Aktiviteter med kalkylprogram
|
|
- Håkan Eriksson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matematik Grundskola årskurs 7-9 Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Aktiviteter med kalkylprogram Håkan Sollervall, Malmö högskola Exempel 1: Energikostnad för uppvärmning När det är kallt ute måste våra bostäder värmas för att kompensera den värmeenergi som försvinner ut genom fönster, dörrar, väggar, golv och tak. Effektförlusten P (watt, W) genom en specifik del av huset kan beräknas med formeln P = λ A T L (effektförlust) (1) Storheten λ (lambda; enhet W/(m )) kallas värmeledningsförmåga och har olika värden för olika material. Exempelvis har mineralull λ = 0,038 medan trä har λ = 0,14. Dessa och andra värden går enkelt att söka fram på nätet med sökordet värmeledningsförmåga. Vidare tar formeln (1) hänsyn till materialets area A (kvadratmeter, m 2 ) och tjocklek L (meter, m). Den återstående variabeln T (grader Celsius, ) är skillnad mellan inomhus- och utomhustemperaturerna. Med formeln (1) kan vi beräkna effektförlusterna genom en vägg, en dörr eller ett fönster. Vi måste utföra dessa beräkningar var för sig eftersom de olika delarna har olika värmeledningsförmåga, olika areor och olika tjocklekar. Husets totala effektförlust kan vi sedan beräkna genom att addera effektförlusterna för husets yttre delar. För att hålla en konstant inomhustemperatur i ett hus vid en viss utomhustemperatur behöver kontinuerligt tillföras en effekt motsvarande den totala effektförlusten. Då uppstår en uppvärmningskostnad K kr som beräknas utifrån energipriset (kronor per kilowatt-timme), den effekt P (watt, W) som utnyttjas för uppvärmning och den tid t (timmar, h) som denna effekt utnyttjas. Kostnaden för husets uppvärmning kan då beräknas med formeln P K = 1,50 t (energikostnad) (2) 1000 I denna formel (2) är energipriset satt till 1,50 kr/kwh, vilket kan ändras om så önskas. De båda formlerna kan kombineras eftersom den tillförda effekten P i formeln (2) ska kompensera för effektförlusten P i formeln (1). Om vi gör detta algebraiskt, genom att sätta in den första formeln i den andra, uppstår en komplicerad algebraisk formel som kan vara svår att hantera på ett effektivt sätt i undervisningen. Ett alternativ kan vara att arbeta med fokus på övergripande samband, enligt följande modell: Material, dimensioner Effektförlust Energikostnad 1 (10)
2 Genom att arbeta utifrån material och dimensioner kan eleverna få arbeta med att designa egna hus (figur 1), där de själva får välja hur stort huset ska vara samt hur många och hur stora fönster och dörrar det ska ha samt undersöka vilka konsekvenser denna design får för energikostnaden. Ett arbetsblad till en sådan uppgift finns som bilaga i Moment A. Figur 1. Ett hus ritat med ritprogrammet Google Sketchup. Denna strategi går alldeles utmärkt att hantera med hjälp av ett förberett kalkylblad, där läraren i förväg har skrivit in formler i de olika cellerna (jämför uppgift 4 i bilagan). Figur 2. Lärarens förberedda kalkylblad. Även detta kalkylblad finns som bilaga i denna del. I figur 2 visas det tomma kalkylbladet. En sammanfattande diskussion kan ledas i riktning mot olika lärandemål (jämför med texten om didaktiska situationer i del 2). Via numeriska undersökningar i kalkylbladet har ele- 2 (10)
3 verna fått åtminstone en preliminär uppfattning om hur formlerna fungerar och kan då relatera till detta i sina fortsatta resonemang. En slutsats kan bli att bygga billigt ger en hög driftkostnad och att bygga dyrt ger en lägre kostnad. Fast det gäller inte alla kostnader, det är dyrt att bygga med stor area och det ger också en hög energikostnad. Ett mindre hus ger lägre energikostnad än ett större. Någon finurlig elev kan komma på att det går att tjäna pengar om det är varmare ute än inne, i alla fall om formeln gäller för alla möjliga temperaturer. Här kan det bli intressant att diskutera hur långt de matematiska (och fysikaliska) principerna sträcker sig och när verklighetens villkor tar över. Effektförlusten blir ju negativ, alltså borde det bli en effektvinst, men det finns inte något sätt att få betalt för detta. Man kan alternativt välja att lägga större vikt vid husets geometriska utformning och de aritmetiska samband som kan underlätta elevernas undersökningar. Exempelvis finns det ett sådant samband mellan storleken av fönster, dörrar och övrig väggyta. Detta samband kan användas för att kontrollera kalkylbladet i figur 5 och då visar det sig att värdena i kolumn B bör justeras en aning. Exempelvis bör B4 inte vara lika med 12 utan ersättas med ,6 2 = 11,4. Exempel 2: Formulera och undersöka matematiska samband I detta exempel får eleverna möjlighet att använda kalkylprogrammet som ett instrument för att undersöka och själva formulera matematiska samband i form av talföljder. Om eleverna får till uppgift att implementera talföljden a n = 5 n + 2 i ett kalkylblad, kan de gå tillväga på följande sätt. Först definierar de en uppräknare av talen 1 till och med 23, enligt figur 3(a), 3(b) och 3(c). 3 (10)
