Laboration 2. Artificiell Intelligens, Ht Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink
|
|
- Linda Magnusson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Artificiell Intelligens, Ht Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink Laboration 2 Laboranter: Johan Bystedt (dit02lbt) Alexander Pettersson (dit02apn) Stefan Zingmark (dit02szk)
2 Sammanfattning Rapporten ska belysa begreppet utility funktioner, vad dessa är samt när de används. Utility funktioner handlar om att tilldela ett numeriskt värde till varje valbar situation. Utifrån dessa värden navigerar agenten i sin miljö.
3 Making simple decisions Making simple decisions handlar om hur en agent bör agera för att få det som den vill ha, åtminståne i det långa loppet. Decision-theoretic agenter kombinerar sannolikhetslära med utility funktioner för att ta rationella beslut baserat på vad den tror och vad den vill. Till skillnad från en goalbased agent som bara skiljer på bra och dåliga tillstånd så använder sig en decisiontheoretic agenten av kontinuerliga mätningar för att kunna avgöra sitt tillstånd. Utility functions Utility är en funktion som beskriver ett tillstånd med hjälp av siffror. Samtidigt kan en agent ha vilka preferenser som helst som den kan interagera med. Målet med att installera utility funktioner i en artificell agent är det att få den att utföra det handlingar vi sagt åt den att göra. Utility funktionerna har sina rötter inom ekonomin.om vi begränsar oss till att titta på handlingar som påverkar hur stort belopp en agent har så föredrar den oftast ett större belopp mot ett mindre, då säger man att agenten har en monotonic preferens för ändliga belopp.
4 Exempel Tänk dig att du just har vunnit 1 miljon dollar och erbjuds direkt att spela om den miljonen genom att flippa ett mynt. Om du vinner så får du 3 miljoner dollar, men förlorar du så förlorar du allt. De flesta av oss skulle inte gå med på vadet utan skulle nöja sig med miljonen man just vunnit. Men agear vi rationellt? Om vi tror på att myntet är rättvist så är det expected momentary value : ½($0) + ½($ ) = $ och expected momentary value för att ta orginalpriset är $ , vilket är mindre. Men det betyder däremot inte att gå med på erbjudandet är bättre. För att besluta vad vi ska göra så måste vi tilldela utility funktioner till de ovan. Utility funktionen är inte proportionellt till de monetary value. Detta pga av den positiva utgången vid vinsten av den första miljonen, därför är utility :n för ytterligare 3 miljoner mycket mindre. Om man däremot hade varit en mulitmiljonär vid vinsten av den första miljonen så hade man säkert accepterat erbjudandet om att kassta myntet en till gång för att ha möjligheten att vinna tre miljoner. Studier på utility funktioner av pengar gjorda av Grayson (1960) visar på att dessa är exakt logaritmiskt proportionella av beloppet. Vi ska inte anta att det är den defenitiva utility funktionen för momentary value, men det är nog mest troligt att det flesta människor har en utility funktion som är konkav för positiva värden. U $ En sk s-shaped kurva Agenter som föredrar ett värde som är mindre än det expected momentary value säger man är risk-averse. Risk-seeking är man däremot om man befinner sig på den negativa sidan. En agent som har en linjär funktion säger man är risk-neutral.
