Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 14:00. Teknikvetenskap och matematik

Transkript

1 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum 0-0- Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, 0-0- Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () Ett radioaktivt prov innehåller en blandning av fosforisotoperna P- och P- men inget annat. En inledande mätning visar, att av den totalt uppmätta aktiviteten från provet, så kommer 0,0 % från P-. Hur många dygn måste man vänta för att 80,0 % skall göra detta?. () Isotopen väte- (tritium) sönderfaller med betasönderfall. a) ( p) Skriv upp reaktionen på vanlig form, med alla sönderfallsprodukterna angivna på korrekt sätt, och utan några andra symboler i formeln. Inga motiveringar behövs. b) (,5 p) Vad är sönderfallets Q-värde i enheten MeV? c) (0,5 p) Q-värdet är ju reaktionens avgivna energi. Men vad blir det av denna energi? Svara med ett av följande alternativ: vätekärnans rekylenergi, sönderfallsprodukternas sammanlagda rörelseenergier, dotterkärnans massförlust, dotterkärnans jonisationsenergi, elektronens viloenergi, neutrinons totalenergi, tritiumkärnans bindningsenergi. Ingen motivering behöver ges och svaret får inte innehålla annan text än ovanstående.

2 . ( p) Två skivor är geometriskt identiska, men tillverkade av olika material, och har följaktligen olika massor (se figur). Den undre skivan som har massan m b är luftlagrad och sätts i rotation så att den får omloppstiden T kring en vertikal axel (z-axeln). Den övre skivan med massan m a hänger först stilla rakt ovanför. Den släpps sedan ned på den undre, roterande skivan, varvid de två skivorna efter mycket kort tid roterar tillsammans med gemensam vinkelhastighet och med omloppstiden T. Friktionen från luftlagringen är försumbar. Härled uttrycket för förhållandet T /T. Det ska endast innehålla skivornas massor.. ( p) En homogen cylinder har massan m 50 kg och radien r 0,0 m. En kraft F 00 N anbringas på en kabel (med försumbar massa) som är lindad runt cylinderns periferi (se figur). Beräkna cylinderns acceleration. Den rullar utan att glida. 5. () En rektangulär ram har massan m och är formad av smala, homogena stänger. Ramen är friktionsfritt upphängd i O och kan svänga kring den horisontella axeln AA som går genom O. a) ( p) Beräkna tröghetsmomentet för ramen med avseende på axeln AA. b) ( p) Från sitt vertikala läge, som visas i figuren, förs ramen upp runt axeln AA så att den ligger horisontellt. Den släpps därefter och får svänga fritt kring AA. Bestäm (i givna storheter) uttrycket för den kraft som upphängningen i O påverkar ramen med omedelbart efter det att den släppts.

3 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) 0-0- Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Variabler: Fosforaktivitet Initial aktivitet för P-: A 0 Slutlig aktivitet för P-: A Initial aktivitet för P-: A 0 Slutlig aktivitet för P-: A Initial andel aktivitet P- i provet: A 0 /(A0 + A0 ) 0, Slutlig andel aktivitet P- i provet: A /(A + A ) 0,8 Antal dygn innan 80 % av aktiviteten kommer från P-. Initialt förhållande mellan aktiviteterna: A 0 A 0 + 0, A0 + A0 0 A0 9. (.) A0 A 0 A 0 Slutligt förhållande mellan aktiviteterna: A A + A + A 5 A A 5 A A. (.) Aktivitetslagen A Nλ i sönderfallslagen N N 0 e λt ger A A 0 e λt. Med λ ln /T / efter tiden t ger för P- A ln A0 T t e och för P- (.) A ln A0 T t e, (.) där halveringstiderna fås ur PH T-6.: Halveringstid P-: T,8 dygn Halveringstid P-: T 5, dygn Kvoten (.)/(.) blir A A0 A A 0 [...] t e ln T t e ln T t ln ( A A A0 A 0 / A0 A 0 ) ( ln e ) (.,.) T T )t ln ( /9) ln ( ln ( T T,8 5, 69,9 dygn. (.5) Man måste vänta 69 dygn innan 80 % av aktiviteten kommer från P-. Kommentar: Det skulle också gå att omvandla alla tider till sekunder och sedan tillbaks till dygn, men eftersom indata är i dygn är det lämpligare att räkna i dygn. Tritiumsönderfall Tritiumsönderfall med betasönderfall. a) p Reaktionsformeln. Laddning och masstal bevaras: H He+ + 0 e ν e. (.) Reaktionsformeln är H He + e + ν e. b),5 p ) Reaktionenes Q-värde. Q-värdet ges av Q mc (m T m He + m e )c (m T m He )c. (.) Insättning av data: Massa, tritium (PH T-6.): m T,0609 u Massa, helium- (PH T-6.): m H e,06090 u med uc 9,9 MeV (PH CU-.) ger Q (,0609,06090)uc, uc (.) 0,0850 MeV. (.) Reaktionenes Q-värde är 0,08 MeV Kommentar: Svaret avrundas till två decimaler pga mellanresultatet, uc (som egentligen bara har två värdessiffror efterom m T bara är givet med en precision av 0 6 uc ), men även svaret 0,0850 MeV och 0,08 MeV accepteras vid rättningen. c) 0,5 p Vad blir det av energin som frigörs, Q-värdet? Sönderfallsprodukternas sammanlagda rörelseenergier. Kommentar: Av sönderfallsprodukterna (elektronen och Hekärnan) kommer elektronen få mest energi (pga rörelsemängdens och energins bevarande). p Skivrotation Massa skiva A: m a Massa skiva B: m b Omloppstid före nedsläpp: T Omloppstid efter nedsläpp: T Förhållandet T /T uttryckt i skivmassorna m a och m b. I frånvaron av externa moment bevaras rörelsemängdsmomentet runt z: L L, (.) där rörelsemängdsmomentet före nedsläppet är L I ω I b ω (m b r /)ω (.) och rörelsemängdsmomentet efter nedsläppet är L I ω (I a + I b )ω (m a r / + m b r /)ω, (.) där vi använt att tröghetsmomentet för en cirkulär platta med radie r är I mr / (PH F-.0). (.) och (.) i (.): m b r ( ω mb r + m br ) ω ω m a + m b. (.) ω m b Förhållandet mellan omloppstid T och vinkelhastighet ω är T π/ω, vilket ger T π/ω ω (.) m a + m b + m a. (.5) T π/ω ω m b m b Förhållandet T /T + ma mb. Kommentar: Man kan också räkna uppgiften utan att anta en radie r genom att använda tröghetsradien k (och I mk ) tillsammans med att skivorna är geometriskt lika, vilket betyder att de har samma tröghetsradie. Senast uppdaterad: June, 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) 0-0- Cylinderacceleration Cylindermassa: M 50 kg Cylinderradie: r 0,0 m Dragkraft: M G 00 N Friläggning av cylindern: f r α mg N F y x p Cylinderns acceleration, a. Rullning utan glidning: a rα. (.) Momentekvationen kring masscentrum: τcm I cm α Fr f r (mr /)α F f (mr/)α, (.) med tröghetsmomentet för en cylinder I cm mr / (PH F-.0). Friktionskraften, f, fås ur Newtons :a lag i x-led: F x ma x F + f ma f ma F, (.) i (.): F + (F ma) (mr/)α (.) ma/ F ma/ a F/(m). (.) Numeriskt: a 00/( 50) 8,00 m/s. (.5) Cylinderns acceleration är a 8,0 m/s 5 Rammassa: Längd, kortsida: Längd, långsida: Rektangulär ram-rotation a) p Tröghetsmomentet med avseende på axeln AA. Ramen består av delar: m b b b Stångens totala längd är 6b, A O A vilket betyder att varje sträcka b har massan m/6. b b För del och är tröghetsmomentet det för stång som roterar kring ena änden b (PH F-.0): I AA I AA m b 6. (5.) För del är tröghetsmomentet kring AA noll eftersom delen ligger längs med axeln: I AA 0. (5.) För del ges tröghetsmomentet av Steiners sats I O I cm + md : I AA 0 + m 6 b. (5.) Det totala tröghetsmomentet blir med (5.),(5.),(5.): I tot I AA + I AA + I AA + I AA m b 6 mb ( b m 6 b + m 6 ) mb 9. (5.) Masströghetsmomentet för ramen kring axeln AA är mb 9. b) p Kraften som verkar på upphängningen när ramen släpps från horisontellt läge. Friläggning av ramen i horisontellt läge sedd längs axeln AA: O n AA Ot n b t mg α Rotation kring fix axel: Rörelseekvationen i horisontell led för tyngdpunkten: F n mr cm ω O n mr cm ω 0, (5.5) ty ω 0 rad/s i släppögonblicket. Rörelseekvationen i transvers led för tyngdpunkten: F t mr cm α O t + mg mr cm α O t mr cm α mg. (5.6) Momentekvationen runt upphängningspunkten O, τ Iα: mgb/ I tot α α mgb/(i tot ). (5.7) (5.7) i (5.6): O t mr cm (mgb/(i tot )) mg m b ( mgb I tot med r cm b/. ) mg (5.) m b g mb 9 Kraften är 7mg/6, riktad vertikalt uppåt. mg 7mg 6, (5.8) Senast uppdaterad: June, 0 () c Erik Elfgren