4 (a) (b) (c) (d) (e) Figur 3. Inmatning steg för steg i ett kalkylblad. Inmatningen fortsätter med att talföljden a n = 5 n + 2 implementeras som 5 A3 + 2 (figur 3(d) och 3(e)). De båda formlerna a n = 5 n + 2 och 5 A3 + 2 är snarlika men skiljer sig åt framför allt avseende variablerna, eftersom n en oberoende variabel som kan ersättas med vilket värde som helst (i detta sammanhang, ett positivt heltal) medan variabeln A3 hänvisar till ett specifikt fält i kalkylbladet. Genom att förlänga formeln som kopplar samman B3 med A3 (figur 3(e)) så kopplas B4 samman med A4; B5 med A5 och så vidare. Detta är kalkylprogrammets sätt att behandla formler vilket kan ta en stund för eleverna att vänja sig vid, men om de hjälper varandra så brukar de gemensamt kunna reda ut den tekniska hanteringen utan att man som lärare behöver visa alltför mycket. Därefter skulle eleverna kunna formulera uppgifter till varandra. Exempelvis kan eleverna visa kalkylblad med ifyllda tal, men utan att visa vilken formel de har använt, och fråga efter just denna formel. Två exempel visas i figur 4(a). När eleverna har kommit fram till att skillnaden mellan talet under och talet ovanför avslöjar lite av formeln, kan detta utföras direkt i kalkylbladet (figur 4(b)). Formeln för talföljden i kolumn C (vars skillnader visas i kolumn G) måste då vara a n = 3 n + (något). 4 (10)
5 (a) (b) Figur 4. Kalkylbladet visar ifyllda celler utan att visa formeln. Exempel 4: Hur lönen kan variera Här är ett annat exempel på en uppgift där eleverna får möjlighet att använda kalkylprogrammet som ett instrument för att undersöka och själva formulera matematiska samband i ett mer konkret sammanhang. Markus har fått sommarjobb på ett café. Han får betalt per timme, men har ännu inte fått veta hur hög timlönen är eller hur många timmars jobb det kommer att bli. Det enda han vet nu är att han ska betala 31 % i skatt. Beskriv hur Markus kan bestämma hur mycket pengar han får efter skatt (när han väl vet timlönen och antalet arbetstimmar). Använd ett kalkylprogram för att enkelt räkna ut hur mycket pengar han får efter skatt (när han väl vet timlönen och antalet arbetstimmar). Skriv en formel som Markus kan använda för att enkelt räkna ut hur mycket pengar han får efter skatt (när han väl vet timlönen och antalet arbetstimmar). 5 (10)
6 Exempel 5: Sannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast Spelet nedan är en del av det så kallade Penney s game, som går ut på att två personer ska spela mot varandra genom att kasta ett mynt flera gånger. De väljer var sin kastserie, som i första spelet består av två och i andra spelet av tre specificerade resultat i rad. Den spelare vinner som först får upp sin kastserie. En vanlig gissning är att båda personerna har samma chans att vinna. Denna gissning stämmer i fallet med två resultat i rad, oavsett vilka kastserier de väljer, men visar sig vara felaktig för de flesta kombinationer av serier med tre resultat i rad. Detta upptäcks när man har spelat ett tag, eftersom den ene spelaren vinner markant fler omgångar. Dessa spel kan simuleras med kalkylprogram och ger då snabbt en insikt om att något inte står rätt till. Just detta att oväntade saker händer kan leda till att elever vill förklara och förstå orsakerna, genom att analysera spelet. Detta kan göras med träddiagram, där mönster framträder som inte är helt enkla att tolka. Eftersom träddiagram kan vara svåra att rita, så har det till denna uppgift förberetts en mall för träddiagram som kan skrivas ut och användas av elever samt som underlag för helklassdiskussion vid skrivtavlan. Uppgift. Viktor och Hamid ska spela två olika spel med ett mynt, där ena sidan har målats grön och den andra sidan har målats gul. Spelet går ut på att kasta myntet flera gånger, tills antingen Viktor eller Hamid får upp den kastserie de har valt. I det första spelet består kastserien av två resultat (i rad, dvs. direkt efter varandra) och i det andra spelet består den av tre resultat (också i rad). (a) Vem har störst chans att vinna, om Viktor satsar på grön-grön och Hamid satsar på grön-gul? Eller har de samma chans att vinna? (b) Vem har störst chans att vinna, om Viktor satsar på grön-grön-gul och Hamid satsar på gul-grön-grön? Eller har de samma chans att vinna? I en undervisningssituation skulle eleverna kunna simulera spelet, exempelvis i Excel. På skrivtavlan kan följande kodning tydliggöras. 6 (10)
