ÒÒ Ô ØØ n n¹ö º ÖÐÖ ÚÖÖ Ò ÒÒÖ Ö ÐØ Ö Ô ØØ Ø ØÑÑÖ ½ ¾µ

ÍØÚÒÒÖ Ò ÓÖÑÐ ÆÙ Ô ØÖ Ú ØØ ÒØÐØ ÚÖØÖ Ô ØØ n n¹ö Ò ÖÒ Ñ ÓÖÑÐÒ n 6 + n2 2 + n3 3 = n+3n2 +2n 3 = n(n+1)(2n+1) 6 6 ½º ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ö ØÖ ÙØØÖÝÒ ÚÖÐÒ Ö Ð Ñ ÚÖÒÖº ¾º ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ ÓÖÑÐÒ ÚÖÖ ØÑѺ ÒÚÒ Ò ÚÖÒØ Ú Ò ÓÑ Ò ØÝÖ ÚÖ¹ Ö ÐØØ Ø ØØ ÒÚÒº º ÀÖ Ò ÒÖ Ö ÓÑ ÙÖ ÑÒ Ò ÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ò Ö ÓÖÑÐÒ ÐÐØ ØÑÑÖ º Ò Ö ÓÖÑÐÒ ÒÒÐÐÖ Ù Ú ÓÒ Ñ º ÇÑ ÑÒ ØÖ ØØ ÐÙÑÔÚÐØ ØÐ Ó Ú¹ ÖÖ Ñ Ö ÑÒ ÓØ Ø ÒØ ØØ ÐØк ÎÐØ ÐØÐ ¹n ÑÒ Ò ØØÖ Ò Ò Ö ÓÖÑÐÒ Ö ÑÒ ØØ ÐØÐ ÓÑ ÚÖº ÀÙÖ ÓÑÑÖ Ø ÒÖ ÖÒ Ø Ö ÒØ ÐÐØ ÚÖÐÒ ÓÑ Ö ÝÖÒØغ ÅÒ Ò ÜÑÔÐÚ ÒÚÒ ØÖÒØ Ôй ÖÒ ½º ÀÙÖ ÑÒ Ð ØÖÒÐÖ ÒÒ Ô Ø Ö ÖØ ÓÑ Ö ÐÒÒ ¾º ÀÙÖ ÑÒ Ð ØÖÒÐÖ ÒÒ Ô ØØ ÐÒÒ Ö Ñ ÐÒ n Ø Ö ÒØ ÐÐÖ ÐÐØ ÚÖÐÒ ÓÑ Ö ÔÐØغ ÅÒ Ò ØÒ ÔÐ ¹ÑÒ ÓÒÐÐ ÖÒ ÈÖ ÓÑ ÑÒ Ò ÐØ ÚÖØÖ Ô Ø ÚÖØ ÖØ Ò ÑÒ ÐØ ÙÖ Ø Ö Ù Öغ º ÀÙÖ ÑÒ ÙÖ ÒÒ Ò Ö 8 8 8¹ÙÒ ½ ¾µ

½ ÄØÖ Ó ÐÒÒ 2+2 = 4 2+2 5 ÈÖÓÐÑ ½ Æ ØÒ ÐÐØ ÖÒÒ ÖÙÖ ÒÒÐÐ Ö Ð Ñ = ÒÓÒ ØÒ º Ò ÚÒÐ ÙØÖÒÒ Ò ÙØ ÓÑ 2+3 4 = 2+12 = 14 ÒØÐÒ Ö Ø Ö ØÚ Ö Ð Ñº Ð Ö Ú ØØ 2 + 3 4 = 2 + 12 Ð Ö Ú 2+12 = 14º ÍÖ Ö ØÚ ÐØÖÒ ÓÑÑÖ ÑÒ ÖÑ ØÐÐ ØØ 2+3 4 = 14º ÀÖ ÑÒ Ò Ò Ö Ú ÐØÖ Ò ÑÒ ÐÐØ Ö ÐÙØ Ø Ò ØØ Ø ÑÒ ÐÐÖ Ö Ø Ö Ð Ñ Ø ÑÒ ÐÐÖ Øº Ø ÔÐÖ ÒÒ ÖÓÐÐ ÙÖ ÑÒ Ð¹ ØÖ Ø Ö Ô ÚÒº Ø ÑÒ ÒÙ Ò Ö Ö ÓÑ Ø Ö ØØ Ö ÓÒÖ Ô ÑÑ ØØ Ñ ÒÒØ Ò ÐØÖº ½º ÅÒÖ Ò ÅÒÖ Ò ØÒ Ñ <º ÜÑÔÐÚ Ö 2 < 3º ÇÑ ÑÒ Ö Ò Ð Ú ÑÒÖ Ò Ö Ø ÖØ ØØ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ö Ø Ö ÑÒÖ Ò Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ø ¾º ÁÒØ Ð Ñ ÁÒØ Ð Ñ ØÒ Ñ º ÜÑÔÐÚ Ö 2+2 5º ÇÑ ÑÒ Ö Ò Ð Ú ÒØ Ð Ñ Ö Ø ÖØ ØØ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ö Ø ÒØ Ö Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ø º ÍÒÖ Ð Ñ ÍÒÖ Ð Ñ ØÒ Ñ º ÜÑÔÐÚ Ö 2,1 2º ÇÑ ÑÒ Ö Ò Ð Ú ÙÒÖ Ð Ñ Ö Ø ÖØ ØØ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ö Ø Ö ÙÒÖ Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ø º ÈÖÐÐÐÐ Ñ ÈÖÐÐÐÐ Ñ ØÒ ÓØ Ñ º Ø Ö ÒÖ ØØ Ö¹ Ú ÓÑ ÑÒ ÒÚÒ ÖÔÔØ Óغµ ÜÑÔÐÚ Ö ÓÐÚØ ÔÖÐÐÐÐØ Ñ ØØ Ø¹ ÑÒ ØÓÒ Ø ÖÙѺ ÇÑ ÑÒ Ö Ò Ð Ú ÔÖÐÐÐÐ Ñ Ö Ø ÖØ ØØ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ö Ø Ö ÔÖÐÐÐÐØ Ñ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ø º ÎÒÐÖØ ÑÓØ ÎÒÐÖØ ÑÓØ ØÒ ÓØ Ñ º Ç Ø Ö ÒÖ ØØ ÖÚºµ ÜÑÔÐÚ Ö ÓÐÚØ ÚÒÐÖØØ ÑÓØ ÚÒ ØÑÒ ØÓÒ Ø ÖÙѺ ÇÑ ÑÒ Ö Ò Ð Ú ÚÒÐÖØ ÑÓØ Ö Ø ÖØ ØØ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ö Ø Ö ÚÒÐÖØØ ÑÓØ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ø º ÄÓÖÑ Ñ ÄÓÖÑ Ñ ØÒ ÓØ Ñ º ÜÑÔÐÚ Ö Ò ØÓÖ Ö¹ Ð ÐÓÖÑ Ñ Ò ÐØÒ Öк ÇÑ ÑÒ Ö Ò Ð Ú ÐÓÖÑ Ñ Ö Ø ÖØ ØØ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ö Ø Ö ÐÓÖÑØ Ñ Ø ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ø ¼ ½ ¾µ

º ËÐØ Ñ ËÐØ Ñ Ö ÒØ ØØ ÑØÑØ Ø ÖÔÔ ÑÒ ÑÒ Ò ØÐРѹ Ñ Ö ÓÑ Ø Òº ÇÑ ÑÒ Ö Ò Ð Ú ÐØ Ñ Ö Ø ÖØ ØØ Ò ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ö Ø Ö ÐØ Ñ Ò ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ø º ÃÓÖØÖ Ò ÃÓÖØÖ Ò Ö Ó ÒÓØ ÓÑ ÑÒ Ò Ö ÓÑ ÔÖ ÓÒÖº ÇÑ ÑÒ Ö Ò Ð Ú ÓÖØÖ Ò Ö Ø ÖØ ØØ Ò ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ö Ø Ö ÓÖØÖ Ò Ò ÓÑ ØÖ ÐÐÖ Ø º Ø ÔÖÓÐÑ µ ÀØØ Ô ÒÓØ ÑÖ ÖÔÔ ÓÑ ÑÒ Ò ØÐÐ ÑÑ Ö ÓѺ µ Î Ö ÚÖØ Ô Ò ÖÒ µ ÝØ ÔÖÓÐÑ Ñ Ò ÒÒÒ ÖÙÔÔ Ó Ö Ð ÚÖÒÖ ÔÖÓÐÑ ÈÖÓÐÑ ¾ ÚØÓÒ Ð ÒÒ ÖÙÒÖ Ô Ò ÇÑ ÑÒ Ö ØÚ Ö ÓÑ Ö Ð Ó Ö Ñ¹ Ñ Ñ Ñ Ö ÑÒ ØÚ ÒÖ Ö ÓÑ Ö Ð Ñ ÚÖÒÖº ËÓÑ 2x = 8 2x 2 = 8 2 x = 4 Î ØØ 2x Ó 8 ÚÖ Ð Ñ ÚÖÒÖº Î ÐÚÖ ØÚ Ó ØØ x Ö Ð Ñ 4º ÃÒ ÑÒ Ö Ô ÑÑ ØØ Ñ ÒÒØ Ò ÐØÖ ½º ÅÒÖ Ò ÅÒÖ Ò ØÒ Ñ <º ÜÑÔÐÚ Ö 2 < 3º ÇÑ ÑÒ Ö ØÚ Ö Ò Ö Ø ÑÒÖ Ò Ò ÒÖ Ó Ö ÑÑ Ñ Ñ Ö Ø ÖØ ØØ Ò Ö Ø ÒÝ Ò Ö ÑÒÖ Ò Ò ÒÖ ÒÝ Ò ¾º ÁÒØ Ð Ñ ÁÒØ Ð Ñ ØÒ Ñ º ÜÑÔÐÚ Ö 2+2 5º ÇÑ ÑÒ Ö ØÚ Ö ÓÑ ÒØ Ö Ð Ñ ÚÖÒÖ Ó Ö ÑÑ Ñ Ñ Ö Ø ÖØ ØØ ÒÝ ÖÒ ÐÖ ÓÐ º ÍÒÖ Ð Ñ ÍÒÖ Ð Ñ ØÒ Ñ º ÜÑÔÐÚ Ö 2,1 2º ÇÑ ÑÒ Ö ØÚ Ö ÓÑ Ö ÙÒÖ Ð Ñ ÚÖÒÖ Ó Ö ÑÑ Ñ Ñ Ö Ø ÖØ ØØ ÒÝ ÖÒ ÐÖ ÙÒÖ Ð ½ ½ ¾µ

½ ËÑÙÐØÖÓÒ Ò ÅÐ Ó ÐÜÒÖ Ö ØØ Ö ÑÙÐØÖÓÒ ØÐÐ Ó ØÒÖ ØØ Ø Ò ÚÖ Ò Ö ØØ ÔÐÓ ÑÙÐØÖÓÒ Ó Ð ØÐÐ ØÙÖ ØÖº ËÑÙÐØÖÓÒÒ Ð Öº Ö ØØ Ø Ô Ò ØÓÖ Ð Ñ ÖØÓÒØÖ ÓÑ Ö 21 21 ÒØÑØÖ ØÓÖº ÇÑ ÑÒ ÐÔÔÖ ÓÖØ ÖÒÒ Ó ÚÖ ÙÔÔ ÓÖÒ Ö ÑÒ Ò ÅÐ Ó ÐÜÒÖ ÚÐÐ ØÓÖ Ö ÓÑ ÑÐØ Ó ÙÒÖÖ Ô ÙÖ ÐÔÔº ½º ÙÒÖ Ðغ Î ØÖÓÖ Ò Ö Ø Ö Ð Ö ÐÐÖ ÑÐ ÐÐÖ Ò Ò¹ ÓØ ÑØعÑÐÐÒ ¾º ÃÐÔÔ ØÐÐ Ó Ú Ò ÚÖ Ó Ö Ö Ñ Ò Óк ÊÒ ÙØ ÚÐÒ ÚÓÐÝÑ Öº Ì Ó Ó ÓÒØÖÓÐÐÑØ ÒÓÒ Ú Ñ Ö ØØ ØØ Ò ÖÒ ÚÓÐÝÑÒ ÚÖÐÒ Ö ÖØغ º ÎÐ ÑØØ Ò Ö ØØ ØÓÖ ÚÓÐÝÑ ÓÑ ÑÐØ º ÇÑ ÒÒ Ú Ö Ò ÖÒ ÓÖØ ÑØØÒ ÐÔÔ ØÐÐ Ó Ú ÓÔ Ò Ñ Ò Ö ÚÓÐÝÑÒ Ó ÙÖ Ò Ö Ùغ º ÅÐ Ó ÐÜÒÖ Ö ÒÙ ØØ Ø Ô ÖØÓÒØÖ ÓÑ Ö 18 18 Ñ ØÓÖº ÎÐ ÑØØ Ò Ö ØØ ØÓÖ ÚÓÐÝÑ ÓÑ ÑÐØ ¾ ½ ¾µ

