Tema Förväntat värde. Teori Förväntat värde
|
|
- Roland Bengtsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Tema Förväntat värde Teori Förväntat värde Begreppet förväntat värde används flitigt i diskussioner om olika pokerstrategier. För att kunna räkna ut det förväntade värdet så tar du alla möjliga resultat, multiplicera var och en med sannolikheten att det resultatet inträffar, och addera sedan ihop de talen. Det har även växt fram ett helt nytt kunskapsområde, beslutsteorin, där man undersöker hur man bör välja i situationer där konsekvenserna av en handling är osäkra. En princip som man kan grunda beslutsteorin på är: välj att utföra den handling vars konsekvenser har det största förväntade värdet jämfört med det förväntade värdet av de alternativa handlingarnas konsekvenser. Det förväntade värdet av en handling får vi som vi skrivit ovan fram genom att: a) räkna ut sannolikheten för var och en av de konsekvenser (utfall) handlingen kan tänkas få (sannolikheten tilldelas ett värde mellan 0 och1) b) bestämma vilket värde var och en av dessa konsekvenser har (värdet anges som ett tal) c) för alla konsekvenser multipliceras sannolikheten för denna konsekvens med värdet för denna konsekvens d) summera de tal man då får Exempel Om du har en vanlig 6-sidig tärning och använder dig av ovanstående teori får vi: Att rulla en 1:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 2:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 3:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 4:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 5:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 6:a har en sannolikhet av 1/6
2 Lösning Att multiplicera värdena (resultaten) med deras respektive sannolikhet ger: 1 1/6 = 1/6 2 1/6 = 2/6 3 1/6 = 3/6 4 1/6 = 4/6 5 1/6 = 5/6 6 1/6 = 6/6 Genom att addera dem tillsammans får vi: 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 3,5 Således är ditt förväntade värde av att kasta en tärning 3,5. Med en annan synvinkel, om du kastar en 6-sidig tärning 1 miljon gånger, adderar ihop alla dina poäng och sen delar summan med 1 miljon, så kommer resultatet med största sannolikhet bli 3,5. G1 Vad händer om det är en fusktärning så att nummer 6 har en 50 % chans att komma. De övriga sannolikheterna är lika stora? G2 Beräkna det förväntade värdet med kast av en dodekaeder. G3 Anta att du ska singla slant med Per och ni har gjort ett vad. Om myntet landar på krona, så ger Per dig 100 kr. Om det kommer klave, så ger du Per 1 kr. Vilket blir det förväntade värdet i detta vad? Skulle du, rent teoretiskt acceptera förutsättningarna för det här vadet? G4 Johan har upptäckt två aktier vars utfall beror på vädret. Han har dessutom räknat fram att deras förväntade värden är lika. Visa att Johan har räknat korrekt Vädret och sannolikheten Aktie A (avkastning) Aktie B (avkastning) Regn 1/3 0 5 Molnigt 1/ Sol 1/ G5 Sara vet inte vilket jobb hon skall ta. Hon kan välja bland två som ger samma ingångslön och det första ger en 50%-ig chans till 20% i löneökning inom det närmaste året. Det andra ger en 80%-ig chans till 10% i löneökning. Kan du hjälpa henne att välja genom att använda begreppet förväntat värde?
3 G6 Vilket av följande lotterier bör du välja för att maximera förväntat värde? Lotteri 1säljer lotter à 5 kr 1 högsta vinst à 1000 kr 200 vinster à 100 kr Lotteri 2 säljer 6000 lotter à 5 kr 15 högsta vinster à 1000 kr Om nu det förväntade värdet av ett lotteri är negativt, hur kommer det sig att man ändå köper lotter? Modell Subjektiv uppskattning av sannolikheter Exempel Erika och hennes kompis Malin har varit på nattklubb i Öbro. De bestämmer sig för att bryta upp klockan tre på morgonen. De bor åt motsatt håll och Erika vet att Malin kommer att ta vägen genom en park med täta buskage. Det har förekommit en hel del överfall på kvinnor den senaste tiden. Erika vill gärna gå direkt hem, men är lite orolig för att låta Malin gå hem ensam. Samtidigt vet hon att sannolikheten för att Malin skall råka ut för en våldtäktsman är ganska liten. Erika överväger om hon bör erbjuda sig att följa med Malin hem och sova över hos henne. Hon har alltså två handlingsalternativ H 1: att lämna Malin och gå direkt hem eller H 2: att följa med Malin. Vi kan tänka oss att H 1 helt säkert har konsekvensen att Erika snabbt kommer i säng och får sova lugnt trots en viss oro. Låt oss säga att värdet av denna konsekvens kan sättas till och att sannolikheten för detta alternativ är 1. Sannolikheten för att Malin blir våldtagen är då 0,01. Om hon väljer H 2 är sannolikheten för att Malin skall bli överfallen 0,001. Om Erika följer med så slipper hon oroa sig och vi antar att denna konsekvens har värdet Om Malin skulle bli överfallen är det negativa värdet av denna konsekvens mycket högt, säg Det förväntade värdena av de två alternativen: H 1 är ,01 ( ) = 9000 H 2 är ,001 ( ) = 900 Erika bör alltså välja H 2 som har ett större förväntat värde än H 1.