5 Utility functions, forts. Ett utility är ett numeriskt betygssystem som tilldelas varje möjlig utkomma en person kan ställas inför. Den som har högst utility kommer alltid att bli vald. För att vara kvalicerad som en sann utility -skala så måste värdet av en osäkehet vara lika med värdet av det matematiska väntevärdet. En lott med ett värde på 75% betyder att sannolikheten att vinna jackpotten är 0,75, och detta kommer att få utility -värdet 0,75. Allt som estimeras att vara lika värdefullt som just en sådan lott kommer också att få samma värde, varken mer eller mindre. Ovan är utility -värdet mellan 0 och 1 men det finns inga sådana restriktioner. Utan utility -värdet kan anta vilket värde som helst. Ett exempel: Du kanske skulle kunna vara villig att betala $1 för att med en sannolikhet på 1/ kunna vinna $ , men väldigt få, om några alls, skulle betala $ för att kunna vinna $ med en chans på 50%. Någon skulle dock kunna ta det senare erbjudandet om denne befann sig i en väldigt speciell situation där en omedelbar vinst på $ skulle kunna göra så att dennes livsdrömmar genast blev sanna. Medan en förlust på $ inte skulle vara så farlig i det långa loppet. Den rationella grunden för detta val är baserat på de utilities som är involverade. Om ditt nuvarande tillstånd är W, vad skulle vara det exakta utility -värdet för dig om det totala tillståndet är lika med W, W-1,W- $ eller W+$ ? Hur motsvaras detta av en förlust av en kroppsdel? Social status? Allmänt åtlöje? Skulle du kunna gå ut naken för $10 eller $10.000, eller kanske graits? Allt som har en vikt i dina val måste tilldelas ett utility -värde på din personliga skala. I till exempel ett lotteri så finns det en viss lekfullhet, vilket ökar vår lust att köpa lotten. De som designar lotterier och andra spel har så klart detta i åtanke när de designar en ny lott eller lotteri. Det så kallade St. Petersburg Spelet spelas med ett rättvist mynt som kastas tills dess att sidan med klave kommer upp. Om spelet varar i n+1 kast så vinner spelaren 2 n dollar. Alltså $1 om klaven kommer upp första gången, $2 för andra kastet och sedan, 4, 8, 16, 32, 64, 128 etc. Vad är ett rättvist pris att betala för att få spela detta spel? Detta kallas för St. Petersburg Paradox. Den matematiska förväntningen för detta spel är oändligt, eftersom det kommer att vara summan av den divergenta serien: (1/2)(1)+(1/4)(2)+(1/8)(4)+(1/16)(8)+... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/ Hur som helst så är det ganska klart att ingen skulle betala mer än ett par dollar för att spela detta spel... varför? När frågan lades fram tidigt på 1900-talet, trodde man fortfarande att värdet av att spela skulle enbart vara baserat på dess rättvisa pris, som är ett annat namn för dess matematiska förväntning. Eftersom att detta inte kunde användas i det ovanstående spelet ledde detta till introduktionen av det moderna konceptet av the utility of a prospect.
6 I ett brev från Nicolas Bernoulli, en swiss matematiker, till Pierre Rémond de Montmort nämner Bernoulli att man ska använda en tärning istället för ett mynt. Men den lägre sannolikheten, 1/6, att avgöra spelets utgång vid varje kast gör att vänteserien divergerar ännu snabbare. Några år senare skickade matematikern Gabriel Cramer ett brev till Bernoulli där han återupptog spelet i sin moderna form, för enkelhets skull, med ett mynt istället för en tärning. Han sa att "mathematicians estimate money in proportion to its quantity, and men of good sense in proportion to the usage that they may make of it". Cramer kvantifierade då uttrycket i termer av vad vi nu skulle kalla en utility function. Cramers första exempel av en utility function var helt enkelt propotionell mot pengamängden upp till en specifik punkt (han använde 2 24 mynt, för enkelhets skull) och konstant efter det. Hans andra exempel var en utility function av pengar propotionellt mot kvadratroten av mängden pengar. Båda dessa utility functions leder till en slutlig utility till orginalet av St. Petersburg spelet, men det andra exemplet skulle misslyckas att lösa uppgiften om utdelningssekvensen ökade snabbare (t ex, om spelaren tjänade 4 n dollar för att göra n+1 kast). Detta betyder att alla utility functions måste ha en övre gräns, annars får man en oändlig sekvens av förväntningar, den n:te som har en utility som är minst lika med 2 n. Den n:te sådan förväntning som utdelning för att framgångsrikt ha kastat n stycken kast i ett St. Petersburg spel skulle ge oändlig utility, vilket inte är acceptabelt. Kontentan av utility konceptet ger ett slutgiltigt värde till en enskild förväntning, vilket är vad hela St. Petersburg spelet handlar om. Nicolas Bernoulli var dock en motståndare till Cramers idéer. Detta återupplivade ämnet som startades av Nicolas, som i sin tur frågade sin kusin Daniel Bernoulli. Daniel var också han en matematisk professor vid St. Petersburg. Han publicerar också sitt arbete, och det är genom detta som paradoxet fått sitt moderna namn återupptäckte Daniel Bernoulli den moderna idén om utilities (oberoende av Cramer), som Nicolas fortsatte att motstå. Daniel hittade ett fel i Cramers idé, nämligen att det är allmänt kritiskt att bara se till hela spelarens rikedomar och tilldela endast en utility till hela saken. Utility :n förändras väldigt mycket om ett ytterligare mynt skulle påverka spelarens fortsatta framgång. Diskussion Laborationen som sådan har varit väldigt svår och tråkig. Svårt att både hitta någon vettig information, samt svårt att förstå informationen. Det man har hittat i kursboken har varit alltför inriktat på formler, det kan leda till att redovisningarna blir alltför tekniska och svåra att förstå för den som inte har satt sig in i kapitlet tillräckligt.