4 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum 0-0- Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, 0-0- Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) Antag att den kinetiska energin för en partikel är lika stor (med två värdessiffrors noggrannhet) som dess viloenergi. Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? Är den klassiska farten rimlig?. () Om man räknar relativistiskt på sönderfall av en vilande partikel med massa M till två partiklar med massorna m och m så kan man visa att rörelsemängden för partikel är p (m c M m ) m M. a) (0,5 p) Vad är rörelsemängden för partikel, p? Jämför storlek och riktning med partikel. b) (0,5 p) Om det handlar om α-sönderfall från roentgenium-7 (Rg-7), vilken är då dotterkärnan? c) ( p) I sönderfallet av Rg-7, beräkna (relativistiskt, utgående från formeln ovan) farten på α- partikeln (partikel ) samt dotterkärnan (partikel ) uttryckt i ljushastigheten c. Jämför farterna och förklara skillnaden.

5 . ( p) Den med skåror försedda skivan har massan m s 6,0 kg och tröghetsradien k O 0,75 m med avseende på centrum O. Skivan för med sig fyra små stålkulor (kan betraktas som partiklar) med massan m k 0,5 kg vardera, belägna som visas i figuren, och skivan roterar ursprungligen med vinkelhastigheten ω 0 varv/min med försumbar friktion kring en vertikal axel genom O. Kulorna hålls då på plats med en spärranordning (som ej syns i figuren). Om spärren släpps medan skivan roterar, kommer kulorna att åka ut och inta de streckade lägena som visas i figuren. Vilken blir då skivans vinkelhastighet, ω?. () En fallhammare används för att slå ned pålar i marken. Den skall vara utformad så att den vid stöten förlorar hela sin kinetiska energi. Vid pålningen släpps hammaren h,0 m ovanför pålen. Stöttalet mellan hammaren och pålen, som har massan m p 00 kg, är e 0,0. a) Vilken massa, m h, skall fallhammaren ha? b) Vilken hastighet får pålen omedelbart efter stöten? c) Hur stor blir den procentuella förlusten av mekanisk energi? Ledning: Vid stöten, betrakta hammaren och pålen som ett system, stöttiden som kort och friktionskraften från marken på pålen som liten. Motivera i lösningen när du använder dessa antaganden. 5. () En smal homogen stång med total längd L och massa M svänger friktionsfritt kring sin mittpunkt (se figur). En horisontell fjäder med fjäderkonstant k är fäst vid den undre delen av stången. Stången och fjädern är i jämvikt när stången är i vertikalt läge. Om stången vrids en liten vinkel θ, härled svängningsekvationen ( θ ω θ) och bestäm ω uttryckt i M och k. Ledning: Antag att θ är liten så att sin θ θ och cos θ.

