Processteknik för bioteknik- och livsmedelsindustri

Transkript

1 Pocessteknik fö bioteknik- och livsmedelsindusti Pumpning av vätsko med komplex eologi VT Handledae: Elena Bayod Gupp 4B Zanda Bjöklund Jens Calsson Andeas Håkansson Beatice Yang

2 Sammanfattning Pojektappoten syfta till att ta fam ett vektyg fö att föutsäga tyckfallet fö pumpning av en vätska med komplex eologi, i detta fall tomatpasta. Fö att uppnå detta pesenteas föst ett geneellt avsnitt om eologi och däefte ett om tomatpasta. Guppen välje att fokusea på te modelle fö att föklaa komplex eologi, Powe-law (Ostwald de Waele), Heschel-Bulkley och Casson. Fö dessa modelle häleds sambandet mellan tyckfall och flödeshastighet. Fö att göa detta kävs en hel del föenklinga och antaganden, som pesenteas utföligt i appoten. Två expeiment utfös; i det fösta undesöks tomatpastans eologi fö att skatta de eologiska paametana fö de olika modellena, i det anda undesöks tyckfallet expeimentellt utifån flödeshastigheten. Till sist undesöks hu väl de expeimentella esultaten sammanfalle med de som föutsagts i modellen. Slutsatsen ä att öveensstämmelsen ä god mellan modell och expeiment.

3 Innehållsföteckning Sammanfattning Inledning Sammanfattning av mål och föenklinga Reologi Newtonska fluide Icke-newtonska fluide Tomatpasta Hot-beak och Cold-beak Teoetisk häledning av tyckfallsmodellen På tal om tyck Att bestämma medelhastighet som funktion av tyckfall Tempeatuföändinga i fluidet Den adiella tempeatupofilen Den longitudinella tempeatupofilen Laboationsutföande Resultat och diskussion Tohaltsbestämning Densitetsbeäkninga Viskositetsmätninga Röexpeimentet Tempeatupåvekan Diskussion king simuleingsvektygets validitet Slutsatse Källföteckning... 9 Bilaga 1. Fösöksplan Expeimentellt föfaande Riskanalys Bilaga. MATLAB-kod... 3 Gafiskt simuleingsvektyg Bilaga 3. Rådata fån tohaltsbestämning Bilaga 4. Rådata fån otameteexpeiment

4 1. Inledning Föflyttning av vätsko fån en plats till en annan inom livsmedelstekniska pocesse ä ofta en föutsättning fö en effektiv löpande poduktion. Detta kan vid fösta anblick veka vaa ett tivialt föfaande men vid handhavande av vätsko med icke-newtonsk eologi fösvåas poceduen avsevät. Pojektguppen ha däfö fått till uppgift att studea tyckfallet i en öledning vid pumpning av en vätska med komplex eologi, i detta fall cold-beak tomatpasta. Vidae ska guppen skapa ett simuleingsvektyg fö att kunna simulea och föutse detta tyckfall. Via litteatustudie av tidigae utföda expeiment med tomatpasta valdes te modelle fö att beskiva eologin av fluidet; Powe-law (Ostwald de Waele), Heschel-Bulkley samt Casson [],[3],[4], vilka ligge till gund fö den pediktionsmodell guppen ska skapa fö att simulea tyckfallet i öledningen. Dessa modelle innehålle tempeatubeoende konstante vafö en enegibalans ställts upp öve ett tväsnitt av öet fö att studea hu mycket fiktionen påveka tempeatuen och dämed eologin fö vätskan. Guppen bestämde sig på ett tidigt stadium fö att om möjligt abeta med en outspädd tomatpasta eftesom en utspädning gö fluidet me newtonskt, vilket skulle kullkasta syftet med pojektet. Olyckligtvis klaade inte tyckmätningsutustningen av att egistea det höga tyck som uppstod i den tidiga delen av öet vid pumpning av en koncentead pasta vafö en utspädning va nödvändig fö vidae studie. Fö att uppnå målet att skapa ett simuleingsvekyg ha pojektguppen inledningsvis bedivit litteatustudie, fämst av vetenskapliga atikla hämtade fån database via Lunds Univesitets bibliotek, vaefte modellen ställts upp och pogammeats i beäkningspogammet Matlab. Fö att kunna tillämpa och veifiea pogammet ska två laboativa moment utföas; ett fö att bestämma pastans eologi, och dämed konstantena till de te eologiska modellena, samt ett fö att veifiea tyckfallsmodellen öve öledningen. Som stöd åt pojektguppen ha institutionen fö livsmedelsteknologi vid Lunds Tekniska Högskola ställt en handledae till guppens föfogande som nävaa vid de veckovisa möten då guppen stämme av och planea fotskidandet av pojektet. 1.1 Sammanfattning av mål och föenklinga Mål: Att konstuea ett simuleingsvektyg fö att föutsäga tyckfall vid pumpning av en vätska med komplex eologi. Föenklinga: - Flödet ä helt laminät - Reologin av fluidet ä tidsobeoende - Fluidet ä kontinueligt - Endast öfiktion i ett akt ö modelleas. 4

5 . Reologi Reologi ä läan om mateiens defomation och flytegenskape. Man mäte stohete som exempelvis viskositet, elasticitet och flytgänse. De eologiska egenskapena baseas på flödet och defomation av mateian. Med kunskap om både eologiska egenskape och stuktu kan man föklaa såväl pocessegenskape som konsistens. Nä mateialet elle fluidet utsätts fö en defomation uppstå en skjuvspänning, τ. Detta ske då man t.ex. da en platta öve ett skikt av fluidet och då häftas fluidet vid och följe med plattan samtidigt som det häfta vid den stillastående bottenplattan. På detta sätt skjuvas fluidet och en hastighetspofil uppstå. Beoende på fluidets viskositet kävs det olika kaft fö att da plattan med en viss hastighet (se figu 1). Ju höge hastighet desto höge ä skjuvhastigheten. Vid laminä stömning kan ett samband ehållas mellan skjuvspänningen(τ) och skjuvhastigheten (du/dy), om detta samband ä linjät ä fluidet newtonskt och i annat fall icke-newtonskt. [5] Figu 1. Illusteing av skjuvningsbegeppet..1 Newtonska fluide Som sagts ovan ä newtonska fluide linjäa i sambandet mellan skjuvspänningen och skjuvhastigheten. Gase och vätsko som bete sig som vatten ä newtonska. Viskositeten ä konstant även om det ske ändinga i skjuvspänningen elle skjuvhastigheten, men inte om t.ex. tempeatu elle tyck ändas.. Icke-newtonska fluide De flesta suspensione och dispesione ä icke-newtonska. Dessa ha ingen entydig viskositet utan den föändas med skjuvhastigheten. Icke-newtonska fluide kan delas in i tidsobeoende, tidsbeoende samt viskoelastiska fluide. Viskoelastiska fluide uppvisa både viskösa och elastiska egenskape, t.ex. gele. Tidsbeoende fluide föända sig både med beabetningsgaden och med tiden den beabetas. Tidsobeoende fluide kan ytteligae delas in i Binghamplastiska och Powe-law fluide (Ostwald de Waele fluide). 5

