Sannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast

Transkript

1 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Sannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast Håkan Sollervall, Malmö högskola Spelet nedan är en del av det så kallade Penney s game, som går ut på att två personer ska spela mot varandra genom att kasta ett mynt flera gånger. De väljer var sin kastserie, som i första spelet består av två och i andra spelet av tre specificerade resultat i rad. Den spelare vinner som först får upp sin kastserie. En vanlig gissning är att båda personerna har samma chans att vinna. Denna gissning stämmer i fallet med två resultat i rad, oavsett vilka kastserier de väljer, men visar sig vara felaktig för de flesta kombinationer av serier med tre resultat i rad. Detta upptäcks när man har spelat ett tag, eftersom den ene spelaren vinner markant fler omgångar. Dessa spel kan simuleras med kalkylprogram och ger då snabbt en insikt om att något inte står rätt till. Just detta att oväntade saker händer kan leda till att elever vill förklara och förstå orsakerna, genom att analysera spelet. Detta kan göras med träddiagram, där mönster framträder som inte är helt enkla att tolka. Eftersom träddiagram kan vara svåra att rita, så har det till denna uppgift förberetts en mall för träddiagram som kan skrivas ut och användas av elever samt som underlag för helklassdiskussion vid skrivtavlan. Uppgift. Viktor och Hamid ska spela två olika spel med ett mynt, där ena sidan har målats grön och den andra sidan har målats gul. Spelet går ut på att kasta myntet flera gånger, tills antingen Viktor eller Hamid får upp den kastserie de har valt. I det första spelet består kastserien av två resultat (i rad, dvs. direkt efter varandra) och i det andra spelet består den av tre resultat (också i rad). (a) Vem har störst chans att vinna, om Viktor satsar på grön-grön och Hamid satsar på grön-gul? Eller har de samma chans att vinna? (b) Vem har störst chans att vinna, om Viktor satsar på grön-grön-gul och Hamid satsar på gul-grön-grön? Eller har de samma chans att vinna? 1 (5)

2 I en undervisningssituation skulle eleverna kunna simulera spelet, exempelvis i Excel. På skrivtavlan kan följande kodning tydliggöras. Viktors satsning grön-grön ( ) kan kodas 1-1. Hamids satsning grön-gul ( ) kodas då 1-0. Genom att skriva in kommandot =RANDBETWEEN(0;1) i rutan A1 skapas ett slumptal (0 eller 1, med lika sannolikheter) i denna ruta. När Excel-rutans nedre högra hörn dras i sidled skapas fler slumptal, nedan i rutorna A1-T1. Dessa rutor kan markeras som en helhet och dras nedåt, så att ett helt rutnät av slumptal skapas. I figur 1 nedan visas 180 slumptal. Varje kolumn kan representera en spelomgång, där eleverna kan följa utfallet och se vem som vinner. Alternativt kan läraren göra detta på tavlan, gärna i interaktion med eleverna. I bilden nedan har läraren markerat med röd färg om serien 1 1 (Viktor) har vunnit och med blå färg om serien 1 0 (Hamid) har vunnit. Av de 20 omgångarna har Viktor vunnit 11 och Hamid vunnit 9. Figur 1: Simulering av 20 spelomgångar. Utfallet 11 9 antyder att spelet har varit rättvist, men det är naturligtvis inte tillräckligt som bevis. Eleverna kan då få analysera spelet i ett träddiagram. Eftersom träddiagram kan vara lite knepiga att rita, så att alla grenar får plats, kan det vara praktiskt att dela ut färdiga träddiagram som eleverna kan arbeta med, gärna i par eller i mindre grupper där de kan resonera och komma överens om vad som gäller. När eleverna har arbetat en stund med detta, kan en lärarledd uppföljning genomföras där eleverna bjuds in att tänka och bidra till de konstruktioner som görs på tavlan. Här kan det vara lämpligt att projicera mallen med träddiagrammet på skrivtavlan alltså från lärarens dator, via en tak- eller bordsprojektor både för att effektivisera det fortsatta arbetet och för att eleverna lättare ska kunna jämföra med vad de själva har gjort på papper. Genom att resonera med eleverna kan läraren markera deras slutsatser och be dem förklara hur de har resonerat (figur 2). Rent teoretiskt kan spelet pågå hur länge som helst, om den gula sidan fortsätter att komma upp om och om igen. En sammanfattande slutsats kan bli att spelet kommer in i ett avgörande skede när den gröna sidan kommer upp för första gången. Då avgörs spelet i nästa kast och både Viktor och Hamid har därför lika stor chans att vinna. 2 (5)

