Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

Transkript

1 Umå univrsi Insiuionn ör mmik oc mmisk sisik Roin Ekmn oc Axl Tors Tnmn i mmik Inroukion ill iskr mmik Lösninsörsl Hjälpml: Miniräknr Lösninrn skll prsnrs på sån sä räkninr oc rsonmn lir lä ölj. Avslu vrj lösnin m yli niv svr! Nor nn nmn in öms m poän, un nom prsionn skll vr or på vr oc v yr lområn (Enumrion; Grori, rä oc sorrin; Loik oc mänlär; Tlori). Ens svr är lri illräckli. För ör y (VG rspkiv, ) ks ävn ur lösninrn prsnrs. För y krävs smmnl 0 i uvusk korrk lös uppir, vrv 6 l korrk. För y VG krävs smmnl i uvusk korrk lös uppir, vrv 7 l korrk. För y krävs smmnl i uvusk korrk lös uppir, vrv 8 l korrk. Enumrion (mins vå i uvusk korrk lös uppir ör okän y Mins r i uvusk korrk lös uppir, vrv vå l korrk, ör cns ill ör y). Hur mån olik or kn ils nom ly om oksävrn i or OMTENTAMEN om.... oksvsöljn TOMTEN mås inns m i or? Lösnin. Om TOMTEN mås inns m r vi i prkikn m ojk orn, TOMTEN, A, M, N oc E. D kn örs på! sä. Ersom in inns når upprp oksävr unör or TOMTEN r vi in ulräkn nåo.. oksvsöljn TOMTEN in år inns m i or? Lösnin. D år orn oksävrn i OMTENTAMEN på A = 0!!!!! sä är nämnr är nl sä prmur yr prn v oksävr. I. ick vi rm! v ss innållr TOMTEN, så nl som in innållr TOMTEN är A! = 0! 6!. c. Or OMTENTAMEN r io oksävr. Hur mån olik or m nio oksävr kn ils om ll nio oksävrn väljs rån osävrn i OMTENTAMEN? Lösnin. Vrj or m io oksävr r uppov ill or m nio oksävr nom mn srykr n sis oksvn. All or m nio oksävr svrr också mo m io, y lir r n oksv övr. Allså inns lik mån or m nio som m io oksävr, vill sä 0!/(!). Alrniv. Vi väljr n oksv in nvän när vi konsrurr or m nio oksävr. Om nn oksv är nåon v E, N, M llr T r vi kvr 9 oksävr m pr, så kn orns på 9!/(!) sä. Om n oksv vi in r m är A llr M r vi kvr 9 oksävr m pr, som kn orns på 9!/(!) sä. D r nli iionsprincipn 9! (!) + 9! (!) = 9! 0 9! = = 0!

2 . En kninpopulion i områ växr på öljn sä: Förs inns pr kninr. E kninpr som är mins vå månr mml ör vrj mån ny kninpr.. Lå F n ckn nl kninpr vi slu v mån n. Förklr vrör rkursionskvionn skrivr populionns illväx. F n+ = F n + F n (n ), F 0 =, F = Lösnin. F n är nl kninr mån n. F n är nlr kninr månn ör. Mån n + är snr mins vå månr ml oc ör ny pr. Ekvionn F n+ = F n + F n sär llså nl pr kninr n mån är nl pr kninr som lv örr månn plus pr ör vrj pr som lv vå månr iir. Ersom vi örjr m nyö pr mån 0 så inns ävn r pr mån. Allså sk vi ynnlsvärn F 0 = F =.. Lös rkursionskvionn. Lösnin. D krkärisisk polynom är m rör Allså är n llmänn lösninn Villkorn F 0 = F = r nu F n = C ( r r = 0 r, = ±. + ) n ( ) n + D. = C + D = C + + D vilk r C = D r lösninn = D = + =. + ( F n = + ) n ( + + ) n. c. Vrj mån lyr ssuom ny kninpr in ill områ. Mollr nn ny siuion m n rkursionskvion, oc lös n. Lösnin. Vi nr inly kninrn är nyö oc örjr örök si r vå månr. Då är rkursionskvionn F n+ = F n + F n +.

