Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 14:00. Teknikvetenskap och matematik

Transkript

1 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum 0-0- Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, 0-0- Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () Ett radioaktivt prov innehåller en blandning av fosforisotoperna P- och P- men inget annat. En inledande mätning visar, att av den totalt uppmätta aktiviteten från provet, så kommer 0,0 % från P-. Hur många dygn måste man vänta för att 80,0 % skall göra detta?. () Isotopen väte- (tritium) sönderfaller med betasönderfall. a) ( p) Skriv upp reaktionen på vanlig form, med alla sönderfallsprodukterna angivna på korrekt sätt, och utan några andra symboler i formeln. Inga motiveringar behövs. b) (,5 p) Vad är sönderfallets Q-värde i enheten MeV? c) (0,5 p) Q-värdet är ju reaktionens avgivna energi. Men vad blir det av denna energi? Svara med ett av följande alternativ: vätekärnans rekylenergi, sönderfallsprodukternas sammanlagda rörelseenergier, dotterkärnans massförlust, dotterkärnans jonisationsenergi, elektronens viloenergi, neutrinons totalenergi, tritiumkärnans bindningsenergi. Ingen motivering behöver ges och svaret får inte innehålla annan text än ovanstående.

2 . ( p) Två skivor är geometriskt identiska, men tillverkade av olika material, och har följaktligen olika massor (se figur). Den undre skivan som har massan m b är luftlagrad och sätts i rotation så att den får omloppstiden T kring en vertikal axel (z-axeln). Den övre skivan med massan m a hänger först stilla rakt ovanför. Den släpps sedan ned på den undre, roterande skivan, varvid de två skivorna efter mycket kort tid roterar tillsammans med gemensam vinkelhastighet och med omloppstiden T. Friktionen från luftlagringen är försumbar. Härled uttrycket för förhållandet T /T. Det ska endast innehålla skivornas massor.. ( p) En homogen cylinder har massan m 50 kg och radien r 0,0 m. En kraft F 00 N anbringas på en kabel (med försumbar massa) som är lindad runt cylinderns periferi (se figur). Beräkna cylinderns acceleration. Den rullar utan att glida. 5. () En rektangulär ram har massan m och är formad av smala, homogena stänger. Ramen är friktionsfritt upphängd i O och kan svänga kring den horisontella axeln AA som går genom O. a) ( p) Beräkna tröghetsmomentet för ramen med avseende på axeln AA. b) ( p) Från sitt vertikala läge, som visas i figuren, förs ramen upp runt axeln AA så att den ligger horisontellt. Den släpps därefter och får svänga fritt kring AA. Bestäm (i givna storheter) uttrycket för den kraft som upphängningen i O påverkar ramen med omedelbart efter det att den släppts.

3 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) 0-0- Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Variabler: Fosforaktivitet Initial aktivitet för P-: A 0 Slutlig aktivitet för P-: A Initial aktivitet för P-: A 0 Slutlig aktivitet för P-: A Initial andel aktivitet P- i provet: A 0 /(A0 + A0 ) 0, Slutlig andel aktivitet P- i provet: A /(A + A ) 0,8 Antal dygn innan 80 % av aktiviteten kommer från P-. Initialt förhållande mellan aktiviteterna: A 0 A 0 + 0, A0 + A0 0 A0 9. (.) A0 A 0 A 0 Slutligt förhållande mellan aktiviteterna: A A + A + A 5 A A 5 A A. (.) Aktivitetslagen A Nλ i sönderfallslagen N N 0 e λt ger A A 0 e λt. Med λ ln /T / efter tiden t ger för P- A ln A0 T t e och för P- (.) A ln A0 T t e, (.) där halveringstiderna fås ur PH T-6.: Halveringstid P-: T,8 dygn Halveringstid P-: T 5, dygn Kvoten (.)/(.) blir A A0 A A 0 [...] t e ln T t e ln T t ln ( A A A0 A 0 / A0 A 0 ) ( ln e ) (.,.) T T )t ln ( /9) ln ( ln ( T T,8 5, 69,9 dygn. (.5) Man måste vänta 69 dygn innan 80 % av aktiviteten kommer från P-. Kommentar: Det skulle också gå att omvandla alla tider till sekunder och sedan tillbaks till dygn, men eftersom indata är i dygn är det lämpligare att räkna i dygn. Tritiumsönderfall Tritiumsönderfall med betasönderfall. a) p Reaktionsformeln. Laddning och masstal bevaras: H He+ + 0 e ν e. (.) Reaktionsformeln är H He + e + ν e. b),5 p ) Reaktionenes Q-värde. Q-värdet ges av Q mc (m T m He + m e )c (m T m He )c. (.) Insättning av data: Massa, tritium (PH T-6.): m T,0609 u Massa, helium- (PH T-6.): m H e,06090 u med uc 9,9 MeV (PH CU-.) ger Q (,0609,06090)uc, uc (.) 0,0850 MeV. (.) Reaktionenes Q-värde är 0,08 MeV Kommentar: Svaret avrundas till två decimaler pga mellanresultatet, uc (som egentligen bara har två värdessiffror efterom m T bara är givet med en precision av 0 6 uc ), men även svaret 0,0850 MeV och 0,08 MeV accepteras vid rättningen. c) 0,5 p Vad blir det av energin som frigörs, Q-värdet? Sönderfallsprodukternas sammanlagda rörelseenergier. Kommentar: Av sönderfallsprodukterna (elektronen och Hekärnan) kommer elektronen få mest energi (pga rörelsemängdens och energins bevarande). p Skivrotation Massa skiva A: m a Massa skiva B: m b Omloppstid före nedsläpp: T Omloppstid efter nedsläpp: T Förhållandet T /T uttryckt i skivmassorna m a och m b. I frånvaron av externa moment bevaras rörelsemängdsmomentet runt z: L L, (.) där rörelsemängdsmomentet före nedsläppet är L I ω I b ω (m b r /)ω (.) och rörelsemängdsmomentet efter nedsläppet är L I ω (I a + I b )ω (m a r / + m b r /)ω, (.) där vi använt att tröghetsmomentet för en cirkulär platta med radie r är I mr / (PH F-.0). (.) och (.) i (.): m b r ( ω mb r + m br ) ω ω m a + m b. (.) ω m b Förhållandet mellan omloppstid T och vinkelhastighet ω är T π/ω, vilket ger T π/ω ω (.) m a + m b + m a. (.5) T π/ω ω m b m b Förhållandet T /T + ma mb. Kommentar: Man kan också räkna uppgiften utan att anta en radie r genom att använda tröghetsradien k (och I mk ) tillsammans med att skivorna är geometriskt lika, vilket betyder att de har samma tröghetsradie. Senast uppdaterad: June, 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) 0-0- Cylinderacceleration Cylindermassa: M 50 kg Cylinderradie: r 0,0 m Dragkraft: M G 00 N Friläggning av cylindern: f r α mg N F y x p Cylinderns acceleration, a. Rullning utan glidning: a rα. (.) Momentekvationen kring masscentrum: τcm I cm α Fr f r (mr /)α F f (mr/)α, (.) med tröghetsmomentet för en cylinder I cm mr / (PH F-.0). Friktionskraften, f, fås ur Newtons :a lag i x-led: F x ma x F + f ma f ma F, (.) i (.): F + (F ma) (mr/)α (.) ma/ F ma/ a F/(m). (.) Numeriskt: a 00/( 50) 8,00 m/s. (.5) Cylinderns acceleration är a 8,0 m/s 5 Rammassa: Längd, kortsida: Längd, långsida: Rektangulär ram-rotation a) p Tröghetsmomentet med avseende på axeln AA. Ramen består av delar: m b b b Stångens totala längd är 6b, A O A vilket betyder att varje sträcka b har massan m/6. b b För del och är tröghetsmomentet det för stång som roterar kring ena änden b (PH F-.0): I AA I AA m b 6. (5.) För del är tröghetsmomentet kring AA noll eftersom delen ligger längs med axeln: I AA 0. (5.) För del ges tröghetsmomentet av Steiners sats I O I cm + md : I AA 0 + m 6 b. (5.) Det totala tröghetsmomentet blir med (5.),(5.),(5.): I tot I AA + I AA + I AA + I AA m b 6 mb ( b m 6 b + m 6 ) mb 9. (5.) Masströghetsmomentet för ramen kring axeln AA är mb 9. b) p Kraften som verkar på upphängningen när ramen släpps från horisontellt läge. Friläggning av ramen i horisontellt läge sedd längs axeln AA: O n AA Ot n b t mg α Rotation kring fix axel: Rörelseekvationen i horisontell led för tyngdpunkten: F n mr cm ω O n mr cm ω 0, (5.5) ty ω 0 rad/s i släppögonblicket. Rörelseekvationen i transvers led för tyngdpunkten: F t mr cm α O t + mg mr cm α O t mr cm α mg. (5.6) Momentekvationen runt upphängningspunkten O, τ Iα: mgb/ I tot α α mgb/(i tot ). (5.7) (5.7) i (5.6): O t mr cm (mgb/(i tot )) mg m b ( mgb I tot med r cm b/. ) mg (5.) m b g mb 9 Kraften är 7mg/6, riktad vertikalt uppåt. mg 7mg 6, (5.8) Senast uppdaterad: June, 0 () c Erik Elfgren

4 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum 0-0- Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, 0-0- Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) Antag att den kinetiska energin för en partikel är lika stor (med två värdessiffrors noggrannhet) som dess viloenergi. Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? Är den klassiska farten rimlig?. () Om man räknar relativistiskt på sönderfall av en vilande partikel med massa M till två partiklar med massorna m och m så kan man visa att rörelsemängden för partikel är p (m c M m ) m M. a) (0,5 p) Vad är rörelsemängden för partikel, p? Jämför storlek och riktning med partikel. b) (0,5 p) Om det handlar om α-sönderfall från roentgenium-7 (Rg-7), vilken är då dotterkärnan? c) ( p) I sönderfallet av Rg-7, beräkna (relativistiskt, utgående från formeln ovan) farten på α- partikeln (partikel ) samt dotterkärnan (partikel ) uttryckt i ljushastigheten c. Jämför farterna och förklara skillnaden.

5 . ( p) Den med skåror försedda skivan har massan m s 6,0 kg och tröghetsradien k O 0,75 m med avseende på centrum O. Skivan för med sig fyra små stålkulor (kan betraktas som partiklar) med massan m k 0,5 kg vardera, belägna som visas i figuren, och skivan roterar ursprungligen med vinkelhastigheten ω 0 varv/min med försumbar friktion kring en vertikal axel genom O. Kulorna hålls då på plats med en spärranordning (som ej syns i figuren). Om spärren släpps medan skivan roterar, kommer kulorna att åka ut och inta de streckade lägena som visas i figuren. Vilken blir då skivans vinkelhastighet, ω?. () En fallhammare används för att slå ned pålar i marken. Den skall vara utformad så att den vid stöten förlorar hela sin kinetiska energi. Vid pålningen släpps hammaren h,0 m ovanför pålen. Stöttalet mellan hammaren och pålen, som har massan m p 00 kg, är e 0,0. a) Vilken massa, m h, skall fallhammaren ha? b) Vilken hastighet får pålen omedelbart efter stöten? c) Hur stor blir den procentuella förlusten av mekanisk energi? Ledning: Vid stöten, betrakta hammaren och pålen som ett system, stöttiden som kort och friktionskraften från marken på pålen som liten. Motivera i lösningen när du använder dessa antaganden. 5. () En smal homogen stång med total längd L och massa M svänger friktionsfritt kring sin mittpunkt (se figur). En horisontell fjäder med fjäderkonstant k är fäst vid den undre delen av stången. Stången och fjädern är i jämvikt när stången är i vertikalt läge. Om stången vrids en liten vinkel θ, härled svängningsekvationen ( θ ω θ) och bestäm ω uttryckt i M och k. Ledning: Antag att θ är liten så att sin θ θ och cos θ.

6 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) 0-0- Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? Är det klassiska farten rimlig? Viloenergin ges av E 0 mc K E 0 mc. (.) Den klassiska farten ges av den klassiska kinetiska energin: K mv k mc v k c. (.) Den relativistiska farten ges av den relativistiska kinetiska energin: / (.) K mc v r /c K mc + v r /c ( K ) mc + v r /c ( v r c + K ) (.) c mc. (.) Den procentuella skillnaden mellan (.) och (.) blir v k c v r c 6, %. (.) Den klassiska farten är 6 % större än den relativistiska. Ur ekvation (.) inses att den klassiska farten är orimlig eftersom den är större än ljushastigheten. -moment Sönderfallande kärnas massa: M Dotterkärna massa: m Sönderfallspartikels massa: m Rörelsemängd, dotterkärna: p (m M m ) M m a) 0,5 p Vad är rörelsemängden för partikel, p? Jämför med partikel. Rörelsemängden bevaras i partikelkollisioner (inga externa krafter): p före p efter 0 p + p (m p p ) M m m M. (.) Rörelsemängden för partikel är lika stor som för partikel, men med omvänd riktning, p p. b) 0,5 p Om det handlar om α-sönderfall från roentgenium-7 (Rg-7), vilken är då dotterkärnan? Roentgenium-7 har Z protoner och α (kärna av helium- ) har Z protoner och masstalet A (PH T-6.). Reaktionen är därför 7 Rg He + A X. (.) Z Masstalet och laddningen bevaras vilket betyder att A 7 68 (.) Z 09, (.) vilket motsvarar meitnerium-68, Mt-68 (PH T-6.). p Relativistiskt vs klassiskt Dotterkärnan är meitnerium-68. Kinetisk energi viloenergin: K E 0 c) p I sönderfallet av Rg-7, beräkna (relativistiskt, utgående från formeln ovan) farten på α-partikeln (partikel ) samt dotterkärnan (partikel ) uttryckt i ljushastigheten c. Jämför farterna och förklara skillnaden. Farten fås ur den relativistiska rörelsemängden: p γmv mv v /c m ( p v c m ) v c v ( p ) v m + c c ( p ). (.5) mc + Rörelsemängden för partikel (α-partikeln) blir ( m α MRg Mt) m p c M Rg m Mt, kgm/s, (.6) med m α m He m e samt data från PH T-6. och PH T-6.: Massa för Rg-7: m Rg 7,55 u Massa för Mt-86: m Mt 68,88 u + m e Massa för He-: m He,0060 u Massa för elektron (PH CU-.): m e 5, u Massa för u (PH CU-.): u, kg För α-partikeln blir då farten med (.5) och (.6): v α c ( p mαc och för Mt-kärnan: v Mt ) + 0, (.7) c ( p ) 0, (.8) + mmtc v α 0,077007c, v Mt 0,00566c. Orsaken till att α-partikeln har högre fart är att den har lägre massa, och då måste den ha högre fart för att rörelsemängden ska kunna bevaras. p Kulor i skåror Skivmassa: m s 6,0 kg Tröghetsradie, skiva: k O 0,75 m Kulmassa: m k 0,5 kg Antal kulor: n k Initial vinkelhastighet: ω 0 varv/min Initialt avstånd från kulorna till O: r 0,00 m Slutavstånd från kulorna till O: r 0,00 m Skivans vinkelhastiget efter att kulorna åkt ut från avstånd r till avstånd r från rotationsaxeln O. Låt läge vara initialt läge och läge vara när kulorna är på avstånd r från O. Frånvaron av externa moment ( τ ext 0) gör att rörelsemängdsmomentet bevaras enligt impulsmomentlagen: τ ext dt L L 0 L L. (.) Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) 0-0- Rörelsemängdsmomentet ges av L I O ω vilket med (.) ger I ω I ω. (.) Låt r vara kulornas avstånd till rotationsaxeln O. Då blir tröghetsmomentet I n k I k + I s, (.) där skivans tröghetsmomentet kring O är I s m s k O (Definition av tröghetsradie TPH). (.) och en kulas tröghetsmomentet kring O (I CM 0) är I k m k r (Steiners sats för punktformig masssa). (.5) Ekvation (.5) och (.) i (.) i (.) ger ( nk m k r + m ) sko ω ( n k m k r + m ) sko ω n k m k r ω ω + m sko n k m k r + m 0 0,5 0, + 6 0,75 sko 0,5 0, + 6 0,75 09,6 varv/min. (.6) Skivans vinkelhastighet efter att kulorna rullat ut blir ω 0 varv/min. Kommentar: Mekaniska energisatsen kan inte användas eftersom det övriga arbete som inträffar när kulorna stannar är okänt. Fallhammare Problemet består av tre steg, (0) före nedsläpp, () före stöt och () efter stöt: vh0 mh h h vh vvp v p0 m p 0 v p Pålmassa: m p 00 kg Släpphöjd: h,0 m Stöttal: e 0,0 Hammarfart, initial: v h0 0 m/s Pålfart, initial: v p0 0 m/s Hammarfart, före stöt: v h? Pålfart, före stöt: v p 0 m/s Hammarfart, efter stöt: v h 0 m/s Pålfart, efter stöt: v p? a) p Fallhammarens massa, m h. Hammarfarten före stöt ges av mekaniska energisatsen mellan 0 : K 0 + U g0 + U e0 + W övr K + U g + U e d 0 + m h gh m h v h / v h gh, (.) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar. Stöttalet ger hastighetsändringen över stöten: e v p v h v h v p v p v h v p ev h (.) e gh. (.) Massan på hammarhuvudet kan nu beräknas ur impulslagen för systemet hammare+påle: (.,.) F y dt p y p y p y m p v p m h v h m p e gh m h gh gh (mp e m h ). (.) y x Stöttiden är kort och friktionskraften är liten Fy dt 0. (.) ger då m p e m h 0 m h m p e 00 0,0 90 kg. (.) b) p Pålhastigheten omedelbart efter stöten. (.) ger v p e gh 0,0 9,8,0,659 m/s. (.5) c) p Procentuella förlusten av mekanisk energi. Före stöten är energin: E m h v h / (.6) och efter är den E m p v p /. (.7) Den procentuella energiförlusten blir (E E )/E : n E (.6,.7) m pv p / (.,.,.) E m h v h / m pe gh e 0,70. (.8) (m p e)gh a) Fallhammaren har massan m h 90 kg. b) Pålen får hastigheten,7 m/s nedåt. c) Den procentuella energiförlusten blir 70 %. 5 Fjäderoscillation Stångmassa: M Fjäderkonstant: k Härled svängningsekvationen och bestäm ω uttryck i M och k. Friläggning av stången: Momentekvationen τcm I cm α ger n t A n F(L/) cos θ I cm α I cm θ, (5.) A t där tröghetsmomentet kring masscentrum för en cm homogen stav är (PH F-.0) Mg F θ L/ I cm ML /. (5.) Fjäderkraften F kx ges av F k(l/) sin θ. (5.) (5.) i (5.) med cos θ och sin θ θ: (k(l/) sin θ)(l/) cos θ I cm θ kl θ I (5.) cm θ ML θ θ k M θ ω θ ω Svängningsekvationen är θ k M θ och ω. k M. (5.) Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren k M.

7 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 5:00 0:00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt:. ( p) Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal. a) (0,5 p) Vilka är de två vanligaste sönderfallen för Cs-7? Vilken energi har de? Ingen beräkning krävs. b) ( p) Skriv ned reaktionsformlerna för de två vanligaste (ca 9 % av totala antalet sönderfall) sönderfallen för Cs-7 samt även reaktionsformeln för det mindre vanliga (ca 6 % av totala antalet sönderfall) sönderfallet. c) (,5 p) Beräkna den frigjorda energin (Q-värdet) för sönderfallet av Cs-7 till den stabila slutprodukten.. () 7 a) ( p) Vid β-sönderfall kan elektronens energi inte bestämmas exakt eftersom det blir tre sönderfallsprodukter, i motsats till när det bara blir två sönderfallsprodukter (som t.ex. vid α- sönderfall). Visa att energin och rörelsemängden blir entydigt definierade vid sönderfall till två sönderfallsprodukter (med massa m och M) då den frigjorda energin är Q. Ledning: Räkna ickerelativistiskt på energins och rörelsemängdens bevarande i en dimension med en stillastående moderpartikel. Bestäm därefter uttrycken för kinetisk energi och rörelsemängd för de två sönderfallsprodukterna, K m, K M, p m och p M uttryckt i m, M och Q. b) ( p) Beräkna den maximala kinetiska energin för elektronen vid β-sönderfall av Cs-7 om den totala frigjorda energin i sönderfallet är Q 0,5 MeV. Beräkna även vad dotterkärnans kinetiska energi då blir.

8 . ( p) En raket avfyras vertikalt uppåt, och dess läge mäts med radar, se figur. Då a v vinkeln θ 5, är r 9,0 km, r 5 m/s och θ 0,05 rad/s. Beräkna raketens fart och acceleration uppåt i detta ögonblick. r θ. () Ett sfäriskt skal med massan m k,50 kg och radien r 0,0 cm är l fastsvetsat i änden på en smal, homogen stång med längden l 0,500 m och massan m s,00 kg. Den så konstruerade pendeln är upphängd i en O friktionsfri led O. Den släpps från vila i det läge där stången är horisontell. r a) ( p) Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O. b) ( p) Beräkna pendelns vinkelhastighet i nedersta läget, dvs. då stången är vertikal. ω 5. () Förståelsefrågor (om inte annat anges fordras ingen beräkning eller motivering): a) (0,5 p) Momentekvationen τ O I O α gäller inte runt en godtycklig axel O. Axlarna A, B, C och D i figuren nedan följer med lådan när den vrids kring C pga kraften F. Vilka axlar är okej att använda i momentekvationen? A C B cm D F b) (0,5 p) Vad är nollmomentcentrum (även kallat stötcentrum) och varför är detta en lämplig punkt för en kraft att angripa i när något roterar kring ett lager? c) ( p) Två masslösa stavar, båda med längd L, har vardera två punktformiga massor m i sig (se figur). I stav A ligger båda massorna i mitten på staven, i stav B ligger massorna i var sin ände. Beräkna vilken av stavarna som kommer att vara trögast att rotera kring stavänden, dvs vilken av dem som har störst (mass)tröghetsmoment. A L m m B m m d) ( p) En kula med massa 0 g och med hastighetskomposanterna v x,0 m/s och v y,0 m/s slår in snett på en dörr (se figur) på avståndet r,0 m från gångjärnet, A. Beräkna storleken på kulans rörelsemängd och storleken på dess rörelsemängdsmoment kring axeln A precis innan den slår i. y A x v r e) ( p) En enkel pendel (partikelpendel) utgörs av en punktformig massa som är upphängd i en lina med försumbar massa och längd L. Pendeln försätts i svängning genom att punktmassan förs lite åt sidan och släpps. Pendeln har då en viss svängningstid. Om man sedan vill fördubbla svängningstiden, beräkna hur linans längd då ska förändras. Om man istället vill fördubbla vinkelfrekvensen, beräkna hur linans längd då ska förändras.

