Examensarbete i Matematisk Statistik (20p) Effekter av olika dödlighetsantaganden för premiepensionsutbetalningarna

Transkript

1 ! #"$ # %'&*-, / *9 :<;=: 476>5?@A,CBD<E2,FG>HIE : /E J ;. K./L 6 K /EMB-6 3NE2BAO2,PQA,F<4RE<6SEG><T.#EU VTW#WYX[Z#\]W^`_baYced %gfh<l /E2BDT.#PQA, ikjkjhnmpo

2 !" #%$&"'*$$ -,-.*/#'&$&"12435"4 647*8:9-6 -,-.*/ 12435";2 <>=?

3 Examensarbee i Maemaisk Saisik 2p Effeker av oika dödighesanaganden för premiepensionsubeaningarna Uför av: Anna Lindberg Höserminen 23 1

4 SAMMANFATTNING År 1999 infördes e ny pensionssysem i Sverige och i dea ingår premiepensionen, i viken de varje år avsäs 2,5 % av bruoönen. Från pensionering ska dessa pengar beaas u ivsvarig i premiepensionsspararen. Då premiepensionens åriga sorek ska beräknas måse därför anaganden om den framida dödigheen göras. Dea arbee visar effeker av oika dödighesanaganden för premiepensionsspararnas ubeaningar. Ugångspunk har vari den dödighesprognos som Premiepensionsmyndigheen, PPM, använder idag. Den verkiga dödigheen den dödighe pensionärerna föjer anas föja Saisiska cenrabyråns, SCB:s, senase prognos om framida dödighe Sveriges framida befokning, befokningsframskrivning för åren Om dessa vå dödighesanaganden ine överenssämmer får de konsekvenser för premiepensionsubeaningen, i form av en höjning eer sänkning. De visar sig a dödighesanagandena överenssämmer oika bra för oika ådrar. I höga ådrar syns den sörsa skinaden, där PPM använder en dödighe med hög säkerhe. Oika scenarier, i vika den verkiga dödigheen varieras, har få visa hur säker PPM:s prognos är och viken håbarhe den har om verkiga dödigheen uveckas enig SCB:s prognos. En jämförese med FOLO:s Foksam-LO:s avaspension och den meod de arbear enig har också uförs. ABSTRACT In he year 1999 a new sysem of pension was inroduced in Sweden. One par of his sysem is Premiepension o which 2,5 % of he gross income is deposed. These savings wi be disbursed o he pensioner from he day of reiremen uni deah. Therefore, when he size of he yeary premiepension is o be decided one needs o make assumpions of he fuure moraiy. This essay shows he effecs for he disbursemen, when using differen assumpions of moraiy. The assumpion of moraiy ha is in use by Premiepensionsmyndigheen, PPM, oday is he assumpion used in his essay. The rea moraiy he moraiy pensioners foow is assumed o foow he aes repor on fuure moraiy made by Saisiska cenrabyrån, SCB Sveriges framida befokning, befokningsframskrivning för åren When here is a difference beween hese wo assumpions i wi have consequences on he disbursemen, as an increase or decrease. I shows ha he wo assumpions differ depending on age. The arges difference is observed a od ages. This is due o he fac ha PPM is uncerain of he fuure moraiy in hese ages. In differen scenarios, he rea moraiy has been varied, o exam he forecas and he effecs of i made by PPM. A comparison wih FOLO:s Foksam-LO avaspension and heir mehod has aso been made. 2

5 INNEHÅLLSFÖRTECKNING Sid nr Sammanfaning - Absrac 2 1. Inedning 1.1 Inrodukion Bakgrund Syfe PPM Hur ser pensionen u? Premiepension Livförsäkringseknik 2.1 Beräkningseemen Dödighe Räna Drifskosnad Arvsvins Deningsa Användning av beräkningseemen 1 3. Maemaisk beskrivning 3.1 Livförsäkringens sannoikheseori Deningsa Reserven eer hur förändras igodohavande på kono under en idsenhe 3.4 Pensionsförsäkringsmaemaikens huvudsas Jämförese mean FOLO och PPM 4.1 Föreagen Skinader Simuering 5.1 Vad gör programme? SCB: s dödighesprognos Scenarier Resua och susaser 6.1 Scenario Scenario Scenario Kohoren som pensioneras år Kohoren som pensioneras år Scenario Scenario Sammansäning av resua och susaser Käföreckning 42 3

6 A. Appendix A.1 Exce-programmes uppbyggnad A.2 SCB: s dödsrisker och åriga procenredukion av dödsrisker 5-51 A.3 Indaa 52 4

7 1. INLEDNING 1.1 INTRODUKTION Dea examensarbee är gjor för a ge en magiserexamen i Maemaisk Saisik. De kommer även a ge viss uredning i Premiepensionsmyndigheen, PPM, där den sörsa deen av mi arbee uförs. Arbee är uför mean den 2 sepember 23 och den 28 januari 24, med handedning av Beng von Bahr, chefakuarie på PPM. Exce-programme som uför simueringarna i de här arbee har jag skrivi isammans med Anders Hom. Anders skriver si examensarbee om avaspension på Foksam med Bri- Marie Persson som handedare. Handedare på Universie har vari Anders Marin-Löf. 1.2 BAKGRUND Från och med år 1999 har Sverige e ny pensionssysem och i dea ingår premiepensionen. Varje år avsäs 2,5% av bruoönen i premiepension. Dessa pengar paceras i fonder hos PPM och e inföde pågår så änge man har en inkoms. Livsvarig från pensionering ska PPM sen beaa u en årig summa som beror på individens igodohavande på kono i försäkringsagaren. Hur sor denna summa är vid pensioneringen beror på re huvudorsaker: Livsinkoms Vid viken åder man väjer a a u pension Värdeuveckingen i fonderna man va Men de inressana i de här arbee kommer a bi hur sor de, av de oaa beoppe premiepensionsspararen får de av innan han dör. De beror bara på en sak, nämigen: Förvänad ivsängd från 65år 1.3 SYFTE För a kunna ge premiepensionsspararen en premiepensionsubeaning varje månad måse PPM göra en prognos hur den förvänade ivsängden från 65 års åder kommer a se u. Konkre gör PPM e anagande om den framida dödigheen m x. Dea anagande görs uifrån SCB: s befokningsframskrivningar. För sunden är de de bäsa anagande man kan få, men hur vä sämmer de anagande i framiden? Är dödigheen ika sor om 3 år som den är idag? Troigvis ine, men hur fe går de om PPM ros a väjer a ana samma dödighe i 3 år framå? Vad händer med premiepensionsubeaningar? Vad händer med ubeaningarna om befokningen ine dör som man anagi i sin prognos? Acceperar försäkringsagaren a hans ubeaning minskar krafig från år i år? Dessa probem och några yerigare vi jag simuera för a få en uppfaning av vad som kommer a hända med ubeaningarna i framiden. Syfe med dea arbee är a iusrera effeken oika dödighesanaganden får för de framida premiepensionsubeaningarna. De kan också vara inressan a avgöra när man bör soppa processen och göra nya anaganden. För PPM: s de bir arbee en bra konro för hur vä PPM: s nuvarande prognos sämmer med SCB: s. 5