6 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) 0-0- Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? Är det klassiska farten rimlig? Viloenergin ges av E 0 mc K E 0 mc. (.) Den klassiska farten ges av den klassiska kinetiska energin: K mv k mc v k c. (.) Den relativistiska farten ges av den relativistiska kinetiska energin: / (.) K mc v r /c K mc + v r /c ( K ) mc + v r /c ( v r c + K ) (.) c mc. (.) Den procentuella skillnaden mellan (.) och (.) blir v k c v r c 6, %. (.) Den klassiska farten är 6 % större än den relativistiska. Ur ekvation (.) inses att den klassiska farten är orimlig eftersom den är större än ljushastigheten. -moment Sönderfallande kärnas massa: M Dotterkärna massa: m Sönderfallspartikels massa: m Rörelsemängd, dotterkärna: p (m M m ) M m a) 0,5 p Vad är rörelsemängden för partikel, p? Jämför med partikel. Rörelsemängden bevaras i partikelkollisioner (inga externa krafter): p före p efter 0 p + p (m p p ) M m m M. (.) Rörelsemängden för partikel är lika stor som för partikel, men med omvänd riktning, p p. b) 0,5 p Om det handlar om α-sönderfall från roentgenium-7 (Rg-7), vilken är då dotterkärnan? Roentgenium-7 har Z protoner och α (kärna av helium- ) har Z protoner och masstalet A (PH T-6.). Reaktionen är därför 7 Rg He + A X. (.) Z Masstalet och laddningen bevaras vilket betyder att A 7 68 (.) Z 09, (.) vilket motsvarar meitnerium-68, Mt-68 (PH T-6.). p Relativistiskt vs klassiskt Dotterkärnan är meitnerium-68. Kinetisk energi viloenergin: K E 0 c) p I sönderfallet av Rg-7, beräkna (relativistiskt, utgående från formeln ovan) farten på α-partikeln (partikel ) samt dotterkärnan (partikel ) uttryckt i ljushastigheten c. Jämför farterna och förklara skillnaden. Farten fås ur den relativistiska rörelsemängden: p γmv mv v /c m ( p v c m ) v c v ( p ) v m + c c ( p ). (.5) mc + Rörelsemängden för partikel (α-partikeln) blir ( m α MRg Mt) m p c M Rg m Mt, kgm/s, (.6) med m α m He m e samt data från PH T-6. och PH T-6.: Massa för Rg-7: m Rg 7,55 u Massa för Mt-86: m Mt 68,88 u + m e Massa för He-: m He,0060 u Massa för elektron (PH CU-.): m e 5, u Massa för u (PH CU-.): u, kg För α-partikeln blir då farten med (.5) och (.6): v α c ( p mαc och för Mt-kärnan: v Mt ) + 0, (.7) c ( p ) 0, (.8) + mmtc v α 0,077007c, v Mt 0,00566c. Orsaken till att α-partikeln har högre fart är att den har lägre massa, och då måste den ha högre fart för att rörelsemängden ska kunna bevaras. p Kulor i skåror Skivmassa: m s 6,0 kg Tröghetsradie, skiva: k O 0,75 m Kulmassa: m k 0,5 kg Antal kulor: n k Initial vinkelhastighet: ω 0 varv/min Initialt avstånd från kulorna till O: r 0,00 m Slutavstånd från kulorna till O: r 0,00 m Skivans vinkelhastiget efter att kulorna åkt ut från avstånd r till avstånd r från rotationsaxeln O. Låt läge vara initialt läge och läge vara när kulorna är på avstånd r från O. Frånvaron av externa moment ( τ ext 0) gör att rörelsemängdsmomentet bevaras enligt impulsmomentlagen: τ ext dt L L 0 L L. (.) Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) 0-0- Rörelsemängdsmomentet ges av L I O ω vilket med (.) ger I ω I ω. (.) Låt r vara kulornas avstånd till rotationsaxeln O. Då blir tröghetsmomentet I n k I k + I s, (.) där skivans tröghetsmomentet kring O är I s m s k O (Definition av tröghetsradie TPH). (.) och en kulas tröghetsmomentet kring O (I CM 0) är I k m k r (Steiners sats för punktformig masssa). (.5) Ekvation (.5) och (.) i (.) i (.) ger ( nk m k r + m ) sko ω ( n k m k r + m ) sko ω n k m k r ω ω + m sko n k m k r + m 0 0,5 0, + 6 0,75 sko 0,5 0, + 6 0,75 09,6 varv/min. (.6) Skivans vinkelhastighet efter att kulorna rullat ut blir ω 0 varv/min. Kommentar: Mekaniska energisatsen kan inte användas eftersom det övriga arbete som inträffar när kulorna stannar är okänt. Fallhammare Problemet består av tre steg, (0) före nedsläpp, () före stöt och () efter stöt: vh0 mh h h vh vvp v p0 m p 0 v p Pålmassa: m p 00 kg Släpphöjd: h,0 m Stöttal: e 0,0 Hammarfart, initial: v h0 0 m/s Pålfart, initial: v p0 0 m/s Hammarfart, före stöt: v h? Pålfart, före stöt: v p 0 m/s Hammarfart, efter stöt: v h 0 m/s Pålfart, efter stöt: v p? a) p Fallhammarens massa, m h. Hammarfarten före stöt ges av mekaniska energisatsen mellan 0 : K 0 + U g0 + U e0 + W övr K + U g + U e d 0 + m h gh m h v h / v h gh, (.) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar. Stöttalet ger hastighetsändringen över stöten: e v p v h v h v p v p v h v p ev h (.) e gh. (.) Massan på hammarhuvudet kan nu beräknas ur impulslagen för systemet hammare+påle: (.,.) F y dt p y p y p y m p v p m h v h m p e gh m h gh gh (mp e m h ). (.) y x Stöttiden är kort och friktionskraften är liten Fy dt 0. (.) ger då m p e m h 0 m h m p e 00 0,0 90 kg. (.) b) p Pålhastigheten omedelbart efter stöten. (.) ger v p e gh 0,0 9,8,0,659 m/s. (.5) c) p Procentuella förlusten av mekanisk energi. Före stöten är energin: E m h v h / (.6) och efter är den E m p v p /. (.7) Den procentuella energiförlusten blir (E E )/E : n E (.6,.7) m pv p / (.,.,.) E m h v h / m pe gh e 0,70. (.8) (m p e)gh a) Fallhammaren har massan m h 90 kg. b) Pålen får hastigheten,7 m/s nedåt. c) Den procentuella energiförlusten blir 70 %. 5 Fjäderoscillation Stångmassa: M Fjäderkonstant: k Härled svängningsekvationen och bestäm ω uttryck i M och k. Friläggning av stången: Momentekvationen τcm I cm α ger n t A n F(L/) cos θ I cm α I cm θ, (5.) A t där tröghetsmomentet kring masscentrum för en cm homogen stav är (PH F-.0) Mg F θ L/ I cm ML /. (5.) Fjäderkraften F kx ges av F k(l/) sin θ. (5.) (5.) i (5.) med cos θ och sin θ θ: (k(l/) sin θ)(l/) cos θ I cm θ kl θ I (5.) cm θ ML θ θ k M θ ω θ ω Svängningsekvationen är θ k M θ och ω. k M. (5.) Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren k M.

7 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 5:00 0:00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt:. ( p) Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal. a) (0,5 p) Vilka är de två vanligaste sönderfallen för Cs-7? Vilken energi har de? Ingen beräkning krävs. b) ( p) Skriv ned reaktionsformlerna för de två vanligaste (ca 9 % av totala antalet sönderfall) sönderfallen för Cs-7 samt även reaktionsformeln för det mindre vanliga (ca 6 % av totala antalet sönderfall) sönderfallet. c) (,5 p) Beräkna den frigjorda energin (Q-värdet) för sönderfallet av Cs-7 till den stabila slutprodukten.. () 7 a) ( p) Vid β-sönderfall kan elektronens energi inte bestämmas exakt eftersom det blir tre sönderfallsprodukter, i motsats till när det bara blir två sönderfallsprodukter (som t.ex. vid α- sönderfall). Visa att energin och rörelsemängden blir entydigt definierade vid sönderfall till två sönderfallsprodukter (med massa m och M) då den frigjorda energin är Q. Ledning: Räkna ickerelativistiskt på energins och rörelsemängdens bevarande i en dimension med en stillastående moderpartikel. Bestäm därefter uttrycken för kinetisk energi och rörelsemängd för de två sönderfallsprodukterna, K m, K M, p m och p M uttryckt i m, M och Q. b) ( p) Beräkna den maximala kinetiska energin för elektronen vid β-sönderfall av Cs-7 om den totala frigjorda energin i sönderfallet är Q 0,5 MeV. Beräkna även vad dotterkärnans kinetiska energi då blir.