4 G7 Det är kanske möjligt att sätta ett siffervärde på sannolikheten för att något skall inträffa, men hur är det med värdet av konsekvenserna? Diskutera om det går att hitta en skala där man kan placera in konsekvensernas värde. Hur mycket skall det negativa värdet av t ex en våldtäkt understiga det positiva värdet av att ingenting allvarligt händer? Vi har ett problem med de värden som vi laborerar med. I lotteriexemplet G6 antog vi att värdet av pengar kunde sättas proportionellt mot penningsumman, men vi förstår kanske att detta inte alltid är fallet. Ofta har vi inte något kvantitativt mått för de värden som vi måste ta hänsyn till. Har vi vissa värden som överhuvudtaget inte kan uppvägas av några andra värden, kan vi t ex sätta deras värde mycket högt, en sorts maximin-princip. Den franske filosofen och matematikern Blaise Pascal ( ) ger i sina Tankar (nr 233) ett berömt argument, som kallats vadslagningen, där han anger värdet av evig salighet som oändligt. Jag använder här Føllesdals och Walløes formulering av argumentet i deras Argumentationsteori, Språk och Vetenskapsfilosofi:
5 Vi har valet mellan att foga oss efter den kristna religionen (alternativ A 1) eller inte foga oss efter den (alternativ A 2). Om den kristna religionen är sann, så vinner vi ett liv i evig salighet (värde ) om vi fogar oss efter den. Skulle den vara osann, förlorar vi mycket lite, för det vi måste offra för den är bara några flyktiga glädjeämnen i ett kortvarigt liv (förlusten av dessa flyktiga glädjeämnen åsätter vi godtyckligt värdet 1). Det värde vi väljer kan vara godtyckligt, eftersom det här ska jämföras med ett oändligt stort värde. Det enda villkor som värdet måste uppfylla, är att det är oändligt litet i förhållande till värdet av evig salighet. Ett evigt liv utan salighet ger vi, godtyckligt, värdet 0. Kanske skulle det vara rimligt att ge detta ett oändligt stort negativt värde, det kunde ju möjligen innebära evig förtappelse. Då skulle Pascals överväganden gå ännu starkare i hans favör. Men Pascal går inte in på detta, allt han behöver för sitt argument är antagandet om en evig salighet, han behöver dessutom inte anta en evig pina. G8 Gör ett träddiagram för Pascals exempel. G9 Det byggs mötesfria s.k. 2+1 vägar i Sverige. Det har diskuterats vilka fördelar och nackdelar dessa har. Ta reda på fakta om detta och försök att räkna ut det förväntade värdet av att bygga dessa vägar. Undersökningar visar att antalet dödsolyckor är lågt på mötesfria vägar. Här uppstår frågan: hur mycket är ett människoliv värt? G10 Gör en undersökning lik den i G9 rörande vaccination mot svininfluensa. G11 Du har vunnit en gratis semesterresa på din senaste bingolott. TV4:s programansvarig ger dig tre valmöjligheter. Du kan välja mellan att resa till London, Paris eller Tokyo. Om du reser till London kommer du att ha det småtrevligt. Om du reser till Paris kommer du att ha det underbart förutsatt att du inte blir matförgiftad. Om du blir matförgiftad kommer du att ha det tråkigt. Om du reser till Tokyo kommer du att ha det trevligt förutsatt att det inte är kallt. Om du väljer att resa till Tokyo och det är kallt där kommer du att ha det tråkigt. Försök att lösa problemet.
6 G12 En riskkapitalist skall investera 2500 kkr. De verksamheter han tänker investera i ger följande vinster. Vinst 400 kkr 300 kkr 150 kkr 50 kkr Sannolikhet 0,25 0,50 0,20 0,05 Vilket är det förväntade värdet på hans investeringar? G13 En innehavare av ett stånd på en marknadsplats erbjuder 50 kr för den som lyckas få en multipel av tre på varje tärning. Kostnaden för ett försök är 2,50 kr. Vilket är det förväntade värdet för detta spel för innehavaren? (Vinnare får tillbaka de satsade 2,50 kr.) G14 En urna innehåller fyra orangea kulor och fyra gröna kulor. Två spelare definierar ett spel med följande regler Du turas om att på måfå ta en kula ur urnan. De kulor som tagits läggs ej tillbaka i urnan. Spelet är slut när den första gröna kulan har tagits upp. Beräkna det förväntade värdet. Vi ger som ledtråd ett träddiagram med tre sannolikheter utskrivna de övriga får du själv beräkna.