Ð ÁÁ ÄÖÖ ÓÖ ½ ¾µ

½ Ð ÖÒ ÈÖÓÐÑØ Ö ØØ ÙÖ Ê ÑØÑØ ÔÖÓÐÑ Ú ÃÖ ØÒ ÀÐÒ ÊÓÐ ÀÖÒ Ó Ú ÌÒ ÖØØÖÒ Ó ÄÖ ¾¼¼º ØÖÚØ Ñ ØÐÐ ØÒº ÎÖÒØÒ Ú ÔÖÓй ÑØ Ö ÓÖÑÙÐÖØ ÔÐÐØ ØÐÐ ÔÖÓÐÑÒÒº ÇÑ Ø ÒÒÐÐ Ñ Ø Ô Ö ÓÔ Ñ Ø ÑÒ ÖØÖ Ñ ÚÖØ Ö ØØ ØØ Ö ÔÖÓÐÑ ØØ Ö Ñ Ú ÒÒ ØÒ Ð ÃÓÒÖØ ÖÐ Ø Ø ÔÖÓÐÑ ÅÒ Ð ÒÒ ÑØÓÖ Ô ÑÒ ÒÚÖº ÝÖ ÓÐ ÖÑÐ ØÓÐÒÒÖ Ú ÖÒº Ø ØØ Ø ÒÒ ÑÒ Ð ÒÒ ÑØÓÖ Ó Ö ØÓÐÒÒÖ Ú ÖÒ Ö ØØ ÑÒ Ò ÒØ Ò ÓÑÑ ÓÖØ ÖÒ Ö Ø Ö ÖØØ Ö Ø Ö ÑÒ Ö Ó ÐÒÒº ØØ ÔÖÓÐÑ Ö Ó Ò ÑÝØ ÖÙÒÐ ÒÐÝ ÓÑ Ú ØØ ØÐÐ ØÒ ØØ ØÖ Öº ØÖÐÒ ÔÖÓÐÑ Ö ÑÖ ÓÖØØØ ÐÖÖ ÓÖº ÅÒ Ö ÓÑÑ ØØ ÑÝØ Ú Ø ÓÑ ØÖ Ô Ø Ö ÔÖÓÐÑØ Ó ÐÐÖ Ö Ñº Ú ÒØØ ½º½½º Ö ÒÝ ÖÚØ ØÐÐ ÔÖÓÐÑÒÒº ½º½ ÒÚÒÖØ ÑØÖÐ ÆÓØ ÓÑ ÓÒÖØ Ò ÖÔÖ ÒØÖ Ð ÙÐÓÖÒ ÓÑ ÙØÐÔÔØ ÔÔÔÖ ÖÐÖ Ö ÖÖ ÒÔÔÖ ÓÐ ÖÖ ÐÐÖ ÒÓØ ÐÒÒº ÚÒØÙÐÐØ ÔÔÔÖ Ñ ÖØÖÝØ ØÖÙØÖº ÊÙØØ ÔÔÔÖ ÔÒÒÓÖ Ö ÖÖº ÅÒÖÒÖ ØÑÒ ØÓÒ ØÐÐ ÚÖÒØ ¾µº ½º¾ ËÚÖ ØØ Ö ÚÖÒ ØÐÐ ÚÖÒØÒ Ñ ÐÙÔÔØÖÒ Ó ÚØ ØØ ÖÒ ØÓÐØ ÓÑ Ø Ò ÙÐ Ú ÚÖ Ñ ØÐÐ ÚÖ ØÖÙØ Ó ÓÖÒÒÒ Ô ÙÐÓÖÒ ÒÖ ØÝй µ ØØ µ ØØ µ ½¼ ØØ µ ØØ µ ¼ ØØ µ 1+2+ +(n 1) = n(n 1) 2 µ ½º ÅØÑØ Ø ÒÒÐÐ ÖÙÒ ÔÖ ÆÚÒ ÖÙÒ ÔÖ = ( ) n Øغ 2 ÒØÐÒ Ò ÑÖ Ò ØØ ÙÒÒ ÖÒ ÙÐÐØ ÑÐ ØØ Ö ÒÓØ Ú ÖÒ Ö ½ ÖÙÒ ÓÐÒ ÓÑ ÑÒ ÒØ ØÖ ÐÐØÖ ÑÒ ÑÖº Ö ØÖÖ ÙØÝØ ØÓÒ ØÐÐ ÙÑÑÐ ÒÒÖµ ½ ¾µ

ÅÙÐØÔÐØÓÒ Ú ÓÒ ÐÖ ÒÓØØÓÒ Ñ ÚÖе ÐÖ ÓÑ ÖÚÒÒÖ ËÙÑÑÙØØÖÝ Ñ ÚÖÐ ÍØÝØ Ö ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÔÖÓÐÑÐ ÒÒ Ù ÓÒ ÓÑ ÔÖÓÐÑÚÖÒØÖ ÁÒ Ø ÓÑ ÚØÒ Ú ØØ ØÝÐ ÖÙØ ØØÒÒÖ ÁÒ Ø ÓÑ ØØ Ø ÒÒ ÓÐ Ð ÒÒ ÑØÓÖ ÒÒ Ú Ñ ÑÖ ÖØØ Ò ÒÓÒ ÒÒÒ ÃÓÑÒØÓÒ Ú Ð ÒÒ ØÖØÖ Ò ÒÝ Ò ØÖ ÈÖÓÐÑ ØÖÙØÙÖÖÒ ÅÒ ØÖÒÒÒÒ ÖÔÔ ÖØÑØ ØÐÐ ÙÑÑ Ú ÖØÑØ ØÐÐ ÐÖ ÓÖÑÐ ÓÑÒØÓÖÒ ØÓÒ ¹ Ó ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÔÖÒÔÖ ÖÙÖ ÓÒ ÙÖÚÐ Ñ Ó ÙØÒ ÓÖÒÒ Ó ØÖÐÒÒµ Ú Ú Ð ÒÒÖ ÓÖÖØØ ¹ÐÒÖ ÑÒ ½º ÍØÖ ÙÖ Ê ÑØÑØ ÔÖÓÐÑ ÀÙÖ Ò ÑÒ ÔÐÒÖ Ö ÐÚÖ ÑØÑØÐÖÒ ÒÓÑ ÔÖÓÐÑÐ ÒÒ ØØ ÙÒÖÚ ÑØÑØ ÒÓÑ ÔÖÓÐÑÐ ÒÒ Ö ÒØ ÐÐØ ÐØ ÐØغ Ø ÓÖÖÖ ÚØØ Ú Ò Ñ Ò ÑÖ Ò ÒÒÒ ÑØÑØÙÒÖÚ ÒÒ ØØ ÐÖÖÒ Ö ¹ Ò ÙÒ ÔÖ Ø Ó ÑÒغ ÎÐ ÑØÑØ ÑÐ Ò ÐÚÖÒ Ò ÒÓÑ ØØ ÖØ Ñ ØØ ÔÖÓÐÑ Î ÓÔÔ ÒÓÑ ÐÒ ÜÑÔÐ ÙÒÒ Ú ÒÓØ Ú Ú Ò ÙÒ ÔÖ Ò Øݹ Ö ÐÖÖ ÖÒ ÙÒÖ ÚÒÐ ÔÖÓÐÑÐ ÒÒ ÐØÓÒÖ ÓÐÒ Ó ÙÖ Ú ÒØÐØ Ø Ö ØØ ÐÖÖÒ ÒÓÖÒØ ØÒÖ ÒÓÑ ÔÖÓÐÑØ ÖÚº ÖÒ ÓÑÑÖ ÖÓÔÔ¹ ÒÒ Ú ØØ Ð ÝØØÖÐÖ ÐÝ Ø ÜÑÔÐ ÓÑ ÐÖ ÒÖ ÓÒº Ø ÔÖÓÐÑ Ú Ö ÚÐØ Ö ÐÒ Ð ÖÒ Ä Ô Ð Ð ÙÐÓÖ Ó Ò ÚÐ Ô ÝÖ ÓÐ ÑÖº ÀÓÒ ÚÐÐ ØÚ Ð ÙÐÓÖº µ È ÙÖ ÑÒ ÓÐ ØØ Ò ÓÒ ÚÐ Ò Ð µ ÀØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐѺ Ä Øº Î Ö ØØ ØØ ØØ ÔÖÓÐÑ Ò Ý Ð ØØ ÐÚÖ ÖÒ Ö ÓÐÒ ØÐÐ ÝÑÒ Ø Ó ÚÒ ØÙÒØÖ Ô ÓÐÒÚ Ø Ô ÐØ ÓÐ Øغ ÇÑ ÐÖÖÒ Ö ÒÖ Ø Ñ ÔÖÓ¹ ÐÑØ ÑÐØÖ ØÐÐ ÚÖØÓÒ Ò ÐÐ ÐÚÖ ÑØ Ô Ø ÑÐ ØØ Ó Ò ½ ¾µ

Ò ØØ ÙØÚÐ Ò ÑØÑØ ØÒÖ ÒÓÑ Ò ÐÓÑ ÙØÑÒÒº ÈÖÓÐÑØ Ò ØÐÐ ÜÑÔÐ ÙØÚ ØØ Ä Ö Ñ Ü ÐÐÖ ÒÒÙ Ö ÑÖ ØØ ÚÐ ÐÒº ÅÒ Ò ØÐÐ ÐÙØ Ö ØÖ Ò ÒÖÐÐ ÖÐ ØØ ØÑÑ ÒØÐØ ÑÐØÖ ÓÑ ÑÒ Ö ØØ Ú Ø ÒØÐ n Ø ÑÖ ØØ ÚÐ ÐÒº ÀÖ ØÖ n Ö ÚÐØ ÓÑ Ð Ø Ú ÔÓ ØÚ ÐØÐÒº ÈÖÓÐÑØ Ò ÚÒ ÙØÚ ØØ Ä ÒØ Ö Ö ØÚ ÙØÒ ØÖ ÝÖ Ñ ÐÐÖ Ö ÙÐÓÖ Ò Ð º ÀÖ Ò ÑÒ Ó ØÐÐ Ø Ö ØÖ Ò ÒÖÐÐ ÖÐ ØØ ØÑÑ ÒØÐØ ÑÐØÖ ÓÑ ÑÒ Ö ØØ Ú Ø ÒØÐ k Ø ÙÐÓÖ ØØ ÚÐ Ùغ ÀÖ Ò k ÙÒÒ ÝØ ÙØ ÑÓØ ÚÐØ ÓÑ Ð Ø Ú ÔÓ ØÚ ÐØÐÒ ½ ¾ Ó ÚÖº ÙØÓÑ Ò ÑÒ ÖÒ Ñ ÝÒ Ø ÐÚÖÒ ÒØÐÒ ÖÑ Ò Ù ÓÒ ÓÑ Ú ÓÑ ÒØÐÒ ÐÐ Ö Ð ÖÒº ÀÖ Ö ØÚ ÑØÑØ Ø ÚØ ÖÓÖ ÓÑ ÑÒ Ò ÓÔÔ ØØ ÐÚÖÒ ØÐÐÖ ÊÒ Ò Ð Ñ ÓÖÙ ÚÖ Ø Ó ÚÒÐ ÙÒÖ Ó Ò Ð Ñ Ú¹ ÒÐ ÚÖ Ø Ó ÓÖÙ ÙÒÖ ÓÑ ÑÑ Ð ÐÐÖ ÑÒ Ñ ÓÑ ÓÐ Ð Ö Ö Ò Ð ÙÐÓÖÒ ÑÑ Ñ ØÐÐ ÜÑÔÐ ØÚ ÓÐÙ¹ ÐÓÖ ÐÐÖ Ñ Ø ÙÐÓÖÒ ÓÐ ÑÖ Ø ÒÒ ÐÐØ ÓÐ ØØ ØØ ØÓÐ ÙÔÔØÒ Ó ÒØÐØ Ð ÒÒÖ Ö Ö Ø ÖÓÒ Ô ÚÐ ÚÐÐÓÖ ÓÑ ÑÒ ØÑÑÖ Ö Ðк Ù ÓÒÒ Ú ØÓÐÒÒÒ Ò Ò Ò ØÐÐ Ò ÑØÑØ Ý ØÑØ ÓÖØÖÒ Ú ÓÐ ÑÐØÖÒº ÅÒ Ò ØÐÐ ÜÑÔÐ ØÐÐ ÙÔÔ ÐÒ ØÐÐ Ö ØØ ÐÖ ÓÐ ØÓÐÒÒÖÒº ÀÖ ØÒ ÝÖ ÐÐÒ Ñ Ó º ÇÖÒÒ ËÑ ÃÙÐÓÖÒ ÓÖÒÒ ÒÖ ØÝÐ ÃÙÐÓÖÒ ÓÖÒÒ Ö ØÝÐ ÎÖ Ñ Ò ÚÐ Ø Ò Ò ØÐÐ ÚÖ ØÖÙغ ÎÖ Ñ Ò ÚÐ Ö ÒÖ ØÐÐ ÚÖ ØÖÙغ ÄÖÖÒ Ò ÚØÚ ÚÐ ÑÐÐÒ ØØ ÔÖÓÐÑØ ÙØÒ ØÑ ÚÐÐÓÖ Ó ÓÔÔ ØØ ÖÓÖÒ ÓÑÑÖµ ÐÐÖ Ð Ø ØÐÐ ØÑ ÚÐÐÓÖ Ø ÚÐÐ Ò ÐÐÖ Ö Ú ÖÙØÓÖÒ ØÐÐÒº Ø Ò ÐÐØ ÚÖ Ö Ö ÐÖÖÒ ØØ ÚÖ ÚÐ Ò ØØ ÔÖÓÐÑØ ÑÐØÖ ÒÒÒ Ò ÐÐÖ ÓÒ Ö ØØ ÐÙØÐ Úк Î ÓÑÑÖ Ö ØØ Ö Ò ÒÓÖÒÒ ÒÓÑÒ Ú ÓÐ ÑØÓÖ ÓÑ ÐÚÖ Ò ØÒ¹ ÒÚÒ Ö ØØ Ð ØØ ÔÖÓÐÑ ÒÐØ ÚÐÐÓÖÒ ÖÙØ º ÖØÖ ÓÑÑÖ Ú ØØ ÒÐ ÚÖ ØÖ ÐÐÒ ÖÔÖ ÒØÖ Ú ÖÙØÓÖÒ Ó ÑÖ ÙÑÑÖ Øº ÐÐ ÎÖ Ñ Ò ÚÐ Ø Ò Ò ØÐÐ ÚÖ ØÖÙغ ÃÙÐÓÖÒ ÓÖÒÒ ÒÖ ØÝÐ Î ÚÐÐ Ö Ô ÙÖ ÑÒ ÓÐ Ð ØÖÙØÖ Ä Ò Ô ÓÑ ÓÒ Ö ÝÖ ÓРѹ Ö ØØ ÚÐ ÐÒ Ó ÓÑÒÖ Ñ ØÚ Ó ØÚ Ô ÐÐ ØÒÖ ØØ Ó ÐÖ ØÚ ÙÐÓÖ Ñ ÑÑ Ñº Î Ö ØÑØ ØØ ÓÖÒÒÒ ÑÐÐÒ ÙÐÓÖÒ ÒÖ Øݹ Ð Ø ÚÐÐ ÚÒйÓÖÙ ÖÒ ÓÑ ÑÑ Ð ÓÑ ÓÖÙ¹ÚÒк ½ ¾µ