7 Referenser Artificial Intelligence: A Modern Approach, second edition, Stuart Russell, Peter Norvig ( )
Tema Förväntat värde. Teori Förväntat värde
Tema Förväntat värde Teori Förväntat värde Begreppet förväntat värde används flitigt i diskussioner om olika pokerstrategier. För att kunna räkna ut det förväntade värdet så tar du alla möjliga resultat,
Läs merThree Monkeys Trading. Tärningar och risk-reward
Three Monkeys Trading Tärningar och risk-reward I en bok vid namn A random walk down Wall Street tar Burton Malkiel upp det omtalade exemplet på hur en apa som kastar pil på en tavla genererar lika bra
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merLösningar och lösningsskisser
Lösningar och lösningsskisser Diskret matematik för gymnasiet, :a upplagan, Liber AB Kapitel, Sannolikhetslära och Kombinatorik 0. a) ( ) ( ) h!! ( )!!! 9!! 9!!! h! ( h)!! h! ( h)!! h! ( h)! Likheten är
Läs merCake-cutting. att fördela resurser på ett rättvist sätt. Ebba Lindström
Cake-cutting att fördela resurser på ett rättvist sätt Ebba Lindström Innehållsförteckning Inledning 3 Utility Theory 3 Orderability 4 Transitivity 4 Continuity 4 Monotonicity 5 Decomposability 5 Cake-cutting
Läs merFöreläsning 4: Beslut och nytta, paradoxer
Föreläsning 4: Beslut och nytta, paradoxer Litteratur: Hansson, Introduction to Decision Theory, kap 5-7 och 11 Resnik, Choices, kap 4 1# S:t Petersburg-paradoxen (Daniel Bernoulli, 1713; Nicolas Bernoulli,
Läs mer7-2 Sammansatta händelser.
Namn: 7-2 Sammansatta händelser. Inledning Du vet nu vad som menas med sannolikhet. Det lärde du dig i kapitlet om just sannolikhet. Nu skall du tränga lite djupare i sannolikhetens underbara värld och
Läs merLotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning
Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel
Läs merLotto, ett skicklighetsspel!
79 Lotto, ett skicklighetsspel! Jan Grandell KTH 1. Inledning. Du håller nog med om att om man köper en lott så är det bara en fråga om tur om man vinner och hur mycket man vinner. På samma sätt håller
Läs mer7-1 Sannolikhet. Namn:.