9 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Cs-7-sönderfall Sönderfall av Cs-7. a) 0,5 p De vanligaste sönderfallen samt deras energi. Sönderfallen är γ-sönderfall med energin 66,65 kev och β -sönderfall med energin 0,5 MeV (PH T-6.). b) p Reaktionsformeln för de vanligaste sönderfallen samt för det mindre vanliga sönderfallet. Laddning och masstal bevaras. Reaktionsformlerna är 7 9 % Cs % Ba Cs 6 % 7 56 Ba + e + ν e, Ba + γ, 56 Ba + e + ν e. c),5 p Sönderfallets Q-värde. Q-värdet ges av Q mc (m Cs m Ba + m e )c (m Cs m Ba )c. (.) Insättning av data: Massa, Cs-7 (PH T-6.): m Cs 6,90708 u Massa, Ba-7 (PH T-6.): m Ba 6,9058 u med uc 9,9 MeV (PH CU-.) ger Q (6, ,9058)uc 7, 0 5 uc (.),867 MeV. (.) Reaktionens Q-värde är,9 MeV. Kommentar: Svaret avrundas till tre decimaler pga mellanresultatet 7, 0 5 uc (som egentligen bara har tre värdessiffror efterom m Ba bara är givet med en precision av 0 5 uc ), men även,867 MeV och,87 MeV accepteras vid rättningen. Sönderfallsprodukter a) p Sönderfall med två sönderfallsprodukter med massa m och M och frigjord energi Q med en stillastående moderpartikel. Kinetisk energi och rörelsemängd för de två sönderfallsprodukterna, K m, K M, p m och p M uttryckt i m, M och Q. Rörelsemängdens bevarande (ty inga externa krafter): p före p efter 0 p m + p M p m p M. (.) Sönderfallsprodukternas kinetiska energi: K m mv m m(p m/m) M(p M/M) K M Mv M med p mv v p/m. p p m m, (.) p M M, (.) Den frigjorda energin Q blir till kinetisk energi hos de två sönderfallsprodukterna: (.,.) p ( m Q K m + K M m + p M (.) p m M m + p m M p m m + ) M ( p m m + M ) QMm p m ± Mm m + M. (.) Ekvation (.) ger p M och (.) och (.) ger K m och K M. Kinetisk energi och rörelsemängd för de två sönderfallsprodukterna uttryckt i m, M och Q: p m ± p M p m K m K M QMm m+m, (.5) QMm m+m, (.6) QM m+m, (.7) Qm m+m. (.8) b) p Frigjord energi i β-sönderfall av Cs-7: Q 0,5 MeV Maximala kinetiska energin för elektronen, K e, samt vad dotterkärnans kinetiska energi då blir, K d. Masstalet och laddningens bevarande ger att Cs-7 sönderfaller med β-strålning till Ba-7: 7 7 Cs Ba + e + ν e. (.9) Då elektronen får maximal energi får neutrinon ingen energi och sönderfallet blir effektivt ett tvåpartikelsönderfall, vilket gör att vi kan använda resultatet i a) med M M Ba + M Ba m e : (.7) K e K m QM m + M QM Ba+ m e + M Ba + 0,5 (6,9058 5, ) u 6,9058 u (.8) K d K M Qm m + M Qm e m e + M Ba + 0,5 MeV, (.0) 0,5 06 5, u,060 ev, (.) 6,9058 u med Massa, elektron (PH CU-.): m m e 5, u Massa, Ba-7 (PH T-6.): M M Ba 6,9058 u Maximal kinetisk energi för elektronen: 0,5 MeV. Dotterkärnans kinetiska energi blir då:,06 ev. Raketavfyrning θ 5 π/ r 9,0 km θ 0,05 rad/s r 5 m/s Raketens fart och acceleration uppåt. v Polära koordinater. Raketens hastighetskomposant i θ-riktningen: r v v θ θ v θ r θ ,05 5 m/s. (.) r Komposantuppdelning (se figur) ger θ v v θ / cos θ 5/ cos 5 9 m/s. (.) Accelerationskomposanten i r-riktningen: a r r r θ,98 m/s. (.) Komposantuppdelning av accelerationen ger a a r / sin θ,98/ sin 5 8,5 m/s. (.) Raketens fart är 0,9 km/s och dess acceleration 8 m/s. Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren p Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Klotpendelrotation Klotmassa m k,50 kg Klotradie r 0,00 m Stångmassa m s,00 kg Stånglängd l 0,500 m a) p Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O. Pendelns masströghetsmomentet kring O ges av I O,tot I O,s + I O,k, (.) där stångens trögetsmoment är (PH F-.0, nr ) I O,s m s l / 0,667 kg m, (.) och klotet är ett sfäriskt skal med tröghetsmoment kring masscentrum (PH F-.0, nr ) I cm,k (/)m k r 0,0 kg m, (.) och klotets tröghetsmoment kring O fås med Steiners sats: I O,k I cm,k + m k (l + r) 0,775 kg m. (.) Ekvation (.) i (.) med (.) i (.): I O,tot m s l / + (/)m k r + m k (l + r) 0,5 / + (/),5 0, +,5 (0,5 + 0,) 0,97 kg m. (.5) b) p Pendelns vinkelhastighet, ω, i nedersta läget (läge ). Mekaniska energisatsen för : K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.6) där ω O l/ l l+r r U g 0 K I O,totω, K U e U e U g W övr 0, (.7) U g m s g(l/) m k g(l + r), (.8) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar. (.7) och (.8) i (.6) ger: I O,totω m s gl/ + m k g(l + r) (m s gl/ + m k g(l + r)) ω I O,tot ( 9,8 0,5/ +,5 9,8(0,5 + 0,)) 0,97 5,68 rad/s. (.9) a) Pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O blir 0,9 kg m. b) Pendelns vinkelhastighet i nedersta läget blir 5,68 rad/s. Kommentar: Notera att det är masscentrum som har potentiell gravitationell energi, därav ekvation (.8). 5 Mekanikförståelse a) 0,5 p Vilka axlar är okej att använda i momentekvationen? A C B cm Axel B och C är okej att använda i momentekvationen. D F Kommentar: Axel B är masscentrum och axel C är en fix rotationsaxel. b) 0,5 p Vad är nollmomentcentrum (stötcentrum) och varför är detta en lämplig punkt för en kraft att angripa i när något roterar kring ett lager? Nollmomentcentrum är den punkt där en angripande kraft inte ger upphov till en tangentiell kraft i leden. En kraft som angriper i den punkten ger mindre slitage på leden. c) p L A m m Två masslösa stavar, båda B m m med längd L, har vardera två punktformiga massor m i sig. I stav A ligger båda massorna i mitten på staven, i stav B ligger massorna i var sin ände. Vilken är trögast att rotera kring stavänden? Stav A:s masströghetsmomentet kring änden ges av definitionen av tröghetsmoment med två punktmassor på avstånd L/: I A m(l/) ml /. (5.) Stav B:s masströghetsmomentet kring änden ges av definitionen av tröghetsmoment med en punktmassa på avstånd L: I B m(l) ml. (5.) Stång B är trögast att rotera kring stavänden ty I B > I A. d) p y Kulmassa: m 0 g A x v Kulhastighet: Kulhastighet: v x,0 m/s v y,0 m/s r Storleken på kulans rörelsemängd och rörelsemängdsmoment kring axeln A. Definition av rörelsemängd p mv: p x mv x, p y mv y p p x + p y m v x + v y 0,0 + ( ) 0,0 kg m/s. (5.) Definition av rörelsemängdsmoment L p r: L p y r mv y r 0,0( ) 0,00 kgm /s. (5.) Storleken på kulans rörelsemängd blir 0,0 kg m/s och storleken på rörelsemängdsmomentet blir 0,00 kg m /s. e) p Partikelpendel med längd L. Hur ska pendellängden ändras om svängningstiden ska fördubblas? Hur ska pendellängden ändras om vinkelfrekvensen ska fördubblas? Periodtiden för partikelpendel (PH F-.): T π L/g, (5.5) dvs om L fyrdubblas så dubblas periodtiden (eftersom ). Vinkelhastigheten för partikelpendel: ω π/t (5.5) g/l, (5.6) dvs om L delas på fyra så dubblas vinkelfrekvensen. Pendellängden måste fyrdubblas om svängningstiden ska fördubblas. Pendellängden måste delas på om vinkelfrekvensen ska fördubblas. Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren

10 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) Vilken maximal hastighet får en elektron från beta-sönderfall av C-? Svaret ska uttryckas i enheten c (ljushastigheten), och den kinetiska energin ska räknas fram, inte tas direkt från formelsamlingen. Dotterkärnans rekyl kan försummas i beräkningen av elektronens hastighet.. () I naturligt kol förekommer 0 0 % kol-. a) (,5 p) Hur stor ekvivalent dos (i Sv/år) får en person som väger m 65 kg från kol- från sin egen kropp om 8 % av kroppsmassan består av naturligt kol? b) (0,5 p) Om du får i dig en strålningsdos på Sv, finns det anledning att oroa sig? Ingen beräkning fordras. Ledning: Beräkna först den absorberade strålningsenergin och använd sedan den relativa biologiska effektiviteten, RBE γ,0, RBE β,0, RBE p 5, RBE n 5 0 och RBE α 0. Antag att elektronen får hälften av energin vid β-sönderfall. 0

11 . ( p) En jojo har massan m och tröghetsradien k med avseende på z-axeln. Lintrummans radie är R. Jojon släpps fri och rullar utan att glida nedför den masslösa linan. Linänden A hålls stilla. Bestäm jojons vinkelacceleration samt kraften F som måste anbringas i linänden A. Ange ditt svar i de angivna variablerna samt tyngdaccelerationen g. R z F A. () En tunn stång med längd l s,000 m och massa m s 5,0 kg är upphängd i en friktionsfri led i punkten A enligt figuren. Stången befinner sig ursprungligen i vila (och i jämvikt). En gevärskula med massan m k 0,0 g och farten v k 0,600 km/s träffar mitt på stången, se figuren. Kulan fastnar i stången som svänger ut från jämviktsläget. l s A m s v k m k 5. a) ( p) Bestäm stångens vinkelhastighet precis efter stöten mellan kulan och stången. b) ( p) Beräkna hur långt (vilken vinkel) stången maximalt svänger ut från jämviktsläget. () En låda med massa M vilar på en friktionsfri yta. Lådan µ s m är kopplad till en fjäder med fjäderkonstant k som sitter fast i k en vägg. Ovanpå lådan ligger en annan låda med massa m. Den M statiska friktionskoefficienten mellan de två lådorna är µ s. Bestäm den största möjliga amplituden för svängningen så att lådorna inte glider relativt varandra. Uttryck svaret i de givna storheterna samt gravitationsaccelerationen, g. Svängningsekvationen behöver inte härledas.

12 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. p C-sönderfall Beta-sönderfall av C-. Maximal energi för elektronen. Sönderfall av C- sker via reaktionen 6 C 7 N+ + e + ν e, (.) eftersom totala masstalet A och totala laddningen Z bevaras i sönderfallet. Sammanlagda rörelseenergin hos slutprodukterna ges av reaktionens Q-värde. Elektronen har maximal rörelseenergi när neutrinon har rörelseenergin noll. Dessutom kan vi försumma inverkan av kvävekärnans rekyl eftersom den är mycket tyngre än elektronen. Alltså blir elektronens maximala rörelseenergi lika med Q-värdet för processen. Det ges av, Q mc : K e Q (m C (m N + + m e + m νe ))uc (m C ((m N m e ) + m e + 0))uc (m C m N )uc (,00,000700)uc 0,00068 uc, (.) eftersom neutrinon kan betraktas som masslös och N- är en positiv jon eftersom den ärvt de 6 elektronerna från C-. Här har massan för C- tagits från PH T-6. och massan för N- från PH T-6.. Relativistisk rörelseenergi ges av K (γ )mc : K e v /c m ec + K e m e c v /c ( v /c + K ) ( e v c + K ) e m e c m e c ( ) (.) 0,00068 uc c + 0,6 c, (.) 5, uc där vi använt elektronens viloenergi, m e c, från PH CU-., uttryckt i enheten uc. Elektronen får hastigheten 0,6 c. Kommentar: Vi använder elektronens viloenergi, m e c uttryckt i enheten uc, så att uc kan förkortas bort i uttrycket K e /m e c. Detta är mycket enklare och elegantare än att byta till SI-enheter eller ev. Svaret avrundas lämpligen till två värdesiffror eftersom vi försummat kväveatomens rekyl men även tre värdesiffror godkänns (antalet i mellansvaret K e ). KroppsstrÃlning Andel C- i naturligt kol: N C /N C 0 Andel kol i kroppen: f C 8 % Relativ biologisk effekt för β-strålning: RBE β,0 Elektronen får halva sönderfallsenergin: E β E β,max / a),5 p Ekvivalent dos (i Sv/år) från C- i kroppen under ett år, D C. C- sönderfaller enligt 6 C 7 N+ + e + ν e. (.) Elektronen får hälften av sönderfallsenergin E β E β,max / 0,57/ MeV (PH T-6.) och den absorberade energimängden per kg kroppsvikt från C--sönderfall under tiden T år blir då E C n C T E β, (.) där aktiviteten för C- ges av aktivitetslagen: n C λ C N C ln T C,/ N C, (.) där T C,/ 570 år är halveringstiden för C- (PH T-6.) och N C är antalet C- atomer per kg kroppsvikt: N C f C N C /N C M C f C N C /N C M C, (.) där M C,00 u är atommassan för C- (PH T-6.). Den ekvivalenta dosen per år (PH F-8.0 med ω RBE) blir då: D C RBE β E C (.) RBE β n C T E β (.) ln RBE β N C T E β (.5) T C,/ (.) ln RBE β fc N C /N C T E β T C,/ M C ln 0,8 0 0,57 06,0 570,00 u,8 µsv/år, (.6) med u, kg (PH CU-.) och MeV, J (PH CU-.). b) 0,5 p Om du får i dig en strålningsdos på Sv, finns det anledning att oroa sig? Ja, Sv är en hög dos (se PH F-8.0). a) Den ekvivalenta dosen från C- blir µsv/år. b) Ja, en ekvivalent dos på Sv är anledning att oroa sig. Kommentar: I PH står det att RBE β, men i boken står det RBE β,0,5. Troligen är,0 ett bättre verkligt värde. Massa: Tröghetsradie: Jojo Jojons vinkelacceleration samt kraften F som måste anbringas i linänden A. Friläggning av jojon: x y R z mg F A p m k Newtons :a lag, F y ma y : mg F ma, (.) där a är accelerationen (nedåt) för jojons masscentrum. Momentekvationen, τz I z α z : F R Iα F Iα R, (.) där I är jojons masströghetsmoment kring dess masscentrum. (.) i (.) tillsammans med rullning utan glidning, a Rα: mg Iα R mrα... α mg mr + I/R. (.) Masströghetsmomentet för någonting med tröghetsradie k är I mk, vilket i (.) ger: mg α mr + mk /R gr R + k. (.) (.) i (.) med I mk ger: F mk gr R R + k mgk R + k. (.5) Senast uppdaterad: 8 mars 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Jojons vinkelacceleration blir α gr/(r + k ) och kraften som måste anbringas i A blir F mgk /(R + k ). Kula träffar stång Kulmassa: m k 0,0 g Kulfart: v k 0,600 km/s Stångmassa: m s 5,0 kg Stånglängd: l s,000 m a) p Stångens vinkelhastighet, ω, precis A efter stöten mellan kulan och stången. l s m v k s I frånvaron av externa moment bevaras rörelsemängdsmomentet runt A m k under stöten: L L, (.) där rörelsemängdsmomentet, L p r, före stöten är L p k l s / (m k v k ) (l s /) (.) och rörelsemängdsmomentet efter stöten är L I tot ω, (.) där I tot I k + I s är masströghetsmomentet för kulan+stången. (.) och (.) i (.): m k v k l s / I tot ω ω m k v k l s /(I tot ). (.) Kulans masströghetsmoment fås ur definitionen på masströghetsmoment, I mr (punktformad partikel): I k m k (l s /) (.5) och stångens masströghetsmoment från (PH F-.0) I s m s ls /. (.6) (.5) och (.6) i (.) ger m k v k l s ω ( m k (l s /) + m s ls / ) m k v k (.7) l s (m k / + m s /) 0,0 600 (0,0/ + 5/),976 rad/s. b) p Vilken vinkel stången maximalt A A l s svänger ut. l θ cosθ s h Mekaniska energisatsen mellan läge (precis efter stöt) och läge (maximal utsvängning): K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.8) där K I totω, K 0, U e U e W övr 0, U g U g (m s + m k )gh (m s + m k )g l s ( cos θ), (.9) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar. (.9) i (.8): I totω (m s + m k )g l s ( cos θ) (.0) och vi kan lösa ut ( I tot ω ) (.5,.6,.7) θ arccos (m s + m k )gl s m k arccos v k (m s + m k )gl s (m k / + m s /) ( 0,0 600 ) arccos (5 + 0,0) 9,8 (0,0/ + 5/) 5,85. (.) a) Stångens vinkelhastighet precis efter stöten är,0 rad/s. b) Den maximala utsvängningsvinkeln blir θ 5,5. Kommentar: På första raden i (.) hade det gått bra att sätta in värdena på I tot 0,0 kg m och ω,976 rad/s direkt. 5 Svängande lådor Undre låda, massa: Övre låda, massa: Friktionskoefficient mellan lådorna: Fjäderkonstant: Den största möjliga amplituden, A max, för svängningen så att lådorna inte glider relativt varandra. k µ s m Maximal svängningsamplitud betyder att lådorna svänger på gränsen till glidning. Friläggning av den övre lådan M M m y Jämvikt i y-led, F y 0: x mg N mg 0 N mg. (5.) På gränsen till glidning är friktionskraften: f N f µ s N (5.) µ s mg. (5.) Newtons :a lag i x-led, F x ma x : f ma x (5.) µ s mg a x µ s g, (5.) där a x alltså är den övre lådans maximala acceleration, men utan glidning accelererar de båda lådorna lika fort. Den undre lådans acceleration kan fås genom att fjädersvängning är harmonisk svängning vilket betyder att svängningen kan skrivas x(t) A cos (ω t + φ) (5.) och därmed blir den undre lådans acceleration ẍ(t) Aω cos (ω t + φ), (5.5) där A är svängningens amplitud och vinkelfrekvensen är ω k/m tot k/(m + M). (5.6) Den maximala accelerationen inträffar då cos (ω t + φ), då ẍ a x µ s g och vid den maximala amplituden, A A max, dvs då ẍ A max ω (5.) a x µ s g. A max µ sg (5.6) µ s g ω k/(m + M) µ sg(m + M). (5.7) k Den största möjliga amplituden för svängningen blir A max µ s g(m + M)/k. Senast uppdaterad: 8 mars 0 () c Erik Elfgren µ s k

13 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, 0-0- Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () Antag att den kinetiska energin för en partikel är lika stor (med två värdessiffrors noggrannhet) som dess viloenergi. a) (,5 p) Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? b) (0,5 p) Är den klassiska farten rimlig? c) ( p) Om partikeln är en proton, vad är då dess kinetiska energi respektive totalenergi (uttryckt i GeV)?. ( p) Hur många Cs-7-atomer finns det i en fisk som har aktiviteten 0,8 kbq från sönderfall av denna isotop?. () Linskivan har radien 0,00 m och massan 50 kg. Tröghetsradien med avseende på den friktionsfria rotationsaxeln O är 0,00 m. På samma axel är en last med massan 00 kg påhängd (lasten hänger löst på axeln och roterar inte). Systemet bärs upp av en fjäder ansluten till en lina som löper runt linskivans periferi, se figur. Fjädern har fjäderkonstanten k,5 kn/m. Systemet släpps från vila i ett läge, där fjädern är utsträckt 0,0 m i förhållande till ospända längden. Beräkna lastens hastighet då den rört sig 0,5 m nedåt. Linan är masslös och glider ej relativt skivan.

14 . ( p) Ett tåg kör sakta förbi en station; hastigheten är v 5,0 m/s när det passerar. Tåget accelererar sedan försiktigt med accelerationen a 60 v m/s. Vilken hastighet, v, har tåget 00 m efter det att det börjat accelerera? 5. () En insekt som väger 0 g står på änden av en horisontell, tunn, homogen stång, i vila. Stången har massan 50,0 g och längden L 00 cm och den är friktionsfritt ledad i andra änden. Insekten hoppar, vinkelrätt mot stången, i horisontell riktning med farten v 0.0 cm/s relativt underlaget. Efter hoppet svänger stången i horistonalplanet. Insekt L v Vy fran ovan a) (,5 p) Vad är stångens vinkelhastighet precis efter hoppet? b) ( p) Vad är systemets totala rörelseenergi precis efter hoppet? Led c) (0,5 p) Systemets total rörelseenergi före hoppet är noll medan den är större än noll efter hoppet. Varifrån kommer rörelseenergin?

15 l Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Relativistiskt vs klassiskt med proton Kinetisk energi viloenergin: K E 0 Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? Är det klassiska farten rimlig? a),5 p Viloenergin ges av E 0 mc K E 0 mc. (.) Den klassiska farten ges av den klassiska kinetiska energin: K mv k mc v k c. (.) Den relativistiska farten ges av den relativistiska kinetiska energin: / (.) K mc v r /c K mc + v r /c ( K ) mc + v r /c ( v r c + K ) (.) c mc. (.) Den procentuella skillnaden mellan (.) och (.) blir v k c v r c 6, %. (.) b) 0,5 p (.) ger v k c > c, (.5) vilket är orimligt. c) p Partikeln är en proton. Den kinetiska energin ges av (.): K E 0 m p c 9, ev (PH CU-.) (.6) och totalenergin ges av E tot K + E 0 (.6) K m p c, ev. (.7) a) Den klassiska farten är 6 % större än den relativistiska. b) Den klassiska farten är orimlig eftersom den är större än ljushastigheten. b) För protonen är den kinetiska energin 0,9 GeV och totalenergin,9 GeV. Aktivitet från Cs-7: Antalet Cs-7-atomer, N. Fiskatomer p A 0,8 kbq Aktivitetslagen med sönderfallskonstanten λ ln /T / : A λn ln N T / N AT / ln 80 0, ,6 0, (.) ln där halveringstiden för Cs-7 är T / 0,7 år (PH T-6.). Det är ca 5, 0 st Cs-7-atomer i fisken. Skivradie: Skivmassa: Tröghetsradie: Lastmassa: Fjäderkonstant: Fjädertöjning, vila: Förflyttning, nedåt: Linskiva Läge Läge h r s 0,00 m m s 50 kg k O 0,00 m m l 00 kg k,5 kn/m y 0,0 m h 0,5 m Lastens hastighet, v, efter förflyttningen. Mekaniska energisatsen mellan läge och : K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.) där K W övr 0, U g m tot gh, U e ky, (.) K I Oω + m totv, U g 0, U e ky, (.) där masströghetsmomentet kring O är I O m s k O 50 0,,5 kg m, (.) totalmassan är m tot m s + m l kg, (.5) och den slutliga fjäderförlängningen är y y + h 0, + 0,5 0,6 m, (.6) eftersom fjädern töjs dubbelt så mycket som lasten rör sig nedåt. (.) och (.) i (.) ger: m tot gh + ky I Oω + m totv + ky. (.7) Rotation utan glidning (mellan lina och skiva): v r s ω ω v /r s, (.8) i (.7): m tot gh + ky I v O + rs m totv + ky m tot gh + ky ( ) ky v IO + m tot. (.9) r s Multiplikation med samt förenkling: y y (y + y )(y y ) (.6) (y + y + h)(y y h) (y + h)h) ger: ( ) m tot gh kh(y +h) v IO /rs +m tot m tot gh kh(y +h) (.6) v h m totg k(y +h). (.0) I O /rs +m tot m s ko /r s +m tot Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Numeriskt: v 0,5 50 9,8 500(0,+0,5) 50 0, /0, +50 Lastens hastighet är, m/s.,08966 m/s. (.) p Tågacceleration Initialhastighet: v 5,0 m/s Acceleration: a 60 v m/s Hastigheten v efter sträckan 00 m. Rätlinjig rörelse: a ds v dv 60v ds v dv 60 ds v 5 dv. (.) Integration ger 00 v [ ] v 60 ds v 5 6 v dv 6000 v6 v v v v ,0 m/s. (.) Tågets sluthastighet är 6, m/s. 5 Insektshopp Insektsmassa: m i 0 g Stångmassa: m s 50,0 g Stånglängd: l 00 cm Insektsfart: v 0,0 cm/s a),5 p Stångens vinkelhastighet, ω, precis efter hoppet. Leden är friktionsfri inga externa moment rörelsemängdsmomentet runt leden bevaras under hoppet: L L 0, (5.) v Insekt 00 cm ω v Vy fran ovan eftersom rörelsemängdsmomentet före hoppet L 0 (stången och insekten är då i vila). Efter hoppet rör sig insekten åt ena hållet och stången åt det andra och det totala rörelsemängdsmomentet blir: (5.) L L i L s 0, (5.) där rörelsemängdsmomentet L r p (per definition) för insekten är L i lm i v 0,0 0, 0,00 kg m /s, (5.) och rörelsemängdsmomentet L Iω för stången är L s I s ω, (5.) där stångens masströghetsmoment (PH F-.0, nr ) är I s m s l / 0,05 / kg m. (5.5) (5.5) i (5.) med (5.) i (5.): lm i v + (m s l /)ω 0 ω lm iv 0,0 0, 0,0 rad/s. (5.6) m s l / 0,05 / b) p Systemets totala rörelseenergi precis efter hoppet. Total rörelseenergi efter hoppet: K tot K i + K s, (5.7) Led där insektens (linjära) rörelseenergi är K i m i v / 0,0 0, / 0,0 mj, (5.8) och stångens (rotations)rörelseenergi är K s I s ω (0,05 /) 0, / 0, mj. (5.9) (5.9) och (5.8) i (5.7): K tot K i + K s m i v / + I sω ( / ) (5.5,5.6) m i v / + (m sl lmi v /) / m s l / m iv + m i v m iv ( + m ) i m s m s ( 0,0 0, + 0,0 ) 0, mj. (5.0) 0,05 / (5.5,5.6) c) 0,5 p Systemets total rörelseenergi före hoppet är noll medan den är större än noll efter hoppet. Varifrån kommer rörelseenergin? a) Stångens vinkelhastighet precis efter hoppet är,0 rad/s. b) Systemets totala rörelseenergi precis efter hoppet är 0, mj. c) Rörelseenergin kommer från arbetet som insekten uträttar när den tar avstamp från stången. Kommentar: På första raden i (5.0) hade det gått bra att sätta in värdena på K i och K s direkt, men genom förenklingen ser vi att den kinetiska energin är oberoende av stångens längd. Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren

16 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) När ett svart hål sliter sönder en stjärna bildas antimateria. Man kan observera spår efter när positroner (anti-elektroner, e + ) träffar elektroner (e ) i närheten av Vintergatans centrum där det finns ett stort svart hål. När en elektron och positron kolliderar förintas båda och det skapas två gamma-fotoner. Den enda skillnaden mellan en positron och en elektron är deras laddning. a) (0,5 p) Skriv ner reaktionsformeln för kollison mellan en elektron och en positron. b) ( p) Beräkna reaktionens Q-värde. c) (0,5 p) Varför har gamma-fotonerna lika stor energi?. () För att avgöra stjärnors hastighet relativt oss på jorden utnyttjar man spektrallinjer för väte. Inom den synliga delen av spektrumet finns sådana spektrallinjer, vid våglängderna 656, 86, och 0 nm. Den längsta våglängden kallas för H α -linjen och är den som oftast används. Man studerar gasen som roterar kring kärnan på galaxen M87 och observerar att på ena sidan av galaxkärnan har H α -linjen förskjutits till 90 nm. 6 a) ( p) Beräkna den observerade gasens hastighet i förhållande till oss på jorden. b) (0,5 p) Är ljuset från gasen rödförskjutet eller blåförskjutet? Motivera kort. c) (0,5 p) Är gasen på väg emot oss eller ifrån oss? Motivera kort.. () Man studerar gasen som roterar kring kärnan på galaxen M87 och beräknar att v dess tangentiella hastighet är v 0,5c, där c är ljushastigheten i vakuum. R

17 a) (,5 p) Bestäm massan på galaxkärnan om gasen roterar på avståndet R 0 AU från galaxkärnans masscentrum. Uttryck svaret i solmassor, M, kg (PH T-9.). AU astronomisk enhet medelavståndet från jorden till solen, se PH CU-.. Bortse från relativistiska effekter. Ledning: Frilägg en partikel med massa m som roterar runt en kropp med massa M på ett avstånd r. Bestäm partikelns tangentiella fart (uttryckt i M och r) och lös sedan ut massan, M. b) (0,5 p) Beräkna Schwarzschild-radien R S G N M/c för galaxkärnan och jämför med gasradien, R 0 AU. Kommentar: Galaxkärnan är troligen ett svart hål och gasen är nära händelsehorisonten.. ( p) Man studerar gasen som roterar kring kärnan på galaxen M87 och observerar ett gaslager som är format som ett sfäriskt skal med ytterradie r 0 AU och innerradie r 00 AU, se figur. Skalets densitet kan uppskattas till ρ,7 0 5 kg/m. Härled först ett uttryck för masströghetsmomentet kring masscentrum för ett sfäriskt homogent skal med densitet ρ, innerradie r och ytterradie r. Tillämpa sedan den härledda formeln för att uppskatta masströghetsmoment kring gasens masscentrum. 5. () Man studerar gasen som roterar kring kärnan på galaxen M87 och kan beräkna att dess ytterdel har den tangentiella hastigheten R 5 R5 v 0,5c och att gasens masströghetsmoment är I M 5 R R 0 5 kg m, där M är gasens massa, R 00 AU är gasskalets innerradie och R 0 AU är gasskalets ytterradie, se figur. Gasskalet krymper sedan under inverkan av gravitationen till en innerradie r 0,9R och ytterradie r 0,9R. Beräkna gasskalets tangentiella hastighet, v, vid ytterkanten, efter att det krympt. Anta att gasskalet är en stel kropp. (Bortse från alla relativistiska effekter och anta att gasmängden är konstant.) R v R Före krympning v Efter krympning

18 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. p Antimateria i svart hål Enda skillnaden mellan elektroner och positroner är deras laddning. a) 0,5 p Reaktionsformeln för kollision mellan elektroner och positroner. a) Reaktionsformeln för kollison mellan en elektron och en positron: e + e + γ + γ. b) p Reaktionens Q-värde. Q (M före M efter )c (m e 0)c 5, ev,09978 MeV, (.) där vi använt att m e 5, ev, PH CU-., och att m e m e + eftersom den enda skillnaden mellan elektroner och positroner är deras laddning. b) Reaktionsformeln för kollison mellan en elektron och en positron: e + e + γ + γ. c) 0,5 p Varför har gamma-fotonerna lika stor energi? c) Gamma-fotonerna har lika stor energi för att rörelsemängden måste bevaras. Våglängd H α -ljus: Observerad våglängd: Gashastighet kring svart hål λ nm λ 90 nm a) p Gasens hastiget i förhållande till oss på jorden. Relativistik dopplereffekt: c u f f 0 c + u, (.) där u är gashastigheten i riktning från oss, f c/λ är den frekvens vi mäter och f 0 c/λ 0 är den utsända frekvensen. Detta ger: c λ c λ 0 λ 0 c u c + u λ 0 c u λ c + u λ c u λ 0 (c + u) c u c + u λ λ 0 λ c c u λ 0 λ u λ 0 λ + λ 0 u λ c λ 0 λ u c + λ 0 λ λ λ 0 λ + λ ,777. (.) b) 0,5 p Är ljuset från gasen rödförskjutet eller blåförskjutet? c) 0,5 p Är gasen på väg emot oss eller ifrån oss? a) Gasen rör sig med hastigheten 0,78c mot oss. b) Ljuset från gasen är blåförskjutet eftersom dess våglängd har minskat, dvs ljuset har blivit blåare. c) Gasen är på väg emot oss eftersom u < 0. Kommentar: I sista ekvationen behöver vi inte omvandla till SIenheter eftersom det är en kvot med enheten nm i både täljare och nämnare. Massa på svart hål Gasens tangentiella hastighet: v 0,5c Gasens avstånd till galaxkärnan: R 0 AU Solens massa (PH T-9.): M, kg Astronomisk enhet (PH CU-.): AU, m a),5 p Massan på galaxkärnan, M uttryckt i solmassor, M. Friläggning av en gaspartikel med massa m: R t n F G Newtons :a lag, F n ma n : F G ma n m v R, (.) eftersom det är cirkulär rörelse. Gravitationskraften ges av F G G N mm R, (.) där G N 6,678 0 Nm /kg är Newtons gravitationskonstant, TPH.. (.) i (.): G N mm R m v R G M N R v. (.) Vi löser ut M: M v R G N (0, ) 0, , , kg, M. (.) b) 0,5 p Schwarzschild-radien, R S G N M/c, för galaxkärnan. Schwarzschild-radien för galaxkärnan: R S G NM (.) v R (0,5c) R R 60 AU. (.5) c c c a) Galaxkärnans massa är ca miljarder solmassor. b) Schwarzschildradien är ca 60 AU vilket är halva gasradien. p Tröghetsmoment för gasmassa Gasens innerradie: r 00 AU Gasens ytterradie: r 0 AU Gasens densitet: ρ,7 0 5 kg/m Ett uttryck för masströghetsmomentet kring masscentrum för ett sfäriskt homogent skal samt masströghetsmomentet för gasen. Senast uppdaterad: June, 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Skalets tröghetsmoment fås som differensen mellan två solida sfärer, En krympning med 0 % (r 0,9R, r 0,9R ) ger: TPH., I 5 mr : R 5 R5 v I skal I I 5 (M r M R r ). (.) (0,9R ) 5 (0,9R ) 5 v R R (0,9R ) (0,9R ) 0,9R R Massan ges av M ρv och volymen av 5 R5 en sfär är V πr /, vilket ger i (.): v R 5 R 0,9 R5 R R v R R R I skal 5 (ρv r ρv r ) ρ 5 (V r V r ) v 0,9v v v 0,9 0,5c 0,556c. (5.6) 0,9 ρ πr 5 r πr r ρ 8π Gasskalets tangentiella hastighet efter krympningen blir 5 (r5 r5 ) (.) v 0,6c., π 5 ( ) (, ) 5 9, 0 5 kg m. (.) Masströghetsmomentet kring masscentrum för ett sfäriskt homogent skal med densitet ρ, innerradie r, och ytterradie r är I skal ρ 8π 5 (r5 r5 ). Tillämpat på gasskalet blir det I gasskal 9, 0 5 kg m. 5 Rörelsemängdsmoment för gasmassa Gasens initiala innerradie: R 00 AU Gasens initiala ytterradie: R 0 AU Ytterdelens initiala tangentiella hastighet: v 0,5c Gasens initiala masströghetsmoment: I 0 5 kg m M R 5 R5 5 R R Gasens slutliga innerradie: r 0,9R Gasens slutliga ytterradie: r 0,9R Vi kan bortse från relativistiska effekter Gasmassan är konstant Ytterdelen av gasskalets tangentiella hastighet efter krympningen, v. Enbart gravitationskraften verkar och den är radiellt riktad vilket innebär att τ 0, vilket innebär att impulsmomentlagen ger τdt L L 0, dvs att rörelsemängdsmomentet bevaras: L L. (5.) Rörelsemängdsmomentet ges av L Iω vilket i (5.) ger: I ω I ω. (5.) Masströghetsmomenten ges av I M R 5 R5 5 R, R R v R Före krympning v Efter krympning I M r 5 r5 5 r (5.) r och vinkelhastigheterna, ω v/r, av: ω v /R, ω v /r. (5.) (5.) och (5.) i (5.): M R 5 R5 v 5 R M r 5 r5 v R R 5 r. (5.5) r r Senast uppdaterad: June, 0 () c Erik Elfgren

19 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) Hur stort fel (i Joule) blir det om man räknar klassiskt på solens kinetiska energi kring galaxen, jämfört med om man räknar relativistiskt? Solens fart kring galaxen är v 0 km/s. Övriga data om solen finns i PH T-9... () Fission kontra fusion. a) ( p) Beräkna den totala frigjorda energin (i MeV) per nukleon vid fissionsprocessen: n + 5 U Ba + 89 Kr + n. Massorna är M Ba,9905 u, M Kr 89 88,9765 u. b) (0,5 p) Beräkna hur mycket energi (i Joule) som kan frigöras i processen i a) ur,0 kg U-5. Anta att det finns tillräckligt med neutroner för att reaktionen ska kunna äga rum. c) ( p) Beräkna den totala frigjorda energin (i MeV) per nukleon vid fusionsprocessen: H+ H He + n. 9 d) (0,5 p) Beräkna hur mycket energi (i Joule) som kan frigöras med fusion i processen i c) ur,0 kg deuterium-tritiumblandning som innehåller lika många deuteriumatomer som tritiumatomer. e) (0,5 p) Vilka fördelar finns med fusion jämfört med fission? Ge minst två exempel. f) (0,5 p) Vad är skillnaden mellan enheterna Gray och Sievert? Bör man oroa sig om man får i sig den ekvivalenta dosen 5 msv under ett års tid?

20 . ( p) Staven AP:s rörelse begränsas av glidhylsorna A:s och B:s rörelser. I ett visst ögonblick är vinkeln θ 5 och farten för A är v A, m/s. a) Beräkna momentancentrums läge (dvs dess x- och y-koordinat) för stavens rotation i detta ögonblick. b) Beräkna hastighetens belopp för punkten P.. () En ångvält rullar nedför en backe som har lutning θ 5 mot horisontalplanet. Framhjulet väger M h, ton, har en radie R 0,700 m och antas vara en homogen cylinder. Hela ångvälten väger M tot,5 ton. Bakhjulens tröghetsmoment kan försummas. Ångvälten rullar utan att glida. Ångvälten startar med hastigheten,0 m/s. 5. a) ( p) Vilken kinetisk energi har ångvälten när den rullat sträckan s,0 m? b) ( p) Hur stort är framhjulets maximala rörelsemängdsmoment kring rotationsaxeln under rörelsen i a)? () En liten sandsäck A faller en sträcka h,0 m innan den landar på en gungbräda, vars ända är på avståndet h 0 0,500 m från marken, se figur. Säcken landar utan att studsa upp och följer sedan med gungbrädan som roterar friktionsfritt kring leden O. När gungbrädan har vippat helt slungas sandsäck B (som låg längst ut på andra änden av gungbrädan) snett upp i luften, vinkelrätt mot brädan. De båda sandsäckarna har massa M s,00 kg och kan betraktas som punktmassor. Gungbrädan har massa M b 5 kg och längd l,0 m. a) Beräkna vinkelhastigheten hos gungbrädan under rotationen. h 0 A h l/ O B b) Beräkna den maximala höjden från gungbrädan i y-led, h, som sandsäck B når, se figur. B h Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren!

21 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Solens fart: Solens massa (PH T-9.): Relativistisk solrotation p v 0 km/s M, kg Felet (i Joule) om man räknar klassiskt på solens kinetiska energi kring galaxen, jämfört med om man räknar relativistiskt. Klassisk kinetisk energi: K k M v, , J. (.) Relativistisk kinetisk energi: K r M c (γ ) M c v /c, c (0 0 ) c c (.) och (.) ger felet: K k K r,88 0 0, (.), J.,97 0 J. (.) Felet på den kinetiska energin om man räknar klassiskt på solens fart runt galaxen blir,95 0 J. Kommentar: Fel räknas positivt, men även negativt svar godtags. Procentuellt är felet ca 0,00000 %. Därmed kan man räkna med 6 vs utan hänsyn till relativistiska effekter vid farten 0 km/s. Svaret man får på uppgiften beror kraftigt på γ (vilket beror på miniräknaren). Även svar upp till ca 0 7 J godtags därför. Fission vs fusion Fissionsprocess: 0 n U Ba Kr + 0 n Fusionsprocess: H + H He + 0 n Massa Ba-: M Ba,9905 u Massa Kr-89: M Kr 89 88,9765 u Massa U-5 (PH T-6.): M U 5 5,09 u Massa neutron (PH CU-.): M n, u Massa H- (PH T-6.): M H,0078 u Massa H- (PH T-6.): M H,0609 u Massa helium- (PH T-6.): M He,0060 u a) p Frigjord energi per nukleon ur fissionsprocessen. Total frigjord energi: Q mc Q fission (M n + M U 5 M Ba M Kr 89 M n )c. (.) Antal nukleoner: Frigjord energi per nukleon Q fission 6 (M n+m U 5 M Ba M Kr 89 M n )c 6 (M U 5 M Ba M Kr 89 M n )c 6 (5,09, ,9765, )uc /6 0,78 MeV, (.) med uc 9,9 MeV (PH CU-.). Frigjord energi per nukleon för fission: 0,78 MeV. b) 0,5 p Frigjord energi ur,0 kg U-5. Antal U-5-atomer i m,0 kg: m,0 N U 5 M U 5 5,09u,567 0, (.) med u, kg, (PH CU-.). Total frigjord energi blir E U 5 N U 5 Q fission 7,9955 TJ. (.) med ev, J (PH CU-.). Frigjord energi ur,0 kg U-5: 7 TJ. c) p Frigjord energi per nukleon ur fusionsprocessen. Total frigjord energi: Q mc Q fusion (M H + M H M He M n )c. (.5) Antal nukleoner: Frigjord energi per nukleon Q fusion 5 M H +M H M He M n 5,0078+,0609,0060, uc 5,57856 MeV, (.6) med uc 9,9 MeV (PH CU-.). Frigjord energi per nukleon för fusion:,578 MeV. d) 0,5 p Frigjord energi ur,0 kg deuterium-tritium-blandning med lika många deuteriumatomer som tritiumatomer. Antal reaktioner ur m,0 kg: m,0 N fusion M H + M H,0078u +,0609u, (.7) med u, kg, (PH CU-.). Total frigjord energi blir E fusion N fusion Q fusion 7,886 TJ, (.8) med ev, J (PH CU-.). Frigjord energi ur,0 kg deuterium-tritium-blandning: 0 TJ. e) 0,5 p Fördelar med fusion: Mycket mer energi per nukleon (,5 0,7 MeV) Mycket mer energi per kg (0 7 TJ) Det finns mycket mer väte än det finns uran Ingen risk för härdsmälta Mycket lite högradioaktivt avfall f) 0,5 p Enheten Gray talar om hur mycket strålningsenergi som en kropp har absorberat. Enheten Sievert tar också hänsyn till hur farlig strålningen är för biologisk vävnad. Man behöver inte oroa sig över 5 msv eftersom detta motsvarar ungefär bakgrundsstrålningen under ett år, PH F-8.0. Kommentar: Farligheten som inkluderas i Sievert betecknas RBE, relativ biologisk effekt. Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) p Momentancentrum Längd: L 500 mm Vinkel: θ 5 Fart, punkt A: v A, m/s a) Momentancentrums läge samt b) hastighetens belopp i P. v P rp Momentancentrum, C, är vinkelrätt mot L kroppens hastigheter, v (C x,c y) A och v B : v B L C x L cos θ 0,5/ 0.5, (.) θ v A C y L sin θ 0,5/ 0.5. (.) Avståndet från momentancentrum till P ges av Pythagoras sats: r P L / + (L) / 5L /. (.) Vinkelhastigheten ges av v A r A ω ω v A /r A,/(L/ ). (.) (Den tangentiella) farten i P med (.) och (.): v P r P ω 5L /, /L, 5, m/s. (.5) a) Momentancentrum ligger i punkten (0,5; 0,5). b) Farten i P blir, m/s. Rullande ångvält Hjulmassa: M h, ton Hjulradie: R 0,700 m Ångvältsmassa: M tot,5 ton Lutningsvinkel: θ 5 Initialhastighet: v,0 m/s Rullsträcka: s,0 m s R a) p Ångvältens kinetiska energi när den rullat sträckan s. Mekaniska energisatsen mellan läge och : K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.) där K I hω + M totv, U g M tot gh, U e 0, (.) K?, U g 0, U e 0, W övr 0, (.) där masströghetsmomentet kring för framhjulet kring dess masscentrum ges av en homogen cylinder, (PH F-.0): I h M h R / 00 0,7 / 759,5 kg m, (.) höjden är h s sin θ sin 5 0,5768 m. (.5) (.) och (.) i (.) ger: M tot gh + I hω + M totv K. (.6) Rullning utan glidning: v Rω ω v /R /0,7, rad/s, (.7) i (.6) med (.) och (.5): K M tot gh + I h v R + M totv (.) ( 500 9,8 sin θ M tot gh + v ) ( Mh ) + M tot 5,899 kj. (.8) b) p Framhjulets maximala rörelsemängdsmoment. Rörelsemängdsmoment är maximalt då vinkelhastigheten är maximal, dvs vid ω som fås ur den kinetiska energin i läge med rullning utan glidning v Rω : K I hω + M totω R ω (I h + M tot R ) K (.8,.) 5899 ω,8 rad/s. I h + M tot R 759, ,7 (.9) I rörelsemängdsmoment för stel kropps rotation, L Iω: L max I h ω 759,5,8008 7,8 kgm /s. (.0) a) Kinetisk energi efter sträckan,0 m: 6 kj. b) Maximalt rörelsemängdsmoment:, 0 kgm /s. 5 Säckar på gungbräda Säckmassa: M s,00 kg Fallhöjd: h,0 m Stånglängd: l,0 m Stånghöjd: h 0 0,500 m Stångmassa: A M b 5 kg (före stöt) h 0 h r l/ O U g a) Vinkelhastigheten hos gungbrädan under rotationen och b) Maxhöjd från gungbrädan för B. Mekaniska energisatsen mellan läge och : K + U g + U e + Wövr K + U g + U e, M s gh M s v / v gh. (5.) τ 0 (friktionsfri rotation) rörelsemängdsmoment bevaras: L L M s v r I O ω, ω M s v l h 0 /I O, (5.) ty stel kropp har L Iω och partikel har L r m v r M s v. Det vinkelräta avståndet r l h 0 fås ur Pythagoras sats. Masströghetsmomentet för stången som roterar kring sitt masscentrum (PH F-.0) och för säckarna är: I O I b + I s M b l / + M s (l/) 0,89 kgm. (5.) (5.) och (5.) i (5.) ger: M s gh l h 0 ω [numeriskt],5 rad/s. (5.) M b l / + M s (l/) Hastigheten i y-led när gungbrädan har vippat helt blir v y v tan cos θ rω cos θ (l/)ω cos θ, (5.5) θ arcsin h 0 /l,. (5.6) Med mekaniska energisatsen mellan : K + U g + U e + W övr K + U g + U e h v y g ((l/)ω cos θ) [numeriskt] 0, m. (5.7) g a) Vinkelhastighet under rotationen:,5 rad/s. b) Maxhöjd från gungbrädan för B: 0, m. Senast uppdaterad: september 0 () c Erik Elfgren θ B h B

22 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () Två rymdskepp, A och B, åker förbi varandra med en relativ hastighet, v 0,866c. En person i rymdskepp A mäter upp längden på sitt eget rymdskepp och får L A 0,0 m. En person i rymdskepp B mäter upp längden på sitt eget rymdskepp och får L B 50,0 m. a) ( p) När personen i rymdskepp A mäter längden på rymdskepp B, vilken längd, L BA, får hen? b) ( p) När personen i rymdskepp B mäter längden på rymdskepp A, vilken längd, L AB, får hen? c) ( p) Om rymdskepp A har en vilomassa m A 5 ton, vilken totalenergi har då rymdskepp A sett från rymdskepp B?. ( p) En av riskerna med den radioaktiva nedsmutsningen efter en kärnvapensprängning är Sr-90. Denna isotop har kemiska egenskaper liknande Ca och lagras därför upp i benstommen om man t.ex. via mjölk får i sig ämnet i kroppen. För en normalstor atombomb gäller att ca 0,0 kg Sr-90 bildas. Om vi antar att denna mängd sprids ut jämnt över Sveriges yta 9 96 km, vilken blir då aktiviteten från Sr-90 per kvadratmeter?. ( p) En smal, homogen stång med massa 5 kg och längd 0,600 m släpps från vila i vertikalt läge. När stången passerar sitt horisontella läge (streckade läget) vill man att den har vinkelhastigheten ω,0 rad/s. Därför är en fjäder med fjäderkonstanten k 5 kn/m monterad som visas i figuren. Fjädern har tryckts ihop stycket h i det ögonblick stången är horisontell. Bestäm denna hoptryckning h så att stångens vinkelhastighet är,0 rad/s i detta läge.

23 . () En homogen skiva med massan M och radien R roterar med försumbar friktion med vinkelhastigheten ω, då en skalbagge med massan m plötsligt ramlar rakt ned på skivan ute vid dess periferi. Skalbaggen är av det större slaget, så dess massa är inte försumbar i förhållande till skivans, men den får ändå behandlas som en partikel. a) ( p) Vilken vinkelhastighet får skivan efter detta? Skalbaggen rör sig inte relativt skivan. b) ( p) Skalbaggen börjar sedan röra sig längs skivans periferi med fart v s relativt skivan i motsatt riktning mot skivans rotationsriktning. Minskar eller ökar skivans vinkelhastighet? Minskar eller ökar systemets totala rörelseenergi? Kort motivering krävs. 5. () En cirkulär platta, med radie R, har ett cirkulärt hål i vars radie är r. Plattan roterar kring z -axeln på en friktionslös yta, se figur. Plattans ytdensitet är σ. a) Härled ett uttryck för masströghetsmomentet I z kring z -axeln uttryckt i σ, r och R. b) Plattan roterar initialt med vinkelhastigheten ω 0 5,0 rad/s. Plattan bromsas sedan genom att man trycker med en broms på vardera sidan av plattan under tiden 9,0 s. Tryckkrafterna är konstanta, N 0 N (vardera) och friktionskoefficienten mellan bromsen och plattan är µ k 0,0. Beräkna plattans vinkelhastighet efter inbromsningen om R 0,600 m, r 0,00 m och σ 0,50 0 kg/m. R z r Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren!