8 1.4 PREMIEPENSIONSMYNDIGHETEN, PPM HUR SER PENSIONEN UT? Den amänna pensionen från saen besår av re dear: Inkomspension Garanipension Premiepension Inkomspensionen grundar sig på ivsinkomsen. Varje år igodoräknas 16 % av den pensionsgrundande önen i inkomspension. Den andra deen är garanipension, som är i för dem som har åg eer ingen inkoms as. Premiepensionen är den redje deen och den har en sorek på 2,5 % av den pensionsgrundande önen. Skinaden från inkomspensionen och garanipensionen är a premiepension är fonderad, med de menas a de 2,5 % som igodoräknas varje år paceras i fonder. Uöver den amänna pensionen kan pensionären även få jänse- eer avaspension, vars sorek beror på viken koekivavasgrupp pensionären ihör. E redje aernaiv för pensionsspararen är de privaa pensionssparande PREMIEPENSION För a syseme med premiepension ska fungera har Premiepensionsmyndigheen bidas. Premiepensionsmyndigheen är en saig myndighe vars främsa uppgifer är a ansvara för premiepensionskonon bokföra och genomföra aa köp eer försäjningar som försäkringsagaren vi göra -besua om ubeaning av premiepension -informera om premiepensionen Premiepensionsmyndigheen bidades då de nya pensionssyseme infördes. Anedningen i a e ny sysem infördes var a de bir fer pensionärer och färre som kan försörja dem. Skinaden mean de gama syseme och de nya, är a i de gama syseme gick pengarna direk från dem som arbeade i pensionärerna de gama syseme kaas för fördeningssysem. Idag är premiepensionen e s.k. Premiereservsysem fondera sysem. De innebär a de pengar som avsäs i premiepension sparas för a användas då den enskide sjäv går i pension Varje år avsäs 2,5 % av bruoönen i premiepension. Som premiepensionssparare väjer man fonder hos PPM där pengarna paceras gör man inge va paceras pengarna i Premiesparfonden som förvaas av 7: e AP-fonden. Pengarna växer sedan på e premiepensionskono is den dagen premiepensionsspararen vi börja a u sin pension idigas vid 61 års åder. Från den dagen får han en ubeaning varje månad is han dör. De går ine på förhand a säga hur sor premiepensionen bir, uan de beror på hur iväxen i fonderna se u. I samband med pensioneringen får premiepensionsspararen göra e va huruvida han vi åa sina pengar så kvar i fonder eer om han väjer a fya över kapiae i Tradiione förvaning. Tradiione förvaning innebär a PPM säjer försäkringsagarens fondandear och ar hand om förvaningen av igodohavande och beaar u e garanera månadsbeopp i premiepensionsspararen ivsvarig. Väjer premiepensionsagaren a åa sina pengar så kvar i fonder ämnar PPM ingen garani om e ägsa beopp. Forsäningsvis kommer dea arbee a handa om premiepension som sår kvar i fonder under ubeaningsiden. 6

9 BERÄKNINGSELEMENT 2. LIVFÖRSÄKRINGSTEKNIK För a kunna genomföra oika beräkningar i samband med en försäkring måse vissa anagande om dödigheen göras. Efersom avae innebär a boage ska förvaa försäkringsagarens pengar måse också prognoser göras för den räna som kan erhåas på dessa. Likaså måse prognoser göras över kosnader för boages adminisraion, s.k. drifskosnader. Vid försäkringsekniska beräkningar ugår man såedes från anaganden om den dödighe, man kan förväna sig, den avkasning, man kan förväna sig, den drifskosnad, man kan förväna sig. Med hjäp av dessa re anaganden kan försäkringsboage b.a. räkna u arvsvinsen och deningsaen DÖDLIGHET För ivförsäkringsverksamhe är undersökningar över befokningsdödigheen nödvändiga. Dea.ex. för a kunna säa rä premie och se hur ubeaningarna ska fördeas under ubeaningsfasen. Saisiska undersökningar av den svenska befokningens dödighe påbörjades redan för mer än 2 år sedan. Idag uförs dessa undersökningar av Saisiska Cenrabyrån SCB och redovisas i Saisisk Årsbok under huvudrubriken Livsängdsabeer. I sådana abeer kan man aväsa Observerade dödsrisker, Kvarevande av 1 födda och Åersående ivsängd. Figur 2.1. Sammansäning av observerade dödsrisker för män respekive kvinnor år från -65 år Observerade dödsrisker, -65 år Ana döda av Män Kvinnor Åder 7

10 Figur 2.2. Sammansäning av observerade dödsrisker för män respekive kvinnor år från 65år Observerade dödsrisker, år 8 7 Ana döda av Män Kvinnor Åder Av figurerna 2.1 och 2.2 kan man.ex. observera a dödigheen är sörre för män än för kvinnor, a dödigheen är hög under de försa evnadsåre, och a dödigheen avar markan efer försa evnadsåre för a sen öka efer 55 års åder. När de ska göras e dödighesanagande är de såedes mycke väsenig a a hänsyn i åder. För a de ska bi så rävis som möjig borde boage även göra separaa anaganden för män och för kvinnor. Tros de är PPM vungna a göra könsneuraa dödighesanaganden p.g.a. ag om jämsädhe. Figur 2.3. Åersående medeivsängd för män resp. kvinnor, år från 65 år Åersående medeivsängd vid 65 år 25 2 Åder 15 1 Män Kvinnor År Av dea diagram kan man främs se a medeivsängden bivi ängre för varje år d.v.s. dödigheen har sjunki. 8

11 Orsaken i den sänkning av dödigheen som hiis ske, är säkerigen den sociaa, ekonomiska, ekniska och kanske främs den medicinska uveckingen. Men hur kommer då dödigheen se u i framiden? Kommer den forsäa sjunka eer har vi nå e minimum för dödigheen? Kommer dödigheen i framiden.o.m. a öka p.g.a. den ivssi många har idag? T.ex. har en viss ökning av dödigheen i föjd av rafikoycksfa noeras, men den dödighesorsaken har hiis ämigen ien beydese för den oaa befokningsdödigheen. För a göra en rimig dödighesprognos konsaerar jag a man måse a hänsyn i både födeseår/åder och kaenderår RÄNTA Norma förknippas räna med bankräna. Anedning i a räna är en väsenig de i försäkringsbranschen är a en sor de av ivförsäkringsboagens verksamhe besår av förvaning av försäkringsagarnas mede. r i föjande former sår för fondernas avkasning minus infaion och ine för räna E kapia som förränas årsvis med ränefoen r växer enig formen K = K 1 r vanig förränning K d = K e koninuerig förränning d = n 1 r där d kaas för räneinensieen. Vid förränning är de ursprungiga beoppe kän. Hur sor beoppe bir efer en viss id beräknas genom räneiväxen. Vid diskonering är förhåande omvän. Probeme bir då a beräkna dagsvärde av pengar disponiba vid en senare idpunk, de s.k. nuvärde. De öses genom a man besämmer hur sor kapiae måse vara idag, K, för a de med förränning i år ska växa i K efer år. Aså: d K e = K => K = K e -d K är nu diskonera i år och -d 1 e = kaas för diskoneringsfakorn. 1 r På PPM säs r=3%. Den ränefo som säs ska uppfya anaganden om en avkasning med a % och en infaion på i %. r ska då säas så a den reaa ökningen i beoppe kan föja: r = a - i = 3% DRIFTSKOSTNAD A fassäa ämpiga omkosnadsanaganden är i sjäva verke ikydig med a på e naurig sä fördea försäkringsboages oaa omkosnader på de enskida försäkringarna. En grundäggande frågesäning är hur dessa omkosnader ska spridas. De kan göras proporione,.ex. i procen av premien eer av de oaa försäkringsbeoppe. E andra aernaiv är a sprida omkosnaderna syckevis, d.v.s. med e fas beopp per ecknad försäkring. Efersom den grundäggande anken i försäkring är ujämning mean de enskida försäkringsagarna användes de försa aernaive, d.v.s. e sysem med proporionea avgifer. 9