7 Viktors satsning grön-grön ( ) kan kodas 1-1. Hamids satsning grön-gul ( ) kodas då 1-0. Genom att skriva in kommandot =RANDBETWEEN(0;1) i rutan A1 skapas ett slumptal (0 eller 1, med lika sannolikheter) i denna ruta. När Excel-rutans nedre högra hörn dras i sidled skapas fler slumptal, nedan i rutorna A1-T1. Dessa rutor kan markeras som en helhet och dras nedåt, så att ett helt rutnät av slumptal skapas. I figur 5 nedan visas 180 slumptal. Varje kolumn kan representera en spelomgång, där eleverna kan följa utfallet och se vem som vinner. Alternativt kan läraren göra detta på tavlan, gärna i interaktion med eleverna. I bilden nedan har läraren markerat med röd färg om serien 1 1 (Viktor) har vunnit och med blå färg om serien 1 0 (Hamid) har vunnit. Av de 20 omgångarna har Viktor vunnit 11 och Hamid vunnit 9. Figur 5. Simulering av 20 spelomgångar. Utfallet 11 9 antyder att spelet har varit rättvist, men det är naturligtvis inte tillräckligt som bevis. Eleverna kan då få analysera spelet i ett träddiagram. Eftersom träddiagram kan vara lite knepiga att rita, så att alla grenar får plats, kan det vara praktiskt att dela ut färdiga träddiagram som eleverna kan arbeta med, gärna i par eller i mindre grupper där de kan resonera och komma överens om vad som gäller. När eleverna har arbetat en stund med detta, kan en lärarledd uppföljning genomföras där eleverna bjuds in att tänka och bidra till de konstruktioner som görs på tavlan. Här kan det vara lämpligt att projicera mallen med träddiagrammet på skrivtavlan alltså från lärarens dator, via en tak- eller bordsprojektor både för att effektivisera det fortsatta arbetet och för att eleverna lättare ska kunna jämföra med vad de själva har gjort på papper. Genom att resonera med eleverna kan läraren markera deras slutsatser och be dem förklara hur de har resonerat (figur 6). Rent teoretiskt kan spelet pågå hur länge som helst, om den gula sidan fortsätter att komma upp om och om igen. En sammanfattande slutsats kan bli att spelet kommer in i ett avgörande skede när den gröna sidan kommer upp för första gången. Då avgörs spelet i nästa kast och både Viktor och Hamid har därför lika stor chans att vinna. 7 (10)
8 Antingen Viktor eller Hamid vinner efter nästa kast! Figur 6. Träddiagram som stöd för analys av spelet. Deluppgift (a) fyller flera syften. Dels får eleverna se hur Excel kan användas för att simulera spelet, antingen genom att pröva själva eller genom att observera hur läraren gör, dels kan de få hjälp att tolka de spelregler som även gäller i deluppgift (b), dvs. att den spelare vinner som först har fått sina resultat i rad. Med samma kodning som i deluppgift (a) så vinner Viktor om kommer upp först medan Hamid vinner om kommer upp först. En elevs undersökning i Excel kan ge följande utfall (figur 7). Färgmarkeringen är gjord för hand, en spelomgång i taget, efter det att eleven har listat ut vem som vann just den omgången. Det färdiga diagrammet visar att Hamid vann med Ganska jämnt. Figur 7. Ett kalkylblad som visar resultatet En annan elev kan ha fått det utfall som redovisas i figur 8. I detta fall blev det utklassning, Hamid vann med (I kolumn J blev det ingen vinnare, men det går att förutse vem som skulle ha vunnit om spelet hade fortsatt.) 8 (10)
9 Figur 8. Ett kalkylblad som visar resultatet Slumpen kan alltså starkt påverka utfallet trots att hela 20 omgångar undersöktes i respektive fall. Om alla elever i en klass genomför var sin undersökning torde ändå utfallet bli att de flesta kom fram till att Hamid har störst chans att vinna en ny omgång. Men hur stor är denna chans? Detta kan eleverna reda ut med stöd av ett träddiagram, enligt nedan. Hamid vinner 3 av 4! Figur 9. Ett träddiagram som stöd för analys av ett spel med tre kast. Viktor vinner bara om han hinner få två gröna innan den första gula kommer. Om det kommer gul på första eller på andra kastet, så vinner Hamid. Spelet är alltså avgjort efter högst två omgångar! Dessa egenskaper i spelet får eleverna större möjligheter att upptäcka om de själva får följa och analysera mönster i form av numeriska kastserier i Excel och/eller förgreningar i träd- 9 (10)