24 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Relativ relativitet Relativ hastighet: v 0,866 c Egenlängd, rymdskepp A: L A 0,0 m Egenlängd, rymdskepp B: L B 50,0 m Massa, rymdskepp A: m B 5 ton a) p Längden på rymdskepp B, L BA, sett från A. Gammafaktorn: γ v /c,000. (.) 0,866 Längden kontraheras enligt l l 0 /γ: L BA L B /γ (.) 50,0/,000 5,00 m. (.) b) p Längden på rymdskepp A, L AB, sett från B. Längden kontraheras enligt l l 0 /γ: L AB L A /γ (.) 0,0/,000 5,000 m. (.) c) p Rymdskepp A:s totalenergi sett från B. Totalenergin ges av E γmc (.), c,9 0 J. (.) a) Längden på rymdskepp B, sett från A, L BA 5,0 m. b) Längden på rymdskepp A, sett från B, L AB 5,00 m. c) Totalenergin för rymdskepp A, sett från B, E A,5 ZJ. Kommentar: Notera att båda rymdskeppen upplever att det andra rymdskeppet har krympt. p Strontiumnedfall Massa Sr-90: m 0,0 kg Sveriges yta: A 9 96 km Aktiviteten per kvadratmeter. Aktivitetslagen: n λn, (.) där sönderfallskonstanten λ ln 7,5 0 0 s, (.) T / med halveringstiden för Sr-90, T / 9, år (PH T-6.) och antalet strontium-90 atomer är: N m M 0, u,679 0, (.) där atommassan för Sr-90 är M u (PH T-6.) och u, kg (PH CU-.). (.) och (.) i (.) ger n 7,5 0 0,679 0,0 0 5 Bq. (.) Fördelat över Sveriges yta blir aktiviteten per kvadratmeter: n A n A (.), Bq/m. (.5) Aktiviteten per kvadratmeter blir,5 kbq/m. Kommentar: I verkligeheten skulle Sr-90-atomerna huvudsakligen koncentreras till närområdet till explosionen, men även utspridda över Sveriges yta skulle det bli farligt höga doser. Stångmassa: Stånglängd: Fjäderkonstant: Fjädernshoptryckning så att vinkelhastigheten blir ω,0 rad/s. Mekaniska energisatsen mellan läge och för ett roterande objekt med masströghetsmoment I: K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.) där K 0, K Iω /, U g U g mgl/, Stavrotation med fjäder p m 5 kg L 0,600 m k 5 kn/m U e 0, U e kh /, W övr 0. (.) (.) i (.) ger mgl/ Iω / + kh / h mgl Iω k. (.) Masströghetsmomentet för en smal stång (PH F-.0, nr ): I ml /, (.) i (.): mgl (ml /)ω h ml(g Lω /) k k 5 0,6 (9,8 0,6 /) 0,088 m. (.5) 5000 Fjäderhoptryckningen blir h,9 cm. Skalbagge på roterande skiva Skalbaggsmassa: m Skivmassa: M Skivradie: R Initial vinkelhastighet: ω a) p Vinkelhastigheten, ω, med skalbaggen på skivan. Skivan snurrar friktionsfritt inga externa moment rörelsemängdsmomentet bevaras: L L, (.) Det totala rörelsemängdsmomentet före skalbaggen ramlar ner: L I ω, (.) där skivans masströghetsmoment (PH F-.0, nr 7) är I I skiva MR /. (.) Det totala rörelsemängdsmomentet efter skalbaggen ramlat ner: L I ω, (.) där skivan och skalbaggens gemensamma masströghetsmoment, I I skiva + I skalbagge (.) MR / + mr R (M/ + m), (.5) där skalbaggen betraktas som en punktmassa, I skalbagge mr. Senast uppdaterad: juni 05 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) (.), (.), (.), (.5) i (.) ger skivans vinkelhastighet med skalbaggen på: ( MR ( M ) )ω R + m M ω ω M + m ω (.6) b) p Om skalbaggen rör sig i motsatt riktning som rotationen, hur ändras skivans vinkelhastighet och den totala rörelseenergin? a) Skivans vinkelhastighet med skalbaggen på skivan är ω M M+m ω. b) Skivans vinkelhastighet ökar eftersom rörelsemängdsmomentet bevaras och insektens rörelsemängdsmoment blir motriktat skivans. Systemets totala rörelseenergi ökar eftersom skalbaggen tillför rörelseenergi när den rör sig. f N 5 Ytterradie: Innerradie: Ytdensitet: Roterande platta a) p Plattans masströghetsmoment kring dess centrum, z -axeln. Plattans area är A π(r r ), vilket betyder att dess massa är M σa σπ(r r ). (5.) Det finns sätt att lösa detta på: (I) En platta med hål i har tröghetsmomentet (PH F-.0, nr 8): I P M (R +r ) (5.) σπ(r r ) (R +r ) σπ (R r ). (5.) (II) En homogen platta har tröghetsmomentet (PH F-.0, nr 7): R z r I mr. (5.) Sammansatta kroppars tröghetsmoment kan adderas I tot I + I +... Addition av den homogena plattans (massa: m σπr ) tröghetsmoment och hålets (massa: m σπr ) tröghetsmoment: I P I + I m R m r (σπr )R (σπr )r R r σ σπ (R r ). (5.) (III) Defintion av tröghetsmoment och integration i polära koordinater från r R och 0 π, med dm rσ drdθ: π R ( ) R I P r dm r rσ drdθ πσ 0 r r σπ (R r ). (5.5) Plattans tröghetsmoment är I S σπ (R r ). b) p Ytterradie: R 0,600 m Innerradie: r 0,00 m Ytdensitet: σ 0,50 0 kg/m Initial vinkelhastighet: ω 0 5,0 rad/s Bromstid: t 9,0 s Normalkrafter: N 0 N Kinetisk friktionskoefficient: µ k 0,0 Plattans vinkelhastighet efter inbromsningen. Friläggning av plattan: y x i (5.7) ω0 f N Konstant vinkelacceleration vinkelhastigheten blir: ω ω 0 + α t, (5.6) där vinkelaccelerationen, α, fås ur momentekvationen: τ IP α f R I P α, (5.7) med friktionskrafterna f µ k N, (5.8) α f R (5.8) µ knr (5.) µ knr σπ I P I P (R r ). (5.9) i (5.6): ω ω 0 µ knr 0, 0 0,6 σπ t 5 (R r ) 500π (0,6 0, ) 9, rad/s. (5.0) Plattans vinkelhastighet efter inbromsningen blir, rad/s. Senast uppdaterad: juni 05 () c Erik Elfgren

25 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () Förståelsefrågor (om inte annat anges fordras ingen beräkning, däremot ska du motivera ditt svar precis som i alla uppgifter): a) En person springer förbi dig med farten 0,9c. Hur ändras ditt synintryck av den personen? b) Ett objekt rör sig med farten 0,9c och du vill accelerera objektet. Krävs det lika stor kraft om accelerationen sker i sidled som om den sker längs med rörelsen? Ingen motivering krävs. c) Hur kommer det sig att myoner som skapas av kosmisk strålning når ner till markytan trots att de borde sönderfalla innan? d) En elektron har rörelseenergin K e 5 kev. Rör den sig då med relativistisk hastighet? e) Om en tvilling stannar på jorden och en accelererar ut i rymden till en hastighet nära ljusets och sedan återvänder till jorden, vilken av de två tvillingarna är äldst när rymdtvillingen landar på jorden igen? f) Om totalenergin för en partikel är dubbelt så stor som viloenergin, vad är partikelns hastighet uttryckt i ljushastigheten, c? Beräkning fordras. 5. ( p) Vad står symbolen X för i följande kärnreaktioner. Nuklider ska anges på formen Cl-6 (som ett exempel), dvs med nuklidens bokstavssymbol och antalet nukleoner. a) He + He p + X b) U α + X c) n + 5 U n + 0 Xe + X d) 7 Ba X + γ

26 e) e + 0 K X + ν e + γ f) 7 Cs X + e + ν e.. ( p) En stång med tröghetsradie k O hänger från ett lager O. Stångens tyngdpunkt ligger på ett avstånd r cm från lagret, se figur. a) (,5 p) Beräkna på vilket avstånd q från lagret där en tangentiell kraft kan anbringas utan att ge upphov till en tangentiell lagerkraft O t. b) (0,5 p) Vad kallas denna punkt och vad har man för nytta av att känna till den? O r cm q F. () Ett homogent klot med massan m k,50 kg och radien r 0,0 cm l är fastsvetsat i änden på en smal, homogen stång med längden l 0,500 m och massan m s,00 kg. Den så konstruerade pendeln är upphängd i en O friktionsfri led O. Den släpps från vila i det läge där stången är horisontell. r a) ( p) Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O. b) ( p) Beräkna pendelns vinkelhastighet i nedersta läget, dvs. då stången är vertikal. ω 5. () Satelliten i figuren har massan 5 kg och masströghetsmomentet I z 0,9 kg m, solpanelerna ej medräknade. Varje panel har massan 5 kg och kan betraktas som en tunn skiva. Satelliten roterar ursprungligen kring z-axeln med med vinkelhastigheten ω z 0,50 rad/s när panelerna är utfällda, dvs. vinkeln θ 90. Vad blir vinkelhastigheten när panelerna rests upp så att θ 0 (dvs de är parallella med z- axeln)? Avståndet från z-axeln till panelernas fästen är 0,0 m. Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren!

27 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Förståelse relativitet a) 0,5 p Personen som springer förbi dig ser smalare ut på grund av längdkontraktionen i rörelseriktningen som sker vid relativistisk fart. Personen ser smalare ut. Kommentar: Man kan också svara att personen ser ut att röra sig snett eftersom fotonerna på personens mage kommer fram något före fotonerna från personens bak. b) 0,5 p Det krävs större kraft för att accelerera någonting i rörelseriktningen än i sidled. Nej, det krävs mindre kraft i sidled än i rörelsens riktning. Kommentar: F γ ma, medan F γma c) 0,5 p Myonernas halveringstid tidsdilateras i vårt system så att de faktiskt hinner ner innan de sönderfaller, T / γt 0,/. Myonernas halveringstid tidsdilateras. Kommentar: Man kan lika väl säga att den sträcka som myonerna upplever att de färdas längdkontraheras så att den blir kortare så att myonerna hinner ner innan de sönderfaller, l l 0 /γ. d) 0,5 p Elektronens viloenergi är PH CU-. m e c 50,999 kev K e 5 kev vilket innebär att den inte rör sig med relativistisk hastighet. Nej, elektronen rör sig inte med relativistisk hastighet. Kommentar: E e m e c + K e γm e c. Om K e 0,0 m e c så är alltså E e /(m e c ) + K e /(m e c ),0 och därmed γ + K e /(m e c ),0, vilket betyder att hastigheten är ickerelativistisk till en precision av %. Man kan också räkna ut att hastigheten blir ca 0,c. På den här uppgiften är inte svaret det viktiga utan resonemanget. e) 0,5 p Jordtvillingen är äldst pga relativistiska effekter (rymdtvillingen har accelererat i förhållande till jordtvillingen). Rymdtvillingen är yngst. Kommentar: Med en konstant accelereration på g kan man nå till Andromedgalaxen på mindre än 0 år. f) p E mc. (.) Partikelns totalenergi: E γmc (.) mc γ u /c (.) u /c / u/c /, (.) där u är partikelns hastighet. Partikelns hastighet är u / c 0,9c. Kärnreaktioner Vi utnyttjar att både atomtalet A och laddningen Q (vilka hämtas ur PH T-6.) bevaras i alla kärnreaktioner, och räknar ut A och Q för partikeln X. Sen slår vi upp den kemiska beteckningen i Physics Handbook. a) 0,5 p p He + He p + X A X A He + A He A p +, Q X Q He + Q He Q p + X He. (.) b) 0,5 p 9 U α + X A X A U A α 0, Q X Q U Q α 9 90, X 0 Th. (.) 90 c) 0,5 p 0 n U 0 n Xe + X A X A n + A U A n A Xe , Q X Q n + Q U Q n Q Xe , X 9 Sr. (.) 8 d) 0,5 p 7 56 Ba X + γ A X A Ba A γ 7 0 7, Q X Q Ba Q γ , X 7 Ba. (.) 56 e) 0,5 p 0 e K X + ν e + γ A X A e + A K A ν A γ , Q X Q e + Q K Q ν Q γ , X 0 Ar. (.5) 8 f) 0,5 p 7 55 Cl X + 0 e + ν e. A X A Cs A e A ν , Q X Q Cs Q e Q ν 55 ( ) 0 56, X 7 Ba. (.6) 56 a) X He-. b) X Th-0. c) X Sr-9. d) X Ba-7. e) X Ar-0. f) X Ba-7. Nollmomentcentrum a),5 p Antag att stången har massa m och vinkelacceleration α medurs. Friläggning av stången vid stöten: O n t r cm n mg O t q F τo I O α (mk O )α Rotation kring fix axel: F t ma t mr cm α p F + O t mr cm α. (.) Vi vill få O t 0 (ingen tangentiell lagerkraft) och (.) ger: α F. (.) mr cm Momentekvationen kring O med definitionen på tröghetsradie, I O mko : Fq mko α (.) mko F Fk O mr cm r cm q k O r cm. (.) Senast uppdaterad: June, 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Avståndet från lagret där en tangentiell kraft kan anbringas utan att ge upphov till en tangentiell lagerkraft O t är q k O /r cm. b) 0,5 p Denna punkt kallas för nollmomentcentrum och är bra att känna till när man designar pendlar som påverkas av krafter. Om man ser till att kraften ligger i nollmomentcentrum minskar slitaget på lagret avsevärt. Homogen klotpendelrotation Klotmassa m k,50 kg Klotradie r 0,00 m Stångmassa m s,00 kg Stånglängd l 0,500 m a) p Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O. Pendelns masströghetsmomentet kring O ges av I O,tot I O,s + I O,k, (.) där stångens trögetsmoment är (PH F-.0, nr ) I O,s m s l / 0,667 kg m, (.) och klotet är ett homogent klot med tröghetsmoment kring masscentrum (PH F-.0, nr ) I cm,k (/5)m k r 0,000 kg m, (.) och klotets tröghetsmoment kring O fås med Steiners sats: I O,k I cm,k + m k (l + r) 0,7590 kg m. (.) Ekvation (.) i (.) med (.) i (.): I O,tot m s l / + (/5)m k r + m k (l + r) 0,5 / + (/5),5 0, +,5 (0,5 + 0,) 0,957 kg m. (.5) b) p Pendelns vinkelhastighet, ω, i nedersta läget (läge ). Mekaniska energisatsen för : K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.6) där ω O l/ l l+r r U g 0 K I O,totω, K U e U e U g W övr 0, (.7) U g m s g(l/) m k g(l + r), (.8) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar. (.7) och (.8) i (.6) ger: I O,totω m s gl/ + m k g(l + r) (m s gl/ + m k g(l + r)) ω I O,tot ( 9,8 0,5/ +,5 9,8(0,5 + 0,)) 0,957 5,7 rad/s. (.9) a) Pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O blir 0,96 kg m. b) Pendelns vinkelhastighet i nedersta läget blir 5,7 rad/s. Kommentar: Notera att det är masscentrum som har potentiell gravitationell energi, därav ekvation (.8). 5 Satellitrotation Massa, satellit: m s 5 kg Masströghestmoment, satellit: I s 0,9 kg m Massa, panel: m p 5 kg Initial vinkelhastighet: ω 0,50 rad/s Initial vinkel: θ 90 Slutlig vinkel: θ 0 Avstånd z till panelfästen: s 0,0 m Längd, panel: l 0,75 m Bredd, panel: b 0,0 m Slutlig vinkelhastighet, ω. I frånvaron av externa moment bevaras rörelsemängdsmomentet runt z: L L, (5.) Rörelsemängdsmomentet i läge är: L I ω (I s + I p )ω (I s + (I p,cm, + m p d ))ω, (5.) där vi använt Steiners sats med d 0,0 + 0,75/ 0,575 m och masströghestmomentet kring en panels masscentrum är (PH F-.0, fall ): I p,cm, m p (l + b )/,55 kg m. (5.) Rörelsemängdsmomentet i läge är: L I ω (I s + I p )ω (I s + (I p,cm, + m p d ))ω, (5.) där vi använt Steiners sats med d 0,0 m och masströghestmomentet kring en upprätt panels masscentrum är (PH F-.0, fall ): I p,cm, m p (b )/ 0,08 kg m. (5.5) (5.) och (5.) i (5.) med (5.) och (5.5): (I s + (I p,cm, + m p d ))ω (I s + (I p,cm, + m p d ))ω ω I s + (I p,cm, + m p d ) (5.,5.5) ω I s + (I p,cm, + m p d ω I s + (m p (l + b )/ + m p d ) ω I s + (m p (b )/ + m p d ω 0,9 + (5(0,75 + 0, )/ + 5 0,575 ) 0,5 0,9 + (5(0, )/ + 5 0,,70 rad/s. (5.6) Slutlig vinkelhastighet, ω,7 rad/s. Senast uppdaterad: June, 0 () c Erik Elfgren

28 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) En elektron startar från vila och accelereras av ett elektriskt fält. a) (,5 p) Beräkna hur mycket energi som måste tillföras elektronen för att dess fart ska bli 0,99c. Uttryck svaret i ev. b) (0,5 p) Är detta en relativistisk fart? Motivera genom att resonera kring energin.. () Efter olyckan i Tjernobyl i slutet av april 986 så var det isotoperna jod-, cesium- och cesium-7 från den förstörda reaktorn som dominerade det radioaktiva nedfallet i Europa. a) Efter hur lång tid hade aktiviteten från jod- gått ner till 0 % av aktiviteten omedelbart efter nedfallet? b) Under vilket år sjönk aktiviteten från cesium- till under 0 % av den totala aktiviteten av kvarvarande Tjernobyl-cesium? Vi kan (för enkelhets skull) anta att det föll ned ungefär lika många atomer av de båda cesiumisotoperna i april () Förståelsefrågor (om inte annat anges fordras ingen beräkning eller motivering): a) (0,5 p) Varför bevaras ej rörelsemängden då en sten träffar en öppen dörr och stenen får dörren att rotera kring sitt gångjärn. Motivera. b) (0,5 p) Vilket villkor måste vara uppfyllt för att rörelsemängdsmomentet ska bevaras då en sten träffar en öppen dörr och stenen får dörren att rotera kring sitt gångjärn. c) (0,5 p) Er lärare går på ett rullande bord och rör sig sträckan 0, m relativt marken. Kommer bordet att röra sig en längre eller kortare sträcka relativt marken? Motivera.

29 d) (0,5 p) Ge ett exempel på en axel runt vilken momentekvationen kan tillämpas. e) (0,5 p) Beskriv i en mening vad tröghetsradie är. f) (0,5 p) En tom ölburk och en fylld ölburk rullar nedför en ramp, vilken är snabbast? Motivera. g) ( p) Masströghetsmomentet för en kropp kring en axel P är I P 5,0 kg m. Beräkna masströghetsmomentet kring den parallella axeln P, se figur, om kroppens massa är,0 kg, avståndet mellan P och P är a,0 m och avståndet från masscentrum till P är b,5 m. P P a b cm. ( p) a) (,5 p) Bestäm, med hjälp av integration, uttrycket för hastigheten v efter tiden t vid konstant acceleration a om initialhastigheten är v 0. Utgå från definitionen på acceleration, a dv/dt. b) (,5 p) Antag att accelerationen inte är konstant, utan beskrivs av a (,0 t) m/s, vad blir då hastigheten efter tiden t 5,0 s om initialhastigheten var noll? () Två tyngder med massa m A 0,67 kg respektive m B,0 kg hänger med en masslös, flexibel, otöjbar lina över en trissa med massa m C,005 kg. Trissan är homogen och har radien R 5 cm och är fäst i taket med en masslös lina. Beräkna kraften från trissan på taket. A C B Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren!

30 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Slutfart: Elektronacceleration p v 0,99 c a),5 p Energi som krävs för att elektronens fart ska bli v. Den tillförda energin är kinetisk energi: K (γ )m e c v m ec /c 0,99 5, , MeV, (.) med m e c 5, ev från PH CU-.. Den tillförda energin som krävs är K, MeV. b) p Elektronens fart är relativistisk eftersom den kinetiska energin, K, MeV, ej är mycket mindre än viloenergin, E 0 m e c 0,5 MeV. Tjernobylisotoper a) p Variabler: Initial aktivitet för I-: A 0 Slutlig aktivitet för I-: A Slutlig aktivitet för I-: A 0,0A 0 Efter hur lång tid, t hade aktiviteten från jod- gått ner till 0 % av aktiviteten omedelbart efter nedfallet? Aktivitetslagen A λ N N Aλ i sönderfallslagen N N 0 e λ t ger: Aλ A 0 λ e λ t A A 0 e λ t, (.) där sönderfallskonstanten, λ (ln )/T /. För I-: ln t T A A 0 e / 0,0A0, (.) där halveringstiden för I-, T / 8,00 dygn (PH T-6.). Vi löser ut tiden t ur (.): Det tar 7 dygn innan aktiviteten från jod- gått ner till 0 % av aktiviteten omedelbart efter nedfallet. Kommentar Det skulle också gå att omvandla alla tider till sekunder och sedan tillbaks till dygn, men eftersom indata är i dygn är det lämpligare att räkna i dygn. b) p Variabler: Aktivitet för Cs-: A Aktivitet för Cs-7: A 7 Initialt, antal Cs--atomer antal Cs-7-atomer: N 0 Under vilket år sjönk aktiviteten från cesium- till under 0 % av den totala aktiviteten av kvarvarande Tjernobyl-cesium? Aktiviteten från Cs- ska bli A 0,(A + A 7 ) A A 7. (.6) Sönderfallslagen N N 0 e λ t i aktivitetslagen A λn i (.6): λ N 0 e λ t λ 7 N 0 e λ7 t λ e (λ λ7) t (.7) λ 7 t ln ( ) λ λ7 ln ( ) T7 T, λ λ ln 7 ln T T7 ln ( ) 0,7,065,0 år, (.8) ln,065 ln 0,7 med halveringstiderna (PH T-6.) för Cs-: Cs-7: T ln /λ,065 år T 7 ln /λ 7 0,7 år Aktivitetskvoten går ner till 0 % under år 999. Förståelse a) 0,5 p Varför bevaras ej rörelsemängden då en sten träffar en dörr? För att det blir en reaktionskraft i gångjärnen, och om det finns externa krafter beavars ej rörelsemängden. b) 0,5 p Vilket villkor måste vara uppfyllt för att rörelsemängdsmomentet ska bevaras då en sten träffar en dörr som sedan roterar kring sitt gångjärn? Det får inte finnas några externa moment. Kommentar Detta beror på impulsmomentlagen τ L, om τ 0 är L 0. Gångjärnet måste vara friktionsfritt. c) 0,5 p Er lärare går på ett rullande bord och rör sig sträckan 0, m relativt marken. Kommer bordet att röra sig en längre eller kortare sträcka relativt marken? Motivera. Bordet rör sig en längre sträcka eftersom det är lättare och masscentrums läge ej ändras pga att det ej finns några externa krafter. d) 0,5 p ln t T 0,0 e / ln 0,0 t ln (.) T / t T / ln 0,0 8,00 ln 0,0 Ge ett exempel på en axel runt vilken momentekvationen kan (.) tillämpas. ln ln 6,7 dygn. (.5) En fix axel. Kommentar Andra exempel: masscentrum. Det finns även en allmän formel för momentekvationen kring en godtycklig axel, men den ingår ej i kursen. e) 0,5 p Beskriv i en mening vad tröghetsradie är. Den radie ett cylindriskt skal skulle ha om det hade samma masströghetsmoment. Kommentar Tröghetsradie: k O I O /m. f) 0,5 p En tom ölburk och en fylld ölburk rullar nedför en ramp, vilken är snabbast? Motivera. Senast uppdaterad: April 0, 0 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Burkarna har samma masströghetsmoment men den fyllda burken är tyngre. Den fyllda ölburken är snabbast eftersom vätskan ej roterar och därmed blir majoriteten av rörelseenergin till translationsenergi. Kommentar Masscentrums acceleration: acm Mg sin φ Icm/R +M (om rampen litar med vinkeln φ, buken väger M, har masströghetsmomentet Icm och radien R). Ju lägre Icm är, desto högre blir alltså accelerationen. g) p Masströghetsmomentet kring en axel P: I P 5,0 kg m Massa: m,0 kg Avstånd P P: a,0 m Avstånd P cm: b,5 m Steiners sats mellan cm och P: I P I cm + m(a + b) I cm I P m(a + b) 6,5 kg m. (.) Steiners sats mellan cm och P: I P I cm + mb (.) I P m(a + b) + mb (.) 5 ( +,5) +,5,00 kg m Masströghetsmomentet kring den axeln P är I P kg m. Kommentar Obs! Steiners sats kan ej användas mellan två godtyckliga axlar, den ena måsta vara masscentrum. Icke-konstant acceleration a),5 p Hastigheten v efter tiden t vid konstant acceleration a om initialhastigheten är v 0. Definitionen på acceleration a dv/dt kan skrivas om och sedan integreras: dv a dt v v0 dv t 0 P a P b cm p a dt v v 0 a t (.) b),5 p Antag att accelerationen inte är konstant, utan beskrivs av a (,0 t) m/s, vad blir då hastigheten efter tiden t 5,0 s om initialhastigheten var noll? Med samma resonemang som i a): dv a dt v v0 dv t 0 a dt v v 0,0 t / t 0,0 t dt v,0 5 / 5 m/s (.) a) Härledningen av hastighet vid konstant acceleration, v v 0 + a t, finns ovan. b) Hastigheten blir 0, km/s efter tiden 0 s. 5 Massa A: Massa B: Massa trissa C: Radie trissa C: Massor över trissa Kraften från trissan på taket, F. m A 0,67 kg m B,0 kg m C,005 kg R 5 cm NII för A, F y ma y : T A m A g m A a A T A m A (a A + g). (5.) NII för B, F y ma y : T B m B g m B a B T B m B (a B + g). (5.) Samma acceleration i snöret: a A a B (5.) T B m B ( a A + g). (5.) Momentekvationen för C, τ cm Iα: (T B T A )R I C α, (5.) där masströghetsmomentet (PH F-.0, nr 7): I C m CR. (5.5) Trissans acceleration är densamma som linans: a A αr α a A R. (5.6) (5.), (5.) i (5.) med (5.5) och (5.6): (m B ( a A + g) m A (a A + g)) R m C R a A R m B ( a A + g) m A (a A + g) m Ca A a A (m A + m B + m C /) (m B m A )g (m B m A )g a A (5.7) m A + m B + m C / (,0 0,67) 9,8 0,67 +,0 +,005/,5 m s. (5.8) Jämvikt i y-led för C, F y 0: T C T A T B m C g 0 T C T A + T B + m C g (5.,5.) m A (a A + g) + m B ( a A + g) + m C g T A y m Ag Figure 5.: Friläggning av A. T B y m Bg Figure 5.: Friläggning av B. T C y x T A T B m Cg Figure 5.: Friläggning av C. (5.8) 0,67(,5 + 9,8) +,0(,5 + 9,8) +,005 9,8 6,55 N. (5.9) NIII för en masslös lina F T C 6,55 N. Kraften från trissan på taket är F 6,5 N. Kommentar Notera att radien ej påverkar svaret och därmed ej heller antal värdessiffror i svaret. Senast uppdaterad: April 0, 0 () c Erik Elfgren