7 Facit G1 1 1/10 = 1/10 2 1/10 = 2/10 3 1/10 = 3/10 4 1/10 = 4/10 5 1/10 = 5/10 6 1/2 = 3 Det förväntade värdet är 1/10 + 2/10 + 3/10 + 4/10 + 5/ = 4,5 G2 Det förväntade värdet är 6,5. G3 Det är en 50 % chans att myntet landar krona, och då vinner du 100 kr. Således är din förväntade vinst 50 kr (0,5 100kr). Om det landar på klave så förlorar du 1 kr. Följaktligen är din förväntade förlust på 0,5 kr (0.5 1kr). Ditt förväntade värde är den förväntade vinsten minus den förväntade förlusten. Din förväntade vinst kommer att ligga på 49,5 kr. Du kommer naturligtvis inte att vinna 49,5 kr på en slantsingling, du kommer antingen vinna 100 kr eller förlora 1 kr. Men, du bör se vadet som att du vinner 49,50 varje gång. Naturligtvis är resultatet högst osäkert i det korta loppet. Men om vi skulle singla slant 1 miljon gånger så skulle din vinst vara väldigt nära 49,50 miljoner kr. G4 G5 De förväntade avkastningarna på dessa tillgångar: Förväntad avkastning Aktie A = (1/3) (0)+(1/3) 5+(1/3) 10 = 5 Förväntad avkastning aktie B = (1/3) 5+(1/3) 15+(1/3) (-5) = 5 Båda två har förväntad avkastning på 5 kr. Detta innebär att vi behåller tillgångarna under en längre period kan vi förvänta oss en avkastning på 5 kr. Eftersom de båda tillgångarna har samma avkastning, kan de då betraktas vara lika bra? Enligt finansiell teori är svaret nej, då de båda aktierna har olika risk. Vilket har den största risken tror du? Det första förväntade värdet är 0,5 1,20 = 0,60; det andra förväntade värdet är 0,80 1,10 = 0,88. Hon bör välja det andra erbjudandet. G6 Lotteri 1 ger en förväntad vinst = / / /12000 = 0,77. Lotteri 2 ger en förväntad vinst = / /6000 = -2,49.
8 G8 G12 Det förväntade värdet på hans investeringar är 0, , , ,05 50 kkr = 282,5 kkr G13 Sannolikheten för multipler 8/216 och därmed sannolikheten för icke multipler är 208/216. Alltså är den förväntade vinsten 50 8/ ,5 208/216=0,60 kr G14 Dina sannolikheter för träddiagrammet bör vara: Antalet val för att få en grön kula Sannolikheten 1 4/8 = 1/2 2 4/8 4/7 = 2/7 3 4/8 3/7 4/6 = 1/7 4 4/8 3/7 2/6 4/5 = 2/35 5 4/8 3/7 2/6 1/5 4/4 = 1/70 Det förväntade värdet = 1 1/ / / / /70 = 1,8
5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen
Chans och risk ål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de kunna: förklara vad som menas med begreppet sannolikhet räkna ut sannolikheten för att en händelse ska inträffa känna till hur sannolikhet
Läs mer7-1 Sannolikhet. Namn:.
7-1 Sannolikhet. Namn:. Inledning Du har säkert hört ordet sannolikhet förut. Hur sannolikt är det att få 13 rätt på tipset eller 7 rätt på lotto? I detta kapitel skall du lära dig vad sannolikhet är för
Läs mer7-2 Sammansatta händelser.
Namn: 7-2 Sammansatta händelser. Inledning Du vet nu vad som menas med sannolikhet. Det lärde du dig i kapitlet om just sannolikhet. Nu skall du tränga lite djupare i sannolikhetens underbara värld och
Läs mer5.3 Sannolikhet i flera steg
5.3 Sannolikhet i flera steg När man singlar slant kan man få utfallen krona eller klave. Sannolikheten att få klave är - och krona ^. Vad är sannolikheten att fä krona två. kast i rad? Träddlagram För
Läs merLotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning
Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel
Läs merMATEMATIKSPELET TAR DU RISKEN
MATEMATIKSPELET TAR DU RISKEN 1. Kasta en tärning 20 gånger. Målet är att minst 10 gånger få ögontalet 4, 5 eller 6. Om du lyckas, får du 300 poäng. Om du inte lyckas, förlorar du 100 poäng. Tar 2. Kasta
Läs merSpelregler. 2-6 deltagare från 10 år. En svensk spelklassiker
En svensk spelklassiker Spelregler 2-6 deltagare från 10 år Innehåll: 1 spelplan, korthållare, 2 tärningar, 6 spelpjäser, 21 aktier, 20 lagfartsbevis, 12 obligationer, 21 finanstidningar, 40 börstips,
Läs merLaboration 2. Artificiell Intelligens, Ht 2004 2004-10-19 Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink
Artificiell Intelligens, Ht 2004 2004-10-19 Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink Laboration 2 Laboranter: Johan Bystedt (dit02lbt) Alexander Pettersson (dit02apn) Stefan
Läs mer1 Mätdata och statistik
Matematikcentrum Matematik NF Mätdata och statistik Betrakta frågeställningen Hur mycket väger en nyfödd bebis?. Frågan verkar naturlig, men samtidigt mycket svår att besvara. För att ge ett fullständigt
Läs merMörkpoker Strategi. 2003 Christian Eriksson och Mikael Knutsson Uppdaterad 2004-01-26
Mörkpoker Strategi 2003 Christian Eriksson och Mikael Knutsson Uppdaterad 2004-01-26 Innehåll 1 GRUNDLÄGGANDE VISDOM...2 1.1 SATSNINGSRUNDOR...3 1.2 TÄNK IGENOM SITUATIONEN!...4 1.3 DISCIPLIN...5 1.4 BLUFFANDE/VARIERAT
Läs merSannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. I slutet av dokumentet hittar du uppgifter med vilka du kan testa om
Läs merSANNOLIKHET OCH SPEL
SANNOLIKHET OCH SPEL I ÖVNINGEN INGÅR ATT: Formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat (MA) Tolka en realistisk situation och utforma en matematisk
Läs mer2013 PUBLIC EXAMINATION. Swedish. Continuers Level. Section 1: Listening and Responding. Transcript
2013 PUBLIC EXAMINATION Swedish Continuers Level Section 1: Listening and Responding Transcript Board of Studies NSW 2013 Section 1, Part A Text 1 Meddelande för resenärer på perrong tre. Tåget mot Söderköping
Läs merSannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Sannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast Håkan Sollervall, Malmö
Läs merMolly brukade vara en så glad och sprallig tjej, men idag förändrades allt. Molly stirrade på lappen någon hade lagt i hennes skåp.