6 Fö Binghamplastiska fluide kävs det en initalkaft fö att fluidet ska böja flyta. Powelaw fluide kan antingen bli me lättflytande elle tögflytande ju me det beabetas beoende på om det ä en pseduplastisk (n<1) elle dilatant fluid (n>1) (se figu ). Powe-law modellen [1],[4],[5] kan beskivas enligt: n du τ = K dy dä τ ä skjuvspänning, du/dy ä skjuvhastighet och dä n ä ett mått på fluidets uppföande (kallas även Powe-law-konstant), ju nämae 1 desto me likna det ett newtonsk fluidum. (1) Anda modelle som kan användas fö att beskiva icke-newtonska fluide, speciellt tomatpasta ä Casson och Heschel-Bulkley [],[3]. Viskositeten hos Cassonfluidum minska med ökande skjuvhastigheten nä initialkaften τ 0 öveskids. Nä initialkaften ha öveskidits bete sig ett Cassonfluidum som en pseudoplastisk fluid. Fö Cassonfluidum gälle [1],[6] : τ = du 0 τ + K dy () dä τ ä skjuvspänning, τ 0 ä initialkaften, du/dy ä skjuvhastighet och K ä ett konsistensindex. Ett fluidum kan också beskivas av Heschel-Bulkleymodellen [1],[6] som beskivs enligt: n du τ = τ 0 + K dy dä n ä ett mått på fluidets uppföande. Ju näme 1 n ä desto me lik ä den ett Binghamplastiskt fluidum. (3) Figu. Schematisk illustation av olika flytkuvo. 6

7 3. Tomatpasta Enligt vetenskapen om natukaftena, definieas en pasta, som en substans som bete sig som ett solitt objekt, tills en tilläckligt stak kaft elle påfestning appliceas på objektet, då böja det flöda som en vätska. [10] Pasta-lösninga bestå av små patikla i ett bakgundsfluidum. De små patiklana i suspensionen klumpa ihop sig och bilda en besvälig, stel och glansig stuktu, vilket ge pastan dess initiala solida kaaktä. Det faktum att pastans små patikla klumpa ihop sig, ä det som ge pastan dess unika egenskape. [10] 3.1 Hot-beak och Cold-beak Tomatpasta ä en tjock pasta gjod av mogna tomate, vas skal och käno avlägsnats. Beoende på hu denna pasta pocessas, kan den användas vid poduktion av allt fån tjockflytande ketchup till lättflytande tomatjuice. Det finns två type av tomatpasta; hot-beak och cold-beak, dessa kaakteiseas av sättet de tillvekas på. Nedan visas ett pocesschema som åskådliggö hu poduktionen av tomatpasta kan gå till (se figu 3). Figu 3. Exempel på pocess fö tillvekning av tomatpasta. [8] 7

8 Pocessen [8] A. Tomate lastas av fån lastbil till ett soteingsbod, dä engöing och kvalitetskontoll äge um (1). Det ä viktigt att bli av med divese oönskade objekt, såsom löv, ogäs, uttna och skadade dela, då dessa påveka den slutliga poduktens kvalitet. B. Efte soteingen, samlas de hela tomatena i en tank, fö att sedan med hjälp av en pump (), tillföas ett s.k chopping-system, dä tomatena hackas till minde bita (3). C. Däefte pocessas tomatena antingen i en hot-beak enzym-inaktiveande enhet (4) elle en cold-beakvämande enhet (5), beoende på kundens önskemål. Pocessena gå paktiskt taget ut på att mata in nyhackade tomate i en vakuumbehållae, dä syehalten sänks till ett minimum (olika beoende på hu kaftigt vakuum som finns). Fånvaon av sye föebygge oxideing av podukten, vafö fäg på podukten ä oföändad. Däefte fös podukten snabbt vidae till en vämeväxlae dä den hastigt väms upp till en bestämd tempeatu. D. Efte vämebehandlingen, fös de beabetade tomatena vidae till ett affinadei (6), dä stoa patikla (käno och skal) avskiljs. Resultatet bli en föädlad juice, som samlas i en sepaat behållae (8) och avfall (skal och käno). Avfallet vidaebehandlas fö att ta tillvaa den åtestående juicen (7). E. Både uppsamlingstanken (8) och fövaingstanken (9) (som möjliggö steil fövaing av podukt) ha till uppgift att mata evapoaton med tomatjuice konstant och kontinueligt med hjälp av en centifugalpump. Uppkoncenteingsfasen, unde evapoeingspocessen (10), möjliggö poduktion av podukte med olika koncentatione. F. Podukten genomgå avslutningsvis en UHT steiliseingsbehandling (Ulta High Tempeatue) följt av nekylning (11). G. Den slutliga podukten paketeas (1). Det s.k beak -steget ä ett väldigt viktigt steg i poduktionen av tomatpasta (steg C i pocessen ovan). Unde detta steg väms tomatena upp väldigt hastigt till en bestämd tempeatu. Hot-beak tomatpasta väms upp till ungefä 100 C, medan cold-beak tomatpasta endast väms upp till ungefä 66 C [7],[]. Hot-beak tomatpasta ha en mycket tjock konsistens, men detta på bekostad av en liten fölust i smaken. Cold-beak pasta behålle paktiskt taget alla smakämnen, men kan däemot inte tillvekas med lika hög konsistens. Skillnaden i de olika poduktenas egenskape beo på aktiviteten hos de te enzymena; polymetylesteas, polygalaktuonas och lipoxygenas. Enzymena polymetylesteas och polygalaktuonas ha som funktion att byta ne den kemiska substansen pektin. Pektin ä en natuligt föekommande föening som binde ihop cellena i tomate. Enzymet lipoxygenas spela en avgöande oll fö smaken hos podukten. [9] I hot-beak pocessen, inaktiveas de pektin-nedbytande enzymena, vilket föhinda att pektin byts ne [], vafö man kan ehålla en me viskös podukt. Även det smakelateade enzymet lipoxygenas inaktiveas unde en hot-beak pocess. 8

9 Unde en cold-beak pocess bestå samtliga ovannämda enzymaktivitete. Eftesom polymetylesteas och polygalaktuonas inte denautueas, byts pektinet i tomatena ne vilket ge en minde viskös podukt. Emelletid innebä lipoxygenas övelevnad att smaken bli ikae hos cold-beak podukte. Vadea huvudtyp kan sedan poduceas i en mängd olika konfiguatione exempelvis basead på skillnade i koncentation. Koncentationen kan då anges i måttet NTSS (Natual Tomato Soluble Solids). Tomatpasta med 5 % NTSS, innehålle 5 % tomatpodukt och 75 % vatten. Detta kan jämföas med en mogen tomat som ungefä innehålle 10 % tomatpodukte och 90 % vatten. Hot-beak tomatpasta kan inte innehålla lika hög koncentation NTSS som cold-beak tomatpasta. Hot-beak tomatpasta innehålle 1-31 % NTSS, medan cold-beak tomatpasta kan innehålla uppemot % NTSS. I Euopa används fämst koncentationsmåttet Bix som kan jämföas med NTSS, Bix ta dock hänsyn till saltinnehållet i podukten. [9] 9