12 E anna probem är hur dessa avgifer ska fördeas i iden. De vanigase är a försäkringsagaren beaar e engångsbeopp vid ecknande och sen åriga kosnader under försäkrings- och premiebeaningsiden. PPM har besäm a säa en drifskosnadsavgif på.3% per år. De innebär a varje år dras en avgif på.3% av de oaa igodohavande på premiepensionskono. PPM ar ine u någon engångsavgif vid saren uan när inkomsen överskrider 4,3 % av e prisbasbeopp, d.v.s kr/år avsäs pengar i premiepensionen ARVSVINST Då en försäkrad dör finns de pengar kvar på hans premiepensionskono. Dessa pengar ska fördeas u i försäkringskoekive. De sker mins en gång per år och fördeningen sker proporione mo fondvärde vid samma ifäe och med hänsyn i åder Ju ädre den försäkrade är deso mer får han. Dea isko kaas arvsvins. Arvsvinsen kan ine beräknas på förhand, då den framida dödigheen är oviss DELNINGSTAL För a komma fram i hur mycke som ska ubeaas varje månad används e s.k. deningsa. Deningsae spegar den beräknade åersående ivsängden. De är dock någo ägre än den åersående ivsängden efersom man räknar med en iväx på 3 % per år. För a komma fram i vike årsbeopp som ska ubeaas i försäkringsagaren så deas de oaa igodohavande på kono med deningsae. Ju ängre den åersående ivsängden är deso ägre bir ubeaningen. Lie feakig används samma deningsa för kvinnor och män. Se figur 2.3, män och kvinnor har ine samma förvänade ivsängd. K Årsbeopp a ubeaa = A där K= igodohavande på kono, A= deningsae För a få fram ubeaningen per månad dividerar man årsbeoppe med ANVÄNDNING AV BERÄKNINGSELEMENT De beräkningseemen som jag kommer a aborera med i de här arbee bir dödigheen. I en uvidgning av mi arbee skue man också kunna a hänsyn i oika räneanaganden. Men jag väjer a koncenrera mig på dödigheen och anar därför a framidens räneanaganden sämmer med dem som används idag och a dessa är ika med verkigheens. Med andra ord är den räneiväx som anas i uräkning av deningsaen samma som den som används i förränning av kapiae på kono. 1

13 3. MATEMATISK BESKRIVNING 3.1 LIVFÖRSÄKRINGENS SANNOLIKHETSTEORI De här arbee handar om premiepension som på ivförsäkringsspråk definieras som Uppskjuen ivsvarig ivräna. Definiion: En uppskjuen ivsvarig ivräna börjar ubeaas förs efer en i avae angiven id, naurigvis under förusäning a den försäkrade forfarande ever och beaas sedan i den försäkrades död. En väsenig de i Livförsäkringsmaemaiken är den åersående ivsängden för en försäkrad. Från födesen beecknas denna med en icke-negaiv sokasisk variabe T. Fördeningsfunkionen för T beecknas med F F x = P T x = sannoikheen för en nyfödd dö före ådern x. Tähesfunkionen föjer, enig grundäggande sannoikheseori, av fördeningsfunkionen, genom d f x = F x dx Inressan är också överevesefunkionen, x Sannoikheen a övereva ådern x. x = 1- F x = P T > x De är vanig a en ivsängdsmode specificeras genom a ange dödighesinensieen, m x. f x m x = 1- F x mx definieras som dödsannoikheen per idsenhe i ådern x. Sambande mean mx och x ges av m x = - x eer värom x x = e x - Ú m d För a beskriva dödighesinensieen används Makehams forme som innebär a dödighesinensieen växer exponenie med sigande åder m x = a be cx I de här arbee kommer de a bi inressan a arbea med åersående ivsängd från en viss åder x här: 65 år. Den beecknas med x T. Sannoikheen a en person som är x år ska övereva iden ges av 11

14 x P T x > = P T > x T > x = x Väsenig de i de här arbee kommer a vara den eåriga dödsrisken qx, d.v.s. sannoikheen a en person i ådern x dör inom e år. x 1 q x = P Tx 1 = 1- x E bra sä a oka en dödighesprognos är a se vad den gör för vänevärde av den åersående ivsängden. E x d x [ Tx ] = ÚP Tx > d = Ú I de här arbee kommer jag a arbea i diskre id, då kan vänevärde av T x approximeras med z [ x] ª Â E T y= x y x där z anas vara en ändig högsa evnadsåder. 3.2 BERÄKNING AV DELNINGSTALET För a besämma deningsae måse de göras anaganden om dödigheen. På PPM har man skapa en modifierad Makeham, som ser u som vanig Makeham fram i en hög åder. Den höga ådern säs i 97 år, de beyder a fram i 97 år ökar dödighesinensieen exponenie, men efer 97 år anas en injär ökning. Anedningen i de här känns ogisk. Har premiepensionsspararen.ex. överev i 1 år känns de rimig a ana a de är ika näsan sor risk för en 1-åring a avida som för en 11 åring De finns även observerad dödighe som visa indikaioner på samma sak. Figur 3.1. Dödighesinensieen med PPM: s parameervärden Modifierad Makeham en. PPM,4,35 dödighesinensie,3,25,2,15,1 myx, åder 12

15 x= åder w= åder då Makehamkurvan bir injär k= injär koefficien cx Ïa b e m x = Ì Óm w k x - w för x w för x w Som Makeham modifierad med en rä inje för åder över w år Sambande mean m x och x ecknas på föjande sä: P T > x = x = 1- F x = e där aså x = e Ú H x = m d x - Ú x m d Hx uräknad: -H x Ï Ô x = Ì Ô Ô Ó x Ú c b c x b cx a be d = [ a e ] = ax e -1 c c k m d [ m w k - w] d = H w m w x - w H w x Ú Ú w 2 x - w 2 för x w för x w För a kunna beräkna deningsae ar man också hjäp av de s.k. Kommuaionsfunkionerna, Nx och Dx. Dx definieras på föjande sä: x D x = e x där d=beasad räneinensie här d=og1r-dk, där dk= drifskosnadsavgif a. x D x = 1 r - dk x såedes, om de ine råder någon ränebeasning så är Dx=x. Nx definieras på föjande sä Approximaionen sker med Euers summaionsforme: N x en. def z È 1 d m = Ú D d ª Â D k - D x Í x k = x Î2 12 I dea arbee sker händeserna i diskre id så x ù ú û 13