31 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) Myonen är en elementarpartikel som är nära släkt med elektronen, men tyngre. Däremot är den instabil, med en halveringstid på T /,970 µs i sitt eget vilosystem. Myonen kan skapas i den övre atmosfären, när kosmiska strålar krockar med atomer. Antag att en sådan krock på höjden 0 km över havet ger upphov till ett stort antal myoner, som strålar rakt ner mot marken, alla med hastigheten 0,999c. Kommer i så fall fler än häften av dem att nå markytan innan de hinner sönderfalla?. () När en atomkärna (i vila) av radon- sönderfaller strålar en alfapartikel ut i ena riktningen, och dotterkärnan rekylerar i motsatt riktning. a) ( p) Vilken är dotterkärnan? b) ( p) Bevisa att reaktionens Q-värde är 5,5906 MeV. c) ( p) Vilken hastighet (i enheten m/s) får dotterkärnan? Försumma inverkan av dotterkärnans elektroner för beräkningen i uppgift c). ()

32 . () En student sitter på en snurrpall som roterar friktionsfritt. Systemet (studenten ω F och pallen) har den totala massan 75,0 kg och tröghetsradien 0,00 m. Systemet r startar från vila, varpå en lärare trycker på studenten med en kraft med konstant storlek F 0,0 N på det vinkelräta avståndet r 0,0 m från rotationsaxeln under Vy från ovan tiden 0,8 s. Kraftens riktning ändras alltså så att den alltid är vinkelrät mot rotationsaxeln (som i figuren). a) Vad blir vinkelhastigheten efter att kraften har slutat verka? b) När kraften slutat verka sträcker studenten ut armarna varvid vinkelhastigheten sjunker till, rad/s. Vad är systemets tröghetsradie i detta läge?. ( p) Figuren visar en hylsa med massan, kg som glider längs en stång som roterar kring en horisontell axel O. Hylsans rörelse beskrivs lämpligast med de polära koordinaterna r och θ (positiv riktning moturs) och deras tidsderivator. I ett visst ögonblick då hylsan är på avståndet r 0,0 m från O, glider den ut från O med farten 0,5 m/s i förhållande till stången. Denna fart minskar med 0,0 m/s. Stången har vinkelhastigheten,0 rad/s och vinkelaccelerationen 0,80 rad/s. a) ( p) Beräkna beloppet av hylsans hastighet. b) ( p) Beräkna beloppet av kraften som verkar på hylsan. 5. () Ett hjul består av en tunn och kompakt cirkelformad del med massan M, och sex tunna ekrar, vardera med längden l och massan m. Ekrarna är fästa i ett litet nav, som vi kan bortse ifrån här. Om hjulet börjar rulla med vinkelhastigheten ω uppför ett plan (se figur), hur långt kommer det då längs planet innan det stannar och börjar rulla nedåt? Planet lutar vinkeln φ mot horisontalplanet. Hjulet rullar utan att glida. Svaret ska vara en formel som innehåller de givna storheterna med sina symboler samt tyngdaccelerationen, g. m m M m m m m φ ω l Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren! ()

33 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. p Myonsönderfall Myonens halveringstid i dess vilosystem: T /,970 µs Höjd: h 0 0 km Myonernas hastighet: u 0,999c Kommer fler än hälften av myonerna nå marken innan de sönderfaller? Myonen rör sig med relativistik hastighet och därmed kontraheras sträckan den färdas till h h 0 /γ h 0 u /c 0 0,999 7, m. (.) Hälften av myonerna har sönderfallit efter tiden T / och de har då hunnit färdas sträckan s v t (konstant hastighet): s u T / 0,999c, ,0 m > h. (.) myonerna når längre ner än marken innan hälften sönderfaller. Ja, fler än hälften av myonerna når marken innan de sönderfaller. Kommentar: Alternativ lösning: Från vårt perspektiv dilateras sönderfallstiden till t t 0 γ T / γ,9 0 5 s och på den tiden hinner den sträckan s u t,7 km > h 0. Radonsönderfall Rn- sönderfaller med alfasönderfall. a) p Dotterkärnan som blir kvar efter sönderfallet. Radon har Z 86 protoner och α He+ (kärna av helium-) har Z protoner och masstalet A (PH T-6.): 86 Rn A Z X + He+. (.) Masstalet och laddningen bevaras: A 8 (.) Z 86 8, (.) vilket motsvarar polonium-8 (PH T-6.). b) p Bevisa att reaktionens Q-värde är 5,5906 MeV. Q-värdet för reaktionen är: Q (M Rn (M Po 8 + m e ) (M He m e ))c (,0757 8,008966,0060)uc 5,5906 MeV, (.) med M Rn och M Po 8 ur PH T-6., M He ur PH T-6. och uc 9,9 MeV ur PH CU-.. Kommentar: Radon- har 86 protoner och därmed även 86 elektroner (vi antar att den är neutral eftersom inget annat angivits). Dessa 86 elektroner påverkas inte av sönderfallet i kärnan. Men eftersom polonium normalt har 8 elektroner så har den nu elektroner för mycket. Samtidigt så är en α-partikel en helium-kärna och därför har den elektroner för lite. c) p Vilken hastighet (i enheten m/s) får dotterkärnan (Po-8)? Av den totala tillgängliga rörelseenergin Q 5,5906 MeV kommer α-partikeln att få K α 5,895 MeV (PH T-6.). Po-8 får då den kinetiska energin K Po Q K α 0,0 MeV. (.5) Eftersom K Po 0,0 MeV M Po c 8uc 8 GeV så kan vi räkna ickerelativistiskt K mv /, vilket ger farten för Po-8: v Po KPo (.5) M Po 8 0,0 0 6, ,008966, , m/s, (.6) med (PH CU-.): ev, J u, kg. a) Dotterkärnan är polonium-8. b) Q 5,5906 MeV, se bevis ovan. c) Dotterkärnan får hastigheten, m/s. Kommentar: Om man räknar relativistiskt i c) så får man lösa ut hastigheten ur K Po (γ )M Po c v Po c ( + K/M Po c ). Kommentar: Alfapartikelns rörelsenergi kan även beräknas. Rn- står still före sönderfallet och rörelsemängden bevaras: p före 0 p efter p Po + p α ger p Po p α. (.7) Energin bevaras och K mv / p /(m): Q K α + K Po p α/(m α ) + p Po /(M Po). (.8) (.7) och (.8) ger sedan v Po och K α. Massa pall+student: Tröghetsradie pall+student: Konstant kraft: Avstånd till rotationsaxel: Tid som kraften verkar: Snurrpall M 75,0 kg k 0,00 m F 0,0 N r 0,0 m T 0,8 s a),5 p Vinkelhastigheten då kraften slutat verka efter tiden T i läge. Impulsmomentlagen: T τdt L L, (.) 0 där τ F r : T τdt 0 T 0 Friläggning, pall+student: F r dt F r konst F r T, (.) och rörelsemängdsmomenten är L 0, L Iω (Mk )ω. (.) med masströghetsmomentet I Mk. (.), (.) i (.): Fr T Iω ω Fr T I 0 0, 0,8 75 0,,90 rad/s. (.) b),5 p Tröghetsradien k då vinkelhastigheten blivit ω, rad/s. Friktionsfritt τ 0 rörelsemängdsmomentet bevaras: L L I ω (Mk )ω L Fr T 0 0, 0,8 k 0,9 m, (.5) Mω Mω 75, med tröghetsmomentet I Mk och L Fr T ur (.) i (.). a) Vinkelhastigheten blir ω rad/s. b) Tröghetsradien blir k 0, m. Senast uppdaterad: June 5, 0 () c Erik Elfgren ω r F Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) p Polär hylsa Hylsmassa: m, kg Avstånd längs stången: r 0,0 m Fart relativt stången: ṙ 0,5 m/s Acceleration relativt stången: r 0,0 m/s Vinkelhastiget: θ,0 rad/s Vinkelacceleration: θ 0,80 rad/s a) p Beloppet på hastigheten. Polära koordinater: v r ṙ (.) v θ r θ. (.) Hastighetens belopp med (.), (.): v v r + v θ 0,5 + 0, 0,685 m/s. (.) b) p Beloppet på kraften som verkar på hylsan. Polära koordinater: a r r r θ (.) a θ r θ + ṙ θ. (.5) Accelerationens belopp med (.), (.5): a a r + a θ ( 0, 0, ) + ( 0, 0,8 + 0,5 ),9 m/s. (.6) Newtons :a lag: F ma F m a,,9,75 N. a) Beloppet på hastigheten: 0,6 m/s. b) Beloppet på kraften:,8 N. 5 Ringmassa Ekermassa Ekerlängd hjulradie Initial vinkelhastighet Planets lutning Rullande hjul M m l ω φ Sträckan hjulet rullar. Mekaniska energisatsen, : K + U g + U e + Wövr ω K + U g + U e, (5.) där s U g m tot gs sin φ. (5.) φ K I cmω + m totv cm, (5.) Hjulets masströghetsmoment: I cm I ring + 6I eker Ml + 6ml / l (M + m), (5.) med I ring ur PH F-.0, nr 8 och I eker ur PH F-.0, nr. Rullning utan glidning: v cm lω. (5.5) i (5.) med (5.): K I cmω + m totv cm ω (I cm + m tot l ) ω (l (M + m) + m tot l ) ω l (M + m + m tot). (5.6) (5.6), (5.) i (5.) med m tot M + 6m: ω l (M + m + M + 6m) (M + 6m)gs sin φ s ω l M + m g sin φ M + 6m. (5.7) Hjulet rullar sträckan ω l M+m g sin φ M+6m. Kommentar: Notera att hjulet rullar utan att glida och därmed finns det en friktionskraft mot underlaget (annars skulle hjulet bara slira). Däremot uträttar denna friktionskraft inget arbete eftersom den inte rör sig relativt marken då hjulet ej slirar. Senast uppdaterad: June 5, 0 () c Erik Elfgren

34 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Nya Fysikalia Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Studenttorget, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () Förståelsefrågor (om inte annat anges fordras ingen beräkning, däremot ska du motivera ditt svar precis som i alla uppgifter): a) (0,5 p) En person springer förbi dig med farten 0,9c. Hur ändras ditt synintryck av den personen? b) (0,5 p) Ett objekt rör sig med farten 0,9c och du vill accelerera objektet. Krävs det lika stor kraft om accelerationen sker i sidled som om den sker längs med rörelsen? Ingen motivering krävs. c) (0,5 p) Hur kommer det sig att myoner som skapas av kosmisk strålning når ner till markytan trots att de borde sönderfalla innan? d) (0,5 p) En elektron har rörelseenergin K e 5 kev. Rör den sig då med relativistisk hastighet? e) (0,5 p) Om en tvilling stannar på jorden och en accelererar ut i rymden till en hastighet nära ljusets och sedan återvänder till jorden, vilken av de två tvillingarna är äldst när rymdtvillingen landar på jorden igen? f) (,5 p) Om totalenergin för en partikel är dubbelt så stor som viloenergin, vad är partikelns hastighet uttryckt i ljushastigheten, c? Beräkning fordras.. ( p) Vad står symbolen X för i följande kärnreaktioner. Nuklider ska anges på formen Cl-6 (som ett exempel), dvs med nuklidens bokstavssymbol och antalet nukleoner. a) He + He p + X b) U α + X c) n + 5 U n + 0 Xe + X

35 d) 7 Ba X + γ e) e + 0 K X + ν e + γ f) 7 Cs X + e + ν e.. ( p) En stång med tröghetsradie k O hänger från ett lager O. Stångens tyngdpunkt ligger på ett avstånd r cm från lagret, se figur. a) (,5 p) Beräkna på vilket avstånd q från lagret där en tangentiell kraft kan anbringas utan att ge upphov till en tangentiell lagerkraft O t. b) (0,5 p) Vad kallas denna punkt och vad har man för nytta av att känna till den? O r cm q F. () Ett homogent klot med massan m k,50 kg och radien r 0,0 cm l är fastsvetsat i änden på en smal, homogen stång med längden l 0,500 m och massan m s,00 kg. Den så konstruerade pendeln är upphängd i en O friktionsfri led O. Den släpps från vila i det läge där stången är horisontell. r a) ( p) Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O. b) ( p) Beräkna pendelns vinkelhastighet i nedersta läget, dvs. då stången är vertikal. ω 5. () Satelliten i figuren har massan 5 kg och masströghetsmomentet I z 0,9 kg m, solpanelerna ej medräknade. Varje panel har massan 5 kg och kan betraktas som en tunn skiva. Satelliten roterar ursprungligen kring z-axeln med med vinkelhastigheten ω z 0,50 rad/s när panelerna är utfällda, dvs. vinkeln θ 90. Vad blir vinkelhastigheten när panelerna rests upp så att θ 0 (dvs de är parallella med z- axeln)? Avståndet från z-axeln till panelernas fästen är 0,0 m. Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren!

36 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder... att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Förståelse relativitet a) 0,5 p Personen som springer förbi dig ser smalare ut på grund av längdkontraktionen i rörelseriktningen som sker vid relativistisk fart. Personen ser smalare ut. Kommentar: Man kan också svara att personen ser ut att röra sig snett eftersom fotonerna på personens mage kommer fram något före fotonerna från personens bak. b) 0,5 p Det krävs större kraft för att accelerera någonting i rörelseriktningen än i sidled. Nej, det krävs mindre kraft i sidled än i rörelsens riktning. Kommentar: F γ ma, medan F γma c) 0,5 p Myonernas halveringstid tidsdilateras i vårt system så att de faktiskt hinner ner innan de sönderfaller, T / γt 0,/. Myonernas halveringstid tidsdilateras. Kommentar: Man kan lika väl säga att den sträcka som myonerna upplever att de färdas längdkontraheras så att den blir kortare så att myonerna hinner ner innan de sönderfaller, l l 0 /γ. d) 0,5 p Elektronens viloenergi är PH CU-. m e c 50,999 kev K e 5 kev vilket innebär att den inte rör sig med relativistisk hastighet. Nej, elektronen rör sig inte med relativistisk hastighet. Kommentar: E e m e c + K e γm e c. Om K e 0,0 m e c så är alltså E e /(m e c ) + K e /(m e c ),0 och därmed γ + K e /(m e c ),0, vilket betyder att hastigheten är ickerelativistisk till en precision av %. Man kan också räkna ut att hastigheten blir ca 0,c. På den här uppgiften är inte svaret det viktiga utan resonemanget. e) 0,5 p Jordtvillingen är äldst pga relativistiska effekter (rymdtvillingen har accelererat i förhållande till jordtvillingen). Rymdtvillingen är yngst. Kommentar: Med en konstant accelereration på g kan man nå till Andromedgalaxen på mindre än 0 år. f),5 p E mc. (.) Partikelns totalenergi: E γmc (.) mc γ u /c (.) u /c / u/c /, (.) där u är partikelns hastighet. Partikelns hastighet är u / c 0,9c. Kärnreaktioner Vi utnyttjar att både atomtalet A och laddningen Q (vilka hämtas ur PH T-6.) bevaras i alla kärnreaktioner, och räknar ut A och Q för partikeln X. Sen slår vi upp den kemiska beteckningen i Physics Handbook. a) 0,5 p p He + He p + X A X A He + A He A p +, Q X Q He + Q He Q p + X He. (.) b) 0,5 p 9 U α + X A X A U A α 0, Q X Q U Q α 9 90, X 0 Th. (.) 90 c) 0,5 p 0 n U 0 n Xe + X A X A n + A U A n A Xe , Q X Q n + Q U Q n Q Xe , X 9 Sr. (.) 8 d) 0,5 p 7 56 Ba X + γ A X A Ba A γ 7 0 7, Q X Q Ba Q γ , X 7 Ba. (.) 56 e) 0,5 p 0 e K X + ν e + γ A X A e + A K A ν A γ , Q X Q e + Q K Q ν Q γ , X 0 Ar. (.5) 8 f) 0,5 p 7 55 Cl X + 0 e + ν e. A X A Cs A e A ν , Q X Q Cs Q e Q ν 55 ( ) 0 56, X 7 Ba. (.6) 56 a) X He-. b) X Th-0. c) X Sr-9. d) X Ba-7. e) X Ar-0. f) X Ba-7. Nollmomentcentrum a),5 p Antag att stången har massa m och vinkelacceleration α medurs. Friläggning av stången vid stöten: O n t r cm n mg O t q F τo I O α (mk O )α Rotation kring fix axel: F t ma t mr cm α p F + O t mr cm α. (.) Vi vill få O t 0 (ingen tangentiell lagerkraft) och (.) ger: α F. (.) mr cm Momentekvationen kring O med definitionen på tröghetsradie, I O mko : Fq mko α (.) mko F Fk O mr cm r cm q k O r cm. (.) Senast uppdaterad: augusti 05 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Avståndet från lagret där en tangentiell kraft kan anbringas utan att ge upphov till en tangentiell lagerkraft O t är q k O /r cm. b) 0,5 p Denna punkt kallas för nollmomentcentrum och är bra att känna till när man designar pendlar som påverkas av krafter. Om man ser till att kraften ligger i nollmomentcentrum minskar slitaget på lagret avsevärt. Homogen klotpendelrotation Klotmassa m k,50 kg Klotradie r 0,00 m Stångmassa m s,00 kg Stånglängd l 0,500 m a) p Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O. Pendelns masströghetsmomentet kring O ges av I O,tot I O,s + I O,k, (.) där stångens trögetsmoment är (PH F-.0, nr ) I O,s m s l / 0,667 kg m, (.) och klotet är ett homogent klot med tröghetsmoment kring masscentrum (PH F-.0, nr ) I cm,k (/5)m k r 0,000 kg m, (.) och klotets tröghetsmoment kring O fås med Steiners sats: I O,k I cm,k + m k (l + r) 0,7590 kg m. (.) Ekvation (.) i (.) med (.) i (.): I O,tot m s l / + (/5)m k r + m k (l + r) 0,5 / + (/5),5 0, +,5 (0,5 + 0,) 0,957 kg m. (.5) b) p Pendelns vinkelhastighet, ω, i nedersta läget (läge ). Mekaniska energisatsen för : K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.6) där ω O l/ l l+r r U g 0 K I O,totω, K U e U e U g W övr 0, (.7) U g m s g(l/) m k g(l + r), (.8) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar. (.7) och (.8) i (.6) ger: I O,totω m s gl/ + m k g(l + r) (m s gl/ + m k g(l + r)) ω I O,tot ( 9,8 0,5/ +,5 9,8(0,5 + 0,)) 0,957 5,7 rad/s. (.9) a) Pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O blir 0,96 kg m. b) Pendelns vinkelhastighet i nedersta läget blir 5,7 rad/s. Kommentar: Notera att det är masscentrum som har potentiell gravitationell energi, därav ekvation (.8). 5 Satellitrotation Massa, satellit: m s 5 kg Masströghestmoment, satellit: I s 0,9 kg m Massa, panel: m p 5 kg Initial vinkelhastighet: ω 0,50 rad/s Initial vinkel: θ 90 Slutlig vinkel: θ 0 Avstånd z till panelfästen: s 0,0 m Längd, panel: l 0,75 m Bredd, panel: b 0,0 m Slutlig vinkelhastighet, ω. I frånvaron av externa moment bevaras rörelsemängdsmomentet runt z: L L, (5.) Rörelsemängdsmomentet i läge är: L I ω (I s + I p )ω (I s + (I p,cm, + m p d ))ω, (5.) där vi använt Steiners sats med d 0,0 + 0,75/ 0,575 m och masströghestmomentet kring en panels masscentrum är (PH F-.0, fall ): I p,cm, m p (l + b )/,55 kg m. (5.) Rörelsemängdsmomentet i läge är: L I ω (I s + I p )ω (I s + (I p,cm, + m p d ))ω, (5.) där vi använt Steiners sats med d 0,0 m och masströghestmomentet kring en upprätt panels masscentrum är (PH F-.0, fall ): I p,cm, m p (b )/ 0,08 kg m. (5.5) (5.) och (5.) i (5.) med (5.) och (5.5): (I s + (I p,cm, + m p d ))ω (I s + (I p,cm, + m p d ))ω ω I s + (I p,cm, + m p d ) (5.,5.5) ω I s + (I p,cm, + m p d ω I s + (m p (l + b )/ + m p d ) ω I s + (m p (b )/ + m p d ω 0,9 + (5(0,75 + 0, )/ + 5 0,575 ) 0,5 0,9 + (5(0, )/ + 5 0,,70 rad/s. (5.6) Slutlig vinkelhastighet, ω,7 rad/s. Senast uppdaterad: augusti 05 () c Erik Elfgren

37 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Mitt LTU, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) Hur stor fart måste en bil ha för att föraren skall uppfatta ett rött trafikljus (våglängd 675 nm) som grönt (våglängd 55 nm)?. () I ett radonhus läcker det ständigt ut radon från en liten mängd radium i byggmaterialet. Radiumet kommer i sin tur från sönderfall av uran-8 i väggarna. Antag att följande gäller: Ett rum i radonhuset är på 0 m och helt slutet (ovädrat). Radonet kan antas uppstå ur sönderfall av en konstant mängd, 0,0 µg (mikrogram), radium-6 i väggarna (som alltså ständigt fylls på av uransönderfall). Jämvikt är uppnådd när det blivit så mycket radon i rummet att det sönderfaller vidare i samma takt som det fylls på från radiumsönderfall. a) (,5 p) Vad är radonaktiviteten i rummet vid jämvikt, mätt i Bq/m. b) (0,5 p) Om man plötsligt vädrar ut allt radon ur rummet och sen sluter till det igen, hur lång tid tar det innan radonmängden är tillbaks på ungefär samma nivå? Välj mellan några minuter, några dygn och några miljarder år. Kortfattad motivering räcker. 7 ()

38 . ( p) En kraft på F 55 N förlänger en fjäder sträckan y 0,5 m från ospänt läge.. a) (,5 p) Man tar sedan bort kraften och hänger på en massa m,05 kg på den ospända fjädern, varvid systemet massa + fjäder försätts i vertikal svängning. Beräkna perioden (svängningstiden). b) (,5 p) Svängningens amplitud är 0,050 m. Hur stor är fjäderkraften (den kraft som fjädern påverkar massan m med) när m befinner sig i sitt nedersta läge under svängningen? () En stång med massa m 0,0 kg och längd L,600 m sitter fast i ena änden i en led A (se figur). Leden sitter fast i A m taket. Den andra änden av stången släpps från vila i horisontellt läge. Friktion i leden ger ett bromsande moment τ L f 5 Nm. Beräkna beloppet av lagerreaktionskraften i leden omedelbart efter det att stången släppts. 5. () En tunn homogen skiva har dimensioner enligt figuren till höger. Dess massa är,0 kg. a) Vad är masscentrums x-koordinat för skivan? b) Vad är skivans masströghetsmoment med avseende på x-axeln? c) Vad är skivans masströghetsmoment med avseende på y-axeln? Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren! ()