10 4. Teoetisk häledning av tyckfallsmodellen Pojektuppgiften bestå i att ta fam en modell som kan föutsäga tyckfallet i ett ö dä tomatpasta pumpas. En ad paameta ä av betydelse fö tyckfallets stolek. Bland dem kan till exempel nämnas pastans sammansättning, aktuell tempeatu, vid vilken tempeatu pastan tillvekats, vilken typ av tomate som använts och flödeshastigheten i öet. Att använda alla dessa paameta explicit fö att föutsäga tyckfallet i ett ö ä vaken möjligt inom pojektets ama elle det som ä mest intessant. Det ha visats att alla paametana ovan utom flödeshastigheten inveka på fluidets eologiska egenskape [],[3], dvs. påveka paametana i de eologiska modelle som pesenteades ovan i avsnitt.. Modelleingen kan alltså delas upp i två steg. Fösta steget ä att elatea fluidets ine egenskape (sammansättning m.m.) till de eologiska paametana, anda steget att elatea eologin till tyckfallet. Med tanke på pojektuppgiftens utfomning med en given tomatpasta ä anda steget i modelleingen av stöst intesse, däav avgänsningen att baa se hu de eologiska egenskapena påveka tyckfallet. En teoetisk häledning fö hu detta samband kan se ut pesenteas nedan. 4.1 På tal om tyck Fö ett inkompessibelt fluidum som stömma i ett hoisontellt ö mellan två punkte, 1 och, kan flödet beskivas med Benouillis ekvation [4],[5] : p + k 1 1 ρv 1 = p + k ρv + I ekvationen ovan beteckna p i tycket i punkten i, vi medelhastigheten i öet i punkt i, ρ densiteten och p tyckfallet till följd av fiktion i öet. Vid konstant hastighet bli f ekvationen: p p + p <=> p = p p = 1 = f : 1 p f p f (4) (5) Fiktionen i öet beskivs av p som ä beoende av hastigheten. Teoin fö hu f fiktionstyckfallet beo av medelhastigheten ä välkänt och välundebyggd fö Newtonska fluide [3],[4]. Dämed kan man också beäkna funktionen f Newtonsk fö vilken fnewtonsk v p explicit. Sambandet bli betydligt me kompliceat fö vätsko vas eologi beskivs bätte av de olinjäa modellena pesenteade i avsnitt.. Nedan visas att det fotfaande gå att f Newton beäkna en funktion f Icke-Newtonsk v Icke p även om den kanske bli implicit angiven. Fösta steget i denna häledning ä att beäkna hastighetspofilen i en icke- Newtonsk vätska som funktion av tyckfall. Däefte kan elationen ehållas fån ett samband mellan hastighetspofil och medelhastighet. 10

11 4. Att bestämma medelhastighet som funktion av tyckfall Abetet ta sin gund i en enkel vaiant av kontinuitetsekvationen fö kaft. Betänk ett ö med adien R omslutande ett flödessegment med adien och längden L (se figu 4). Te kafte veka på det lilla öet. Fån vänste veka en kaft F 1 som kan skivas som tväsnittsaean gånge tycket föe öet. På samma sätt veka en kaft fån höge, F, som kan skivas som samma aea gånge tycket efte öet. Den vänsta kaften motvekas också av en fiktionskaft på gund av skjuvkafte, F f. Denna kan skivas som skjuvspänningen, τ, (som bö ses som ett tyck) gånge mantelaean av segmentet. En enkel kaftbalans ge då: F F Ff = 0 <=> p π p π τ π = 0 <=> p π = τ π 1 1 (6) Figu 4. Ett flödessegment med adie och längd L i ett ö med adie R. Pilana visa de kafte som veka på segmentet. Flödet antas ske fån vänste till höge. U ekvation 6 kan skjuvspänningen elateas till tyckfallet i öet, avståndet till centum och längden av öet genom: p τ = L Häledningen ovan ä på inget sätt komplett utan en föenkling av en me geneell balans. (7) De antaganden som kävs fö häledningen av ovanstående samband ä [4],[6]: Stationät och laminät flöde. Inkompessibelt fluidum. Hastigheten av fluidet vid väggen ä noll till beloppet. Den adiella och tangentiella hastigheten ä noll, flödet ske baa longitudinellt. Konstant tempeatu i volymselementet. Fluidet ä kontinueligt. De listade antagandena ä inte oimliga och kan i alla fall användas fö att fomulea en fösta modell. Att fluidet ä laminät och inkompessibelt ä mycket imligt med tanke på tomatpastans egenskape. På samma sätt antas fluidet stå stilla vid öväggen. 11

12 Genom att applicea en konstant pumpkaft kan ett fluidum fås att öa sig mycket stabilt och i enbat en iktning. Detta faktum ha baa stöe giltighet fö en viskös vätska som ha svåae att acceleeas av en kaft. Tempeatuen kan mycket väl öka med beabetningen på gund av viskös uppvämning. Denna effekt behandlas utföligae nedan men hä skall också påpekas att mycket stoa tempeatugadiente också kan ge upphov till ickelongitudinella öelse på gund av vämediffusion vafö en diskussion av ämnet ä av stot intesse. Slutligen antas tomatpasta vaa ett kontinueligt fluidum, eftesom ödimensionena, i vilket expeimentet utfös, ä mycket stöe än patikelstoleken. Unde antagandena ovan kan hastighetspofilen beäknas fö vaje modell genom lösandet av en odinä diffeentialekvation. Denna ehålles genom att kombinea ekvation 1 ovan med modellena fö skjuvspänningen som diskuteats tidigae i sektion.: n du τ = K (Powe-Law) dy n du τ = τ 0 + K (Heschel-Bulkley) dy du 0 τ = τ + K (Casson) dy Alla modellena ovan kan skivas som: τ = f du dy (8) (9) (10) (11) med en funktion f fö vaje modell. Hastighetspofilen fö den geneella modellen kan beäknas genom att lösa den odinäa diffeentialekvationen: du f dy p = L (1) Genom en blick på modellena ovan kan man också se att det gå att skiva hastighetsgadienten som en explicit funktion av skjuvspänningen vafö diffeentialekvationen kan lösas numeiskt med standadmetode. 1

13 Hastighetspofilen fö stömming i ö givet modellpaameta Hastighet (u/u max ) Powe-Law Powe-law Heschel-Bulkley Heschel-Buckley Casson Cassen Avstånd till centum (/R) Hastighet (u/u max ) PL u medel /u max = HB u medel /u max = C u medel /u max = Riktat avstånd till centum (/R) Figu 5. Exempel på geneella hastighetspofile i ett ö med innediamete 14 mm enligt de te modellena. Pofilena i figuen ha beäknats med sambanden häledda nedan. Reologiska paameta som nyttjats fö Powe-Law: n=0., K=0.77. Heschel-Bulkley: τ 0 =48 K=17 n=0.5. Casson: τ 0 =60, K=0.58. Geneead med hastpofil.m som finns bifogad i bilaga. Ekvationen kan också lösas analytiskt fö de olika modellena, vilket ä det som behandlas hänäst. Låt oss böja med en lätt omskivning. I ekvation (1) ovan används y på vänsta sidan och på höga fö att mäta samma sak, nämligen det adiella avståndet till en punkt i öet. Dessa hänge ihop med: y = R => dy = d Denna föänding gö att ekvation (1) övegå i: du p f = d L Powe-Law n du p K = d L <=> 0 u= u du = R = <=> p LK 1/ n p LK d => 1/ n = du d => p du = LK n LK p u( ) = n + 1 p LK n+ 1/ n 1/ n d <=> n+ 1/ n n+ 1/ n ( R ) (13) (14) 13