7-1 Sannolikhet. Namn:. Inledning Du har säkert hört ordet sannolikhet förut. Hur sannolikt är det att få 13 rätt på tipset eller 7 rätt på lotto? I detta kapitel skall du lära dig vad sannolikhet är för
Läs merUTFALL = (KLAVE, 2 KR; KRONA-KLAVE, 4 KR; KRONA-KRONA-KLAVE, 8 KR; OSV) = (1/2, 2 KR; 1/4, 4 KR; 1/8 8 KR; OSV)
Beslutsfattandets psykologi ht 2010: Beslutsfattande under risk och osäkerhet I Prospektteorins värdefunktion Risksökande/riskaversion Framing (inramning) Referenspunkt Sjunkkostnadseffekten Förlustaversion/förlustkänslighet
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Slumpvariabler, stokastiska variabler. Stokastiska variabler. F4 Diskreta variabler
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F4 Diskreta variabler Slumpvariabler, stokastiska variabler Stokastiska variabler diskreta variabler kontinuerliga
Läs merHare Del II (Metod) kunskap om hur det skulle vara för mig att befinna mig i deras. "reflektionsprincipen" (dock ej av H). Den säger följande: för att
Syftet med denna del är att utveckla och försvara en form av preferensutilitarism, vilken kan identifieras med kritiskt tänkande. Den huvudsakliga framställningen är i kap. 5-6. En senare kort sammanfattning
Läs mergetsmart Grå Regler för:
(x²) 1 2 Regler för: getsmart Grå Algebra 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det rekommenderas att man börjar
Läs merSannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Sannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast Håkan Sollervall, Malmö
Läs merSVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON
EXEMPEL PÅ BERÄKNINGAR AV SANNOLIKHETER FÖR ATT FELAKTIGT HANTERADE RÖSTER PÅVERKAR VALUTGÅNGEN SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON 1. Inledning Vi skall här ge exempel på och försöka förklara matematiken
Läs merLaboration 2 -litteraturstudie i Mechanism design
Laboration 2 -litteraturstudie i Mechanism design Kurs: Kursansvarig: Handledare: Artificiell Intelligens med inriktning mot kognition och design B, 5p ht 2004 Christina Olsén Therese Edvall Daniel Ölvebrink
Läs merMörkpoker Strategi. 2003 Christian Eriksson och Mikael Knutsson Uppdaterad 2004-01-26
Mörkpoker Strategi 2003 Christian Eriksson och Mikael Knutsson Uppdaterad 2004-01-26 Innehåll 1 GRUNDLÄGGANDE VISDOM...2 1.1 SATSNINGSRUNDOR...3 1.2 TÄNK IGENOM SITUATIONEN!...4 1.3 DISCIPLIN...5 1.4 BLUFFANDE/VARIERAT
Läs mer4. Stokastiska variabler
4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan
Läs mer5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen
Chans och risk ål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de kunna: förklara vad som menas med begreppet sannolikhet räkna ut sannolikheten för att en händelse ska inträffa känna till hur sannolikhet
Läs merAktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material,
Aktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material, Hur stor är chansen? NAMN Ni kommer att utvärdera olika spel för att hjälpa er förstå sannolikheten. För varje spel, förutsäga vad som
Läs merNp MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar Provtid
Läs merSmart insatsplan. Bifogat den här artikeln finns en enkel A4 där du kan bokföra insatsplanens spel. Använd den!
Smart insatsplan Artikel är skriven av Johan som äger www.storavinster.se. Vi ger professionella råd om hur du ska spela för att vinna i längden. Du hittar fler artiklar om spel om du besöker hemsidan.
Läs merSlumpförsök för åk 1-3
Modul: Sannolikhet och statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slumpförsök för åk 1-3 Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet I följande text beskrivs
Läs merKimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik
Kimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik Lönar det sig att vara självisk? Kimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik Boktips Full av underbara enkla tankeexperiment för att demonstrera skillnaden
Läs merStora talens lag eller det jämnar ut sig
Stora talens lag eller det jämnar ut sig kvensen för krona förändras när vi kastar allt fler gånger. Valda inställningar på räknaren Genom att trycka på så kan man göra ett antal inställningar på sin räknare.
Läs merUPPGIFT 1 EURO. Utdata: Två rader, som för indata ovan, ser ut som följer: Före resan: bank 1 Efter resan: bank 3
UPPGIFT 1 EURO Harry ska åka till Portugal och behöver växla till sig 500 Euro från svenska kronor. När han kommer tillbaka från Portugal kommer han att ha 200 Euro över som han vill växla tillbaka till
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merArtificial Intelligence
Omtentamen Artificial Intelligence Datum: 2013-01-08 Tid: 09.00 13.00 Ansvarig: Resultat: Hjälpmedel: Gränser: Cecilia Sönströd Redovisas inom tre veckor Inga G 10p, VG 16p, Max 20p Notera: Skriv läsbart!