39 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Våglängd rött ljus: Våglängd grönt ljus: Dopplerskiftat trafikljus p λ r 675 nm λ g 55 nm Hastigheten, v, en bil måste ha för att föraren ska uppfatta det röda ljuset som grönt. Relativistik dopplereffekt: c + u f c u f 0, (.) där f c/λ g (PH F-5.) är den frekvens föraren mäter och f 0 c/λ r är den utsända frekvensen. Föraren och trafikljuset närmar sig varandra u v och därmed blir (.): λ r λ g c λ g λ r λ g c + v c v c λ r λ r λ g c + v c v c c v + λ r v λ r λ g λ g λ r λ g c + v c v (c v) c + v + λ r v c λ g (.) λ r v c λ g λ r λ g λ r λ λ g + λ r ,65. g Föraren måste köra med farten v 0,6 c ( 7,8 Mm/s) för att det röda ljuset ska se grönt ut. Kommentar: I sista ekvationen behöver vi inte omvandla till SIenheter eftersom det är samma enhet i täljare och nämnare. Radonhus y Samma aktivitet för radium som för radon: A Ra A Rn Rumsvolym: V 0 m Massa, radium: m Ra 0, µg a) Radonaktiviteten i rummet, a Rn, mätt i Bq/m. b) Efter vädring, hur lång tid tar det tills Rn-nivån återställs? a),5 p Ra-6 sönderfaller genom α-sönderfall (PH T-6.) till Rn- ty masstal (6 ) och laddning (88 86) bevaras. Antal Ra-6-atomer: N Ra m Ra /M Ra, (.) där atommassan för Ra-6 är M Ra 6,050 u (PH T-6.). Aktivitetslagen för Ra-6 med sönderfallskonstanten λ ln /T / : A Ra λ Ra N Ra ln (.) N Ra T Ra,/ ln, ,050, , Bq, (.) 0 0 med halveringstiden för Ra-6: T Ra,/,60 0 år (PH T-6.) och u, kg (PH CU-.). Aktivitetstätheten för Rn- blir: a Rn A Rn V A Ra V (.) ,0 Bq/m. (.) b) 0,5 p Eftersom Ra-aktiviteten är konstant och det är Rn-aktiviteten (halveringstid,8 dygn, PH T-6.) som ska justera in sig så tar det några dygn tills den blir lika stor som Ra-aktiviteten. a) Aktiviteten i rummet: 0,8 kbq/m. b) Några dygn. Fjädersvängning med massa Kraft: Fjäderförlängning av kraften F: Massa: Svängningsamplitud med m fäst vid fjädern: p F 55 N y 0,5 m m,05 kg A 0,050 m a),5 p Svängningstiden T för massan. Hooke s lag i det initiala jämviktsläget ( F y 0) ger: y x F f y F F f ky, k F/y 55/0,5 0 N/m, (.) där k är fjäderkonstanten. Då vikten hängs på och systemet börjar svänga vertikalt kan svängningstiden (PH F-.) skrivas som T π m m ω π k π,05 π F/y 55/0,5 0,85 s. (.) b),5 p Fjäderkraften i nedersta läget. Friläggning av massan i jämviktsläget: F f y x mg Jämviktsuttöjningen, y j, fås ur Newtons :a lag, Fy 0, med Hooke s lag: F f mg ky j mg 0 ky j mg. (.) Hooke s lag då massan befinner sig i nedersta läget: F f k (y j + A) (.) mg + ka,05 9, ,05 50,8 N. (.) a) Svängningstiden T 0,85 s. b) Storleken på fjäderkraften i nedersta läget är 5 N. Stångmassa Stånglängd Friktionsmoment Bromsad stångrotation F m 0,0 kg L,600 m τ f 5 Nm Beloppet av lagerkraften N, i leden A, direkt efter släppning. Friläggning av stången direkt efter släppning: Nn cm A τ n mg f Nt r cm t L Ft mr cm α: Rotation kring fix axel, Fn mr cm ω : N n mr cm ω 0, (.) ty ω 0 i släppögonblicket. I t-led, mg + N t m L α N t m L α mg. (.) Momentekvationen, τ A I A α: mg L + τ f I A α α mg L + τ f I A, (.) där I A ml / (.) är stångens masströghetsmoment kring A, PH F-.0, nr. Senast uppdaterad: March, 05 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) (.) i (.) ger N t m L α mg m L mg L + τ f mg I A (.) m L mg L + τ f mg ml / 0,6 0 9,8,6 5 0,6 / 0 9,8 9, N. (.5) Beloppet av lagerkraften N i A blir: N Nt + Nn (.) N t (.5) 9, N. (.6) Beloppet av kraften i leden är 9 N direkt efter släppning. Kommentar: Notera att friktionsmomentet är givet med negativt tecken, därav ska det alltså gå åt fel håll i figuren. 5 Skiva med hål Skivans massa: M,0 kg Hålradie: R 0,00 m Skivhöjd: h 0,80 m Skivbredd: b 0,00 m a) Masscentrums x-koordinat. b) Masströghetsmomentet kring x-axeln. c) Masströghetsmomentet kring y-axeln. a) Masscentrum: x cm ri x i mi x r m r x h m h m r m h, (5.) där index r står för rektangeln utan hål och h för hålet, vilkas respektive masscentrum ligger vid x r b/, (5.) x h Rsin(π/) R π/ π (PH F-.0, nr ) (5.) och deras massor är m r σ A r σ b h, (5.) m h σ A h σ π R /, (5.5) där σ är skivans ytdensitet: σ M A M 99, kg/m. (5.6) bh πr 0, 0,8 π0, (5.)-(5.5) i (5.): x cm x r m r x h m h m r m h ( b ) ( σbh) ( R π σbh σπr ) ( ) σπr b h R bh πr 0, 0,8 0, 0, m. (5.7) 0, 0,8 π0, b) Masströghetsmoment kan delas upp, I I i : I x I xr I xh, (5.8) där I xr m r h /, (PH F-.0, nr ) (5.9) ( sin π ) m h R. (PH F-.0, nr ) (5.0) π R I xh m h Insatt i (5.8): I x m r h m h R ( b h σ πr 8 (σ π R ( ) 0, 0,8 π0, 8 (5.,5.5) (σ b h) h ) (5.6) 99, ) R 0,0 kg m. (5.) c) Masströghetsmoment kan delas upp, I I i : I y I yr I yh, (5.) där I yr,cm m r b /, (PH F-.0, nr ) (5.) R ( I yh m h + sin π ) m h R π (PH F-.0, nr ) (5.) och Steiners sats, I I cm + md ger: I yr I yr,cm +m r (b/) (5.) m r b /+m r b / m r b /. (5.5) (5.), (5.5) i (5.): I y m r b m h R ( h b σ πr 8 (σ π R ( ) 0,8 0, π0, 8 (5.,5.5) (σ b h) b ) (5.6) 99, ) R 0,070 kg m. (5.6) a) Masscentrums x-koordinat är x cm 0, m. b) Tröghetsmoment kring x-axeln är I x 0,0 kg m. c) Tröghetsmoment kring y-axeln är I y 0,070 kg m. Senast uppdaterad: March, 05 () c Erik Elfgren

40 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Mitt LTU, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) En observatör på jorden uppmäter längden på en landningsbana till,00 km. En pilot i en rymdraket flyger förbi med en konstant fart,5 0 8 m/s relativt jorden. a) ( p) Hur lång mäter piloten att landningsbanan är? b) ( p) Hur lång tid tar det för raketen att flyga över hela landningsbanan för en observatör på jorden? c) ( p) Hur lång tid tar det för raketen att flyga över hela landningsbanan för piloten?. () Isotopen väte- (tritium) sönderfaller med betasönderfall. a) ( p) Skriv upp reaktionen för sönderfallet, inklusive sönderfallsprodukterna. b) (,5 p) Vad är sönderfallets Q-värde i enheten MeV? c) (0,5 p) Q-värdet är ju reaktionens avgivna energi. Men vad blir det av denna energi? Svara med ett av följande alternativ: sönderfallsprodukternas sammanlagda rörelseenergier, dotterkärnans massförlust, dotterkärnans jonisationsenergi, elektronens viloenergi, tritiumkärnans bindningsenergi. Ingen motivering behövs. 0. ( p) En roterande skiva med masströghetsmoment I cm,55 kg m bromsas av ett konstant moment, τ, Nm. Skivan har ursprungligen vinkelhastigheten ω,5 rad/s och roterar kring sitt masscentrum. a) Beräkna skivans vinkelhastighet efter tiden,0 s. b) Hur många varv har skivan snurrat efter,0 s? ()

41 . () En tunn stång med längd l s,000 m och massa m s 5,0 kg är upphängd i en friktionsfri led i punkten A enligt figuren. Stången befinner sig ursprungligen i vila (och i jämvikt). En gevärskula med massan m k 0,0 g och farten v k 0,600 km/s träffar mitt på stången, se figuren. Kulan fastnar i stången som svänger ut från jämviktsläget. l s A m s v k m k a) ( p) Bestäm stångens vinkelhastighet precis efter stöten mellan kulan och stången. b) ( p) Beräkna hur långt (vilken vinkel) stången maximalt svänger ut från jämviktsläget. 5. () En tunn homogen skiva har dimensioner enligt figuren till höger. Dess massa är,0 kg. a) Vad är masscentrums x-koordinat för skivan? b) Vad är skivans masströghetsmoment med avseende på x-axeln? c) Vad är skivans masströghetsmoment med avseende på y-axeln? Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren! ()

42 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Landningsbanans längd: Rymdraketens fart: Landningsbana p L 0,00 km v,5 0 8 m/s a) p Hur lång är landningsbanan för piloten? Landningsbanan längdkontraheras för piloten: L L 0 /γ L 0 v /c 000 (,5 0 8 ) /c 597,76 m. (.) b) p Hur lång tid tar det för raketen att flyga över hela landningsbanan för en observatör på jorden? Observatören på jorden mäter sträcken L 0 och med konstant fart tar det då: t 0 L 0 v 000,5 0, s. (.) c) p Hur lång tid tar det för raketen att flyga över hela landningsbanan för piloten? Piloten mäter sträckan L och med konstant fart tar det då: t L v (.) 597,76,5 0 8,7 0 5 s (.) a) Landningsbanan är,6 km för piloten. b) För observatören på jorden tar överflygningen 0 µs. c) För piloten tar överflygningen 7 µs. Tritiumsönderfall Tritiumsönderfall med betasönderfall. a) p Reaktionsformeln. Laddning och masstal bevaras: H He+ + 0 e ν e. (.) Reaktionsformeln är H He + e + ν e. b),5 p Reaktionenes Q-värde. Q-värdet ges av Q mc (m T m He + m e )c (m T m He )c (.) (,0609,06090)uc, uc (.) 0,08 50 MeV, (.) med m He + m He m e, uc 9,9 MeV (PH CU-.) och Massa, tritium (PH T-6.): m T,06 09 u Massa, helium- (PH T-6.): m He, u Reaktionenes Q-värde är 0,08 MeV. Kommentar: Svaret avrundas till två decimaler pga mellanresultatet 9,7 0 6 uc (som egentligen bara har två värdessiffror efterom m T bara är givet med en precision av 0 6 uc ), men även svaret 0,08 50 MeV och 0,08 MeV accepteras vid rättningen. c) 0,5 p Vad blir det av energin som frigörs, Q-värdet? Sönderfallsprodukternas sammanlagda rörelseenergier. Skivacceleration Skivans tröghetsmoment: I cm,55 kg m Bromsmoment: τ, N m Initial vinkelhastighet: ω,5 rad/s Tid: t,0 s a) Skivans vinkelhastighet, ω, efter tiden t. b) Antal varv, n, skivan snurrat efter tiden t. a) p τ ω Impulsmomentlagen, τ dt L L : τ t L L, (.) med tröghetsmomentet för en stel kropp L I cm ω, L I cm ω, (.) ger τ t I cm (ω ω ) ω ω τ t,5,,8 rad/s. (.) I cm,55 b) Momentet och tröghetsmomentet är konstanta, vilket betyder att vinkelaccelerationen är konstant genom momentekvationen τ Iα: α τ/i cm,/,55 0,77 rad/s. (.) Vid konstant vinkelacceleration: θ ω t + α t /,5 0,77 /,59 varv (.5) a) Skivans vinkelhastighet efter,0 s är, rad/s. b) Skivan snurrar,6 varv på,0 s. Kula träffar stång Kulmassa: m k 0,0 g Kulfart: v k 0,600 km/s Stångmassa: m s 5,0 kg Stånglängd: l s,000 m a) p A Stångens vinkelhastighet, ω, precis efter stöten mellan kulan och stången. l s m v k I frånvaron av externa moment bevaras s m rörelsemängdsmomentet runt A under k stöten: L L, (.) där rörelsemängdsmomentet, L p r, före stöten är L p k l s / (m k v k ) (l s /) (.) och rörelsemängdsmomentet efter stöten är L I tot ω, (.) där I tot I k + I s är masströghetsmomentet för kulan+stången. (.) och (.) i (.): m k v k l s / I tot ω ω m k v k l s /(I tot ). (.) Senast uppdaterad: juni 05 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kulans masströghetsmoment fås ur definitionen på masströghetsmoment, I mr (punktformad partikel): I k m k (l s /) (.5) och stångens masströghetsmoment från (PH F-.0) I s m s ls /. (.6) (.5) och (.6) i (.) ger m k v k l s ω ( m k (l s /) + m s ls / ) m k v k (.7) l s (m k / + m s /) 0,0 600 (0,0/ + 5/),976 rad/s. b) p Vilken vinkel stången maximalt svänger ut. l s A θ A l s cosθ Mekaniska energisatsen h mellan läge (precis efter stöt) och läge (maximal utsvängning): K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.8) där K I totω, K 0, U e U e W övr 0, U g U g (m s + m k )gh (m s + m k )g l s ( cos θ), (.9) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar. (.9) i (.8): I totω (m s + m k )g l s ( cos θ) (.0) och vi kan lösa ( ut I tot ω ) (.5,.6,.7) θ arccos (m s + m k )gl s m k arccos v k (m s + m k )gl s (m k / + m s /) ( 0,0 600 ) arccos (5 + 0,0) 9,8 (0,0/ + 5/) 5,85. (.) a) Stångens vinkelhastighet precis efter stöten är,0 rad/s. b) Den maximala utsvängningsvinkeln blir θ 5,5. 5 Skivans massa: Hålradie: Skivhöjd: Skivbredd: Skiva med hål a) Masscentrums x-koordinat. b) Masströghetsmomentet kring x-axeln. c) Masströghetsmomentet kring y-axeln. M,0 kg R 0,00 m h 0,80 m b 0,00 m a) Masscentrum: x cm mi x i mi x r m r x h m h m r m h, (5.) där index r står för rektangeln utan hål och h för hålet, vilkas respektive masscentrum ligger vid x r b/, (5.) x h Rsin(π/) R π/ π (PH F-.0, nr ) (5.) och deras massor är m r σ A r σ b h, (5.) m h σ A h σ π R /, (5.5) där σ är skivans ytdensitet: σ M A M 99, kg/m. (5.6) bh πr 0, 0,8 π0, (5.)-(5.5) i (5.): x cm x r m r x h m h m r m h ( b ) ( σbh) ( R π σbh σπr ) ( ) σπr b h R bh πr 0, 0,8 0, 0, m. (5.7) 0, 0,8 π0, b) Masströghetsmoment kan delas upp, I I i : I x I xr I xh, (5.8) där I xr m r h /, (PH F-.0, nr ) (5.9) R I xh m h Insatt i (5.8): ( sin π π I x m r h m h R ( b h σ πr 8 ) m h R. (PH F-.0, nr ) (5.0) (σ π R ( ) 0, 0,8 π0, 8 (5.,5.5) (σ b h) h ) (5.6) 99, ) R 0,0 kg m. (5.) c) Masströghetsmoment kan delas upp, I I i : I y I yr I yh, (5.) där I yr,cm m r b /, (PH F-.0, nr ) (5.) R ( I yh m h + sin π ) m h R (PH F-.0, nr ) (5.) π och Steiners sats, I I cm + md ger: I yr I yr,cm +m r (b/) (5.) m r b /+m r b / m r b /. (5.5) (5.), (5.5) i (5.): I y m r b m h R ( h b σ πr 8 (σ π R ( ) 0,8 0, π0, 8 (5.,5.5) (σ b h) b ) (5.6) 99, ) R 0,070 kg m. (5.6) a) Masscentrums x-koordinat är x cm 0, m. b) Tröghetsmoment kring x-axeln är I x 0,0 kg m. c) Tröghetsmoment kring y-axeln är I y 0,070 kg m. Senast uppdaterad: juni 05 () c Erik Elfgren

43 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook Tillägg till Physics Handbook Nya Fysikalia Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Mitt LTU, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) Niagarafallen utvecklar effekten 5,5 0 9 W. Antag att energin som fallen omsätter under ett år ( 65 dagar) kunde användas till att från vila accelerera en kropp med massan,0 kg. Beräkna kroppens fart uttryckt i ljushastigheten c.. () Bakgrund: Av de radioaktiva ämnena i hushållsvatten är radon- den mest betydande källan för joniserande strålning. När man använder radonhaltigt vatten i hushållet, t ex till disk, dusch och tvätt, avgår en stor del av radongasen till inomhusluften. Långvarig vistelse i luft med förhöjda radonhalter kan innebära risk för lungcancer. Dricker man radonhaltigt vatten upptas en del av radonet i kroppen. Vid sönderfallet av det intagna radonet och sönderfallen av dess dotternuklider erhåller kroppens organ, (speciellt mag-tarmkanalen), en stråldos som med tiden kan innebära hälsorisk. Störst risk för radon i vatten är djupborrade brunnar med t ex uranrika graniter i bergrunden. Vatten som direkt kommer från en borrad brunn har betydligt lägre radondotterhalt jämfört med om vattnet fått stå ett tag i t ex en provflaska för radonmätning. Det beror på att radondöttrarna till skillnad från radonet är kemiskt aktiva och fastnar i bergsprickor och vattenledningsrör på väg fram till vattenkranen. Får vattnet stå en dryg timme i provflaskan så kommer radonet i vattnet att vara i radioaktiv jämvikt med radondöttrarna. Uppgift: Vid strålningsjämvikt i sönderfallskedja från radon till stabilt bly är det alltså lika många sönderfall per sekund i varje steg i kedjan. Det räcker alltså att analysera ett enda steg. Ett steg är sönderfallet av Bi-, som är en betastrålare och som i,8 % av sönderfallen avger en gammafoton med energin 0,6 MeV. Figur visar en mätning utförd på 0,80 liter vatten. Scintillationsdetektorns känslighet för denna gammaenergi är %. Analys av fototoppen vid 0,6 MeV visar ett pulsinnehåll på 8, pulser/sekund. Enligt bestämmelser så gäller att vatten med en aktivitet av 000 Bq/liter eller mer anses som otjänligt. Gränsvärdet för vatten som tjänligt men med anmärkning är 00 Bq/liter. ()

44 a) ( p) Beräkna aktiviteten från Bi- och därmed radonaktiviteten per liter i detta vatten. b) ( p) Tyvärr så hade det gått en tid av 5 dygn från det att vattenprovet togs tills det att mätning kunde ske. Vilken var aktiviteten från radonet vid tidpunkten för provtagningen? Jämför denna aktivitet med aktuella gränsvärden. Figur : Gammaspektrum av Bi-. ( p) Den med skåror försedda skivan har massan m s 6,0 kg och tröghetsradien k O 0,75 m med avseende på centrum O. Skivan för med sig fyra små stålkulor (kan betraktas som partiklar) med massan m k 0,5 kg vardera, belägna som visas i figuren, och skivan roterar ursprungligen med vinkelhastigheten ω 0 varv/min med försumbar friktion kring en vertikal axel genom O. Kulorna hålls då på plats med en spärranordning (som ej syns i figuren). Om spärren släpps medan skivan roterar, kommer kulorna att åka ut och inta de streckade lägena som visas i figuren. Vilken blir då skivans vinkelhastighet, ω?. () Ett hjul består av en tunn och kompakt cirkelformad del med massan M, och sex tunna ekrar, vardera med längden l och massan m. Ekrarna är fästa i ett litet nav, som vi kan bortse ifrån här. Om hjulet börjar rulla med vinkelhastigheten ω uppför ett plan (se figur), hur långt kommer det då längs planet innan det stannar och börjar rulla nedåt? Planet lutar vinkeln φ mot horisontalplanet. Hjulet rullar utan att glida. Svaret ska vara en formel som innehåller de givna storheterna med sina symboler samt tyngdaccelerationen, g. m m M m m m m φ ω l 5. () En bil har i startögonblicket en acceleration som är a 0 5,0 m/s och en hastighet som är noll. Accelerationen minskar sedan linjärt till noll på tiden t 0 s. Hur långt hinner bilen under accelerationen? Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren! ()

45 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Niagara-relativitet Effekt: P 5,5 0 9 W Massa: m,0 kg Tid: t år Kroppens fart, v. Energi som omvandlas till kinetisk energi under ett år: K E P t 5, ,7 0 7 J (.) Relativistiskt kinetisk energi: K mc v /c K mc + v /c ( K ) mc + v /c ( v c + K ) ( (.),7 0 7 ) c + mc ,90c. (.) Kroppens fart, v 0,9c. Radonvatten Delningsförhållandet: D,8 % Känsligheten: K % Volymen: V 0,8 liter Pulsfrekvens: f 8, pulser/s Radonaktiviteten, A Rn, och Bi--aktiviteten, A Bi är lika stora. a) p Radonaktiviteten per liter vatten, A Rn. Aktiviteten per liter vatten ges av A Rn A Bi p f D K V 8, 565 Bq/l. (.) 0,8 0,0 0,8 b) p Tid från provtagning: t 5 dygn Radioaktiviteten i vattnet vid provtagningen, A Rn,0, samt jämförelse med aktuella gränsvärden. Sönderfallslagen N N 0 e λt i aktivitetslagen A λn ger A A 0 e λt för Rn: A Rn A Rn,0 e λrn t A Rn,0 e ln t/trn,/ (.) ln t/trn,/ A Rn,0 A Rn e (.) 565 e ln 5/,85 99 Bq/l, (.) med data från PH T-6.: Halveringstid för Rn-: T Rn,/,85 dygn a) Radonaktiviteten är ca 0,6 kbq/liter. b) Radonaktiviteten vid tiden för provtagningen var drygt kbq/liter, vilket är mer än gränsvärdet kbq/liter och därmed är vattnet otjänligt. Kulor i skåror p Skivmassa: m s 6,0 kg Tröghetsradie, skiva: k O 0,75 m Kulmassa: m k 0,5 kg Antal kulor: n k Initial vinkelhastighet: ω 0 varv/min Initialt avstånd från kulorna till O: r 0,00 m Slutavstånd från kulorna till O: r 0,00 m Skivans vinkelhastiget efter att kulorna åkt ut från avstånd r till avstånd r från rotationsaxeln O. Låt läge vara initialt läge och läge vara när kulorna är på avstånd r från O. Frånvaron av externa moment ( τ ext 0) gör att rörelsemängdsmomentet bevaras enligt impulsmomentlagen: τ ext dt L L 0 L L. (.) Rörelsemängdsmoment, stel kropp, L I O ω i (.): I ω I ω. (.) Masströghetsmomenten I & I : I n k I k + I s, (.) där skivans tröghetsmomentet kring O är I s m s ko (definition av tröghetsradie) (.) och en kulas tröghetsmomentet kring O (I CM 0) är I k m k r (tröghetsmoment för en partikel), (.5) där r är kulornas avstånd till O. (.5) & (.) i (.) i (.): ( nk m k r + m ) sko ω ( n k m k r + m ) sko ω n k m k r ω ω + m sko n k m k r + m 0 0,5 0, + 6 0,75 sko 0,5 0, + 6 0,75 09,6 varv/min. (.6) Skivans vinkelhastighet efter att kulorna rullat ut blir ω 0 varv/min. Kommentar: Mekaniska energisatsen kan inte användas eftersom det övriga arbete som inträffar när kulorna stannar är okänt. Ringmassa Ekermassa Ekerlängd hjulradie Initial vinkelhastighet Planets lutning Rullande hjul Sträckan hjulet rullar. Mekaniska energisatsen, : K + U g + U e + Wövr K + U g + U e, (.) där U g m tot gs sin φ. (.) s φ M m l ω φ K I cmω + m totv cm, (.) Hjulets masströghetsmoment: I cm I ring + 6I eker Ml + 6ml / l (M + m), (.) med I ring ur PH F-.0, nr 8 och I eker ur PH F-.0, nr. Rullning utan glidning: v cm lω. (.5) Senast uppdaterad: juni 05 () c Erik Elfgren ω Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) i (.) med (.): K I cmω + m totv cm ω (I cm + m tot l ) ω (l (M + m) + m tot l ) ω l (M + m + m tot). (.6) (.6), (.) i (.) med m tot M + 6m: ω l (M + m + M + 6m) (M + 6m)gs sin φ s ω l M + m g sin φ M + 6m. (.7) Hjulet rullar sträckan ω l M+m g sin φ M+6m. Kommentar: Notera att hjulet rullar utan att glida och därmed finns det en friktionskraft mot underlaget (annars skulle hjulet bara slira). Däremot uträttar denna friktionskraft inget arbete eftersom den inte rör sig relativt marken då hjulet ej slirar. 5 Avtagande acceleration Initialacceleration: a 0 5,0 m/s Tid: t 0 s Accelerationen minskar linjärt till noll på tiden t. Sträckan, s, bilen rör sig under tiden t. Accelerationen beskrivs av räta linjens ekvation y kx + m: a(t) a 0 k t. (5.) a( t) 0 (5.) 5 k 0 k 0,5. (5.) Definitionen på acceleration a dv/dt skrivs om och integreras: dv a dt v 0 dv t 0 a dt t 0 (a 0 k t) dt v a 0 t k t /. (5.) Definitionen på hastighet v dx/dt skrivs om och integreras: dx v dt s 0 dx t 0 v dt (5.) t 0 (a 0 t kt /) dt s a 0 t / kt /6 (5.,5.) 5 0 / 0,5 0 /6 67 m. (5.) Sträckan bilen rör sig är s 0,7 km. Senast uppdaterad: juni 05 () c Erik Elfgren