14 14 Heschel-Bulkley = = = = <=> = => = <=> = + R n u u u n n n d LK LK p du d LK LK p du d du LK LK p L p d du K 1/ 0 0 1/ 0 1/ 0 0 τ τ τ τ + = => / 0 1 1/ 0 1 ) ( n n LK L p LK L R p p LK n n u τ τ Casson <=> = => = <=> = + d K L p du d du K L p L p d du K τ τ τ ( ) = = = = = <=> R R u u d b a K d L p K du : 1 τ Detta innebä att L p a : = och 0 : τ = b Det kan visas att en pimitiv funktion till ( ) b a ä: b b a a 3/ dämed gälle: ( ) + + = <=> = = = ) ( 1 3/ 3/ 0 b ab a R b abr R a K u d b a K du R u u Dessa samband ha använts fö att beäkna hastighetspofilena i figu 5 ovan fö att visa exempel på hu de olika modellena motsvaa olika flödespofile (obsevea nomead skalning). Av speciellt intesse ä medelhastigheten i öet eftesom denna ä diekt elatead till flödet som ä en mycket viktig paamete i optimeingsabetet av en pocess. Utifån hastighetspofilen kan denna beäknas integalt (jämfö hu masscentum beäknas fö en kopp) genom: d u R d u R u V V ) ( ) ( 1 = = π π (15) (16) (17) (18) (19)

15 Denna integal existea fö de u() som pesenteats eftesom de alla ä potensekvatione j av av fomen: u( ) = A( B + C j ) med konstante A, B och C j. j Nede delen av figu 5 ovan visa fö det valda exemplet hu stoa medelhastighetena ä i föhållande till maxhastighetena fö de olika modellena. Om u() fån de olika eologiska modellena nu sätts in i (19) ehålls en implicit f Newton fomuleing av v Icke p. Med anda od: med numeiska metode (ekvationslösning) kan funktionen ovan användas som ett simuleingsvektyg fö en given medelhastighet (elle ett givet flöde) beäkna det koespondeande tyckfallet. (Ett MATLAB-skipt som gö detta finns bifogat i två vesione i bilaga ; SimulTyckfall.m, och Tyck_gui.m) 5. Tempeatuföändinga i fluidet Häledningen i avsnitt 4. bygge på ett antal föenklinga. Av dessa kan säskilt antagandet om konstant tempeatu i ett volymssegment ifågasättas eftesom fluidet i fåga ä väldigt visköst. Nä en viskös vätska pumpas genom ett ö komme den nämligen att vämas upp till följd av skjuvspänningskafte i fluidet. Det ä imligt att anta att de eologiska egenskapena hos ett fluidum också kan påvekas av denna tempeatupåvekan vilket ä anledningen till att antagandet om konstant tempeatu måste göas fö att få någolunda enkla beäkninga. Detta avsnitt syfta däfö till att undesöka hu stoa tempeatuskillnadena i öet kan tänkas vaa på gund av fiktionsuppvämning. Detta gös genom att beäkna tempeatupofilena. Två olika tempeatupofile i övolymen kan tänkas vaa av intesse: 1) Radiell tempeatupofil. Hastigheten på flödet ä som stöst i mitten av öet och avta mot väggen dä den kan antas vaa noll till beloppet. Detta innebä också att tempeatuen föändas adiellt. ) Longitudinell tempeatupofil. Allt eftesom flödet ö sig genom öet kan tempeatuen öka på gund av en ackumulation av fiktionsenegi. Denna kan bli högst betydlig om öet ä långt. 15

16 5.1 Den adiella tempeatupofilen Beakta ett volymselement av öet med bedd z som utgö ett annulät skikt (skuggat omåde i figu 6) av tjocklek centeat king adien. Figu 6. Illustation av ett annulät skikt i öet. En enegibalans öve elementet kan geneellt uttyckas: In+Pod = Ut+Ack (0) I allmänhet komme ett skikt länge ut fån centum att vaa vamae än ett nämae centum eftesom hastigheten ä högst i centum. Ett uttyck fö den enegi som flöda in i volymen unde en liten tid t kan däfö skivas: In = α T / A + + / t (1) I ekvationen ovan betecknas med Tx tempeatuskillnaden mellan de skikt som ha sin skiljelinje i = x och Ax gänsytan mellan dem. Konstanten α beteckna vämediffusiviteten [W/(m C)]. På samma sätt kan Ut-temen skivas: Ut = α T / A Poduktionen av enegi i ett masselement till följd av viskös uppvämning [11] kan ses som två skilda teme, en esulteande fån fiktion mot det ine skiktet och den anda mot det ytte skiktet: Pod = τ + u + / A + / + τ / u / A / / t / () (3) Fö våa behov ä det fullt tilläckligt med att undesöka ett tidsstationät tillstånd vafö ackumulationen av enegi i systemet antas obefintlig. 16

17 Det famgå u ovanstående ekvatione att skjuvspänningen (τ) såväl som hastighetspofilen u() måste vaa kända fö att en lösning skall kunna beäknas. Fö denna appoximativa beäkning används Powe-Laws modell fö att beskiva skjuvspänningen. Fån tidigae (avsnitt 4.) vet vi att detta också medfö att hastighetspofilen kan beäknas. Som tidigae nämnts ä det inte oimligt att modellens paameta ändas med tempeatu men som ett fösta antagande ansätts de till konstanta. Ett stöe poblem utgö vämediffusiviteten α. Denna kan visseligen uppskattas genom koelatione mellan olika enhetslösa tal men eftesom baa ett stationät tillstånd ä av intesse och ej dynamiken kan man se att dess väde (inom imliga gänse) inte ha någon betydelse fö esultatet (väden mellan och 10 7 ge ingen pincipiell skillnad i pofilen, detta inses genom att testa olika väden i sciptet, vischeat.m). En sammanslagning av ekvationena lede till en disketisead diffeentialekvation: α T + / A + / α T / A / + τ + / u+ / A + / + τ / u / A / = 0 (4) Detta poblem löses med MATLAB genom ett iteativt föfaande. Som initialvillko antas att öväggens tempeatu ä konstant lika med yttetempeatuen (Diichletvillko). Med imliga paameta fån litteatuen [1] kan den adiella tempeatupofilen fö olika utgångstempeatue beäknas. I samtliga fall ä tempeatuökningen högst fösumba. Ett exempel på en pofil kan ses i figu 7 nedan Tempeatu ( C) Avstånd til öets centum (m) x 10-3 Figu 7. Radiell tempeatupofil i ett ö med inneadien 7 mm och ett tyckfall på ba öve te mete. Uspungstempeatu 0 C. Geneead med vischeat.m som finns bifogad i bilaga. 17

18 Föutom att pofilen i figu 7 visa att den viskösa uppvämningen i adiell led ä maginell kan man också se att den ha ett imligt utseende botsett fån att tempeatuen i centum ä antagen till 0 C fö att föenkla beäkningana. Notea att denna föenkling inte påveka stoleken av tempeatuhöjningen säskilt mycket eftesom tempeatuskillnadena ä små, vi vet också att tempeatuen skall minska in mot centum på gund av hastighetspofilens utseende. I centum ä hastigheten högst vamed viskositeten ä lite läge vilket ge en minde tempeatuökning. Nämast öväggen ä tempeatuen också läge på gund av initialvillkoet att väggen kyls så att den alltid hålle samma tempeatu. Detta fungea också som en motiveing av Diichletvillkoet. Eftesom tempeatuökningen ä högst modest ä det imligt att anta att den inte påveka öets tempeatu. Antagandet om konstanta eologiska paameta kan också undebyggas fån figu 7, den obetydliga tempeatuökningen kan knappast ge någon makant föänding i paametana. 5. Den longitudinella tempeatupofilen Även om fluidet inte väms upp i någon stöe utstäckning i adiell led ä det fotfaande möjligt att uppvämningen i longitudinell led ä betydelsefull. Att i detalj undesöka denna aspekt kan vaa intessant fö en me gundlig utedning. Istället fö att titta på detta teoetiskt komme fågan diskuteas utifån esultaten. 18