10 diagrammet. Träddiagrammet ger dessutom en visualisering av möjliga förlopp som är svårare att tolka i Excel. För de elever som kan hantera sannolikhetsberäkningar för binomialfördelning kan dessutom räkna ut (med Excel eller annat beräkningsverktyg) att Hamid har 98,6% chans att vinna om han och Viktor spelar 20 omgångar, samt att det är 1 % chans för oavgjort Så Hamids risk att förlora är endast 0,4 %. Detta kan vara bra att veta för en lärare som planerar att använda uppgiften i undervisning. När en klass med 30 elever vardera genomför 20 slumpförsök i Excel är det troligt att alla kommer fram till att Hamid vinner, även om vinstmarginalen inte behöver bli stor (som i exemplet 12 8). En fortsättning på denna uppgift skulle kunna bestå i att diskutera olika kastserier med tre resultat i rad, och fundera på om det alltid finns en annan kastserie som slår ut en given satsning när man jämför sannolikheter. Svaret är ja. Om man får se sin motståndares kastserie i förväg, så kan man anpassa sin egen kastserie så att man har mer än 50 % chans att vinna. Oavsett vilken kastserie den andre har valt att satsa på. Detta kan man reda ut med stöd av träddiagrammet. Exempelvis gäller att en kastserie med tre lika resultat i rad (kronakrona-krona) endast har 1/8 chans att vinna, om den ställs mot en kastserie som avviker i första positionen (klave-krona-krona). Så fort en klave kommer upp, så vinner den senare kastserien. Vidare skulle eleverna kunna fundera på längre kastserier, exempelvis fyra resultat i rad, där man kan förvänta sig (?) ett liknande resultat som i fallet med tre resultat i rad. Att kunna formulera och undersöka hypoteser av detta slag är en central aspekt såväl i matematiskt arbete som i vardagslivet (10)
Sannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Sannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast Håkan Sollervall, Malmö
Läs merMatematiska undersökningar med kalkylprogram
Matematik Grundskola årskurs 7-9 Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Matematiska undersökningar med kalkylprogram Håkan Sollervall, Malmö
Läs merFlera digitala verktyg och räta linjens ekvation
Matematik Grundskola årskurs 7-9 Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg I Del 8: Matematikundervisning och utveckling med digitala verktyg Flera digitala verktyg och räta linjens ekvation Håkan
Läs merExempelprov. Matematik Del A, muntlig del. 1abc
Exempelprov Matematik Del A, muntlig del 1abc 2 DEL A, EXEMPELPROV MATEMATIK 1ABC Innehållsförteckning 1. Instruktioner för att genomföra del A... 5 2. Uppgifter för del A... 6 Version 1 Sten, sax och
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik X NIVÅ ETT Sannolikhet ELEV Du kommer nu att få bekanta dig med Google Kalkylark. I den här uppgiften får du öva dig i att skriva
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs merSlumpförsök för åk 1-3
Modul: Sannolikhet och statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slumpförsök för åk 1-3 Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet I följande text beskrivs
Läs merFlera digitala verktyg och exponentialfunktioner
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg I Del 8: Matematikundervisning och utveckling med digitala verktyg Flera digitala verktyg och exponentialfunktioner Håkan Sollervall,
Läs merExtramaterial till Matematik Y
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik Y NIVÅ ETT Samband och förändring ELEV Olika kalkylprogram, till exempel Google Kalkylark och Microsoft Excel, kan användas till en
Läs merStora talens lag eller det jämnar ut sig
Stora talens lag eller det jämnar ut sig kvensen för krona förändras när vi kastar allt fler gånger. Valda inställningar på räknaren Genom att trycka på så kan man göra ett antal inställningar på sin räknare.
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik X NIVÅ TVÅ Sannolikhet ELEV Du kommer nu att få bekanta dig med Google Kalkylark. I den här uppgiften får du öva dig i att skriva
Läs mer2D 4D. Flaskracet. strävorna
2D 4D Flaskracet begrepp resonemang sannolikhet Avsikt och matematikinnehåll Syftet med aktiviteten är att väcka frågor och diskussioner om srum och om skillnaden mellan (antal) och (andel). Det är viktigt
Läs merMÖNSTER OCH TALFÖLJDER
MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll
Läs merUpprepade mönster (fortsättning från del 1)
Modul: Algebra Del 2: Resonemangsförmåga Upprepade mönster (fortsättning från del 1) Anna-Lena Ekdahl och Robert Gunnarsson, Högskolan i Jönköping Ett viktigt syfte med att arbeta med upprepade mönster
Läs merDIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA
DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA 1. Vilket av följande tal är det bästa närmevärdet till 6,35 3,2? Ringa in ditt svar. 0,203 2,03 20,3 203 2030 (1/0/0) 2. En formel för momsberäkning är inlagd i ett kalkylblad.