8 . ( p) En raket avfyras vertikalt uppåt, och dess läge mäts med radar, se figur. Då a v vinkeln θ 5, är r 9,0 km, r 5 m/s och θ 0,05 rad/s. Beräkna raketens fart och acceleration uppåt i detta ögonblick. r θ. () Ett sfäriskt skal med massan m k,50 kg och radien r 0,0 cm är l fastsvetsat i änden på en smal, homogen stång med längden l 0,500 m och massan m s,00 kg. Den så konstruerade pendeln är upphängd i en O friktionsfri led O. Den släpps från vila i det läge där stången är horisontell. r a) ( p) Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O. b) ( p) Beräkna pendelns vinkelhastighet i nedersta läget, dvs. då stången är vertikal. ω 5. () Förståelsefrågor (om inte annat anges fordras ingen beräkning eller motivering): a) (0,5 p) Momentekvationen τ O I O α gäller inte runt en godtycklig axel O. Axlarna A, B, C och D i figuren nedan följer med lådan när den vrids kring C pga kraften F. Vilka axlar är okej att använda i momentekvationen? A C B cm D F b) (0,5 p) Vad är nollmomentcentrum (även kallat stötcentrum) och varför är detta en lämplig punkt för en kraft att angripa i när något roterar kring ett lager? c) ( p) Två masslösa stavar, båda med längd L, har vardera två punktformiga massor m i sig (se figur). I stav A ligger båda massorna i mitten på staven, i stav B ligger massorna i var sin ände. Beräkna vilken av stavarna som kommer att vara trögast att rotera kring stavänden, dvs vilken av dem som har störst (mass)tröghetsmoment. A L m m B m m d) ( p) En kula med massa 0 g och med hastighetskomposanterna v x,0 m/s och v y,0 m/s slår in snett på en dörr (se figur) på avståndet r,0 m från gångjärnet, A. Beräkna storleken på kulans rörelsemängd och storleken på dess rörelsemängdsmoment kring axeln A precis innan den slår i. y A x v r e) ( p) En enkel pendel (partikelpendel) utgörs av en punktformig massa som är upphängd i en lina med försumbar massa och längd L. Pendeln försätts i svängning genom att punktmassan förs lite åt sidan och släpps. Pendeln har då en viss svängningstid. Om man sedan vill fördubbla svängningstiden, beräkna hur linans längd då ska förändras. Om man istället vill fördubbla vinkelfrekvensen, beräkna hur linans längd då ska förändras.