3 Vi o rm n omon lösninn i. Vi nsär prikulärlösninn F n (p) = C vilk r C = C + C + llr C = F n (p) =. Villkorn på konsnrn i n omon lösninn lir nu = C + D = C + + D r som vi r pr kninr mån 0 oc lyr in mån. D sysm r lösninn C = + D =. Allså är n llmänn lösninn F n = + ( + ) n ( + ) n.. Dinir n rlion R på Z Z nom (, )R(c, ) om = c.. Vis (,)R(c,) om = c, mn (,)R(c,) = c. Lösnin. Om = c så = c, så (,)R(c,). Om = = 0 så r vi nom korsmuliplikion = 0 = c mn är in inir.. Är rlionn n kvivlnsrlion? Lösnin. (0,0) är rlr ill ll lpr. Mn (,0) är in rlr ill (,). Allså kn R in vr rnsiiv oc ärm in n kvivlnsrlion. Dock kn mn konrollr rlionn är symmrisk oc rlxiv.. Lå A = {,, c,, }. Hur mån rlionr inns på A som är.... rlxiv? Lösnin. En rlion är n lmän v A A, är A A =. Rlxivi ör v ss mås inå, på ormn (x,x). D övri 0 kn vr m llr kn in vr m, så vi år nli muliplikionsprincipn 0 rlxiv rlionr på A.. symmrisk? Lösnin. Brk pr (x,y),x,y A. D inns pr är x y oc är x = y. Om rlionn sk vr symmrisk mås vi m å (x,y) oc (y,x) llr inn v m. Då r vi / + = vl. (Nor örs l är ( ).) Allså är nl symmrisk rlionr på A. c. symmrisk mn in rlxiv? Lösnin. En symmrisk rlion är rlxiv om ll (x,x) inår. Prn (x,y),x y r vi ull ri övr oc lir 0 vl. D inns vl älln prn (x,x) mn r v m innållr ll. Allså inns 0 ( ) symmrisk mn in rlxiv rlionr på A nli muliplikionsprincipn. A unr på: Hur mån rnsiiv rlionr inns på A? 0 mn inns in nkl sä räkn.. Hur mån lösninr ill kvionn x + x + x + x = 7 är x i Z + inns om...

4 . x? Lösnin. D inns lik mån lösninr som ill kvionn y + y + y + y = y i N 0. Villkor x r oss möjlir, y = 0,,. Vi år å nl lösninr är nl sä örl, llr or i låor vilk örs på ( ) ( +, ) (, ) sä. D lir ( ) ( ) ( ) + + = 7.. x 8? Lösnin. Enli smm princip år vi krv y 7 m y i som öru. Då är nl lösninr nl sä örl, 0, 9, 8 llr 7 or i låor. D är ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 08. c. x x = 7? Lösnin. Krv r så vi kn i på kvionn x = x + 7 x + x + x + x + 7 = 7 x + x + x = 0 y + y + y = 6. Nu r vi r vl ör y = 0,,,. Dss mosvrr kvionrn y + y = 6 y + y = y + y = y + y = 0 m 7,, oc lösninr vrr, ol 6. Grori, rä oc sorrin (mins vå i uvusk korrk lös uppir ör okän y Mins r i uvusk korrk lös uppir, vrv vå l korrk, ör cns ill ör y) 6.. Hr n plnär rn K n Eulrslin? Lösnin. Nj, ll yr örn r u vlns () oc ör n Eulrslin sk xisr krävs ll knr r jämn vlns.. Är n ipri rn K, plnär? Lösnin. J, y n kn ris i pln un kors linjr, s iur. s c

5 c. Är cykln C n på n örn ipri? Lösnin. J, om n är jämn. Då kn vi kll örnn,,,...,k = n oc vrj kn år mlln u l oc jämn l. Vi kn mänrn X oc Y som u rspkiv jämn örnn. Nj, om n är u. Ty vi kn numrr örnn,,,...,k + = n. Då mås oc k + = n illör smm män i n ipriion v C n, mn år in, ör inns ju n kn mlln m. Allså är C n j ipri om n är u. 8 8 F: s c Brk ovnsån r F.. Finn på vlri sä n smmnänn uppspännn lr i F, som minimrr summn v vikrn på knrn i lrn. Lösnin. Vi nvänr Kruskls lorim. Då väljs knrn {, }, {, }, {, }, {, }, {s, c}, {,}, {,}, {,}, {s,}, i nn ornin. s c. Lös prolm i, m yrlir krv knrn {s,} oc {,} mås inå i lrn. Lösnin. Vi nvänr Kruskls lorim in mn örjr m knrn (s,) oc (,) i rä. Då väljs {,}, {,}, {,}, {, }, {s,c}, {,}, {, }. 8 s c 6 c. Bvis n smmnänn uppspännn lr som minimrr summn v vikrn på knrn i lrn mås vr rä. Lösnin. En r är rä om oc ns om n är smmnänn oc in innållr nåon cykl. Om n uppspännn r T innållr n cykl kn mn or åminson n