19 6. Laboationsutföande Vi ämnade att studea tyckfallet i en öledning vid pumpning av tomatpasta vid olika laminäa flöden. En fösöksplan utabetades (se bilaga 1) och med vissa koigeinga och tillägg genomfödes den expeimentella delen av pojektet. Denna paktiska del kan i stot delas in i fya dela; I. Tohaltsbestämning II. Densitetsbestämning av tomatpasta. III. Mätning av skjuvhastigheten och beäkning av olika modellpaameta. IV. Expeimentell bestämning av tyckfall vid olika flödeshastighete. Fösöksuppställningen som fanns till våt föfogande fö delexpeiment 4 åskådliggös schematiskt i figu 8. Figu 8. Fösöksuppställningen fö öexpeimentet. I. Önskan att genomföa expeimentet med outspädd tomatpasta visade sig inte vaa genomföbat, vafö en utspädd vaiant av podukten tilleddes. I och med detta blev även en tohaltsbestämning av podukten aktuellt. Fö att uppskatta tohalten i den koncenteade tomatpastan och den utspädda tomatpastan vägdes pove av pastan innan och efte tokning i en ugn (70 C) med undetyck (skapad med vakuum). Fö dessa esultat antas att viktminskningen enbat beo på vattenmängden i povet. II. Fö att uppskatta densiteten gjodes mätninga både på den koncenteade tomatpastan och på den utspädda tomatpastan. Beäkning av densiteten (se avsnitt 7) gjodes med hjälp av uppmätning av volym och massa. 19

20 III. Uppskattning av modellpaametana (n och K samt τ 0 ) gjodes genom att mäta skjuvhastighetena vid olika skjuvspänninga. Skjuvhastighetena mättes med en otationsviskosimete med en så kallad vane-geometi (popelleliknande otametehuvud). Enligt fösöksplanen önskade vi vaiea skjuvhastigheten mellan s -1 [13], dock va detta inte paktiskt genomföbat på ett pålitligt sätt. Skjuvhastigheten va en paamete som va svå fö appaatuen att kontollea på ett stabilt sätt, då det inställda vädet fluktueade. Genom en ad fösök bestämdes att skjuvspänningen skulle vaieas mellan Pa. Vidae visade sig tempeatuen vaa en paamete som va väldigt lätt att undesöka. Mätesultatets beoende av tempeatuen, studeades i ett intevall mellan 18-4 C (ungefäliga umstempeatue). Utifån detta expeimentella abete och olika modellenas fomle (avsnitt ) kunde paametana beäknas. Som mått på avvikelsen mellan modell och mätpunkte minimeas esidualkvadatsumman (SSR), som definieas genom: SSR = I i= 1 ( τ modellead τ uppmätt ) Fö Powe-law-modellen samt Casson-modellen kunde paametana beäknas med vanliga linjäiseinga av espektive samband. Den sista modellen ha te paameta vafö den sista, flytgänsen, bestäms genom att testa olika väden fö att se vilket som ge minst esidualkvadatsumma. (5) IV. Genom att ända vavtalet på pumpen ehölls olika flöden i systemet (ungefä ml/s) och dämed också olika tyckfall öve den intessanta ösektionen. Mätningana genomfödes vid olika pumphastighete. Det va egentligen tänk att ungefä fem mätpunkte skulle göas, men p.g.a ett havei av fösöksuppställningen kunde endast te mätninga göas. Ytteligae komplikatione uppstod unde fösökets gång. De digitala tyckmätana fungeade inte, vafö avläsningen av tyckfallet istället fick göas analogt. Avläsning av analoga väden, medfö tyvä stöe osäkehet och minde pecision i esultatet. Sammanhöande väden på medelhastigheten och tyckfallet mättes. Medelhastigheten mäts indiekt genom att mäta flödet. Flödet kan enkelt bestämmas genom att mäta hu mycket tomatpasta som komme ut unde en känd tidspeiod. Fö att kontollea att tempeatuen på tomatpastan inte ändas nämnvät fån umstempeatuen, p.g.a fiktion i öet, uppmättes tomatpastans tempeatu i böjan och slutet av vaje köning. 0

21 7. Resultat och diskussion 7.1 Tohaltsbestämning Resultaten fån tohaltsbestämningen pesenteas nedan i tabell 1. Utifån tohalten i den uspungliga tomatpastan kan utspädningen beäknas genom att beäkna hu mycket vattenhalten föändats genom spädning: Tabell 1. Resultat fån tohaltsbestämning innan och efte utspädningen Typ Pov-ID Tohalt [%] Koncentead 1 37,3 Koncentead 38,3 Utspädd 3,3 Utspädd 4,3 Utifån tabell 1 kan vi se att pastan ha genomgått en utspädning på = % (w/w) Infomation om tomatinnehållet i pastan angavs till 36 Bix av tillvekaen, vilket stämme öveens med våa tohaltsmätninga. 7. Densitetsbeäkninga Metoden fö densitetsbedömning pesenteas i avsnitt 6. Mätdata och esultat av densitetsbeäkninga följe nedan: Utspädd M utspädd+mätglas = g V utspädd = 0 ml m mätglas = 18,01 g ρ = m V utspädd utspädd 40,06g 18,01g = 0ml = 1,1 kg / l Koncentead m konc+mätglas = g V konc = 0 ml m mätglas = 18,01 g ρ = m V konc konc 41,44g 18,01g = 0ml = 1,kg / l 1

22 7.3 Viskositetsmätninga Pimädata fån otameteexpeimenten åtefinnes i bilaga 4. Dessa datapunkte används fö att skatta paametana i de te modellena. Denna optimeing genomfös med hjälp av en MATLAB-funktion, hittataunoll.m (se bilaga ). Resultaten av detta abete kan ses i tabellena till 4 nedan. Tabell. Resultat fån anpassning av otametedata till Powe-Law-modellen. Powe-Law Temp K n SSR 18 C 370,84 0, C 308,95 0, C 337,48 0, C 336,90 0, C 86,186 0, C 77,863 0, C 77,85 0, C 76,349 0, Konc. Utspädd Tabell 3. Resultat fån anpassning av otametedata till Heschel-Bulkley-modellen. Konc. Utspädd Heschel-Bulkley Temp K n τ 0 SSR 18 C 370,84 0, C 308,95 0, C 337,48 0, C 336,90 0, C 37,357 0, C 1,433 0, C 1,509 0, C 0,68 0, Tabell 4. Resultat fån anpassning av otametedata till Casson-modellen. Casson Temp K τ 0 SSR 18 C 1, , e C , e+005 C e C e C e C e+004 C e C e+004 Konc. Utspädd

