5.3 Sannolikhet i flera steg

Transkript

1 5.3 Sannolikhet i flera steg När man singlar slant kan man få utfallen krona eller klave. Sannolikheten att få klave är - och krona ^. Vad är sannolikheten att fä krona två. kast i rad? Träddlagram För att tydligare se sannolikheter vid två kast i rad kan man rita ett träddiagram. Krona T; Klaver Krona ^ / \Klave l.- l ^ Krona ^ Sannolikheten för varje grenar^. I träddiagrammet representerar de fyra grenarna de möjliga utfallen. Det finns totalt fyra möjliga utfall: krona, krona krona, klave klave, krona klave, klave Alla utfall är lika sannolika >>.» l l 4 4 Komplementhandelse Sannolikheten att få utfallet krona, krona är -;.. Det kan beräknas genom att multiplicera sannolikheterna längs den gren det gäller: P(krona, krona) - PCkrona). P(krona) =^'3=4 För att beräkna sannolikheten för m;'ns( en krona kan man addera de tre grenar som innehåller krona. P(minst en krona) - = P(krona, krona) +.P(krona, klave) + P(klave, krona) =^+^+^^~^ Alternativet till att få minst en krona är att man inte får någon krona alls, det vill säga klave, klave. Klave, klave är en komplementhänclelse till minst en krona. Eftersom summan av sannolikheten för alla möjliga utfall alltid är l, sa ar?(minst en krona) + P(klave, klave) = l Då kan sannolikheten för minst en krona beräknas med hjälp av komplementhändelse: l 3 P(minst en krona) -1-7'(klave, klave) = l -^ ^ Komplementhändelse SANNOLIKHET OCH STATISTIK *. 5, 3 SANNOLIKHET I FLERA STEG

2 J'(grönt, ^r-^^f^. ^ft^^^^j. ^' lixcmpttl Astrid snurrar på hjulet två gånger. Hur stor är sannolikheten att hjulet stannar på rött båda gångerna? Lösning Sannolikheten att få rött varje gång hon snurrar är g. Pfrött, rött) = P(rött). P(rött) = 3-3 = ^ l Svar: Sannolikheten att hjulet stannar på rött båda gångerna är ^. Exempel Niklas har två trafikljus på sin bilväg till jobbet. Sannolikheten för grönt ljus är 0,4 vid varje trafikljus. a) Beräkna sannolikheten för rött ljus. b) Rita ett träddiagram. c) Beräkna sannolikheten för två gröna ljus. d) Beräkna sannolikheten för minst ett rött ljus. Lösning a) J'(rött) +.P(grönt) -1 Summan av alla sannolikheter ar l Pfrött) -1 - P(grönt) =1-0, 4= 0,6 Svar: Sannolikheten för rött ljus är 0, 6.. 0,6 c). P(grönt, grönt) = 0,4. 0, 4 = 0, 16 = 16 % Svar: Sannolikheten för två gröna ljus är 16 %. d) P(minst ett rott) = - l grönt) Kmmstettrotpa = r entomplementhändelse till P(grönt, grönt) = l - 0, 16 = 0, 84 = 84 % Svar Sannolikheten för minst ett rött ljus är 84 %. -A- Mrtndtet5.3 if ÖvningsbladS.3 ^ SANNOLIKHET OCH STATISTIK > 5. 3 SANNOLIKHET I FLERA STEG

3 nniiii 'inlfiflll. ^W*'. 'a'1*^ ^.<*! Starter Estelle vinner äntligen pä chokladhjulet efter att ha spelat många gånger. Hur påverkar det hennes chanser att vinna vid nästa dragning? 2 Ett par vill ha två barn. Det är ungefär lika stor chans att få en pojke som en flicka. Pojke 0,5 Pojke 0,5 Flicka 0.5 FBckaO,5 NIVÅ ETT l Sannolikheten för att ett frö ska gro är 60 %. Wilma sår två frön. Inte gro 0.4 a) Hur stor är sannolikheten för att fä två pojkar? b) Hur stor är sannolikheten för att fä två flickor? c) Vilket eller vilka uttryck visar sannolikheten att en tvåbarnsfamilj har en flicka och en pojke? Vad ar sannolikheten för att a) två frön ska gro b) inget frö ska gro c) endast ett frö ska gro PUUcka, pojke) = 0,25 + 0,25 PUUcka, pojhe) = 0,5. 0,5 PCflicka, pojhe) = 0,5 + 0,5 3 Isak kastar en tärning. Hur stor är sannolikheten att han får a) två sexor i rad b) två udda tal i rad SANNOLIKHET OCH STATISTIK»> 5.3 SANNOLIKHET I FLEBA STEG.t;l