3 Antingen Viktor eller Hamid vinner efter nästa kast! Figur 2: Träddiagram som stöd för analys av spelet. Deluppgift (a) fyller flera syften. Dels får eleverna se hur Excel kan användas för att simulera spelet, antingen genom att pröva själva eller genom att observera hur läraren gör, dels kan de få hjälp att tolka de spelregler som även gäller i deluppgift (b), dvs. att den spelare vinner som först har fått sina resultat i rad. Med samma kodning som i deluppgift (a) så vinner Viktor om kommer upp först medan Hamid vinner om kommer upp först. En elevs undersökning i Excel kan ge följande utfall (figur 3). Färgmarkeringen är gjord för hand, en spelomgång i taget, efter det att eleven har listat ut vem som vann just den omgången. Det färdiga diagrammet visar att Hamid vann med Ganska jämnt. Figur 3: Ett kalkylblad som visar resultatet En annan elev kan ha fått det utfall som redovisas i figur 4. I detta fall blev det utklassning, Hamid vann med (I kolumn J blev det ingen vinnare, men det går att förutse vem som skulle ha vunnit om spelet hade fortsatt.) 3 (5)

4 Figur 4: Ett kalkylblad som visar resultatet Slumpen kan alltså starkt påverka utfallet trots att hela 20 omgångar undersöktes i respektive fall. Om alla elever i en klass genomför var sin undersökning torde ändå utfallet bli att de flesta kom fram till att Hamid har störst chans att vinna en ny omgång. Men hur stor är denna chans? Detta kan eleverna reda ut med stöd av ett träddiagram, enligt nedan. Hamid vinner 3 av 4! Figur 5: Ett träddiagram som stöd för analys av ett spel med tre kast. Viktor vinner bara om han hinner få två gröna innan den första gula kommer. Om det kommer gul på första eller på andra kastet, så vinner Hamid. Spelet är alltså avgjort efter högst två omgångar! Dessa egenskaper i spelet får eleverna större möjligheter att upptäcka om de själva får följa och analysera mönster i form av numeriska kastserier i Excel och/eller förgreningar i träddiagrammet. Träddiagrammet ger dessutom en visualisering av möjliga förlopp som är svårare att tolka i Excel. 4 (5)

5 För de elever som kan hantera sannolikhetsberäkningar för binomialfördelning kan dessutom räkna ut (med Excel eller annat beräkningsverktyg) att Hamid har 98,6% chans att vinna om han och Viktor spelar 20 omgångar, samt att det är 1 % chans för oavgjort Så Hamids risk att förlora är endast 0,4 %. Detta kan vara bra att veta för en lärare som planerar att använda uppgiften i undervisning. När en klass med 30 elever vardera genomför 20 slumpförsök i Excel är det troligt att alla kommer fram till att Hamid vinner, även om vinstmarginalen inte behöver bli stor (som i exemplet 12 8). En fortsättning på denna uppgift skulle kunna bestå i att diskutera olika kastserier med tre resultat i rad, och fundera på om det alltid finns en annan kastserie som slår ut en given satsning när man jämför sannolikheter. Svaret är ja. Om man får se sin motståndares kastserie i förväg, så kan man anpassa sin egen kastserie så att man har mer än 50 % chans att vinna. Oavsett vilken kastserie den andre har valt att satsa på. Detta kan man reda ut med stöd av träddiagrammet. Exempelvis gäller att en kastserie med tre lika resultat i rad (kronakrona-krona) endast har 1/8 chans att vinna, om den ställs mot en kastserie som avviker i första positionen (klave-krona-krona). Så fort en klave kommer upp, så vinner den senare kastserien. Vidare skulle eleverna kunna fundera på längre kastserier, exempelvis fyra resultat i rad, där man kan förvänta sig (?) ett liknande resultat som i fallet med tre resultat i rad. Att kunna formulera och undersöka hypoteser av detta slag är en central aspekt såväl i matematiskt arbete som i vardagslivet. 5 (5)