ÜÑÔÐ Ô ÔÖÓÐÑÐ ÒÒ ÔÖÓ Ö Ç Ý ØÑØ Ø ÐØÒ ÄÖÖ Ö Ú Ø Ó ÙÖ Ö ÐÚÖ Ö ØØ ÓÐÖ ÔÔÔ¹ ÖÐÖ ØØ ÐÑÑ ÙÔÔ ØÚ Ó ØÚ Ô ÔÔÔÖ Ñ ÖØÖÝØ ØÖÙØ ÝÑÓÐÖ Ó ÙÖ ÐÚÖÒ Ö ÔÖÓÚØ ÖÑ ÙØÒ ÒÓÒ Ö Ð Ý ØÑØ Î Ö Ó ØØ Ð ÒÒÖ Ö ÐÚÖ ÑÐØ ÝÖ ÓÐÖ ÖÐÖ ÓÑ ÝÑÓÐÖ Ö ÓÐ ÑÖÒ Ó Ò ÖØ ØÖ ÑÐÐÒ Ñ ØÚ Ó ØÚ Ö ØØ Ú ÚÐ ÑÖ ÑÒ Ò ÓÑÒÖº ÍÒÖ ÓÑ ÐÒ ÒÒ Ú Öº Ö Ò ÖÒØ ØÖÒ Ó Ô ØØ ØØ ÖÑ ÒØÐØ ÑÐ ÓÑÒØÓÒÖº Î ÐÚÖ Ú ØÖØ Ô Ö ÖÓÖØØ ÑÖÒ ØÐÐ Ó ØÚÖÒ Ú Ó Ö Ú ØÖ Ö ÚÒÐ Ö ÓÖÙ Ö ÐÖ Ó Ö ÑÙÐØÖÓÒº Ö Ò Ó Ý ØÑØ Ø ÓÑÒÖØ ØÖ Ó ØÚÖ ØÚ Ó ØÚ Ô ÐÐ ØÒÖ ØØ Ú Ú Ú ËÝ ØÑØ Ø ÐØÒ ÚÖÒØÖº Ò Ð ÐÚÖ ÐØÖ ÑÖ Ý ØÑØ Ø ØÖ Ð ÒÒÖº ÀÖ ÐÖ ØÖ Ê ÓÒÑÒ ½ ØØ ÜÑÔÐ Ô ØØ ÐÓ Ø Ö ÓÒÑÒ ÓÑ Ò Ð ÖÑ ØÐÐ Ò Ð ¹ ÒÒ Ö ØØ Ò ÐÚ Ò Ö ØØ ÚÖ ÒÝ Ñ ÓÑ ØÐÐÓÑÑÖ Ò ÓÑÒÖ ÔÖ Ò Ò ÚÖ Ñ ÑÖ ÓÑ ÒÒ Ò ØÖº ÒÓÑ ØØ ÖÖÒ Ò ÑÒ ÒÒ ØØ ÒØÐØ ÑÐ ÓÑÒØÓÒÖ Ö Üº ØØ Ò ÚÒ Ð Ô ÑÓØ ÚÖÒ Ý ØÑØ ØØ Ñ ÐÔ Ú Ò ÐÐÖ Ö ÐÖº ÌÐÐ ÜÑÔÐ Ö ÌÚ ÑÖ ÌÖ ÑÖ ÒÝ Ñ ÓÑ ÓÑÒÖ Ñ ÒÖ ØÚº ÝÖ ÑÖ ÒÝ Ñ ÓÑ ÓÑÒÖ Ñ ÒÖ ØÖº ½ ÓÑÒØÓÒ ½ ¾µ ÓÑÒØÓÒÖ ÓÑÒØÓÒÖ µ ÓÑÒØÓÒÖ ÓÑÒØÓÒÖ ½ ¾µ

ÌÐÐ ½ ÒÓÑ ØØ ÖÖÒ Ò ÑÒ ÒÒ ØØ ÒØÐØ ÑÐ ÓÑÒ¹ ØÓÒÖ Ö 1+2+3 = 6º Ç ÖÚÖ ØØ Ö ÓÒÑÒØ Ö ÒÖÐÐØ ÚÖ Øع ÒÒ Ú Ð ÒÒÖÒ ØÐÐ ÑØÑØ ÓÖÑÐÖ Ô Ò ¼º Å ÓÑÑÒØÖÖ Ò Ø ØÖØ ÓÑ ØØ Ú º Ê ÓÒÑÒ ¾ ØØ ÒÒØ ÜÑÔÐ Ô ÐÓ Ø Ö ÓÒÑÒ Ö ÒÖ ÐÚÒ ÓÑÑÖ Ô ØØ Ò Ö Ø ÑÒ Ò ÓÑÒÖ Ò Ò ÚÖ Ñ ÒÖ ØÖº Ò ÒÖ ÑÒ Ò Ô ÑÓØ ÚÖÒ ØØ ÚÒ ÓÑÒÖ Ñ ØÚ ØÖ ØÒº ËÐÙØÐÒ Ò Ò ØÖ ÑÒ ÙØÓÑ ÓÑÒÖ Ñ Ò Ö ÑÒº ÌÓØÐ ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ ÐÖ Ü ØÝÒº ÌÐÐ ÚÒ Ö Ö Ö ÓÒÑÒØ ÒÖÐÐØ ÐÐÖ Ò ÐØØ Ö ØÐÐ ØØ ¹ ÒØ ÒÓÑ ØØ ÑÒ ØÖÝÖ ØÖ Ó ØÚ Ó ÐÖ ØÐÐ Ó Úº ØÐÐ ØØ Ò Ò Ø Ø ÑÒ Ò ÓÑÒÖ Ñ Ò Ø ÑÒº ØØ Ò ÚÒ Ô ÑÓØ ÚÖÒ ØØ Ð Ý ØÑØ Ø Ñ ÐÔ Ú Ò ÐÐÖ Ö ÐÖº ÌÐÐ ÜÑÔÐ Ö Ö Ø ÑÒ ÓÑÒÖ Ñ ÒÖ ØÖ Ó Öº ÒÖ ÑÒ ÓÑÒÖ Ñ ØÖ Ó Öº ÌÖ ÑÒ ÓÑÒÖ Ñ Öº ÐÐÖ Ö Ñ ÑÑ Ö ÓÒÑÒ ËÐÙØÐ Ð Ê ÓÒÑÒ Î ÐÚÖ ØÖ ÐÔ Ú Ò ØÐÐ Ö ØØ ÑÖ Ý ØÑØ Ø ÒÒ ÑÐ ÓÑÒØÓÒÖÒº ÀÖ Ò Ò ØÖÝ ÓÑÒØÓÒÖ ÓÑ ÖÒ ÒÒ Ñ ØÐÐÒº ËÒÖØ ÑÖÖ ØØ Ö ÚÖ ÖÒ Ñ ÓÑÒØÓÒÖ ÓÑ ÒÒ Ô Ò Ò ÓÒÐÒº ÚÒÐ ÓÖÙ ÐÖ ÑÙÐØÖÓÒ ÚÒÐ Ú Ú Ú ÓÖÙ Ú ÐÖ Ú Ú ÑÙÐØÖÓÒ Ú Ò ÒÒÒ ÙØØÖÝ ÓÖÑ ÓÑ ÐÚÖ Ò ÒÚÒ Ö ÑÑ ØÝÔ Ú Ö ÓÒÑÒ Ö ØØ ÐÐØ ØÖÖѺ ÀÖ Ú Ö ÑÒ ÖÒ ÚÒ ØÖ ØØ Ö Ø ÚÐØ ÑÐÐÒ ÝÖ ÑÖ¹ Ò Ó Ò ÓÑÑÖ ÒÖ ÚÐØ ÑÖ Ò ÓÑÒÖ Ñ ÓÐÖ ¹ ÓÖѺ ÚÒ Ö Ö ÑÒ Ð ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ Ñ ¾ ØÖ ÓÑ ÚÒйÓÖÙ Ö¹ Ò ÓÑ ÑÑ ÓÑ ÓÖÙ¹ÚÒÐ Ó Úº ½ ÐÐ ÌÐÐ Ö ÖÚÒ ÔÐÐØ Ö ÔÖÓÐÑÒÒº ½ ¾µ

ÓÖÙ ÚÒÐ ÓÖÙ ÐÖ ÐÖ ÑÙÐØÖÓÒ ÚÒÐ ÐÖ ÑÙÐØÖÓÒ ÚÒÐ ÓÖÙ ÑÙÐØÖÓÒ ÚÒÐ ÑÙÐØÖÓÒ ÓÖÙ ÎÐ ½ ÎÐ ¾ ÐÖ ÌÐÐ Ê ÓÒÑÒØ ØØ Ø ÒÒ Ð ÑÒ Ð Ö ÓÑ ÒØÐØ ÐÐÖ ÚÖ ÓÒÐÒ ØÐÐÒ Ö Ò ÒÖÐÐØ Ó ÙØÖ ØØ Ú ÓÑ Ø Óѹ ÔÐØØÖ Ñ ØØ ÖÙÑÒØ Ö ÙÖ ÑÒ ÐÐÖ Ö ÙØØÖÝØ ÒØÐØ ÑÖº ÌÖÖÑÑØ ÐÐÙ ØÖÖÖ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÔÖÒÔÒ ÓÑÒØÓÖÒº Òع ÐØ ÚÖ ÖÒ ÚÒ ØÖ ØÐÐ Ö Ö ÔÖÓÙØÒ Ú ÒØÐØ ÚÐÑÐØÖ ÓÐ ØÒ ÖÙØ ØØ ØØ ÒØÐØ ÐØÖÒØÚ ÒÖ Ø Ö ÓÖÓÒ Ú Ú ÑÒ ÚÐ ÖÒ Øµº Ç ÖÚÖ ØØ ØØ Ö ÒØÐØ Ð Ö ÓÑ ÑÒ ØÖ Ò ÝÒ ØÐÐ ÓÖÒÒÒº ÍÔÔØØ Ú ÑÒ ØÖ ÐÚÖ ÓÑ ÙØÑÒ ØØ Ð ÑÑ ÔÖÓÐÑ Ø Ñ ØØ Úܹ Ò ÒØÐ ÑÖ Ò ØÐÐ ÜÑÔÐ Ø ÐÔ Ú Ò ØÐÐ Ö ØØ ÐØØÖ ÙÔÔØ Ñع ÑØ ÑÒ ØÖº Á ØÐÐ ½ ÒÒ ÝÒ ØØ ÑÒ ØÖ ÑÒ Ò ÓÑ ÑÒ ÐÖ Ø Ö Ø ÐÓ Ö ÓÒ¹ ÑÒØ ÙÒÖ ÖÖ ÖÙÖÒº Á ØÐÐ ¾ ØÖÒÒ ØØ ÑÒ ØÖ ÑÒ Ò ÓÑ ÑÒ ÐÖ Ø ÒÖ ÐÓ Ö ÓÒÑÒغ Á ØÐÐ ÐÙØÐÒ Ú ØØ ÑÒ ØÖ ÑÒ Ò ÓÑ ÑÒ ÙØÖ ÖÒ ØÖÖÑÑØ ØÖ ÐÓ Ö ÓÒÑÒغ ÒØÐ ÑÖ ½ ¾ ÌÐÐ ½ Ê ÓÒÑÒ ½ ÒØÐ ÓÐ Ñ ¾ ÙÐÓÖ 1+2 = 3 3+3 = 6 6+4 = 10 10+5 = 15 Ó Úº ½ ÒØÐ ÑÖ ½ ¾ ÌÐÐ ¾ Ê ÓÒÑÒ ¾ ÒØÐ ÓÐ Ñ ¾ ÙÐÓÖ 2+1 = 3 3+2+1 = 6 ½ 4+3+2+1 = 10 5+4+3+2+1 = 15 Ó Úº ÒØÐ ÑÖ ½ ÌÐÐ Ê ÓÒÑÒ ÒØÐ ÓÐ Ñ ¾ ÙÐÓÖ 2 1 1/2 = 1 3 2 1/2 = 3 4 3 1/2 = 6 5 4 1/2 = 10 6 5 1/2 = 15 Ó Úº Á ÐÐ ØÖ ØÐÐÖÒ Ò ÐÚÖÒ ÖÑÓÐÒ ÒØ Ò ØÐÐ ÓÖØ ØØÒÒÒº Ò ÙØÓÑ ÑÒ ÑÐÐÒ ÓÐ ØÐÐÖÒ ØÐÐ ÜÑÔÐ ØØ 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 10 9 1/2 = 45 ½ ¾µ

ØØ Ö Ò Ó ÖÒ ØÐÐ ØØ ÒÒ Ò ÒÖÐÐ ÖÐ Ö ÙÖ ÑÒ ÖÒÖ ÙÑÑÒ Ú Ò ÓØÝÐ ÖØÑØ ØÐк ØØ Ò ÑÒ Ð ÑÖ ÓÑ ÐÒÖ ÖÑ ÙÒÖ ÖÙÖÒ ÚÖ ØØÒÒ Ú ÖÐÖÒ ØÐÐ ÑØÑØ ÓÖÑÐÖº È ÑÓØ ÚÖÒ ØØ Ò ÐÚÖ Ö ØÐÐÖ Ö ÒØÐØ ÑÖ ÐÐ ÓÒ ØÒØ Ó Ö ÑÒ ØÐÐØ ÐØÖ ÒØÐØ ÙÐÓÖ ÚÜ Ó ØÐÐÖ Ô ÑÓØ ÚÖÒ ØØ ÙÔÔØ ÑØÑØ ÑÒ ØÖº ÅÒ Ò ÚÒ ØÒ ØØ ÐØÖ ÒØÐØ ÑÖ Ó Òع ÐØ ÙÐÓÖ ÚÖÖ Ô ØØ ÒÓÖÒØ Ó Ý ØÑØ Ø Øغ ÓÖÑÙÐÖÒ Ú ÒÖÐÐ ÖÐÖ ÙØØÖÝØ Ñ Ò ÓÖ ÐÚ ½ Ò ÜÑÔÐÚ Ñ Ò ÓÖ ÓÖÑÙÐÖ Ò ÒÖÐÐ ÖÐ Ò ÔÖÖ Ú Ö ÓÒÑÒ ½ Ó ØÐÐ ½ ÇÑ ÑÒ Ö ÑÖ ÔÐÙ Ö ÑÒ Ô Ñ ØÐÐ ÑÒ ÑÒ ÒÖ ÑÒ ÑÖº ÇÑ ÑÒ Ö ÑÖ ÔÐÙ Ö ÑÒ Ô Ñ ØÐÐ ÑÒ ÑÒ ÒÖ ÑÒ ÑÖº Ë Ö Ö ÑÒ Ð ØÒº ÅÒ ÔÐÙ Ö ÐÐØ Ô Ñ ØØ ÑÒÖ Ò ÑÒ ÑÖ ÑÒ Öº ÐÚ ¾ ÓÑ ÙØØØ ÖÒ Ö ÓÒÑÒ ¾ Ó ØÐÐ ¾ Ò ÙØØÖÝÖ Ò ÖÐ Ô ÐÒ ØØ ÇÑ Ø Ö ÑÖ ÔÐÙ Ö ÑÒ ÓÔ 3 + 2 + 1 Ó ÓÑ Ø Ö ÑÖ ÔÐÙ Ö ÑÒ ÓÔ 4+3+2+1 Ó ÚÖº ÅÒ ØÖØÖ ÐÐØ Ô ØÐØ Ö ÙÖ ÑÒ ÑÖ Ø Öº ÐÚ Ò ÚÖ Ò ÔÖÖ Ú Ö ÓÒÑÒ Ó ØÐÐ Ó ÖÚ Ò ÖÐ Ö ÅÒ ØÖ ÑÒ ÑÖ Ø ÒÒ ÒÖ Ò Ñ ÑÒÖº ËÒ ØÖ ÑÒ ÐØÒ Ú Ø ÑÒ Ö º ÌÐÐ Ç ÖÚÖ ØØ ÓÖÑÙÐÖÒÖ ÒÖØ Ö ÖÚÒÒ Ú ÙÖ ÑÒ ÖÒÖ ÖÑ ØÐÐ ØØ ÚÖº Ø ØØ ÐØ ØØ ÖÙÑÒØ Ö ØØ Ø ÐÖ ÖØØ ÚÖº ÚÖ ØØÒÒ Ú ÖÐÖÒ ØÐÐ ÑØÑØ ÓÖÑÐÖ ÊÙÖ ÓÒ ÓÖÑÐ ÐÚ ½ ÖÖ ÜÑÔÐØ ÒÖÑÖ Ò ÐÐ ÖÙÖ ÓÒ ÓÖÑк ÒÒ ÐÚ Ö ÒÑÐÒ ÙÔÔØØ ØØ ÑÒ ÑÐÐÒ ØØ Ö ÙÐØØ Ó Ø ÓÑ ÓÑÑÖ ÖØ ØÖº ÇÑ ÑÒ ØÐÐ ÜÑÔÐ Ö ÑÖ Ö ÙÑÑÒ Ú ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ S 3 µ Ñ ØÚ ÓÐ ÙÐÓÖ Ô Ð Ò S 3 = S 2 +2 = 1+2 = 3 ÇÑ ÑÒ ØÐÐ ÜÑÔÐ Ö ÑÖ Ö ÙÑÑÒ Ú ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ S 4 µ Ñ ØÚ ÓÐ ÙÐÓÖ Ô Ð Ò S 4 = S 3 +3 = 3+3 = 6 Ó Úº ÅÒ Ò ÙØØÖÝ ØØ ÑÖ ÒÖÐÐغ ÀÖ ÒÒ ØÖ n Ö ØØ ÔÓ ØÚØ ÐØÐ ÚÐØ ÓÑ Ð Øº ÅÒ Ò ÐÐØ ÝØ ÙØ n ÑÓØ ½ ¾ º º º ½¼¼ º º º ½¼¼¼ º º º ÐÐÖ Ú ÑÒ ÒÙ ÚÐк ¼ ½ ¾µ