16 Â N x = D k z k = x Härifrån föjer a deningsae bir A x = N x D x 3.3 BERÄKNING AV RESERVEN eer hur förändras värde på kono under en idsenhe? Värde på kono i början av år x premieubeaning räna arvsvins drifskosnadsavgif =Värde på kono i början av år x1 E exempe En person som är 7 år har 5 kr på si premiepensionskono i början av åre. Dea beopp förändras på föjande sä: Uppskaa deningsa för en 7 åring är 12,89. För en 71 åring är de 12,41: Värde av igodohavande vid början av åre 5 Avkasningen är 3 % 15 Arvsvinsen beror på dödsrisken, vid 7 år är 665 den 1,33 % Årig beopp a ubeaa 5/12, Avgifer.3% -15 Värde av igodohavande vid sue av åre De åriga beoppe a ubeaa näsa år bir nu 48136/12, 41=3879. Samma beopp som åre innan. I maemaiska ermer med koninuerig ubeaning Vad händer med igodohavande på kono? V= värde på kono L= beopp a ubeaa n= pensionsåder x= åder = år z= död r= räna dk= drifskosnadsavgif Reserven beräknas amän som V = A - B 14

17 Där A= kapiavärde av boages framida förpikeser enig avae vid iden och B= kapiavärde av försäkringsagarens framida förpikeser enig avae vid iden. Reserven är igodohavande på kono vid en viss idpunk,. I de här arbee är reserven inressan från ubeaningsfasen, försäkringsagaren har ine ängre någon förpikese mo boage. Reserven under ubeaning: Då > n : N x V = L D x För a se hur V förändras under en idsenhe deriverar man och kommer i su fram i: V ' = -L V m x d V Thiee s differeniaekvaion Reservens förändring: 1. d V =räneförändring 3. Arvsvins, m x V 2. Ubeaning -L 3.5 PENSIONSFÖRSÄKRINGSMATEMATIKENS HUVUDSATS diskre id Då vi gör rä anagande om dödighe och räna får vi under ubeaningsfasen konsana ubeaningar per individ. Varför? Bevis: Anag a vi har n individer och varje individ har beoppe k på si kono vid iden. Dea beopp förändras på re sä från idpunken i 1. En ubeaning b sker, beoppe förränas med ränan r och arvsvins ikommer. Aså: k 1 = k - b 1 r där =,1,2, 1 Sisa ermen är arvsvinsfakorn och den räknas fram såhär: [Ana personer som överev iden i 1] 1 = n [Ana personer som ej överev iden i 1] 1 = 1- n och deras kapia är 1 = 1- n k Pengarna från dem som ej överev ska fördeas proporione på dem som överev. Aså dear vi de ej överevandes kapia med anae överevande: 15

18 k k k n k n - = - = -. När denna fakor adderas med kapiae vid iden, k, ser vi a arvsvinsfakorn bir 1. Vidare är A= deningsa för ådern. A kan skrivas som = = = = D z D D D z D D D D N A = = A D D D z D D D D där r D 1 = Nu åergår vi i a visa a 1 b b = under förusäning a man gjor rä anaganden. = = - = - = = - = - = = r D D b r A A b A r A A k A r A k k A r b k A k b = = = r r b r r r b an an an an an an an =[om an = och r r an = ]= b v.s.v

19 4.1 FÖRETAGEN 4. JÄMFÖRELSE MELLAN FOLO OCH PPM Premiepensionsmyndigheen, PPM är en saig myndighe som ansvarar för premiepension. Premiepension är, som idigare påpekas, den de av den amänna pensionen som är fonderad. Rikinjer för PPM säs av saen och PPM är srik bundna i dessa reger. E exempe på en sådan rege är könsneuraa dödighesprognoser. Premiepension ideas aa arbesagare. Foksam LO Fondförsäkringsakieboag är e boag inom Foksam koncernen, som ansvarar för avaspensionsförsäkring. De akiva arbearna inom fera koekivavasområden har möjighe a väja a pacera sin avaspension hos FOLO. FOLO har som krav a ine sänka ubeaningarna i andear under de fem försa ubeaningsåren på grund av inkomsskaeagen. För PPM gäer ine denna resrikion. Gemensam för dessa vå yper av försäkring är a man gör e fondva och därmed ar en risk för den framida avkasningen. 4.2 SKILLNADER I PPM: s sysem deas a risksumma som frigörs vid dödsfa u som arvsvins. Dea beyder i eorin a qverkig x = qarv x. I FOLO: s sysem skaas isäe q arv x. En bra skaning bör överenssämma med den frigjorda risksumman. I deningsaen skaar man den förvänade åersående ivsängden med hjäp av q de x. PPM och FOLO har oika skaningar på q de x och därmed oika deningsa. Denna skinad beror.ex. på a besånden ser oika u och på respekive akuaries åsik om den framida dödigheen. PPM använder sig av diskoneringsräna då de räknar u deningsaen. FOLO räknar uan räneanagande. För PPM har vi i prakiken q verkig x = q x π q x arv de och för FOLO har vi i prakiken q x π q x q x verkig arv = de Vad innebär nu dessa anaganden för boage respekive försäkringsagaren? Hos PPM beaas a frigjord risksumma u som arvsvins. Dea innebär a PPM ine kommer a göra någon dödighesvins/förus på de försäkrades bekosnad. Hos FOLO skaas arvsvinsen i förväg och i och med de kan evenuea dödighesvinser/föruser uppså. FOLO gör en vins då 17

20 man anagi en ägre dödighe i prognosen än den dödighe verkigheen uveckas enig. FOLO avser då a i eferhand åa uppkommer översko gå ibaka i de försäkrade. PPM: s ivägagångssä innebär a försäkringsagarnas ubeaningar kommer a variera så änge en perfek prognos ine är sa perfek prognos innebär för både PPM och FOLO a qverkig x = qarv x = qde x. Ubeaningarna kommer a höjas då för åg dödighe anagis i deningsaen, efersom de då ever kvar e färre ana personer som dear på kohorens gemensamma kapia. Då en för hög dödighe anas bir förhåande omvän. För FOLO: s försäkringsagare innebär de a ubeaningarna bir konsana i fondandear. I dea arbee använder vi oss av de eåriga dödsriskerna, q x. I verkigheen arbear FOLO och PPM med m x. 18