6 kn rån T un T slur vr smmnänn, så T är orrn uppspännn. Om ll knr r posiiv vik mås minsk vikn. Allså kn vi lli minsk summn v vikrn i n uppspännn r T, om in T är rä. 8.. Skiss cykln C oc ss komplmn K, oc vis K är isomor m C. Lösnin. C K Mn sr,,,,, är n cykl på örn oc innållr ll örn oc knr i K. Allså v är K isomor m C m isomori ϕ nli ϕ(v). Finn n r på örn som är isomor m si komplmn. Lösnin. Brk rrn är n vänsr rn är n örs komplmn. D är nkl s rrn är v isomor: n ör rn kn vckls u oc ris som n vänsr: ϕ(v) c. Vis n r på 6 örn in kn vr isomor m si komplmn. Lnin: Räkn nl knr i rn oc komplmn. Lösnin. I n r G m 6 örn inns ( 6 ) = möjli knr. Om G r k knr mås komplmn k knr. Om G oc ss komplmn är isomor mås smm nl knr, mn vi kn in k = k ör ll k. (8,) (,) (,) (7,) s (,) (,0) (,) c (7,0) (,0) (,) 9. Två sunr r mn i n ispy om lösninn på lösprolm. D r unni ovnsån örsl på lö, är märkninn (c, ) på n kn innär kpcin är c oc lö är. Källn är örn s oc sänkn är örn.

7 . Konrollr om påså lö vrklin är lö. Lösnin. Mn konrollrr om nolö i ll nor är 0 oc inn kpci övrsis. D ällr in i rn ovn y kpcin på knn (, ) övrsis oc nolön vi oc är 0.. Använ For-Fulkrsons lorim ör inn mximl lö oc miniml sni i rn. Lösnin. S lösninsörsl ill orinri lnmn, å är smm nävrk. 0. En r G klls k-nrr om n kn plocks sönr på öljn sä: I s i inns örn v i m vlns ös k, som plocks or illsmmns m ll sin knr.. Vriir rn F ovn är -nrr nom n i vilkn ornin örnn kn plocks or. Lösnin. D n örn m vlns är c. Vi plockr or c. Nu r s vlns. Nu r oc vlns. Vi plockr or s. Vi plockr or oc. s Vi plockr or, oc sn. Nu r oc vlns. Plockr vi or oc årsår r vå örn, oc så vi är klr.. Vis F r kromisk l. Lösnin. F r K som lr (ill xmpl örnn,,) så kromisk l är mins. D xisrr n -ärnin,

8 så kromisk l är ös. Allså är kromisk l. c. Bvis n k-nr r r kromisk l ös k +. Lösnin. Plock sönr rn så in örn som plocks or r lr än k rnnr. Konsrur sn rn kläns nom lä ill örn i. D är klr när vi r som ms k + örn xisrr n (k + )-ärnin. An vi r l ill p örn oc orrn r n (k + )-ärnin. När vi lär ill p + : örn år som ms k rnnr, så inns orrn n (k + )-ärnin. Enli inukion inns å n (k + )-ärnin ör ll nl örn. Loik oc mänlär (mins n i uvusk korrk lös uppi ör okän y Mins vå i uvusk korrk lös uppir, vrv n l korrk, ör cns ill ör y). Lå A oc B vr vå mänr i univrs U.. Förklr v som mns m A B, oc skiss illörn Vnn-irmm. Lösnin. M A B mns komplmn ill unionn v A oc B. Unionn v A oc B är ll som inår i nåon v mänrn A llr B. Komplmn ill är ll som in inår i nåon v mänrn A llr B. U A B. D Morns örs l sär A B = A B. Bvis m jälp v Vnn-irmm i uppi, oc Vnn-irm ör männ A B. Lösnin. A mrkrs i rö oc B i lå. Då är A B mrkr i lil. D är smm som mrkr områ i. U A B c. Använ D Morns lr ör örnkl uryck A B så in innållr når komplmn, oc skiss Vnn-irmm ör männ. Lösnin. A B = A B = A B, lrniv A B = A B = A B, rsom A = A. Dnn män är l yll områ i iurn nn.