ÇÑ ÙÑÑÒ Ú ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ Ñ n ÑÖ ØÒ ÓÑ S n ÐÖ ÙÑÑÒ Ú ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ Ñ ÝØØÖÐÖ Ò Ñ S n+1 µ Ø ØÖ ÒØÐØ Ø Ñ n ÐÐØ ÐÐÖ ÓÖÑÐÒ S n+1 = S n +n Ò ÒÝ ÑÒ Ò Ù ÓÑÒÖ Ñ ÐÐ n ÚÖ Ó ÐÐ ÖÒ ØÖ Óѹ ÒØÓÒÖ ÚÖ ØÖº ÆÐÒ Ñ ÒÒ ÑØÓ Ö Ó ØØ ÑÒ Ö Ø Ñ Ø ÖÒ ÐÐ ÓÑÒØÓÒÖ Ö ÒØÐØ ÑÖ Ò ÖÑ ØÐÐ Ó Ñ n ÑÖ Ö ØØ ÖÑ ÚÖØ Ö (n+1) ÑÖº ÓÖÑÐ Ö ÙÑÑÒ Ú Ò ÖØÑØ ØÐÐ ÐÚ ¾ Ö ÙÒÒØ ØØ ÑÒ Ö ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ Ñ ØÚ ÓÐ ÙÐÓÖ Ô Ð Ò ÓÑ ÑÒ ÖÖ ÐÐ ÔÓ ØÚ ÐØÐ ÖÑ ØÐÐ Ó Ñ ØÐØ Ö ØÓØÐ ÒØÐØ ÑÖº ÇÑ ÑÒ ØÐÐ ÜÑÔÐ Ö ÑÖ Ö ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ S 3 µ S 3 = 1+2 = 3 ÇÑ ÑÒ ØÐÐ ÜÑÔÐ Ö ÑÖ Ö ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ S 4 µ Ó Úº S 4 = 1+2+3 = 6 ØØ Ò ÑÒ Ó ÖÚ ÑÖ ÒÖÐÐغ ÀÖ ÒÒ ØÖ n Ö ØØ ÔÓ ØÚØ ÐØÐ ÚÐØ ÓÑ Ð Øº ÅÒ Ò ÐÐØ ÝØ ÙØ n ÑÓØ ½ ¾ º º º ½¼¼ º º º ½¼¼¼ º º º ÐÐÖ Ú ÑÒ ÒÙ ÚÐк ÇÑ ÑÒ Ö n ÑÖ Ö ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ S n µ S n = 1+2+3+ +(n 1) ÆÐÒ Ñ ÒÒ ÑØÓ Ö ØØ ÑÒ Ñ Ø Ö ÐÐ ØÐ Ò ÖÑ ØÐÐ Ó Ñ (n 1) ÑÖ Ö ØØ ÖÑ ÚÖØ Ö n ÑÖº ÐÚ Ò Ö ØØ ÑÒ ÐØ ÒÐØ Ò Ø Ñ Ö Ñ Ó ÓÑÒÖ Ñ Ñ ÐÐ ÚÖ ÑÖÒº ÇÑ ÑÒ ØÐÐ ÜÑÔÐ Ö ½¼ ÑÖ Ò ÚÖ Ó Ò Ú Ñ ÓÑÒÖ Ñ ÚÖ º ÅÒ ÑÒ Ö ÙÔÔ Ðغ Ö ÑÒ Ö ÑÒ ØÚ ÐÚÖ ÔÖ Ú ÚÖ¹ ÓÑÒØÓÒº Å ÒÖ ÓÖ Ö ÜÑÔÐÚ ÚÒйÓÖÙ ÑÑ ÓÑÒØÓÒ ÓÑ ÓÖÙ¹ ÚÒк ÖÖ ÖÒÖ ÑÒ Ö ÐØÒ Ú Ñº S 10 = 10 9 2 Ø ÒÖÐÐ ÙØØÖÝØ ÐÖ ÓÑ Ø Ö n ÑÖ Ö n ØÖ Ö ØØ ÔÓ ØÚØ ÐØÐ ÚÐØ ÓÑ Ð Ø S n = n (n 1) 2 ÇÑ ÐÚ ¾ Ó ÐÚ ÑÖ Ò Ö ÙÐØØ Ò ØØ ØØ ØÝÐØ ÒÐÖ ØØ Ö ÐÚ ¾ ØØ Ö ÐÐ Ò ØÐ Ñ ÒÖ ÓÖ Ò ÓÖÑÐ Ö ÙÑÑÒ Ú Ò ÖØÑØ Øй ÐÒ ØØ ÐÐ Ò ÙÑÑ Ö Ö Ø ØÖÑÒ Ö ½ Ó ÖÒ Ò ÐÐÒÒµ ÑÐÐÒ ÚÖ ØÐ ØÐÐÒ Ö ½ Ó Ö Ø ÒÒ (n 1) ØÐ 1+2+3+ +(n 1) = n (n 1) 2 ½ ½ ¾µ

ÌÐÐ Ç ÖÚÖ ØØ ÒÒ ÓÖÑÐ Ö ÖÐÐØ ÒÓÑ ØØ ØÙÖ ØÚ ÓÐ Ð ÒÒ ØÖØÖ ØÐÐ ÑÑ ÔÖÓÐѺ ÀÖÚ Ò Ö ÑÒ ÒÝØØÒ Ú ØØ ØÙÖ ÓÐ Ð ÒÒÖ Ó ÒØ Ö Ò Ñ Òº ØØ ØØ ØØ Ö ØÐ Ò Ö ØØ ÒÒ ÓÖÑÐ ÚÖÐÒ ÐÐÖ ÒÓÑ ÐÒ Ü¹ ÑÔÐ ÜÑÔÐ Î ÚÐÐ ÖÒ ÙØ ÙÑÑÒ Ú Ò ÖØÑØ ØÐÐÒ 1+2+3+4+5 Î ØØÖ ÙÔÔ Ó ÖÖ ÙÑÑÒ ØÚ ÒÖ Ô ÐÒ ØØ Å ÒÖ ÓÖ Ö 1+2+3+4+5 5+4+3+2+1 6+6+6+6+6 = 6 5 2(1+2+3+4+5) = 6 5 ØÖ ÓÑ Ú ÒÙ ØÓ ÙÑÑÒ ØÚ ÒÖ Ñ Ø Ú ÐÐØ Ð Ñ ¾º Ö Ú ÅÒ Ò ÚÒ Ú ÑÑ ÜÑÔÐ Ð 1+2+3+4+5 = 6 5 2 = 15 ÊØ Ò ÒÐ ØÖÔÔ Ú ÖÙØÓÖ ÓÑ ÝÑÓÐ ÖÖ 1+2+3+4+5 Ö ØØ Ö Ô ÙÖ ÑÒ ÖÙØÓÖ Ø Ö ØÖÔÔÒ ÝÐÐÖ Ú Ö Ø ÙØ Ò Ñ Ò ÐÒ ØÖÔÔ Ø ÙÔÔÓÒÚÒ Ø ÑÖ ÔÖØØ ÙÖÒ ÒÒµ 5 (5+1) ÆÙ Ò Ú ÐØØ ÖÒ ÙØ ØØ Ð ÙÖÒ ÖÝÑÑÖ (5+1) 5 ÖÙØÓÖ = 6 5 ÖÙØÓÖº ÅÒ Ú ØÚ ØÖÔÔÓÖ Ú ÙÐÐ Ö Òº ÖÖ Ñ Ø Ú Ð Ñ ¾º Î Ö ØÖ 1+2+3+4+5 = 6 5 = 15 2 ¾ ½ ¾µ

Ö ÙÑÑÒ Ú Ò ÓØÝÐ ÖØÑØ ØÐÐ ÐÐÖ Ø ÑÖ ÒÖÐÐ ÙØØÖÝØ S n = (a 1 +a n ) n 2 Ö S n Ö ÙÑÑÒ Ú n ØÖÑÖ Ð Ö a 1 Ö Ò Ö Ø ØÖÑÒ Ó a n Ò nø ØÖ¹ ÑÒº Î ØÖ ÒÒÙ ØØ ÜÑÔÐ µ ÜÑÔÐ ÖÒ 20+22+24+26+28+30º ËÙÑÑÒ ÒÒÐÐÖ Ø ØÖÑÖº Ò Ö Ø ØÖÑÒ Ö ¾¼ Ó Ò Ø ØÖÑÒ Ö ¼º Ö ÒÐØ ÓÖÑÐÒ ÓÚÒ ËÑØ ÐÐÖ ÙÖ 20+22+24+26+28+30 = (20+30) 6 2 = 150 Ø ÐÐÑÒÒ ÙØØÖÝØ Ö Ó ØØ ÒÚÒ ÖØ Ð ÜÑÔÐغ Î Ò ÜÑÔÐÚ ÖÑ ÙÖ ÑÒ ÓÑÒØÓÒÖ Ñ ¾ ÙÐÓÖ Ø Ö ØØ ÒÒ Ñ ½¼ ÓÐ ÑÖº ØÖ ØØ ØØ ØÐÐ ¾ ÚØ Ú ØØ ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ Ö ÙÑÑÒ Ú Ò ÖØÑØ ØÐÐ 1+2+3+4+5+6+7+8+9 ËÙÑÑÒ ÒÒÐÐÖ ØÖÑÖ µº Ò Ö Ø ØÖÑÒ a 1 µ Ö ½ Ó Ò Ø ØÖÑÒ a n µ Ö º Ö ÒÐØ ÓÖÑÐÒ ÙÑÑÒ 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = (1+9) 9 2 = 45 ÓÖÑÐ Ö ÒØÐØ ÐÑÒÖ Ñ ÐÑÒØ ÙÖ Ò ÑÒ Ñ Ò ÐÑÒØ ÐÐÑÒØ ÐÐÖ ØØ ÓÑ ÒØÐØ ÙÐÓÖ Ö ¾ Ó ÒØÐØ ÑÖ Ö n ØØ ÓØÝÐØ ÔÓ ØÚØ ÐØе Ö ÒØÐØ ÑÐ ÓÑÒØÓÒÖ n (n 1) 2 ØØ ÖÙÖ ÒÓÑ Ò Ö ÑØÑØÒ ÙØØÖÝ ÓÑ ÒØÐØ ÐÑÒÖ Ñ ¾ й ÑÒØ ÙÖ Ò ÚÒ ÑÒ Ñ n ÐÑÒØ ÙØÒ ØÖÐÒÒ Ó ÙØÒ Ò ÝÒ ØÐÐ ÓÖÒÒº Î Ò ÙÒÖ ÐØ ÒÖÑÖ Ú ÓÑ ÒÖ ÓÑ ÑÒ Ö ÒØÐØ Ð ÙÐÓÖº ÀÖ Ð¹ Ö Ð Ô ÙÖ ÑÒ ØØ Ú Ò ÓÑÒÖ Ó ÑÖ ÓÑ Ú Ö ÓÐ ÙÐÓÖ Ð Ò ÆÝ Ñ ÌÖ ÑÖ ½ ØØ ÝÖ ÑÖ ØØ ½ ¾µ

ÆÝ Ñ Ñ ÑÖ ½¼ ØØ Î Ò Ó Ö ØÐÐÖ Ö Ú Ò ÚÖ ÙÐÓÖ ÑÖº ÙÐØØÖ ØÖÝ º ÚÒÐ ÓÖÙ ÐÖ ÑÙÐØÖÓÒ ÚÒйÓÖÙ Ú Ú ÚÒйÐÖ Ú Ú ÚÒй ÑÙÐØÖÓÒ Ú Ú ÓÖÙ¹ÐÖ Ú ÓÖÙ¹ ÑÙÐØÖÓÒ Ú ÐÖ¹ ÑÙÐØÖÓÒ Ú Ø Ö Ø Ø ÚÒ Ö ØØ ÙØØÖÝ ÒØÐØ ÓÑÒØÓÒÖ ÑÖ ÒÖÐÐغ Ø ÐÖ ÐÐØ Ñ ÙÐÓÖ n (n 1)(n 2) 1 2 3 Î Ò Ø Ø ÒÓÑ ØØ ØÓÔÔ Ò n = 3 n = 4 Ö ÔØÚ n = 5 ÓÖÑÐÒ ÌÐÐ ÓÖÑÐÒ Ò ÖÐÖ Ö 3 2 1 1 2 3 = 1 4 3 2 1 2 3 = 4 5 4 3 1 2 3 = 10 ÒØÐØ Ð Ö Ñ ÙÐÓÖ ÚÐ ÐÒ n ÑÖ ÐÖ ÒÐØ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ¹ ÔÖÒÔÒ n(n 1)(n 2) ÓÑ ÑÒ ØÖ Ò ÝÒ ØÐÐ ÓÖÒÒÒº Ö ØØ ÒØÐØ ÙØÒ Ò ÝÒ ØÐÐ ÓÖÒÒ Ò ÑÒ ÒÐ n(n 1)(n 2) Ð ÖÒ ÖÙÔÔÖ Ö ÚÖ ÖÙÔÔ Ö ÑÑ ÑÖ ÑÒ ÓÐ ÓÖÒÒº Ø ÒÒ 3 2 1 Ð ¹ Ö ÚÖ ÖÙÔÔ Ö Ø Ö ÒØÐØ ØØ ØØ ÓÖÒ ÓÐ ÑÖ Ó ÒÐØ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÔÖÒÔÒµº ÒØÐØ ÖÙÔÔÖ ÐÖ ÒØÐØ Ð Ö ÐØ Ñ ÒØÐØ Ð Ö ÔÖ ÖÙÔÔº Ö Ò Ð Ñ ÓÐ ÙÐÓÖ Ó n ÑÖ ÐÐÖ ÐÒ ÓÖÑÐ Ó Ö Ò Ú ÓÖØ Øغ n (n 1)(n 2)(n 3) 1 2 3 4 ½ ¾µ