21 5.1 VAD GÖR PROGRAMMET? 5. SIMULERING Tisammans med Anders Hom som skriver si examensarbee på Foksam FOLO har jag skrivi e program i Exce där de oika probem/scenarierna som beskrivs i Scenarier kan simueras. Programme är uppbygg så a man ska kunna se vad oika dödighesanaganden gör för premiepensionsspararnas ubeaningar. För Programuppbyggnad se Appendix A.1. INDATA: Ana personer som går i pension varje år från De gemensamma kapia varje kohor har på si kono vid pensionering No. Vi anar a varje person har ika mycke på si kono. För exak indaa, se Appendix A.3 UTDATA: Kapiaförändring över id Anasförändring över id Ubeaning/år för hea kohoren Ubeaning/år per individ Programme är uppbygg för a passa både i PPM: s och FOLO: s verksamhe. Därför räknas arvsvinser och frigjord risksumma u ros PPM dear u a frigjord risksumma som arvsvins. Dea innebär a premiepensionsspararna ideas arvsvinser efer hur många i syseme som avidi. Man garanerar ine spararna en årig arvsvins. En skinad från verkigheen är a PPM ine ar någon hänsyn i oika kohorer, i vår program däremo räknas varje kohors ekonomi för sig. T.ex. generaionen som är född år 1938 ideas endas arvsvinser i form av frigjord risksumma från avidna personer födda En vikig sak a påpeka är a vi anar a aa börjar a u sin premiepension vid 65 års åder, i verkigheen får man a u den från 61 års åder. Vi räknar också med a aa fyer år vid samma idpunk på åre och aa dör vid samma idpunk på åre. Programme är uppbygg efer föjande idsaxe varje år: fok fyer år ubeaning sker fok dör risksumma frigörs arvsvins deas u ränadrifskosnad äggs på Programme kommer a simuera fram oika scenarier, där PPM använder sig av de dödighesanaganden de använder i dag, och sen kommer verkigheen den verkiga dödigheen uveckas enig SCB: s prognos eer en varian av den. Dea för a se vad som händer med ubeaningarna. 19

22 5.1.1 SCB: S DÖDLIGHETSPROGNOS Jag har anagi a den verkiga dödigheen för de närmase 5 åren kommer a föja SCB: s framskrivning eer varianer av denna av den framida dödigheen. I denna prognos har SCB agi hänsyn i både kaenderår och åder. SCB skriver föjande angående den framida dödigheen: Dödighe Den hiisvarande renden med minskande dödighe anas forsäa, dock någo ångsammare för kvinnor. Bakgrunden är förbärad ivssi och medicinska framseg. Under de närmase io åren anas en årig minskning av dödsrisken på ca 2 % för män och 1,5-2 % för kvinnor. I ådrarna över 8 år anas redukionen i dödsriskerna bi ägre. På ängre sik anas aken i dödighesredukionen bi någo ångsammare. Dödighesanagande beyder a medeivsängden för män ökar från 77,7 år 22 i 83,6 år 25 och för kvinnor från 82,1 i 86,2. Enig denna redukion av dödighesanaganden se Appendix A.2 så har jag räkna fram en dödsrisk q x. Den ser u som föjer: verk Tabe 5.1. SCB: s riange med eåriga dödsrisker pensioneringsår/åder q65,23 q66,24 q114,252 q115, q65,24 q66,25 q114, q65,252 q66, q65,253 q x, = den eåriga dödsrisken för åder x, år Två exempe på hur en dödsrisk räknas fram med procenredukionen, pr: q66,24 = q66, pr66,24 1 pr67,24 q67,25 = q67, pr67,25 1 SCB: s prognos är gjord för 5 år framå men jag är inresserad av en prognos för yerigare 5 år framå. Så ång prognos gör ine SCB därför har jag i framskrivningen av dödsriskerna anagi a procenredukionerna per år för år efer 25 föjer samma procensas som år För en kvinna 65 år ser de aså u som föjer: Tabe 5.2. Procenredukion för en 65-årig kvinnas dödsrisk Kvinna 65,783-1, 4 % -1, 5 % -, 7 % -, 7 % Anm. Jag provade också a isäe säa % för år efer 25. Skinaden mean dessa båda aernaiv bev mycke ien för de kohorer som kommer a bi mes inressana a sudera. 2

23 Jag vade de försa aernaive p.g.a. förenking i programmeringen. Däremo för den kohor som påverkas mes, d.v.s. de som går i pension 253 skijer de ca 1 år i åersående ivsängd för en 65-åring mean de båda aernaiven. SCB har, som synes, räkna fram separaa dödsrisker för män och för kvinnor. I de här arbee vi jag arbea med en könsneura dödsrisk därför har jag vika ihop dödsriskerna för män med dödsriskerna för kvinnor och få fram dea q x verk. Denna vikning är gjord med anagande om a de från början finns ika många män som kvinnor i syseme. Därefer görs vikningen enig hur många män resp. kvinnor som finns kvar för varje år. De beyder a vid senare ådrar finns de fer kvinnor än män p.g.a. a kvinnor har ängre ivsängd. Därför får kvinnors dödsrisk sörre vik i högre ådrar. Efersom jag i de här arbee är inresserad av dödigheen efer 65 år så är dödsrisker framagna från 65 års åder. SCB: s prognos säger föjande om de åersående ivsängderna: Tabe 5.3. Åersående ivsängd från 65 år en. SCB: s prognos Åersående ivsängd från ,7 11,2 3,9, ,4 12,8 4,8, ,5 13,8 5,4,7 Med andra ord ror SCB a dödigheen kommer a minska i framiden. Om.ex. 5 år vänas 65 åringarna a eva näsan re år ängre än vad man ror idag. Figur 5.1. SCB: s dödighe qx en. SCB,6,5 eårig dödsrisk,4,3, ,1 åder

24 5.2 SCENARIER Förusäning: Vi anar a vi har den verkiga dödigheen för år Denna är agen från SCB: s skrif om befokningsframskrivning. Vår program är uppbygg så a vi kan ändra både den verkiga dödigheen och prognosdödigheen d.v.s. den som används i deningsaen. I scenarierna föruom scenario 1 kommer prognosdödigheen vara densamma, d.v.s. deningsaen kommer vara samma för aa år och beräknas på samma sä som PPM gör idag. För a få e mer överskådig resua har jag va a ia på främs re kohorer, de som går i pension år 23, 213 och 223, med andra ord kohorer födda 1938, 1948 och Senare kohorer har ie för ång i pensionering för a deras ubeaningsid ska vara inressan idag. PPM: s nuvarande värden: cx Ïa b e m x = Ì Óm w k x - w för x w för x w a=,5 b=,355 c=,117 w= 97 k=,1 Denna prognos är gjord med hjäp av SCB: s förra dödighesprognos 2. SCB uför re prognoser, en hög, en mede och en åg. PPM iämpar de sisa aernaive som innebär en prognos som har den snabbas sigande förvänade åersående ivsängden jämför med de vå andra. Anedningen i a åg-aernaive väjs är för a sannoikheen a premiepensionsspararens ubeaningar minskar ska bi så ien som möjig. Från mx räknas q x fram så a en jämförese mean PPM: s och SCB: s eåriga dödsrisker kan göras. Figur 5.2. Jämförese med qx 23 för SCB och för PPM qx för SCB och PPM,6,5 dödssannoikhe,4,3,2 PPM SCB åder ,1 22

