Lite extramaterial i anslutning till boken

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lite extramaterial i anslutning till boken"

Max Pålsson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Lite extramaterial i anslutning till boken Kapitel 1 Elementär algebra Prioritetsregler för räknesätten Det är av avgörande betydelse i vilken ordning räkneoperationer utförs. För att på ett otvetydigt sätt ange detta, använder man parenteser. Exempel 1: (( ) + 4) 5 = (6 + 10) 5 = 80 ( ( + 4)) 5 = ( 7) 5 = 14 5 = 70 (( + 4) 5) = (7 5) = 5 = 70 ( + (4 5)) = ( + 0) = = 46 ( ) + (4 5) = = 6 För att minska användandet av parenteser har man en prioritetsregel som säger att multiplikation ska genomföras före addition där parenteser inte finns. Detta betyder att uttrycket ska tolkas som i den sista av ovanstående uppställningar. Vidare är addition jämställd med subtraktion och multiplikation med division, eftersom man får samma resultat oavsett ordningsföljden i dessa fall. Samma sak gäller om flera multiplikationer genomförs i följd, man kan utföra dem i valfri ordning, vilket exemplifieras i andra och tredje uttrycken ovan, efter första likhetstecknet. Däremot måste man se upp med två eller flera divisioner i följd. Exempel : ( 4 ) = 4 = 8, medan ( ) 4 = 1 4 = 1 6 Man ska därför aldrig skriva //4, för här finns ingen regel som avgör vilken division som ska göras först. Däremot är det vanligt att man istället för parentes använder olika längd på bråkstrecken för att markera ordningsföljden: 4 respektive Detta används också flitigt så som i nästa exempel: 51 Exempel : Man skriver när man menar känna till vid räkning med bokstavsuttryck! 4 (51 ). Detta är mycket viktigt att (4 + 5) Bildning av potenser har prioritet före multiplikation och division: 4 ska alltså tolkas som ( 4 ) = 1, menar man annat måste man skriva ( ) 4 = 6 4. Vid upprepad potensbildning är det nog inte lika känt hur man ska tolka en parentesfri situation, men nästa exempel visar hur det brukar/borde vara. Exempel 4: 4 = (4) = 81, till skillnad från ( ) 4 = 8 4 = 1

2 Procenträkning med tillväxtfaktor Vid beräkningar av procentuella förändringar bör man använda sig av tillväxtfaktor. Om vi först konstaterar att 1% = = 0.01, så har vi t ex 5% = 0.05 och 5% av 00 är detsamma som En ökning av ett pris med 5% innebär ju att det nya priset är 105% av det gamla, dvs 1.05 ggr det gamla priset. Om vi istället minskar med 5% gör det att vi får 95% av det gamla priset, dvs 0.95 ggr det gamla priset. Talen 1.05 respektive 0.95 kallas tillväxtfaktorer (även om det senare svarar mot en minskning, en s k negativ tillväxt). Exempel 5: En varas pris P höjs först med 1%, sedan med 9% och slutligen sänks det med 0%. Eftersom procentuell förändring alltid syftar på närmast föregående värde, ska man vid varje förändring i kedjan multiplicera med motsvarande tillväxtfaktor. Detta betyder att varans pris efter de tre förändringarna har blivit P = P Slutliga priset är alltså % av det ursprungliga, dvs det har sänkts med.6% totalt. Obs! Eftersom 6% är olika mycket beroende på vilket belopp man syftar på, kan man alltså inte addera de olika procentsatserna: 1+9-0=1. Detta skulle ju ha inneburit att priset totalt höjts med 1%. Anm: Naturligtvis kan det finnas situationer då flera påslag ska göras och där procentsatsen hela tiden syftar på ursprungspriset. I ett sådant fall får man förstås addera procentsatserna. Exempel 7: Ränta på ränta. Med en årsränta på 5% blir tillväxtfaktorn per år 1.05, och efter 10 år = , vilket innebär att ett belopp växer med ca 6% på 10 år. Exempel 8: I exempel 1.18 sid 17 har en varas pris g höjts med 1% och då blivt 4kr. Detta kan formuleras: g 1.1 = 4, en ekvation som vi löser lätt: g = 4 = 00. Gamla 1.1 priset var alltså 00kr. Exempel 9: (Jfr övning 1.1) Om man först sänker med tillväxtfaktorn k och sedan höjer igen med tillväxtfaktorn q, så får man en total förändring som motsvarar tillväxtfaktorn k q. Vill man att man då ska återfå det ursprungliga värdet, ska kq = 1, dvs den senare tillväxtfaktorn ska vara q = 1 k. (Här kan det förstås vara höjning först och sänkning därefter, vi får samma ekvation.) T. ex. om vi sänker med 4%, måste vi höja med ca 1.6%, eftersom q =