ÇÑ Ú ÚÐÐ k ÙÐÓÖ Ö k Ö ØØ ÓØÝÐØ ÔÓ ØØÚØ ÐØе Ó ÓÖØÖÒ Ö n ÑÖ ØØ ÚÐ ÐÒ ÐÖ ÒØÐØ Ô ÑÓØ ÚÖÒ ØØ n(n 1)(n 2)... (n (k 1) ) k n k! Ö (n (k 1)) ÐÐØ ØÝÖ n ÑÒÙ ÐØÐØ Ö kº ÍØØÖÝØ k! Ö Ò ÓÖØÖ ÖÚ¹ ØØ Ö Ò ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ú ÐÐ ÔÓ ØÚ ÐØÐ ÖÑ ØÐÐ Ó Ñ k k! = 1 2 3 4... k Ö Ò ÓÑ Ö ØÙÖØ ÓÑÒØÓÖ ÒÒ ÓÖÑÐÒ n(n 1)(n 2)... (n (k 1) ) k n k! Ò ÓÑ ÓÖÑÐÒ Ö ÒØÐØ ÐÑÒÖ Ú k ÐÑÒØ ÙÖ Ò ÑÒ Ñ n ÐÑÒØ Úй Ø ÖÙÖ ÖÚ ÐØ ÓÖØÖ Ó ÙØÐ n ÚÖ kµ ( ) n k Ò ÓÖÑÐ ÓÑ Ö Ù Ø ÒØÐØ ÚÐ ÙØÒ ØÖÐÒÒ Ø ÚÐÐ ØØ ÑÒ Ò Ø Ö Ø Ò ÙÐ Ú ÚÖ Ñ ÙØÒ Ò ÝÒ ØÐÐ ÓÖÒÒÒ ¾ º È ÑÓØ ÚÖÒ ØØ Ò ÑÒ ÒÐ ÚÖ ØÖ ÐÐÒ Ó Ð ÔÖÓÐÑغ ÀÖ Ö Ú ÒØÒØ ÐÐÑÒÒ ÓÖÑÐÖÒ Ö ÐÐ ÝÖ ÐÐÒ ËÑ ÇÖÒÒ ÃÙÐÓÖÒ ÓÖÒÒ ÒÖ ØÝÐ ÃÙÐÓÖÒ ÓÖÒÒ Ö ØÝÐ ÎÖ Ñ Ò ÚÐ Ø Ò Ò ØÐÐ ÚÖ ØÖÙغ ( ) n k n! (n k)! ÎÖ Ñ Ò ÚÐ Ö ÒÖ ØÐÐ ÚÖ ØÖÙغ ( ) n+k 1 k n k ÓÖØ ÓÖÑÐÖ Ö ØØ Ö ÜÑÔÐ Ô Ú ÑÝØ Ú ÑØÑØÒ Ö ÙØ Ô ÒÑй Ò ØØ Ó ÒÒ ÚÖ ÑØÑØ ÑÒ ØÖ Ó ÖÚ Ñ ÓÖØØØØ ÑÒ Òº ÅØÑØÖ Ö Ö ÐÐØ ÖÒÐ Ö ÓÖÑÙÐÖÒ Ú ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ö ØØ ÐÚÖÒ Ò Ò ØØ Ú ØØ ÙÔÔØØ Ó Ö ØØØ Ø ÑØÑØ ÒÒÐÐØ ÙÔÔØÒ Ò Ø ÚÖ ÐÑÔÐØ ØØ Ö ÓÖÑÙÐÖ ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº Å Ò Ö ØÑÐÒ ÙØÖÐ ÒÓÑÒÒ Ú ØØ Ú ÝÖ ØÒÖ ÐÐÒ Ö Ú Ú Ø Ô ØÚ Ö ½º ÎØÒ Ú ØØ ÐÖÖÒ ÒÓÖÒØ ØÒÖ ÒÓÑ ØØ ÔÖÓÐÑ Ó ØÒÖ Ð ÒÒ ¹ ÑØÓÖ ÒÒÒ ÓÒ Ö Ø ØÐÐ Ò ÐÚÖº ¾º ÎØÒ Ú ØØ ÐÖÖÒ Ö ÑÝØ Ó ÙÒ ÔÖ ÑØÑØ Ö ØØ ÙÒÒ ØÐÐ ÑÔ Ò ÚÐ ÒÓÑØÒØ ÑÒ ÑØØ ÐÚ ØÝÖ ÙÒÖÚ ÒÒº Î ÚÐÐ ØÖÒÝØ ØÐÐ ÓÐ ÙØØÖÝ ÓÖÑÖ ÓÑ Ú ÙØÖ ÔØÐØ ÀÙÖ Ò Ñع ÑØ ØÒÖ ÙØØÖÝ Î Ö ÖÖ ÒÓÑ ÓÐ ÑØÓÖÒ Ó Ú Ö Ô ÓÐ ÙØØÖÝ ÓÖÑÖ ÓÑ Ò ÓÑÑ ØÐÐ ÒÚÒÒÒ Ú ÚÖ Ó Ò Ú Ñº Î ÚÐÐ Ó Ø¹ Ð ÓÑ ØØ ÚÖ ÒÓÑÒ ÒØ Ò Ð ÐØ ÙÐÐ ØÒº Ò ÔØØ ÐÚ Ò ÖØ ØØ ÝØØÖÐÖ ÙØØÖÝ ÓÖÑÖ ØØ ÒÚÒ Ú Ò ÚÒ ÑØÓº ¾ ÌÐÐ ØÐ ÒÓÑÐØÐÒ ÒÒ ØÐÐÖ È Ð ØÖÒÐ Ô Ò ½½½º ÒÐÙÖØ ØØ ÓÙÑÒغ ½ ¾µ

ÜÑÔÐ Ô ÙÖ ÓÐ ÙØØÖÝ ÓÖÑÖ Ö ÒÚÒØ ÔÖÓÐÑØ Ð ÖÒ ÆÖ ÐÚÖÒ ÐØÖ Ó Ý ØÑØ Ø Ñ ÐÔ Ú Ò ÙÖ ÒÚÒÖ Ú Ò Ö»ÓÑØÖ Ùع ØÖÝ ÓÖÑÒº ÆÖ ØØ ÐØÒ Ö Ñ ÐÔ Ú ÝÒÒÐ Ó ØÚÖ Ö Ø ØÐÐØ Ò ÐÖ»ÖØÑØ ÙØØÖÝ ÓÖÑÒ ÓÑ ÓÑÑÖ ØÐÐ ÒÚÒÒÒº ÆÖ ÐÚÖÒ ØÖ ÐÔ Ú ÔÔÔÖ ÐÔÔÖ ÓÐ ÖÖ Ó Ô ØØ ØØ ÓÖÑÖ ÓÐ Ð ÖÒ ÒÚÒÖ Ò ÓÒÖØ ÙØØÖÝ ÓÖÑÒº È ÑÓØ ÚÖÒ ØØ Ò Ø Ý ØÑØ ÐØÒØ ÐÓ Ø» ÔÖÐØ ÓÑ Ö ÓÒÖÖ ÖÑ Ñ ÐÔ Ú ÚÒÐ ÓÖ Ñ Ò Ö»ÓÑØÖ ÙØØÖÝ ÓÖÑ ÓÑ ÐÚÖÒ ÒÚÒÖ Ú Ò ÙÖ Ò ØÐÐ ÐÐÖ ØØ ØÖÖÑ Ñ Ò ÐÖ»ÖØÑØ ÓÑ ØÐÐØ ÙØÒÝØØÖ Ó ØÚÖº Ò ÐÚ ÓÑ ÒÚÒÖ ÓÒÖØ ÙØØÖÝ ÓÖÑÖ Ò ÚØÚ Ó ÐØ Ý ØÑØ Øº ÆÖ ÐÚÖÒ ÐØÖ ØÖ ÑØÑØ ÑÒ ØÖ ÒÚÒÖ ØÐÐ ÜÑÔÐ Ò Ö»Ó¹ ÑØÖ ÙØØÖÝ ÓÖÑÒ ØÐк Ñ Ò ÓÖ ÓÖÑÙÐÖÖ ÒÖÐÐ ÖÐÖ ÒÚÒÖ Ò ÐÓ» ÔÖÐ ÙØØÖÝ ¹ ÓÖѺ ÆÖ ÑØÑØ ÑÒ ØÖÒ ÐÙØÐÒ ÖÚ Ñ ÓÐ ÓÖØØØ ÓÖÑÐÖ ÖÙÖ ÓÒ ÓÖÑÐÒ ÓÖÑÐÒ Ö ÙÑÑÒ Ú Ò ÖØÑØ ØÐÐ Ó ÓÖÑÐÒ Ö Ò¹ ØÐØ ÐÑÒÖ Ñ k ÐÑÒØ ÙÖ Ò ÑÒ Ñ n ÐÑÒØ Ö Ø Ò ÐÖ¹»ÖØÑØ ÙØØÖÝ ÓÖÑÒ ÓÑ ÓÑÑÖ ØÐÐ ÒÚÒÒÒº ½ ¾µ

¾ ÃÖÑÖ ØØ Ö Ò ÑÐÒ ÑÖ ÐÐÖ ÑÒÖ Ð ÖØÑØÑØ ÔÖÓÐÑ Ô ÑÑ ØѺ ÆÓÖÑÐØ ÖÙÖ ÐÐÓÔ ÒÐ ÓÑ Ò ÒÒÖ ÑÒ ÔÖ ÓÒÖ Ò Ö Ð¹ ÖÒ ÖÙÖ ÒØ Ò Ô ÙÒÒÖº ÖÑÓØ ÖÑ Óغ Á ÐÚ ÚÖØ Ö ÖÙÒÔÖÓÐÑØ ÒØ Ø Ñ ÔÖÓÐÑ ½ Ð ÖÒµ Ö ÓÒÑÒÒ Ö ÙÒÖÖ ÚÒ Ö Ð ÓÑ ÚÖØ ÑØÖÐ Ø ÔÖÓÐÑصº ÈÖÓÐÑÒ Ô Ö Òع ÐÒ ØØ Ö Ñ ØØ Ò ÐÒØ ÑÐÐÒÖÙÑ ØØ ÑÒ ÐÑØ ØÐÖÒ ÑÒ Ò ÒÒÖ Ò º ÎÐÐ ÑÒ Ö ÔÖÓÐÑØ ÒÐÖ Ò ÑÒ Ö Ñ ¾ Ó ÔÖ ÓÒÖº ÎÐÐ ÑÒ Ö Ø ÚÖÖ Ò ÑÒ ØÖØ ÖØ n ÔÖ ÓÒÖº Ø Ò ÙÒÖ Ò ÖÖÒ ÐÚÖÙÔÔ ÓÑ ÚØ ØØ Ø ÖÙÖ ÚÖ Ò Ö ØØ Ö Ñ ÒÐ ÐÐÒ ÚÒ ÓÑ ÑÒ ÒØ Ö Ø Ø Ñºµ ¾º½ ÒÚÒÖØ ÑØÖÐ ÈÔÔÖ ÔÒÒÓÖ Ö ÖÖ ÐÒк ¾º¾ ËÚÖ ØÐÐ ÖÙÒÔÖÓÐÑØ µ ÖÑÖº µ ½¼ ÖÑÖº µ ÖÑÖº µ ½¼ ÖÑÖº ( ) n µ = 1+2+ +(n 1) = n(n 1) 2 2 µ = n2 n 2 ÖÑÖº ¾º ËÚÖ ØÐÐ ÙØÚÒÒÖÒ Ä ÐÐÖ ÓÐ Ù ÐÐÖ ÑÒØ µ µ ÇÑ Ø ÒØ ÐÚØ ØÑÒ ØÓÒ ØÚ Ð ÚÖ Ö ÒÓØ ÐÚØ Ð ÓÖÒÒº µ Ë Ð ÒÒ ØÖØÖº µ ÇÑ Ø ÒØ Ö ØØ ÑÒØ ÒØÐ ÓÑ Ö Ù ÚÖÒ Ö ÒÓØ ÐÚØ Ðº µ Ë Ð ÒÒ ØÖØÖº Ø ÔÖ µ ÔÖ ÓÒÖº µ ÔÖ ÓÒÖº ¾º ÅØÑØ Ø ÒÒÐÐ ÖÙÒ ÔÖ ÓÐÙØ ÒÚÒØ ØÓÒ Ó ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÎÖÐÖÔÔØ ½ ¾µ