Läs merFöreläsning 3: Osäkerhet och sannolikhet
Föreläsning 3: Osäkerhet och sannolikhet Litteratur: Hansson, Introduction to Decision Theory, kap 8 (Även kap 6 är relevant) Resnik, Choices, kap 3 *Galavotti, Philosophical Introduction to Probability,
Läs merNågot om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen Statistik Stig Danielsson 004-0-3 Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval 1. Inledning Observerade data innehåller ofta någon form
Läs mer4.1 Grundläggande sannolikhetslära
4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan
Läs merSatsen om total sannolikhet och Bayes sats
Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet Ibland är det svårt att direkt räkna ut en sannolikhet pga att händelsen är komplicerad/komplex. Då kan man ofta använda satsen om
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik Anders Björkström
STOCKHOLMS UNIVERSITET 2001-10-22 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik Anders Björkström GRUNDLÄGGANDE MATLAB-TRÄNING för den som aldrig har arbetat med Matlab förut A. Matlabs allmänna
Läs merStatistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen
Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merSANNOLIKHET OCH SPEL
SANNOLIKHET OCH SPEL I ÖVNINGEN INGÅR ATT: Formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat (MA) Tolka en realistisk situation och utforma en matematisk
Läs merSpelregler. 2-6 deltagare från 10 år. En svensk spelklassiker
En svensk spelklassiker Spelregler 2-6 deltagare från 10 år Innehåll: 1 spelplan, korthållare, 2 tärningar, 6 spelpjäser, 21 aktier, 20 lagfartsbevis, 12 obligationer, 21 finanstidningar, 40 börstips,
Läs merFuzzy Logic. När oskarpa definitioner blir kristallklara. Åsa Svensson. Linköpings Universitet. Linköping
Fuzzy Logic När oskarpa definitioner blir kristallklara Linköpings Universitet Linköping Sammanfattning I denna fördjupningsuppgift har jag fokuserat på Fuzzy Logic och försökt att beskriva det på ett
Läs mergetsmart Lila Regler för:
3 2 Regler för: getsmart Lila 9 Graf y 4 7 3 2 2 3 Funksjon 1-4 4-3 -2-1 -1 1 2 3-2 x f(x)= f(x)= 3 2 2 3 3 2 2 3-3 -4 Graf 9 3 2 2 3 Funksjon 7 Det rekommenderas att man börjar med att se på powerpoint-reglerna
Läs merSF1901: Övningshäfte
SF1901: Övningshäfte 5 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på
Läs merHur kan du som lärare dra nytta av konjunkturspelet i din undervisning? Här följer några enkla anvisningar och kommentarer.
Konjunkturspelet Ekonomi är svårt, tycker många elever. På webbplatsen, i kapitel F2, finns ett konjunkturspel som inte bara är kul att spela utan också kan göra en del saker lite lättare att förstå. Hur
Läs merEn av matematikhistoriens mest berömda trianglar är Pascals triangel,
Michael Naylor Okända skrymslen i Pascals triangel Pascals triangel, som har varit känd av indiska, persiska, arabiska och kinesiska matematiker i mer än tusen år, fick sitt nuvarande namn i mitten av
Läs merKapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 2 Grundläggande sannolikhetslära 1 Att beräkna en sannolikhet I många slumpförsök gäller att alla utfall i S är lika sannolika. Exempel: Tärningskast, slantsingling.
Läs merSannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. I slutet av dokumentet hittar du uppgifter med vilka du kan testa om
Läs merDin RelationsBlueprint - Källan till smärta eller framgång i din intima relation
Din RelationsBlueprint - Källan till smärta eller framgång i din intima relation Lyssna, jag känner mig enormt glad och hedrad att jag får spendera den här tiden med dig just nu och att du tar dig tid
Läs merSvar till gamla tentamenstal på veckobladen
Svar till gamla tentamenstal på veckobladen Veckoblad : Data/Eletro 54 A = Patienten är ett allvarligt fall B = Patienten är under 4 år C= Någon av patientens föräldrar har diabetes 8 + + + 5 + 5 + 8 +
Läs merTAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp
TMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp Johan Thim 31 oktober 2018 1.1 Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet ej kan förutsägas deterministiskt. Slumpförsöket har olika möjliga utfall.
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs merUtdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 1 en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info: www.kvadratrot.se.
Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 1 SPORT OCH SPEL Matematik för såväl mentala som fysiska ansträngningar Ekvationslösning, matematiska resonemang, sannolikhetsteori Räkna med slumpen Det var
Läs merHandbok Kiriki. Albert Astals Cid Eugene Trounev Översättare: Stefan Asserhäll
Albert Astals Cid Eugene Trounev Översättare: Stefan Asserhäll 2 Innehåll 1 Inledning 5 2 Hur man spelar 6 3 Spelets regler, strategi och tips 8 3.1 Spelregler..........................................