9 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Cs-7-sönderfall Sönderfall av Cs-7. a) 0,5 p De vanligaste sönderfallen samt deras energi. Sönderfallen är γ-sönderfall med energin 66,65 kev och β -sönderfall med energin 0,5 MeV (PH T-6.). b) p Reaktionsformeln för de vanligaste sönderfallen samt för det mindre vanliga sönderfallet. Laddning och masstal bevaras. Reaktionsformlerna är 7 9 % Cs % Ba Cs 6 % 7 56 Ba + e + ν e, Ba + γ, 56 Ba + e + ν e. c),5 p Sönderfallets Q-värde. Q-värdet ges av Q mc (m Cs m Ba + m e )c (m Cs m Ba )c. (.) Insättning av data: Massa, Cs-7 (PH T-6.): m Cs 6,90708 u Massa, Ba-7 (PH T-6.): m Ba 6,9058 u med uc 9,9 MeV (PH CU-.) ger Q (6, ,9058)uc 7, 0 5 uc (.),867 MeV. (.) Reaktionens Q-värde är,9 MeV. Kommentar: Svaret avrundas till tre decimaler pga mellanresultatet 7, 0 5 uc (som egentligen bara har tre värdessiffror efterom m Ba bara är givet med en precision av 0 5 uc ), men även,867 MeV och,87 MeV accepteras vid rättningen. Sönderfallsprodukter a) p Sönderfall med två sönderfallsprodukter med massa m och M och frigjord energi Q med en stillastående moderpartikel. Kinetisk energi och rörelsemängd för de två sönderfallsprodukterna, K m, K M, p m och p M uttryckt i m, M och Q. Rörelsemängdens bevarande (ty inga externa krafter): p före p efter 0 p m + p M p m p M. (.) Sönderfallsprodukternas kinetiska energi: K m mv m m(p m/m) M(p M/M) K M Mv M med p mv v p/m. p p m m, (.) p M M, (.) Den frigjorda energin Q blir till kinetisk energi hos de två sönderfallsprodukterna: (.,.) p ( m Q K m + K M m + p M (.) p m M m + p m M p m m + ) M ( p m m + M ) QMm p m ± Mm m + M. (.) Ekvation (.) ger p M och (.) och (.) ger K m och K M. Kinetisk energi och rörelsemängd för de två sönderfallsprodukterna uttryckt i m, M och Q: p m ± p M p m K m K M QMm m+m, (.5) QMm m+m, (.6) QM m+m, (.7) Qm m+m. (.8) b) p Frigjord energi i β-sönderfall av Cs-7: Q 0,5 MeV Maximala kinetiska energin för elektronen, K e, samt vad dotterkärnans kinetiska energi då blir, K d. Masstalet och laddningens bevarande ger att Cs-7 sönderfaller med β-strålning till Ba-7: 7 7 Cs Ba + e + ν e. (.9) Då elektronen får maximal energi får neutrinon ingen energi och sönderfallet blir effektivt ett tvåpartikelsönderfall, vilket gör att vi kan använda resultatet i a) med M M Ba + M Ba m e : (.7) K e K m QM m + M QM Ba+ m e + M Ba + 0,5 (6,9058 5, ) u 6,9058 u (.8) K d K M Qm m + M Qm e m e + M Ba + 0,5 MeV, (.0) 0,5 06 5, u,060 ev, (.) 6,9058 u med Massa, elektron (PH CU-.): m m e 5, u Massa, Ba-7 (PH T-6.): M M Ba 6,9058 u Maximal kinetisk energi för elektronen: 0,5 MeV. Dotterkärnans kinetiska energi blir då:,06 ev. Raketavfyrning θ 5 π/ r 9,0 km θ 0,05 rad/s r 5 m/s Raketens fart och acceleration uppåt. v Polära koordinater. Raketens hastighetskomposant i θ-riktningen: r v v θ θ v θ r θ ,05 5 m/s. (.) r Komposantuppdelning (se figur) ger θ v v θ / cos θ 5/ cos 5 9 m/s. (.) Accelerationskomposanten i r-riktningen: a r r r θ,98 m/s. (.) Komposantuppdelning av accelerationen ger a a r / sin θ,98/ sin 5 8,5 m/s. (.) Raketens fart är 0,9 km/s och dess acceleration 8 m/s. Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren p Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Klotpendelrotation Klotmassa m k,50 kg Klotradie r 0,00 m Stångmassa m s,00 kg Stånglängd l 0,500 m a) p Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O. Pendelns masströghetsmomentet kring O ges av I O,tot I O,s + I O,k, (.) där stångens trögetsmoment är (PH F-.0, nr ) I O,s m s l / 0,667 kg m, (.) och klotet är ett sfäriskt skal med tröghetsmoment kring masscentrum (PH F-.0, nr ) I cm,k (/)m k r 0,0 kg m, (.) och klotets tröghetsmoment kring O fås med Steiners sats: I O,k I cm,k + m k (l + r) 0,775 kg m. (.) Ekvation (.) i (.) med (.) i (.): I O,tot m s l / + (/)m k r + m k (l + r) 0,5 / + (/),5 0, +,5 (0,5 + 0,) 0,97 kg m. (.5) b) p Pendelns vinkelhastighet, ω, i nedersta läget (läge ). Mekaniska energisatsen för : K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.6) där ω O l/ l l+r r U g 0 K I O,totω, K U e U e U g W övr 0, (.7) U g m s g(l/) m k g(l + r), (.8) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar. (.7) och (.8) i (.6) ger: I O,totω m s gl/ + m k g(l + r) (m s gl/ + m k g(l + r)) ω I O,tot ( 9,8 0,5/ +,5 9,8(0,5 + 0,)) 0,97 5,68 rad/s. (.9) a) Pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O blir 0,9 kg m. b) Pendelns vinkelhastighet i nedersta läget blir 5,68 rad/s. Kommentar: Notera att det är masscentrum som har potentiell gravitationell energi, därav ekvation (.8). 5 Mekanikförståelse a) 0,5 p Vilka axlar är okej att använda i momentekvationen? A C B cm Axel B och C är okej att använda i momentekvationen. D F Kommentar: Axel B är masscentrum och axel C är en fix rotationsaxel. b) 0,5 p Vad är nollmomentcentrum (stötcentrum) och varför är detta en lämplig punkt för en kraft att angripa i när något roterar kring ett lager? Nollmomentcentrum är den punkt där en angripande kraft inte ger upphov till en tangentiell kraft i leden. En kraft som angriper i den punkten ger mindre slitage på leden. c) p L A m m Två masslösa stavar, båda B m m med längd L, har vardera två punktformiga massor m i sig. I stav A ligger båda massorna i mitten på staven, i stav B ligger massorna i var sin ände. Vilken är trögast att rotera kring stavänden? Stav A:s masströghetsmomentet kring änden ges av definitionen av tröghetsmoment med två punktmassor på avstånd L/: I A m(l/) ml /. (5.) Stav B:s masströghetsmomentet kring änden ges av definitionen av tröghetsmoment med en punktmassa på avstånd L: I B m(l) ml. (5.) Stång B är trögast att rotera kring stavänden ty I B > I A. d) p y Kulmassa: m 0 g A x v Kulhastighet: Kulhastighet: v x,0 m/s v y,0 m/s r Storleken på kulans rörelsemängd och rörelsemängdsmoment kring axeln A. Definition av rörelsemängd p mv: p x mv x, p y mv y p p x + p y m v x + v y 0,0 + ( ) 0,0 kg m/s. (5.) Definition av rörelsemängdsmoment L p r: L p y r mv y r 0,0( ) 0,00 kgm /s. (5.) Storleken på kulans rörelsemängd blir 0,0 kg m/s och storleken på rörelsemängdsmomentet blir 0,00 kg m /s. e) p Partikelpendel med längd L. Hur ska pendellängden ändras om svängningstiden ska fördubblas? Hur ska pendellängden ändras om vinkelfrekvensen ska fördubblas? Periodtiden för partikelpendel (PH F-.): T π L/g, (5.5) dvs om L fyrdubblas så dubblas periodtiden (eftersom ). Vinkelhastigheten för partikelpendel: ω π/t (5.5) g/l, (5.6) dvs om L delas på fyra så dubblas vinkelfrekvensen. Pendellängden måste fyrdubblas om svängningstiden ska fördubblas. Pendellängden måste delas på om vinkelfrekvensen ska fördubblas. Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren

10 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) Vilken maximal hastighet får en elektron från beta-sönderfall av C-? Svaret ska uttryckas i enheten c (ljushastigheten), och den kinetiska energin ska räknas fram, inte tas direkt från formelsamlingen. Dotterkärnans rekyl kan försummas i beräkningen av elektronens hastighet.. () I naturligt kol förekommer 0 0 % kol-. a) (,5 p) Hur stor ekvivalent dos (i Sv/år) får en person som väger m 65 kg från kol- från sin egen kropp om 8 % av kroppsmassan består av naturligt kol? b) (0,5 p) Om du får i dig en strålningsdos på Sv, finns det anledning att oroa sig? Ingen beräkning fordras. Ledning: Beräkna först den absorberade strålningsenergin och använd sedan den relativa biologiska effektiviteten, RBE γ,0, RBE β,0, RBE p 5, RBE n 5 0 och RBE α 0. Antag att elektronen får hälften av energin vid β-sönderfall. 0

11 . ( p) En jojo har massan m och tröghetsradien k med avseende på z-axeln. Lintrummans radie är R. Jojon släpps fri och rullar utan att glida nedför den masslösa linan. Linänden A hålls stilla. Bestäm jojons vinkelacceleration samt kraften F som måste anbringas i linänden A. Ange ditt svar i de angivna variablerna samt tyngdaccelerationen g. R z F A. () En tunn stång med längd l s,000 m och massa m s 5,0 kg är upphängd i en friktionsfri led i punkten A enligt figuren. Stången befinner sig ursprungligen i vila (och i jämvikt). En gevärskula med massan m k 0,0 g och farten v k 0,600 km/s träffar mitt på stången, se figuren. Kulan fastnar i stången som svänger ut från jämviktsläget. l s A m s v k m k 5. a) ( p) Bestäm stångens vinkelhastighet precis efter stöten mellan kulan och stången. b) ( p) Beräkna hur långt (vilken vinkel) stången maximalt svänger ut från jämviktsläget. () En låda med massa M vilar på en friktionsfri yta. Lådan µ s m är kopplad till en fjäder med fjäderkonstant k som sitter fast i k en vägg. Ovanpå lådan ligger en annan låda med massa m. Den M statiska friktionskoefficienten mellan de två lådorna är µ s. Bestäm den största möjliga amplituden för svängningen så att lådorna inte glider relativt varandra. Uttryck svaret i de givna storheterna samt gravitationsaccelerationen, g. Svängningsekvationen behöver inte härledas.