Förföljaren Molly brukade vara en så glad och sprallig tjej, men idag förändrades allt Molly stirrade på lappen någon hade lagt i hennes skåp. Var på din vakt och håll ögonen öppna, med sylvassa naglar
Läs merZÄTA FÄRGCHANSEN CHANSE 58:AN UTSPELET CHANSEN TREKLÖVERN ZÄTA CHANSEN 58:AN. Spelmeny ANGERED - ALINGSÅS. www.idrottensbingo.se
CHANS TREKLÖVERN ZÄTA FÄRGCHANSEN CHANSEN 58:AN UTSPELET CHANSEN TREKLÖVE ZÄTA FÄRGCH CHANSE 58:AN UTSP Spelmeny ANGERED - ALINGSÅS www.idrottensbingo.se Innehållsförteckning ALLMÄN INFORMATION... sidan
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs
Läs merThree Monkeys Trading. Tänk Just nu
Three Monkeys Trading Tänk Just nu Idag ska vi ta upp ett koncept som är otroligt användbart för en trader i syfte att undvika fällan av fasta eller absoluta uppfattningar. Det är mycket vanligt att en
Läs merSannolikhet DIAGNOS SA3
Sannolikhet DIAGNOS SA3 Grundläggande sannolikhet Diagnosen omfattar 9 uppgifter där eleverna ska ges möjlighet att visa om de förstår innebörden av begreppet sannolikhet och slump samt om de har strategier
Läs merGod morgon Z, Hoppas du kunnat sova. Det blev ju litet jobbigt igår, och jag tänkte att jag kanske kan försöka förklara hur jag ser på det som hände och på hur vi har det i ett brev. Jag gissar att du
Läs mer1.5 Vad är sannolikheten för att ett slumpvis draget spelkort ska vara femma eller lägre eller knekt, dam, kung eller äss?
1 ÖVNINGAR I INDUKTIV LOGIK 1.1 En tärning kastas. Ange sannolikheten för att antalet ögon är a) 3 b) inte 3 c) 3 eller 5 d) jämnt e) mindre än 4 f) jämnt och mindre än 4 g) jämnt eller mindre än 4 h)
Läs merUppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori
Grunder i matematik och logik (2017) Uppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori Marco Kuhlmann Kombinatorik Nivå A 6.01 En meny består av tre förrätter, fem huvudrätter och två efterrätter. På hur
Läs merEn rapport om sparande och riskbenägenhet april 2009. Nordnet Bank AB. Arturo Arques
En rapport om sparande och riskbenägenhet april 2009 Nordnet Bank AB Arturo Arques Inledning Riksdagen och arbetsmarknadens parter har i praktiken tvingat alla löntagare att själva ta ansvar för sin pensionsförvaltning
Läs merThree Monkeys Trading. Tärningar och risk-reward
Three Monkeys Trading Tärningar och risk-reward I en bok vid namn A random walk down Wall Street tar Burton Malkiel upp det omtalade exemplet på hur en apa som kastar pil på en tavla genererar lika bra
Läs merSannolikhetslära till pdf.notebook. May 04, 2012. Sannolikhetslära. Kristina.Wallin@kau.se
May 0, 0 Sannolikhetslära Kristina.Wallin@kau.se May 0, 0 Centralt innehåll Sannolikhet Åk Slumpmässiga händelser i experiment och spel. Åk 6 Sannolikhet, chans och risk grundat på observationer, experiment
Läs merhändelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning
Läs merSVENSKA Inplaceringstest A
SVENSKA Inplaceringstest A Välj ett ord som passar i meningen. Använd bara ordet en gång. Exempel: Smöret står i kylskåpet. Det ringer på dörren. Han fick ett brev från mamma. De pratar om vädret. om /
Läs merRESAN. År 6. År 7. Målet i år 7 är att klara av nedanstående resa:
RESAN År 6 I år 6 är målet att du ska kunna kommunicera på mycket enkel franska. För att nå målet lär du dig ord och uttryck inom många olika områden, t.ex. familjen, djur, frukter, klockan, sporter och
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Slumpvariabler, stokastiska variabler. Stokastiska variabler. F4 Diskreta variabler
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F4 Diskreta variabler Slumpvariabler, stokastiska variabler Stokastiska variabler diskreta variabler kontinuerliga
Läs merKapitel 5. Scanlon bemöter delvis invändningen genom att hävda att kontraktualistiskt resonerande är holistiskt.