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merInstitutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning
Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning
Läs merMatematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev
Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Med anledning av de nya kursplanerna har Strävorna reviderats. Formen, en matris med rutor, är densamma men istället för att som tidigare anknyta till mål att sträva
Läs merAnpassning av problem
Modul: Problemlösning Del 7: Anpassning av problem Anpassning av problem Kerstin Hagland och Eva Taflin Detta är en något omarbetad text från boken: Hagland, K., Hedrén R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska
Läs merNär vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper
Florenda Gallos Cronberg & Truls Cronberg Två perspektiv på att utveckla algebraiska uttryck Svenska elever påstås ha svårt med mönstertänkande. Eller är det så att de inte får lärarledd undervisning i
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9
Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 4. Samband och förändring Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera
Läs merDatorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) Denna datorövning fokuserar på att upptäcka samband mellan två variabler. Det görs genom att rita spridningsdiagram och beräkna korrelationskoefficienter
Läs merExperimentera i sannolikhet från teoretisk sannolikhet till data
Modul: Sannolikhet och statistik Del 3. Sannolikhet kopplingen mellan teoretisk modell och data Experimentera i sannolikhet från teoretisk sannolikhet till data Per Nilsson, Örebro universitet Sannolikhet
Läs merGeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det
Läs merSANNOLIKHET OCH SPEL
SANNOLIKHET OCH SPEL I ÖVNINGEN INGÅR ATT: Formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat (MA) Tolka en realistisk situation och utforma en matematisk
Läs merNpMa2b ht Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 73 poäng varav 27 E-, 27 C- och 19 A-poäng. Kravgräns för provbetyget
Läs merHands-On Math. Matematikverkstad. Förskolans nya läroplan 1 juli 2011. Matematik är en abstrakt och generell vetenskap
Hands-On Math Matematikverkstad 09.00 10.30 & 10.45 12.00 Elisabeth.Rystedt@ncm.gu.se Lena.Trygg@ncm.gu.se eller ett laborativt arbetssätt i matematik Laborativ matematikundervisning vad vet vi? Matematik
Läs merLaboration: Att inhägna ett rektangulärt område
Laboration: Att inhägna ett rektangulärt område Du har tillgång till ett hoprullat staket som är 30 m långt. Med detta vill du inhägna ett område och använda allt staket. Du vill göra inhägnaden rektangelformad.
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik Anders Björkström
STOCKHOLMS UNIVERSITET 2001-10-22 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik Anders Björkström GRUNDLÄGGANDE MATLAB-TRÄNING för den som aldrig har arbetat med Matlab förut A. Matlabs allmänna
Läs merUpprepade mönster kan talen bytas ut mot bokstäverna: A B C A B C eller mot formerna: Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping
Algebra Del 1 Upprepade mönster Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping Det är välkänt att barn långt innan de börjat skolan utforskar och skapar mönster på olika sätt och med olika material. Ofta skapas
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBER PROGRMMERING OH DIGITL KOMPETENS Extramaterial till Matematik X NIVÅ TRE Sannolikhet LÄRRE Nu ska du och dina elever få bekanta er med Google Kalkylark. I den här uppgiften får eleverna öva sig i
Läs merSannolikhet DIAGNOS SA3
Sannolikhet DIAGNOS SA3 Grundläggande sannolikhet Diagnosen omfattar 9 uppgifter där eleverna ska ges möjlighet att visa om de förstår innebörden av begreppet sannolikhet och slump samt om de har strategier
Läs merSlump och statistik med Scratch. Se video
Se video I lektionen simuleras hundratals tärningskast på kort tid. Eleverna får skapa en statistikapplikation och lära sig att skapa och modifiera algoritmer. Måns Jonasson, Internetstiftelsen, har arbetat
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBR PROGRAMMRING OCH DIGITAL KOMPTNS xtramaterial till Matematik X NIVÅ TVÅ Sannolikhet LÄRAR Nu ska du och dina elever få bekanta er med Google Kalkylark. I den här uppgiften får eleverna öva sig i att
Läs merSlump och statistik med Scratch
Lektionen handlar om att simulera tärningskast och skapa en statistikapplikation genom att arbeta med modifiera algoritmer. Lektionsförfattare: Måns Jonasson En digital lektion från https://digitalalektioner.iis.se
Läs merkvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.
Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att
Läs merKravgränser. Provet består av Del B, Del C, Del D samt en muntlig del och ger totalt 63 poäng varav 24 E-, 21 C- och 18 A-poäng.
Kravgränser Provet består av Del B, Del C, Del D samt en muntlig del och ger totalt 63 poäng varav 24 E-, 21 C- och 18 A-poäng. Kravgräns för provbetyget E: 17 poäng D: 25 poäng varav 7 poäng på minst
Läs merhändelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning
Läs merVad innebär det att undervisa i algebra i årskurs 1 3? Vart ska dessa
Åsa Brorsson Algebra för lågstadiet I denna artikel beskriver en lärare hur hon arbetar med algebra redan i de tidiga skolåren. Det är ett arbete som hjälper elever att förstå likhetstecknets betydelse,
Läs mer7-2 Sammansatta händelser.