23 Som synes, ha tempeatuen ingen signifikant påvekan på paameteskattningana i de te olika modellena, inom detta tempeatuintevall. Det faktum att paameteskattningana ä synbat tempeatuobeoende, tillsammans med esultatet fån enegibalansen fån avsnitt 5, medfö att vi i simuleingsvektyget fö beäkning av tyckfall kan botse fån tempeatuvaiatione. Fån tabell 3 se man att flytgänsen fö den koncenteade tomatpastan skattades till noll vilket gö att Heschel-Bulkley sammanfalle med Powe-law, detta kan tyckas vaa lite mäkligt men beo säkeligen på att flytgänsen skattas med en disket metod med steg om två pascal fö Heschel-Bulkley-modellen. En annan konstighet ä att flytgänsen ä stöe fö den utspädda pastan. Föklaingen till detta ha undflytt pojektguppen. Fö att illustea anpassningen av modellena till mätdata åskådliggös flytkuvona fö espektive modell i figu 9. I figuen syns en kaftig avvikning unt skjuvhastighet 50 s -1. Denna avvikelse påveka i sin tu paameteskattningana och snedvide esultatet. Däfö valdes att göa en anpassning av modellena till mätdatan, dä de avvikande punktena plockats bot. I tabell 5 åtefinnes esultatet fån denna anpassning och studeas SSR-väden fö de olika modellena kan man se att data passa mycket bätte till modellena, famföallt Casson. Däefte ä en anpassning till Heschel-Bulkleymodellen bäst, medan Powe Law anslute sämst Avvikande punkt Flytkuva Obsevatione Powe-law HB Casson 50 Skjuvspänning Skjuvhastighet Figu 9. Exempel på anpassning av modelle (4 C utspädd tomatpasta). Notea säskilt att Casson inte ä helt felaktig samt att man mycket väl kan tänka sig att Casson ha läge SSR om man utelämna den avvikande punkten. 3

24 Tabell 5. Resultaten fån hittataunoll.m dä den avvikande punkten tagits bot. Casson PL HB Temp K τ 0 SSR K n SSR K n τ 0 SSR 18 C e e e C e e e+003 C e e e C e e e+003 Utspädd Anmäkningsvät i tabell 5 ä att K och n fö Powe-Law öveensstämme mycket ba med väden som åtefinns i befintlig litteatu på omådet (K=70 och n=0.). [1] 350 Flytkuva Skjuvspänning Obsevatione Powe-law HB Casson Skjuvhastighet Figu 10. Exempel på anpassning av modelle (4 C utspädd tomatpasta) dä de avvikande punktena tagits bot. Notea att Casson nu fungea bäst efte koektionen. Som tidigae påpekats ehölls en avvikande punkt, vilket famgå i figu 9. Det som inte famgå ä att detta inte ä en punkt utan te övelappade. Fån va och en av våa te eplikat finns en sådan punkt. Detta gälle inte baa fö exemplet i figu 9 utan vid alla tempeatue (se bilaga 4). Denna avvikelse uppkomme dock inte vid samma skjuvspänning elle skjuvhastighet vid alla tempeatue. Regelbundenheten i avvikelsen gö att den inte kan anses vaa slumpmässig. I bästa fall beo den på något poblem just i dessa punkte men toligae ä kanske att den åtespegla ett systematiskt fel i mätningana. Det ä av stot intesse att undesöka vafö det hä hände men det ligge utanfö pojektets mål och kanske famföallt tidsamen. Istället fös hä en kot diskussion om tänkbaa osake. Unde expeimentet gjodes vissa iakttagelse som kan fungea som gund fö diskussionen. Vid de högsta skjuvspänningana noteades att pastan tendeade att inna öve koppen. Detta kan ha te föklainga. Antingen att densiteten vaiea betydande med kompession vilket ä föga toligt eftesom en sto del av fluidet ä vatten. Den anda föklaingen ä att luftficko bildas i povet till följd av otametehuvudets utfomning med blad. Den valda geometin medföde att den stösta delen av koppen va fylld med 4

25 pov och endast en mycket liten andel av volymen utgjodes av otametehuvudet (jämfö med en visp). Den tedje föklaingen ä att tomatpastan uppfö sig pseudoplastiskt och klätta uppfö otameteaxeln. I avgänsningen av poblemet antas att fluidets eologi ä tidsobeoende. Detta kan givetvis ifågasättas säskilt nä det beabetas med väldigt sto kaft unde en lång tid. I expeimentet ovan kan detta kontolleas genom att titta på eplikaten. Eftesom ingen signifikant skillnad finns mellan de olika eplikaten kan tidsobeoendet antas gällande fö fluidet i fåga. 7.4 Röexpeimentet Utifån otametedata ha vi skapat ett simuleingsvektyg som kan föutsäga tyckfall i ett akt ö unde laminäa betingelse. Fö att testa detta vektyg välje vi att fö en tempeatu och en utspädningshalt veifiea esultaten genom ett expeiment i labbskala. Resultaten pesenteas i tabell 6 och tyckfallens beoende av medelhastigheten i öet illusteas i figu 11: Tabell 6. Resultat fån ö expeimentet. Fö beäkning av flödeshastigheten används densiteten fö den utspädda lösningen famtagen i avsnitt 7.. Fekvens [Hz] Temp. skillnad Massflöde [g/s] Flödeshast [ml/s] Medelhast [m/s] Tyck A [ba] Tyck B [ba] Tyckskillnad [ba] [ C] 55, , ,410 3,35 1,0,15 50, , ,374 3,30 1,0, , ,86 3,5 1,0,05.18 Mätväden fån öexpeimentet Tyckskillnad [ba] Medelhastighet [m/s] Figu 11. Det expeimentella esultatet av hu tyckskillnaden beo på medelhastigheten ehållet fån öexpeimetet. Som synes ä antalet mätpunkte väldigt få. I fösöksplanen (se bilaga 1) bestämdes att minst fem men toligen betydligt fle skulle genomföas eftesom maginalkostnaden i tid beäknades vaa liten. Nä anläggningen väl statats ä det lätt och smidigt att göa nya 5

26 mätninga. Det va också tänkt att mätningana av tyck skulle göas digitalt och kontinueligt med hjälp av datoövevakning. Tyvä genomfödes inte expeimentet i enlighet med planeingen. En av de digitala tyckmätana fungeade inte och guppen blev nödd att använda analoga mätae som substitut. Att nyttja analoga mätanodninga innebä olyckligtvis att man ehålle mätdata med läge noggannhet. Inte nog med detta, visade sig dessutom att en av tyckmätana konstant visade samma väde då expeimentet utfödes på tomatpastan. Då anläggningen diskades med vatten fanns dock inte detta poblem, vilket tyde på att tyckmätana fömodligen nådde sin maximala kapacitet med tomatpasta i systemet. Väe än tyckmätana ä att hela anläggningen haveeade efte te mätninga, vilket föklaa det låga antalet mätninga. Efte mycket vånda och lite möda beslutades i samåd med handledaen att avsluta expeimentet. Te punkte ä väldigt få, med te punkte skulle exempelvis endast ett andagadspolynom kunna anpassas exakt till data. 7.5 Tempeatupåvekan Det ha edan tidigae diskuteats att den adiella tempeatuskillnaden ä högst fösumba (se avsnitt 5). Fån tempeatumätningana i tabell 7 kan man nu också skatta den longitudinella tempeatuföändingen. Fösöken som utfödes visa på en uppvämning av fluidet med tiden (unde C vamae efte sex minutes pumpning i systemet). Detta ge med en hastighet på cika 0.5 m/s (se tabell 7) en gov uppskattning på uppvämningen öve te mete som < 0.1 C. Det ä däfö inte toligt att tempeatuföändinga vaken adiella elle longitudinella påveka eologin i det te mete långa system som undesöks. 7.6 Diskussion king simuleingsvektygets validitet 4.5 Simuleingsesultat Tyckfall [ba] PL HB C Exp Medelhastighet [m/s] Figu 1. Jämföelse mellan tyckfall simuleade med olika eologiska modelle vid 0 C och expeimentellt uppmätta tyckfall. 6