46 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Tillägg till Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Fysika samt Errata Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Mitt LTU, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () Förståelsefrågor (om inte annat anges fordras ingen beräkning, däremot ska du motivera ditt svar precis som i alla uppgifter): a) (0,5 p) En person springer förbi dig med farten 0,9c. Hur ändras ditt synintryck av den personen? b) (0,5 p) Ett objekt rör sig med farten 0,9c och du vill accelerera objektet. Krävs det lika stor kraft om accelerationen sker i sidled som om den sker längs med rörelsen? Ingen motivering krävs. c) (0,5 p) Hur kommer det sig att myoner som skapas av kosmisk strålning når ner till markytan trots att de borde sönderfalla innan? d) (0,5 p) En elektron har rörelseenergin K e 5 kev. Rör den sig då med relativistisk hastighet? e) (0,5 p) Om en tvilling stannar på jorden och en accelererar ut i rymden till en hastighet nära ljusets och sedan återvänder till jorden, vilken av de två tvillingarna är äldst när rymdtvillingen landar på jorden igen? f) (,5 p) Om totalenergin för en partikel är,0 gånger så stor som viloenergin, vad är partikelns hastighet uttryckt i ljushastigheten, c? Beräkning fordras. 6. ( p) Vilken maximal hastighet får en elektron från beta-sönderfall av C-? Svaret ska uttryckas i enheten c (ljushastigheten), och den kinetiska energin ska räknas fram, inte tas direkt från formelsamlingen. Dotterkärnans rekyl kan försummas i beräkningen av elektronens hastighet.. ( p) En rymdskyttel avfyras vertikalt uppåt från jordens yta, vid ekvatorn, med den höga hastigheten 9,5 km/s. Om inget luftmotstånd fanns, hur högt upp skulle skytteln då nå? ()

47 . () En kraft på F 60 N anbringas på en ospänd fjäder, varvid denna förlängs y 0 cm. Kraften tas bort och man hänger upp fjädern vertikalt och hänger på en vikt med okänd massa m. Systemet försätts i svängning i y-led, och svängningstiden uppmäts till T, s. a) ( p) Hur stor är massan m? b) ( p) Hur stor kraft utövar fjädern på massan m, då denna under svängning befinner sig y,0 cm ovanför jämviktsläget? 5. () Ett tunnväggigt rör med massan M r, kg och radien R r 0,5 m rullar utan att glida nedför ett lutande plan som bildar vinkeln θ 0 med horisontalplanet. Vilken hastighet, v r, har röret efter att ha rullat sträckan s,0 m utefter planet då det startar från vila? Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren! ()

48 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Fa & T a syftar på formel, respektive tabell i formelsamlingen Fysika. Förståelse relativitet a) 0,5 p Personen som springer förbi dig ser smalare ut på grund av längdkontraktionen i rörelseriktningen som sker vid relativistisk fart. Personen ser smalare ut. Kommentar: Man kan också svara att personen ser ut att röra sig snett eftersom fotonerna på personens mage kommer fram något före fotonerna från personens bak. b) 0,5 p Det krävs större kraft för att accelerera någonting i rörelseriktningen än i sidled. Nej, det krävs mindre kraft i sidled än i rörelsens riktning. Kommentar: F γ ma, medan F γma c) 0,5 p Myonernas halveringstid tidsdilateras i vårt system så att de faktiskt hinner ner innan de sönderfaller, T / γt 0,/. Myonernas halveringstid tidsdilateras. Kommentar: Man kan lika väl säga att den sträcka som myonerna upplever att de färdas längdkontraheras så att den blir kortare så att myonerna hinner ner innan de sönderfaller, l l 0 /γ. d) 0,5 p Elektronens viloenergi är (Te) m e c 50,999 kev K e 5 kev vilket innebär att den inte rör sig med relativistisk hastighet. Nej, elektronen rör sig inte med relativistisk hastighet. Kommentar: E e m e c + K e γm e c. Om K e 0,0 m e c så är alltså E e /(m e c ) + K e /(m e c ),0 och därmed γ + K e /(m e c ),0, vilket betyder att hastigheten är ickerelativistisk till en precision av %. Man kan också räkna ut att hastigheten blir ca 0, c. På den här uppgiften är inte svaret det viktiga utan resonemanget. e) 0,5 p Jordtvillingen är äldst pga relativistiska effekter (rymdtvillingen har accelererat i förhållande till jordtvillingen). Rymdtvillingen är yngst. Kommentar: Med en konstant accelereration på g kan man nå till Andromedgalaxen på mindre än 0 år. f),5 p E,0 mc. (.) Partikelns totalenergi: E γmc (.) mc γ u /c (.) u /c / u/c där u är partikelns hastighet. Partikelns hastighet är u 0,87 c. / 0,866, (.) av reaktionens Q-värde. Elektronen har maximal rörelseenergi när neutrinon har rörelseenergin noll. Dessutom kan vi försumma inverkan av kvävekärnans rekyl eftersom den är mycket tyngre än elektronen. Alltså blir elektronens maximala rörelseenergi lika med Q-värdet för processen. Det ges av, Q mc : K e Q (m C (m N + + m e + m νe ))uc (m C ((m N m e ) + m e + 0))uc (m C m N )uc (,00,00 07)uc uc, (.) eftersom neutrinon kan betraktas som masslös och N- är en positiv jon eftersom den ärvt de 6 elektronerna från C-. Här har massan för C- och N- tagits från Tk. Relativistisk rörelseenergi ges av K (γ )mc : K e v /c m ec + K e m e c v /c ( ( ) v /c + K ) e m e c v c + K e m e c ( (.) c uc 58, uc ) 0,6 c (.) med elektronens viloenergi, m e, från Te. Elektronen får hastigheten 0,6 c. Kommentar: Vi använder elektronens viloenergi, m e c uttryckt i enheten uc, så att uc kan förkortas bort i uttrycket K e /m e c. Detta är mycket enklare och elegantare än att byta till SI-enheter eller ev. Svaret avrundas lämpligen till två värdesiffror eftersom vi försummat kväveatomens rekyl men även värdesiffror godkänns (antalet i mellansvaret K e ) samt 8, vilket är minsta antal värdesiffror i indata. p Rymdskyttel Initial vertikal hastighet vid ekvatorn: Hur högt skytteln når. Mekaniska energisatsen, : K + U g + U e + W övr K + U g + U e, (.) med den gravitationella potentiella energin: m M U g G N r m M U g G N r och den kinetiska energin: m M G N R m M G N R + h v 9,5 0 m/s (.) K mv. (.) (.), (.) i (.): mv G m M N R G ( m M N v R + h G NM R ) R + h R + h R v / G N M h R v / R G N M ( h 6, ) / 6 6, , p C-sönderfall Beta-sönderfall av C-. Maximal energi för elektronen. 6, ,6 0 6 m, (.) Sönderfall av C- sker via reaktionen med 6 C 7 N+ + e + ν e, (.) Gravitationskonstanten (Te): G N 6,678 0 N m /kg Jordradien vid ekvatorn (Tj): R 6, eftersom totala masstalet A och totala laddningen Z bevaras i sönderfallet. Sammanlagda rörelseenergin hos slutprodukterna ges m Jordmassan (Tj): M 5, kg Senast uppdaterad: 5 april 06 () c Erik Elfgren y Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Skytteln når höjden m över marken. Kommentar: U g mgh går inte attt använda eftersom g varierar under uppfärden. Fjädersvängning med massa Kraft: F 60 N Fjäderförlängning av kraften F: y 0,0 m Svängningstid med m fäst vid fjädern: T, s Fjäderförlängning av kraften F : y 0,00 m a) p Massan m som ger upphov till svängningstiden T. Friläggning i det initiala jämviktsläget: y x F f y F NI, F y 0, med Hooke s lag: F F f ky k F/y 60/0,0 50 N/m, (.) där k är fjäderkonstanten. Då vikten hängs på och systemet börjar svänga vertikalt blir svängningstiden T π m k m T π k (.), 50 6, kg. (.) π b) p Kraften som fjädern utövar på massan m, då denna under svängning befinner sig y 0,00 m över jämviktsläget. Friläggning av massan: F Vi beräknar jämviktsuttöjningen, y j, genom f Newtons :a lag, F y y 0, samt Hooke s lag: x F mg f mg ky j mg 0 y j mg k. (.) Hooke s lag då massan befinner sig y över jämviktsläget: F k(y j y ) (.) mg ky (.) (.,.) 6, 9,8 50 0,00 60, N. (.5) Kraften i Hooke s lag är riktad motsatt uttöjningens riktning, dvs i postiv y-led, dvs uppåt. a) Massan som ger upphov till svängningstiden T är m 6, kg. b) Kraften som fjädern utövar på massan m, då denna under svängning befinner sig y 0,00 m över jämviktsläget är F 60 N uppåt. 5 Tunnväggigt rör, massa: Rörradie: Lutning: Rullsträcka: Rullande rör M r, kg R r 0,5 m θ 0 s,0 m Hastigheten, v r efter sträckan s. Mekaniska energisatsen, : K + U g + U e + Wövr K + U g + U e, (5.) där U g M r gs sin θ, (5.) K I cmω + M rv cm. (5.) Rörets masströghetsmoment ur Tf-: I cm M r R r 0,0750 kg m. (5.) Rullning utan glidning: v cm R r ω ω v cm /R r (5.5) i (5.) med (5.): K I cmv cm R r v cm R r (5.6), (5.) i (5.): + M rv cm v cm (I R cm + M r R r ) r (M r R r + M r R r ) M r v cm. (5.6) M rgs sin θ M r v cm v cm gs sin θ 9,8,0 sin 0,8 m/s. (5.7) Rörets hastighet blir v r v cm,8 m/s. Kommentar: Notera att hjulet rullar utan att glida och därmed finns det en friktionskraft mot underlaget (annars skulle hjulet bara slira). Däremot uträttar denna friktionskraft inget arbete eftersom den inte rör sig relativt marken då hjulet ej slirar. Senast uppdaterad: 5 april 06 () c Erik Elfgren

49 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Tillägg till Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Fysika samt Errata Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Mitt LTU, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) Elementarpartikeln π (negativ pion) är instabil. I partikelns referenssystem är medellivslängden 0,060 µs. I ett laboratorium mäts emellertid medellivslängden till 0,00 µs. Beräkna partikelns fart relativt laboratoriet, uttryckt i ljushastigheten c.. () Ett radioaktivt prov innehåller en blandning av fosforisotoperna P- och P- men inget annat. En inledande mätning visar, att av den totalt uppmätta aktiviteten från provet, så kommer 0,0 % från P-. Beräkna hur många dygn måste man vänta för att 80,0 % ska komma från P-.. ( p) En tunn homogen skiva har dimensioner enligt figuren till höger. Dess massa är,0 kg. Vad är skivans masströghetsmoment med avseende på y-axeln? Vad är masscentrums y-koordinat för skivan? 9 ()

50 . () En smal, homogen dörr har bredden,0 m, höjden, m och massan kg. Dörren är upphängd i friktionsfria gångjärn, så att den kan rotera kring en vertikal axel längs ena långsidan, se figur, där dörren ses uppifrån. En pistolkula med massan g avfyras mot dörren och har hastigheten 00 m/s då den träffar dörrens mittpunkt. Kulan fastnar i dörren. a) ( p) Vilken vinkelhastighet har dörren efter att kulan fastnat? b) ( p) Om det tar, ms för kulan att fastna i dörren, med vilken kraft (medelvärdet) påverkar kulan dörren under denna tid? 5. () En trumma har radien 0,75 m och massan kg samt tröghetsradien 0,00 m med avseende på rotationsaxeln. En böjlig stålkabel med längden 8 m och massan, kg per meter är från början upplindad på trumman med en ände fastsatt på denna. Längden av den fria, nedhängande änden av kabeln är då x 0,60 m, se figur. Trumman släpps fri från vila, varvid den börjar rotera och kabeln rullar av utan att glida relativt trumman. Beräkna trummans vinkelhastighet då x 6,0 m. Masscentrum för den del av kabeln som fortfarande är upplindad på trumman antas ligga i trummans rotationsaxel under hela rotationen. Trumman antages rotera friktionsfritt. Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren! ()

51 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Fa & T a syftar på formel, respektive tabell i formelsamlingen Fysika. Relativistisk pion Pionens halveringstid i dess vilosystem: T 0 0,060 µs Pionens halveringstid i labb: T 0,00 µs Pionens fart relativt labbet, u. Myonen rör sig med relativistik hastighet relativt labbet och därmed dilateras tiden: T T 0 γ T 0 / u /c u /c (T 0 /T) u c (T 0 /T) c (0,060/0,00) 0,998 c (.) Pionens fart relativt labbet är 0,998 c. Fosforsönderfall Variabler: Initial aktivitet för P-: A Slutlig aktivitet för P-: A Initial aktivitet för P-: A Slutlig aktivitet för P-: A Initial andel aktivitet P- i provet: a 0,00 Slutlig andel aktivitet P- i provet: a 0,800 Antal dygn, t, innan 80,0 % av aktiviteten kommer från P-. Initialt förhållande mellan aktiviteterna: A a A + A A + A A a A. (.) A a Slutligt förhållande mellan aktiviteterna: A a A + A A p a A A. (.) a A + A Aktivitetslagen A Nλ i sönderfallslagen N Ne λt ger A Ae λt. Med λ ln /T / efter tiden t ger för P- A A e ln T t (.) och för P- A A e ln T t, (.) där halveringstiderna fås ur Tk: Halveringstid P-: T,6 dygn Halveringstid P-: T 5,5 dygn Kvoten (.)/(.) blir A A T t A e ln A ( A / ln A t A e ln T t A ( / A ln A ( A ln e A ) ln A A ) ln ( T T ) (.,.) T T )t ( ) t T T ln ( ( 0,800 )/( 0,00 )) ln ( ),6 5,5 68,5 dygn (.5) Det tar 69 dygn innan 80,0 % av aktiviteten är från P-. Kommentar: Det skulle också gå att omvandla alla tider till sekunder och sedan tillbaks till dygn, men eftersom indata är i dygn är det lämpligare att räkna i dygn. Skiva p Skivans massa: Hålradie: Skivhöjd: Skivbredd: M,0 kg R 0,00 m h 0,80 m b 0,00 m Masströghetsmomentet kring y-axeln. Masscentrums y- koordinat. Skivan består av en rektangel (index r) utan hål och ett utskuret hål (index h). Massorna är m r σ A r σ b h, (.) m h σ A h σ π R /, (.) där σ är skivans ytdensitet: σ M A M,0 7,5 kg/m. (.) bh πr 0,0 0,8 π0,0 Masströghetsmoment kan delas upp, I I i : I y I yr I yh, (.) där I yh m h R ( + sin π ) m h R π (Tf-) (.5) I yr,cm m r b /, (Tf-) (.6) och Steiners sats, I I cm + md ger: I yr I yr,cm + m r (b/) (.6) m r b / + m r b / m r b /. (.7) (.5), (.7) i (.): I y m r b m h R ( h b σ πr 8 (.,.) (σ b h) b ) (.) 7,5 ( 0,8 0,0 (σ π ) R R ) π0,0 8 0,057 kg m. (.8) Kroppen är symmetrisk i y-led kring x-axeln. Masscentrum i y- led ligger därför vid y 0. Tröghetsmoment kring y-axeln är I y 0,05 kg m. Masscentrums y-koordinat är y cm 0 mm. Kula i dörr Kulmassa: m k 0,0 kg Kulfart: v k 00 m/s Dörrmassa: M kg Dörrbredd: b,0 m Dörrhöjd: h, m Stöttid: T 0,00 s a) p Dörrens vinkelhastighet, ω, precis efter stöten mellan kulan och dörren. Senast uppdaterad: 0 maj 06 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) A I frånvaron av externa moment bevaras rörelsemängdsmomentet runt A under stöten: v k L L, (.) m M b k där rörelsemängdsmomentet, L p r, före stöten är +x L p k (b/) (m k v k ) (b/),0 kg m /s (.) och rörelsemängdsmomentet efter stöten är L I tot ω, (.) där I tot I k +I d är masströghetsmomentet för kulan+dörren. (.) och (.) i (.): m k v k b/ I tot ω ω m k v k b/(i tot ). (.) Kulans masströghetsmoment fås ur definitionen på masströghetsmoment, I mr (punktformad partikel): I k m k (b/) 0,005 5 kg m (.5) och dörrens masströghetsmoment från Tf- med tjocklek noll: I d Mb / 0,67 kg m. (.6) (.5) och (.6) i (.) ger m k v k b ω ( m k (b/) + Mb / ) m k v k (.7) b (m k / + M/) 0,0 00,0 (0,0/ + /) 0,96 rad/s. b) p Medelkraften F m som kulan påverkar dörren med under stöten. Impulsmomentlagen för dörren under stöten, τ dt L: Friläggning, dörr: y b/ F m A Mg x F m b T L d L d F m L d L d T b, (.8) (med τ τm T F m b T) där L d 0, L d I d ω,98 kg m /s. (.9) (.9) i (.8): F m I dω 0 T b 0,67 0,96 0,00,0 6,997 kn. (.0) a) Dörrens vinkelhastighet precis efter stöten är 0,9 rad/s. b) Medelkraften som kulan påverkar dörren med under stöten är F m 7,0 kn åt höger. Kommentar: Det går också att räkna på kulan: F m Ikω L T b eller på ändringen i impuls F m T p p (eftersom stöten är kort så den knappt hinner rotera) för kulan: F m mk(ω b/ vk) T. 5 Kabel på trumma Trum-massa: M kg Trum-radie: R 0,75 m Trum-tröghetsradie: k 0,00 m Kabel-längddensitet: ρ, kg/m Kabel-längd: L 8 m Ursprunglig utrullad kabel-längd: x 0,60 m Slutlig utrullad kabel-längd: x 6,0 m Trummans vinkelhastighet ω, då den utrullade kabellängden är x 6,0 m. Mekaniska energisatsen, : K + U g + U e + Wövr K + U g + U e, (5.) U 0 g x m x m ω där U g m gx / (5.) U g m gx / (5.) K I k ω / + I tω / + m v /, (5.) där massan för den utrullade kabeln ges av m x ρ,86 kg, (5.5) m x ρ 8,6 kg, (5.6) och den upplindade kabelns masströghetsmoment (Tf-): I k m k R (L x )ρr 5, kg m (5.7) (med upplindade kabelmassan m k (L x )ρ 7, kg) och trummans masströghetsmoment (ur definition av tröghetsradie): I t Mk,69 kg m. (5.8) Rullning utan glidning: v Rω. (5.9) i (5.): K I k ω / + I tω / + m R ω / ω (I t + I k + m R )/ (5.7,5.8,5.6) ( ω Mk + (L x )ρr + x ρr ) / ω (Mk + LρR )/. (5.0) (5.0), (5.), (5.) i (5.) m gx / m gx / + ω (Mk + LρR )/ m gx m gx (5.5,5.6) ρg(x ω x ) Mk + LρR Mk + LρR, 9,8 (6,0 0,60 ) 9,70 rad/s. (5.) 0, + 8, 0,75 Trummans vinkelhastighet då den utrullade kabellängden är x 6,0 m är ω 9,7 rad/s. Senast uppdaterad: 0 maj 06 () c Erik Elfgren

52 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Tillägg till Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Fysika samt Errata Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Mitt LTU, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () För att avgöra stjärnors hastighet relativt oss på jorden utnyttjar man spektrallinjer för väte. Inom den synliga delen av spektrumet finns sådana spektrallinjer, vid våglängderna 656, 86, och 0 nm. Den längsta våglängden kallas för H α -linjen och är den som oftast används. Man studerar gasen som roterar kring kärnan på galaxen M87 och observerar att på ena sidan av galaxkärnan har H α -linjen förskjutits till 90 nm. a) ( p) Beräkna den observerade gasens hastighet i förhållande till oss på jorden. b) (0,5 p) Är ljuset från den observerade gasen rödförskjutet eller blåförskjutet? Motivera kort. c) (0,5 p) Är den observerade gasen på väg emot oss eller ifrån oss? Motivera kort. 5. ( p) Då neutronen saknar laddning kan dess massa ej mätas med spektrometer utan andra metoder måste användas. När en neutron och en proton, vardera med försumbar kinetisk energi, kommer tillräckligt nära varandra kan de bindas ihop och en deuteriumjon bildas varvid en gammafoton med energin E γ,6 MeV utsänds. Beräkna utifrån detta neutronens massa, m n. Observera att tabellvärde på neutronmassan ej får användas, massan skall beräknas. Övriga nödvändiga data för att lösa uppgiften får givetvis hämtas från tabell.. ( p) Ganymedes är den största av Jupiters månar (upptäcktes av Galileo 60) och har massan M G,8 0 kg och banradien är R G, km i den approximativt cirkulära banan. a) ( p) Med hur stor kraft påverkar Jupiter sin måne Ganymedes? b) ( p) Hur stor är Ganymedes acceleration i banan, och hur är accelerationen riktad? ()

53 c) ( p) Beräkna Ganymedes fart i banan. Data om Jupiter finns i Physics Handbook och i Fysika.. () En rektangulär ram har massan m och är formad av smala, homogena stänger. Ramen är friktionsfritt upphängd i O (som är en fix punkt) och kan svänga kring den horisontella axeln AA som går genom O. a) ( p) Beräkna masströghetsmomentet (uttryckt i m och b) för ramen med avseende på axeln AA. b) ( p) Från sitt vertikala läge, som visas i figuren, förs ramen upp runt axeln AA så att den ligger horisontellt. Den släpps därefter och får svänga fritt kring AA. Bestäm (i givna storheter samt g) uttrycket för den kraft som upphängningen i O påverkar ramen med omedelbart efter det att den släppts från horisontellt läge. 5. () Två skivor med radie R och R/ är sammanfogade till en enhet (ett hjul). Enheten har massan m och tröghetsmomentet I mr / med avseende på sitt centrum. På vardera skivans periferi är upplindad en lina i vars andra ände hänger en vikt med massan m, se figur. Hjulet kan rotera friktionsfritt kring en horisontell, fix axel genom dess centrum. Systemet släpps fritt. Beräkna den vinkelacceleration som hjulet får uttryckt i m, g och R. Linorna glider ej relativt respektive skivas periferi. Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren! ()