ÍØÝØ ÜØ Ú ÑÒ Ö ÖÓÖ Ô ÚÐ Ú Ð ÒÒ ÑØÓÖÒ ÑÒ ÓÑÑÖ Ôº ÈÖÓÐÑ ØÖÙØÙÖÖÒ ÅÓÐÐÖÒ Ñ Öµ ÐÖ ÑØÓÖ Ö ÑÑ ÔÖÓÐÑ ÃÓÑÒØÓÒ Ú Ð ÒÒ ØÖØÖ Ò ÒÝ Ò ØÖ ÅÒ ØÖÒÒÒÒ ÖÔÔ ÖØÑØ ØÐÐ ÙÑÑ Ú ÖØÑØ ØÐÐ ÐÖ ÓÖÑÐ ÓÑÒØÓÖÒ ØÓÒ ¹ Ó ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÔÖÒÔÖ ÖÙÖ ÓÒ ÙÖÚÐ Ñ Ó ÙØÒ ÓÖÒÒ Ó ØÖÐÒÒµ Ú Ú Ð ÒÒÖ ÓÖÖØØ ¹ÐÒÖ ÑÒ ÔÓ Ø ÔÖÒÔÒ Ù Ó ÑÒ ØÐ ¾º Ä ÒÒ ØÖØÖ ØÐÐ ÖÙÒÔÖÓÐÑØ ÌÐÐ Ó ÐØ ÑÒ ØÖ ÇÚ ØØ ÙÖ ÑÒ ØØØÖ Ô ÔÖÓÐÑØ Ò ÑÒ ÑÐ Ö Ùй ØØÒ Ò ØÐÐ Ö ÑÒ Ò Ö Ö ØØ ÑÒ ØÖº ÈÖ ÓÒÖ 1 2 3 4 5... ÃÖÑÖ 0 1 3 6 10... Ø Ö ÒØ ØÖÓÐØ ØØ ÑÒ ÐÝ Ð ÙØ ÒÖÖ ÓÖÑÐÒ ÙÖ ØØ ÑÒ Ý ØÑØ Ö ÒÒÖÒ Ö ÒØ ÚÖØ ØØ º ÖÓÔ¹Ò ÒØ ØØ ÔÖ ÓÒÖÒ ÓÑÑÖ Ò Øغ ÎÖ ÔÖ ÓÒ ØÖ Ó ÖÑÖ ÐÐ ÓÑ ÖÒ Ö Ô ÔÖØÝØ ÒÖ Ò ÒÐÒÖº ØØ ÒØÐ Ö ØØ ÑÒÖ Ò ÔÖ ÓÒÒ ÒÙѹ ÑÖ ÔÖ ÓÒ ÖÑÖ ÓÑ ÖÒ Ö Öµº Ö 1+2+3+ +(n 1) ÖÑÖº È Ö ËØÐÐ ÙÔÔ ÔÖ ÓÒÖÒ Ô Öº ÈÖ ÓÒ ½ Ö ÙØÑ ÖÒ Ó ÖÑÖ n 1 Ú¹ Ö ÔÖ ÓÒÖÒº ËÒ ÔÖ ÓÒ ½ ÒØ ÖÑ ÒÓÒ ÑÖ ÙØÒ Ö ÙÒÒº ÈÖ ÓÒ ¾ Ö ÒÙ ÙØÑ ÖÒ Ó ÖÑÖ n 2 ÚÖº Ç ÚÖº Ö (n 1)+(n 2)+ + 2+1 ÖÑÖº Ø ÒÒ ØØ ÒØÐ ÒÖ ØØ ØØ Ú ÙÐ Ö ÔÖÓ Ò ÓÑ ÐÖ ØÐÐ ÒÒ ÓÖÑк Âѹ Ö Ó Ö ÓÒÑÒ ½ Ó ¾ ÔÖÓÐÑØ Ð ÖÒ Ô Ò ºµ ÖÙÐÖ Î ÒØÖ ØØ n Ö ÑÒغ ËØÐÐ ÙÔÔ ÔÖ ÓÒÖÒ Ô ØÚ ÖÖ Ñ n/2 ÔÖ ÓÒÖ ÑØØ ÑÓØ ÚÖÒÖº ÐÐ ÖÑÖ ÔÖ ÓÒÒ ÑØØ ÑÓغ ËÒ ÝØØÖ ÖÖÒ Ø ¹ Öº Ò ÓÑ ØÓ ÐÒ Ø ØÐÐ Ö ÝØØÖ ÚÖ ØÐÐ ÚÒ ØÖ Ø ÔÓ ØÓÒÒ ÒÖ ÖÒº ÍÔÔÖÔ ØÐÐ Ú Ö ØÐÐ Ô ÙÖ ÔÖÙÒ ÙÔÔ ØÐÐÒÒÒº Ö n 1 ÙÔÔ ØÐÐÒÒÖ Ö Ø ÚÖ Ò Ö n/2 ÖÑÖ (n 1) n/2 ØÓØÐغ Ê ÓÒÑÒØ Ò ÑÓÖ ØÐÐ Ù ÒØÐ Ö Ò ÔÖ ÓÒ Ö Ø ÚÖ ÚÖ Øº Ç ÐÐ ÖÚÐÔÖÒÔÒ ÙÚ Ð ÔÖÒÔÒ Ó ÐÓÐ ÔÖÒÔÒ ÐØÖÒØÚ ÚÖ ØØÒÒÖ Ú ÔÓÒ ÓÐ ÔÖÒÔк ½ ¾µ

ÖÙÒ ÓÐ ÅÙÐØÔÐØÓÒ ÔÖÒÔÒ ÎÖ Ó Ò Ú n ÔÖ ÓÒÖÒ ÖÑÖ n 1 ÒÖº ÐÖ n(n 1)º Ø Ú Ö ÙÐÖÒØ ÚÖ ÖÑ Ö ÓÑÑØ Ñ Ô ØÚ ÔÖ ÓÒÖ ÓÒ¹ ØÓÒº ÀÐÚÖº ØØ Ö ÓÒÖ Ö ÑÒ Ñ ÐÚÖÒÒ Ö Ò ÚÒÐغ ÂÑÖ Ó Ö ÓÒ¹ ÑÒ Ð ÖÒ Ò ºµ ÅÓÐÐÖÒ Ñ Ö ÊÔÖ ÒØÖ ÚÖ ÔÖ ÓÒ Ñ Ò ÔÐÙÔÔ Ó Ö ØØ ØÖ Ñй ÐÒ ÚÖ ÔÖ Ú ÔÖ ÓÒÖ Ö ØØ ÖÔÖ ÒØÖ ÖÑÒº ÒÐÝ Ö ÒØÐØ ØÖº Ö ØÖÓ¹ ÐÒ ÒØÒÒ Ô Ö ÐÐÖ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÔÖÒÔÒ ÓÑ Ö ÙÐØغµ ØØ Ö ÐÐØ ØØ ÜÑÔÐ Ô Ø ÓÑ ÒÓÑ Ò ÖØ ÑØÑØÒ ÐÐ ÖØÓÖº ÈÐÙÔÔÖÒ ÖÙÖ ÐÐ ÒÓÖ ÐÐÖ ÖÒ Ó ØÖÒ ÒØÖº ÇÑ ÒÒ ÓÑÑÖ ØØ ØÒ Ô ØØ Ö Ö Ö ÑÒ Ú Ø ØÒÒ Ö ÒÖÐÐØ ÒÚÒÖ ØØ ÑÒ Ö ØØ Òº ÃÐ ÓÑÒØÓÖ ÇÑ ÒÓÒ ÖÖ ÙÒÒ ØÒÖÓÑÒØÓÖ Ò Ò ÔÖÓ¹ ÐÑØ ÓÑ ÒØÐ ØØ ØØ Ø ÙØ ¾ ÔÖ ÓÒÖ ÐÒ n ÑÐ ÙØÒ Ò ÝÒ ØÐÐ ÓÖÒÒ Ó ÙØÒ ØÖÐÒÒº ÎÖ Ò ÙØØÒÒ ÑÓØ ÚÖÖ Ò ÖÑ ÓÑ Ö º ØØ Ò ÖÒ ÓÑ ØØ ÒÓÑÐØÐ ( ) n n! = 2 2!(n 2)! = n(n 1) 2 1 ËÙÑÑÒ Ø Ö ÓÒÑÒÒ ÐÒÖ Ô ÙÑÑÒ Ú Ò ÖØÑØ ØÐк ÇÐ ØØ ØØ Ö ÓÒÖ Ö ØØ ÖÒ ÙÑÑÒ ØÐÐ n(n 1)/2 ÒÒ ÖÚÒ Ð ÖÒ Ô Ò º ¾º Ä ÒÒ ØÖØÖ ØÐÐ ÙØÚÒÒÖÒ Ä ÐÐÖ ÓÐ Ù ÐÐÖ ÑÒØ ÎÖÖ ØÚ Ñ Ø ÑÑ ÒØÐ ÈÓ Ø ÔÖÒÔÒ ÌÒÖ ÒØÐ Ö ÐÐØ ÑÐÐÒ ¼ ÖÑ ÒÒµ Ó n 1 ÖÑ Ðеº ØØ Ö n ÑÐ ÒØк ÀÖ ÒÒ Ö Ö Ò ÔÓ Ø ÖÖÓÖ ØØ ÑÒ ØÖÓÖ ØØ ØÖ ÓÑ Ø ÚÖØ Ö n 1 Ö ÒØÐØ ÚÖÒ n 1ºµ Ó Ò ÒØ ¼ Ó n 1 Ü ØÖ ÑØØ ÒÒ Ø Ò ¼ ÒÒ Ø ÒØ Ò n 1 Ó ØÚÖØÓѺ ÇÑ ÒÓÒ ÖÑØ ÒÒ Ò Ø ÒØ ÑØØ ÒÒ ÒÓÒ ÓÑ Ö¹ ÑØ Ðкµ Ë Ø ÒÒ ÐÐØ n 1 ÑØØ ÑÐ ÚÖÒº Ë ÒÙ n 1 ÚÖÒ ÓÑ ÔÓ Ø Ó n ÔÖ ÓÒÖÒ ÓÑ ÖÚº ÎÖ ÔÖ ÓÒ ØØ ÚÖ ÚÐØ ÑÓØ ÚÖÖ ØØ ÖÚØ ØÓÔÔ Ò ØØ ÖÚº n 1 ÔÓ Ø Ö ½ ¾µ

n ÖÚ ÖÖ ÒØ ØÐÐ Ö ØØ ÐÐ ÖÚÒ ÙÒÒ ÑÒ ÓÐ º Ë ØÑÒ ØÓÒ ØÚ Ñ Ø ÑÒ ÓÔº Ø Ö ÐÐØ ØØ ÓÑ ÐÐ ÔÓ Ø ÔÖÒÔÒºµ ÎÖÖ Ø ÒÒ ØØ ÑÒØ ÒØÐ ÙÖÑÖ ÙÐÖÒÒ ÎÖ ÖÑ ÒÚÓÐÚÖÖ ¾ ÔÖ ÓÒÖ ÓÑ ÑÒ ÖÖ ÐÐ ÙÖ ÑÒ ÖÑØ Ö ÑÒ ÒØÐØ ÖÑÖ ÒÖ ¾ ÚÐØ Ö ØØ ÑÒØ Øк Ë ÑÒ Ö ÖÑ ØØ ÑÒØ ØÐ Ñ Ø ÑÒ Ø ØØ ÑÒØ ÒØÐ Ù ØÐ Ó ÚÐÖØØ ÒØÐ ÑÒ Øе Ò¹ ÒÖ ÐÖ ÚÖØ Ùº Ë Ø Ñ Ø ÚÖ ØØ ÑÒØ ÒØÐ Ù¹ÖÑÖº ÁÒÙØÓÒ ÁÒÒÒ ÒÖ ÐÐ ÖÑØ ÒÒ Ø ¼ ÔÖ ÓÒÖ ÓÑ ÖÑØ ØØ Ù ÒØÐ ÒÖº Î ÒÖ Ò ÒÖ ÓÐ ÖØ ÖÑ ÇÑ ØÚ ÓÑ ÖÑØ ØØ Ù ÒØÐ ÒÖ ÖÑÖ ÚÖÒÖ ÐÖ Ñ¹ Ò Ó ÒØÐØ Ù ÖÑÖ Ö ÑÒ Ø Ñ ØÚº ÎÖ ÒØÐØ ÑÒØ ÒÒÒ Ö Ø ÓÖØÖÒ ÑÒغ ÇÑ ØÚ ÑÒ ÖÑ ÓÑÚÒÐ ØÐÐ Ù Ó ÒØÐØ Ù ÖÑÖ Ö Ñ ØÚº ÎÖ ÒØÐØ ÑÒØ ÒÒÒ Ö Ø ÓÖØÖÒ ÑÒغ Ç ÓÑ Ò ÑÒ ÖÑÖ Ò Ù ÝØÖ ØÓÖ Ñ ÚÖÒÖ Ó ÒØÐØ Ù ÖÑÖ Ö ÓÖÒÖغ ÎÖ ÒØÐØ ÑÒØ ÒÒÒ Ö Ø ÑÒØ ØÖº ÒØÐØ Ù ÖÑÖ ÚÖ ÑÒØ ÖÒ ÖÒ Ó ÒØ Ú Ö Ò ÒÖ Ô Øغ Ø ÓÖØ ØØÖ ØØ ÚÖ ÑÒغ ÅÓÐÐÖÒ Ñ Ö ÖÑÓÐÐÒ Ò Ó Ö ÚÖ ÒÚÒÖº ÎÖ ÔÖ ÓÒ Ö¹ ÔÖ ÒØÖ Ñ Ò ÒÓ ÖÑÖ ÓÑ Ö Ú ÒØÖº Ö ÚÖ ÒÓ Ò ÑÒ ØÙÖ ÒØÐØ ÒØÖ ÓÑ Ò ÐÙØÖ ØÐÐ ÒÓÒ ÒÓÒ Ö ÐÐÖ ÚÐÒ º ÖÒ Ó Ò ÒÓ ÑÓع ÚÖÖ ÒØÐØ ÖÑÖ ÓÑ ÔÖ ÓÒÒ ÐØØ º ØÖ ÓÑ ÚÖ ÒØ Ö ØÚ ÒÖ Óѹ ÑÖ ÙÑÑÒ Ú ÖØÐÒ Ð ØÚ ÒÖ ÒØÐ ÒØÖ ÚÐØ Ö ØØ ÑÒØ Øк Ç Ò ÙÑÑ ÓÑ ÐÖ ÑÒ Ñ Ø ÒÒÐÐ ØØ ÑÒØ ÒØÐ Ù ØÖÑÖº Ò ÖØÓÖØ Ø ÓÑ Ö ØØ ÒØÐØ ÒÓÖ Ñ Ù Ö Ö ÑÒØ ÐÐ Ò ÒÒ ÐÑÑØ Ù Ø ÖØ Ô Ø Ö ÔÖÓÐÑØ ÓÑ ÓØ Ø ÓÖÑÙÐÖ ÓÑ Ö¹ ÒÒ Ú Ò ÒÒÖºµ Ø ÔÖ ØÖ ÓÑ ÒÒ Ø Ò Ñ ÐÐ ÚÖ ÑÜÑÐ ÒØÐØ Ò ÒÒÖ º ÇÑ ØÐÐÖ Ú ÓÐ ÚÖ Ñ Ø ÚÖ ØÐÒ ¼ ØÐÐ º Ê ÓÒÑÒ ÓÖ Ò ÓÑ Ò Ñ ÔÖ ÓÒÖ Ñ Ø ÓÖØ Ø Ñ ÐÐ ÙØÓÑ Ò ÓÑ ¹ Ò Ñ ÒÓÐÐ ØÝÒº ÀÖ ÐÒ ÒÒØ Ø Ò Ñ ÑÒº Ò Ñ ÒÓÐÐ ÒÒÖ Ñ Ø ÚÖ Ò ÓÑ Ö Ø Ñ ÒÒ ÔÖ ÓÒº Ò ÓÑ Ò Ñ ÔÖ ÓÒÖ Ñ Ø ÓÖØ Ø Ñ ÐÐ ÙØÓÑ ÒÓÐÐÒ ÓÑ ÒØ Ø Ñ ÒÓÒµ Ó ØØÒ ÓÑ ÖÒ ÓÖØ Ú Ñ Ò ÒÒ Ô ÜÒµº ÀÖ ÐÐØ Ø Ò Ñ ÑÒº ØØÒ Ñ Ø ÚÖ Ø Ñ Ò Ö ÔÖ¹ ÓÒÒº Ò ÓÑ Ò Ñ ÔÖ ÓÒÖ Ñ Ø ÓÖØ Ø Ñ ÐÐ ÙØÓÑ ÒÓÐÐÒ Ø¹ ØÒ Ó ØÚÒ Ö Ö ÓÖØ Ú Ñ Ò ÒÒÖ Ô ÖÒ ÔÖ ÓÒÖº ÀÖ Ø Ò Ñ ÑÒ Ñ Ø ÚÖ Ø Ñ ØÚÒº ÌÖÒ ÒÒ Ñ ÐÒ ÓÑ Ø Ñ ÜÒ ÑÑÒ Ó ÝÖÒ Ó ÐÐØ ÒØ Ò Ñ ÒÓÒ ÑÖº Ë ÑÒ Ö ØÖ ÒÒÖ Ú ÖÒ Óѹ ¼ ½ ¾µ