27 Figu 1 ovan visa en god anpassning av expeimentell data till Powe-Laws modell och en minde god till de två öviga. Man kunde däfö da den föhastade slutsatsen att denna eologiska modell ä den bästa. Notea dock att antalet mätpunkte ä väldigt få samt att vissa poblem med tyckmätningen uppstod. Det ä lite fövånande att Powe-Law som anslute sämst i otameteexpeimentet nu fungea bäst och att Casson uppfö sig lite konstigt vid låga hastighete. Cassonmodellen föutsäge ett tyckfall på cika.5 ba även nä fluidet stå helt stilla. Vi tolka detta som att Cassonmodellen föutsäge ett kitiskt tyck som måste öveskidas fö att fluidet övehuvudtaget ska böja stömma i öet. Heschel-Bulkleymodellen ge ett ooväckande utseende på pediktionskuvan, toligen av numeiska skäl. Eftesom data anslute till Powe-Law med ba noggannhet välje vi att botse fån Heschel-Bulkleys modell. Utifån denna diskussion välje vi att använda Powe-Laws modell fö att beäkna tyckfall. Två olika scipt bifogas i bilaga, SimulTyckfall.m och Tyck_gui.m dä den sista ä en gafisk metod. Den gafiska metoden ge inte baa det pedikteade tyckfallet utan också en känslighetsanalys. Den vänsta bilden (figu 13) visa hu tyckfallet beo av medelhastigheten i öet och den höga visa hu tyckfallet beo av vädet på de eologiska paametana. På så sätt kan man se hu små föändinga i paametana elle mätfel påveka tyckfallet. Figu 13. Ett exempel på hu Tyck_gui.m fungea. Reologiska paameta samt dimensionena på öet och flödet ä invaiable. Tyckfall och diagam som illustea känslighet itas också upp. 7

28 8. Slutsatse Våt mål va att unde en ad föenklande antaganden och avgänsninga ta fam ett simuleingsvektyg som kan föutsäga tyckfallet i en öledning. Vi ha valt att genomföa detta genom att teoetiskt häleda hu tyckfallet beo av de eologiska paametana vid olika eologiska modelle och flödet i öet. Däefte ha modellen testats mot expeimentellt uppmätta väden. Speciellt undesöktes tomatpasta. Föst gjodes eologiska undesökninga med en otamete vavid de olika modellena anpassades till datapunktena. Slutsatsen dä va att Cassons modell anslute bäst hä men även Heschel-Bulkley och Powe-Law anslute ba. Säskilt kan man se att Powe-Law anslute väl vid låga skjuvhastighete. I det anda expeimentet undesöktes hu tyckfallet elateas till flöde fö vätskan vas eologiska uppföande nu ä känd. Resultaten fån expeimentet och modellen jämfös och visa sig ha en god öveensstämmelse då Powe-Laws modell används. Det kan veka mäkligt att olika modelle fungea bäst i de olika expeimenten. Anledningen ä att fösta expeimentet inte kan tolkas som att Cassonmodellen alltid föklaa tomatpasta bäst. Tomatpastan ä komplex och bete sig undeligt vilket ä anledningen till att den ä intessant att undesöka. En annan fakto som komme in ä att en ad föenklinga ha gjots vilket påveka esultatet. Exempelvis ha öböjen i öexpeimentet inte tagits hänsyn till. Det ä mycket möjligt att det existea bätte modelle fö att beskiva fluidet men den noggannhet som ehållits ä dock ba med tanke på tillgänglig tid och nivån på appoten. I öexpeimentet undesöktes endast en vätska, dvs. en utspädning med ett paameteväde. Detta beo på tidsbegänsninga, men tanken ä att man genom att använda det gafiska simuleingsvektyget utifån en given vätska med anda eologiska paameta ska kunna pediktea tyckfallet. Det skulle kävas fotsatta studie i ämnet fö att vidae föbätta esultatet och fö att göa esultaten me pålitliga. Kanske viktigast ä undesökninga hu tyckfallet i öböjen kan modelleas. Det bö påpekas att detta inte ä helt lätt med tanke på att standadfomle och standaddata inte kan användas. Det skulle också vaa intessant att göa eologiska teste fö fle utspädninga så att utspädningshastighet och tyckfall kan elateas vilket kan vaa av intesse i ett optimeingsföfaande. 8

29 9. Källföteckning [1] Doan, Pauline, M., Biopocess Engineeing Pinciples, Academic Pess, 1997 [] Sánchez, M.C., Valencia C., Gallegos, C., Ciuelos A., Latoe, A., Influence of pocessing on the heological popeties of tomato paste, Jounal of the Science of Food and Agicultue, volym 8, numme 9, s , 00 [3] Valencia, C., Sánchez, M.C., Ciuelos, A., Gallegos, C., Influence of Tomato Paste on the Linea Viscoelasticity of Tomato Ketchup, Food Science and Technology Intenational, volym 10, numme, s , 004 [4] McCabe, W. L., Smith, J. C., Haiot, P., Unit Opeations of Chemical Engineeing, McGaw-Hill, 00 [5] Föeläsningskompendium i Tanspotpocesse, Institutionen fö kemiteknik LTH, 003/004 [6] Steffe, James F., Rheological methods in food pocess engineeing, Feeman Pess, 199 [7] [8] [9] [10] [11] Ooiwa, Akia, Kuase, Kimio, Heat effect and tempeatue ise fo cicula tube lamina flow, i Rheology vol III fom VIII intenationall congess of heology Naples edited by Astaita, G., Naucci, G., Nicolas, L., 1980 [1] Bolmstedt, Ulf, Rheology and Viscosity, New Food, volym 3, numme, 000 [13]

30 Bilaga 1. Fösöksplan Syfte: Vi ämna studea tyckfallet i en öledning till följd av öfiktion vid pumpning av tomatpasta vid olika laminäa flöden. Genom att göa enkla mätninga med en viskosimete kan konstantena i te olika valda modelle (Powe-law, Heschel-Bulkley och Casson), fö icke-newtonska fluide bestämmas. Däifån kan tyckfall öve en öledning både beäknas och mätas expeimentellt vaigenom modellena kan jämföas med vaanda. De valda modellena, häledninga och MATLAB-kod som behövs fö beäkninga och simuleinga finns i bilaga. (Innehållet i den bilaga som fanns till fösöksplanen va i stot sett en tidig vesion avsnitt 4). Nedanstående figu åskådliggö govt expeimentets upplägg: 30