25 Tabe 5.4. Jämförese av åersående ivsängd för SCB och för PPM Åersående ivsängd från SCB 23 2,7 11,2 3,9,4 SCB ,5 12, 4,3,5 SCB ,1 12,6 4,6,5 PPM 21,2 13,4 7,4 4, Från denna abe kan man se a PPM gör en vädig försikig prognos för höga ådrar. Den sörsa anedningen i denna säkerhe är a de finns mycke ie saisik om dödighe i höga ådrar. Men hur säker och hur håbar PPM: s dödighesprognos är kommer a visas i föjande scenarier som jag va a beysa: 1. PPM gör en perfek dödighesprognos, q verk = qde Kapiae pensionsspararna har vid 65 års åder kan porioneras u genom konsana ubeaningar ivsvarig. A kunna göra en sådan prognos är PPM: s srävan. 2. Verkig dödighe enig SCB Vi använder de dödighesanaganden som PPM använder idag för a säa deningsaen. Samma deningsa används för aa generaioner som går i pension mean 23 och 253. Vi åer verkigheen uveckas enig SCB. Hur bra sämmer PPM: s skaning för försa kohoren? Om 1 år? Om 2 år? Vad händer med premiepensionsspararnas ubeaningar? Hur mycke kommer dessa a ändras? Acceperar spararna viken förändring som hes? Om ubeaningarna exempevis minskar med mer än 1 % från försa ubeaningen måse någo göras. 3. Verkig dödighe enig varian 1 av SCB Vi använder de dödighesanaganden som PPM använder idag för a säa deningsaen. Samma deningsa används för aa generaioner som går i pension mean 23 och 253. Vi åer verkigheen uveckas enig en varian av SCB: s prognos. SCB: s eåriga risker muipiceras med e a, samma a för aa ådrar, aa år. Med hjäp av dea kan vi visa vad som händer med ubeaningarna om dödsriskerna minskar, d.v.s. a den åersående medeivsängden bir ängre. Tabe 5.5. a-värden som ger ökad åersående ivsängd Ökning i åersående medeivsängd för en 65 åring 23 1 år,88 3 år,68 5 år,54 a är sa uifrån den åersående ivsängden för en person som går i pension 23. De innebär a en ökning med 3 år för en pensionär 23 ine bir en ökning med 3 år för en pensionär i senare kohorer efersom dem redan har ängre åersående ivsängd. a 23

26 Hur for går de sne? När bir ubeaningarna ägre än den försa ubeaningen? Tiden is ubeaningarna skijer sig mer än.ex. 1 % från försa ubeaningen bir ju korare ju mer den verkiga dödigheen skijer från den skaade. Vad har en ökning i ivsängd för inverkan på PPM: s prognos? Hur många år förkoras prognosens håbarhe då ivsängden ökas med 1, 3 och 5 år? Vad beyder en ökning i åersående medeivsängden för de iniiaa kapiae kapiae vid pensionering? 4. Verkig dödighe enig varian 2 av SCB Vi använder de dödighesanaganden som PPM använder idag för a säa deningsaen. Samma deningsa används för aa generaioner som går i pension mean 23 och 253. Vi åer verkigheen uveckas enig en varian av SCB: s prognos. SCB: s eåriga dödsrisker muipiceras med 3 oika g för oika kaenderår. Tabe 5.6.g -värden som påverkar den åersående ivsängden Kaenderår g g g g 3 Meningen med de här scenario är a visa a den förvänade åersående ivsängden kan ökas på fera sä. I scenario 3 ökade vi den genom a muipicera hea qx-marisen med samma a, här vi vi isäe visa a den förvänade åersående ivsängden kan ökas med e år genom a man åer dödsrisken för oika kaenderår bi ägre. Tabe 5.7. g -värden som ger en ökad förvänad åersående ivsängd för dem som går i pension 23 g 1 1 g 2,83 g 3,83 Dea va av g-värden kan moiveras med a om 1 år hiar man mediciner mo någon sjukdom som gör a SCB för år efer 213 har sa dödsriskerna för höga och a de i sjäva verke bir ägre. Jag väjer a ia på den generaion som går i pension 23, då jag vi kunna jämföra med scenario 3. A den förvänade åersående medeivsängden ökar med e år beyder de samma sak för ubeaningarna i de här scenario som i scenario 3? 5. Anpassning av SCB:s qx i Makeham I de här sisa scenario vi vi hia en Makeham-anpassning i SCB: s eåriga dödsrisker för den generaion som går i pension år 23. Dea för a de i scenario 2 visar sig a PPM: s qx-värden ine överenssämmer med SCB: s för höga ådrar. För a göra dea måse vi ransformera SCB: s qx-värden i m x. Dea gör vi med hjäp av eorin som föjer i resuae i dea scenario och med hjäp av Probemösaren i Exce. 24

27 Vad skue de beyda om PPM skue använda de värden, som as fram i de här scenario, i a räkna u deningsaen? 6. RESULTAT OCH SLUTSATSER 6.1 SCENARIO 1. PPM GÖR EN PERFEKT DÖDLIGHETSPROGNOS, q = verk q de PPM har yckas med en perfek prognos. Man har i sin prognos räkna med samma dödighe som sedan verkigheen uveckas enig Med andra ord så har man yckas säa deningsaen så de sämmer precis med verkigheen. Både när de gäer dödighe och avkasning. Ubeaningarna ser då u som föjer: Figur 6.1. Ubeaning per individ Ubeaning per individ 3 25 kr åder Tabe 6.1. Ubeaning per individ för 5 uvada kohorer Ubeaning per individ och år Pensioneringsår kr Ubeaningarna bir konsana under hea ubeaningsfasen för aa 5 kohorerna. Ubeaningarna bir högre för senare kohorer efersom dessa har vari ängre id i de nya syseme och hunni sama på sig mer pengar. En perfek prognos beyder också a aa pengar deas u i varje kohor, d.v.s. a uan räna och drifkosnadsavgif har, efer 5 år i syseme, pensionärerna som går i pension år 23 få u sina 279 Mkr. Med räna och drifskosnadsavgif får kohoren som går i pension år Mkr 25

28 Susas: Kunde man föruspå framiden skue man kunna garanera sina premiepensionssparare konsana ubeaningar. För a få en uppfaning om vad en perfek prognos innebär för PPM och kunna jämföra denna prognos med senare scenarier, så har jag räkna u hur sora ubeaningar PPM bör göra varje år ej kohorvis!. Se Figur 6.2. Anedningen i a ubeaningarna ökar för varje kaenderår beror på a de varje år kommer in ny kohor 65-åringar. Ex. Försa åre görs endas en ubeaning, näsa år vå ubeaningar o.s.v. Se abe 6.2. Tabe 6.2. Ubeaning per kaenderår o.s.v ub65,23 ub66,23 ub67,23 ub65,24 ub66,24 ub65,25 ubx, k= årig ubeaning i hea kohoren k då de är x år. Figur 6.2. Ubeaningar per år Ubeaningar per år Mkr 4 3 Ubeaning/år Kaenderår 6.2 SCENARIO 2. VERKLIG DÖDLIGHET ENLIGT SCB Deningsaen beräknas enig PPM: s dödighesprognos för personer som går i pension åren , medan ana personer dör av enig SCB: s prognos. Programme räknar fram en individs åriga ubeaning. Figur 6.3 visar hur dessa ser u för individer ihörande re kohorer, de som är födda -38, -48 och -58. Senare generaioners pensioneringsid igger ie för ång fram i iden för a de ska vara inressana för PPM idag. Jag väjer, av grafiska sjä, a visa ubeaningarna i procen då de bir äare a se skinad mean de re generaionerna. I Figur 5.2 kan man se a PPM: s eåriga dödsrisk sämmer vä överens med SCB: s eåriga dödsrisk för år 23 fram i ådrar run 85 år. Därefer har PPM en dödsrisk som är ägre än SCB. Dea innebär a de försa åren bör ubeaningarna se ganska bra u, men ju ädre pensionären bir deso sämre sämmer PPM: s prognos. Med sämre menas a man anagi a fer personer ska eva kvar än de i verkigheen gör enig SCB: s prognos. Dessa färre 26