Läs merArbetsblad 5:1. Tolka diagram. 1 a) Vilket var kilopriset år 2003? 2 a) Vad kallas den här typen av
Arbetsblad 5:1 Tolka diagram Besvara frågorna med hjälp av diagrammen 1 a) Vilket var kilopriset år 2003? b) Hur mycket ökade priset mellan 1991 och 2001? c) Mellan vilka år var ökningen st? Pris (kr/kg)
Läs merMSG830 Statistisk analys och experimentplanering
MSG830 Statistisk analys och experimentplanering Tentamen 16 April 2015, 8:30-12:30 Examinator: Staan Nilsson, telefon 073 5599 736, kommer till tentamenslokalen 9:30 och 11:30 Tillåtna hjälpmedel: Valfri
Läs mer1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5
1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt 2.1-2.2, 2.5 Introduktion till kursen. Grundläggande sannolikhetslära. Mängdlära, händelser, sannolikhetsmått Händelse följer samma räkneregler
Läs merMATEMATIKDIDAKTIK. Peter Frejd Department of Mathematics, Linköping University, Sweden Seminarium
MATEMATIKDIDAKTIK Peter Frejd Department of Mathematics, Linköping University, Sweden Seminarium 2011-03-22 1 SEMINARIUM 7 Vad är en funktion? Hur bildas begrepp? Exempel på funktioner 2 2 FUNKTIONER HISTORIK
Läs merLär datorn att spela luffarschack
Lär datorn att spela luffarschack Laboration utvecklad av: Sofia Max och Mårten Björk, 2002 Reviderad Fredrik Linusson 2006 Datorlaborationen tar ca 60 minuter. Ägna 10 minuter till den första delen och
Läs merKapitel 5. Scanlon bemöter delvis invändningen genom att hävda att kontraktualistiskt resonerande är holistiskt.
Men stämmer det att man har skäl att förkasta en princip endast om det vore dåligt för en om den blev allmänt accepterad? En intressant tillämpning i sammanhanget är det som Scanlon kallar fairness. Han
Läs merVARFÖR ÄR DU SOM DU ÄR?
Karl-Magnus Spiik Ky Självtroendet / sidan 1 VARFÖR ÄR DU SOM DU ÄR? Självförtroendet är människans inre bild av sig själv. Man är sådan som man tror sig vara. Självförtroendet är alltså ingen fysisk storhet
Läs merBeräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692
Beräkning med ord -hur en dator hanterar perception 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Innehåll Inledning... 3 Syfte... 3 Kan datorer hantera perception?... 4 Naturligt språk... 4 Fuzzy Granulation...
Läs merKapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi
Läs merAktiviteter med kalkylprogram
Matematik Grundskola årskurs 7-9 Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Aktiviteter med kalkylprogram Håkan Sollervall, Malmö högskola Exempel
Läs merIshavsspelet är ett kort- och tärningsspel för 2-4 spelare som bygger på tur och lite strategi
Ishavsspelet är ett kort- och tärningsspel för 2-4 spelare som bygger på tur och lite strategi Spelet hör ihop med Sveriges Radios julkalender Siri och ishavspiraterna och du kan ladda hem och skriva ut
Läs merPottstorleksfilosofin ett exempel
Kapitel fem Pottstorleksfilosofin ett exempel Säg att du spelar ett no limit-spel med mörkar på $2-$5 och $500 stora stackar. Du sitter i stora mörken med Någon inleder satsandet ur mittenposition med
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Diskreta fördelningar Uwe Menzel, 2018 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs mer1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta
Läs mer8-1 Formler och uttryck. Namn:.
8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?