Namn: 7-2 Sammansatta händelser. Inledning Du vet nu vad som menas med sannolikhet. Det lärde du dig i kapitlet om just sannolikhet. Nu skall du tränga lite djupare i sannolikhetens underbara värld och
Läs merHär är två korta exempel på situationer då vi tillämpar den distributiva lagen:
Modul: Algebra Del 8: Avslutande reflektion och utvärdering Distributiva lagen Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Distributiva lagen a (b + c) = a b + a c Den distributiva lagen kallas den räknelag
Läs merRapport av genomförd lesson study av en lektion med temat bråk i gymnasiets A-kurs
Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat bråk i gymnasiets A-kurs Klippa gräset Jenny klipper gräsmattan hos Bo på 2 timmar. Måns gör det på 4 timmar. Förberedelser Utifrån en diskussion
Läs merAnvisningar Delprov B
DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA Anvisningar Delprov B Provtid 60 minuter för Delprov B. Hjälpmedel Uppgifter Kravgränser Tillåtna hjälpmedel på Delprov B är formelblad och linjal. Detta delprov består
Läs mer1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta
Läs merKalkylprogram. I övrigt kan man också söka på Google eller YouTube för att få mer information.
Anders Avdic 2018-09-14 Lektion kalkylprogram. Underlag och mallar för övningarna nedan finns i filen Excelunderlag. Färdiga lösningar finns i filerna Exempel hushållsutgifter, Exempel lånekalkyl och Exempel
Läs merSannolikhetslära till pdf.notebook. May 04, 2012. Sannolikhetslära. Kristina.Wallin@kau.se
May 0, 0 Sannolikhetslära Kristina.Wallin@kau.se May 0, 0 Centralt innehåll Sannolikhet Åk Slumpmässiga händelser i experiment och spel. Åk 6 Sannolikhet, chans och risk grundat på observationer, experiment
Läs merEn typisk medianmorot
Karin Landtblom En typisk medianmorot I artikeln Läget? Tja det beror på variablerna! i Nämnaren 1:1 beskrivs en del av problematiken kring lägesmått och variabler med några vanliga missförstånd som lätt
Läs merKALKYL OCH DIAGRAM. Kalkylbladet. 170 Datorkunskap Kalkyl och diagram
170 Datorkunskap Kalkyl och diagram KALKYL OCH DIAGRAM När du behöver göra beräkningar, diagram eller sammanställa större mängder data använder du Excel. Kalkylbladet Ett Excel-dokument kallas även för
Läs merLåt eleverna lösa uppgifterna med huvudräkning och sedan jämföra med resultatet av ett program, t.ex. print(6 + 4 * 3)
1 Print 1 Tal, Prioriteringsregler 3 Procent, Procentuella förändringar 2 Variabler Teckna och tolka uttryck Ekvationslösningens grunder 1236 Beräkna utan räknare. a) 6 + 4 3 b) 9 4 12 3 c) 7 (3 + 12)
Läs mer1 Mätdata och statistik
Matematikcentrum Matematik NF Mätdata och statistik Betrakta frågeställningen Hur mycket väger en nyfödd bebis?. Frågan verkar naturlig, men samtidigt mycket svår att besvara. För att ge ett fullständigt
Läs merVid Göteborgs universitet pågår sedan hösten 2013 ett projekt under
Christina Skodras Muffles truffles Undervisning i multiplikation med systematiskt varierade exempel I Nämnaren 2015:4 beskrivs ROMB-projektet övergripande i Unga matematiker i arbete. Här redovisas och
Läs merTIMSS 2015 frisläppta uppgifter. Uppgifter i matematik, årskurs 4 och 8
TIMSS 2015 frisläppta uppgifter Uppgifter i matematik, årskurs 4 och 8 Rättigheten till de frisläppta uppgifterna ägs av The International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA).