29 personer i höga ådrar får med andra ord mer pengar a dea på och deras åriga ubeaningar höjs. Figur 6.3. Ubeaning per individ Ubeaning per individ % % åder Tabe 6.3. Ubeaning i % Ubeaning vid 4 ådrar Från abeen ovan går de a aväsa, a innan denna höjning av premiepensionen inräffar innebär PPM: s feakiga prognos i jämförese med SCB en sänkning av ubeaningarna. En ubeaningsminskning med 1 % borde vara skä nog för PPM a ändra sina deningsa. För generaioner som går i pension år 23 och 213 skue PPM kunna ha kvar sina deningsa, men premiepensionsspararna som går i pension år 223 får efer 2 år d.v.s. år 243 en ubeaningsminskning med 12 %. Acceperas dea? PPM har inga krav på sig a de ej får sänka ubeaningarna. Tros de vi PPM göra en rävis dödighesprognos genemo spararna, därför kan en 1 % gräns vara e bra må på när prognosen ine ängre håer. E anna bra må för a se hur bra prognosen var, är a se hur mycke mer eer mindre kapia premiepensionsspararna behöv vid 65 år för a kunna håa senare ubeaningar konsan ika med den försa. 27

30 Figur 6.4. Aa kohorers ev. ökning eer minskning av iniia kapia Ökning/Minskning av kapia vid % pensioneringsår T.ex. för kohoren född 38 som gick i pension 23 hade de räck med 2 % mindre iniia kapia för a kunna håa senare ubeaningar konsan ika med den försa. De födda 48 och 58 hade däremo behöv 1,5 % respekive 4 % mer. De innebär a, för de försa 6 generaionerna 23-28som behöv e ägre iniia kapia hade man kunna ge u en högre iniia pension. De i sin ur innebär a PPM: s prognos är sa med en säkerhe som gör a för generaioner som går i pension år bidas de en orävisa. Premiepensionssparare som dör idig får u för ie pension. Susas: PPM: s nuvarande prognos är sa med sådan säkerhe a, i eorin skue man kunna ha samma prognos/deningsa i näsan 3 år i, uan a premiepensionsspararna skue få sänka ubeaningar med mer än 1 %. Den försa generaion som får en ubeaningssänkning sörre än 1 % är den som går i pension 218 och de får den försa minskningen efer 2 år som pensionärer, aså år 24. Däremo är PPM: s prognos redan idag orävis för de idiga generaionerna då de som dör idig i dessa generaioner får ubeaningar som är ägre än vad de borde få u om PPM yckas gör en perfek prognos. A förusa a SCB gjor en prognos som sämmer för 5 år framå. De beopp PPM beaar u per år från ser u som föjer: % 28

31 Figur 6.5. Ubeaningar per år Ubeaningar per år Mkr 4 3 Ubeaningar/år Kaenderår Jämför man dessa åriga beopp med de beopp som bör beaas u då en perfek prognos är gjord Se Figur 6.2 så ser skinaden u som föjer i Figur 6.6 och Figur 6.7. Figur 6.6. Skinad i ubea beopp per år, PPM: s nuvarande värden jämför med en perfek prognos, aa år. Skinad i ubeaa beopp Mkr 4 beopp Kaenderår

32 Figur 6.7. Skinad i ubea beopp/år, PPM: s nuvarande värden jämför med en perfek prognos, de försa åa åren. Skinad i ubeaning Mkr Beopp kaenderår De försa sju åren beaas de u för ie, däremo för år efer 29 beaas de u för mycke varje år efersom man sa en så säker prognos för höga ådrar. Sammanag beaas de u Mkr under dessa 5 år. De kan jämföras med Mkr som ska beaas u då en perfek prognos är sa. 6.3 SCENARIO 3. VERKLIG DÖDLIGHET ENLIGT VARIANT 1 AV SCB Jag väjer åer igen a ia på generaionerna som går i pension år 23 och 213. Generaionen som går i pension år 223 är däremo ine så inressan i de här scenario efersom jag i scenario 2 konsaerar a de får ubeaningsminskning sörre än 1 % uan a deras åersående ivsängden ökas Se abe 6.3. Vad händer med en pensionärs ubeaningar om hans åersående medeivsängd ökar med 1, 3 och 5 år? 3

33 6.3.1 FÖR KOHORTEN SOM GÅR I PENSION ÅR 23 Figur 6.8. Eårig dödsrisk qx, 4 oika fa qx för SCB och PPM, generaion -38 dödssannoikhe,5,45,4,35,3,25,2,15,1, åder SCB 1år SCB 3år SCB 5år PPM I figur 6.8 kan man se hur mycke den eåriga dödsrisken förändras då den åersående medeivsängden för en 65-åring ökas med 1, 3 respekive 5 år. Bara genom a ia på figuren ser man a en ökad åersående ivsängd med 3 respekive 5 år måse innebära ubeaningssänkningar för pensionärer då hea qx-kurvorna igger under PPM: s qx-kurva. Figur 6.9. Ubeaning per individ Ubeaning per individ, generaion % SCB idag SCB 1år SCB 3år SCB 5år åder De innebär a om SCB: s prognos är gjord i underkan och åersående medeivsängd för en 65-åring isäe är x år ängre x=1, 3,5 så skue ubeaningarna förändras på föjande sä: 31

34 Tabe 6.4. Ubeaning i % för person som går i pension år 23 Ubeaning vid 4 ådrar: år år år För PPM: s de innebär de här, a om den åersående medeivsängden skue öka med e år behöver en ändring av deningsaen göras innan pensionärerna fyer 95 dvs. år 233. Dea för a premiepensionsspararna ska sippa ubeaningsminskningar sörre än 1 %. En ökning i åersående medeivsängd med 3 respekive 5 år innebär på mosvarande sä, a PPM behöver göra en ny prognos före år 223. Exak beyder en ökning med 3 år a en ny prognos bör göras år 223 och en ökning med 5 år beyder a en ny prognos bör göras innan 218 så sipper premiepensionsspararna ubeaningsminskningar Man kan också se hur mycke mer iniia kapia pensionsspararna behöv vid 65 år för a kunna håa ubeaningarna konsan ika med den försa: Figur 6.1. Ökning/Minskning i kapia vid 65 Ökning/Minskning i kapia vid 65 pga ökad ivsängd, generaion % Ökning/Minskning i kapia vid 65år -2 1år 3år 5år -4 En ökning med 5 år innebär a premiepensionsspararna som går i pension 23 isammans hade behöv näsan 321Mkr för a kunna håa senare ubeaningar ika med den försa isäe för de nu 279Mkr de hade isammans vid 65års åder 15 % mer.en ökningen i åersående förvänad ivsängd kan, med andra ord, möas med en ökning i iniia kapia. Dea innebär a om SCB gjor sin prognos i underkan och i sjäva verke den åersående ivsängden bir ännu ängre 1, 3,5 år skapas ingen orävisa mean de som dör idig och de som dör sen. Däremo bir PPM, som konsaeras ovan, vungna a göra ubeaningssänkningar för a pengarna ska räcka i en ängre åersående ivsängd. 32