ÖÙÒ ÓÐ ÒÑÒØ Ó Ò ÑÖº Ç ÑÒ Ó ØÖÒ Ñ Ø ÚÖ Ø Ñ ÚÖÒÖ Ö Ø ÒÒ Ò ÒÖ ÚÖ ÓÑ ÙÐÐ ÙÒÒ ÚÖ Ø Ñ ÙØ ÐÙØÒÒ ÑØÓÒµº Ö Ð ÒÒ Ø ÖÒ Ö ÓÒÑÒØ Ò Ó ÒÓÑÖ Ö Ø ÒÓÑ ØØ ÑÒ ÖØÖ Ò ÒÓ Ö ÚÖ ÔÖ ÓÒ Ó ÖÖ ÒØÖ Ö Ò ÒÒÖÒº ¾ ½ ¼ ½ ½ ¾µ

ÌÓÖÒØ ÈÖÓÐÑØ Ö ØØ ÙÖ Ê ÑØÑØ ÔÖÓÐÑ Ú ÃÖ ØÒ ÀÐÒ ÊÓÐ ÀÖÒ Ó Ú ÌÒ ÖØØÖÒ Ó ÄÖ ¾¼¼º ØÖÚØ Ñ ØÐÐ ØÒº ÓÒ ÐÖÖ ÓÖ Ò¹ ÒÐÐÖ ØÝÐØ ÑÖ Ò Ú Ú ØØ ÖÙÑ Ñ Öº ÈÖÓÐÑØ Ö Ò ÚÒÖØ Ó Ø Ö ÖÖ Ö ÓÑ ÑÒ Ö ÓÖØ ÒÖ ÐØ ÐØØÖ ÑÒ ØÖÔÖÓÐÑ ÒÒÒº Ø ÒÒ Ó ÑÐØ ØØ ÖÒÐ ÔÖÓÐÑØ ØºÜº ØÐÐ Ö Ò ØÖÔÔ Ó ÓÖÑÙÐÖ ÑÓØ ÚÖÒ ÖÓÖ ÖØ Ô Òº º½ ÒÚÒÖØ ÑØÖÐ ÃÐÓ Ö ØÓÖØ ÒØеº ÊÙØØ ÔÔÔÖ ÐÒк ÚÒØÙÐÐØ ÑÒÖÒÖº º¾ ËÚÖ ½µ ¾ ÙÖº ¾µ ¾ ÙÖº µ 1+5+ +(4(n 1)+1 ) = 4 (1+2+ +(n 1) ) +n = n(2n 1) ÙÖº µ º ÅØÑØ Ø ÒÒÐÐ ÆÓØ ÓÑ ÑØÑØÒ ÔÖÓÐÑØ ÙÖ Ê ÑØÑØ ÔÖÓÐѺ ÀÖ ÐÖ Ò ÓÖØØØ Ð Ø Ñ ÜÑÔÐ Ô ÑØÑØ ÙÒ ÔÖ ÓÑ ÐÚÖ Ó Ð¹ ÖÖ Ò ÒÚÒ Ú Ó ÙØÚÐ ÙÒÖ Ð ÒÒÒ Ú ÔÖÓÐÑØ ÒØÙÖÐ ØÐ ØÐÐ ÑÒ ØÖ ÖØÑØ ØÐÐ Ö ÔÐÒÓÑØÖ ÙÖÖ ÖÝÑÓÑØÖ ÙÖÖ ÚÖÐÖÔÔ ÓÖÑк º Ä ÒÒ ØÖØÖ ÃÓÖØØØ ÜÑÔÐ Ô Ð ÒÒÖ Ú ÔÖÓÐÑØ ÌÓÖÒØ ÙÖ Ê ÑØÑØ ÔÖÓÐѺ ÒÚÒ ÓÒÖØ ÑØÖÐ Ý ÙÔÔ ØÓÖÒØ Ô ÖØØ Ñ ÐÔ Ú ÒÓÒ ØÝÔ Ú ÐÓ ¹ Öº ÊÒ ÐÓ ÖÒº Ö ØØ ÑØÑØ ÑÒ ØÖº ÇÑ ÑÒ ÐÖ ÐÓ ÖÒ ÔÐÒ Ö ÔÐÒ ÖÚ ÚÖÒÖ ÓÑ ÙÖÒ ÒÒ Ò ÑÒ ÜÑÔÐÚ ÙÔÔØ ØØ Ø Ö Ñ ÐÓ Ö Ö ÚÖ ÒÝØØ ÔÐÒº ¾ ½ ¾µ

ÈÖ ÑÒ ÓÔ Ñ ÓÑ ÙÖÒ ÒÒ Ò ÑÒ ÐØØ ÙÔÔØ ØØ ØÓØÐ ÒØÐØ ÐÓ ¹ Ö ØØ ¹ÚÒÒ ØÓÖÒ Ö 4 7 = 28 غ ÊØ Ò Ð ½ Ð ØÒÒ ÙÔÔ ØÓÖÒØ ÔÐÒ ÙÖÖ Ó ÖØ Ñº ÊÒ ÙÖÒº Ö ØØ ÑØÑØ ÑÒ ØÖº ÀÖ Ò ÑÒ ÜÑÔÐÚ ÙÔÔØ ØØ ÒØÐØ ØÖ ¹ÚÒÒ ØÓÖÒØ Ö 4 (1+2+3)+4 = 4 6+4 = 28 È ÑÓØ ÚÖÒ ØØ Ò ÑÒ ÖØ ÙÔÔ Ó ÖÒ ÙØ ÐÔÖÓÐÑ 4 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)+12 = 4 66+12 = 276 ÊØ Ò Ð ¾ ËØØ ØÒÒ ÑÑÒ ÙÖÒ Ô ØØ ØØ ÓÑ ÙÒÖÐØØÖ ÙØÖÒÒØ Ú ØÓØÐ ÒØÐØ ÙÖ ØÐÐ ÜÑÔÐ ÓÑ Ò ÖØÒк Ö ØØ ÑØÑØ ÑÒ ¹ ØÖº Á ÙÖÒ ÓÚÒ Ö ØÚ Ú ØÓÖÒØ ÚÒÖ ÐØ ÙÔÔ Ó Ò ÑÓØ ÒÖ ØÚº ÅØØÔй ÖÒ Ö ÚÖ ÑØØÒº ÀÖ Ò ÑÒ ØØ ÓÑ ØÓÖÒØ Ö n ØÖ Ø Ö ÖØÒÐÒ n Ó ÖØÒÐÒ Ö (2n 1) n Ö ØÓØÐ ÒØÐØ ØÖ n(2n 1)º (n 1)+1+(n 1) = 2n 1 ½ ¾µ

Ö Ò ØÐÐ ÌÒ ÙØ ÙÖ ÑÒ ÙÖ Ø ÒÒ Ô ÔÐÒ ØÖ ÔÐÒº Ö ÙÔÔÖÒº ÒØÒ Ö ÙÐØØØ Ò ØÐк Ö ØØ ÑØÑØ ÑÒ ØÖº ÙÔÔÖÒ ØØ ÒØÐ ÙÖ Ô ÔÐÒØ ØÓØÐØ ÒØÐ ÙÖ ÔÐÒ ½ 1+4 0 = 1 ½ ÔÐÒ ¾ 1+4 1 = 5 1+5 = 6 ÔÐÒ 1+4 2 = 9 1+5+9 = 15 ÔÐÒ 1+4 3 = 13 1+5+9+13 = 28 ÁÒ ØÖ Ø Ö Ñ ÙÖ Ö ÚÖ ÒÝØØ ÔÐÒº ÌÓØÐ ÒØÐØ ÙÖ Ö ÙÑÑÒ Ú Ò ÖØÑØ ØÐÐ Ö Ø Ö ÑÐÐÒ ÚÖ ØÐ Ö Ø Ö Ø ØÐØ Ö ½ Ó Ø Ø ØÐØ Ö ÒØÐØ ÙÖ ØØ ÔÐÒº º º º ÔÐÒ ½¾ 1+4 11 = 45 ÔÐÒ Ò 1+4 (Ò 1) = = 4Ò 3 (1+45)12 = 276 2 1+ +(4Ò 3) = ( ) = Ò 1+(4Ò 3) = 2 = Ò(2Ò 1) Ø Ò ÔÖÓÐÑØ ÆÖ Ø ÐÐÖ Ø Ò ÑØÑØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑØ Ö Ø ÓÑ Ú Ö Ø Ö ÓÑ ÐÒ ÔÙÒØÖ ÒÒ Ñ Ø Ö ÒÐ ÓÑ Ò ØÖÑÒ ÓÒÐÐ ÙÖ ÓÑ Ý Ú ÑÒÖ Ð ØÓÖ ÐÖ Ð ÖÒ ÙÔÔØ ØØ ÙÖÒ ÚÜÖ Ô ØØ ØÑØ ØØ Ð ÖÒ ÙÒÒ ÖÚ ØÓØÐ ÒØÐØ ÑÐÖ ÙÖÒ Ñ ÐÔ Ú ÙÑÑÒ Ú Ò ÖØÑØ ØÐÐ Ð ÖÒ ÖÓÖØ ÒÒ ÙÑÑ ØÐÐ Ò ÒÖÐÐ ÓÖÑÐ Ö n ÒÖ Ð ÖÒ ÙÔÔÑÒ ØØ ØØ Ô ØØ Ø ÐÒÒ ÔÖÓÐÑ Ó Ð Øº Ë ÚÒ Ð ØÒ ÙÒÖ ÖÙÖÒ ÆÓØ ÓÑ ÑØÑØÒ ÔÖÓÐÑغ ÎÐÒ ÑØÑØ Ö ÐÚÒ ØØ Ñ ØØ Ø ÔÖÓÐÑ ½ ¾µ

Ù Ö Ô Ö ÈÖÓÐÑØ Ö ØØ ÙÖ ¾ Ö ÔÖÓÐÑ ÑØÑØ Ú ÅÖ ÄÖ ÓÒ ÅÖ ÄÖ ÓÒ Ó ÄÖ ¾¼¼º ØÖÚØ Ñ ØÐÐ ØÒº º½ ÒÚÒÖØ ÑØÖÐ ÊÙØØ ÔÔÔÖ ÐÒÐ ÖÔÒÒÓÖº ÃÚÖØ ÔÐØØÓÖ ÐÐÖ ÐÓ Ö ØÚ ÖÖ ØºÜº ÑÓ Ð Ö ÒØ ÓÖØ ÓÑ ÑÒ ÒÝ Öº º º µ ÚÒØÙÐÐØ ÑÒÖÒÖº º¾ ËÚÖ ØÐÐ ÖÙÒÔÖÓÐÑØ ½º µ ¾ ÔÐØØÓÖº µ ¾ ÔÐØØÓÖº µ ÔÐØØÓÖº µ ¼ ÔÐØØÓÖº µ 5n+3 ÔÐØØÓÖº ¾º ½ Ù Öº º º º ËÚÖ ØÐÐ ÙØÚÒÒÖÒ ½º µ ¾½ ÔÐØØÐÒÖ µ ¾ ÔÐØØÐÒÖ µ ÔÐØØÐÒÖ µ ¼ ÔÐØØÐÒÖ µ 4n+5 ÔÐØØÐÒÖ ¾º µ ¾ ÔÐØØÖÓÖ µ ÔÐØØÖÓÖ µ ÔÐØØÖÓÖ µ ¼ ÔÐØØÖÓÖ µ 3 (2n+1) ÔÐØØÖÓÖ º µ 4 /27 14,8% ÓÖ µ 5 /33 15,2% ÓÖ µ 10 /63 15,9% ÓÖ µ 100 /603 16,6% ÓÖ µ n /3 (2n+1) ÓÖº º ÒÐÒ ÓÖ Ö ÑÓØ 1 /6 1,667%º º ÅØÑØ Ø ÒÒÐÐ ØØ Ú ÒØØ Ö ÒÝ ÖÚØ ØÐÐ ÔÖÓÐÑÒÒº ÖÙÒ ÔÖ Ö ØØ ÚÖ ÙÚÙ ØØ ÙÒÒ Ö ÒÓØ Ñ ÙÔÔØÒ ØÓÒ Ó ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ó ÑÒØ ÑÐÐÒ ÖÒ Øصº Ö ØØ ÙÐÐØ ÙØÝØ ÐÖ ÒÓØØÓÒ Ñ ÚÖе ½ ¾µ

ÐÖ ÓÑ ÖÚÒÒÖ ÒÐÙ Ú ØÖÙØÚ ÐÒµ ÚØÓÒ Ð ÒÒº ÇÑ ÑÒ ÚÐÖ ØØ Ò Ô ÙØÚÒÒÖÒ Ö ÍØÝØ ÇÐ ØÖØÖ Ö ÑÑ ÔÖÓÐÑ ÅÒ ØÖÒÒÒÒ ÓÖÑÙÐÖÒ Ú ÚÖÐØ ÔÖÓÐÑ ÑØÑØ ØÖÑÖ ÑÓÐÐÖÒµ ÇÐ ØØ ØØ ÓÖÑÙÐÖ ÐÖ ÙØØÖÝ Ó ÙÖ Ò ÓÑÓÖÑ ØÐÐ ÚÖÒÖº ÍØØÖÝØ ÓÖÑ ÖÐØÓÒ ØÐÐ Ò ÖÚÒ ÚÖÐØÒº ÈÖÒØ Ö Ó ÔÖÓÖØØ ÓÖÒÒ ÖÔÔ ÐÒÖ ÑÒ ÐÖ ÓÖÑÐÖ Ö ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒ º Ä ÒÒ ØÖØÖ ØÐÐ ÖÙÒÔÖÓÐÑØ ØØ Ú ÒØØ Ö ØØ ÙÖ ¾ Ö ÔÖÓÐÑ ÑØÑغ ÒÚÒ ÓÒÖØ ÑØÖÐ ÇÑ ÑÒ ÐÖ ÔÐØØÓÖ Ñ ØÐÐ ÜÑÔÐ ØÒÖ ÐÓ ÐÐÖ ØÖÒÒÖ Ö Ø ØØ ØØ ÑÒ Ö ÚÖ Ù ÐÖ ØÐÐ ÔÐØØÓÖ Ñ ÓÖÑÒ Ú ØØ ÔÐÚÒØ º ÒØÐØ ÔÐØØÓÖ Ö ÐÐØ Ñ Ö ÚÖ ÒÝ Ù º ØÖ ÓÑ ÑÒ ØÖØÖ Ñ ÐÓÖØ ÔÐØØÓÖ ÑØ ØØ ÔÐÚÒØ Ñ Ø ÓÖÑÐÒ Ö ÒØÐ ÔÐØØÓÖ ÚÖ 3 + 5n = 5n + 3 Ö n Ö ÒØÐØ Ù Öº ËØØ ÙÔÔ Ò ØÐÐ ÒØÐ Ù Ö ÒØÐ ÔÐØØÓÖ 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28...... 10 53...... 15 78...... n 5n+3 Ö ÚÖ ÒÝ Ù Ö ÒØÐØ ÔÐØØÓÖ Ñ º ØÖ ÓÑ Ø Ö ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ Ò Ö Ø Ù Ò Ò ÓÖÑÐÒ ÖÚ ÓÑ 5n+3 Ö n Ö ÒØÐØ Ù Öº ½ ¾µ

ÊØ Ò Ð Ó Ö ÓÒÖ ÐÓ Ø ÅÒ Ò ÙØ ÖÒ ÐÓÖØ ÖÖ Ú ÔÐØØÓÖº Åй ÐÒ ÚÖ Ù ÑØ ÒÖÒ Ö Ø Ò ÐÓÖØ Ö Ñ ØÖ ÔÐØØÓÖº ËÒ Ö Ø ÚÒ Ò ÔÐØØ ÚÖ Ó ÙÒÖ ÚÖ Ù º ÇÑ Ò Ö ÒØÐØ Ù Ö Ò ÒØÐ ÔÐØØÓÖ ÚÖ Ó ÙÒÖ Ù ÖÒ ÙØØÖÝ ÓÑ 2n Ó ÒØÐ ÔÐØØÓÖ ÑÐÐÒ Ù ÖÒ Ó Ú ÒÖ¹ Ò Ò ØÐÐ ÑÑÒ ÙØØÖÝ ÓÑ 3(n + 1)º ÌÓØÐ ÒØÐØ ÔÐØØÓÖ Ò ÙØØÖÝ ÓÑ 2n+3(n+1) = 2n+3n+3 = 5n+3 Ö n Ö ÒØÐØ Ù Öº ØØ ÐØÖÒØÚØ Ö ÓÒÑÒ Ö ØØ ÙØ ÖÒ ÓÖ ÓÒØÐÐ ÖÖ Ú ÔÐØØÓÖº Ò ÚÖ Ó ÙÒÖ ÖÒ ØÖ ÚÖÖ Ú 2n+1 ÔÐØØÓÖº ÈÐØØÓÖÒ ÑÐÐÒ Ù ÖÒ ÑØ ÒÖÒ Ö n + 1 ØÝÒº ÌÓØÐØ Ö Ø (2n +1) + (2n+1) +(n + 1) = 5n +3 ÔÐØØÓÖ Ö n Ö ÒØÐØ Ù Öº ØØ ØÖ Ö ÓÒÑÒ Ö ØØ ÙØ ÖÒ Ð ÖØÒÐÒ Ó Ò Ö ÖÒ Ù ÔÐÒع ÖÒÖÒº ÌÓØÐ ÒØÐØ ÔÐØØÓÖ ÐÖ 3(2n+1) n = 6n+3 n = 5n+3 Ö n Ö ÒØÐØ Ù Öº ËØÐÐ ÙÔÔ Ò ÚØÓÒ Ö ØØ Ø Ö Ô ÙÖ ÑÒ Ù Ö ÑÐÐ Ñ Ø ÔÐÒØÖ ÓÑ ÓÒ Ö ¾¼ ÔÐØØÓÖ Ò ÑÒ ØÐÐ ÙÔÔ ÐÒ ÚØÓÒ Ö n Ö ÒØÐØ Ù Ö Ø ÒÒ ÐÐØ ÙØÖÝÑÑ Ö ½ Ù Öº 5n+3 = 208 5n = 205 n = 205 5 = 41 ÐÒ Ð ÒÒ ÚÖÒØÖ ÒÒ ÒØ Ñ ¾ Ö ÔÖÓÐÑ ÙØÒ Ö ÚÖÓÖÖØ Ú ÐÖÖ ÓÑ ÒÚÒØ ÓÒ ÐÖ ÐÐØÖÒØÚ ÊÙÒØ ÚÖ Ù ÐÖ ÔÐØØÓÖº 8n Ö Ó ÙÐÖÒÒ Ú ÔÐØØÓÖ ÓÑ ÐÖ ÑÐÐÒ ØÚ Ù Öº ÒÒ n 1 Ò ÔÐØØÓÐÙÑÒÖ Ñ ÔÐع ØÓÖ ÚÖº Ö 8n 3(n 1) ÔÐØØÓÖº ÃÚÖØÒ ÖÙÒØ Ö Ø Ù Ò Ò ÓÑ ÓÔ ØØ Ú Ú ØÚ Ä¹ÓÖÑ ØÖ Ñ ÔÐع ØÓÖ ÚÖº Ö ÚÖ Ù ÑÒ Ò ÐÖ ØÐÐ ÐÖ ÑÒ Ô ÝØØÖÐÖ ØØ Ä Ó ÙØÓÑ Ò ÔÐØØ ÒØÒº Ö 4(n+1)+(n 1) ÔÐØØÓÖº ½ ¾µ

º Ä ÒÒ ØÖØÖ ØÐÐ ÙØÚÒÒÖÒ ØØ Ú ÒØØ Ö ÒÝ ÖÚØ ØÐÐ ÔÖÓÐÑÒÒº Á ÔÖÒÔ ÐÐ ÑØÓÖÒ Ó ØØÒ ØØ Ô ÑÒ ØÖØ Ò Ó ÒÚÒ Öº Ò Ø ÐÙÔÔØÒ ÒÒÐÐÖ Ó ÐØ ÒÝØØ ÖÒ ÚÖ Ö ÓÒÑÒ ÒÐÒ ÓÖ ÐÖ n 3(2n+1) n 3 2n = 1 6 ÆÖ n Ö ØÓÖØ ÐÖ ½Ò Ö ÙÑÖ ÖÐÐÒ ØÐÐ ÚÖ ÚÖÒº ÅÒ Ò Ó Ø ÓÑ ØØ ÚÖ Ù ØÐÐ Ö ÖÒ ÔÐØØÖÓÖ ÚÖÚ Ò Ö ÓÖº Ø Ò ÓÑ ÚÚÖ ÖÒ Ø ÑÒ ØÖØ Ö ØÖ ÔÐØØÓÖÒ ÖÒº ÆÖ n Ö ØÓÖ Ö ÒØ ÑÝØ ØØ ÖÝ ÓÑ Ó Ö ÓÖÖÒ ÙÒÖ 1 /6 Ú Ø Ðº º ÃÓÑÑÒØÖÖ ØØ Ú ÒØØ Ö ÒÝ ÖÚØ ØÐÐ ÔÖÓÐÑÒÒº Á ÐÐ ÔÖÓÐÑ ÓÑ ÒÐÖ ÓÑ ÑÒ ØÖ Ò ÑÒ ÑÒ Ò Ù ÓÒ ÓÑ ÙÖ ÑÝØ ÑÒ ÚÖ ÑÓØÚÖº ÇÑ ÑÒ ØÐÐØ ÙÔÔ Ò ØÐÐ Ö Ö Ø ØÓ ÐÐÒ Ó ÙÔÔع Ö ØØ ÚÖ ÐÐ Ö ÑÖ Ò Ø ÖÖ Ò ÑÒ ØØ ÑÒØ Ö Ò ÑØÑØÖ ÚÖÖ Òº ÅÒ Ò ØÐÐ ÙÔÔ ÝÔÓØ Ò ØØ Ö ÐÐØ ÑÒ ÒÒÒ ÑÒ Ö Ò ÖÐÖÒ ØÐÐ ÚÖÖ Ò ÑÒ ÒØ ÚÖ Öº ÅÒ ØÖÒÒÒÒ Ö Ö Ö Ø Øغ ÅÖ ÓÑ ØØ ÒÒ Ú ÒØØ ½º Ô Ò ½½¾º ÈÖ ÓÒÐÒ Ö Ú Ò Ö Ð ÒØ ÖØÙ Ø ÙÔÔØÖ Ú ØÝÔ ÖÚ ÙÔÔ Ò Ø ØÐ ÖÒº Ø Ö ÐÐØ ØØ ØØ ØØ ÒØÐ ÓÐ ÑÒ ØÖ ÓÑ ÖÒ Ú ÖÒ Ô ¹ Ö Ò Ô Ó Ò Ø ØÐ ÐÖ Ù ÐØ ÓÐ ÖÓÒ Ô ÚÐØ ÑÒ ØÖ ÑÒ ØØغ Á Ñ ÑÝÖÓÖ Ö Ö Ò ÝÖ ÐÒØÖ ÖÙ Ø Ò Ò ÓÖØÖ ÓÖØ Ò ÓÑ ÒØ Ô Ö Ò¹ ÙÔÔØ ÓÑ ÐØÖÒ Ð Ø Ô ÐØ ÓÐ Øغ Ò ÙÔÔØÒ ÐÐ º ÀÐÐÚ Úе ½ ¾µ

Ä ÔÐØØÓÖ ÖÙÒØ ÖØØÖ Ø Ö ÔÖÓÐÑØ ÖÓÑÑÖ ÑÒ Ö Ñ ÑÒ ØÖÒÐÝ º Ò Ö ÚÖ ÓÒÒ Ö ÓÖÑÙÐÖ Ú Ð Ö ØÒ Ò Ó ÅÖ ÄÖ ÓÒº Ø Ô Ö ÒØ ØØ Ø ÖØ Ò ÐÙØÒÒ ØÐÐ Ù Ö Ô Ö ØÖ ÓÑ ÔÖÓÐÑÒ Ö ÑÝØ Ðº ÅÒ Ö ÑÒ ÓÖØ Ø Ò ØØ Ð Ö Ò Ø Ô ØØ ÒÐ Ñ Ø ÒÖ Ò Ø Ð Öº º½ ÒÚÒÖØ ÑØÖÐ ÊÙØØ ÔÔÔÖ ÐÒÐ ÖÔÒÒÓÖº ÃÚÖØ ÔÐØØÓÖ ØÚ ÖÖ ØºÜº ÑÓ Ð Ö ÒØ ÓÖØ ÓÑ ÑÒ ÒÝ Öº º º µ ÚÒØÙÐÐØ ÑÒÖÒÖº º¾ ËÚÖ ½º µ ½ ÔÐØØÓÖº µ ½ ÔÐØØÓÖº µ ÔÐØØÓÖº µ ½½ ÔÐØØÓÖº ¾º ØØ ÓÑÖ ÑÓØ ÚÖÒ n 1 ÔÐØØÓÖ Ö ÓÑÚØ Ú Ò ½ ÔÐØØ Ö ÖѺ ÃÒ ÓÖ¹ ÑÙÐÖ Ô ÑÒ Øص º 2n+6 º 76 ÔÐØØÓÖ ÐÒغ º º ÅØÑØ Ø ÒÒÐÐ ÖÙÒ ÔÖ Ö ØØ ÚÖ ÙÚÙ ØØ ÙÒÒ Ö ÒÓØ Ñ ÙÔÔØÒ ØÓÒ Ó ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ó ÑÒØ ÑÐÐÒ ÖÒ Øصº Ö ØØ ÙÐÐØ ÙØÝØ ÐÖ ÒÓØØÓÒ Ñ ÚÖе ÐÖ ÓÑ ÖÚÒÒÖ ÒÐÙ Ú ØÖÙØÚ ÐÒµ ÚØÓÒ Ð ÒÒ ÅÒ ØÖÒÒÒÒ ÇÑ ÑÒ ÚÐÖ ØØ Ò Ô ÙØÚÒÒÖÒ Ö ÍØÝØ ÇÐ ØÖØÖ Ö ÑÑ ÔÖÓÐÑ ÅÒ ØÖÒÒÒÒ ÓÖÑÙÐÖÒ Ú ÚÖÐØ ÔÖÓÐÑ ÑØÑØ ØÖÑÖ ÑÓÐÐÖÒµ ÇÐ ØØ ØØ ÓÖÑÙÐÖ ÐÖ ÙØØÖÝ Ó ÙÖ Ò ÓÑÓÖÑ ØÐÐ ÚÖÒÖº ÍØØÖÝØ ÓÖÑ ÖÐØÓÒ ØÐÐ Ò ÖÚÒ ÚÖÐØÒº ÈÖÒØ Ö Ó ÔÖÓÖØØ ÓÖÒÒ ÖÔÔ ÐÒÖ ÑÒ ÐÖ ÓÖÑÐÖ Ö ½ ¾µ

ÖÙÒ ÓÐ ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒ º Ä ÒÒ ØÖØÖ ÒÐÝ Ú ÑÒ ØÖØ Ý Ó ÖÒ ÒØÒÒ ÒÓÑ ØØ ÖØ Ô ÖÙØØ ÔÔÔÖ ÐÐÖ ÒÓÑ ØØ Ý ÓÐ ØÓÖÐÖ Ô ÖØØÖº Ø ÒÖÐÐ ÙØØÖÝØ Ö Ù ÒØ ØØ ÖÑ Ñ ÒÒ ØÒ ÑÒ ÚÖ Öº ËØÓÖÐ ÐÖ ÒÓ Ò ØÖ ØØ Ð Ö ÑÒ Ø Ö Ñ¹ Ðغµ ÒÒ ÑØÓ Ò ÑÝØ ÚÐ ÚÖ Ò ÒÐÒ ÙÒÖ ÒÒ ØÐÐ ÒÓÒ Ú ØÖÐÒ¹ º ÌÐÐ Ñ ÒÐÝ Ö ØØ ØØ ÑÒ ØÖ ÑÑÒ ØÐÐÒÒ Ú Ý Ó ÖÒ ØÓÖÐ 1 2 3 4 5 6... ÔÐØØÓÖ 8 10 12 14 16 18... ØØ ÒÒÖ ÑÒ Ò ÓÑ ¾Ò ØÐÐ ÝØØ ØØ ÔÖ Ø Ó Ø ÑÓØ ÚÖÖ ÓÖÑÐÒ 2n+6º ÃÒØ Ó ØÚ ÒÔÐØØÓÖ ÚÖ¹ Ó ÒÖÒØ Ö ÐÒ n+2 Ó Ö Ú ¾ ÔÐØØÓÖ ÒÖÒ Ô ÖØØÒ 2(n+2)+2º ÃÒØÖ Ó ÝÖ ÖÒ ÇÚÒ¹ Ó ÒÒÖ ÖØØÒ Ö Ú n ÔÐØØÓÖ ØÐÐ Ö Ó ÚÒ ØÖ ½ ÔÐØØ Ó Ö Ø ÖÒ 2n+2+4º ËÓÖ Ó ÒÖÒØ ØÒ 2 3+2nº ÔÐØØÓÖ ÚÖÖ Ò Ó n ÔÐØØÓÖ ÚÖ Ó ÙÒÖ Öع ÃÒØÐÒ Ðص ÄÒÒ Ô ÚÖ¹ Ó ÒÖÒØ Ö n + 2 ÐÒÒ Ô ÓÖÒ Ø ÐÖ 2(n+2)+2 3º ÃÒØÐÒ Ñ ÓÖÖÖÒ ÄÒÒ Ô ÚÖ¹ Ó ÒÖÒØ Ö n + 2 ÐÒÒ Ô ÓÖÒ Ø ÐÖ 2(n + 2) + 2 3º Ø Ö ÖÒÒ ÓÑÑØ Ñ ¾ ÒÖ ÓÖÖÖ 2(n+2)+2 3 4º ËÑÑ ÙÖ ÓÑ ÖÒ Ö ÓÒÑÒºµ ¼ ½ ¾µ

2025 © DocPlayer.se Sekretesspolicy | Användarvillkor | Kontakta oss