31 Expeimentellt föfaande 1. Densitetsmätning av tomatpasta ut: våg, mätglas Mätglas vägs, däefte fylls denna med känd volym av tomatpasta och vägs åteigen. Densiteten ehålles som massan genom volymen.. Mätning av längd och diamete på öet ut: måttband elle motsvaande Fösöksuppställningen innehålle en 180 öböj, som fösummas, då ölängden ä mycket stöe än diameten. Vi ä medvetna om att detta ä en gov föenkling eftesom engångsmotståndskoefficienten (ζ) fö icke-newtonska fluide vid laminä stömning inte ä konstant, utan en funktion av Reynoldstalet som i sin tu beo av flödeshastigheten, en paamete i vå modell [6] Med den tid som finns till våt föfogande anse vi dock att en undesökning av engångsmotståndet ligge utanfö pojektets avgänsninga. 3. Mätning av skjuvspänning ut: otationsviskomete, vattenbad (om tillgängligt) Med hjälp av utustningen mäts skjuvspänningen vid olika skjuvhastighete. Efte litteatustudie välje vi att vaiea skjuvhastigheten mellan s -1 [13] och vi anse det imligt att mäta vid 11 olika hastighete med te eplikat pe hastighet. Dessa siffo kan mycket väl föändas unde expeimentets gång på gund av tidsbegänsninga. Om tiden tillåte och om det ä paktiskt möjligt, önska vi även vaiea tempeatuen och studea mätesultatens beoende av denna paamete. 4. Beäkna K, n och τ 0 med hjälp av mätdata fån viskometen. ut: matlab 5. Bestäm expeimentellt p / u vid ungefä 5 olika flödeshastighete vid umstempeatu. ut: fösöksuppställningen i appaathallen samt mätglas, tidtagau och våg fö flödesmätning Genom att ända vavtalet på pumpen ehålles olika flöden i systemet och dämed också olika tyckfall öve den intessanta ösektionen. Sammanhöande väden på medelhastigheten och tyckfallet mäts. Medelhastigheten mäts indiekt genom att mäta flödet. Flödet kan enkelt bestämmas genom att mäta hu mycket tomatpasta som komme ut unde en känd tidspeiod. 6. Jämfö de expeimentellt ehållna mätvädena på tyckfallen med de av modellena föutsagda samt da slutsatse. Riskanalys Vi bedöme att laboationen ä elativt iskfi och ämna inte lägga till något utöve Kemicentums geneella säkehetsföeskifte. Föeskiftena famhålle nyttjande av lämplig skyddsutustning, såsom labbock och skyddsglasögon. Vidae vill vi betona det faktum att tomatpasta inte ä föknippad med någa säskilda fao. Riskena i laboationen ligge istället i handhavandet av utustning. 31

32 Bilaga. MATLAB-kod function [u_pl,u_hb,u_c]=hastpofil(pl,hb,c,l,r,dp) % function hastpofil(pl,hb,c,l,r,dp) % Beäkna hastighetspofilen fö en vätska med komplex eologi, % givet eologiska paameta. % Skiptet ä tänkt fö att illustea flöden unde olika modelle % och ita däfö upp en nomead figu. % Pojektgupp 4B, vt 006, BLT010 close all; n_pl = PL(1); K_PL = PL(); tau0_hb = HB(1); n_hb = HB(); K_HB=HB(3); tau0_c = C(1); K_C = C(); adie =linspace(0,r,0); %Powe-law npim = (n_pl+1)/n_pl; konstant = dp/(*l*k_pl); u_pl = konstant^(1/n_pl).*(1/npim).*r^(npim).*(1- (adie./r).^(npim)) mu_pl = (/R^)*tapz(adie,u_PL.*adie) %Heschel-Bulkley npim = 1+ (1/n_HB) tw = (dp*r)/(*l); u_hb = ( (*L)/(dp*npim*K_HB^(1/n_HB)) ) * ( ((tw-tau0_hb))^npim - ((((dp.*adie)/(*l))-tau0_hb)).^npim); mu_hb = (/R^)*tapz(adie,u_HB.*adie); %Cassen a = sqt(tau0_c) b = sqt(dp/(*l)) u_c = (-1)*(1/(K_C^)).* ((0.5*(b^)*(R^)- (4/3)*a*b*(R^(1.5))+(a^)*R) - (0.5*(b^).*(adie.^)- (4/3)*a*b.*(adie.^(1.5))+(a^)*R)); mu_c =(/R^)*tapz(adie,u_C.*adie); %Omskalning u_plsk = u_pl/(max(u_pl)); u_hbsk = u_hb/(max(u_hb)); u_csk = u_c /(max(u_c)); adiesk = adie / (max(adie)); %Beäkna skalade v_medel mu_plsk = mu_pl / (max(u_pl)); mu_hbsk = mu_hb / (max(u_hb)); mu_csk = mu_c / (max(u_c )); subplot(,1,1) %Plotta den enkla pofilen plot(eal(adiesk),eal(u_plsk),'-',eal(adiesk),eal(u_hbsk),'-- ',eal(adiesk),eal(u_csk),'-.') legend('powe-law','heschel-buckley','cassen') xlabel('avstånd till centum (/R)') 3

33 ylabel('hastighet (u/u_{max})') title('hastighetspofilen fö stömming i ö givet modellpaameta') axis([ ]); subplot(,1,) %Plotta den dubbla pofilen hold on plot(eal(adiesk),eal(u_plsk),'-',eal(adiesk),eal(u_hbsk),'- -',eal(adiesk),eal(u_csk),'-.') plot(-eal(adiesk),eal(u_plsk),'-',eal(- adiesk),eal(u_hbsk),'--',eal(-adiesk),eal(u_csk),'-.') hold off %legend('powe-law','heschel-buckley','cassen') xlabel('riktat avstånd till centum (/R)') ylabel('hastighet (u/u_{max})') axis([ ]); text(-0.4,0.8,'pl u_{medel}/u_{max}='); text(0.1,0.8,numst(eal(mu_plsk))); text(-0.4,0.5,'hb u_{medel}/u_{max}='); text(0.1,0.5,numst(eal(mu_hbsk))); text(-0.4,0.,'c u_{medel}/u_{max}='); text(0.1,0.,numst(eal(mu_csk ))); function [K_PL,n_PL,K_HB,n_HB,K_C, tau0hb, tau0_c] = hittataunoll(gamma1,tau1) % function [K_PL,n_PL,K_HB,n_HB,K_C, tau0_hb, tau0_c] = % hittataunoll(gamma1,tau1) % Detta scipt ha som inagument en vekto gamma1 med skjuvhastighete och % en vekto tau1 med skjuvspänninga. Däefte anpassas koefficientena i % te eologiska modelle till data. Alla paameta utom tau_0 bestämms i % genom linjä egession på en tansfomation. Den sista paameten % bestämms genom test av olika väden. % Pojektgupp 4B, vt 006, BLT010 if nagin < 1 %Testa med denna om inget annat anges [y1,y] = otametedata; gamma18konc = y1(:,1); tau18konc = y1(:,); gamma0konc = y1(:,3); tau0konc = y1(:,4); gammakonc = y1(:,5); taukonc = y1(:,6); gamma4konc = y1(:,7); tau4konc = y1(:,8); gamma18dilu = y(:,1); tau18dilu = y(:,); gamma0dilu = y(:,3); tau0dilu = y(:,4); gammadilu = y(:,5); taudilu = y(:,6); gamma4dilu = y(:,7); tau4dilu = y(:,8); gamma1 = gamma18konc; tau1 = tau18konc; end SSR_PLold = 1e9; SSR_HBold = 1e9; SSR_Cold = 1e9; 33