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBR PROGRAMMRING OCH DIGITAL KOMPTNS xtramaterial till Matematik X NIVÅ TT Sannolikhet LÄRAR Nu ska du och dina elever få bekanta er med Google Kalkylark. I den här uppgiften får eleverna öva sig i att
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik X NIVÅ ETT Statistik ELEV Du kommer nu att få bekanta dig med Google Kalkylark. I den här uppgiften får du öva dig i att skriva in
Läs merGeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merKombinatorik och sannolikhetslära
Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i
Läs mer3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd
I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4
Läs merResurscentrums matematikleksaker
Resurscentrums matematikleksaker Aktiviteter för barn och vuxna Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den snåle grosshandlarens våg 6 4 Tornen
Läs merGunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg
L ÄRARMAT E R I A L Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg Negativa tal Utför beräkningarna. Addera svaren i varje grupp till en kontrollsumma. Alla kontrollsummor ska bli lika. 2 5 13 + ( 2) 11
Läs merSKOLUTVECKLIGSPROJEKT MED GEOGEBRA. Jaana Zimmerl Suneson (Älvkullegymnasiet) jaana.zimmerl.suneson@alvkullegymnasiet.se
ERFARENHETER FRÅN SKOLUTVECKLIGSPROJEKT MED GEOGEBRA Jaana Zimmerl Suneson (Älvkullegymnasiet Karlstad) jaana.zimmerl.suneson@alvkullegymnasiet.se mirela.vinerean@kau.se GeoGebra i matematikundervisningen
Läs merLiten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET 2004-11-04 MATEMATISK STATISTIK Sannolikhetslära och statistik för lärare Liten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1 Programmet StarOffice Calc
Läs merConstanta Olteanu, Linnéuniversitetet och Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping
Modul: Algebra Del 3: Bedömning för utveckling av undervisningen i algebra Intervju Constanta Olteanu, Linnéuniversitetet och Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping I en undervisning kan olika former
Läs merUppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori
Grunder i matematik och logik (2017) Uppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori Marco Kuhlmann Kombinatorik Nivå A 6.01 En meny består av tre förrätter, fem huvudrätter och två efterrätter. På hur
Läs merTABELLHANTERING. Formler, fungerar det att ha i tabeller?
TABELLHANTERING Formler, fungerar det att ha i tabeller? Detta lilla kompendium går igenom skillnader i tabeller mellan olika program. Eftersom det finns skillnader på hur tabeller fungerar så skall jag
Läs mer5.3 Sannolikhet i flera steg
5.3 Sannolikhet i flera steg När man singlar slant kan man få utfallen krona eller klave. Sannolikheten att få klave är - och krona ^. Vad är sannolikheten att fä krona två. kast i rad? Träddlagram För
Läs merMatematik 5000 Kurs 1a röd lärobok eller motsvarande., ISBN 978-91-27-42156-1. Prövningen är skriftlig, eventuellt kompletterad med en muntlig del
prövning matematik 1a Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövningen avser Kurskod Matematik 1a MATMAT01a Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prövningsutformning Bifogas Matematik 5000
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för åk 8
Lokal pedagogisk planering i matematik för åk 8 Arbetsområde Geometri kap. 3 PRIO Syfte http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/grundskoleutbildning/sameskola/matematik#anchor2 formulera och
Läs merPedagogiskt café. Problemlösning
Pedagogiskt café Problemlösning Vad är ett matematiskt problem? Skillnad mellan uppgift och problem - Uppgift är något som eleven träffat på tidigare, kan lösa med vanliga standardmetoder - Matematiskt
Läs merNationellt kursprov i MATEMATIK KURS A Våren 2005. Del II
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med 10 juni 2005. Anvisningar Provtid Hjälpmedel
Läs merSamband och förändring en översikt med exempel på uppgifter
Modul: Samband och förändring Del 1: Öppna uppgifter Samband och förändring en översikt med exempel på uppgifter Örjan Hansson, Högskolan Kristianstad Problem om samband och förändring spänner över stora
Läs merMålet i sikte. Förskoleklassen. Målet i sikte Förskoleklassen. kartläggning i matematik. Lgr11
Må Målet i sikte Förskoleklassen Målet i sikte Målet i sikte är ett material som kartlägger elevernas kunskaper i matematik. Utgångspunkt för Målet i sikte - förskoleklassen är det centrala innehållet
Läs merMönster statiska och dynamiska
Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Mönster statiska och dynamiska Berit Bergius & Lena Trygg, NCM I många matematiska aktiviteter ska deltagarna
Läs merLärandemål E-nivå årskurs 9
Lärandemål E-nivå årskurs 9 Detta är vad ni behöver kunna för att nå E för kunskapskraven om begrepp och rutinuppgifter i matematik när ni slutar nian. Ni behöver klara av alla dessa moment. För att nå
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBER PROGRAMMERING OH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik X NIVÅ TVÅ Statistik LÄRARE I den här uppgiften kommer dina elever att använda sig av kalkylprogrammet Google Kalkylark. Deras uppgift
Läs merEn introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel
LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg / Lars Wahlgren VT2012 En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel Vi har redan under kursen stiftat bekantskap med Minitab
Läs merMA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.
MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning
Läs merLotto, ett skicklighetsspel!