12 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. p C-sönderfall Beta-sönderfall av C-. Maximal energi för elektronen. Sönderfall av C- sker via reaktionen 6 C 7 N+ + e + ν e, (.) eftersom totala masstalet A och totala laddningen Z bevaras i sönderfallet. Sammanlagda rörelseenergin hos slutprodukterna ges av reaktionens Q-värde. Elektronen har maximal rörelseenergi när neutrinon har rörelseenergin noll. Dessutom kan vi försumma inverkan av kvävekärnans rekyl eftersom den är mycket tyngre än elektronen. Alltså blir elektronens maximala rörelseenergi lika med Q-värdet för processen. Det ges av, Q mc : K e Q (m C (m N + + m e + m νe ))uc (m C ((m N m e ) + m e + 0))uc (m C m N )uc (,00,000700)uc 0,00068 uc, (.) eftersom neutrinon kan betraktas som masslös och N- är en positiv jon eftersom den ärvt de 6 elektronerna från C-. Här har massan för C- tagits från PH T-6. och massan för N- från PH T-6.. Relativistisk rörelseenergi ges av K (γ )mc : K e v /c m ec + K e m e c v /c ( v /c + K ) ( e v c + K ) e m e c m e c ( ) (.) 0,00068 uc c + 0,6 c, (.) 5, uc där vi använt elektronens viloenergi, m e c, från PH CU-., uttryckt i enheten uc. Elektronen får hastigheten 0,6 c. Kommentar: Vi använder elektronens viloenergi, m e c uttryckt i enheten uc, så att uc kan förkortas bort i uttrycket K e /m e c. Detta är mycket enklare och elegantare än att byta till SI-enheter eller ev. Svaret avrundas lämpligen till två värdesiffror eftersom vi försummat kväveatomens rekyl men även tre värdesiffror godkänns (antalet i mellansvaret K e ). KroppsstrÃlning Andel C- i naturligt kol: N C /N C 0 Andel kol i kroppen: f C 8 % Relativ biologisk effekt för β-strålning: RBE β,0 Elektronen får halva sönderfallsenergin: E β E β,max / a),5 p Ekvivalent dos (i Sv/år) från C- i kroppen under ett år, D C. C- sönderfaller enligt 6 C 7 N+ + e + ν e. (.) Elektronen får hälften av sönderfallsenergin E β E β,max / 0,57/ MeV (PH T-6.) och den absorberade energimängden per kg kroppsvikt från C--sönderfall under tiden T år blir då E C n C T E β, (.) där aktiviteten för C- ges av aktivitetslagen: n C λ C N C ln T C,/ N C, (.) där T C,/ 570 år är halveringstiden för C- (PH T-6.) och N C är antalet C- atomer per kg kroppsvikt: N C f C N C /N C M C f C N C /N C M C, (.) där M C,00 u är atommassan för C- (PH T-6.). Den ekvivalenta dosen per år (PH F-8.0 med ω RBE) blir då: D C RBE β E C (.) RBE β n C T E β (.) ln RBE β N C T E β (.5) T C,/ (.) ln RBE β fc N C /N C T E β T C,/ M C ln 0,8 0 0,57 06,0 570,00 u,8 µsv/år, (.6) med u, kg (PH CU-.) och MeV, J (PH CU-.). b) 0,5 p Om du får i dig en strålningsdos på Sv, finns det anledning att oroa sig? Ja, Sv är en hög dos (se PH F-8.0). a) Den ekvivalenta dosen från C- blir µsv/år. b) Ja, en ekvivalent dos på Sv är anledning att oroa sig. Kommentar: I PH står det att RBE β, men i boken står det RBE β,0,5. Troligen är,0 ett bättre verkligt värde. Massa: Tröghetsradie: Jojo Jojons vinkelacceleration samt kraften F som måste anbringas i linänden A. Friläggning av jojon: x y R z mg F A p m k Newtons :a lag, F y ma y : mg F ma, (.) där a är accelerationen (nedåt) för jojons masscentrum. Momentekvationen, τz I z α z : F R Iα F Iα R, (.) där I är jojons masströghetsmoment kring dess masscentrum. (.) i (.) tillsammans med rullning utan glidning, a Rα: mg Iα R mrα... α mg mr + I/R. (.) Masströghetsmomentet för någonting med tröghetsradie k är I mk, vilket i (.) ger: mg α mr + mk /R gr R + k. (.) (.) i (.) med I mk ger: F mk gr R R + k mgk R + k. (.5) Senast uppdaterad: 8 mars 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Jojons vinkelacceleration blir α gr/(r + k ) och kraften som måste anbringas i A blir F mgk /(R + k ). Kula träffar stång Kulmassa: m k 0,0 g Kulfart: v k 0,600 km/s Stångmassa: m s 5,0 kg Stånglängd: l s,000 m a) p Stångens vinkelhastighet, ω, precis A efter stöten mellan kulan och stången. l s m v k s I frånvaron av externa moment bevaras rörelsemängdsmomentet runt A m k under stöten: L L, (.) där rörelsemängdsmomentet, L p r, före stöten är L p k l s / (m k v k ) (l s /) (.) och rörelsemängdsmomentet efter stöten är L I tot ω, (.) där I tot I k + I s är masströghetsmomentet för kulan+stången. (.) och (.) i (.): m k v k l s / I tot ω ω m k v k l s /(I tot ). (.) Kulans masströghetsmoment fås ur definitionen på masströghetsmoment, I mr (punktformad partikel): I k m k (l s /) (.5) och stångens masströghetsmoment från (PH F-.0) I s m s ls /. (.6) (.5) och (.6) i (.) ger m k v k l s ω ( m k (l s /) + m s ls / ) m k v k (.7) l s (m k / + m s /) 0,0 600 (0,0/ + 5/),976 rad/s. b) p Vilken vinkel stången maximalt A A l s svänger ut. l θ cosθ s h Mekaniska energisatsen mellan läge (precis efter stöt) och läge (maximal utsvängning): K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.8) där K I totω, K 0, U e U e W övr 0, U g U g (m s + m k )gh (m s + m k )g l s ( cos θ), (.9) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar. (.9) i (.8): I totω (m s + m k )g l s ( cos θ) (.0) och vi kan lösa ut ( I tot ω ) (.5,.6,.7) θ arccos (m s + m k )gl s m k arccos v k (m s + m k )gl s (m k / + m s /) ( 0,0 600 ) arccos (5 + 0,0) 9,8 (0,0/ + 5/) 5,85. (.) a) Stångens vinkelhastighet precis efter stöten är,0 rad/s. b) Den maximala utsvängningsvinkeln blir θ 5,5. Kommentar: På första raden i (.) hade det gått bra att sätta in värdena på I tot 0,0 kg m och ω,976 rad/s direkt. 5 Svängande lådor Undre låda, massa: Övre låda, massa: Friktionskoefficient mellan lådorna: Fjäderkonstant: Den största möjliga amplituden, A max, för svängningen så att lådorna inte glider relativt varandra. k µ s m Maximal svängningsamplitud betyder att lådorna svänger på gränsen till glidning. Friläggning av den övre lådan M M m y Jämvikt i y-led, F y 0: x mg N mg 0 N mg. (5.) På gränsen till glidning är friktionskraften: f N f µ s N (5.) µ s mg. (5.) Newtons :a lag i x-led, F x ma x : f ma x (5.) µ s mg a x µ s g, (5.) där a x alltså är den övre lådans maximala acceleration, men utan glidning accelererar de båda lådorna lika fort. Den undre lådans acceleration kan fås genom att fjädersvängning är harmonisk svängning vilket betyder att svängningen kan skrivas x(t) A cos (ω t + φ) (5.) och därmed blir den undre lådans acceleration ẍ(t) Aω cos (ω t + φ), (5.5) där A är svängningens amplitud och vinkelfrekvensen är ω k/m tot k/(m + M). (5.6) Den maximala accelerationen inträffar då cos (ω t + φ), då ẍ a x µ s g och vid den maximala amplituden, A A max, dvs då ẍ A max ω (5.) a x µ s g. A max µ sg (5.6) µ s g ω k/(m + M) µ sg(m + M). (5.7) k Den största möjliga amplituden för svängningen blir A max µ s g(m + M)/k. Senast uppdaterad: 8 mars 0 () c Erik Elfgren µ s k