Läs merProgrammering av NXT Lego- robot Labbrapport för programmering av en Lego- robot
KUNGLIGA TEKNISKA HÖGSKOLAN Programmering av NXT Lego- robot Labbrapport för programmering av en Lego- robot Josef Karlsson Malik 2015-09- 02 jkmalik@kth.se Introduktionskurs i datateknik (II0310) Sammanfattning
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merFöreläsning 6: Spelteori II
Föreläsning 6: Spelteori II Litteratur: Resnik, Choices, kap. 5 1# Viktiga begrepp Först lite allmänt om spelteori: Spelteorin har främst utvecklats inom matematiken och nationalekonomin, och är fortfarande
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs merÖka effekten av DR med QR! Sju inspirerande exempel på hur du kan använda QR-koder i dina DR-kampanjer
Öka effekten av DR med QR! Sju inspirerande exempel på hur du kan använda QR-koder i dina DR-kampanjer Innehållsförteckning 1. Introduktion 2. Actionkoder 3. Kanalerna 4. Statistik 5. 7 tips 6. Sammanfattning
Läs merKort om mätosäkerhet
Kort om mätosäkerhet Henrik Åkerstedt 14 oktober 2014 Introduktion När man gör en mätning, oavsett hur noggrann man är, så får man inte exakt rätt värde. Alla mätningar har en viss osäkerhet. Detta kan
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merMATEMATIKSPELET TAR DU RISKEN
MATEMATIKSPELET TAR DU RISKEN 1. Kasta en tärning 20 gånger. Målet är att minst 10 gånger få ögontalet 4, 5 eller 6. Om du lyckas, får du 300 poäng. Om du inte lyckas, förlorar du 100 poäng. Tar 2. Kasta
Läs merMatematik. Arbetslag: Gamma Klass: 8 S Veckor: 34-39 HT 2015
Matematik Arbetslag: Gamma Klass: 8 S Veckor: 34-39 HT 2015 Tal Vad kan subtraktionen 4 7 innebära? Kan något vara mindre än noll? De här frågorna sysselsatte matematiker i många århundranden. Så länge
Läs merExplorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Läs merMatematisk statistik - Slumpens matematik
Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5
freeleaks NpMaB vt00 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 Förord Uppgifter till den äldre
Läs merImplicita odds och omvända implicita odds
Kapitel sju Implicita odds och omvända implicita odds Under de tidiga satsningsrundorna och satsningsrundorna i mitten sänks vanligtvis pottoddset avsevärt om du behöver syna framtida satsningar, och du
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merF2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive
Läs merF2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion
Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten
Läs merShakey s värld med HTNplanering
Shakey s värld med HTNplanering 2010-10-03 Artificiell Intelligens 2, 729G11 Maria Lindqvist Fördjupningsarbete, HT 2010 880913-0506 Linköpings Universitet marli314 2 Innehållsförteckning Inledning...
Läs merLINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Ekonomisk och Industriell Utveckling Ou Tang
LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Ekonomisk och Industriell Utveckling Ou Tang TENTAMEN I EKONOMISK ANALYS: Besluts- och finansiell metodik TISDAG DEN 19 AUGUSTI 2014, KL 14.00-19.00 Sal:
Läs merSannolikhetsbegreppet
Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34
Läs merKällkritisk metod stora lathunden
Källkritisk metod stora lathunden Tryckt material, t ex böcker och tidningar, granskas noga innan det publiceras. På internet kan däremot alla enkelt publicera vad de önskar. Därför är det extra viktigt
Läs merLåt eleverna lösa uppgifterna med huvudräkning och sedan jämföra med resultatet av ett program, t.ex. print(6 + 4 * 3)
1 Print 1 Tal, Prioriteringsregler 3 Procent, Procentuella förändringar 2 Variabler Teckna och tolka uttryck Ekvationslösningens grunder 1236 Beräkna utan räknare. a) 6 + 4 3 b) 9 4 12 3 c) 7 (3 + 12)
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merExperimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband
Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merF6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.
Stat. teori gk, ht 2006, JW F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.4-5.6) Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje
Läs merLaboration 2 Mekanik baskurs
Laboration 2 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Friktionskraft är en förutsättning för att våra liv ska fungera på ett mindre omständigt sätt. Om friktionskraften
Läs merMatematikuppgifter del II, FYTA11
Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk
Läs merANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Läs merDET ÄR INGEN KONST ATT MÄTA SPÄNNING OCH STRÖM
DE ÄR INGEN KONS A MÄA SPÄNNING OCH SRÖM OM MAN VE HR DE FNGERAR! lite grundläggande el-mätteknik 010 INNEHÅLL Inledning 3 Grunder 3 Växelspänning 4 Effektivvärde 5 Likriktat medelvärde 6 Överlagrad spänning
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs mer