Men stämmer det att man har skäl att förkasta en princip endast om det vore dåligt för en om den blev allmänt accepterad? En intressant tillämpning i sammanhanget är det som Scanlon kallar fairness. Han
Läs merMaka, mor. 001 Ett stycke vardag gjorde hon till fest. Hjalmar Gullberg
001 Ett stycke vardag gjorde hon till fest. Hjalmar Gullberg 002 Din levnadsdag är slut, Din jordevandring ändad Du här har kämpat ut Och dina kära lämnat Nu vilar Du i ro och frid Hos Jesu Krist till
Läs merKALLE ANKA CUP Matchskola
KALLE ANKA CUP Matchskola Kalle Anka Cup matchskola är uppdelad i fem avsnitt Sida Så ser tennisbanan ut 2 Så räknar du 4 Så spelar du singel 5 Så spelar du dubbel 7 Första matchen 8 Sida 1 av 10 Så ser
Läs merBetingad sannolikhet och oberoende händelser
Kapitel 5 Betingad sannolikhet och oberoende händelser Betrakta ett försök med ett ändligt utfallsrum Ω och en händelse A vid detta försök. Definitionsmässigt gäller att A Ω och försökets utfall ligger
Läs merSannolihhet. och statistik. Vad är möjligt och vad är inte möjligt? Kommer tåget fram i tid? Blir det regn imorgon? Vi bedömer ständigt risker eller
- ^^s^^^^'^^ Sannolihhet och statistik Vad är möjligt och vad är inte möjligt? Kommer tåget fram i tid? Blir det regn imorgon? Vi bedömer ständigt risker eller chanser för att olika händelser ska inträffa.
Läs merKimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik
Kimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik Lönar det sig att vara självisk? Kimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik Boktips Full av underbara enkla tankeexperiment för att demonstrera skillnaden
Läs merSmart insatsplan. Bifogat den här artikeln finns en enkel A4 där du kan bokföra insatsplanens spel. Använd den!
Smart insatsplan Artikel är skriven av Johan som äger www.storavinster.se. Vi ger professionella råd om hur du ska spela för att vinna i längden. Du hittar fler artiklar om spel om du besöker hemsidan.
Läs merLärarmaterial. Vad handlar boken om? Mål ur Lgr 11. Samla eleverna och diskutera följande kring boken: Författare: Hans Peterson
sidan 1 Författare: Hans Peterson Vad handlar boken om? Boken handlar om. Hon är en ganska ensam tjej som gärna vill hänga med de coola tjejerna Anna och Sara. På lunchrasten frågar Anna och Sara om vill
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 1
Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs B som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra
Läs mer3-3 Skriftliga räknemetoder
Namn: 3-3 Skriftliga räknemetoder Inledning Skriftliga räknemetoder vad är det? undrar du kanske. Och varför behöver jag kunna det? Att det står i läroplanen är ju ett klent svar. Det finns miniräknare,
Läs merFöreläsning 4: Beslut och nytta, paradoxer
Föreläsning 4: Beslut och nytta, paradoxer Litteratur: Hansson, Introduction to Decision Theory, kap 5-7 och 11 Resnik, Choices, kap 4 1# S:t Petersburg-paradoxen (Daniel Bernoulli, 1713; Nicolas Bernoulli,
Läs merLotto, ett skicklighetsspel!
79 Lotto, ett skicklighetsspel! Jan Grandell KTH 1. Inledning. Du håller nog med om att om man köper en lott så är det bara en fråga om tur om man vinner och hur mycket man vinner. På samma sätt håller
Läs merAntal svarande i kommunen 32 Andel svarande i kommunen, procent 43 Kategorier ångest? Mycket dåligt Totalt Nej. Någorlunda. Mycket gott.
Resultat för särskilt boende 203, per kön, åldersgrupp, hälsotillstånd, 863 Hällefors F Hur bedömer du ditt allmänna hälsotillstånd? F2 Har du besvär av ängslan, oro eller ångest? gott gott Någorlunda
Läs merBULL & BEAR INTE BARA ATT TUTA OCH KÖRA
BULL & BEAR INTE BARA ATT TUTA OCH KÖRA En investering i värdepapper kan både öka och minska i värde och det är inte säkert att du får tillbaka hela det investerade kapitalet. Historisk utveckling utgör
Läs merArbetsblad 5:1. Tolka diagram. 1 a) Vilket var kilopriset år 2003? 2 a) Vad kallas den här typen av
Arbetsblad 5:1 Tolka diagram Besvara frågorna med hjälp av diagrammen 1 a) Vilket var kilopriset år 2003? b) Hur mycket ökade priset mellan 1991 och 2001? c) Mellan vilka år var ökningen st? Pris (kr/kg)
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik Jörgen Säve-Söderbergh Information om kursen Kom ihåg att
Läs merExempelprov. Matematik Del A, muntlig del. 1abc
Exempelprov Matematik Del A, muntlig del 1abc 2 DEL A, EXEMPELPROV MATEMATIK 1ABC Innehållsförteckning 1. Instruktioner för att genomföra del A... 5 2. Uppgifter för del A... 6 Version 1 Sten, sax och
Läs mer205. Begrepp och metoder. Jacob Sjöström jacobsjostrom@gmail.com
205. Begrepp och metoder Bo Sjöström bo.sjostrom@mah.se Jacob Sjöström jacobsjostrom@gmail.com Hur hög är en stapel med en miljon A4-papper? 100 st 80 grams har höjden 1 cm 1000 1 dm 1 000 000 1000 dm
Läs mer1 Börja samtalet med tjejerna idag! EnRigtigMand.dk. Äger alla rättigheter
1 Börja samtalet med tjejerna idag! Starta samtalet en kort introduktion Denna bok är skrivit med ett syfte. Syftet är att ge dig de redskapen som krävs, för att träffa människor. Varken mer eller mindre.