9 U A B.. Säll upp snninsvärsllr ör uryckn (p p) q oc (p p) q. Lösnin. p q p p p (p p) q p p (p p) q Är vå uryckn i loisk kvivln? Lösnin. Uryckn är in loisk kvivln, ör rs kolumnr i snninsvärslln är in lik. c. Är nåo v m n uoloi llr n mosäls? Lösnin. J, (p p) q är n uoli rsom är sn ovs p:s oc q:s snninsvärn. D nr påsån är vrkn n uoloi llr n mosäls rsom vrkn är lli sn llr lli lsk.. Brk usn x y[xy = ].. Ur om usn är snn nom olk som n kvniirr övr N, Z, Q oc R. Lösnin. I N inns in l y så y =, så usn är in snn övr N. I Z, Q oc R inns l 0, oc inns in l i nåon v mänrn så 0y =. Allså är usn in snn övr nåon v lmänrn N, Z, Q llr R.. Gnom or n lmn ur viss v lområn i kn usn örs snn. Förklr! Lösnin. Om vi r or 0 rån Q oc R är ivision lli möjli. D vill sä, om x 0 kn vi y = /x så xy =. A x 0 rnrr /x är välinir. c. V är usns nion? Uryck un nvän. Lösnin. x y[xy ]. D räckr m inns x så in inns nåo y så xy =. A in inns nåo y så xy = är smm sk som xy ör ll y. Tlori (mins n i uvusk korrk lös uppi ör okän y Mins vå i uvusk korrk lös uppir, vrv n l korrk, ör cns ill ör y).. Bräkn s(n,n ) m jälp v Euklis lorim.

10 Lösnin. n = (n ) + { 0 n jämn n = k + n u Euklis lorim r nu s(n,n ) = om n är jämn, nnrs är s(n,n ) = s(,) =.. När är n oc n rliv prim? Lösnin. Två l oc är pr iniion rliv prim om oc ns om s(,) =. Enli. ällr när n är u. c. An >. Bvis s(,) min{,, } (minimum v, oc ). Lösnin. Lå s = s(,). Då är = sk, = sn är k,n N. Ersom >, så är k > n. Nu r vi = s(k n) s. Ersom s lr kn s in vr sörr än. Allså s min{,}. (Nor in är növäni m rsom vi no >.). Euklis ss sär som kn inns oänli mån priml. D inns mån sä vis ssn, mn knsk vnlis r öljn srukur: An p,p,... p n är n lis övr ll priml. Bil N = p p... p n +. Då är N lr m nåo ny priml p (som in inns m ln p,p,...,p n ).. V är poänn m n p,p,...,p n är n lis övr ll priml? Lösnin. Om inns änli mån priml kn vi il nn lis. Vi vill ör mosälsvis, vill sä vis vi mås miss nåo priml när vi il lisn.. Vrör är N lr m ny priml p? Lösnin. Enli rimikns unmnlss är ll l lr m åminson priml, sä p. Rsn när mn lr N m p i är uppnrlin, så N är in lr m nåo p i. Allså kn in p vr nåo p i som vi rn r. c. Kn N i si vr ny priml? Rsonr oc xmpl. Lösnin. J. T ill xmpl p =,p =. Då är p p = 6, så N = 7, som är priml. Lär vi ill p = år vi isäll N =, som också är priml. Dock är in lli så, y 7 + = Ävn i ll är mllri N lr m mins priml som in inns m på lisn. 6. Brk öljn ini: n k=0 ( n k) = ( n n ).. Bskriv ur skull kunn viss m jälp v inukion, oc örklr vrör inukionss är prolmisk jämör m vis vnli summionsormlr, xmplvis n = n(n + )/. Lösnin. Påsån är sn ör n = 0 rsom å sår ( ) ( ) 0 0 = =. 0 0

11 An är sn ör n = p 0. Vi sär n = p + oc vill vis p+ ( p+ ) ( k=0 k = p+ ) p+. D örsvårs v p + ls är n övr summionsränsn, oc ls örkommr i rmrn, ( ) p+. k Därör kn vi in r skilj u n rm i summn, som mn kn ör i vis ör n = n(n + )/.. Bvis isäll inin kominorisk nom yll i ljrn i öljn: Osrvr ( n ( k) = n )( n k n k), oc vänsrl ärör kn olks (m jälp v iionsprincipn oc muliplikionsprincipn) som nl olik sä välj u n prsonr ln n prsonr, är n är män oc n är kvinnor. Lösnin. Inin ( n ( k) = n )( n ( k n k) öljr ur kum n ) ( k = n n k). En rm i summn i vänsrl kn llså olks som vi väljr u k män ln n män, llså ( n k) olik möjlir, oc oron v (muliplikionsprincipn) väljr u n k kvinnor ln n kvinnor, så smmnl n prsonr ln n prsonr. Om mn lår k vrir rån k = 0 ill k = n år vi ll olik sä r vå nl så summn lir n. Dss sä uslur vrnr (iionsprincipn), oc uömmr ll möjlir. När vi ilr summn rån k = 0 ill k = n uömmr vi llså ll möjlir välj u n prsonr ln n prsonr, vilk ju r smm nl som i örl.