79 Lotto, ett skicklighetsspel! Jan Grandell KTH 1. Inledning. Du håller nog med om att om man köper en lott så är det bara en fråga om tur om man vinner och hur mycket man vinner. På samma sätt håller
Läs merInstruktion 1. I var och en av dessa celler kan man mata in något av följande:
Instruktion 1. Kalkylprogrammen används till allt från vardagliga till mer komplicerade beräkningar. Du kan använda kalkylbladet till att lägga upp alltifrån en enkel hushållsbudget till ett bokföringssystem
Läs merPROGRAMMERING I MATEMATIK. Ämnets dag 2017 Göteborgs universitet, Matematiska Vetenskaper Åse Fahlander och Laura Fainsilber
PROGRAMMERING I MATEMATIK Ämnets dag 2017 Göteborgs universitet, Matematiska Vetenskaper Åse Fahlander och Laura Fainsilber Syfte: Inspirera till att använda programmering som verktyg för matematikinlärning
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merEpisoderna i denna artikel är hämtade
JONAS EMANUELSSON Berätta vad du tänker! Två berättelser om rätt och fel svar Artikeln handlar om de frågor lärare ställer till sina elever i klassrummet och vad som händer i den efterföljande interaktionen.
Läs merResurscentrums matematikleksaker
Resurscentrums matematikleksaker Aktiviteter för barn och vuxna Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den snåle grosshandlarens våg 6 4 Tornen
Läs merDatorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet
Läs merDatorlaboration 1 Deskriptiv statistik med hjälp av MS Excel
ANVISNINGAR Datorlaboration 1 Deskriptiv statistik med hjälp av MS Excel Detta häfte innehåller kortfattade anvisningar om hur ni använder Excel under denna laboration. Be om hjälp när/om ni tycker att
Läs merAktivitetsbank. Matematikundervisning med digitala verktyg II, åk 1-3. Maria Johansson, Ulrica Dahlberg
Aktivitetsbank Matematikundervisning med digitala, åk 1-3 Maria Johansson, Ulrica Dahlberg Matematik: Grundskola åk 1-3 Modul: Matematikundervisning med digitala Aktivitetsbank till modulen Matematikundervisning
Läs merLutande torn och kluriga konster!
Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den
Läs mer*****************************************************************************
Statistik, 2p ANVISNINGAR Datorlaboration 1 Deskriptiv statistik med hjälp av MS Excel Detta häfte innehåller kortfattade anvisningar om hur ni använder Excel under denna laboration. Be om hjälp när/om
Läs merNpMa2b vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 67 poäng varav 26 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merThermoground 1.0 LTH Manual
Thermoground 1.0 LTH Manual Version 2010-11-18 Stephen Burke Byggnadsfysik, LTH Användaremanual - Thermoground LTH Thermoground - LTH är ett användarvänligt tvådimensionellt simuleringsverktyg som beräknar
Läs merArbetsblad 5:1. Tolka diagram. 1 a) Vilket var kilopriset år 2003? 2 a) Vad kallas den här typen av
Arbetsblad 5:1 Tolka diagram Besvara frågorna med hjälp av diagrammen 1 a) Vilket var kilopriset år 2003? b) Hur mycket ökade priset mellan 1991 och 2001? c) Mellan vilka år var ökningen st? Pris (kr/kg)
Läs merInledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22
Innehåll Inledning...3 Bedömningsanvisningar...3 Allmänna bedömningsanvisningar...3 Bedömningsanvisningar Del I...4 Bedömningsanvisningar Del II...5 Bedömningsanvisningar uppgift 11 (Max 5/6)...12 Kravgränser...21
Läs merProblemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F
På jakt efter förmågor i undervisningen Problemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F Aktivitetens namn: Triangelmatte Syfte Undervisningen ska
Läs merKatedralskolan 2004-11-05 Lena Claesson MICROSOFT EXCEL
Katedralskolan 2004-11-05 MICROSOFT EXCEL Lös varje uppgift på ett separat blad inom samma excelarbetsbok. Bladen döper du till uppg1, uppg2 osv och hela arbetsboken döper du till ditt eget namn. Spara
Läs mer5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen
Chans och risk ål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de kunna: förklara vad som menas med begreppet sannolikhet räkna ut sannolikheten för att en händelse ska inträffa känna till hur sannolikhet
Läs merLokal pedagogisk planering
Lokal pedagogisk planering RO/Skola: Rebbelberga skola Arbetsområde: Taluppfattning Ämne: Matematik Termin/År: ht 2013 Årskurs: 1 Ämnets syfte enligt grundskolans kursplan: Genom undervisningen i ämnet
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs
Läs mera) 1 b) 4 a) b) c) c) 6 a) = 4 b) = 6 c) = 6 1. Hur många? Ringa in talet. 2. Vilket tal kommer efter? 4. Beräkna. 3. Hur många?
1. Hur många? Ringa in talet. 2. Vilket tal kommer efter? Exempel a) 1 2 b) 4 5 a) b) c) c) 6 7 3. Hur många? 4. Beräkna. Exempel 1 + 2 = 3 a) 3 + 1 = 4 a) 4 b) 5 b) 4 + 2 = 6 c) 3 + 3 = 6 c) 3 d) 2 GILLA
Läs merMönster och Algebra. NTA:s första matematiktema. Per Berggren
Mönster och Algebra NTA:s första matematiktema Per Berggren 1 Lgr11- Matematiska förmågor Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga
Läs mer