Läs merAllmänt om Pidro. Spelets uppbyggnad
Allmänt om Pidro Pidro är ett kortspel för fyra personer där ett par spelar mot ett annat par. Lagmedlemmarna sitter mittemot varandra. Pidro liknar t.ex. Bridge i det avseendet att spelet är uppdelat
Läs merBarn och skärmtid inledning!
BARN OCH SKÄRMTID Barn och skärmtid inledning Undersökningen är gjord på uppdrag av Digitala Livet. Digitala Livet är en satsning inom Aftonbladets partnerstudio, där Aftonbladet tillsammans med sin partner
Läs merTema 3 När kroppen är med och lägger sig i. Vi uppfinner sätt att föra ett budskap vidare utan att prata och sms:a.
Tema 3 När kroppen är med och lägger sig i Vi uppfinner sätt att föra ett budskap vidare utan att prata och sms:a. När vi vill berätta för andra vad vi tänker och känner kan vi göra det på olika sätt.
Läs merMI - Motiverande samtal
MI - Motiverande samtal eng. Motivational Interviewing, William R. Miller & Stephen Rollnick Ett material av Leg. psykolog Barbro Holm Ivarsson till boken MI Motiverande samtal Praktisk handbok för hälso-
Läs merREPETITION 3 A. en femma eller en sexa?
REPETITION 3 A 1 Du kastar en vanlig tärning en gång. Hur stor är sannolikheten att du får en femma eller en sexa? 2 Eleverna i klass 8C fick ge betyg på en bok som de hade läst. Diagrammet visar resultatet.
Läs mer2012 PUBLIC EXAMINATION. Swedish. Continuers Level. Section 1: Listening and Responding. Transcript
2012 PUBLIC EXAMINATION Swedish Continuers Level Section 1: Listening and Responding Transcript Board of Studies NSW 2012 Section 1, Part A Text 1 THOMAS: THOMAS : THOMAS : [Knocks on the door] Kom igen
Läs merVad har du gjort på semestern?
Vad har du gjort på semestern? Joanna, vad har du gjort på din semester? Min semester har varit lite ovanlig för vi hade inte så mycket tid att planera den. Vi visste inte riktigt hur det skulle bli med
Läs merUtvärdering av tyngdtäcke
1 Utvärdering av tyngdtäcke Dag- och nattbok MED tyngdtäcke När du har fått ditt tyngdtäcke ska dag- och nattbok fyllas i under ca 4 veckor. Förskrivaren utvärderar efter 4 veckor Efter ca 4 veckor med
Läs merSTYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år.
STYRANDE SATSER 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. Vilket år är du född? 1971 Då har du bara 35 år kvar
Läs merTentamen på kurs Nationalekonomi (1-20 poäng), delkurs 1, Mikroekonomisk teori med tillämpningar, 7 poäng, måndagen den 15 augusti 2005, kl 9-14.
HÖGSKOLAN I HALMSTAD INSTITUTIONEN FÖR EKONOMI OCH TEKNIK Tentamen på kurs Nationalekonomi (1-20 poäng), delkurs 1, Mikroekonomisk teori med tillämpningar, 7 poäng, måndagen den 15 augusti 2005, kl 9-14.
Läs merSannolikhetsbegreppet
Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34
Läs merBESTÄLLARSKOLAN #4: VAD KOSTAR DET ATT GÖRA FILM?
Sida 1/7 BESTÄLLARSKOLAN #4: VAD KOSTAR DET ATT GÖRA FILM? I detta avsnitt kommer du upptäcka bland annat: Hur du sparar halva reklamfilmskostnaden Vad det är som kostar i en film Vad du måste berätta
Läs merOm erbjudandet för din pensionsförsäkring med traditionell förvaltning.