13 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, 0-0- Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () Antag att den kinetiska energin för en partikel är lika stor (med två värdessiffrors noggrannhet) som dess viloenergi. a) (,5 p) Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? b) (0,5 p) Är den klassiska farten rimlig? c) ( p) Om partikeln är en proton, vad är då dess kinetiska energi respektive totalenergi (uttryckt i GeV)?. ( p) Hur många Cs-7-atomer finns det i en fisk som har aktiviteten 0,8 kbq från sönderfall av denna isotop?. () Linskivan har radien 0,00 m och massan 50 kg. Tröghetsradien med avseende på den friktionsfria rotationsaxeln O är 0,00 m. På samma axel är en last med massan 00 kg påhängd (lasten hänger löst på axeln och roterar inte). Systemet bärs upp av en fjäder ansluten till en lina som löper runt linskivans periferi, se figur. Fjädern har fjäderkonstanten k,5 kn/m. Systemet släpps från vila i ett läge, där fjädern är utsträckt 0,0 m i förhållande till ospända längden. Beräkna lastens hastighet då den rört sig 0,5 m nedåt. Linan är masslös och glider ej relativt skivan.

14 . ( p) Ett tåg kör sakta förbi en station; hastigheten är v 5,0 m/s när det passerar. Tåget accelererar sedan försiktigt med accelerationen a 60 v m/s. Vilken hastighet, v, har tåget 00 m efter det att det börjat accelerera? 5. () En insekt som väger 0 g står på änden av en horisontell, tunn, homogen stång, i vila. Stången har massan 50,0 g och längden L 00 cm och den är friktionsfritt ledad i andra änden. Insekten hoppar, vinkelrätt mot stången, i horisontell riktning med farten v 0.0 cm/s relativt underlaget. Efter hoppet svänger stången i horistonalplanet. Insekt L v Vy fran ovan a) (,5 p) Vad är stångens vinkelhastighet precis efter hoppet? b) ( p) Vad är systemets totala rörelseenergi precis efter hoppet? Led c) (0,5 p) Systemets total rörelseenergi före hoppet är noll medan den är större än noll efter hoppet. Varifrån kommer rörelseenergin?