35 6.3.2 FÖR KOHORTEN SOM GÅR I PENSION ÅR 213 Jag iar nu på kohoren som går i pension 1 år senare för a se hur deras ubeaningsperiod påverkas av a den åersående medeivsängden för en pensionär 23 ökas med 1, 3 och 5 år. Figur Eårig dödsrisk qx, 4 oika fa qx för SCB och PPM, generaion -48 dödssannoikhe,5,45,4,35,3,25,2,15,1, åder SCB 1år SCB 3år SCB 5år PPM Liknande anays som gjordes av Figur 6.8 kan nu göras med Figur Man ser a qx- kurvorna, då medeivsängden ökar, igger under PPM: s qx-kurva, aså kommer ubeaningsminskningar a behöva göras. PPM överskaar dödigheen och anar a fok ever korare id än vad de egenigen gör. Deras ubeaningar i % förändras enig föjande: Figur Ubeaning per individ Ubeaning per individ, generaion % SCB idag SCB 1år SCB 3år SCB 5år åder

36 Tabe 6.5. Ubeaning i % för pensionär 213 Ubeaning vid 4 ådrar: år år år Från denna abe kan man aväsa a om den åersående ivsängden skue öka med e år för en som går i pension 23 innebär de a PPM bör göra en ändring av sin prognos innan pensionären ska fya 85 dvs. år 233 Exak så är de år 232 sparare får en ubeaningsminskning sörre än 1 %. Om den åersående ivsängden ökar med 3 respekive 5 år behövs de, på samma sä, göras en ny prognos innan 233 Exak så sker försa ubeaningsminskningen som är sörre än 1 % år 228 respekive 226. Här kan de också vara inressan a se hur mycke mer iniia kapia pensionärer behöver vid 65 år. Figur Ökning i kapia vid 65 Ökning/Minskning i kapia vid 65år pga ökad ivsängd, generaion % år 3år 5år Ökning/Minskning i kapia vid 65år En ökning med 5 år innebär a premiepensionsspararna som går i pension 213 isammans hade behöv näsan Mkr för a kunna håa senare ubeaningar konsan ika med den försa isäe för de nu Mkr de hade isammans vid 65års åder 17 % mer. Susaser: PPM: s prognos har en sådan håbarhe a för den generaion som går i pension år 23 skue man kara en ökning i åersående ivsängd med 1 år i 3 år. En ökning i åersående ivsängd med 3 respekive 5 år skue innebära, a man skue kunna ha kvar denna prognos i 2 år. Om man isäe är inresserad av håbarheen av PPM: s prognos för den senare generaionen som går i pension 213 så innebär en ökning med 1 år a prognosen är håbar i

37 Ökning med 3 respekive 5 år ger försa ubeaningsminskningen sörre än 1 % år 228 respekive SCENARIO 4. VERKLIG DÖDLIGHET ENLIGT VARIANT 2 AV SCB Jag väjer a bara ia på generaionen som går i pension 23 då jag vi jämföra med scenario 3. Vad händer med en pensionärs ubeaningar om hans förvänade åersående medeivsängd ökar med 1år? Börjar förs med a jämföra qx-kurvorna, i både scenarierna. Figur Jämförese av qx i scenario 3 och scenario 4 Jämförese av qx i scenario 3 och 4 dödssannoikhe,5,45,4,35,3,25,2,15,1, åder Scenario 3 Scenario 4 Fram i 75 års åder, går qx som ogs fram i scenario 3 under den från scenario 4, efer 75 års åder ägger sig qx från scenario 3 över. Naurig då jag i scenario 3 muipicerar aa dödsrisker med,88 och i scenario 4 muipiceras dödsrisker efer 213 åder 75 för en som går pension 23 med,83. Näsa seg bir a jämföra ubeaningarna: Figur Jämförese av ubeaningarna i scenario 3 och scenario 4 35

38 Jämförese av ubeaningarna, scenario 3 och 4 % åder Ub en. scenario 3 Ub en. scenario 4 Tabe 6.6. Ubeaningarna i % Ubeaning vid 4 ådrar Scenario Scenario Jag kan här konsaera a ubeaningarna skijer sig å. Skue den förvänade åersående ivsängden ökas med e år enig meoden i scenario 4 skue PPM bi vungna a ändra sin prognos före år 226 för a premiepensionsspararna ska sippa en ubeaningssänkning på mer än 1 %. Jämför dea med resuae i scenario 3 då de behövde göra en ny prognos före år 233. Susas: Den åersående ivsängden ökas med e år i båda faen, men i och med a ökningen görs på vå oika sä innebär de oika resua för premiepensionsspararnas ubeaningar. Men gemensam för båda dessa scenarier är a PPM: s prognos håer i mins 2 år, framöver om verkigheen uveckas enig SCB: s prognos. 6.5 SCENARIO 5. ANPASSNING AV SCB: S QX TILL MAKEHAM Vi vi anpassa en mx -kurva i SCB: s eåriga dödsrisker qx för generaionen som går i pension 23. Dea för a visa a SCB: s eåriga dödsrisker kan anpassas ungefärig med en Makeham. Amän ivförsäkringsmaemaik säger a x 1 q x = 1- x = 1- e x 1 - m d Ú x Ú = 1- e 1 - m x d = 1- e b cx c - a e e -1 c 1 [sisa ikheen i formen ovan fås från Makeham m c x q x q = a b e ] 36

39 En. forme 3.3 s. 3 i kompendie Livförsäkringsmaemaik är - n 1- q m x 1 2 Vi vi här försöka hia en approximaion som är bäre än denna. Vi vi hia e q som uppfyer - n 1- q m x q Denna forme kan skrivas om som q x = 1- e -m x q = 1- e c x q - a b e 2 [sisa ikheen i formen ovan fås från Makeham m c x q x q = a b e ] Vi söker q genom a säa 1=2 1- e b cx c - a e e -1 c xq c - a b e Dea ger q = 1 c n e -1 c c = 1- e Vi vi nu hia a, b och c-värden som minimerar skinaden i nedansående ikhe 1 m x q = n [omskrivning av 2] 1- q x Dessa a, b och c-värden ger då den bäsa anpassningen av qx i mx cx m x = a b e där x = åder Värden som minimerade skinaden bev: a= b=,476 c=,899 ger q =,54 Väjer också a använda den modifierade Makehammodeen med w= 16 k=,1 Anedningen i a w säs ika med 16 är a för ådrar över 16 anar SCB samma dödsrisk 37