3 Kapitel Potenser och logaritmer Avsnitt..6 sid 67-68, Godtycklig bas för logaritm, kan överhoppas. För den som är intresserad ges i detta stycke information om hur man kan räkna om mellan logaritmer med olika baser, t ex lg och ln. Några extra uppgifter. Här kommer några övningsexempel på användning av logaritmer, som kan placeras närmast före uppgift.1 i boken. Facit kommer sist i detta material..i Lös ekvationenerna (a) x = 100 (b) 1.5 = x (c) 1.5 = x+1 (d) e x =.4.II 90-gradigt kaffe hälls i en termos. Kaffets temperatur y C ändras med tiden t timmar enligt ekvationen y = t (detta följer av Newtons avsvalningslag, här antas det omgivande rummet ha temperaturen C, talet 0.94 har med termosens isoleringsförmåga att göra). (a) Hur länge dröjer det innan temperaturen sjunkit till 75 C? (b) Med hur många grader minskar kaffets tenmperatur i genomsnitt per timme under de första fem timmarna? (c) När är kaffets temperatur nere i 45 C? (d) Med hur många grader minskar kaffets temperatur under första timmen och under sjätte timmen? Kapitel Inledande geometri I avsnitt.4 står det om regelbundna polygoner. Viktigast att känna till är deras vinkelsummor (.5.1), speciellt triangelns = 180 och fyrhörningens = 60. Herons formel (avsnitt.5.) kan vara intressant att känna till, men du behöver inte kunna den. I avsnitt.6-.7 kan du vänta med att läsa om ellipsen och ellipsoiden. Lite orientering om ellipsen kommer dock att ges senare. Skala vid likformighet. Förhållandet s mellan motsvarande längder i två likformiga figurer kallar vi längdskalan (i likformighetsavbildningen). T ex på en karta där 1 cm motsvarar 500 m i verkligheten är längdskalan s = 0, 01/500 = 1/ Detta uttrycks ofta med ett kolon som s = 1 : Vid förminskning har vi s < 1, vid förstoring s > 1. Motsvarande förhållande mellan areor är

4 s och kallas areaskalan, för volymer är det s och kallas volymskalan. Exempel 1: En tredimensionell figur avbildas likformigt i skala s = (förstoring ggr). Hur förändras volymen av figuren? Lösning: volymskalan bli s = 7, varmed volymen förstoras 7 ggr. Exempel : Om man i en arkitektmodell av ett hus vill att husets väggar i modellen ska ha 1/500 av den verkliga arean, i vilken (längd)skala ska modellen vara? Lösning: Om längdskalan är s, så blir areaskalan s = 1/500, vilket ger s = 1/500 0, 045 1/. Vi ska alltså bygga modellen i skala 1:. (Här är det avrundat ganska generöst för att man ska få heltalet ). Exempel : Lös bokens övning.9 genom att utnyttja skalor. Observera att vätskevolymerna vid helfullt och halvfullt glas är likformiga, detta gäller verkligen inte i alla glastyper! Denna lösningsmetod gör att man inte behöver räkna på volymformeln för en kon, använd bara längd- och volymskala. Kapitel 4 Koordinatsystem Du kan hoppa över avsnitt 4.. (normalformer) och 4. (ellipsoiden). Kapitel 5 Trigonometri Uppgift 5.1 står i avsnitt 5.6 och kan lösas med enbart sådant som behandlats så långt i boken. Om man väntar med denna uppgift till avsnitt 5.7, blir den dock lättare att lösa. I uppgift 5.1, som a-uppgift: lös den med a = 5, b = 7, c = 6 (svar: 4.9 ) innan du löser den generellt så som det står i boken. Uppgift 5.7b (figur 5.6b) är en luring (varför?). (Detta gäller även deluppgifterna e, f och h). Kapitel 6 Vektorer Avsnitt 6.6 innehåller en tillämpnig på beräkningar av kollisionskurser. Detta rekommenderas för den intresserade, men är alltså inte obligatoriskt och examineras inte heller. En liten orientering kommer att ges på föreläsning.

5 Kapitel 7 Funktioner Läs avsnitt (ej 7.4). En potensfunktion är en funktion av denna typ: f(x) = C x a En exponentialfunktion är en funktion av denna typ: f(x) = C a x Exponentialfunktionen kan alltid skrivas om med basen e eller basen 10 (t ex) genom att man ersätter a med a = e ln a = 10 lg a. Man får då C a x = C e kx = C 10 px där k = ln a, p = lg a. Ex: x = e (ln )x = 10 (lg )x. Funktionerna f(x) = sin x och g(x) = cos x har perioden π, funktionen h(x) = tan x har perioden π. Funktionerna f(x) = sin(ax + b) och g(x) = cos(ax + b) har perioden π a, funktionen h(x) = tan(ax + b) har perioden π a. Kapitel 8 Integraler Det finns olika samband mellan de angivna metoderna för numerisk integration. Ett av dessa anges i uppgift 8.7e: σ n = R n + S n Där har man hälften så många delintervall för rektangelmetoden som för de övriga två. Om man istället ser till att varje rektangel i rektangelmetoden motsvarar ett parallelltrapets i sekantmetoden, får man Simpsons formel genom sambandet σ n = R n + S n

6 Facit till extraövningar lg 100 lg 5 lg 5.I (a) x = = lg 1. lg lg 1.5 lg.5 lg 0.5 (b) x = = lg 0.95 lg (c) x = 1 ( lg 0.5 ) lg ln.4 (d) x = 0.48.II (a) lg 5 lg 68 lg timmar (b).6 C per timme. 5 lg lg 68 (c) 17.5 timmar. lg 0.94 (d) 4.1 C respektive.0 C (ta temperaturdifferenserna mellan t = 1 och t = 0 respektive t = 6 och t = 5).

Relevanta dokument

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller