Föreläsning 3 Spänning och töjning Spänning och töjning (kap 4) Stång Fackverk Strukturmekanik FM60 Materialmekanik SMA10 Avdelningen för Bggnadskonstruktion TH Campus Helsingborg Balk Ram Spänning (kraftmått) Spänning Töjning (deformationsmått) De båda stängerna bär samma kraft, P. Samband mellan spänning och töjning Den vänstra stången är hårdare utnttjad eftersom kraften per tenhet är större. Spänning = Kraft per tenhet [/m ] eller [Pa] ormalspänning empel 1 n stång är sammansatt av stål och koppar. s = 10 GPa och k = 10 GPa. A s = 0,01 m och A k = 0,006 m. a) Beräkna upplagskraften vid A samt rita ett normalkraftsdiagram. b) Beräkna maimal normalspänning. c) Beräkna totala förlängningen vid den fria änden. [/m ] σ normalspänning (spänning vinkelrätt mot snittta) normalkraft A tvärsnittsarea Dragspänning definieras som positiv 1
ormalspänning 3D Skjuvspänning τ, och anger spänning i -, - resp. - riktning dragspänning definieras positiv trckspänning definieras negativ [/m ] τ - skjuvspänning (kraft per tenhet parallellt en snittta) skjuvkraft (tvärkraft) A area Skjuvspänning 3D empel: Skjuvspänning i nit d = 4 mm τ, τ, τ, τ, τ och τ anger skjuvspänningar. Första inde anger normalriktning för planet. Andra inde anger skjuvspänningens riktning. Skjuvspänning definieras positiv då både normalriktning för planet och skjuvspänningens riktning är i positiv koordinatriktning. 1k πd π(410 A 4 4 3 110 5 A 1.610 ) 3 1.610 79.6 MPa 5 m ormaltöjning Skjuvtöjning ormaltöjning ε = relativ längdändring α α-γ Skjuvtöjning = ändring av från början rät vinkel Positiv töjning definieras som förlängning
Materialegenskaper Stvhetsegenskaper egenskaper relaterade till hur materialet deformeras under belastning Homogena Heterogena material Homogent material = samma egenskaper överallt Heterogent material = varierande egenskaper i rmden Strkeegenskaper egenskaper relaterade till vid vilken belastning materialet brister Stål Trä Betong Alla material är heterogena på mikronivå. id praktiska konstruktionsberäkningar betraktas de ändå i regel som homogena. Isotropa Anisotropa material Isotropt material = samma egenskaper i alla riktningar eempel: stål Materialprovning Anisotropt material = olika egenskaper i olika riktningar eempel: trä Materialmodeller Spännings töjningssamband injärt elastiskt material Spänningen är proportionell mot töjningen Proportionalitetskonstant: lasticitetsmodul [/m ] Materialmodeller Spännings töjningssamband lastiskt idealplastiskt material injärt elastiskt upp till fltspänningen σ s och därefter konstant spänning Hookes lag: 3
Deformation av linjärt elastisk stång Deformation av linjärt elastisk stång tvärsnittsarea A lasticitetsmodul, A och konstant: A A A, A eller varierar längs med längden : ( ) ( ) d d ( ) ( ) A( ) ( ) 0 0 0 d empel 1 Kopplade stänger n stång är sammansatt av stål och koppar. s = 10 GPa och k = 10 GPa. A s = 0,01 m och A k = 0,006 m. a) Beräkna upplagskraften vid A samt rita ett normalkraftsdiagram. b) Beräkna maimal normalspänning. c) Beräkna totala förlängningen vid den fria änden. Seriekoppling 1 1 Parallellkoppling P 1 1 empel Temperaturtöjning n sammansatt kropp består av ett kopparrör (1) och en solid stålstång (). Den sammansatta kroppen belastas med kraften F = 50 k. s = 00 GPa och k = 100 GPa. A s = 00 10 6 m och A k = 500 10 6 m. a) Beräkna kraften i respektive del. b) Beräkna spänningen i respektive del. Material ändrar volm då temperaturen ändras ε = α(t T 0 ) α = temperaturutvidgningskoefficient [1/C] epansion då temperaturen ändras från T 0 till T 4
Temperaturspänning Om epansionen hindras av omgivande konstruktion uppstår temperaturspänning empel: Temperaturspänning 110 6 C -1 Temperaturen ändras från 5 till 40 C. ad blir spänningen? ( T T ) 110 0 6 (40 5) 0.0004 Upplagen förhindrar temperaturtöjningen, då uppkommer spänningen: 9 0010 ( 0.0004) 84 MPa [www.worldculturepictorial.com/blog/categor/tags/sports] Tvärkontraktion är man drar i en stång blir den längre och smalare Om man trcker på stången blir den kortare och tjockare Detta fenomen kallas tvärkontraktion Tvärkontraktion spänning i - led : töjning i - led: töjning i - led: töjning i - led : Töjningen i tvärriktningen är proportionell mot proportionalitetskonstant: (Poissons tal) Generaliserade Hookes lag 1 1 1 empel 3 Materialet i figuren har =.0 MPa och ν = 0.3. Måtten är i obelastat tillstånd 800 mm 600 mm 600 mm. Bestäm rätblockets dimensioner vid belastning enligt figuren. 5