Om erbjudandet för din pensionsförsäkring med traditionell förvaltning. Fakta om erbjudandet att ändra villkor till vår nya traditionella förvaltning Nya Trad Du har nu möjlighet att ändra villkor till
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merNp MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar Provtid
Läs merPlaceringskod. Blad nr..av ( ) Uppgift/Fråga: 1 (6 poäng)
Uppgift/Fråga: 1 (6 poäng) Diskutera kortfattat skillnaderna mellan eget kapital (aktiekapital) och främmande kapital (lån) (minst 3 relevanta skillnader * 2 poäng/skillnad = 6 poäng) Uppgift/Fråga: 2
Läs merKombinatorik. Bilder: Akvareller gjorda av Ramon Cavallers, övriga diagram och foton av Nils-Göran. Nils-Göran Mattsson och Bokförlaget Borken, 2011
Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13
Läs merKombinatorik och sannolikhetslära
Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i
Läs merVad kan hända? strävorna
strävorna 4D Vad kan hända? föra, följa och värdera matematiska resonemang sannolikhet Avsikt och matematikinnehåll Innebörden i sannolikhet är en viktig kunskap för alla. Det finns gott om exempel på
Läs merOm sannolikhet. Bengt Ringnér. August 27, Detta är introduktionsmaterial till kursen i matematisk statistik för lantmätarprogrammet
Om sannolikhet Bengt Ringnér August 27, 2007 1 Inledning Detta är introduktionsmaterial till kursen i matematisk statistik för lantmätarprogrammet vid LTH hösten 2007. 2 Sannolikhetsteori Sannolikhetsteori,
Läs merFöräldramöten på daghem och i skolor 2015
Föräldramöten på daghem och i skolor 2015 Under 2015 erbjöd Barnens Internet föräldraföreläsningar till samtliga lågstadieskolor samt till de daghem på Åland där föreläsningar inte genomfördes under 2014.
Läs merC++ Slumptalsfunktioner + switch-satsen
C++ Slumptalsfunktioner + switch-satsen Veckans avsnitt består av ett antal lite udda funktioner man kan ha nytta av när man skriver program. Det är en slumptalsgenerator och lite annat smått och gott.
Läs merTAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp
TMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp Johan Thim 31 oktober 2018 1.1 Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet ej kan förutsägas deterministiskt. Slumpförsöket har olika möjliga utfall.
Läs merÖvning: Dilemmafrågor
Övning: Dilemmafrågor Placera föräldrarna i grupper med ca 6-7 st/grupp. Läs upp ett dilemma i taget och låt föräldrarna resonera kring tänkbara lösningar. Varje fråga kan även visas på OH/ppt samtidigt,
Läs merHej snygging Hej. Skicka en bild ;) Vaddå för bild? :) Naket!! Nä känner inte dig.
Hej snygging Hej Skicka en bild ;) Vaddå för bild? :) Naket!! Nä känner inte dig. Lyssna din lilla hora! Jag känner folk som gillar att spöa på tjejer, de tvekar inte att hoppa på ditt huvud. Vill du det???
Läs merNär Lisa skulle sövas.
2010 När det var dags att sova fick jag sömnmedel genom plaströret på handen. markusmarkusmarkus När Lisa skulle sövas. Barn- och ungdomsmedicinska kliniken, Jönköping 2010-03-25 Här är jag, jag heter
Läs merStudiehandledning, LMN100, Del 3 Matematikdelen
Studiehandledning, LMN100, Del 3 Matematikdelen Kurslitteratur Staffan Stukat: Statistikens grunder (c:a 150:-) Vretblad: Algebra och geometri, utdrag (Delas ut på marsträffen) Britton-Garmo: Sannolikhet
Läs merKapitel 1. Publicerat med tillstånd Bortdribblad Text Magnus Ljunggren Bild Mats Vänehem Bonnier Carlsen 2013
Kapitel 1 Det är tisdag kväll och som vanligt har ABK:s lag träning. I små grupper dribblar man runt koner, tränar inkast, skjuter på mål eller övar väggpass. Bra! skriker Hanna när Yalam lyckas dribbla
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter
Läs merAnna: Bertil: Cecilia:
Marco Kuhlmann 1 Osäkerhet 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Intelligenta agenter måste kunna hantera osäkerhet. Världen är endast delvist observerbar och stokastisk. (Jmf. Russell och Norvig, 2014, avsnitt 2.3.2.)
Läs merInstruktioner för dig som ska söka till Mattekollo 2016
Instruktioner för dig som ska söka till Mattekollo 2016 Matematik är KUL men Mattekollo 2016 har tyvärr ett begränsat antal platser, nämligen 40 stycken. Det blir även ett roligare kollo om de som kommer
Läs merXACT Bull och XACT Bear. Så fungerar XACTs börshandlade fonder med hävstång
XACT Bull och XACT Bear Så fungerar XACTs börshandlade fonder med hävstång 1 Så fungerar fonder med hävstång Den här broschyren är avsedd att ge en beskrivning av XACTs börshandlade fonder ( Exchange Traded
Läs merOm erbjudandet för din pensionsförsäkring med traditionell förvaltning.
Om erbjudandet för din pensionsförsäkring med traditionell förvaltning. Avtalspension Kompletterande pension Fakta om erbjudandet att ändra villkor till vår nya traditionella förvaltning Nya Trad Du har
Läs merTEAM. Manus presentationen
4 TEAM Manus presentationen Nu är chansen är din! 1 Ni startar upp er verksamhet med 1.000 p. Det ger er först och främst rätt till att kvalificera ert företagande i Nu Skin. Dessutom får ni ett stort
Läs merKombinatorik 6.19. Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3)
Kombinatorik 6.19 Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3) S: Sitter med med uppgift 6.19 a och b i EA och trots att det finns lösningsförslag till a på hemsidan så förstår jag inte. C(n+1,2) - C(n,2)
Läs merSlumpförsök för åk 1-3
Modul: Sannolikhet och statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slumpförsök för åk 1-3 Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet I följande text beskrivs
Läs merANONYMA TENTAMINA (FÖRDELAR) ÅSIKTSTORG:
ANONYMA TENTAMINA (FÖRDELAR) ÅSIKTSTORG: SVAR: 1. En bra lärare kan inte favorisera 2. Kan vara bra för att förminska diskriminering 3. Att man inte kan bli orättvist bedömd 4. Alla blir lika behandlade
Läs merLärarmaterial. Böckerna om Sara och Anna. Vilka handlar böckerna om? Vad tas upp i böckerna? Vem passar böckerna för? Vad handlar boken om?