4 .'. "''?S;'?^SS1^S>?%;SS3,.,:.'-.'-^.s^^ä^^^^&^.s^^ 4 Du kastar två mynt. Använd träddiagrammet och bestäm sannolikheten att få a) tvåklave b) två krona c) en klave och en krona Krona 7; Klaver 6 Patrik har spelat på hjulet två gånger och lyckats få två femmor. Linda påstår att sannolikheten för att få en femma även vid nästa dragning har minskat och är mindre än -. Har hon rätt? Motivera ditt svar. 6 Krona 7; S Sara tränar bågskytte. Hon skjuter två pilar mot ett mål. Träff 0,3 Miss 0.7 Träff 0,3 Miss 0,7 Hur stor är sannolikheten att Sara a) träffar med båda pilarna b) missar med båda pilarna c) träffar med en av pilarna d) träffar med minst en av pilarna e) Summera svaren i a, b och c. Vad är svaret? Vad upptäcker du? f) Vad är komplementhändelsen till minst en träff? NIVÅ r vä 7 Ludwig kastar en tärning. Vad är komplementhändelsen till resultatet a) en sexa b) minst 4 c) högst 2 8 Nora svarar på två sant- eller falskt-frågor. Hon chansar på båda frågorna. Vad är sannolikheten att Nora har a) alla rätt b) inget rätt 9 I ett frågeprogram på TV har deltagaren fyra svarsalternativ till varje fråga. a) Hur stor är sannolikheten att svara rätt på en fråga om man gissar? b) Bestäm sannolikheten för att man klarar två frågor i rad om man gissar. f>. Kijw v ">^. ^, f A. ^- -^l '. -. '^.J JOLIKHET'OC" STATISTIK > 5. 3 SANNOLIKHET I t^era STEG

5 10 Studera träddiagrammet och bestäm sannolikheterna Grönt 0,4 Grönt 0.4-0,6, 0,6 NIVÅ TRE»t 15 Risken att något barn drabbas av huvudlöss i en klass är 20 % per år. Två elever fick i uppgift att beräkna hur stor sannolikheten är att klassen drabbas av löss minst en gäng pä två är. Grönt/\ Grönt/\ Grönt/\ Grönt /\ 0, 4 / \ / \ 0, 6 0,4 / \ 0, 6 0, 4 / \ 0,6 a) P(tre gröna) b) P(ingengrön) c) Johanna säger att P(tre gröna) är komplementhändelsen till P(inget grönt). Stämmer det? 11 Varje gång Helena skjuter ett skott är sannolikheten för träff 96 %. I en serie skjuter hon två skott. a) Mur stor är sannolikheten för två träff? b) Hur stor är sannolikheten för minst en miss? c) Ar händelsen i uppgift b komplementhändelsen till uppgift a? 12 Du kastar en tärning. Vilka av sannolikheterna i rutan är samma sak som Paul: l - (0, 8. 0, 8) Jean: 0, 8. 0, 2 + 0,8. 0,2 + 0, 2. 0,2 Har någon påbörjat lösningen korrekt? Förklara hur de kan ha tänkt. 16 Sannolikheten för att ett ärtfrö ska gro är 80 %. Benjamin planterar tre frön. Vad är sannolikheten för att a) alla tre frön ska gro b) inget frö ska gro c) minst ett frö ska gro 17 Du spelar på ett lyckohjul två. gånger. Hur stor är sannolikheten att fä a) rött pä första omgången och gult pä andra omgången? b) samma färg på båda omgångarna? a) P(minst3) b) P(högst4) Pd. 2, 3) TO, 5, 6) Pf.3, 4, 5, 6) P(l, 2, 3, 4) 18 Ett par vill ha tre barn. Hur stor är sannolikheten att de får minst en pojke? 13 Beskriv och förklara begreppet komplementhändelse samt ge ett exempel. 14 Para ihop händelse och komplementhändelse. l.p(allarätt) 2 P(mget rätt) 3 PQninst ett rätt) 4 P(minst ett fel) A P(ingetfel) B ^(allafel) C P(minst ett fel) D P(minst ett rätt) 19 I en klass finns det 15 tjejer och 10 killar. 20 % av eleverna spelar fotboll. Hur stor är sannolikheten att en slumpvis vald elev är a) en kille som spelar fotboll b) en tjej som inte spelar fotboll 20 Yatzy är ett klassiskt tärningsspel där 5 tärningar kastas. Visa att sannolikheten för Yatzy (femtal) är 0, 0008 vid ett kast med fem tärningar. /* SANNOLIKHET OCH STATISTIK * SANNOLIKHET I FLERA STEG