15 l Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Relativistiskt vs klassiskt med proton Kinetisk energi viloenergin: K E 0 Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? Är det klassiska farten rimlig? a),5 p Viloenergin ges av E 0 mc K E 0 mc. (.) Den klassiska farten ges av den klassiska kinetiska energin: K mv k mc v k c. (.) Den relativistiska farten ges av den relativistiska kinetiska energin: / (.) K mc v r /c K mc + v r /c ( K ) mc + v r /c ( v r c + K ) (.) c mc. (.) Den procentuella skillnaden mellan (.) och (.) blir v k c v r c 6, %. (.) b) 0,5 p (.) ger v k c > c, (.5) vilket är orimligt. c) p Partikeln är en proton. Den kinetiska energin ges av (.): K E 0 m p c 9, ev (PH CU-.) (.6) och totalenergin ges av E tot K + E 0 (.6) K m p c, ev. (.7) a) Den klassiska farten är 6 % större än den relativistiska. b) Den klassiska farten är orimlig eftersom den är större än ljushastigheten. b) För protonen är den kinetiska energin 0,9 GeV och totalenergin,9 GeV. Aktivitet från Cs-7: Antalet Cs-7-atomer, N. Fiskatomer p A 0,8 kbq Aktivitetslagen med sönderfallskonstanten λ ln /T / : A λn ln N T / N AT / ln 80 0, ,6 0, (.) ln där halveringstiden för Cs-7 är T / 0,7 år (PH T-6.). Det är ca 5, 0 st Cs-7-atomer i fisken. Skivradie: Skivmassa: Tröghetsradie: Lastmassa: Fjäderkonstant: Fjädertöjning, vila: Förflyttning, nedåt: Linskiva Läge Läge h r s 0,00 m m s 50 kg k O 0,00 m m l 00 kg k,5 kn/m y 0,0 m h 0,5 m Lastens hastighet, v, efter förflyttningen. Mekaniska energisatsen mellan läge och : K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.) där K W övr 0, U g m tot gh, U e ky, (.) K I Oω + m totv, U g 0, U e ky, (.) där masströghetsmomentet kring O är I O m s k O 50 0,,5 kg m, (.) totalmassan är m tot m s + m l kg, (.5) och den slutliga fjäderförlängningen är y y + h 0, + 0,5 0,6 m, (.6) eftersom fjädern töjs dubbelt så mycket som lasten rör sig nedåt. (.) och (.) i (.) ger: m tot gh + ky I Oω + m totv + ky. (.7) Rotation utan glidning (mellan lina och skiva): v r s ω ω v /r s, (.8) i (.7): m tot gh + ky I v O + rs m totv + ky m tot gh + ky ( ) ky v IO + m tot. (.9) r s Multiplikation med samt förenkling: y y (y + y )(y y ) (.6) (y + y + h)(y y h) (y + h)h) ger: ( ) m tot gh kh(y +h) v IO /rs +m tot m tot gh kh(y +h) (.6) v h m totg k(y +h). (.0) I O /rs +m tot m s ko /r s +m tot Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Numeriskt: v 0,5 50 9,8 500(0,+0,5) 50 0, /0, +50 Lastens hastighet är, m/s.,08966 m/s. (.) p Tågacceleration Initialhastighet: v 5,0 m/s Acceleration: a 60 v m/s Hastigheten v efter sträckan 00 m. Rätlinjig rörelse: a ds v dv 60v ds v dv 60 ds v 5 dv. (.) Integration ger 00 v [ ] v 60 ds v 5 6 v dv 6000 v6 v v v v ,0 m/s. (.) Tågets sluthastighet är 6, m/s. 5 Insektshopp Insektsmassa: m i 0 g Stångmassa: m s 50,0 g Stånglängd: l 00 cm Insektsfart: v 0,0 cm/s a),5 p Stångens vinkelhastighet, ω, precis efter hoppet. Leden är friktionsfri inga externa moment rörelsemängdsmomentet runt leden bevaras under hoppet: L L 0, (5.) v Insekt 00 cm ω v Vy fran ovan eftersom rörelsemängdsmomentet före hoppet L 0 (stången och insekten är då i vila). Efter hoppet rör sig insekten åt ena hållet och stången åt det andra och det totala rörelsemängdsmomentet blir: (5.) L L i L s 0, (5.) där rörelsemängdsmomentet L r p (per definition) för insekten är L i lm i v 0,0 0, 0,00 kg m /s, (5.) och rörelsemängdsmomentet L Iω för stången är L s I s ω, (5.) där stångens masströghetsmoment (PH F-.0, nr ) är I s m s l / 0,05 / kg m. (5.5) (5.5) i (5.) med (5.) i (5.): lm i v + (m s l /)ω 0 ω lm iv 0,0 0, 0,0 rad/s. (5.6) m s l / 0,05 / b) p Systemets totala rörelseenergi precis efter hoppet. Total rörelseenergi efter hoppet: K tot K i + K s, (5.7) Led där insektens (linjära) rörelseenergi är K i m i v / 0,0 0, / 0,0 mj, (5.8) och stångens (rotations)rörelseenergi är K s I s ω (0,05 /) 0, / 0, mj. (5.9) (5.9) och (5.8) i (5.7): K tot K i + K s m i v / + I sω ( / ) (5.5,5.6) m i v / + (m sl lmi v /) / m s l / m iv + m i v m iv ( + m ) i m s m s ( 0,0 0, + 0,0 ) 0, mj. (5.0) 0,05 / (5.5,5.6) c) 0,5 p Systemets total rörelseenergi före hoppet är noll medan den är större än noll efter hoppet. Varifrån kommer rörelseenergin? a) Stångens vinkelhastighet precis efter hoppet är,0 rad/s. b) Systemets totala rörelseenergi precis efter hoppet är 0, mj. c) Rörelseenergin kommer från arbetet som insekten uträttar när den tar avstamp från stången. Kommentar: På första raden i (5.0) hade det gått bra att sätta in värdena på K i och K s direkt, men genom förenklingen ser vi att den kinetiska energin är oberoende av stångens längd. Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren

16 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) När ett svart hål sliter sönder en stjärna bildas antimateria. Man kan observera spår efter när positroner (anti-elektroner, e + ) träffar elektroner (e ) i närheten av Vintergatans centrum där det finns ett stort svart hål. När en elektron och positron kolliderar förintas båda och det skapas två gamma-fotoner. Den enda skillnaden mellan en positron och en elektron är deras laddning. a) (0,5 p) Skriv ner reaktionsformeln för kollison mellan en elektron och en positron. b) ( p) Beräkna reaktionens Q-värde. c) (0,5 p) Varför har gamma-fotonerna lika stor energi?. () För att avgöra stjärnors hastighet relativt oss på jorden utnyttjar man spektrallinjer för väte. Inom den synliga delen av spektrumet finns sådana spektrallinjer, vid våglängderna 656, 86, och 0 nm. Den längsta våglängden kallas för H α -linjen och är den som oftast används. Man studerar gasen som roterar kring kärnan på galaxen M87 och observerar att på ena sidan av galaxkärnan har H α -linjen förskjutits till 90 nm. 6 a) ( p) Beräkna den observerade gasens hastighet i förhållande till oss på jorden. b) (0,5 p) Är ljuset från gasen rödförskjutet eller blåförskjutet? Motivera kort. c) (0,5 p) Är gasen på väg emot oss eller ifrån oss? Motivera kort.. () Man studerar gasen som roterar kring kärnan på galaxen M87 och beräknar att v dess tangentiella hastighet är v 0,5c, där c är ljushastigheten i vakuum. R

17 a) (,5 p) Bestäm massan på galaxkärnan om gasen roterar på avståndet R 0 AU från galaxkärnans masscentrum. Uttryck svaret i solmassor, M, kg (PH T-9.). AU astronomisk enhet medelavståndet från jorden till solen, se PH CU-.. Bortse från relativistiska effekter. Ledning: Frilägg en partikel med massa m som roterar runt en kropp med massa M på ett avstånd r. Bestäm partikelns tangentiella fart (uttryckt i M och r) och lös sedan ut massan, M. b) (0,5 p) Beräkna Schwarzschild-radien R S G N M/c för galaxkärnan och jämför med gasradien, R 0 AU. Kommentar: Galaxkärnan är troligen ett svart hål och gasen är nära händelsehorisonten.. ( p) Man studerar gasen som roterar kring kärnan på galaxen M87 och observerar ett gaslager som är format som ett sfäriskt skal med ytterradie r 0 AU och innerradie r 00 AU, se figur. Skalets densitet kan uppskattas till ρ,7 0 5 kg/m. Härled först ett uttryck för masströghetsmomentet kring masscentrum för ett sfäriskt homogent skal med densitet ρ, innerradie r och ytterradie r. Tillämpa sedan den härledda formeln för att uppskatta masströghetsmoment kring gasens masscentrum. 5. () Man studerar gasen som roterar kring kärnan på galaxen M87 och kan beräkna att dess ytterdel har den tangentiella hastigheten R 5 R5 v 0,5c och att gasens masströghetsmoment är I M 5 R R 0 5 kg m, där M är gasens massa, R 00 AU är gasskalets innerradie och R 0 AU är gasskalets ytterradie, se figur. Gasskalet krymper sedan under inverkan av gravitationen till en innerradie r 0,9R och ytterradie r 0,9R. Beräkna gasskalets tangentiella hastighet, v, vid ytterkanten, efter att det krympt. Anta att gasskalet är en stel kropp. (Bortse från alla relativistiska effekter och anta att gasmängden är konstant.) R v R Före krympning v Efter krympning