sidan 1 Böckerna om Sara och Anna Författare: Catrin Ankh Vilka handlar böckerna om? Böckerna handlar om två tjejer i 15-årsåldern som heter Sara och Anna. De är bästa vänner och går i samma klass. Tjejerna
Läs merOm erbjudandet för din pensionsförsäkring med traditionell förvaltning.
Om erbjudandet för din pensionsförsäkring med traditionell förvaltning. Privat Pension Pensionskonto LRF MedlemsPension Fakta om erbjudandet att ändra villkor till vår nya traditionella förvaltning Nya
Läs merNu bygger vi nya solcellsparker och kan ta emot fler sparare
3 % SPARA I SOLCELLER R Ä N T A Nu bygger vi nya solcellsparker och kan ta emot fler sparare LÅT SOLEN GÖRA JOBBET! 2012 var det år då ETC fick fart på landets största offentliga solcellspark i Katrineholm
Läs merStatistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen
Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet
Läs merLite pengar gör stor skillnad
Lite pengar gör stor skillnad Om undersökningen Undersökningen genomfördes i Sverige i månadsskiftet oktober-november 2007. Datainsamlingen gjordes i form av en e- postenkät tillsammans med datainsamlingsföretaget
Läs merÖvningsexempel i Finansiell Matematik
KTH Matematik Harald Lang 27/3-04 Övningsexempel i Finansiell Matematik 1. Riskjusterade sannolikhetsmått 1. Vi betraktar en stokastisk utbetalning X(ω) som ger utdelning enligt tabellen ω 1 ω 2 ω 2 pris
Läs merELEVHJÄLP. Diskussion s. 2 Åsikter s. 3. Källkritik s. 11. Fördelar och nackdelar s. 4. Samarbete s. 10. Slutsatser s. 9. Konsekvenser s.
Källkritik s. 11 Diskussion s. 2 Åsikter s. 3 Samarbete s. 10 Slutsatser s. 9 ELEVHJÄLP Fördelar och nackdelar s. 4 Konsekvenser s. 5 Lösningar s. 8 Perspektiv s. 7 Likheter och skillnader s. 6 1 Resonera/diskutera/samtala
Läs merIshavsspelet är ett kort- och tärningsspel för 2-4 spelare som bygger på tur och lite strategi
Ishavsspelet är ett kort- och tärningsspel för 2-4 spelare som bygger på tur och lite strategi Spelet hör ihop med Sveriges Radios julkalender Siri och ishavspiraterna och du kan ladda hem och skriva ut
Läs merenkelt superläskigt. Jag ska, Publicerat med tillstånd Fråga chans Text Marie Oskarsson Bild Helena Bergendahl Bonnier Carlsen 2011
Kapitel 1 Det var alldeles tyst i klass 2 B. Jack satt med blicken envist fäst i skrivboken framför sig. Veckans Ord var ju så roligt Han behövde inte kolla för att veta var i klassrummet Emilia satt.
Läs merNORDEN I BIO 2008/09 Film: Goðir gestir (Island 2006) Svensk text
1 Har du köpt tillräckligt med saker? 2 Tja... Jag vet inte. Vad tycker du? Borde jag handla mer saker? 3 Är det nån på ön som du inte har köpt nåt åt? 4 -Ja, en. -En? 5 -Dig. -Men jag bor inte på ön...
Läs mergetsmart Grå Regler för:
(x²) 1 2 Regler för: getsmart Grå Algebra 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det rekommenderas att man börjar
Läs merEFG-härvan: Skandalchefen fick nytt toppjobb
EFG-härvan: Skandalchefen fick nytt toppjobb http://www.realtid.se/articlepages/200803/31/20080331200617_realtid707/20080331200617_ Realtid707.dbp.asp Magnus Olsson var finanschef på Helsingborgs kommun
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik Anders Björkström
STOCKHOLMS UNIVERSITET 2001-10-22 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik Anders Björkström GRUNDLÄGGANDE MATLAB-TRÄNING för den som aldrig har arbetat med Matlab förut A. Matlabs allmänna
Läs merÖppna frågor (ur Good questions for math teaching)
Här är öppna frågor som jag hämtat från boken Good questions for math teaching som jag läste i våras när jag gick Lärarlyftet. Frågorna är sorterade efter ämne/tema och förhoppningsvis kan fler ha nytta
Läs merAtt förbereda en finansieringsansökan hos banken
Att förbereda en finansieringsansökan hos banken Sara Jonsson, Centrum för Bank och Finans, KTH sara.jonsson@infra.kth.se 07-11-14 1 Hur resonerar banken? Banker är inte riskkapitalister! Bankfinansiering
Läs mer