54 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Fa & T a syftar på formel, respektive tabell i formelsamlingen Fysika. Gashastighet kring svart hål Våglängd H α -ljus: Observerad våglängd: λ nm λ 90 nm a) p Gasens hastiget i förhållande till oss på jorden. Relativistik dopplereffekt: c u f f 0 c + u, (.) där u är gashastigheten i riktning från oss, f c/λ är den frekvens vi mäter och f 0 c/λ 0 är den utsända frekvensen. Detta ger: c λ c λ 0 λ 0 c u c + u λ 0 c u λ c + u λ c u λ 0 (c + u) c u c + u λ λ 0 λ c c u λ 0 λ u λ 0 λ + λ 0 u λ c λ 0 λ u c + λ 0 λ λ λ 0 λ + λ ,777. (.) b) 0,5 p Är ljuset från gasen rödförskjutet eller blåförskjutet? c) 0,5 p Är gasen på väg emot oss eller ifrån oss? a) Gasen rör sig med hastigheten 0,78 c mot oss. b) Ljuset från gasen är blåförskjutet eftersom dess våglängd har minskat, dvs ljuset har blivit blåare. c) Gasen är på väg emot oss eftersom u < 0. Kommentar: I sista ekvationen behöver vi inte omvandla till SIenheter eftersom det är en kvot med enheten nm i både täljare och nämnare. Neutronmassa Reaktion: 0 n + p H+ + E γ Gammaenergi: E γ,6 MeV Neutronens vilomassa, m n. Protonen är en väteatom (H) utan elektron. Deuteriumjonen är en deuteriumatom (D) utan elektron. Totala energin bevaras och E mc : (m n + m H m e ) c (m D m e ) c + E γ (.) (m n + m H ) c (m D ) c + E γ (.) m n m D m H + E γ /c. (.) Insättning av data från Tk: Massa för deuterium: m D, u Massa för väte: m H, u med u, kg Te ev, J Tb, Erratan p ger m n m D m H + E γ /c (.), u, u +,6 u/c (.5), kg, u. (.6) Neutronens vilomassa blir, kg. Kommentar: I Te står det att m n, kg vilket är nära vårt svar. p Ganymedes Ganymedes, massa: Ganymedes, banradie: M G,8 0 kg R G, m a) p Jupiters kraft, F G, på månen Ganymedes. Newtons gravitationslag: F G G N MJ M G, (.) R G med Newtons gravitationskonst. (Te): G N 6,678 0 Nm /kg Jupiters massa (Tj): M J, kg ger F G G N MJ M G 6,678 0,899 07,8 0 R (,07 0 G 9 ),68 0 N. (.) b) p Ganymedes acceleration i banan, a G samt accelerations riktning. Newtons :a lag för Ganymedes F ma: F G M G a G (.) a G F G M G,68 0,8 0 0,07 m/s. (.) c) p Ganymedes fart i banan, v G. Cirkelrörelse: a G v G /R G v G a G R G 0,88 km/s. (.5) a) Jupiters kraft på Ganymedes är F G,6 0. b) Ganymedes acceleration i banan är a G 0, m/s, riktad mot Jupiter. c) Ganymedes fart i banan är v G 0,9 km/s. Rammassa: Längd, kortsida: Längd, långsida: Roterande ram a) p Tröghetsmomentet med avseende på axeln AA. Ramen består av delar: Senast uppdaterad: 6 april 06 () c Erik Elfgren m b b Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) A b b Stångens totala längd är 6b, O A vilket betyder att varje sträcka b har massan m/6. b För del och är tröghetsmomentet det för en tunn stång som roterar kring ena änden Tf-: b b. (.) I AA I AA m 6 För del är tröghetsmomentet kring AA noll eftersom delen ligger längs med axeln: I AA 0. (.) För del ges tröghetsmomentet av Steiners sats I O I cm + md : I AA 0 + m 6 b. (.) Det totala tröghetsmomentet blir med (.),(.),(.): I tot I AA + I AA + I AA + I AA m b 6 + m 6 b + m 6 mb ( b + 0 ) mb 9. (.) Masströghetsmomentet för ramen kring axeln AA är mb 9. b) p Kraften som verkar på upphängningen när ramen släpps från horisontellt läge. Friläggning av ramen i horisontellt läge sedd längs axeln AA: O n AA Ot n b t mg α Rotation kring fix axel: Rörelseekvationen i horisontell led för tyngdpunkten: F n mr cm ω O n mr cm ω 0, (.5) ty ω 0 rad/s i släppögonblicket. Rörelseekvationen i transvers led för tyngdpunkten: F t mr cm α O t + mg mr cm α O t mr cm α mg. (.6) Momentekvationen runt upphängningspunkten O, τ Iα: mgb/ I tot α α mgb/(i tot ). (.7) (.7) i (.6): O t mr cm (mgb/(i tot )) mg m b ( mgb I tot med r cm b/. ) mg (.) m b g mb 9 Kraften är 7mg/6, riktad vertikalt uppåt. mg 7mg 6, (.8) 5 Skivor med vikter Massa hjul: m Tröghetsmoment hjul: I mr / Stor skivradie: R Liten skivradie: R/ Massa, vikt: m Vinkelaccelerationen α. Friläggning av hjul och vikter var för sig: NII för vikt A, F y ma y : mg S A ma A S A m(g a A ). (5.) NII för vikt B, F y ma y : mg S B ma B S B m(g a B ). (5.) Momentekvationen τ O I O α för hjulet: R (5.,5.) S A R S B Iα m(g a A ) R m(g a B ) R ( mr /)α (g a A g + a B ) Rα (g a A + a B ) Rα. (5.) Rotation (A går åt motsatt håll som B): a A Rα, a B R α. (5.) i (5.): (g Rα R g α) Rα g 6Rα α R. (5.5) Vinkelaccelerationen blir α g R. Senast uppdaterad: 6 april 06 () c Erik Elfgren

55 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Tillägg till Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Fysika samt Errata Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Mitt LTU, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. () Låt den kinetiska energin för en partikel med massa m och viloenergi E 0 vara K b E 0. a) Beräkna kvoten mellan den klassiska och den relativistiska farten v k /v r uttryckt i b. b) Vad blir kvoten då b,0? c) Vad blir kvoten då b 0,0?. ( p) Vid kärnvapenproven på 950- och 960 talet drabbades Sverige av radioaktivt nedfall, bland annat av Cs-7. Nedfallet har funnits så länge att det nu är en del av veden i träden. Nedfallet från Tjernobyl finns mest i barr och bark. Vid en mätning av ett prov av aska från en kakelugn i Örnsköldsvik visades en tydlig gammatopp vid energin 0,66 MeV. Efter subtraktion av bakgrundsstrålningen registrerades toppens pulsinnehåll till,96 pulser per sekund. Provets massa uppmättes till,7 g och vid mätningen användes liten burk. Beräkna med hjälp av sönderfallsschemat (se nedan) och detektorns känslighet (se nedan) askans aktivitet per kg. Känsligheten är andelen gammasönderfall som detekteras, resten av sönderfallen missar detektorn. Sönderfallsschemat anger delningsförhållandet, dvs andelen av det totala antalet sönderfall. 55 ()

56 . ( p) Den spårförsedda armen roterar moturs kring en axel genom centrum i ett horisontalplan med konstant vinkelhastighet θ rad/s. Den fjäderbelastade hylsan med massan,0 kg kan oscillera med försumbar friktion i spåret. Om hylsan har farten 0,600 m/s relativt armen då den passerar centrum, hur stor är då den sidokraft som armen påverkar hylsan med? Vilken av sidorna A eller B är i kontakt med hylsan?. () En roterande skiva bromsas av ett konstant moment, τ 0,0050 Nm. a Skivan har ursprungligen vinkelhastigheten ω rad/s och roterar kring sitt masscentrum. Skivan, som har ytdensiteten 75,5 kg/m, är cirkulär med radie R 9,5 cm och har ett kvadradiskt hål med sida ω a cm utskuret ur mitten, se figur. a) Beräkna skivans vinkelhastighet efter tiden,0 s. b) Hur många varv har skivan snurrat efter,0 s? R τ 5. () Den horisontella delen av en tunn böjd stång har längden L och massan m. Mitt på stången finns en hylsa (den kan betrakta som en punktmassa) med massan m/. Stången bringas att rotera med en konstant vinkelhastighet ω kring en vertikal axel, se figur. Hylsan hålls då kvar i sitt läge mitt på stången med en spärr (ej med i figuren). Sedan släpps spärren, varvid hylsan rör sig utåt längs den roterande stången. Bestäm stångens vinkelhastighet i det ögonblick då hylsan befinner sig längst ut på stången, uttryckt i ω enbart. Friktionen är försumbar. Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren! ()

57 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Konstant vinkelhastighet: θ rad/s Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Fa & Massa: m,0 kg T a syftar på formel, respektive tabell i formelsamlingen Fysika. Hylsfart: ṙ 0,600 m/s Relativistisk kvot Storleken på sidokraften på hylsan, N, samt vilken av sidorna Kinetisk energi: K b E 0 som är i kontakt med hylsan. Polära koordinater med origo i armens mitt: Kvoten mellan den klassiska och den relativistiska farten v k /v r uttryckt i b samt kvoten då b,0 respektive b 0,0. a θ r θ + ṙ θ ṙ θ. (.) Friläggning av hylsan från ovan: Viloenergin ges av A B NII: F θ m a θ : E 0 mc K b E 0 b mc. (.) Den klassiska farten ges av den klassiska kinetiska energin: K mv (.) k / b mc v k c N r θ (.) ^ N m a θ ^ mṙ θ b. (.),0 0,600 Den relativistiska farten ges av den relativistiska kinetiska energin: 0, N. (.) K mc v r /c K Sidokraften på hylsan: N 0 N. Det är sidan A som är i mc + kontakt med hylsan. v r /c ( K ) Skivacceleration med hål mc + v r /c Bromsmoment: τ 0,0050 N m ( v r c + K ) Initial vinkelhastighet: ω rad/s (.) c ( + b) Tid: t,0 s. (.) mc Ytdensitet: σ 75,5 kg/m Kvoten mellan (.) och (.) blir Skivradie: R 0,095 m v k c Hålsida: a 0, m b v r c ( + b) b. (.) a ( + b) a) Skivans vinkelhastighet, ω, efter tiden t. R τ Detta betyder att b) Antal varv, n, skivan snurrat efter tiden t. v k v k ω v r, och a) b,0 v r, (.5) b0,0 a) Kvoten mellan den klassiska och den relativistiska farten Masströghetsmomentet kring rotationsaxeln för den homogena cirkeln (Tf-): v k /v r b. (+b) I c m c R / σa c R / σπr R / (.) b) Kvoten blir v k /v r, då b,0. och för den utskurna rektangeln (Tf-): c) Kvoten blir v k /v r, då b 0,0. I r m r (a +a )/ m r a /6 σa r a /6 σa a /6. (.) Skivans masströghetsmoment blir då Kommentar: Notera att då den kinetiska energin K 0 % av viloenergin E 0 mc så blir felet ca % om man räknar klassiskt. Om man sätter b 0,0 blir felet, %. Notera även att då b så är K E 0 v k c > c vilket är omöjligt. Gammaenergi: Massa: Pulsfrekvens: Askaktivitet p E γ 0,66 MeV m 0,07 kg f,96 pulser/s Askans aktivitet per kg, a. Ur diagrammet utläses känsligheten vid energin E γ 0,66 MeV till k 5 %. Ur sönderfallsschemat utläses delningsförhållandet, D 85, %. Den totala γ-aktiviteten är A γ f /k, (.) och den totala aktiviteten är A A γ /D. (.) Aktiviteten per kg blir med (.) och (.): a A m f D k m,96, kbq/kg. (.) 0,85 0,05 0,07 Askaktiviteten är ca kbq/kg Hylsarm p I cm I c I r (.,.) σ(πr / a /6) 75,5(π0,095 / 0, /6) 0,007 8 kg m (.) Impulsmomentlagen, τ dt L L : τ t L L, (.) med masströghetsmomentet för en stel kropp L I cm ω, L I cm ω, (.5) ger τ t I cm (ω ω ) ω ω τ t (.) τ t ω I cm σ(πr / a /6) 0,0050,0 0, rad/s. (.6) 75,5(π0,095 / 0, /6) b) Momentet och masströghetsmomentet är konstanta, vilket betyder att vinkelaccelerationen är konstant genom momentekvationen τ Iα: (.) α τ/i cm 0,0050/0, ,60 rad/s, (.7) med konstant vinkelacceleration: θ ω t + α t /,0 0,60,0 / 9, rad,8 varv. (.8) a) Skivans vinkelhastighet efter,0 s är 0 rad/s. b) Skivan snurrar 5 varv. Senast uppdaterad: 5 maj 06 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Roterande ram Initial vinkelhastighet: ω Stånglängd: L Stångmassa: m Hylsmassa: m h m/ Initialt hylsavstånd: r L/ Slutligt hylsavstånd: r L Stångens vinkelhastighet, ω då hylsan befinner sig längst ut. Initialt rörelemängdsmoment: L I ω, (5.) och slutligt: L I ω. (5.) Inga yttre kraftmoment rörelemängdsmomentet bevaras: (5.,5.) I L L I ω I ω ω ω. (5.) I För stången är masströghetsmomentet (Tf-) I s m L / (5.) och för hylsan (punktmassa) på avståndet r från rotationsaxeln: I h m h r. (5.5) Totala masströghetsmomentet för stången och hylsan på avståndet r från rotationsaxeln: (5.,5.5) I I s + I h ml / + m h r. (5.6) (5.6) i (5.) för givna värden, r L/, r L och m h m/: ω ω I ω ml / + m h r ω ml / + (m/) (L/) I ml / + m h r ml / + (m/) L ω ml (/ + (/) (/) ) ml 9 ω. (5.7) (/ + /) 8 Skivans vinkelhastighet blir 9 8ω 0,679ω då hylsan är längst ut på stången. Senast uppdaterad: 5 maj 06 () c Erik Elfgren

58 Teknikvetenskap och matematik Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Tillägg till Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Fysika samt Errata Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Mitt LTU, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) En elektron startar från vila och accelereras av ett elektriskt fält. a) (,5 p) Beräkna hur mycket energi som måste tillföras elektronen för att dess fart ska bli 0,95c. Uttryck svaret i ev. b) (0,5 p) Är detta en relativistisk fart? Motivera genom att resonera kring energin.. () En kärnkraftstekniker som väger 85 kg råkar vid ett tekniskt fel inandas damm med ett innehåll av, mg Pu-9. Plutoniumet kan antas stanna i kroppen under exponeringstiden timmar. a) ( p) Beräkna den frigjorda energin vid sönderfallet av en Pu-9-atom i MeV. b) ( p) Beräkna aktiviteten i dammet från Pu-9. c) ( p) Beräkna absorberad dos i gray (Gy) och ekvivalent dos i Sievert (Sv) från Pu-9 i dammet. Antag att all strålning från dammet absorberas i kroppen under exponeringstiden. 58. ( p) Ett flygplan landar med hastigheten 5 km/h på ett hangarfartyg. Planets acceleration beror på lägeskoordinaten s enligt uttrycket a (a 0 +c s), där konstanten a 0 5 m/s, och konstanten c 0,0 s (där s är enheten, per sekund i kvadrat). a) (,5 p) Beräkna bromssträckan, dvs den sträcka planet färdats tills dess det står still. b) (0,5 p) Vad blir den maximala retardationen? (Retardationen beloppet av den negativa accelerationen). ()

59 . () Satelliten i figuren befinner sig i vakuum, har massan 5 kg och masströghetsmomentet I z 0,9 kg m, solpanelerna (A, B, C och D) ej medräknade. Varje solpanel har massan 9 kg och kan betraktas som en tunn skiva med bredden 0,0 m och längden 0,75 m. Satelliten roterar ursprungligen kring z-axeln med med vinkelhastigheten ω z 0,50 rad/s när solpanelerna är utfällda, d.v.s. vinkeln θ 90. Vad blir vinkelhastigheten när solpanelerna rests upp så att vinkeln är exakt θ 0 (dvs de är parallella med z-axeln)? Avståndet från z-axeln till solpanelernas fästen är 0,0 m. 5. () Den cirkulära skivan i figuren har radien 0,50 m och massan m s 5 kg. Skivan är inte en homogen cirkelskiva, utan har tröghetsradie k O 0,00 m, med avseende på den friktionsfria rotationsaxeln O. Rotationsaxeln går genom skivans masscentrum och rör sig därmed med skivan. På samma axel är en last med massan m L 5 kg påhängd (lasten hänger löst på axeln och roterar inte). Systemet bärs upp av en fjäder ansluten till en lina som löper runt skivans periferi, se figur. Fjädern har fjäderkonstanten k,5 kn/m. Systemet släpps från vila i ett läge där fjädern är ospänd. Linan är masslös och glider ej relativt skivan. Med mekaniska energisatsen kan man visa att skivan rör sig sträckan h (ms+ml)g nedåt innan den når k vändläget. Beräkna lastens acceleration (till storlek och riktning) i vändläget. Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren! ()

60 Teknikvetenskap och matematik Tentamen i: Fysik Antalet uppgifter: 5 Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: ) Examinator: Erik Elfgren Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Tillägg till Physics Handbook (endast under läsåret 5/6) Fysika samt Errata Appendix till kompendiet i Problemlösning ( sida) Räknedosa och ritmateriel Obs! Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 :00 Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok. Betygsskala: : 9 p :,5 5 p 5: 5,5 p (inkl. bonuspoäng) Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du använder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lösningarna så att de blir lätta att följa. Resultatet anslås: Mitt LTU, Övrigt: Tal och är modern fysik, övriga är mekaniktal.. ( p) En elektron startar från vila och accelereras av ett elektriskt fält. a) (,5 p) Beräkna hur mycket energi som måste tillföras elektronen för att dess fart ska bli 0,95c. Uttryck svaret i ev. b) (0,5 p) Är detta en relativistisk fart? Motivera genom att resonera kring energin.. () Satelliten i figuren befinner sig i vakuum, har massan 5 kg och masströghetsmomentet I z 0,9 kg m, solpanelerna (A, B, C och D) ej medräknade. Varje solpanel har massan 9 kg och kan betraktas som en tunn skiva. Satelliten roterar ursprungligen kring z-axeln med med vinkelhastigheten ω z 0,50 rad/s när solpanelerna är utfällda, d.v.s. vinkeln θ 90. Vad blir vinkelhastigheten när solpanelerna rests upp så att θ 0 (dvs de är parallella med z- axeln)? Avståndet från z-axeln till solpanelernas fästen är 0,0 m. 5. () Den cirkulära skivan i figuren har radien 0,50 m och massan m s 5 kg. Skivan är inte en homogen cirkelskiva, utan har tröghetsradie k O 0,00 m, med avseende på den friktionsfria rotationsaxeln O. Rotationsaxeln går genom skivans masscentrum och rör sig därmed med skivan. På samma axel är en last med massan m L 5 kg påhängd (lasten hänger löst på axeln och roterar inte). Systemet bärs upp av en fjäder ansluten till en lina som löper runt skivans periferi, se figur. Fjädern har fjäderkonstanten k,5 kn. Systemet släpps från vila i ett läge där fjädern är ospänd. Linan är masslös och glider ej relativt skivan. Med mekaniska energisatsen kan man visa att skivan rör sig sträckan h (ms+ml)g nedåt innan den når k vändläget. Beräkna lastens acceleration (till storlek och riktning) i vändläget. Om något är oklart, fråga den jourhavande läraren!. () En kärnkraftstekniker som väger 85 kg råkar vid ett tekniskt fel inandas damm med ett innehåll av, mg Pu-9. Plutoniumet kan antas stanna i kroppen under exponeringstiden timmar. a) ( p) Beräkna den frigjorda energin vid sönderfallet av en Pu-9-atom. b) ( p) Beräkna aktiviteten i dammet. c) ( p) Beräkna absorberad dos i gray (Gy) och ekvivalent dos i Sievert (Sv). Antag att all strålning från dammet absorberas i kroppen under exponeringstiden.. ( p) Ett flygplan landar med hastigheten 5 km/h på ett hangarfartyg. Planets acceleration beror på lägeskoordinaten s enligt uttrycket a (a 0 +c s), där konstanten a 0 5 m/s, och konstanten c 0,0 s. a) (,5 p) Beräkna bromssträckan, dvs den sträcka planet färdats tills dess det står still. b) (0,5 p) Vad blir den maximala retardationen? (Retardationen beloppet av den negativa accelerationen). () ()

61 Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder...att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står (.) betyder det att ekvation (.) sätts in efter likhetstecknet. Fa & T a syftar på formel, respektive tabell i formelsamlingen Fysika. Slutfart: Relativ energi p v 0,95 c med m e c 0, MeV från Te. b) 0,5 p a) Den tillförda energin som krävs är K, MeV. b) Elektronens fart är relativistisk eftersom den kinetiska energin, K MeV, ej är mycket mindre än viloenergin, E 0 m e c 0,5 MeV. (M Pu 9 M U 5 M He )c (9,05 6 5,0 90, ) uc 0,005 6 uc 5,5 MeV 8,08 0 J, (.) med massorna M He, M Pu 9 och M U 5 ur Tk, och uc 9,9 0 MeV ur Te och ev, J (Te). b) p Antalet Pu-atomer: N m/m Pu 9 5,5 0 8 st. (.) Aktivitetslagen: A λn ln T / m M Pu 9 ln 5,5 0 8, 0 65, , Bq, (.) där halveringstiden för Pu-9 är T /, 0 år (Tk). c) p Eftersom exponeringstiden är mycket kortare än halveringstiden så kan aktiviteten antas vara konstant under exponeringen. Den absorberade dosen: D Q A t/m 5,5, , /85,6 mgy, (.5) med ev, J (Te). Den absorberade dosen (Td-): H RBE D 0,6 0, msv. (.6) a) Frigjord energi: Q 5,5 MeV. b) Aktiviteten i dammet är 5,0 MBq. c) Absorberad dos: D, mgy, ekvivalent dos: H msv. Kommentar: Det blir också ett följdsönderfall från U-5, men dess aktivitet blir försumbar: A U λ U N U,medel, µbq A. a) Energi som krävs för att elektronens fart ska bli v. b) Är farten relativistisk? Kommentar: Den absorberade dosen kan även beräknas med D Q(N N(t))/M QN( e a) )/M,6 mgy.,5 p Kommentar: Svaret avrundas till värdesiffror ( antalet i mellansvaret M Pu M U M He ), men även 9 värdesiffror godkänns. Relativistisk kinetisk energi: K (γ )m e c v /c m ec p Skivacceleration 998 Startfart: v 0 5 km/h 87,50 m/s 0, , MeV, (.) Acceleration: a (a 0 + c s) Startacceleration: a 0 5 m/s Accelerationskonstant: c 0,0 s a) Bromssträckan, s, dvs sträckan så att v 0. b) Maximal retardation, r max. a),5 p Accelerationen är ej konstant. Allmänt gäller v dv a ds. Integration från startläge, 0, till slutläge, : Plutoniumdamm v s s Massa, arbetare: M 85 kg v dv a ds (a 0 +c s) ds [ a 0 s+c s / ] s Massa, damm av plutonium-9: m, mg 0 v0 0 0 Exponeringstid: t h All strålning från dammet absorberas. a 0 s c s / [ v / ] v v / v 0 / v 0 /. (.) v Lösning av andragradare: a) Frigjord energi för sönderfallet, Q. b) Aktiviteten i dammet, A. a 0 ± a 0 + c v 0 c) Absorberad dos, D och ekvivalent dos H. s , 87,50 c 0, 87,5 m. (.) a) p Plutonium-9 sönderfaller med α-strålning (Tk): b) 0,5 p 9 5 Pu 9 9 U + He+ (.) Maximal retardation: r eftersom masstal och laddning bevaras. Frigjord energi: max a(s ) a 0 + c s 5 + 0, 87,5 5,5 m/s. (.) Q (M Pu 9 ((M U 5 + m e ) + (M He m e )))c a) Bromssträckan: s 88 m. b) Maximal retardation: r max 5 m/s. Satellitrotation Massa, satellit: m s 5 kg Masströghetsmoment, satellit: I s 0,9 kg m Massa, panel: m p 9 kg Initial vinkelhastighet: ω 0,50 rad/s Initial vinkel: θ 0 Slutlig vinkel: θ 90 Avstånd mellan z-axeln och panelfästen: s 0,0 m Längd, panel: l 0,75 m Bredd, panel: b 0,0 m Senast uppdaterad: september 06 () c Erik Elfgren Lösningar till tentamen i Fysik (F0006T) Slutlig vinkelhastighet, ω. Vakuum τ 0 rörelsemängdsmomentet (för den stela kroppen) bevaras runt z-axeln: L L I ω I ω ω I I ω. (.) Masströghetsmoment i läge : I I s + I p I s + (I p,cm, + m p d ) 5, kg m, (.) med Steiners sats med d s + l/ 0, + 0,75/ 0,575 m och masströghetsmomentet kring en panels masscentrum (Tf-): I p,cm, m p (l + b )/,56 kg m. (.) Masströghetsmoment i läge : I I s + I p I s + (I p,cm, + m p d ) 5,97 kg m, (.) med Steiners sats med d s 0, m och masströghetsmomentet kring en upprätt panels masscentrum (Tf-): I p,cm, m p b / 0, kg m. (.5) (.) och (.) i (.): ω I ω I s + (I p,cm, + m p d ) (.,.5) I I s + (I p,cm, + m p d )ω 5 I s + ( m p (l + b )/ + m p d ) I s + ( ) ω m p b / + m p d 0,9 + ( 9(0,75 + 0, )/ + 9 0,575 ) 0,9 + ( 0,5 9 0, / + 9 0,),78 rad/s. (.6) Slutlig vinkelhastighet, ω,8 rad/s. Skivacceleration Skivradie: R 0,50 m Skivmassa: m s 5 kg Tröghetsradie: k O 0,00 m Lastmassa: m L 5 kg Fjäderkonstant: k,5 kn/m Startar från vila: v 0 m/s Fjädertöjning, start: y 0 m Förflyttning, nedåt, i vändläget: h (m s + m L )g/(k) Lastens acceleration, a, i vändläget. Friläggning, skiva+last i vändläget: T y a R m s g m L g F α Total massa: m tot m s + m L 77 kg. (5.) Fjäderkraften, då h (m s + m L )g/(k): F k y k h m tot g,7 kn (5.) eftersom fjädern töjs dubbelt så mycket som lasten rör sig nedåt. NII, F y ma y : m tot g T F m tot a (5.) T. (5.) Momentekvationen kan användas kring masscentrum: τ O I O α: T R F R (5.,5.) m tot ar m tot gr I O α. (5.) Rullning utan glidning: α a/r (5.5) med skivans masströghetsmoment I O m s ko,68 kg m (5.6) i (5.): m tot ar m tot gr (m s k O )(a/r) m tot gr a m s ko + m totr 77 9,8 0,5 5 0, ,5 8,69 m/s. (5.7) Lastens acceleration är 8,7 m/s, uppåt. Kommentar: Koordinatsystemet läggs enklast i rörelseriktningen och vi behöver vi inte lägga in x-koordinaten eftersom vi inte räknar i den riktningen. Kommentar: Höjden ner till vändläget fås ur ME: K + U g + U e + W övr K + U g + U e m tot gh ky / k(h) /. Senast uppdaterad: september 06 () c Erik Elfgren